Ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів

Дослiджуються орбiти повiльно збурених гамiльтонових систем та асоцiйованi з ними ергодичнi деформацiї лагранжевих многовидiв. Основнi результати базуються на пiдходi Дж. Мазера [18, 19] до побудови гомологiй iнварiантних ймовiрнiсних мiр, що мiнiмiзують деякi лагранжевi функцiонали, а також на елiп...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Український математичний вісник
Дата:	2018
Автори:	Банах, Т.О., Прикарпатський, А.К.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2018
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169408
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів / Т.О. Банах, А.К. Прикарпатський // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 332-344. — Бібліогр.: 27 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860091953703550976
author	Банах, Т.О. Прикарпатський, А.К.
author_facet	Банах, Т.О. Прикарпатський, А.К.
citation_txt	Ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів / Т.О. Банах, А.К. Прикарпатський // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 332-344. — Бібліогр.: 27 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Український математичний вісник
description	Дослiджуються орбiти повiльно збурених гамiльтонових систем та асоцiйованi з ними ергодичнi деформацiї лагранжевих многовидiв. Основнi результати базуються на пiдходi Дж. Мазера [18, 19] до побудови гомологiй iнварiантних ймовiрнiсних мiр, що мiнiмiзують деякi лагранжевi функцiонали, а також на елiптичнiй теорiї Громова–Саламона–Зендера–Флоєра [7, 9, 12, 20, 26] побудови iнварiантних многовидiв. В працi конструюються iнварiантнi пiдмноговиди, котрi є носiями iнварiантних ергодичних мiр та мають структуру локально гомеоморфних метричних просторiв. Аналiзується проблема конструювання ефективних критерiїв їх глобальної гомеоморфностi, сформульованої проф. А. М. Самойленком при дослiдженнi ергодичних деформацiй нелiнiйних гамiльтонових систем та їх адiабатичних iнварiантiв. Встановлено, що вiдображення f : X → Y з лiнiйно зв’язного гаусдорфового простору X в однозв’язний (зокрема, стягуваний) простiр Y є гомеоморфiзмом тодi i лише тодi, коли f локальним гомеоморфним i прообраз f⁻¹(y) кожної точки y ∈ Y є непорожньою компактною пiдмножиною в X. The orbits of slowly perturbed Hamilton systems and the associated ergodic deformations of Lagrange manifolds are studied. The main results are based on the Mather approach [18, 19] to the construction of the homologies of invariant probabilistic measures, which minimize some Lagrange functionals, and on the elliptic Gromov–Salamon–Zehnder–Floer theory [7,9,12,20,26] of the construction of invariant manifolds. We have constructed the invariant submanifolds, which are the supports of invariant ergodic measures and have a structure of locally homeomorphic metric spaces. We analyze the problem of construction of efficient criteria of their global homeomorphism, which was posed by Professor A. M. Samoilenko during the study of ergodic deformations of nonlinear Hamilton systems and their adiabatic invariants. It is established that the mapping f : X → Y from a linearly connected Hausdorff space X onto a simply connected (in particular, contractible) space Y is a homeomorphism iff f is local and homeomorphic, and the preimage f⁻¹(y) of every point y ∈ Y is a nonempty compact subset in X.
first_indexed	2025-12-07T17:23:36Z
format	Article
fulltext	Український математичний вiсник Том 15 (2018), № 3, 332 – 344 Ергодичнi деформацiї нелiнiйних гамiльтонових систем та локальна гомеоморфнiсть метричних просторiв Тарас О. Банах, Анатолiй К. Прикарпатський (Представлена А. М. Самойленком) Анотацiя. Дослiджуються орбiти повiльно збурених гамiльтоно- вих систем та асоцiйованi з ними ергодичнi деформацiї лагранже- вих многовидiв. Основнi результати базуються на пiдходi Дж. Ма- зера [18, 19] до побудови гомологiй iнварiантних ймовiрнiсних мiр, що мiнiмiзують деякi лагранжевi функцiонали, а також на елiпти- чнiй теорiї Громова–Саламона–Зендера–Флоєра [7,9,12,20,26] побу- дови iнварiантних многовидiв. В працi конструюються iнварiантнi пiдмноговиди, котрi є носiями iнварiантних ергодичних мiр та ма- ють структуру локально гомеоморфних метричних просторiв. Ана- лiзується проблема конструювання ефективних критерiїв їх глобаль- ної гомеоморфностi, сформульованої проф. А. М. Самойленком при дослiдженнi ергодичних деформацiй нелiнiйних гамiльтонових си- стем та їх адiабатичних iнварiантiв. Встановлено, що вiдображення f : X → Y з лiнiйно зв’язного гаусдорфового простору X в однозв’я- зний (зокрема, стягуваний) простiр Y є гомеоморфiзмом тодi i лише тодi, коли f локальним гомеоморфним i прообраз f−1(y) кожної то- чки y ∈ Y є непорожньою компактною пiдмножиною в X. Вступ За останнi роки методи симплектичної геометрiї в застосуваннi до вивчення широкого класу гамiльтонових динамiчних систем за- знали досить бурхливого розвитку [1, 2, 4, 7]. Зокрема, при аналiзi структури перiодичних розв’язкiв неавтономних гамiльтонових си- стем на симплектичних многовидах були запропонованi новi мате- матичнi методи їх дослiдження, що грунтуються на аналогу теорiї Морса для нескiнченно-вимiрних многовидiв петель [20,26] та симпле- ктичнiй геометрiї лагранжевих многовидiв [9, 17, 18]. Так, вивчаючи Стаття надiйшла в редакцiю 20.05.2018 ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України Т. О. Банах, А. К. Прикарпатський 333 ергодичнi мiри, асоцiйованi з лагранжевими динамiчними система- ми на дотичних просторах до конфiгурацiйних замкнутих многови- дiв, Дж. Мазер [18] запропонував новий пiдхiд до вивчення вiдпо- вiдних iнварiантних ймовiрнiсних мiр за допомогою спецiально скон- труйованих функцiоналiв на групi гомологiй лагранжевого многови- ду, котрi дають, зокрема, можливiсть ефективно описати так званi гомологiї iнварiантних ймовiрнiсних мiр, що мiнiмiзують вiдповiдний лагранжевий функцiонал дiї. Як було показано в [5, 23–25], пiдхiд Дж. Мазера допускає нетривiальне узагальнення на випадок опису ергодичних мiр, що пов’язанi натурально з заданою неавтономною перiодичною гамiльтоновою системою на замкненому симплектично- му многовидi. Грунтуючись, зокрема, на варiантi елiптичної технiки М. Громова [2,9,20], в працi конструюються скiнченновимiрнi iнварi- антнi пiдмноговиди петель, асоцiйованих з лагранжевим многовидом неавтономної гамiльтонової системи, якi є носiями вiдповiдних iнва- рiантних ергодичних мiр. Оскiльки побудованi iнварiантнi многови- ди мають структуру локально гомеоморфних метричних просторiв, в працi дослiджується важлива проблема [3,8,22] побудови ефектив- них критерiїв їх глобальної гомеоморфностi, сформульована проф. А.М. Самойленком при дослiдженнi ергодичних деформацiй нелiнiй- них гамiльтонових систем та їх адiабатичних iнварiантiв. Нами вста- новлено, що вiдображення f : X → Y з лiнiйно зв’язного гаусдорфо- вого простору X в однозв’язний (зокрема, стягуваний) простiр Y є гомеоморфiзмом тодi i лише тодi, коли f локальним гомеоморфним i прообраз f−1(y) кожної точки y ∈ Y є непорожньою компактною пiдмножиною в X. 1. Симплектичний аналiз неавтономних перiодичних гамiльтонових систем Нехай як вище (M2n, ω(2)) є замкнутий симплектичний многовид з умовою слабкої точностi ω(2)(π2(M 2n)) = 0. Кожнiй достатньо глад- кiй функцiї H :M2n × S1 → R вiдповiдає неавтономне векторне поле KH :M2n × S1 → T (M2n), яке задовольняє умову iKH ω(2) = −dH. (1.1) Вiдповiдне векторне поле на M2n × S1 може бути записане як du/ds = KH(u; t), dt/ds = 1, (1.2) де t ∈ R1/2πZ ≃ S1, а (u; t) : R → M2n × S1 є орбiтою вiдповiдно- го повного потоку ψs : M2n × S1 → M2n × S1, визначеного для всiх 334 Ергодичнi деформацiї нелiнiйних... s ∈ R. Зауважимо, що векторне поле в (1.2) є 2π-перiодичне по еволю- цiйнiй змiннiй t ∈ S1. Проекцiя ψs t0 := ψs\|M2n , s ∈ R, для фiксованого параметра t0 ∈ S1 задовольняє, очевидно, умову типу (1.1), тобто ψs,∗ t0 ω(2) = ω(2) (1.3) для всiх s ∈ R. Таке вiдображення ψs t0 : M2n → M2n, s ∈ R, яке задовольняє умову (1.3), є симплектичним, див. [1, 4]. Розглянемо тепер 1-форму α(1) ∈ Λ1(M2n) таку, що ∫ D2 (ω(2) − dα(1)) = 0 для всякого компактного двовимiрного диску D2 ⊂ M2n. Така 1-форма α(1)∈Λ1(M2n) iснує [9,12] завдяки умовi ω(2)(π2(M 2n))= 0. Розглянемо тепер деякий (n + 1)-вимiрний пiдмноговид Ln+1 ⊂ M2n×S1 такий, що для кожної замкнутої стягувальної гладкої кривої γ ⊂ Ln+1 виконується наступна iнтегральна рiвнiсть:∮ γ (α(1)(s)−H(t0 + s)ds) = 0, (1.4) де γ : R1/2πZ ∋ s → γ(s) ∈ M2n × S1 є вiдповiдна параметризацiя кривої γ ⊂ Ln+1. Структуру пiдмноговиду Ln+1 ⊂M2n×S1 опишемо наступним чином. Нехай Ln t0 ⊂M2n є деякий компактний лагранже- вий пiдмноговид, тобто, за визначенням, ω(2)\|Ln t0 = 0. Тодi за допо- могою симплектоморфiзма ψs t0 : M2n → M2n, s ∈ R, можна записати вкладення {ψs t0L n t0 , t0 + s : s ∈ R} ⊂ Ln+1, (1.5) яке слiдує з визначення (1.4). Зокрема, для всiх t0 + s ∈ R можна визначити в околi лагранжевого пiдмноговиду Ln t0 ⊂M2n вiдображе- ння At0 : R → R з dAt0(s) = α(1)(s) − H(s + t0)ds, яке є породжу- ючою функцiєю для визначеної вище неперервної множини симпле- ктоморфiзмiв ψs t0 ∈ Diff(M2n), s ∈ R. Бiльше того, вираз (1.4) дає можливiсть визначити природнiм чином наступний функцiонал типу Пуанкаре–Картана на множинi всiх майже скрiзь диференцiйованих кривих γ : [0, τ ] →M2n × S1: A(τ) t0 (γ) := 1 τ ∫ γ ( α(1)(s)−H(s+ t0)ds ) , (1.6) де γ(τ) = ψτ (γ(0)), supp γ ⊂ U(Ln t0) × S1 i U(Ln t0) є деяким вiдкри- тим околом лагранжевого пiдмноговиду Ln t0 ⊂ M2n, що задовольняє умову ψs t0U(Ln t0) ⊂ U(Ln t0) для всiх s ∈ R. Т. О. Банах, А. К. Прикарпатський 335 Позначимо через Σt0(H) пiдмножину кривих γ iз носiєм в U(Ln t0)× S i фiксованими кiнцями як вище i таких, що мiнiмiзують функцiонал (1.6). Якщо мiнiмум реалiзується, то кожна така крива γ ∈ Σt0(H) розв’язує динамiчну систему (1.2). Щоб описати структуру множи- ни кривих Σt0(H) бiльш детально, виберемо згiдно [9, 12, 26] майже комплексну структуру J : M2n → End(T (M2n)) на симплектичному многовидi M2n, де, за визначенням, J2 = −1, i яка сумiсна з симпле- ктичною структурою ω(2) ∈ Λ2(M2n). Тодi вираз ⟨ξ, η⟩ := ω(2)(ξ, Jη), (1.7) де ξ, η ∈ T (M2n), визначає природнiм чином рiманову метрику на M2n. По вiдношенню до цiєї метрики наше гамiльтонове векторне поле KH : M2n × S1 → T (M2n) представляється як KH = J∇H, де ∇ : D(M2n) → T (M2n) позначає градiєнтне вiдображення стосовно введеної вище рiманової метрики (1.7). Розглянемо тепер простiр Ω := Ω(M2n × S1) всiх майже срiзь не- перервно диференцiйованих кривих в M2n × S1 iз фiксованими кiн- цевими точками. Тодi можна визначити на Ω функцiонал виду (1.6) i обчислити вiдображення gradA(τ) t0 : Ω → T (Ω): (gradA(τ) t0 (γ), ξ) := 1 τ τ∫ 0 ⟨J(γt0)γ̇t0(s) +∇H(γt0 ; s+ t0), ξ⟩ ds, (1.8) де γ := {γ(s)t0 ; t0+s(mod 2π) : s ∈ [o, τ ]} ∈ Ω i елемент ξ ∈ T (Ω). Оскiль- ки всi критичнi кривi γ ∈ Σt0(H), що мiнiмiзують функцiонал (1.6) розв’язують рiвняння Гамiльтона (1.2), це дає можливiсть побудови iнварiантної пiдмножини ΩH ⊂ Ω такої, що ΩH := Ω(U(Ln t0) × S1). А саме, визначимо криву γ ∈ ΩH(γ(−)) ⊂ ΩH як таку, що задовiльняє наступний градiєнтний потiк в U(Ln t0)× S1: ∂ut0/∂z = − gradAt0(u), ∂t/∂z = 0 (1.9) для всiх z ∈ R при таких асимптотичних умовах: lim z→−∞ ut0(s; z) = γ (−) t0 (s), lim z→+∞ ut0(s; z) = γt0(s), (1.10) де s ∈ [0, τ ] i кривi γ(−) t0 , γt0 : [0, τ ] → M2n задовольняють систему (1.2). Бiльше того, крива γ (−) t0 : [0, τ ] → M2n вважається гiперболi- чною iз носiєм supp γ (1) t0 ⊂ Ln t0 , де параметер t0 ∈ [0, 2π] є фiксованим. Тепер ми можемо побудувати, варiюючи криву γt0 ⊂ Ln t0 , аналог так 336 Ергодичнi деформацiї нелiнiйних... званого нестiйкого многовиду W u(γ (−) t0 ) до цiєї гiперболiчної кривої γ (−) t0 ⊂ Ln t0 . Таким чином, згiдно описанiй вище конструкцiї, функцiо- нальний многовид W u(γ (−) t0 ) при умовi його компактностi в слабкiй гладкiй топологiї Вiтнi [12,20] може бути вкладеним як точковий ком- пактний пiдмноговид в M2n, тим самим iнтерпретуючи носiї кривих, що розв’язують (1.9) та (1.10), iз supp γt0 ⊂ Ln t0 , як компактний окiл L(−) t0 (H) ⊂ U(Ln t0) шуканого вище компактного лагранжевого пiдмно- говиду Ln t0 ⊂M2n. Цiлком подiбна конструкцiя може бути проведена для випадку, коли умови (1.10) замiнено на lim z→+∞ γt0(s; z) = γ (+) t0 (s), lim z→−∞ γt0(s; z) = γt0(s), (2.10a) або на lim z→−∞ γt0(s; z) = γ (−) t0 (s), lim z→+∞ γt0(s; z) = γ (+) t0 (s), (2.10b) де γ(±) t0 : [0, τ ] →M2n є двi рiзнi строго неперетиннi гiперболiчнi кривi в M2n з носiями supp γ (±) t0 ⊂ Ln t0 i якi розв’язують систему рiвнянь (1.2). Використовуючи умови (2.10a) можна побудувати аналогiчно стiй- кий пiдмноговид W s(γ (+) t0 ) до гiперболiчної кривої γ(+) t0 ⊂ Ln t0 i далi вiдповiдний точковий окiл L(+) t0 (H) ⊂ U(Ln t0) компактного лагранже- вого пiдмноговиду Ln t0 ⊂ M2n, що є важливим для вивчення власти- востей трансвервального перетину стiйкого W s(γ (+) t0 ) та нестiйкого W u(γt0) многовидiв. Аналогiчно, використовуючи умови (2.10b) мо- жна побудувати околи L± t0 (H) ⊂ U(Ln t0) компактного лагранжевого пiдмноговиду Ln t0 ⊂ M2n, якi є важливими при вивченнi так званих адiабатичних збурень iнтегровних за Лiувiллем-Арнольдом гамiльто- нових систем на симплектичному многовидi M2n. Скористаємося тепер пiдходом робiт [9,12,20,26] до вивчення стру- ктури функцiональної множини ΩH . Для функцiї Гамiльтона H : M2n×S1 → R загального положення множина ΩH , виявляється, воло- дiє властивiстю компактностi в слабкiй топологiї Вiтнi та скiнченної розмiрностi. Це веде до можливостi побудови вiдповiдних компактних точкових многовидiв L(±) t0 (H) та Lt0(H) як околiв лагранжевого пiдм- ноговиду Ln t0 ⊂M2n. Щоб побачити нагляднiше цей перехiд до вiдпо- вiдного точкового компактного пiдмноговиду, розлянемо наступний Т. О. Банах, А. К. Прикарпатський 337 диференцiальний оператор першого порядку як лiнеаризацiю рiвня- ння (1.9) в напрямку векторного поля ξ ∈ T (ΩH): Ft0(u)ξ = ∇zξ + J(u)∇sξ +∇ξJ(u) ∂u ∂s +∇ξ∇H(u; t0 + s), (1.11) де u ∈ ΩH \|M2n задовольняє наступне рiвняння: ∂u/∂z + J(u)∂u/∂s+∇H(u; s+ t0) = 0 (1.12) i ∇z,∇s та ∇ξ позначають тут вiдповiднi коварiантнi похiднi по вiд- ношеннi до метрики (1.7) на M2n. Якщо u ∈ ΩH \|M2n є обмеженою i задовольняє рiвняння (1.12), крива γt0 в M2n має носiй supp γt0 ⊂ Ln t0 i кривi γ(±) мають носiї supp γ(±) t0 ⊂ Ln t0 , будучи гiперболiчними i неви- родженими [12,26], то лiнiйне вiдображення Ft0(u) : T (ΩH) → T (ΩH), визначене в (1.11), є фредгольмовим оператором [13] мiж вiдповiд- ними просторами Соболева. При цьому пара вiдображень (H, J), де J : M2n → EndT (M2n) задовольняє (1.7), називається регулярною [26], якщо кожний гiперболiчний розв’язок (1.2) невироджений i опе- ратор Ft0(u) є сюр’єкцiєю на T (ΩH) для всiх u ∈ ΩH \|M2n . В за- гальному випадку можна встановити, що простiр (H, J)reg ⊂ (H, J) регулярних пар (H,J) ∈ (H, J) є щiльним по вiдношеннi до C∞- топологiї. Таким чином, для регулярних пар з теореми про неявну функцiю [1, 13] слiдує, що для будь-якої кривої γ(−) t0 iз supp γt0 ⊂ Ln t0 простiр ΩH(γ (−) t0 ) дiйсно є скiнченновимiрним слабко компактним за Вiтнi функцiональним пiдмноговидом, локальна розмiрнiсть якого бi- ля точки u ∈ ΩH(γ (−) t0 ) збiгається з iндексом Фредгольма оператора Ft0(u). Iз скiнченностi вимiру та компактностi функцiонального про- стору ΩH(γ (−) t0 ) випливає компактнiсть вiдповiдної точкової множини L(−) t0 (H), яку можна розглядати як компактний iнварiантний окiл ла- гранжевого пiдмноговиду Ln t0 ⊂M2n. Щоб дати бiльш детальний опис компактного околу L(−) t0 (H), ско- ристаємося результатами Флоера та Громова [2, 9, 20]. Зокрема, з їхньою допомогою можна проаналiзувати структуру простору обме- жених розв’язкiв проблеми (1.9)–(1.10). Легко встановлюється, що для будь-яких двох кривих γ(−), γ : [0, τ ] → Ln t0 × S1, що задовольня- ють рiвняння (1.2), наступний додатний функцiонал Φ (τ) t0 (u) := 1 τ τ∫ 0 ds ∫ R dz(\|∂u/∂z\|2 + \|∂u/∂s−KH(u; s+ t0)\|2) (1.13) 338 Ергодичнi деформацiї нелiнiйних... при умовi його обмеженостi задовольняє характеристичну рiвнiсть Φ (τ) t0 (u) = A(τ) t0 (γ(−))−A(τ) t0 (γ) (1.14) для всiх t0 ∈ S1 i τ ∈ R. Тим самими, якщо права частина рiв- ностi (1.14) не зануляється, функцiональний простiр ΩH(γ(−)) буде a priori нетривiальним. Подiбним чином, для обмеженого розв’язку u ∈ ΩH \|M2n рiвняння (1.12) отримується, що Φ (τ) t0 (u) = A(τ) t0 (γ)−A(τ) t0 (γ(+)), (2.14a) де вiдповiдна крива γ (+) t0 : [0, τ ] → M2n задовольняє систему (1.2) i є гiперболiчною, причому носiй supp γt0 ⊂ Ln t0 , i накiнець, для u ∈ Lt0(H) Φ (τ) t0 (u) = A(τ) t0 (γ(−))−A(τ) t0 (γ(+)), (2.14b) де кривi γ(±) : [0, τ ] →M2n×S1 є строго вiдмiннi, гiперболiчнi з носi- ями supp γ (±) t0 ⊂ Ln t0 . Випадок, коли γ(−) t0 = γ (+) t0 , очевидно, приводить тiльки до точок u ∈ Ln t0 . Таким чином, нами сконструйованi вiдповiд- нi iнварiантнi компактнi околи L(±) t0 (H) та Lt0(H) компактного пiдм- ноговиду Ln t0 ⊂ M2n, якi складаються з точок обмежених розв’язкiв рiвнянь (1.9),(1.10) та (2.10a) i (2.10b). Грунтуючись на цих даних та аналiтичних виразах (1.14) та (2.14a) i (2.14b), можна сформулювати наступне твердження. Твердження 1.1. Всi околи L(±) t0 (H) та Lt0(H) побудованi за схе- мою, запропонованою вище, є компактними i iнварiантними по вiд- ношенню до гамiльтонового потоку дифеоморфiзмiв ψs ∈ Diff(M2n× S1), s ∈ R. Розглянемо тепер випадок компактного iнварiантного околу Lt0(H) ⊂M2n. Попереднiй опис простору кривих ΩH дає можливiсть, використовуючи пiдхiд Дж. Мазера [6,18], вивчити iншi важливi вла- стивiостi компактного околу Lt0(H), зокрема, структуру простору ймовiрнiсних борелiвських мiр Mt0(H) := M(T (Lt0(H))×S1) iз ком- пактним носiєм, iнварiантних по вiдношенню до нашого гамiльтоно- вого потоку дифеоморфiзмiв ψs ∈ Diff(M2n×S1), s ∈ R, розширеного природним чином на простiр T (Lt0(H))×S1. Цей гамiльтонiв ψ-потiк завдяки твердженню 1.1 може бути редукованим iнварiантним чином на компактний iнварiантний пiдмноговид Lt0(H) × S1 ⊂ M2n × S1. З метою бiльш детального вивчення цього редукованого ψ-потоку на пiдмноговидi Lt0(H) × S1, припустимо надалi, що наш розшире- ний гамiльтоновий ψ∗-потiк на T (Lt0(H)) × S1 є ергодичним, тобто Т. О. Банах, А. К. Прикарпатський 339 границя lim τ→∞ A(τ) t0 (γ) не залежить вiд початкових точок (u0, u̇; t0) ∈ T (Lt0(H))× S1. Пригадаймо тепер результат [10, 13–15] з функцiонального аналi- зу, який стверджує, що множина ймовiрнiсних мiр на компактному метричному просторi X є пiдмножиною дуального простору C∗(X) до простору Банаха C(X) неперервних функцiй на X. Ця множина є, очевидно, опуклою i, як вiдомо [19], є метризованим компактом по вiдношенню до слабкої топологiї на C∗(X), яку часто ще називають називають слабкою (∗)-топологiєю. Обмеження цiєї топологiї до мно- жини борелiвських мiр часто ще називають нечiткою топологiєю на них. Так як простiр Pt0 := T (Lt0(H))× S є метризованим i може бути компактифiкованим, множина борелiвських ймовiрнiсних мiр на Pt0 є також метризованим опуклим компактом у дуальному просторi до банахового простору неперервних функцiй на Pt0 . Вiдповiдна множи- на Mt0(H) буде тодi також компактною опуклою пiдмножиною цього компакту борелiвських ймовiрнiсних мiр на Pt0 . Добре вiдомий класичний результет Крилова i Боголюбова [16,21] твердить, що будь-який ψ-потiк на компактному метричному про- сторi X має iнварiантну ймовiрнiсну мiру. Цей результат може бу- ти адаптованим до нашого метричного компактифiкованого простору Pt0 := T (Lt0(H))× S наступним чином. Вiзьмемо траєкторiю γ ∈ ΩH розширеного ψ∗-потоку на Pt0 iз носiєм supp γ ⊂ Lt0(H)×S, визначе- ним на iнтервалi [0, τ ] ⊂ R, i покладемо, щоб мiра µτ на T (Lt0(H))×S була рiвномiрно розподiлена вздовж орбiти γ ∈ ΩH . Позначимо через µ точку згущення множини {µτ : τ ∈ R+} коли τ → ∞ по вiдношенню до ранiше визначеної нечiткої топологiї. Ми тепер бачимо, що скон- струйована мiра, тобто мiра µ ∈ µt0(H) є нормованою i iнварiантною по вiдношенню до розширеного гамiльтонового ψ∗-потоку на Pt0 . Отже, у випадку ергодичностi ψ∗-потоку на Pt0 згадана вище гра- ниця lim τ→∞ A(τ) t0 (γ) = ∫ Pt0 (α(1) −H)dµ, (1.15) де 1-форма α(1) ∈ Λ1(M2n) розглядається як функцiя α(1) : Pt0 → R, так як пiдмноговид Lt0(H) за побудовою є компактним i iнварiантно вкладеним в M2n завдяки результату твердження 1.1. Таким чином 340 Ергодичнi деформацiї нелiнiйних... є натуральним вивчати властивостi функцiоналу At0(µ) := ∫ Pt0 (α(1) −H)dµ (1.16) на просторi мiр Mt0(H), де ми для простоти опустили природнє вiд- ображення обмеження 1-форми α(1) ∈ Λ1(M2n) на iнварiантний пiд- многовид Lt0(H) ⊂ M2n. Будучи зацiкавленими саме ергодичними властивостями ψ∗-орбiт на T (Lt0(H))×S, можна дослiдити вiдповiднi ергодичнi компоненти мiри µ ∈ Mt0(H), якi мiнiмiзують функцiонал (1.16), i якi є важливими для вивчення властивостей регулярностi ψ∗- потоку на T (Lt0(H))×S. Цi результати можуть бути дальше поширенi на адiабатично збуренi гамiльтоновi системи, якi залежать вiд малого додатного параметра ε ↓ 0, зауваживши, що неперервна гамiльтонова функцiя H(t) := H̃(εt), t ∈ R, де H̃(τ +2π) = H̃(τ) для всiх τ ∈ R, за- довольняє необхiднi властивостi розглядуваних систем на M2n. При цьому можна також дослiдити iснування так званих адiабатичних iн- варiантiв iз компактними носiями в Lt0 ⊂M2n, що мають рiзнi засто- сування в математичнiй фiзицi та механiцi. Деякi з отриманих вище результатiв можуть бути застосованi до дослiдження важливої про- блеми трансверсального перетину вiдповiдних стiйких та нестiйких многовидiв до гiперболiчних кривих i сингулярних точок, що характе- ризують згiдно з iдеями А. Пуанкаре iснування в нашiй гамiльтоновiй системi сильно iррегулярних рухiв. Оскiльки побудованi iнварiантнi многовиди мають структуру метричних просторiв, локально гомео- морфних мiж собою, є важливим дослiдити проблему знаходження ефективних критерiїв їх глобальної гомеоморфностi, сформульовану проф. А.М. Самойленком при дослiдженнi ергодичних деформацiй нелiнiйних гамiльтоновних систем та їхнiх адiабатичних iнварiантiв. 2. Локальнi гомеоморфiзми метричних просторiв У цьому роздiлi ми описуєимо в топологiчних термiнах умови, за яких локальний гомеоморфiзм мiж топологiчними просторами є гомеоморфiзмом. Означення 2.1. Вiдображення f : X → Y мiж двома топологiчними просторами називається • локальним гомеоморфiзмом, якщо кожна точка x ∈ X має та- кий окiл Ox ⊂ X, що звуження f�Ox : Ox → f(Ox) є гомеомор- фiзмом Ox на вiдкриту множину f(Ox) ⊂ Y ; Т. О. Банах, А. К. Прикарпатський 341 • накриваючим вiдображенням, якщо кожна точка y ∈ Y має окiл Oy ⊂ Y , прообраз f−1(Oy) якого допускає покриття U попарно неперетинними вiдкритими множинами такими, що f�U : U → Uy є гомеоморфiзмом для кожного U ∈ U ; • прокомпактним, якщо для кожного y ∈ Y прообраз f−1(y) є непорожною компактною пiдмножиною в X. Зауважимо, що кожне прокомпактне вiдображення сюр’єктивне, а кожне накриваюче вiдображення є сюр’єктивним локальним гомео- морфiзмом. Лема 2.1. Прокомпактне вiдображення f : X → Y з гаусдорфового простору X у топологiчний простiр Y є локальним гомеоморфiзмом тодi i лише тодi, коли f є накриваючим вiдображенням. Доведення. Припустимо, що вiдображення f є прокомпактним ло- кальним гомеоморфiзмом. З прокомпактностi f випливає, що про- образ f−1(y) кожної точки y ∈ Y є непорожнiм компактом в X. Оскiльки f є локальним гомеоморфiзмом, кожна точка x ∈ f−1(y) має такий окiл Ox ⊂ X, що f�Ox є гомеоморфiзмом на вiдкритий окiл f(Ox) точки f(x) = y в Y . Тобто Ox ∩ f−1(y) = {x}, котре озна- чає, що точка x є iзольованою в f−1(y). Тому компактний простiр f−1(y) є дискретним, а отже скiнченним. А так як простiр X є га- усдорфовим, для кожної точки x ∈ f−1(y) можна знайти вiдкритий окiл Vx ⊂ Ox такий, що сiм’я (Vx)x∈f−1(y) є неперетинною. Розглянемо накiнець вiдкритий окiл U := ∩ x∈f−1(y) f(Vx) точки y в Y i зауважимо, що f−1(U) є неперетинним об’єднанням ∪ x∈f−1(y) Ux вiдкритих множин Ux := (f�Vx)−1(U), для кожної з яких звуження f�Ux : Ux → U є гомеоморфiзмом. Це означає, що f є накриваючим вiдображенням. Нагадаємо, що топологiчний простiрX називається однозв’язним, якщо вiн лiнiйно зв’язний i має тривiальну фундаментальну групу π1(X) = 0. Зрозумiло, що кожний стягуваний простiр є однозв’язним. Сфери вимiру n ≥ 2 є однозв’язними, проте не стягуваними. Iз твердження 1.32 [11] випливає наступний критерiй гомеомор- фностi однозв’язних просторiв. Теорема 2.1. Кожне накриваюче вiдображення f : X → Y з лiнiйно зв’язного простору X в однозв’язний простiр Y є гомеоморфiзмом. 342 Ергодичнi деформацiї нелiнiйних... Iз теореми 2.1 та леми 2.1 випливає наступна характеризацiя, що дає вiдповiдь на проблему А. М. Самойленка. Теорема 2.2. Вiдображення f : X → Y з лiнiйно зв’язного гаусдор- фового простору X в однозв’язний простiр Y є гомеоморфiзмом тодi i лише тодi, коли f є прокомпактним локальним гомеоморфiзмом. Оскiльки кожен стягуваний простiр є однозв’язним, iз теореми 2.2 випливає Наслiдок 2.1. Вiдображення f : X → Y з лiнiйно звязного гаусдор- фового простору X у cтягуваний простiр Y є гомеоморфiзмом тодi i лише тодi, коли f є прокомпактним локальним гомеоморфiзмом. Автори щиро вдячнi колегам з Iнституту математики НАН Укра- їни та мехмату Київського нацонального унiверситету iменi Тараса Шевченка за кориснi обговорення отриманих результатiв. Авторам особливо вдячнi акад. А. М. Самойленку за обговорення метричних проблем ергодичних деформацiй нелiнйних неавтономних гамiльто- нових систем, а також професору А. М. Плiчку за ряд корисних порад та консультацiй з функцiонального аналiзу. Лiтература [1] R. Abraham, J. Marsden, Foundations of Mechanics. Commings, USA, 1978, 806p. [2] B. Aebischer, M. Borer et al., Symplectic geometry: Introductory course, Bi- rkhauses Verlag, Basel, 1992, 79–165. [3] V. I. Arnol’d, A note on weierstrass’ auxiliary theorem, Functional Analysis and Its Applications, 1 (1967), No. 3, 173–179. [4] В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, М., Наука, 1989. [5] I. Banakh, T. Banakh, A. Plichko, A. Prykarpatsky, On local convexity of nonli- near mappings between Banach spaces //, Cent. Eur. J. Math., 10 (2012), No. 6, 2264–2271. [6] R. E. Edwards, Functional analysis, Holt, Rinehart and Winston Publ., New York, 1965. [7] Y. Eliashberg, A. Givental, H. Hofer, Introduction to Symplectic Field Theory, In: Alon N., Bourgain J., Connes A., Gromov M., Milman V. (eds) Visions in Mathematics. Modern Birkhauser Classics. Birkhauser Basel, 2000, p. 560–673. [8] M. Эрве, Функции многих переменных, М., Мир, 1985. Т. О. Банах, А. К. Прикарпатський 343 [9] A. Floer, Morse theory for Lagrangian intersections // J. Diff. Geom., 28 (1988), 513–547. [10] P. R. Halmosh, Lectures on the ergodic theory // Math. Soc. of Japan Publ., Tokyo, 1956. [11] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambdidge Univ. Press, 2002. [12] H. Hofer, Lusternik-Schnirelman theory for Lagrangian intersections // Ann. Inst. Henri Poincare, 5 (1988), 456–499. [13] Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, М., Наука, 1977. [14] А. Б. Каток, Б. Хассельблат, Введение в современную теорию динамических систем, М., Факториал, 1999. [15] И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С.В. Фомин, Эргодическая теория, М., Наука, 1980. [16] N. M. Kryloff, N. N. Bogoliubov, La theorie generale de la mesure et son applicati- on á l’etude des systemes dynamiques de la mechanique nonlineaire // Ann.Math., II, 38 (1937), 65–113. [17] R. Mane, On the minimizing measures of Lagrangian dynamical systems // Nonli- nearity, 5 (1992), 623–638. [18] J. N. Mather, Action minimizing measures for positive definite Lagrangian systems // Math. Zeitschr., 207 (1991), 169–207. [19] J. Mather, Variational construction of connecting orbits // Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 43 (1993), No. 5, 1349–1386. [20] D. McDuff, Elliptic methods in symplectic geometry // Bull. AMS, 23 (1990), 311–358. [21] В. В. Немыцкий, В. В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, М., Гостехиздат, 1949. [22] R. S. Palais, Natural operations on differential forms // Trans. Amer. Math. Soc., 92 (1959), 125–141. [23] A. K. Prykarpatsky, Symplectic field theory approach to studing ergodic measures related with nonautonomous Hamiltonian systems // Univ. Iagellonicae Acta Math., (2004), 123–138. [24] Ya. A. Prykarpats’kyi, Symplectic approach to constructing ergodic measures // Ukrainian Mathematical Journal, 58 (2006), No. 5, 763–778. [25] Ya. A. Prykarpats’kyi, Mel’nikov-Samoilenko adiabatic stability problem // Ukrai- nian Mathematical Journal, 58 (2006), No. 6, 887–903. [26] D. Salamon, E. Zehnder, Morse theory for periodic solutions of Hamiltonian systems and the Maslov index // Comm. Pure Appl. Math., 45 (1992), 1303– 1360. 344 Ергодичнi деформацiї нелiнiйних... [27] A. M. Samoilenko, Elements of the Mathematical Theory of Multi-Frequency Osci- llations, Mathematics and its Applications, Kluwer Publisher, 1991. Вiдомостi про авторiв Тарас Онуфрiйович Банах Механiко-математичний Факультет Львiвського нацiонального унiверситету iменi Iвана Франка, Львiв, Україна E-Mail: t.o.banakh@gmail.com Анатолiй Карольович Прикарпатський Iнститут математики Кракiвської полiтехнiки, Кракiв, Польща, Iнститут фiзики, математики, економiки та iнновацiйних технологiй Дрогобицького державного педагогiчного унiверситету iменi Iвана Франка, Дрогобич, Україна E-Mail: pryk.anat@cybergal.com
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169408
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1810-3200
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T17:23:36Z
publishDate	2018
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Банах, Т.О. Прикарпатський, А.К. 2020-06-12T17:38:16Z 2020-06-12T17:38:16Z 2018 Ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів / Т.О. Банах, А.К. Прикарпатський // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 332-344. — Бібліогр.: 27 назв. — укр. 1810-3200 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169408 Дослiджуються орбiти повiльно збурених гамiльтонових систем та асоцiйованi з ними ергодичнi деформацiї лагранжевих многовидiв. Основнi результати базуються на пiдходi Дж. Мазера [18, 19] до побудови гомологiй iнварiантних ймовiрнiсних мiр, що мiнiмiзують деякi лагранжевi функцiонали, а також на елiптичнiй теорiї Громова–Саламона–Зендера–Флоєра [7, 9, 12, 20, 26] побудови iнварiантних многовидiв. В працi конструюються iнварiантнi пiдмноговиди, котрi є носiями iнварiантних ергодичних мiр та мають структуру локально гомеоморфних метричних просторiв. Аналiзується проблема конструювання ефективних критерiїв їх глобальної гомеоморфностi, сформульованої проф. А. М. Самойленком при дослiдженнi ергодичних деформацiй нелiнiйних гамiльтонових систем та їх адiабатичних iнварiантiв. Встановлено, що вiдображення f : X → Y з лiнiйно зв’язного гаусдорфового простору X в однозв’язний (зокрема, стягуваний) простiр Y є гомеоморфiзмом тодi i лише тодi, коли f локальним гомеоморфним i прообраз f⁻¹(y) кожної точки y ∈ Y є непорожньою компактною пiдмножиною в X. The orbits of slowly perturbed Hamilton systems and the associated ergodic deformations of Lagrange manifolds are studied. The main results are based on the Mather approach [18, 19] to the construction of the homologies of invariant probabilistic measures, which minimize some Lagrange functionals, and on the elliptic Gromov–Salamon–Zehnder–Floer theory [7,9,12,20,26] of the construction of invariant manifolds. We have constructed the invariant submanifolds, which are the supports of invariant ergodic measures and have a structure of locally homeomorphic metric spaces. We analyze the problem of construction of efficient criteria of their global homeomorphism, which was posed by Professor A. M. Samoilenko during the study of ergodic deformations of nonlinear Hamilton systems and their adiabatic invariants. It is established that the mapping f : X → Y from a linearly connected Hausdorff space X onto a simply connected (in particular, contractible) space Y is a homeomorphism iff f is local and homeomorphic, and the preimage f⁻¹(y) of every point y ∈ Y is a nonempty compact subset in X. Автори щиро вдячнi колегам з Iнституту математики НАН України та мехмату Київського нацонального унiверситету iменi Тараса Шевченка за кориснi обговорення отриманих результатiв. Авторам особливо вдячнi акад. А. М. Самойленку за обговорення метричних проблем ергодичних деформацiй нелiнйних неавтономних гамiльтонових систем, а також професору А. М. Плiчку за ряд корисних порад та консультацiй з функцiонального аналiзу. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів Ergodic deformations of nonlinear Hamilton systems and local homeomorphism of metric spaces Article published earlier
spellingShingle	Ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів Банах, Т.О. Прикарпатський, А.К.
title	Ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів
title_alt	Ergodic deformations of nonlinear Hamilton systems and local homeomorphism of metric spaces
title_full	Ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів
title_fullStr	Ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів
title_full_unstemmed	Ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів
title_short	Ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів
title_sort	ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169408
work_keys_str_mv	AT banahto ergodičnídeformacíínelíníinihgamílʹtonovihsistemtalokalʹnagomeomorfnístʹmetričnihprostorív AT prikarpatsʹkiiak ergodičnídeformacíínelíníinihgamílʹtonovihsistemtalokalʹnagomeomorfnístʹmetričnihprostorív AT banahto ergodicdeformationsofnonlinearhamiltonsystemsandlocalhomeomorphismofmetricspaces AT prikarpatsʹkiiak ergodicdeformationsofnonlinearhamiltonsystemsandlocalhomeomorphismofmetricspaces

Ергодичні деформації нелінійних гамільтонових систем та локальна гомеоморфність метричних просторів

Репозитарії

Схожі ресурси