Характер особливостей розв'язку узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи
For some subspaces of the weight L1-space, the existence of a solution of the normal boundary-value problem for a quasilinear parabolic system with generalized functions from the space (C∞)´ given on the boundary of a domain is proved. The character of singularities of the solution (point-like and o...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1697 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Характер особливостей розв'язку узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи /Г.П. Лопушанська, О.Ю. Чмир// Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 12–17. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860246169691619328 |
|---|---|
| author | Лопушанська, Г.П. Чмир, О.Ю. |
| author_facet | Лопушанська, Г.П. Чмир, О.Ю. |
| citation_txt | Характер особливостей розв'язку узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи /Г.П. Лопушанська, О.Ю. Чмир// Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 12–17. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | For some subspaces of the weight L1-space, the existence of a solution of the normal boundary-value problem for a quasilinear parabolic system with generalized functions from the space (C∞)´ given on the boundary of a domain is proved. The character of singularities of the solution (point-like and on the whole boundary of the domain) is determined.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:37:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
© 2007
Г.П. Лопушанська, О. Ю. Чмир
Характер особливостей розв’язку узагальненої крайової
задачi для квазiлiнiйної параболiчної системи
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
For some subspaces of the weight L1-space, the existence of a solution of the normal boundary-
value problem for a quasilinear parabolic system with generalized functions from the space (C∞)′
given on the boundary of a domain is proved. The character of singularities of the solution
(point-like and on the whole boundary of the domain) is determined.
Крайовi задачi для напiвлiнiйних параболiчних рiвнянь є предметом посиленої уваги вчених
в останнi роки, оскiльки їх приклади описують рiзнi фiзичнi, бiологiчнi та хiмiчнi проце-
си. У працях Л. Бокардо (L. Boccardo), Т. Галеот (T. Gallouеt), А. Поретта (A. Porretta),
Дж.М. Ракотосон (J.M. Rakotoson) розпочато вивчення крайових задач з початковими
даними — мiрами. Тому новими й актуальними є дослiдження таких нелiнiйних доданкiв
у рiвняннi, за яких розв’язки крайової задачi набувають крайових значень iз просторiв
узагальнених функцiй.
У роботi [1] дослiджено нормальну крайову задачу для квазiлiнiйної параболiчної сис-
теми при заданих на межi областi узагальнених функцiях iз (C∞)′. У даному повiдомленнi
встановлюємо характер особливостей розв’язку (точкових та на всiй межi областi). Вико-
ристовуємо методику робiт [2–4].
Об’єкт дослiджень. Введемо позначення, якi будуть необхiдними для формулювання
задачi:
n ∈ N, Ω — обмежена область в R
n з межею S = ∂Ω класу C∞, 0 < T < +∞, Q = Ω ×
×(0, T ], Σ = S×(0, T ]; p, b ∈ N, m
def
= bp; α = (α1, . . . , αn), αi ∈ Z+, i = 1, n, |α| = α1+· · ·+αn,
Dα ≡ Dα
x = (∂|α|)/(∂xα1
1 · · · · · ∂xαn
n ); A(x, t,Dx) =
∑
|α|62b
aα(x, t)Dα, aα(x, t) — квадратнi по-
рядку p матрицi з нескiнченно диференцiйовними на Q елементами; Ip — одинична матриця
порядку p; L(x, t,Dx, ∂/∂t) ≡ (Ip∂/∂t − A(x, t,Dx)) — параболiчний диференцiальний опе-
ратор; bjα (j = 1,m, |α| 6 rj) — матрицi-рядки довжини p з нескiнченно диференцiйовними
на Σ елементами, де 0 6 rm 6 · · · 6 r1 6 2b−1, j = 1,m. Припускаємо, що система крайових
диференцiальних виразiв Bj(x, t,Dx) =
∑
|α|6rj
bjα(x, t)Dα, j = 1,m, є нормальною на Σ ([5,
c. 178]) i задовольняє умову Лопатинського ([5, c. 15]).
Надалi вважатимемо, що довiльна вектор-функцiя F належить до функцiонального про-
стору [X]p, якщо кожна її компонента Fi, i = 1, p, належить до X.
Згiдно з [5, c. 178; 6] iснують крайовi диференцiальнi вирази B̂j, Cj , Ĉj типу Bj, j = 1,m,
порядкiв вiдповiдно r̂j , mj , m̂j, такi що rj +m̂j = mj + r̂j = 2b−1 i правильна формула Грiна
∫
Q
[v⊤(Lu) − (L∗v)⊤u] dx dt =
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
=
m∑
j=1
∫
Σ
[(B̂jv)(Cju) − (Ĉjv)(Bju)] dS dt+
∫
Ω
v⊤(x, t)u(x, t)|t=T
t=0 dx
для довiльних u, v ∈ [C∞(Q)]p, де L∗ = −(Ip∂/∂t + A∗), A∗ — формально спряжений
диференцiальний оператор до диференцiального оператора A, символ “⊤” означає транс-
понування.
Використовуватимемо такi функцiональнi простори:
D(Q) = C∞(Q), D(Σ) = C∞(Σ), D(Ω) = C∞(Ω);
D0(Q) =
{
ϕ ∈ D(Q) :
∂k
∂tk
ϕ
∣∣∣∣
t=T
= 0, k = 0, 1, . . .
}
,
D0(Σ) =
{
ϕ ∈ D(Σ):
∂k
∂tk
ϕ
∣∣∣∣
t=T
= 0, k = 0, 1, . . .
}
,
D0(Ω) = {ϕ ∈ D(Ω): B̂jϕ|S = 0, j = 1,m}.
Позначатимемо через (D0(Σ))′, (D0(Ω))′ простори лiнiйних неперервних функцiоналiв
вiдповiдно на просторах функцiй D0(Σ), D0(Ω), через (ϕ,F )1 — значення узагальненої ве-
ктор-функцiї F ∈ [(D0(Σ))′]p на основнiй вектор-функцiї ϕ ∈ [D0(Σ)]p, через (ϕ,F )2 — зна-
чення F ∈ [(D0(Ω))′]p на ϕ ∈ [D0(Ω)]p, а пiд s(F ) розумiтимемо максимальний iз порядкiв
сингулярностей компонент узагальненої вектор-функцiї F (7, c. 123]).
Нехай l ∈ N, l 6 2b−1, а M(l) — кiлькiсть мультиiндексiв α таких, що |α| 6 l. Позначимо
через ∂lu = (u, ux1
, . . . ,Dαu, . . .), |α| 6 l, матрицю розмiрностi p × M(l), стовпцями якої
є вектор-функцiя u та її похiднi за просторовими змiнними до порядку l. Пiд Mp×M(l)
розумiтимемо простiр матриць розмiрностi p ×M(l).
Розглянемо нормальну крайову задачу для квазiлiнiйної параболiчної системи
L
(
x, t,Dx,
∂
∂t
)
u(x, t) = F0(x, t, ∂lu(x, t)), (x, t) ∈ Q, (1)
Bj(x, t,Dx)u(x, t) |Σ= Fj(x, t), j = 1,m, (x, t) ∈ Σ, (2)
u|t=0 = Fm+1(x), x ∈ Ω, (3)
де u — шукана вектор-функцiя (матриця-стовпець висоти p), F0, Fm+1 (матрицi-стовпцi
висоти p), Fj (j = 1,m) — заданi функцiї. Вiдповiднi лiнiйнi параболiчнi крайовi задачi
вивчалися у працях [3, c. 140; 5, c. 12; 6; 8].
Надалi скрiзь у роботi припускатимемо, що:
1) F0(x, t, z)(z = (z(0,...,0), z(1,0,...,0), . . . , zα, . . .)) — визначена в Q×Mp×M(l) вектор-функцiя
зi значеннями в R
p;
2) Fj ∈ (D0(Σ))′, 0 6 s(Fj) 6 qj, 1 6 j 6 m;
3) Fm+1 ∈ [(D0(Ω))′]p, 0 6 s(Fm+1) 6 qm+1.
Нехай
̺1(x) (x ∈ Ω) — нескiнченно диференцiйовна невiд’ємна функцiя, яка додатна в Ω, має
порядок вiдстанi d(x) вiд точки x до S бiля S та ̺1(x) 6 1, x ∈ Ω;
̺2(t) (t ∈ (0, T ]) — нескiнченно диференцiйовна невiд’ємна функцiя, яка має порядок t
при t → 0 i, крiм того, 0 < ̺2(t) 6 1, t ∈ (0, T ];
̺(x, t) = min {̺1(x); [̺2(t)]
1/2b}, (x, t) ∈ Q.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 13
Введемо функцiональнi простори:
[Xk(Q)]p = {ψ ∈ [D0(Q)]p : ψ(·, 0) ∈ [D0(Ω)]p, B̂jψ
∣∣
Σ
= 0, j = 1,m, L∗ψ(x, t) = O(̺k(x, t)),
̺(x, t) → 0} (у [3, c. 136–137] доведено, що [Xk(Q)]p непорожнiй при k > 0);
Mp
k,l(Q) = {v ∈ [W l
1,loc(Q)]p : ‖v‖k,l =
∑
|γ|6l
∫
Q
̺k+|γ|(x, t)|Dγv(x, t)|p dx dt < +∞}, k ∈ R,
де |v|p =
p∑
j=1
|vj |.
Припустимо, що
k > k0
def
= max
16j6m+1
{qj + 2b− rj − (j)} + n− 1,
де
(j) =
{
0, j = m+ 1,
1, 1 6 j 6 m,
rm+1 = 2b.
Означення 1. Розв’язком задачi (1)–(3) називається вектор-функцiя u ∈ Mp
k,l(Q)
така, що
∫
Q
(L∗ψ)⊤ · u dx dt =
∫
Q
ψ⊤(x, t)F0(x, t, ∂lu(x, t)) dx dt +
m∑
j=1
(Ĉjψ,Fj(x, t))1 +
+ (ψ(·, 0), Fm+1(·))2 для довiльної ψ ∈ [Xk(Q)]p.
У [5, c. 16, 120; 2; 8; 9] дослiджено матрицю Грiна G = (G0, G1, . . . , Gm) задачi (1)–(3),
де G0(x, t; y, τ) — квадратна матриця порядку p, визначена в точках (x, t; y, τ) ∈ Q × Q
при (x, t) 6= (y, τ), вектор-функцiї Gj(x, t; y, τ), j = 1,m, довжини p визначенi в точках
(x, t; y, τ) ∈ Q× Σ при (x, t) 6= (y, τ) та Gj(x, t; y, τ) = [Ĉj(y, τ,Dy)G0(x, t; y, τ)]
⊤, j = 1,m.
Введемо позначення:
gj(x, t) = (Gj(x, t; ∗, ·), Fj (∗, ·))1, j = 1,m, gm+1(x, t) = (G0(x, t; ∗, 0), Fm+1(∗))2,
h(x, t) =
m+1∑
j=1
gj(x, t), (Hv)(x, t) =
t∫
0
dτ
∫
Ω
G0(x, t; y, τ)F0(y, τ, ∂lv(y, τ)) dy.
У просторi Mp
k,l(Q) розглянемо систему iнтегро-диференцiальних рiвнянь
v = Hv + h. (4)
Нехай h ∈ Mp
k,l(Q). Розв’язком системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь (4) у просто-
рi Mp
k,l(Q) називається вектор-функцiя u ∈ Mp
k,l(Q), яка задовольняє (4) майже скрiзь у Q.
Як у роботах [10; 3, c. 28] для елiптичного випадку, з використанням спецiальних власти-
востей матрицi Грiна [2; 3, c. 168] та теореми Фубiнi [11, c. 24], доводиться, що вектор-фун-
кцiя u є розв’язком задачi (1)–(3) тодi i лише тодi, коли вона є розв’язком системи iнте-
гро-диференцiальних рiвнянь (4) у просторi Mp
k,l(Q).
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
Поведiнка розв’язку задачi бiля межi областi. Знайдемо характер поведiнки роз-
в’язку задачi (1)–(3) бiля межi областi залежно вiд порядкiв сингулярностей узагальнених
функцiй Fj , j = 1,m+ 1, з правою частиною F0, що задовольняє умови
|F0(x, t, z)|p 6
l∑
s=0
As
∑
|γ|=s
|zγ |
ηs
p +A, (x, t) ∈ Q, z ∈ Mp×M(l),
|F0(x, t, z
1) − F0(x, t, z
2)|p 6 B
l∑
s=0
∑
|γ|=s
|z1
γ − z2
γ |
ηs
p , (x, t) ∈ Q, z1, z2 ∈ Mp×M(l), (5)
ηs ∈ (0, 1), s = 0, l, As, A,B — сталi , As > 0, s = 0, l, A > 0, B > 0.
У роботi [1] при F0 вигляду (5) з ηs ∈ (0, 1/(s + n)), s = 0, l, max
16j6m+1
{qj + 2b− rj − (j)}−
−1+n < k < min
s : As 6=0
06s6l
{−s−1+1/ηs} отримано iснування розв’язку u ∈ Mp
k,l(Q) задачi (1)–(3).
При µ ∈ R−
⋃
{0} введемо функцiональний простiр
Mp
µ,l(Q, ∂Q) =
{
v ∈ [C l(Q)]p : [̺(y, τ)]−(µ−|ς|) ·Dςv(y, τ) ∈ [C(Q)]p, |ς| 6 l
(
‖v; ∂Q‖µ =
∑
|ς|6l
sup
(y,τ)∈Q
[̺(y, τ)]−(µ−|ς|) · |Dςv(y, τ)|p < +∞
)}
та Mp
µ,l,C(Q, ∂Q) = {v ∈ Mp
µ,l(Q, ∂Q) : ‖v; ∂Q‖µ 6 C} — замкнену кулю радiуса C у про-
сторi Mp
µ,l(Q, ∂Q).
Лема 1. Якщо вектор-функцiя F0 задовольняє умови (5) при ηs ∈ (0, 1/(s + n)), s = 0, l,
max
s : As 6=0
06s6l
{s − 1/ηs} < µ 6 min
s : As 6=0
06s6l
{(1 − n− sηs)/(1 − ηs)}, то iснує стала C0 > 0 така, що при
всiх C > C0 оператор H вiдображає Mp
µ,l,C(Q, ∂Q) в себе.
Лема 2. Нехай Fj ∈ (D0(Σ))′, Fm+1 ∈ [(D0(Ω))′]p, 0 6 s(Fj) 6 qj, j = 1,m+ 1, та
µ 6 −k0 − 1. Тодi h ∈ Mp
µ,l(Q, ∂Q), а саме iснує додатна стала C1 така, що ‖h; ∂Q‖µ 6
6 C1 < +∞.
Теорема 1. Нехай вектор-функцiя F0 задовольняє умови (5) при ηs ∈ (0,min {1/(s + 2b);
1/(s + n)}), s = 0, l, max
16j6m+1
{qj − rj − (j)} < min
s : As 6=0
06s6l
{1/ηs − s}−n−2b, max
s : As 6=0
06s6l
{s−1/ηs} < µ 6
6 min {−k0 − 1; min
s : As 6=0
06s6l
{−2bsηs/(1 − 2bηs)}}. Тодi iснує розв’язок u∈ Mp
µ,l(Q, ∂Q) задачi (1)–
(3), який при −µ − 1 < k < min
s : As 6=0
06s6l
{−s − 1 + 1/ηs} належить до Mp
k,l(Q).
Використовуючи принцип Шаудера та леми 1, 2, доводимо iснування розв’язку систе-
ми (4) у просторi Mp
µ,l(Q, ∂Q) ⊂ Mp
k,l(Q), який є також розв’язком задачi (1)–(3) у прос-
торi Mp
µ,l(Q, ∂Q).
Крайова задача на просторi функцiй з точковими особливостями. У випадку,
коли заданi на межi областi узагальненi функцiї мають точковi носiї, результати [1] та
наведенi вище покращуються. Наведемо приклад.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 15
Нехай P̂ = (x̂, t̂ ) ∈ Σ, P = (x, t) ∈ Q, ̺0(P, P̂ ) = ̺0(x, t, x̂, t̂ ) — нескiнченно диферен-
цiйовна невiд’ємна функцiя, яка додатна в Q та має порядок вiдстанi |PP̂ | = (||x − x̂||2 +
+ |t − t̂ |)1/2 при P → P̂ ,
Mk(Q, P̂ ) =
{
v : ‖v; P̂‖k =
∫
Q
̺k
0(x, t, x̂, t̂ )|v(x, t)| dx dt < +∞
}
,
Xk(Q, P̂ ) = {ψ ∈ D0(Q) : ψ(·, 0) ∈ D0(Ω), ψ|Σ = 0, L∗ψ(P ) = O(̺k
0(P, P̂ )), |PP̂ | → 0};
Mk,C(Q, P̂ )
def
= {v ∈ Mk(Q, P̂ ) : ‖v; P̂‖k 6 C}.
Розглянемо першу узагальнену крайову задачу
∂u(x, t)
∂t
−△u(x, t) = f0(x, t, u(x, t)), (x, t) ∈ Q,
u|Σ = F1(x, t), (x, t) ∈ Σ, u|t=0 = F2(x), x ∈ Ω,
(6)
де:
1) f0(x, t, v) — визначена у Q× (−∞,+∞) функцiя,
2) F1(x, t) =
∑
|l|6p0
Clm
p1∑
m=0
Dl
xδ(x− x̂)δ(m)(t− t̂ ),
Clm = const, l = 0, p0, m = 0, p1, p0, p1 ∈ N,
3) F2(x) =
∑
|r|6p2
CrD
r
xδ(x− x̂), Cr = const, r = 0, p2, p2 ∈ N.
(7)
Означення 2. Розв’язком задачi (6) називається функцiя u ∈ Mk(Q, P̂ ) така, що∫
Q
L∗ψ · u dx dt =
∫
Q
f0(x, t, u(x, t)) ·ψ(x, t) dx dt+ (∂ψ(x, t)/∂ν, F1(x, t))1 + (ψ(x, 0), F2(x))2 для
довiльної ψ ∈ Xk(Q, P̂ ).
Як у роботi [10] доводимо, що розв’язок задачi (6) є розв’язком у просторi Mk(Q, P̂ )
iнтегрального рiвняння
u(x, t) =
t∫
0
dτ
∫
Ω
G(x, t; y, τ)f0(y, τ, u(y, τ)) dy+
(
∂G(x, t; y, τ)
νy
, F1(y, τ)
)
1
+
+ (G(x, t; y, 0), F2(y))2.
Теорема 2. Нехай k > max{p0 + 2p1, p2 − 1} − 1, функцiя f0 задовольняє умови: iснує
стала C2 > 0 така, що для довiльної сталої C > C2 та для довiльних v, w ∈ Mk,C(Q, P̂ )
∫
Q
[̺0(y, τ, x̂, t̂ )]
k+2|f0(y, τ, v(y, τ))| dy dτ 6 ϕ(C),
∫
Q
[̺0(y, τ, x̂, t̂ )]
k+2|f0(y, τ, v(y, τ)) − f0(y, τ,w(y, τ))| dy dτ 6 ψC(||v − w; P̂ ||k),
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
де функцiї ϕ(z) та ψC(z), z ∈ [0,+∞) неперервнi, монотонно неспаднi, додатнi на (0,+∞),
ϕ(z)/z → 0 при z → +∞, ψC(0) = 0. Тодi iснує розв’язок u ∈ Mk(Q, P̂ ) задачi (6).
Наслiдок 1. За припущень (7), при k > max{p0 + 2p1, p2 − 1} − 1,
f0(x, t, z) = κ(x, t)|z|β , κ ∈ L∞(Q), β ∈ (0, 1), (8)
iснує розв’язок задачi (6) у просторi Mk(Q, P̂ ).
При f0 вигляду (8), де β > 1, F1, F2 — вигляду (7), вивчаємо задачу (6) у пiдпросторi
M̃α(Q, P̂ ) = {v ∈ C(Q \ {P̂}) : ̺−α
0 (y, τ, x̂, t̂ )v(y, τ) ∈ C(Q); ‖v; P̂‖
′
α =
= sup
(y,τ)∈Q
̺−α
0 (y, τ, x̂, t̂ )|v(y, τ)| < +∞}, −k − n− 2 < α 6 0,
простору Mk(Q, P̂ ).
Наслiдок 2. Iснує стала κ0 така, що при ‖κ‖L∞(Q) < κ0 крайова задача (6) при β ∈
∈ (1, 1+2/n], F1(x, t) = δ(x− x̂)δ(t− t̂ ), F2(x) = C0δ(x− x̂)+
n∑
j=1
Cj
∂
∂xj
δ(x− x̂), −(n+ 2)β <
< α 6 −n − p2, де p2 = 0, якщо Cj = 0, j = 1, n, p2 = 1, якщо хоч одна iз сталих
Cj 6= 0, j = 1, n, має розв’язок у просторi M̃α(Q, P̂ ) i при k > −α − n − 2 цей розв’язок
належить Mk(Q, P̂ ).
1. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Iснування та регулярнiсть розв’язкiв узагальненої нормальної кра-
йової задачi для квазiлiнiйних параболiчних систем // Мат. вiсн. НТШ. – 2005. – 2. – С. 123–134.
2. Лопушанская Г.П. О решении с помощью матрицы Грина параболической граничной задачи в прост-
ранстве обобщенных функций // Укр. мат. журн. – 1986. – 38, № 6. – С. 795–798.
3. Лопушанська Г.П. Крайовi задачi у просторi узагальнених функцiй D
′. – Львiв: Вид-во Львiв. нац.
ун-ту iм. Iвана Франка, 2002. – 285 с.
4. Гупало А.С., Лопушанская Г.П. Об обобщенных граничных значениях решения однородного парабо-
лического уравнения второго порядка // Методы исследования дифференциальных и интегральных
операторов. – Киев: Наук. думка, 1989. – С. 54–59.
5. Ивасишен С.Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. – Киев: Вища шк., 1990. – 200 с.
6. Ивасишен С.Д. Сопряженные операторы Грина. Обобщенные решения параболических граничных
задач с нормальными граничными условиями // Докл. АН СССР. – 1971. – 197, № 2. – С. 261–264.
7. Шилов Г. Е. Математический анализ. – Москва: Наука, 1965. – 328 с.
8. Эйдельман С.Д., Ивасишен С.Д. Исследование матрицы Грина однородной параболической гранич-
ной задачи // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1970. – 23. – С. 179–234.
9. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Про деякi властивостi спряжених операторiв Грiна параболiчної
крайової задачi // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Мат. – 2004. – Вип. 191–192. – С. 82–88.
10. Чмир О.Ю. Про формулювання узагальненої крайової задачi для пiвлiнiйного параболiчного рiвнян-
ня // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2003. – Вип. 62. – С. 134–143.
11. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – Москва: Наука, 1988. – 512 с.
Надiйшло до редакцiї 20.11.2006Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 17
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1697 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:37:30Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лопушанська, Г.П. Чмир, О.Ю. 2008-09-02T16:40:06Z 2008-09-02T16:40:06Z 2007 Характер особливостей розв'язку узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи /Г.П. Лопушанська, О.Ю. Чмир// Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 12–17. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1697 517.95 For some subspaces of the weight L1-space, the existence of a solution of the normal boundary-value problem for a quasilinear parabolic system with generalized functions from the space (C∞)´ given on the boundary of a domain is proved. The character of singularities of the solution (point-like and on the whole boundary of the domain) is determined. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Характер особливостей розв'язку узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи Article published earlier |
| spellingShingle | Характер особливостей розв'язку узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи Лопушанська, Г.П. Чмир, О.Ю. Математика |
| title | Характер особливостей розв'язку узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи |
| title_full | Характер особливостей розв'язку узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи |
| title_fullStr | Характер особливостей розв'язку узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи |
| title_full_unstemmed | Характер особливостей розв'язку узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи |
| title_short | Характер особливостей розв'язку узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи |
| title_sort | характер особливостей розв'язку узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1697 |
| work_keys_str_mv | AT lopušansʹkagp harakterosoblivosteirozvâzkuuzagalʹnenoíkraiovoízadačídlâkvazílíníinoíparabolíčnoísistemi AT čmiroû harakterosoblivosteirozvâzkuuzagalʹnenoíkraiovoízadačídlâkvazílíníinoíparabolíčnoísistemi |