О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля с малой диффузией
The dynamics of traveling waves for a system of parabolic equations of the van-der-Pol type with small diffusion on a circle with radius r is studied. The existence, interaction, asymptotic form, and stability of these waves are analyzed. It is proved that the number of stable traveling waves increa...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1698 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля с малой диффузией /О.В. Шиян // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 27–32.— Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860114871798988800 |
|---|---|
| author | Шиян, О.В. |
| author_facet | Шиян, О.В. |
| citation_txt | О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля с малой диффузией /О.В. Шиян // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 27–32.— Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The dynamics of traveling waves for a system of parabolic equations of the van-der-Pol type with small diffusion on a circle with radius r is studied. The existence, interaction, asymptotic form, and stability of these waves are analyzed. It is proved that the number of stable traveling waves increases with the radius r, and it is shown that the interaction of the waves satisfies the 1 : 2 principle.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:36:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
3. Данилюк И.И., Миненко А.С. О методе Ритца в одной нелинейной задаче со свободной границей //
Докл. АН УССР. Сер. А. – 1978. – № 4. – С. 291–294.
4. Миненко А.С. Осесимметричное течение со свободной границей // Укр. мат. журн. – 1995. – 47,
№ 4. – С. 477–488.
5. Харик И.Ю. О проблеме аппроксимации функций, связанной с исследованием сходимости вариаци-
онных процессов // Докл. АН СССР. – 1951. – 81, № 2. – С. 157–160.
6. Харик И.Ю. О приближении функций, обращающихся в нуль на границе области, функциями особого
вида // Мат. сб. – 1955. – 37, № 2. – С. 353–384.
7. Ильин В.П. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследо-
ванию сходимости вариационных процессов // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1959. – 53. – С. 64–127.
8. Миненко А.С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца // Укр. мат.
журн. – 2006. – 58, № 10. – С. 1385–1394.
Поступило в редакцию 18.12.2006Институт проблем искусственного интеллекта
НАН Украины, Донецк
УДК 517.956.4
© 2007
О.В. Шиян
О динамике бегущих волн в системе уравнений
Ван-дер-Поля с малой диффузией
(Представлено академиком НАН Украины А.М. Самойленко)
The dynamics of traveling waves for a system of parabolic equations of the van-der-Pol type
with small diffusion on a circle with radius r is studied. The existence, interaction, asymptotic
form, and stability of these waves are analyzed. It is proved that the number of stable traveling
waves increases with the radius r, and it is shown that the interaction of the waves satisfies
the 1 : 2 principle.
Рассмотрим систему параболических уравнений ван-дер-полевского типа:
u̇ − v = δ(du∆u + duv∆v),
v̇ + u = 2δ(1 − u2)v + δ(dvu∆u + dv∆v)
(1)
с периодическими граничными условиями
u(t, x) = u(t, x + 2πr), v(t, x) = v(t, x + 2πr). (2)
Здесь точка означает дифференцирование по переменной t; 0 < δ ≪ 1 — коэффициент
трения; du, duv, dvu, dv — коэффициенты диффузии; ∆ — одномерный оператор Лапласа;
r > 0. Далее предполагается, что 4dudv > (duv + dvu)2. В этом случае система (1)–(2)
является системой параболических уравнений типа реакции-диффузии [1].
Система (1)–(2) является простейшей математической моделью автоволновой среды
и изучалась в ряде работ (см. [2–4] и цитированную в них литературу).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 27
Рассмотрим вопрос о динамике бегущих волн исходной задачи при увеличении r и фик-
сированных прочих параметрах. Точнее, будем интересоваться существованием, взаимо-
действием, асимптотической формой и устойчивостью бегущих волн краевой задачи (1)–(2).
В данной работе доказано, что при r → ∞ в задаче (1)–(2) растет число орбитально асимп-
тотически устойчивых бегущих волн, т. е. имеет место явление буферности [5, 6]. Роль фе-
номена буферности в динамике сложных систем и процессах самоорганизации рассмотрена
в [5, 7]. Там же приведена достаточно полная библиография.
Для исследования динамики бегущих волн задачи (1)–(2) при увеличении r ниже исполь-
зован подход, предложенный в работах [8, 9]. Этот подход приводит к конечной совокупно-
сти шестимерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которая и опреде-
ляет динамику бегущих волн задачи (1)–(2).
Асимптотическое разложение бегущих волн. Запишем задачу (1)–(2) в виде
ẇ = L(δ)w + δR(w), w(t, x) = w(t, x + 2πr), (3)
где L(δ)w = (A + δK + δD∆)w, w = (u, v)T ,
R(w) = −2
(
0
u2v
)
,
A =
(
0 1
−1 0
)
, K =
(
0 0
0 2
)
, D =
(
du duv
dvu dv
)
.
Обозначим через H = {w = (u, v) ∈ L2
2(]0, 2πr[)} гильбертово пространство 2πr перио-
дических вектор-функций.
Задача (1)–(2) или (3) порождает в пространстве H непрерывную полугруппу [1]. Выбе-
рем в качестве фазового пространства уравнения (3) пространство H. Следует отметить,
что уравнение (3) инвариантно относительно полной ортогональной группы, порожденной
вращениями и отражением окружности, т. е. уравнение (3) S1-эквивариантно.
Несложно убедиться в том, что существует вектор qk(δ):
qk(δ) =
(
1
i
)
+ δ
−k2
r2
duv
k2
r2
du + λk
+ O(δ2)
такой, что
L(δ) exp(ikθ)qk(δ) = λ̃k exp(ikθ)qk(δ), k = 0, 1, 2, . . . ,
где
λ̃k(δ) = i + δλk + O(δ2), λk =
[
1 − k2
2r2
(du + dv)
]
+ i
k2
2r2
(dvu − duv),
k = 0, 1, 2, . . . , λ−k = λk.
(4)
Отсюда следует, что при увеличении r и прохождении им через r∗k = (k/
√
2)(du + dv)
1/2
каждый раз размерность неустойчивого многообразия нулевого решения уравнения (3) по-
вышается на два порядка. Построим бифурцирующие из нуля при прохождении r точки r∗k
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
решения уравнения (3). С этой целью, следуя одночастотному методу [10, 11], будем искать
решения уравнения (3) в виде
w = zeikθqk(δ) + ze−ikθqk(δ) + δσ1(zeikθ, ze−ikθ) + δ2σ2(zeikθ, ze−ikθ) + · · · , (5)
где переменная z удовлетворяет уравнению
ż = z(λ̃k(δ) + δc1|z|2 + δ2c2|z|3 + · · · ). (6)
Подставим (5), (6) в уравнение (3) и выполним замену zeikθ 7→ z. Затем приравняем
в обеих частях полученного равенства коэффициенты при одинаковых степенях δ. В ре-
зультате относительно σ1, σ2, . . . получим рекуррентную последовательность линейных не-
однородных уравнений. Из условия разрешимости уравнения относительно σ1 находим, что
c1 = −1, а затем находим σ1 в той же форме, что и правая часть уравнения относитель-
но σ1. Далее, из уравнения относительно σ2 находим, как и выше, c2, а затем σ2. Отметим,
что процесс последовательного построения ck, σk неограниченно продолжим.
Согласно проведенному анализу, уравнение (3) имеет приближенное по невязке поряд-
ка δ2, периодическое по t решение ŵ+
k = ŵk(η
+, δ):
ŵ+
k = 2(Re λk)
1/2
(
cos η+
− sin η+
)
+ 2δ(Re λk)
1/2
−k2
r2
duv cos η+
(
k2
r2
du+Re λk
)
cos η+−Imλk sin η+
−
−δ(Re λk)
3/2
[
1
2
(
sin 3η+
3 cos 3η+
)
+
(
sin η+
cos η+
)]
, (7)
где η+ = η+(δ) = ω̂kt + kθ, ω̂k = ω̂k(δ) = 1 + δ Im λk, k = 1, 2, . . ..
Очевидно, что приближенным решением уравнения (3) является также ŵ−
k = ŵk(η
−, δ),
где η− = ω̂kt − kθ.
Следует отметить, что приближенные по невязке порядка δ, периодические по t решения
уравнения (3) были построены в работе [4] методом Ван-дер-Поля.
Устойчивость бегущих волн ŵ
+
k
. Перейдем теперь к вопросу об устойчивости бе-
гущей волны ŵ+
k . Рассмотрим вопрос об устойчивости бегущей волны w+
k в связи с воз-
действием на нее пары бегущих волн ŵ−
s , ŵ+
2k+s, s = 0, 1, 2 . . .. С этой целью, согласно [9],
построим приближенные решения уравнения (3) в виде
w = z1e
ikθqk(δ) + z2e
−isθqs(δ) + z3e
inθqn(δ) + к.с. + δσ1(z1e
ikθ, z2e
−isθ, z3e
inθ,к.с.), (8)
где n = 2k + s, а z = (z1, z2, z3) удовлетворяет S1-эквивариантной системе уравнений:
żj = zj(µj + δfj(z, z) + · · · ), j = 1, 2, 3, (9)
где µ1 = λ̃k, µ2 = λ̃−s, µ3 = λ̃n, λ̃−s = λ̃s.
Подставим (8), (9) в уравнение (3) и выполним замену z1e
ikθ 7→ z1, z2e
−isθ 7→ z2,
z3e
inθ 7→ z3. Затем приравняем в обеих частях полученного равенства коэффициенты при δ.
В результате относительно σ1 получим линейное неоднородное уравнение
Bσ1(z, z) = F (z, z), (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 29
где
Bpzαzβ = (i〈e, (α − β)〉E − A)pzαzβ, p ∈ R
2,
zα = zα1
1
zα2
2
zα3
3
, zβ = z1
β1z2
β2z3
β3 , e = (1,−1, 1),
E — единичная матрица, 〈·, ·〉 — скалярное произведение в R
3, F (z, z) — форма третьей
степени по переменным z, z.
Из необходимого условия разрешимости уравнения (10) находим функции fj(z, z), удов-
летворяющие S1-эквивариантности. Оставшиеся в результате указанного выбора fj(z, z)
резонансные мономы zαzβ, т. е. те, для которых
det(i〈e, (α − β)〉E − A) = 0,
в соответствии с методом Галеркина, зануляем и затем находим σ1. Подставим найденные
значения fj(z, z) в (9). В результате получим следующую резонансную S1-эквивариантную
систему уравнений
ż1 = z1(i − δ(−λk + |z1|2 + 2|z2|2 + 2|z3|2)),
ż2 = z2(−i − δ(−λs + 2|z1|2 + |z2|2 + 2|z3|2)) − δz2
1z3,
ż3 = z3(i − δ(−λn + 2|z1|2 + 2|z2|2 + |z3|2)) − δz2
1z2.
(11)
Легко убедиться, что система (11) имеет периодическое по t решение
ϕ+
k (t, δ) = (Re λk)
1/2(eiωkt, e−iωkt, 0, . . . , 0)T , ω̂k = 1 + δ Imλk.
Этому решению соответствует бегущая волна ŵ+
k уравнения (3). Анализ устойчивости
ϕ+
k (t, δ) приводит к симметрической блочно-диагональной матрице. Ее блоками являются
матрица
(
−Reλk −Reλk
−Reλk −Reλk
)
и матрицы Ak+,s−, Ak+,s− , где
Ak+,s− =
(
Reλs−2Re λk + i(Im λk+Im λs) −Reλk
−Re λk Reλn − 2Re λk + i(Im λn − Imλk)
)
, (12)
n = 2k + s.
Таким образом, характер устойчивости решения ϕ+
k (t, δ) системы (11), а значит и бегу-
щей волны ŵ+
k уравнения (3), определяется матрицами Ak+,s− , Ak+,s−.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости бегущей волны ŵ+
k в связи с воздействием
на нее пары бегущих волн ŵ+
s , ŵ+
2k−s, 0 6 s < k. Рассуждая, как и выше, убеждаемся, что
это воздействие описывается системой (11), где n = 2k − s, 0 6 s < k, λs 7→ λs, −i 7→ i.
Устойчивость же ŵ+
k относительно указанного воздействия определяется матрицами Ak+,s+,
Ak+,s+, где
Ak+,s+ =
(
Reλs−2Re λk + i(Im λk−Imλs) −Re λk
−Reλk Re λn − 2Re λk + i(Im λn − Im λk)
)
, (13)
n = 2k − s, 0 6 s < k.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
Обоснованием проведенного выше анализа устойчивости бегущих волн ŵ+
k уравнения (3)
является следующая теорема.
Теорема. Пусть для некоторого фиксированного k ∈ Z+ и r > 0 выполнено условие
r2 > k2(du + dv)/2. Тогда уравнение (3) имеет периодические по t решения w±
k = wk(η
±, δ),
где η± = ωk(δ)t±kθ, ωk(δ) = ω̂k(δ)+O(δ2), θ = x/r, w±
k = ŵ±
k +O(δ2), а ŵ+
k удовлетворяет
равенству (7).
Бегущая волна w+
k экспоненциально орбитально устойчива тогда и только тогда, ко-
гда:
1) для любого s > 0 матрица Ak+,s− устойчива;
2) для любого 0 6 s < 2k матрица Ak+,s+ устойчива.
Доказательство теоремы следует методу, использованному в [8, 12].
Опираясь на теорему, получено достаточное условие экспоненциальной орбитальной
устойчивости бегущей волны w+
k задачи (3):
k
r
<
√
a
2b2 + 3a2
+ O
(
1
r
)
, (14)
где a =
du + dv
2
, b =
dvu − duv
2
— эффективные длины диффузии [4].
Отсюда следует, что число экспоненциально орбитально устойчивых бегущих волн зада-
чи (1)–(2) неограниченно растет, когда r → ∞, при этом наличие перекрестной диффузии
duv, dvu замедляет этот рост. Следует отметить, что при b = 0 условие устойчивости бегущей
волны w+
k согласуется с условием устойчивости, полученным в работе [4].
Легко устанавливается, что так называемая стоячая волна w0 задачи (1)–(2) существует
при любом выборе параметра r и является экспоненциально орбитально устойчивой. При
увеличении параметра r и прохождении его через значение r∗1 из неустойчивого нулевого
состояния равновесия бифурцирует пара бегущих волн w±
1
, которая в момент рождения
является также неустойчивой. Возрастая по амплитуде, при увеличении r и прохождении
его через критическое значение r2
кр
≃ (2b2/a+3a), бегущая волна w+
1
преодолевает давление
бегущих волн w0, w+
2
и обретает устойчивость. Таким образом, на устойчивость бегущей
волны w+
1
наиболее сильное влияние оказывают пары “соседних” бегущих волн w+
2
, w0
и w−
1
, w+
3
.
Таким образом, в результате проведенного анализа динамики бегущих волн задачи (1)–
(2) установлено следующее:
во-первых, в области r2 > ak2 существуют периодические по t решения типа “бегущая
волна”, асимптотические разложения которых, с точностью порядка малости δ2, имеют
вид (7); во-вторых, при r → ∞ число экспоненциально орбитально устойчивых бегущих
волн неограниченно растет (наличие перекрестной диффуции лишь немного тормозит этот
рост), т. е. в данной задаче имеет место явление буферности [5, 6]; в-третьих, взаимодействие
бегущих волн подчинено принципу 1 : 2 [9].
Характер устойчивости бегущей волны w+
k полностью определяется воздействием на
нее пар бегущих волн w−
s , w+
2k+s, s > 0, и w+
s , w+
2k−s, 0 6 s < k.
Воздействие на w+
k указанных пар бегущих волн описывается системой (11), где n =
= 2k + s в первом и n = 2k − s, λs 7→ λs, −i 7→ i во втором случае.
1. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. – Москва: Наука, 1989. – 290 с.
2. Романовский Ю.П., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизи-
ке. – Москва: Наука, 1975. – 237 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 31
3. Полякова М.С., Романовский Ю.М., Сидорова Г.А. О синхронизации автоколебательных химических
реакций, протекающих в пространстве // Вестн. Моск. ун-та. Физ. астрон. – 1968. – № 6. – С. 95–98.
4. Балкарей Ю.И., Никулин М.Г. О нелинейных волнах в среде из осцилляторов Ван-дер-Поля, свя-
занных диффузией // Журн. техн. физики. – 1979. – 49, № 2. – С. 231–236.
5. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. – Москва: Физ-
матлит, 2004. – 406 с.
6. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Явление буферности в теории горения // Докл. АН. – 2004. – 396, № 2. –
С. 170–173.
7. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных
средах с диффузией. – Москва: Физматлит, 2005. – 430 с.
8. Белан Е.П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига прост-
ранственной переменной // Мат. физика: анализ и геометрия. – 2005. – 1, № 1. – С. 3–30.
9. Самойленко А.М., Белан Е.П. Динамика бегущих волн феноменологического уравнения спинового
горения // Докл. АН. – 2006. – 406, № 6. – С. 738–741.
10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. –
Москва: Физматгиз, 1963. – 410 с.
11. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных произво-
дных. – Киев: Вища шк., 1976. – 357 с.
12. Васильева А. Б., Кащенко С.А., Колесов Ю.С., Розов Н.Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных
параболических уравнений с малой диффузией // Мат. сб. – 1989. – 130(172), № 4(8). – С. 488–499.
Поступило в редакцию 12.12.2006Таврический национальный университет
им. В.И. Вернадского, Симферополь
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1698 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:36:13Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шиян, О.В. 2008-09-02T16:41:23Z 2008-09-02T16:41:23Z 2007 О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля с малой диффузией /О.В. Шиян // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 27–32.— Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1698 517.956.4 The dynamics of traveling waves for a system of parabolic equations of the van-der-Pol type with small diffusion on a circle with radius r is studied. The existence, interaction, asymptotic form, and stability of these waves are analyzed. It is proved that the number of stable traveling waves increases with the radius r, and it is shown that the interaction of the waves satisfies the 1 : 2 principle. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля с малой диффузией Article published earlier |
| spellingShingle | О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля с малой диффузией Шиян, О.В. Математика |
| title | О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля с малой диффузией |
| title_full | О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля с малой диффузией |
| title_fullStr | О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля с малой диффузией |
| title_full_unstemmed | О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля с малой диффузией |
| title_short | О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля с малой диффузией |
| title_sort | о динамике бегущих волн в системе уравнений ван-дер-поля с малой диффузией |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1698 |
| work_keys_str_mv | AT šiânov odinamikebeguŝihvolnvsistemeuravneniivanderpolâsmaloidiffuziei |