Нелокальне рівняння теплопровідності для багатофазних стохастично неоднорідних тіл
A new approach to the physico-mathematical modelling of heat transfer processes is proposed. A nonstationary initial-boundary-value problem is formulated on the basis of the Fourier law. The technique of Feynman diagrams is applied to the investigation of averaged temperature fields. The Dyson equat...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1699 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нелокальне рівняння теплопровідності для багатофазних стохастично неоднорідних тіл / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, П.Р. Пелех // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 49–54. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859713105018224640 |
|---|---|
| author | Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Пелех, П.Р. |
| author_facet | Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Пелех, П.Р. |
| citation_txt | Нелокальне рівняння теплопровідності для багатофазних стохастично неоднорідних тіл / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, П.Р. Пелех // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 49–54. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | A new approach to the physico-mathematical modelling of heat transfer processes is proposed. A nonstationary initial-boundary-value problem is formulated on the basis of the Fourier law. The technique of Feynman diagrams is applied to the investigation of averaged temperature fields. The Dyson equation is obtained as well as a nonlocal heat transfer equation for a temperature field averaged over the ensemble of phase configurations in multiphase randomly inhomogenous bodies.
|
| first_indexed | 2025-12-01T06:46:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.958:536.2
© 2007
Є.Я. Чапля, О. Ю. Чернуха, П. Р. Пелех
Нелокальне рiвняння теплопровiдностi для
багатофазних стохастично неоднорiдних тiл
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Я.Й. Бураком)
A new approach to the physico-mathematical modelling of heat transfer processes is proposed.
A nonstationary initial-boundary-value problem is formulated on the basis of the Fourier law.
The technique of Feynman diagrams is applied to the investigation of averaged temperature
fields. The Dyson equation is obtained as well as a nonlocal heat transfer equation for a tem-
perature field averaged over the ensemble of phase configurations in multiphase randomly in-
homogenous bodies.
Дослiдження температурних полiв в елементах конструкцiй з композицiйних матерiалiв,
що знаходяться в умовах нерiвномiрного нагрiву, пов’язано з побудовою розв’язкiв рiвнянь
теплопровiдностi, якi описують тепловi процеси у макрооб’ємах таких середовищ. Така по-
треба виникає, зокрема, при знаходженнi розподiлiв температурних полiв у магнiтодiелект-
риках, якi використовуються в електро- i радiотехнiчних приладах [1], де рiзниця фiзи-
ко-механiчних властивостей складових елементiв (фаз) зумовлює нерiвнiсть їх температур.
При дослiдженнi температурних полiв у випадково неоднорiдних тiлах, як правило, за-
стосовується метод гомогенiзацiї гетерогенного середовища [1–3]. При цьому накладається
умова ергодичностi (квазiергодичностi) дослiджуваних процесiв [4, 5]. Якщо ж розмiри ви-
падкових неоднорiдностей спiввимiрнi з розмiрами тiла, тодi виникає необхiднiсть побудови
нових моделей, пiдходiв i методiв, якi дозволяють описувати експериментально спостере-
жуванi процеси та явища. У данiй роботi з використанням дiаграм Фейнмана [5] отриманi
нелокальнi рiвняння теплопровiдностi для усередненого температурного поля в багатофаз-
них випадково неоднорiдних тiлах.
Постановка задачi. Нехай в N -фазному тiлi з випадково розташованими неоднорiд-
ностями протiкають процеси теплопровiдностi. Матерiал тiла розглядаємо як середовище,
фiзичнi характеристики якого є випадковими функцiями, тобто коефiцiєнт теплопровiдно-
стi λ(r), теплоємнiсть c(r) та густина ρ(r) є випадковими функцiями координат простору.
Розподiл випадкового температурного поля T (r, t) в такому тiлi описує рiвняння теплопро-
вiдностi [1]
L(r, t)T (r, t) ≡ c(r)ρ(r)
∂T (r, t)
∂t
− ~∇(λ(r)~∇T (r, t)) = f(r, t), (1)
де f(r, t) — густина джерел тепла (детермiнована функцiя); ~∇ — оператор Гамiльтона; r —
радiус-вектор бiжучої точки; t — час.
Нехай на поле T (r, t) накладенi необхiднi детермiнованi крайовi умови. Наприклад, якщо
заданi умови 1-го роду, маємо
T (r, t)|t=0 = b1(r), r ∈ (V ), T (r, t) = b2(r), r ∈ (∂V ), (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 49
де b1(r), b2(r) — вiдомi функцiї; (∂V ) — границя тiла (V ). Введемо у розгляд випадкову
функцiю ηij(r) типу одиничної сходинкової функцiї Хевiсайда, яка визначає конфiгурацiю
(розташування) фаз в областi тiла та означена таким чином:
ηij(r) =
{
1, r ∈ (V
(j)
i ),
0, r 6∈ (V
(j)
i ),
N∑
j=1
nj∑
i=1
ηij(r) = 1, (3)
де (V
(j)
i ) — i-та однозв’язна область (i-те включення) j-ї фази; i — номер включення (i =
= 1, nj), nj — кiлькiсть однозв’язних областей сорту j (j = 1, N ). Тодi
λ(r) =
N∑
j=1
nj∑
i=1
λjηij(r), c(r)ρ(r) =
N∑
j=1
nj∑
i=1
cjρjηij(r). (4)
Вiдзначимо, що iндекс j при коефiцiєнтах рiвняння (1) позначає вiдповiднi значення тепло-
фiзичних характеристик j-ї фази. Пiдставимо таке подання коефiцiєнтiв (4) в рiвняння (1)
та врахуємо, що
N∑
j=1
nj∑
i=1
~∇(λjηij(r)) =
N∑
j=1
nj∑
i=1
[λ(r)]Γij
δ(r − rΓij
), (5)
де [λ(r)]Γij
— вектор-функцiя стрибка коефiцiєнта теплопровiдностi на границi однозв’яз-
ної областi (V
(j)
j ); Γij — границя цiєї областi; rΓij
— радiус-вектор точок границi Γij . Тодi
отримаємо
L(r, t)T (r, t)≡
N∑
j=1
nj∑
i=1
{(
cjρj
∂T
∂t
−λj∆T
)
ηij(r)−[λ(r)]Γij
δ(r−rΓij
)~∇T
}
=f(r, t). (6)
До одержаного рiвняння додаємо i вiднiмаємо невипадковий оператор теплопровiдностi
L(r, t), коефiцiєнти якого є усередненими величинами
L(r, t) = cρ
∂
∂t
− λ∆, (7)
де cρ = c(r)ρ(r), λ = λ(r) — усередненi за ансамблем реалiзацiй структури тiла характери-
стики (у випадку рiвномiрного розподiлу фаз збiгаються iз середнiми за об’ємом тiла).
Тодi з урахуванням умови суцiльностi тiла (3) рiвняння (6) набуде вигляду
L(r, t)T (r, t) − f(r, t) = (L(r, t) − L(r, t))T (r, t). (8)
Розв’язок крайової задачi (8), (2) шукатимемо у виглядi нескiнченного iнтегрального
ряду Неймана [5]. Вважаємо праву частину рiвняння (8) джерелом, тобто неоднорiднiсть
середовища розглядаємо як внутрiшнi джерела для процесу теплопровiдностi у випадково
неоднорiдному N -фазному тiлi. Тодi розв’язок неоднорiдної крайової задачi можна подати
у виглядi
T (r, t) = T0(r, t) +
t∫
0
∫
(V )
G(r, r′, t, t′)Ls(r
′, t′)T (r′, t′)dr′dt′. (9)
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
Тут T0(r, t) — розв’язок такої крайової задачi:
L(r, t)T0(r, t) = f(r, t); T0(r, t)|t=0 = b1(r), T0(r, t)|r∈(∂V ) = b2(r, t); (10)
Ls(r, t) = c̃ρ
∂
∂t
− ~∇(λ̃(r)~∇) =
N∑
j=1
nj∑
i=1
(cρ− cjρj)ηij(r)
∂
∂t
−
−
N∑
j=1
nj∑
i=1
(λ− λj)ηij(r)∆ +
N∑
j=1
nj∑
i=1
[λ(r)]Γij
δ(r − rΓij
)~∇, (11)
де c̃ρ(r) = cρ−c(r)ρ(r), λ̃(r) = λ−λ(r) — флуктуацiї вiдповiдних коефiцiєнтiв; G(r, r′, t, t′) —
детермiнована функцiя Грiна задачi (8), (2) [7].
Таким чином, вихiдна крайова задача зведена до еквiвалентного їй iнтегродиференцiй-
ного рiвняння (9). Його розв’язок будуємо методом послiдовних наближень, вибираючи за
нульове наближення розв’язок задачi (10). Тодi маємо
T (r, t) = T0(r, t) +
t∫
0
∫
(V )
G(r, r′, t, t′)Ls(r
′, t′)T0(r
′, t′)dr′dt′ +
t∫
0
∫
(V )
t′∫
0
∫
(V )
G(r, r′, t, t′) ×
× Ls(r
′, t′)G(r′, r′′, t′, t′′)Ls(r
′′, t′′)T0(r
′′, t′′)dr′′dt′′dt′dr′ + · · · . (12)
Зазначимо, що ряд Неймана (12) є розвиненням випадкового температурного поля за
збуреннями, якi виникають у системi через наявнiсть включень з iншими, нiж у матрицi,
теплофiзичними характеристиками.
Щоб дослiдити структуру цього ряду, використаємо дiаграми Фейнмана [8]. Спiвставимо
функцiям, що входять у рiвняння (12), такi дiаграми (використовуються типовi позначен-
ня [5]):
T (r, t) ∼ ; T0(r, t) ∼ ; G(ri, ti, rj , tj) ∼ (ri, ti) (rj , tj)
; L(r, t) ∼
r
.
Тодi ряд (12) у графiчному виглядi буде таким:
= + r
r
(r1, t1)
+ r r
r r
(r1, t1)(r2, t2)
+ r r r
r r r
(r1, t1) (r2, t2) (r3, t3)
+ · · · . (13)
Усереднимо випадкове температурне поле (12) за ансамблем конфiгурацiї фаз iз заданою
функцiєю розподiлу. Тодi отримаємо в аналiтичному
〈T (r, t)〉= T0(r, t) +
t∫
0
∫
(V )
G(r, r′, t, t′)〈Ls(r
′, t′)〉T0(r
′, t′)dr′dt′+
t∫
0
∫
(V )
t′∫
0
∫
(V )
G(r, r′, t, t′)×
× 〈Ls(r
′, t′)G(r′, r′′, t′, t′′)Ls(r
′′, t′′)〉T0(r
′′, t′′)dr′′dt′′dr′dt′ + · · · , (14)
або в графiчному виглядi
= + r
r
+ r
r
r
r
+ r r
r
rBB�� + r
r
r
r
r
r
+ r
r
r
r
rBB�� + r r
r
rBB�� r
r
+
+ r r
r
rSS�
� r
r
+ r r
r
rSS�
� r + r
r
S
SS
�
��
r
r rSS�� r + · · · . (15)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 51
Тут
〈T (r, t)〉 ∼ , 〈L(r, t)〉 ∼ r
r
, ψk(r1, r2, . . . rk) ∼
s
�
�
�
�
��
S
S
Sq q q
(r1, t1) (rk, tk)
,
де ψk — кумулянтнi (або кореляцiйнi) функцiї порядку k. Зазначимо, що
〈Ls(r1, t1) . . . Ls(rk, tk)〉 = ψk(r1, t1, . . . , rk, tk) +
+
k∑
l=1
〈Ls(rl, tl)〉〈Ls(r1, t1) . . . Ls(rl−1, tl−1)Ls(rl+1, tl+1) . . . Ls(rk, tk)〉 + · · · .
Оскiльки за координатами (r′, t′), (r′′, t′′), . . . внутрiшнiх вершин дiаграм вiдбувається iнте-
грування, то аналiтичний вираз, який зображується дiаграмою, не залежить вiд координат
внутрiшнiх вершин. У зв’язку з цим тут i надалi цi координати на дiаграмах не познача-
ються.
У рядi (15) вiдберемо всi сильно зв’язанi дiаграми [5, 9], тобто такi, якi неможливо
роздiлити на двi окремi дiаграми, розiрвавши одну лiнiю G. Оскiльки кожна з дiаграм
починається лiнiєю G i закiнчується хвилястою лiнiєю T0, то суму всiх сильно зв’язаних
дiаграм можна подати у виглядi
ks s
, (16)
де введено позначення
G
(с.зв.)
(r, r′, t, t′) ∼ ks s =
r
+ r r
r
BB�� + r r
r
rSS�
� r
r
+ r r
r
rSS�
� r + r
r
S
S
�
�
r
r rSS�� r + · · · . (17)
В аналiтичнiй формi (17) має вигляд
G
(c.зв.)
(r, r′, t, t′) =
t∫
0
∫
(V )
t1∫
0
∫
(V )
G(r, r1, t, t1)Σ(r1, r2, t1, t2)G(r2, r
′, t2, t
′)dr2dt2dr1dt1, (18)
де
Σ(r1, r2, t1, t2) = 〈Ls(r1, t1)〉 +G(r1, r2, t1, t2)ψ2(r1, r2) +
+
t1∫
0
∫
(V )
G(r1, r
′
1, t1, t
′
1)〈Ls(r
′
1, t
′
1)〉G(r′1, r2, t
′
1, t2)ψ2(r1, r2)dr
′
1dt
′
1 +
+
t1∫
0
∫
(V )
G(r1, r
′
1, t1, t
′
1)G(r′1, r2, t
′
1, t2)ψ3(r1, r
′
1, r2)dr
′
1dt
′
1 + · · · — (19)
ядро масового оператора. Розглянемо суму всiх дiаграм з показником зв’язаностi 2. Кожна
з них має вигляд
nΣ1
s s ns sΣ2 , (20)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
де nΣ1
s s i nΣ2
s s— будь-якi дiаграми, що належать правiй частинi (19). Оскiльки при по-
будовi ряду (15) перебираються всi можливi способи попарного з’єднання вершин, то сума
всiх можливих складових на зразок (20) дорiвнює
ns s ns s
,
де ns s — повна сума (19).
Аналогiчно будуємо суму всiх дiаграм iз показниками зв’язностi 3, 4 i т. д. Тодi усеред-
нене температурне поле можна подати у виглядi дiаграмного ряду
= +
ns s
+
ns s ns s
+
ns s ns s ns s
+ · · · . (21)
Таке подання вiдрiзняється вiд вихiдного дiаграмного ряду (15) тiльки перегрупуванням
його членiв.
Видiлимо в рiвняннi (21) елемент
ns s
. Тодi
= +
ns s
×
(
+
ns s
+
ns s ns s
+ · · ·
)
. (22)
Пiдсумовуючи в (22) вираз в дужках, з використанням (21) отримаємо рiвняння Дайсона
для усередненого температурного поля у графiчнiй
= +
ns s
(23a)
i вiдповiдно аналiтичнiй формах
〈T (r, t)〉 = T0(r, t) +
t∫
0
∫
(V )
t1∫
0
∫
(V )
G(r, r1, t, t1)Σ(r1, r2, t1, t2)〈T (r2, t2)〉dr2dt2dr1dt1. (23б)
Якщо застосувати до рiвняння Дайсона (23) оператор L(r, t) (7), то з урахуванням рiвня-
ння (10) одержимо
cρ
∂〈T (r, t)〉
∂t
− λ∆〈T (r, t)〉 = f(r, t) +
1
2
t∫
0
∫
(V )
Σ(r, r1, t, t1)〈T (r1, t1)〉dr1dt1. (24)
Iз порiвняння (10) i (24) випливає, що на вiдмiну вiд T0(r, t), функцiя 〈T (r, t)〉 задоволь-
няє не диференцiйне, а iнтегродиференцiйне рiвняння. З фiзичної точки зору це означає,
що усереднене температурне поле в деякiй точцi (r, t) залежить i вiд неоднорiдностей, якi
оточують цю точку.
Таким чином, для усередненого температурного поля одержано рiвняння Дайсона, з яко-
го отримано нелокальне iнтегродиференцiйне рiвняння теплопровiдностi. При цьому для
дослiдження усереднених температурних полiв використано технiку дiаграм Фейнмана. Зо-
браження розв’язку задачi у виглядi сукупностi дiаграм дозволило перетворювати ряд тео-
рiї збурень, використовуючи топологiчнi ознаки дiаграм, якi входять у розв’язок. Застосу-
вання такої технiки дає можливiсть виразити ряд Неймана через суму деякої нескiнченної
пiдпослiдовностi цього ж ряду.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 53
Зазначимо, що в подальшому за даним пiдходом доцiльно дослiдити кореляцiї випадко-
вих температурних полiв, отримати нелокальне рiвняння для функцiї когерентностi, а та-
кож вивчити процеси теплопровiдностi у випадково неоднорiдних тiлах у рамках теорiї
бiнарних систем.
1. Хорошун Л.П., Солтанов Н.С. Термоупругость двухкомпонентых смесей. – Киев: Наук. думка,
1984. – 112 с.
2. Lidzba D. Homogenisation theories applied to porous media mechanics // J. Theor. and Appl. Mechanics. –
1998. – 36, No 3. – P. 657–679.
3. Matysiak S. J., Mieszkowski R. On homogenization of diffusion processes in microperiodic stratified bodi-
es // Int. J. Heat and Mass Transfer. – 1999. – 26. – P. 539–547.
4. Гихман И.И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процесов. – Москва: Наука, 1977. – 568 с.
5. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч. II. Слу-
чайные поля. – Москва: Наука, 1978. – 436 с.
6. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – Москва: Высш. шк., 1978. – 463 с.
7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – Москва: Наука, 1972. – 735 с.
8. Фейнман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. – Москва.: Мир, 1968. –
454 с.
9. Chaplia Y., Chernukha O. Physical-mathematical modelling diffusion processes in bodies of random struc-
ture using generalized functions and Feynman diagrams // Int. J. Engineering Science. – 2005. – 43. –
P. 1337–1348.
Надiйшло до редакцiї 27.11.2006Центр математичного моделювання Iнституту
прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
Унiверситет Казимира Великого, Бидгоща, Польща
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1699 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T06:46:22Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Пелех, П.Р. 2008-09-02T16:41:43Z 2008-09-02T16:41:43Z 2007 Нелокальне рівняння теплопровідності для багатофазних стохастично неоднорідних тіл / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, П.Р. Пелех // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 49–54. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1699 517.958:536.2 A new approach to the physico-mathematical modelling of heat transfer processes is proposed. A nonstationary initial-boundary-value problem is formulated on the basis of the Fourier law. The technique of Feynman diagrams is applied to the investigation of averaged temperature fields. The Dyson equation is obtained as well as a nonlocal heat transfer equation for a temperature field averaged over the ensemble of phase configurations in multiphase randomly inhomogenous bodies. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Нелокальне рівняння теплопровідності для багатофазних стохастично неоднорідних тіл Article published earlier |
| spellingShingle | Нелокальне рівняння теплопровідності для багатофазних стохастично неоднорідних тіл Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Пелех, П.Р. Інформатика та кібернетика |
| title | Нелокальне рівняння теплопровідності для багатофазних стохастично неоднорідних тіл |
| title_full | Нелокальне рівняння теплопровідності для багатофазних стохастично неоднорідних тіл |
| title_fullStr | Нелокальне рівняння теплопровідності для багатофазних стохастично неоднорідних тіл |
| title_full_unstemmed | Нелокальне рівняння теплопровідності для багатофазних стохастично неоднорідних тіл |
| title_short | Нелокальне рівняння теплопровідності для багатофазних стохастично неоднорідних тіл |
| title_sort | нелокальне рівняння теплопровідності для багатофазних стохастично неоднорідних тіл |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1699 |
| work_keys_str_mv | AT čaplâêâ nelokalʹnerívnânnâteploprovídnostídlâbagatofaznihstohastičnoneodnorídnihtíl AT černuhaoû nelokalʹnerívnânnâteploprovídnostídlâbagatofaznihstohastičnoneodnorídnihtíl AT pelehpr nelokalʹnerívnânnâteploprovídnostídlâbagatofaznihstohastičnoneodnorídnihtíl |