Рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля
The influence of the radiation force on a liquid droplet in the acoustic field is investigated. The dependence of the force on the ratios of the densities and adiabatic elastic moduli of the droplet and an external liquid is studied.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1700 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля / О.П. Жук // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 55–59. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859729273794854912 |
|---|---|
| author | Жук, О.П. |
| author_facet | Жук, О.П. |
| citation_txt | Рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля / О.П. Жук // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 55–59. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | The influence of the radiation force on a liquid droplet in the acoustic field is investigated. The dependence of the force on the ratios of the densities and adiabatic elastic moduli of the droplet and an external liquid is studied.
|
| first_indexed | 2025-12-01T12:07:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2007
МЕХАНIКА
УДК 532.59:534.29
© 2007
О.П. Жук
Рух сферичної краплi рiдини пiд дiєю радiацiйної сили
акустичного поля
(Представлено академiком НАН України О.М. Гузем)
The influence of the radiation force on a liquid droplet in the acoustic field is investigated. The
dependence of the force on the ratios of the densities and adiabatic elastic moduli of the droplet
and an external liquid is studied.
Радiацiйна сила, яка в акустичному полi дiє на краплю рiдини, спричиняється змiною се-
реднього в часi iмпульсу, що переноситься хвилею, i визначається iнтегралом по поверхнi
краплi вiд середнього в часi радiацiйного тиску. Вiдзначимо, що точнi значення радiацiйного
тиску, взагалi кажучи, рiзнi в ейлеровiй i лагранжовiй системах координат [1]. В ейлерових
координатах тиск визначається як згортка тензора густини потоку iмпульса з ортом норма-
лi до поверхнi краплi. В лагранжових координатах радiацiйний тиск визначається середнiм
в часi значенням звукового тиску на поверхню, яка коливається в звуковому полi. При об-
численнi радiацiйної (незалежної вiд часу, сталої) сили в акустичному полi тиск в рiдинi
визначають з урахуванням величин другого порядку, якi зумовленi нелiнiйнiстю звукового
поля i не дорiвнюють нулю пiсля осереднення в часi.
Задачу обчислення радiацiйної сили в лагранжовiй системi координат при заданiй пер-
виннiй хвилi можна роздiлити на три етапи. На першому з них визначається потенцiал
розсiяної на краплi хвилi. Оскiльки визначення тиску в рiдинi з урахуванням величин дру-
гого порядку можливе через потенцiали поля вектора швидкостi, одержанi в лiнiйному на-
ближеннi [2, 3], обмежимося розв’язуванням лiнiйної задачi дифракцiї первинної хвилi на
краплi. На другому етапi визначимо результуючу силу дiї рiдини на краплю. I на третьому
етапi осередненням останньої в часi вiдфiльтруємо вiд неї радiацiйну силу.
1. Знаходження розв’язку задачi дифракцiї. Вважатимемо, що весь простiр запов-
нено iдеальною рiдиною густиною ρ0, швидкiсть звуку в якiй a0. Помiстимо в нiй сферичну
краплю радiусом R, яка утворена iншою рiдиною густиною ρ0 i зi швидкiстю звуку в нiй a0.
Далi риска над символом буде визначати величини, що характеризують краплю.
Виберемо прямокутну декартову систему координат Oxyz з початком в центрi сферичної
краплi (рис. 1). Нехай в просторi, заповненому рiдиною, поширюється плоска акустична
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 55
Рис. 1
хвиля, яка задана потенцiалом
Φi = A exp[i(kx − ωt)], (1)
де A — амплiтуда; k = ω/a0 — хвильове число; ω — кутова частота.
Пiд дiєю первинної акустичної хвилi (1) сферична крапля буде перiодично стискати-
ся i розширюватися. Радiус краплi вважатимемо таким, що впливом поверхневого натягу
можна знехтувати. Тодi в математичнiй постановцi задача дифракцiї акустичної хвилi (1)
на сферичнiй краплi зводиться до визначення потенцiалу Φs розсiяної вiд краплi хвилi:
розв’язку лiнiйного хвильового рiвняння [4]
∆Φ −
1
a2
0
∂2Φ
∂t2
= 0, (2)
який згасає на нескiнченностi. Граничнi умови на поверхнi сферичної краплi вимагають
неперервностi тиску i нормальної компоненти швидкостi в рiдинах при переходi через по-
верхню краплi. Задачу дифракцiї розв’яжемо в сферичнiй системi координат Orθϕ, в якiй
кут θ будемо вiдраховувати вiд осi Ox (рис. 1). Тодi граничнi умови на поверхнi сферичної
краплi запишемо в такому виглядi:
(pi + ps)r=R = p|r=R, (vi
r + vs
r)r=R = vr|r=R. (3)
Тут pi i vi
r — тиск i радiальна компонента швидкостi в зовнiшнiй рiдинi, зумовленi первин-
ною хвилею; ps i vs
r — аналогiчно для розсiяної хвилi; p i vr — тиск i радiальна компонента
швидкостi рiдини в краплi. Вказанi величини визначаються через потенцiали Φi i Φs за
допомогою формул:
p = −ρ0
∂Φ
∂t
, vr =
∂Φ
∂r
. (4)
При формулюваннi граничних умов (3) використано припущення, що амплiтуда коли-
вань поверхнi краплi мала i можна вважати R = const. Розв’язки рiвняння (2) запишемо
у виглядi узагальнених рядiв Фур’є за сферичними хвильовими функцiями:
Φs =
∞
∑
n=0
Anh(1)
n (kr)Pn(cos θ) exp(−iωt), (5)
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
Φ =
∞
∑
n=0
Anh(1)
n (kr)Pn(cos θ) exp(−iωt), (6)
де h(1)
n (w) — сферичнi функцiї Ганкеля першого роду; jn(w) — сферичнi функцiї Бесселя;
Pn(cos θ) — полiноми Лежандра. Коефiцiенти An i An визначимо iз граничних умов (3). Для
цього потенцiал (1) також запишемо у сферичнiй системi координат
Φi =
∞
∑
n=0
A(2n + 1)injn(kr)Pn(cos θ) exp(−iωt). (7)
Тепер, використовуючи потенцiали (5) i (7) для визначення iз формул (4) тиску p = pi +
+ ps i радiальної компоненти швидкостi vr = vi
r + vs
r в зовнiшнiй рiдинi, а потенцiал (6)
для визначення тиску p i радiальної компоненти швидкостi vr в рiдинi краплi, iз граничних
умов (3) на поверхнi краплi (r = R) одержимо нескiнченну систему алгебраїчних рiвнянь
вiдносно коефiцiєнтiв An i An (n = 0, 1, . . .):
h(1)
n (α)An −
ρ0ka0
ρ0ka0
jn(α)An = −A(2n + 1)injn(α), (8)
dh
(1)
n (α)
dr
An −
k
k
djn(α)
dr
An = −A(2n + 1)in
djn(α)
dr
, (9)
де α = kR, α = kR.
Iз системи рiвнянь (8) i (9) одержуємо формули для обчислення невiдомих коефiцiєн-
тiв An i An:
An = A(2n + 1)in
jn(α)
djn(α)
dr
−
ρ0a0
ρ0a0
jn(α)
djn(α)
dr
ρ0a0
ρ0a0
jn(α)
dh
(1)
n (α)
dr
−
djn(α)
dr
h
(1)
n (α)
, (10)
An = A(2n + 1)in+1 k
kα2
1
ρ0a0
ρ0a0
jn(α)
dh
(1)
n (α)
dr
−
djn(α)
dr
h
(1)
n (α)
. (11)
Надалi обмежимося випадком, коли радiус сферичної краплi малий порiвняно з довжи-
ною звукової хвилi. Для цього випадку справедлива умова α ≪ 1. Легко показати, що тодi
i α ≪ 1. При цих умовах вирази (10) i (11) для коефiцiєнтiв An i An можна спростити,
скориставшись асимптотичними формулами для функцiй jn(w) i h(1)
n (w) i для їх похiдних
при малих значеннях аргумента w [5, 6]. В результатi першi три коефiцiєнти An (n = 0, 1, 2)
матимуть такий вигляд:
A0 =
i
3
Aα3
κ − κ
κ
1 −
α2
3
κ
κ
, A1 = Aα3 ρ0 − ρ0
2ρ0 + ρ0
, A2 = i
2
9
Aα5
1 −
ρ0
ρ0
2 + 3
ρ0
ρ0
, (12)
де κ = ρ0a
2
0, κ = ρ0a
2
0 — адiабатичнi модулi пружностi зовнiшньої рiдини i рiдини краплi.
Оскiльки вже коефiцiєнт A2 вiдрiзняється вiд коефiцiєнтiв A0 i A1 на величину порядку α2,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 57
маючи при цьому порядок α5, то можна стверджувати, що розсiяна на сферичнiй краплi
хвиля визначається першими трьома доданками в потенцiалi (5). Зауважимо при цьому,
що нульовий доданок (n = 0) описує пульсацiйнi коливання сферичної краплi, а перший
(n = 1) — осциляцiйнi. Якщо умова κ ≫ κ не виконується, то, як випливає iз виразу для A0,
амплiтуда пульсацiйних коливань буде зростати при наближеннi α до значення
√
3κ/κ, яке
вiдповiдає резонансу пульсацiйних коливань [6]. Надалi потенцiал Φ використовувати не
будемо, тому вирази для An не наводимо.
2. Визначення радiацiйної сили, яка дiє на краплю рiдини. Радiацiйну силу
обчислимо, осереднивши в часi гiдродинамiчну силу, яка дiє в звуковому полi на краплю
з боку рiдини. Завдяки осьовiй симетрiї поля вона направлена вздовж осi Ox
Fx = −2πR
π
∫
0
p sin θ cos θ dθ. (13)
Тиск p в (13) будемо визначати iз спiввiдношення [3, 4]
p = −ρ0
∂Φ
∂t
−
1
2
ρ0(gradΦ)2 +
1
2
ρ0
a2
0
(
∂Φ
∂t
)2
, (14)
в якому потенцiал Φ = Φi + Φs є розв’язком лiнiйної задачi дифракцiї [3, 4]. Вкажемо, що
в (14) похiдну ∂Φ/∂t необхiдно обчислювати за формулою [4]
∂Φ
∂t
=
dΦ
dt
− Vx cos θ
∂Φ
∂r
+ Vx
sin θ
r
∂Φ
∂θ
, (15)
де dΦ/dt — повна похiдна за часом; Vx — швидкiсть сферичної краплi, яку визначимо,
обчисливши vr = ∂Φ/∂r при r = R i θ = 0. В результатi маємо
Vx = vr(r = R, θ = 0, t) = Ak
(
1 − 2
ρ0 − ρ0
2ρ0 + ρ0
)
sinωt. (16)
Вкажемо, що при визначеннi тиску p у формулi (14) необхiдно взяти дiйсну частину
(ReΦ) комплексної величини Φ. Враховуючи (14), (15), (7), (5) i (12), визначимо гiдро-
динамiчну силу (13), пiсля осереднення якої за перiодом первинної хвилi (1) одержимо
радiацiйну силу, що дiє на краплю в акустичному полi
〈Fx〉 =
2
27
A2πρ0
1
2 + η
κ − κ
κ
1 −
α2
3
κ
κ
(η − 10) + 4(1 − η)
α6 + O(α8). (17)
3. Отже, iз аналiзу формули (16) випливає, що при наближеннi значення α до величини
свого резонансного значення
√
3κ/κ радiацiйна сила (17) буде зростати. В тому випадку,
коли крапля рiдини за своїми механiчними властивостями не вiдрiзняється вiд зовнiшньої
рiдини (ρ0 = ρ0, κ = κ), радiацiйна сила дорiвнює нулю. Це пов’язано з тим, що середнiй
в часi тиск з’являється в неоднорiдному звуковому полi, зумовленому наявнiстю розсiяної
звукової хвилi, або при поглинаннi первинної хвилi. В межах прийнятого при дослiдженнi
наближення, як випливає iз (17), можна стверджувати, що крапля рiдини пiд дiєю радiацiй-
ної сили може рухатися як у напрямi поширення акустичної хвилi, так i в протилежному
напрямi (при ρ0 < ρ0).
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
1. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. – Москва: Наука, 1966. – 520 с.
2. Гольдберг З. А. Давление звука // Мощные ультразвуковые поля. – Москва: Наука, 1968. – 267 с.
3. King L.V. On the acoustic radiation pressure on spheres // Proc. Roy. Soc., Ser. A. – 1934. – 147, No 861. –
P. 212–240.
4. Guz A.N., Zhuk A. P. Motion of solid particles in a liguid under the action of an acoustic field: the
mechanism of radiation pressure // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, No 3. – P. 246–265.
5. Морз Ф. Колебания и звук. – Москва; Ленинград: ГИТТЛ, 1949. – 496 с.
6. Ржевкин С.Н. Курс лекций по теории звука. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1960. – 336 с.
Надiйшло до редакцiї 07.12.2006Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
УДК 517.36
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Мартынюк, А. С. Хорошун
К теории параметрической устойчивости
A general method of analysis based on Lyapunov’s direct method is presented for studying the
parametric stability of the nonlinear systems of differential equations. The results demonstrate
the roles played by (1) estimating the domain of potential asymptotic stability and (2) constructi-
ng the auxiliary Lyapunov function.
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
ẋ = f(x, p), (1)
где x ∈ R
n, p ∈ R
m, f(x, p) = (f1(x, p), . . . , fn(x, p))T , fi : R
n × R
m → R, i = 1, . . . , n. Ве-
ктор-функция f(x, p) предполагается достаточно гладкой, и решение x(t, x0, p) системы (1)
существует при всех t > t0 и x0 ∈ D ⊆ R
n, p ∈ P ⊂ R
m. Пусть xe(p) — состояние равновесия,
соответствующее некоторому значению параметра p.
Относительно системы (1) сделаем следующие предположения.
Предположение 1. Система уравнений (1) такова, что:
1) функции
fi(x, p), i = 1, . . . , n,
определены и непрерывны на некотором открытом множестве Γ ⊂ R
n × R
m вместе
с частными производными
∂fi
∂xj
, i, j = 1, . . . , n,
∂2fi
∂xl∂xk
, i, l, k = 1, . . . , n,
∂2fi
∂xl∂ps
, i, l = 1, . . . , n, s = 1, . . . ,m;
2) для некоторого значения вектор-параметра p∗ существует состояние равновесия
x∗ = xe(p∗) так, что f(x∗, p∗) = 0 и точка (x∗, p∗) принадлежит множеству Γ;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 59
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1700 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T12:07:31Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жук, О.П. 2008-09-02T16:42:44Z 2008-09-02T16:42:44Z 2007 Рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля / О.П. Жук // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 55–59. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1700 532.59:534.29 The influence of the radiation force on a liquid droplet in the acoustic field is investigated. The dependence of the force on the ratios of the densities and adiabatic elastic moduli of the droplet and an external liquid is studied. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля Article published earlier |
| spellingShingle | Рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля Жук, О.П. Механіка |
| title | Рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля |
| title_full | Рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля |
| title_fullStr | Рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля |
| title_full_unstemmed | Рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля |
| title_short | Рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля |
| title_sort | рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1700 |
| work_keys_str_mv | AT žukop ruhsferičnoíkraplírídinipíddíêûradíacíinoísiliakustičnogopolâ |