К теории параметрической устойчивости
A general method of analysis based on Lyapunov's direct method is presented for studying the parametric stability of the nonlinear systems of differential equations. The results demonstrate the roles played by (1) estimating the domain of potential asymptotic stability and (2) constructing the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1701 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К теории параметрической устойчивости / А.А. Мартынюк, А.С. Хорошун // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 59–65. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859609165700268032 |
|---|---|
| author | Мартынюк, А.А. Хорошун, А.С. |
| author_facet | Мартынюк, А.А. Хорошун, А.С. |
| citation_txt | К теории параметрической устойчивости / А.А. Мартынюк, А.С. Хорошун // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 59–65. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | A general method of analysis based on Lyapunov's direct method is presented for studying the parametric stability of the nonlinear systems of differential equations. The results demonstrate the roles played by (1) estimating the domain of potential asymptotic stability and (2) constructing the auxiliary Lyapunov function.
|
| first_indexed | 2025-11-28T09:50:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
1. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. – Москва: Наука, 1966. – 520 с.
2. Гольдберг З. А. Давление звука // Мощные ультразвуковые поля. – Москва: Наука, 1968. – 267 с.
3. King L.V. On the acoustic radiation pressure on spheres // Proc. Roy. Soc., Ser. A. – 1934. – 147, No 861. –
P. 212–240.
4. Guz A.N., Zhuk A. P. Motion of solid particles in a liguid under the action of an acoustic field: the
mechanism of radiation pressure // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, No 3. – P. 246–265.
5. Морз Ф. Колебания и звук. – Москва; Ленинград: ГИТТЛ, 1949. – 496 с.
6. Ржевкин С.Н. Курс лекций по теории звука. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1960. – 336 с.
Надiйшло до редакцiї 07.12.2006Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
УДК 517.36
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Мартынюк, А. С. Хорошун
К теории параметрической устойчивости
A general method of analysis based on Lyapunov’s direct method is presented for studying the
parametric stability of the nonlinear systems of differential equations. The results demonstrate
the roles played by (1) estimating the domain of potential asymptotic stability and (2) constructi-
ng the auxiliary Lyapunov function.
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
ẋ = f(x, p), (1)
где x ∈ R
n, p ∈ R
m, f(x, p) = (f1(x, p), . . . , fn(x, p))T , fi : R
n × R
m → R, i = 1, . . . , n. Ве-
ктор-функция f(x, p) предполагается достаточно гладкой, и решение x(t, x0, p) системы (1)
существует при всех t > t0 и x0 ∈ D ⊆ R
n, p ∈ P ⊂ R
m. Пусть xe(p) — состояние равновесия,
соответствующее некоторому значению параметра p.
Относительно системы (1) сделаем следующие предположения.
Предположение 1. Система уравнений (1) такова, что:
1) функции
fi(x, p), i = 1, . . . , n,
определены и непрерывны на некотором открытом множестве Γ ⊂ R
n × R
m вместе
с частными производными
∂fi
∂xj
, i, j = 1, . . . , n,
∂2fi
∂xl∂xk
, i, l, k = 1, . . . , n,
∂2fi
∂xl∂ps
, i, l = 1, . . . , n, s = 1, . . . ,m;
2) для некоторого значения вектор-параметра p∗ существует состояние равновесия
x∗ = xe(p∗) так, что f(x∗, p∗) = 0 и точка (x∗, p∗) принадлежит множеству Γ;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 59
3) det
(
∂f(x, p)
∂x
∣
∣
∣
∣
(x∗,p∗)
)
6= 0;
4) матрица
∂f(x, p∗)
∂x
является устойчивой в точке x = x∗.
Определение параметрической асимптотической устойчивости по отношению к области
P ⊂ R
m введем согласно работам [1, 3].
Определение 1. Система (1) называется параметрически асимптотически устойчивой
по отношению к области P ⊂ R
m, если для любого p ∈ P :
1) существует состояние равновесия xe(p) ∈ R
n;
2) для любого числа ε > 0 существует число δ(ε, p) > 0 такое, что из условия
‖x0 − xe(p)‖ < δ
следует
‖x(t;x0, p) − xe(p)‖ < ε, ∀ t ∈ R+;
3) существует число µ(p) > 0 такое, что из условия
‖x0 − xe(p)‖ < µ(p)
следует
lim
t→∞
x(t;x0, p) = xe(p).
Если в пространстве R
m определена область P и для каждого p ∈ P уравнение f(x, p) =
= 0 имеет решение xe(p) ∈ X ⊂ R
n, то, согласно теореме 2.25 из [1], вопрос о парамет-
рической асимптотической устойчивости сводится к вопросу о существовании подходящей
функции Ляпунова.
Таким образом, целью данной работы является получение условий существования функ-
ции Ляпунова, устанавливающей параметрическую асимптотическую устойчивость систе-
мы (1).
2. Предварительные результаты. Укажем способ оценки возможной области асимп-
тотической параметрической устойчивости. Исходя из предположения 1, найдем область
P ∈ R
m, для каждого значения p из которой уравнение f(x, p) = 0 имеет решение xe(p) ∈
∈ X ⊂ R
n.
Пусть
x = (x1, . . . , xn)T = (XT
1 , . . . ,XT
s )T ,
где Xi ∈ R
ni , 1 6 ni < n, i = 1, . . . , s, n1 + · · · + ns = n, n0 = 0;
p = (p1, . . . , pm)T = (P T
1 , . . . , P T
b )T ,
где Pj ∈ R
mj , 1 6 mj < m, j = 1, . . . , b, m1 + · · · + mb = m, m0 = 0;
Πr,q = {(x, p) | Ωr : ‖Xi − X∗
i ‖ < ri, Ωq : ‖Pj − P ∗
j ‖ < qj, i = 1, . . . , s, j = 1, . . . , b} —
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
область в пространстве R
n ×R
m, в которой для каждого значения параметра p из Ωq урав-
нение f(x, p) = 0 имеет решение xe(p) из Ωr.
Приведя уравнение f(x, p) = 0 к операторному виду и применяя к нему теорему о не-
подвижной точке для общего итерационного метода в псевдометрическом пространстве
(см. [2]), получим следующие условия, которым должны удовлетворять числа ri, i = 1, . . . , s,
и qj , j = 1, . . . , b:
∥
∥
∥
∥
(
∂f(x, p)
∂x
∣
∣
∣
∣
∣
(x∗,p∗)
)
−1∥
∥
∥
∥
(
s
∑
i=1
ri max
Πr,q
‖Ai(x, p)‖ +
b
∑
j=1
qj max
Πr,q
‖Dj(x, p)‖
)
6 1, (2)
где
Ai(x, p) =
∣
∣
∣
∣
∂2f1(x, p)
∂x1∂Xi
∣
∣
∣
∣
. . .
∣
∣
∣
∣
∂2f1(x, p)
∂xn∂Xi
∣
∣
∣
∣
...
. . .
...
∣
∣
∣
∣
∂2fn(x, p)
∂x1∂Xi
∣
∣
∣
∣
. . .
∣
∣
∣
∣
∂2fn(x, p)
∂xn∂Xi
∣
∣
∣
∣
,
Dj(x, p) =
∣
∣
∣
∣
∂2f1(x, p)
∂x1∂Pj
∣
∣
∣
∣
. . .
∣
∣
∣
∣
∂2f1(x, p)
∂xn∂Pj
∣
∣
∣
∣
...
. . .
...
∣
∣
∣
∣
∂2fn(x, p)
∂x1∂Pj
∣
∣
∣
∣
. . .
∣
∣
∣
∣
∂2fn(x, p)
∂xn∂Pj
∣
∣
∣
∣
,
r((αk
j )
s
k,j=1) < 1.
(3)
Здесь r(A) — спектральный радиус матрицы A,
αk
j =
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
β
n1+···+nk−1+1
n1+···+nj−1+1 . . . β
n1+···+nk−1+1
n1+···+nj
...
. . .
...
β
n1+···+nk
n1+···+nj−1+1 . . . β
n1+···+nk
n1+···+nj
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
,
β
n1+···+nk−1+l
n1+···+nj−1+c =
n
∑
i=1
|c
n1+···+nk−1+l
i | ×
×
(
s
∑
h=1
max
Πr,q
∣
∣
∣
∣
∣
∂2fi(x, p)
∂xn1+···+nj−1+c∂XT
h
∣
∣
∣
∣
∣
rh +
b
∑
a=1
max
Πr,q
∣
∣
∣
∣
∂2fi(x, p)
∂xn1+···+nj−1+c∂P T
a
∣
∣
∣
∣
qa
)
,
k, j = 1, . . . , s, l = 1, . . . , nk, c = 1, . . . , nj ,
(E − (αk
j )
s
k,j=1)
−1
∆1
1 . . . ∆1
t
...
. . .
...
∆s
1 . . . ∆s
t
(q1
1 , . . . , q
1
b )
T
6 (r1
1, . . . , r
1
s)
T ,
(4)
где
∆k
j =
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
γ
n1+···+nk−1+1
m1+···+mj−1+1 . . . γ
n1+···+nk−1+1
m1+···+mj
...
. . .
...
γ
n1+···+nk
m1+···+mj−1+1 . . . γ
n1+···+nk
m1+···+mj
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 61
γ
n1+···+nk−1+l
m1+···+mj−1+c =
n
∑
i=1
|c
n1+···+nk−1+l
i |max
Πr,q
∣
∣
∣
∣
∂fi(x
∗, p)
∂pm1+···+mj−1+c
∣
∣
∣
∣
,
k = 1, . . . , s, j = 1, . . . , b, l = 1, . . . , nk, c = 1, . . . ,mj .
Таким образом, с помощью вышеуказанных соотношений определяются границы воз-
можной области параметрической асимптотической устойчивости.
3. Основная теорема. Установим достаточные условия параметрической асимптотиче-
ской устойчивости системы дифференциальных уравнений относительно указанной обла-
сти. Пусть для уравнения f(x, p) = 0 с помощью метода, указанного в п. 2, определена
область Πr,q. Имеет место утверждение.
Теорема 1. Пусть для векторной функции f(x, p), системы (1) и области Πr,q выпол-
няется условие
−λmin(Q) + 2‖P‖
(
s
∑
i=1
ri max
Πr,q
‖Ai(x, p)‖ +
b
∑
j=1
qj max
Πr,q
‖Bj(x, p)‖
)
< 0, (5)
где
Ai(x, p) =
(∣
∣
∣
∣
∂2fk(x, p)
∂xl∂Xi
∣
∣
∣
∣
)n
k,l=1
, Bj(x, p) =
(∣
∣
∣
∣
∂2fk(x, p)
∂xl∂Pj
∣
∣
∣
∣
)n
k,l=1
,
λmin(Q) — наименьшее собственное значение матрицы Q; Q — произвольная симметри-
ческая положительно определенная матрица размерности n × n; P — симметрическая
положительно определенная матрица, являющаяся решением матричного уравнения
(
∂f(x, p∗)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=x∗
)T
P + P
(
∂f(x, p∗)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=x∗
)
= −Q. (6)
Тогда для любого xe(p) из Ωr существует окрестность, полностью включаемая в Ωr, та-
кая, что функция
V (x, xe(p)) = (x − xe(p))T P (x − xe(p))
является функцией Ляпунова в этой окрестности.
Доказательство. Выберем произвольное значение вектор-параметра p из области Ωq.
Согласно определению области Πr,q, существует состояние равновесия xe(p) из области Ωr.
Заменой переменной z = x − xe(p) систему (1) приведем к виду
ż = f(z + xe(p), p). (7)
Пусть Q — симметрическая положительно определенная матрица размерности n×n. При
таком выборе Q, согласно условию (4) предположения 1, существует решение уравнения (6)
в виде симметрической положительно определенной матрицы P . Будем строить функцию
Ляпунова в виде
V (z) = zT Pz.
Очевидно, что при таком выборе матрицы P функция V (z) будет принимать только поло-
жительные значения при всех z 6= 0 и V (0) = 0.
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
Найдем производную по времени функции V (z) в силу системы (7)
V̇ (z)
∣
∣
(7)
= (f(z + xe(p), p))T Pz + zT Pf(z + xe(p), p) =
= (f(z + x∗, p∗))T Pz + zT Pf(z + x∗, p∗) +
+(f(z+xe(p), p)−f(z+x∗, p∗))T Pz+zT P (f(z+xe(p), p)−f(z+x∗, p∗))=
= −zT Qz + zT
(
∂f(x, p)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=xe(p)
−
∂f(x, p∗)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=x∗
)T
Pz+
+zT P
(
∂f(x, p)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=xe(p)
−
∂f(x, p∗)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=x∗
)
z + zT Po(z) + (o(z))T Pz 6
6 −λmin(Q)‖z‖2 + 2‖P‖
∥
∥
∥
∥
(
∂f(x, p)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=xe(p)
−
∂f(x, p∗)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=x∗
)∥
∥
∥
∥
‖z‖2+
+2‖P‖‖o(z)‖‖z‖, (8)
o(z) — бесконечно малая величина по сравнению с z в некоторой окрестности 0,
∥
∥
∥
∥
∂f(x, p)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=xe(p)
−
∂f(x, p∗)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=x∗
∥
∥
∥
∥
6
s
∑
i=1
ri max
Πr,q
‖Ai(x, p)‖ +
b
∑
j=1
qj max
Πr,q
‖Bj(x, p)‖. (9)
Оценку (9) получаем, учитывая, что
∣
∣
∣
∣
∂fk(x, p)
∂xl
−
∂fk(x
∗, p∗)
∂xl
∣
∣
∣
∣
=
=
∣
∣
∣
∣
∣
n
∑
i=1
∂2fk(x, p)
∂xl∂xi
∣
∣
∣
∣x=x∗+θ(x−x∗)
p=p∗+θ(p−p∗)
(xi − x∗
i ) +
m
∑
j=1
∂2fk(x, p)
∂xl∂pj
∣
∣
∣
∣x=x∗+θ(x−x∗)
p=p∗+θ(p−p∗)
(pj − p∗j)
∣
∣
∣
∣
∣
6
6
s
∑
i=1
max
Πr,q
∣
∣
∣
∣
∂2fk(x, p)
∂xl∂Xi
∣
∣
∣
∣
|Xi − X∗
i | +
b
∑
j=1
max
Πr,q
∣
∣
∣
∣
∂2fk(x, p)
∂xl∂Pj
∣
∣
∣
∣
|Pj − P ∗
j |,
где k, l = 1, . . . , n.
Продолжим оценку (8), учитывая (9):
V̇ (z
∣
∣
(3.2)
6 −λmin(Q)‖z‖2 + 2‖P‖‖o(z)‖‖z‖ +
+ 2‖P‖
(
s
∑
i=1
ri max
Πr,q
‖Ai(x, p)‖ +
b
∑
j=1
qj max
Πr,q
‖Bj(x, p)‖
)
‖z‖2. (10)
Выберем окрестность Ωz точки z = 0 так, чтобы для всех значений переменной z ∈ Ωz
выполнялось соотношение
‖o(z)‖ 6
−λmin(Q) + 2‖P‖
(
s
∑
i=1
ri max
Πr,q
‖Ai(x, p)‖ +
b
∑
j=1
qj max
Πr,q
‖Bj(x, p)‖
)
2‖P‖
‖z‖. (11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 63
Из (10) и (11) получим, что в Ωz
V̇ (z)
∣
∣
(7)
6
(
−λmin(Q) + 2‖P‖
(
s
∑
i=1
ri max
Πr,q
‖Ai(x, p)‖ +
b
∑
j=1
qj max
Πr,q
‖Bj(x, p)‖
))
‖z‖2. (12)
Таким образом, при выполнении условия (5), функция V (z) = zT Pz суть V (x, xe(p)) =
= (x − xe(p))T P (x − xe(p)), является функцией Ляпунова в окрестности Ωz точки z = 0,
что и завершает доказательство теоремы.
Следствие. Для параметрической асимптотической устойчивости системы (1) от-
носительно области Ωq ⊂ R
m достаточно выполнения условия (5).
Доказательство. При доказательстве теоремы 1 было показано, что для всех p ∈ Ωq
существует состояние равновесия xe(p) ∈ Ωr и некоторая его окрестность, в которой оно
асимптотически устойчиво в силу теоремы 2.25 из [1] и теоремы Ляпунова об асимптоти-
ческой устойчивости из [3]. Согласно определению 1, система (1) параметрически асимпто-
тически устойчива относительно области Ωq ⊂ R
m.
4. Пример. Рассмотрим систему
ẋ1 = p − x1 + x3
1 + px3
2, ẋ2 = p − x2 + x3
2 + px3
1. (13)
Для значения параметра p∗ = 0 решим систему
p − x1 + x3
1 + px3
2 = 0, p − x2 + x3
2 + px3
1 = 0
и выберем в качестве известного состояние равновесия x∗ = (x∗
1, x
∗
2) = 0. Применяя метод,
указанный в п. 2, вычислим область
Πr,q = {(x, p)||x1| < 0, 2, |x2| < 0,2, |p| < 0,14} (14)
и значения
∂f(x, p∗)
∂x
∣
∣
∣
∣
∣
x=x∗
=
(
−1 0
0 −1
)
,
(
∂2fh(x, p)
∂xa∂x1
)n
h,a=1
=
(
6x1 0
6px1 0
)
,
(
∂2fh(x, p)
∂xa∂x2
)n
h,a=1
=
(
0 6px2
0 6x2
)
,
(
∂2fh(x, p)
∂xa∂p
)n
h,a=1
=
(
0 3x2
2
3x2
1 0
)
.
Для матрицы Q =
(
2 0
0 2
)
матрица P =
(
1 0
0 1
)
.
Условие (5) выполняется относительно области (14). Таким образом, система (13) пара-
метрически асимптотически устойчива относительно области P = {p ∈ R : |p| < 0,14}.
5. Замечания. Проблема параметрической устойчивости (неустойчивости) является
одной из центральных проблем динамического анализа нелинейных систем, включая ана-
лиз структур (см. [4]). В работе [1] понятие параметрической устойчивости было связано
с проблемой динамического анализа неточных систем (см. [5]), чем стимулировало даль-
нейшее развитие этой теории. В отличие от работы [1], где постулируется существование
областей Ωx и Ωp, входящих в оценку области Πr,q, в данной работе указывается алгоритм
оценки этой области. Кроме того, здесь указан способ построения функции Ляпунова, ра-
зрешающей задачу об асимптотической параметрической устойчивости системы (1).
Авторы выражают благодарность проф. Д.Д. Шильяку за возможность ознакомления с ра-
ботой [1].
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
1. Ikeda M., Ohta Y., Šiljak D.D. Parametric stability // Proceedings of the Univesit ä di Genova – The
Ohio State University Joint Conference. – Boston: Birkhäuser, 1991.
2. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. – Москва: Мир, 1969. – 447 с.
3. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч. в 5-ти т. – Москва: Изд-во АН
СССР, 1956. – Т. 2. – С. 7–264.
4. Wei-Chan Xie. Dynamic stability of structures. – Cambridge University Press, 2006. – 448 p.
5. Martynyk-Chernienko Yu.A. Stability analysis of uncertain systems via matrix-valued Liapunov func-
tions // Nonlin. Anal. – 2005. – 63. – P. 388–404.
Поступило в редакцию 05.12.2006Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 539.374
© 2007
В.А. Мерзляков
Упругопластическое состояние цилиндрических
оболочек некругового сечения
(Представлено академиком НАН Украины Ю.Н. Шевченко)
A method to determine a thermal-elastic-plastic stress-strain state of non-circular cylindri-
cal shells has been developed. The mechanical properties of the material are considered as
temperature-dependent. A non-linear shell theory, which is based on the Kirchhoff–Love hy-
potheses, is used. A modified method of successive elastic solutions is applied to linearize the
equations of the theory of simple path-dependent processes of loading. To verify the proposed
method, a solution for a cylindrical shell that is obtained by the numerical integration along
the directrix is compared with a solution based on the application of the trigonometric Fourier
series in cyclic coordinates.
В роботах [1, 2] приведены методы расчета некруговых цилиндрических оболочек произ-
вольного поперечного сечения в упругой постановке. В отличие от этого, рассмотрим тер-
моупругопластическое напряженно-деформированное состояние (НДС) указанного класса
оболочек.
Рассматривается термоупругопластическое НДС некруговой цилиндрической оболочки
произвольного поперечного сечения и переменной в двух направлениях толщины. Перво-
начально оболочка находится в ненапряженном состоянии при температуре T0, а затем
подвергается действию силовых и тепловых нагрузок, не вызывающих ее потери устойчи-
вости. Задача рассматривается в несвязанной квазистатической постановке с использова-
нием геометрически нелинейной теории оболочек. Меридиан и толщина оболочки, а так-
же характер приложенных силовых и тепловых нагрузок допускают выполнение гипотез
Кирхгофа–Лява. Предполагается зависимость механических характеристик материала от
температуры.
Положение точек срединной поверхности оболочки определяется длиной образующей
s (s0 6 s 6 sN ) и длиной дуги q (q0 6 q 6 qN ) направляющей (рис. 1). Ограничивают
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 65
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1701 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T09:50:34Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартынюк, А.А. Хорошун, А.С. 2008-09-02T16:45:01Z 2008-09-02T16:45:01Z 2007 К теории параметрической устойчивости / А.А. Мартынюк, А.С. Хорошун // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 59–65. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1701 517.36 A general method of analysis based on Lyapunov's direct method is presented for studying the parametric stability of the nonlinear systems of differential equations. The results demonstrate the roles played by (1) estimating the domain of potential asymptotic stability and (2) constructing the auxiliary Lyapunov function. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка К теории параметрической устойчивости Article published earlier |
| spellingShingle | К теории параметрической устойчивости Мартынюк, А.А. Хорошун, А.С. Механіка |
| title | К теории параметрической устойчивости |
| title_full | К теории параметрической устойчивости |
| title_fullStr | К теории параметрической устойчивости |
| title_full_unstemmed | К теории параметрической устойчивости |
| title_short | К теории параметрической устойчивости |
| title_sort | к теории параметрической устойчивости |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1701 |
| work_keys_str_mv | AT martynûkaa kteoriiparametričeskoiustoičivosti AT horošunas kteoriiparametričeskoiustoičivosti |