On ideals and contraideals in Leibniz algebras
A subalgebra S of a Leibniz algebra L is called a contraideal, if an ideal, generated by S coincides with L. We study
 the Leibniz algebras, whose subalgebras are either an ideal or a contraideal.
 Let L be an algebra over a field F with the binary operations + and [ , ]. Then L is c...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170256 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | On ideals and contraideals in Leibniz algebras / L.A. Kurdachenko, I.Ya. Subbotin, V.S. Yashchuk // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 1. — С. 11-15. — Бібліогр.: 9 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1862602901129527296 |
|---|---|
| author | Kurdachenko, L.A. Subbotin, I.Ya. Yashchuk, V.S. |
| author_facet | Kurdachenko, L.A. Subbotin, I.Ya. Yashchuk, V.S. |
| citation_txt | On ideals and contraideals in Leibniz algebras / L.A. Kurdachenko, I.Ya. Subbotin, V.S. Yashchuk // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 1. — С. 11-15. — Бібліогр.: 9 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | A subalgebra S of a Leibniz algebra L is called a contraideal, if an ideal, generated by S coincides with L. We study
the Leibniz algebras, whose subalgebras are either an ideal or a contraideal.
Let L be an algebra over a field F with the binary operations + and [ , ]. Then L is called a Leibniz algebra (more
precisely, a left Leibniz algebra), if it satisfies the following identity: [[a, b], c] = [a, [b, c]] – [b, [a, c]] for all a,
b, c ∈ L. We will also use another form of this identity: [a, [b, c]] = [[a, b], c] + [b, [a, c]]. Leibniz algebras are generalizations
of Lie algebras. As usual, a subspace A of a Leibniz algebra L is called a subalgebra, if [x,y] ∈ A for all elements
x, y ∈ A. A subalgebra A is called a left (respectively right) ideal of L, if [y,x] ∈ A (respectively, [x,y] ∈ A) for
every x ∈ A, y ∈ L. In other words, if A is a left (respectively, right) ideal, then [L, A] ≤ A (respectively, [A, L] ≤ A).
A subalgebra A of L is called an ideal of L (more precisely, a twosided
ideal), if it is both a left ideal and a right
ideal, that is, [y, x], [x, y] ∈ A for every x ∈ A, y∈ L. A subalgebra A of L is called an contraideal of L, if Aᶫ = L.
The theory of Leibniz algebras has been developed quite intensively, but very uneven. However, there are problems
natural for any algebraic structure that were not previously considered for Leibniz algebras.
We have received a complete description of the Leibniz algebras, which are not Lie algebras, whose subalgebras
are an ideal or a contraideal. We also obtain a description of Lie algebras, whose subalgebras are ideals or contraideals
up to simple Lie algebras.
Підалгебра S алгебри Лейбніца L називається контраідеалом, якщо ідеал, породжений S, збігається з L.
Вивчено алгебри Лейбніца, підалгебри яких є або ідеалом, або контраідеалом. Нехай L алгебра над полем F з бінарними операціями і [ , ]. Тоді L називається алгеброю Лейбніца (точніше, лівою алгеброю
Лейбніца), якщо вона задовольняє тотожність [[a, b], c] = [a, [b, c]] [b, [a, c]] для всіх a, b, c∈L. Також
використано іншу форму цієї тотожності: [a, [b, c]] = [[a, b], c] [b, [a, c]]. Алгебри Лейбніца є узагальненням алгебр Лі. Підпростір A алгебри Лейбніца L називається підалгеброю, якщо [x,y] О A для всіх елементів x, y∈A. Підалгебра A називається лівим (відповідно правим) ідеалом L, якщо [y, x]∈A (відповідно
[x, y]∈A) для всіх x∈A, y∈L. Іншими словами, якщо A є лівим (відповідно правим) ідеалом, то [L, A] ≤ A)
(відповідно [A, L] ∈ A ). Підалгебра A із L називається ідеалом L (точніше, двостороннім ідеалом), якщо
вона одночасно є лівим і правим ідеалом так, що [x, y], [y, x]∈A для всіх x∈A, y∈L. Підалгебра A із L
називається контраідеалом L, якщо AL = L.
Теорія алгебр Лейбніца розвивається досить інтенсивно, проте дуже нерівномірно. Однак існують
природні для будь-яких алгебраїчних структур задачі, що раніше не розглядалися для алгебр Лейбніца.
Отримано повний опис алгебр Лейбніца, які не є алгебрами Лі, підалгебри яких є ідеалом або контраідеалом. Також отримано опис алгебр Лі, всі підалгебри яких є ідеалами або контраідеалами, з точністю до
простих алгебр Лі.
Подалгебра S алгебры Лейбница L называется контраидеалом, если идеал, порожденный S, совпадает с L.
Изучены алгебры Лейбница, подалгебры которых являются либо идеалом, либо контраидеалом. Пусть
L алгебра над полем F з бинарными операциями + і [ , ]. Тогда L называется алгеброй Лейбница (точнее, левой алгеброй Лейбница), если она удовлетворяет тождеству [[a, b], c] = [a, [b, c]] [b, [a, c]] для всех
a, b, c∈L. Также использована другая форма этого тождества: [a, [b, c]] = [[a, b], c] + [b, [a, c]]. Алгебры
Лейбница являются обобщением алгебры Ли. Подпространство A алгебры Лейбница L называется подалгеброй, если [x,y]∈A для всех элементов x, y∈A. Подалгебра A называется левым (соответственно
правым) идеалом L, если [y, x]∈A (соответственно [x, y]∈A) для всех x∈A, y∈L. Другими словами, если
A является левым (соответственно правым) идеалом, то [L, A] ∈ A (соответственно [L, A] ≤ A). Подалгебра
A с L называется идеалом L (точнее, двусторонним идеалом), если она одновременно является левым и
правым идеалом так, что [x, y], [y, x]∈A для всех x∈A, y∈L. Подалгебра A с L называется контраидеалом
L, если AL = L.
Теория алгебр Лейбница развивается достаточно интенсивно, но очень неравномерно. Тем не менее
существуют естественные для любых алгебраических структур задачи, которые раньше не рассматривались
для алгебр Лейбница.
Получено полное описание алгебр Лейбница, которые не являются алгебрами Ли, подалгебры которых являются либо идеалом, либо контраидеалом. Также получено описание алгебры Ли, все подалгебры
которых являются идеалами или контраидеалами, с точностью до простых алгебр Ли.
|
| first_indexed | 2025-11-28T04:01:03Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-170256 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-11-28T04:01:03Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Kurdachenko, L.A. Subbotin, I.Ya. Yashchuk, V.S. 2020-07-09T16:21:15Z 2020-07-09T16:21:15Z 2020 On ideals and contraideals in Leibniz algebras / L.A. Kurdachenko, I.Ya. Subbotin, V.S. Yashchuk // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 1. — С. 11-15. — Бібліогр.: 9 назв. — англ. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.01.011 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170256 512.542 A subalgebra S of a Leibniz algebra L is called a contraideal, if an ideal, generated by S coincides with L. We study
 the Leibniz algebras, whose subalgebras are either an ideal or a contraideal.
 Let L be an algebra over a field F with the binary operations + and [ , ]. Then L is called a Leibniz algebra (more
 precisely, a left Leibniz algebra), if it satisfies the following identity: [[a, b], c] = [a, [b, c]] – [b, [a, c]] for all a,
 b, c ∈ L. We will also use another form of this identity: [a, [b, c]] = [[a, b], c] + [b, [a, c]]. Leibniz algebras are generalizations
 of Lie algebras. As usual, a subspace A of a Leibniz algebra L is called a subalgebra, if [x,y] ∈ A for all elements
 x, y ∈ A. A subalgebra A is called a left (respectively right) ideal of L, if [y,x] ∈ A (respectively, [x,y] ∈ A) for
 every x ∈ A, y ∈ L. In other words, if A is a left (respectively, right) ideal, then [L, A] ≤ A (respectively, [A, L] ≤ A).
 A subalgebra A of L is called an ideal of L (more precisely, a twosided
 ideal), if it is both a left ideal and a right
 ideal, that is, [y, x], [x, y] ∈ A for every x ∈ A, y∈ L. A subalgebra A of L is called an contraideal of L, if Aᶫ = L.
 The theory of Leibniz algebras has been developed quite intensively, but very uneven. However, there are problems
 natural for any algebraic structure that were not previously considered for Leibniz algebras.
 We have received a complete description of the Leibniz algebras, which are not Lie algebras, whose subalgebras
 are an ideal or a contraideal. We also obtain a description of Lie algebras, whose subalgebras are ideals or contraideals
 up to simple Lie algebras. Підалгебра S алгебри Лейбніца L називається контраідеалом, якщо ідеал, породжений S, збігається з L.
 Вивчено алгебри Лейбніца, підалгебри яких є або ідеалом, або контраідеалом. Нехай L алгебра над полем F з бінарними операціями і [ , ]. Тоді L називається алгеброю Лейбніца (точніше, лівою алгеброю
 Лейбніца), якщо вона задовольняє тотожність [[a, b], c] = [a, [b, c]] [b, [a, c]] для всіх a, b, c∈L. Також
 використано іншу форму цієї тотожності: [a, [b, c]] = [[a, b], c] [b, [a, c]]. Алгебри Лейбніца є узагальненням алгебр Лі. Підпростір A алгебри Лейбніца L називається підалгеброю, якщо [x,y] О A для всіх елементів x, y∈A. Підалгебра A називається лівим (відповідно правим) ідеалом L, якщо [y, x]∈A (відповідно
 [x, y]∈A) для всіх x∈A, y∈L. Іншими словами, якщо A є лівим (відповідно правим) ідеалом, то [L, A] ≤ A)
 (відповідно [A, L] ∈ A ). Підалгебра A із L називається ідеалом L (точніше, двостороннім ідеалом), якщо
 вона одночасно є лівим і правим ідеалом так, що [x, y], [y, x]∈A для всіх x∈A, y∈L. Підалгебра A із L
 називається контраідеалом L, якщо AL = L.
 Теорія алгебр Лейбніца розвивається досить інтенсивно, проте дуже нерівномірно. Однак існують
 природні для будь-яких алгебраїчних структур задачі, що раніше не розглядалися для алгебр Лейбніца.
 Отримано повний опис алгебр Лейбніца, які не є алгебрами Лі, підалгебри яких є ідеалом або контраідеалом. Також отримано опис алгебр Лі, всі підалгебри яких є ідеалами або контраідеалами, з точністю до
 простих алгебр Лі. Подалгебра S алгебры Лейбница L называется контраидеалом, если идеал, порожденный S, совпадает с L.
 Изучены алгебры Лейбница, подалгебры которых являются либо идеалом, либо контраидеалом. Пусть
 L алгебра над полем F з бинарными операциями + і [ , ]. Тогда L называется алгеброй Лейбница (точнее, левой алгеброй Лейбница), если она удовлетворяет тождеству [[a, b], c] = [a, [b, c]] [b, [a, c]] для всех
 a, b, c∈L. Также использована другая форма этого тождества: [a, [b, c]] = [[a, b], c] + [b, [a, c]]. Алгебры
 Лейбница являются обобщением алгебры Ли. Подпространство A алгебры Лейбница L называется подалгеброй, если [x,y]∈A для всех элементов x, y∈A. Подалгебра A называется левым (соответственно
 правым) идеалом L, если [y, x]∈A (соответственно [x, y]∈A) для всех x∈A, y∈L. Другими словами, если
 A является левым (соответственно правым) идеалом, то [L, A] ∈ A (соответственно [L, A] ≤ A). Подалгебра
 A с L называется идеалом L (точнее, двусторонним идеалом), если она одновременно является левым и
 правым идеалом так, что [x, y], [y, x]∈A для всех x∈A, y∈L. Подалгебра A с L называется контраидеалом
 L, если AL = L.
 Теория алгебр Лейбница развивается достаточно интенсивно, но очень неравномерно. Тем не менее
 существуют естественные для любых алгебраических структур задачи, которые раньше не рассматривались
 для алгебр Лейбница.
 Получено полное описание алгебр Лейбница, которые не являются алгебрами Ли, подалгебры которых являются либо идеалом, либо контраидеалом. Также получено описание алгебры Ли, все подалгебры
 которых являются идеалами или контраидеалами, с точностью до простых алгебр Ли. en Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика On ideals and contraideals in Leibniz algebras Про ідеали та контраідеали в алгебрах Лейбніца Об идеалах и контраидеалах в алгебрах Лейбница Article published earlier |
| spellingShingle | On ideals and contraideals in Leibniz algebras Kurdachenko, L.A. Subbotin, I.Ya. Yashchuk, V.S. Математика |
| title | On ideals and contraideals in Leibniz algebras |
| title_alt | Про ідеали та контраідеали в алгебрах Лейбніца Об идеалах и контраидеалах в алгебрах Лейбница |
| title_full | On ideals and contraideals in Leibniz algebras |
| title_fullStr | On ideals and contraideals in Leibniz algebras |
| title_full_unstemmed | On ideals and contraideals in Leibniz algebras |
| title_short | On ideals and contraideals in Leibniz algebras |
| title_sort | on ideals and contraideals in leibniz algebras |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170256 |
| work_keys_str_mv | AT kurdachenkola onidealsandcontraidealsinleibnizalgebras AT subbotiniya onidealsandcontraidealsinleibnizalgebras AT yashchukvs onidealsandcontraidealsinleibnizalgebras AT kurdachenkola proídealitakontraídealivalgebrahleibníca AT subbotiniya proídealitakontraídealivalgebrahleibníca AT yashchukvs proídealitakontraídealivalgebrahleibníca AT kurdachenkola obidealahikontraidealahvalgebrahleibnica AT subbotiniya obidealahikontraidealahvalgebrahleibnica AT yashchukvs obidealahikontraidealahvalgebrahleibnica |