On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal

On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal

This paper devoted to the nonperiodic locally generalized radical groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal. We proved that if such a group G includes an ascendant locally nilpotent subgroup of infinite special rank, then G is Abelian. Досліджено неперіодичні локальн...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Доповіді НАН України
Дата:2020
Автори: Kurdachenko, L.A., Subbotin, I.Ya., Velychko, T.V.
Формат: Стаття
Мова:English
Опубліковано: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2020
Теми:
Математика
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170329
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal / L.A. Kurdachenko, I.Ya. Subbotin, T.V. Velychko // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 2. — С. 3-6. — Бібліогр.: 10 назв. — англ.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-170329
record_format dspace
spelling Kurdachenko, L.A.
Subbotin, I.Ya.
Velychko, T.V.
2020-07-11T18:37:29Z
2020-07-11T18:37:29Z
2020
On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal / L.A. Kurdachenko, I.Ya. Subbotin, T.V. Velychko // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 2. — С. 3-6. — Бібліогр.: 10 назв. — англ.
1025-6415
DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.02.003
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170329
512.544
This paper devoted to the nonperiodic locally generalized radical groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal. We proved that if such a group G includes an ascendant locally nilpotent subgroup of infinite special rank, then G is Abelian.
Досліджено неперіодичні локально узагальнені радикальні групи, в яких підгрупи нескінченного спеціального рангу є транзитивно нормальними. Доведено, що якщо така група G містить у собі висхідну локально нільпотентну підгрупу нескінченного спеціального рангу, то G абелева.
Исследованы непериодические локально обобщенные радикальные группы, у которых подгруппы бесконечного специального ранга транзитивно нормальны. Доказано, что если в такую группу G входит восходящая локально нильпотентная подгруппа бесконечного специального ранга, то G абелева.
en
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
Доповіді НАН України
Математика
On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal
Неперіодичні групи, в яких підгрупи нескінченного спеціального рангу є транзитивно нормальними
Непериодические группы, у которых подгруппы бесконечного специального ранга транзитивно нормальны
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal
spellingShingle On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal
Kurdachenko, L.A.
Subbotin, I.Ya.
Velychko, T.V.
Математика
title_short On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal
title_full On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal
title_fullStr On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal
title_full_unstemmed On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal
title_sort on the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal
author Kurdachenko, L.A.
Subbotin, I.Ya.
Velychko, T.V.
author_facet Kurdachenko, L.A.
Subbotin, I.Ya.
Velychko, T.V.
topic Математика
topic_facet Математика
publishDate 2020
language English
container_title Доповіді НАН України
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format Article
title_alt Неперіодичні групи, в яких підгрупи нескінченного спеціального рангу є транзитивно нормальними
Непериодические группы, у которых подгруппы бесконечного специального ранга транзитивно нормальны
description This paper devoted to the nonperiodic locally generalized radical groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal. We proved that if such a group G includes an ascendant locally nilpotent subgroup of infinite special rank, then G is Abelian. Досліджено неперіодичні локально узагальнені радикальні групи, в яких підгрупи нескінченного спеціального рангу є транзитивно нормальними. Доведено, що якщо така група G містить у собі висхідну локально нільпотентну підгрупу нескінченного спеціального рангу, то G абелева. Исследованы непериодические локально обобщенные радикальные группы, у которых подгруппы бесконечного специального ранга транзитивно нормальны. Доказано, что если в такую группу G входит восходящая локально нильпотентная подгруппа бесконечного специального ранга, то G абелева.
issn 1025-6415
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170329
citation_txt On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal / L.A. Kurdachenko, I.Ya. Subbotin, T.V. Velychko // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 2. — С. 3-6. — Бібліогр.: 10 назв. — англ.
work_keys_str_mv AT kurdachenkola onthenonperiodicgroupswhosesubgroupsofinfinitespecialrankaretransitivelynormal
AT subbotiniya onthenonperiodicgroupswhosesubgroupsofinfinitespecialrankaretransitivelynormal
AT velychkotv onthenonperiodicgroupswhosesubgroupsofinfinitespecialrankaretransitivelynormal
AT kurdachenkola neperíodičnígrupivâkihpídgrupineskínčennogospecíalʹnogoranguêtranzitivnonormalʹnimi
AT subbotiniya neperíodičnígrupivâkihpídgrupineskínčennogospecíalʹnogoranguêtranzitivnonormalʹnimi
AT velychkotv neperíodičnígrupivâkihpídgrupineskínčennogospecíalʹnogoranguêtranzitivnonormalʹnimi
AT kurdachenkola neperiodičeskiegruppyukotoryhpodgruppybeskonečnogospecialʹnogorangatranzitivnonormalʹny
AT subbotiniya neperiodičeskiegruppyukotoryhpodgruppybeskonečnogospecialʹnogorangatranzitivnonormalʹny
AT velychkotv neperiodičeskiegruppyukotoryhpodgruppybeskonečnogospecialʹnogorangatranzitivnonormalʹny
first_indexed 2025-11-27T02:34:52Z
last_indexed 2025-11-27T02:34:52Z
_version_ 1850794683665481728
fulltext 3 МАТЕМАТИКА ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 2: 3—6 © L.A. Kurdachenko, I.Ya. Subbotin, T.V. Velychko, 2020 https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.02.003 UDK 512.544 L.A. Kurdachenko 1, I.Ya. Subbotin 2, T.V. Velychko 1 1 Oles Honchar Dnipro National University 2 National University, Los Angeles, USA E­mail: lkurdachenko@i.ua , isubboti@nu.edu, etativ@rambler.ru On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal Presented by Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.P. Motornyi This paper devoted to the nonperiodic locally generalized radical groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal. We proved that if such a group G includes an ascendant locally nilpotent subgroup of infinite special rank, then G is Abelian. Keywords: finite special rank, soluble group, periodic group, locally nilpotent radical, locally nilpotent residual, transitively normal subgroups. ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ МАТЕМАТИКА The groups with certain prescribed properties of subgroups form one of the central subjects of research in group theory. Their investigation introduced many important concepts such as the finiteness conditions, local nilpotence, local solubility, subnormality, permutability, some impor­ tant numerical invariants on groups, in particular, distinct group ranks, etc. Choosing specific prescribed properties and particular families of subgroups which possess these properties, we come to distinct classes of groups. There is an enormous array of papers devoted to this theme. In the present paper, we will consider the influence of the following two families of subgroups on the structure of a group. These are the family of subgroups of finite special rank and the family of transitively normal subgroups. We say that a subgroup H of a group G is transitively normal, if H is normal in every subgroup K � H, in which H is subnormal [1]. It is well known that the relation “to be a normal subgroup” is not transitive. A group G is said to be a T­group, if this relation is transitive in G. A group G is said to be a T ­group, if every subgroup of G is a T­group. It is not hard to see that every subgroup of G is transitively normal, if and only if G is a T ­group. 4 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 2 L.A. Kurdachenko, I.Ya. Subbotin, T.V. Velychko A group G is said to be a group of a finite special rank r, if every finitely generated subgroup of G can be generated by at most r elements, and there exists a finitely generated subgroup H, which has exactly r generators [2]. The theory of groups of finite special rank is one of the best developed parts of group theory (see, e.g., surveys [3­5] and book [6]). In [7], M.R. Dixon, M.J. Evans, and H. Smith initiated the investigation of the groups, whose subgroups of infinite special rank have some fixed property P. This research has been prolonged by many authors for distinct natural properties P (see, e.g., survey [5]). In [8], the study of the groups, whose sub­ groups of infinite special rank are transitively normal was initiated. More precisely, the structu­ re of periodic soluble groups with this property has been described there. In the current paper, we begin to study of the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are tran­ sitively normal. The main result of this paper is the following Theorem. Let G be a nonperiodic locally generalized radical group, whose subgroups of infi­ nite special rank are transitively normal. If G includes an ascendant locally nilpotent subgroup of infinite special rank, then G is Abelian. Corollary 1. Let G be a nonperiodic locally generalized radical group, whose subgroups of in­ finite special rank are transitively normal. If G includes an ascendant Abelian subgroup of infinite special rank, then G is Abelian. We derive the corollaries of this theorem for some types of subgroups that are transitively normal. Recall that a subgroup H is said to be contranormal in a group G, if its normal closure HG coincides with G. A subgroup H of a group G is said to be polynormal in a group G, if, for each subgroup S includ­ ing H, the subgroup H is contranormal in HS [9]. It is not hard to see that every polynormal subgroup is transitively normal; so, we can obtain Corollary 2. Let G be a nonperiodic locally generalized radical group, whose subgroups of infi­ nite special rank are polynormal. If G includes an ascendant locally nilpotent subgroup of infinite special rank, then G is Abelian. A subgroup H is said to be paranormal in a group G, if H is contranormal in the subgroup 〈 H, Hg 〉 for all elements g of a group G [9]. Every paranormal subgroup of G is polynormal in G [9]; so we obtain Corollary 3. Let G be a nonperiodic locally generalized radical group, whose subgroups of in­ finite special rank are paranormal. If G includes an ascendant locally nilpotent subgroup of infi­ nite special rank, then G is Abelian. A subgroup H of a group G is called weakly normal in G, if the inclusion H g � NG(H) always implies g ∈ NG(H) [10] � NG(H). We note that every weakly normal subgroup is transitively normal; so we obtain Corollary 4. Let G be a nonperiodic locally generalized radical group, whose subgroups of in ­ finite special rank are weakly normal. If G includes an ascendant locally nilpotent subgroup of in­ finite special rank, then G is Abelian. A subgroup H of a group G is called weakly pronormal in G, if the subgroups H and H g are conjugate in H< g > for each element g of the group G [9]. We say that a subgroup H of a group G has the Frattini property, if, for every subgroups K, L such that H � K and K is normal in L, we have L = NL(K)K. 5ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 2 On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal We note that a subgroup H is weakly pronormal on G, if and only if H has the Frattini pro per­ ty [9]. Clearly, every subgroup having the Frattini property is transitively normal; so we obtain Corollary 5. Let G be a nonperiodic locally generalized radical group, whose subgroups of in­ finite special rank are weakly pronormal. If G includes an ascendant locally nilpotent subgroup of infinite special rank, then G is Abelian. A subgroup H of a group G is called pronormal in G, if the subgroups H and H g are conjugate in 〈 H, H g 〉 for each element g of the group G. Clearly, every pronormal subgroup is transitively normal; so we obtain Corollary 6. Let G be a nonperiodic locally generalized radical group, whose subgroups of infi­ nite special rank are pronormal. If G includes an ascendant locally nilpotent subgroup of infinite special rank, then G is Abelian. REFERENCES 1. Kurdachenko, L. A. & Subbotin, I. Ya. (2006). Transitivity of normality and pronormal subgroups. In Com­ binatorial group theory, discrete groups, and number theory. Contemporary Mathematics, Vol. 421 (pp. 201­ 212). Providence, RI: Amer. Math. Soc. 2. Maltsev, A. I. (1948). On groups of finite rank. Mat. Sbornik 22, pp. 351­352 (in Russian). 3. Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A. & Subbotin, I. Ya. (2007). On various rank conditions in infinite groups. Algebra Discrete Math., No. 4, pp. 23­43. 4. Dixon, M. R. (2008). Certain rank conditions on groups. Noti di Matematica, 2, pp. 151­175. 5. Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., Pypka, A. A. & Subbotin, I. Ya. (2016). Groups satisfying certain rank conditions. Algebra Discrete Math., 22, No. 2, pp. 184­200. 6. Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A. & Subbotin, I. Ya. (2017). Rank of groups: the tools, characteristic and restrictions. Wiley. 7. Dixon, M. R., Evans, M. J. & Smith, H. (1997). Locally (soluble­by­finite) groups with all proper insoluble subgroups of finite rank. Arch. Math. (Basel), 68, pp. 100­109. 8. Semko, N. N. & Velychko, T. V. (2017). On the groups whose subgroups of infinite special rank are transi­ tively normal. Algebra Discrete Math., 24, No. 1, pp. 34­45. 9. Ba, M. S. & Borevich, Z. I. (1988). On arrangement of intermediate subgroups. In: Rings and linear groups (pp. 14­41). Krasnodar: Kubanskij Univ. (in Russian). 10. Müller, K. H. (1966). Schwachnormale Untergruppen: Eine gemeinsame Verallgemeinerung der normalen und normalisatorgleichen Untergruppen. Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, No. 1, 36, pp. 129­157. Received 04.04.2019 Л.A. Kурдаченко 1, I.Я. Субботін 2, Т.В. Величко 1 1 Дніпровський національний університет ім. Олеся Гончара 2 Національний університет, Лос­Анджелес, США E­mail: lkurdachenko@i.ua , isubboti@nu.edu, etativ@rambler.ru НЕПЕРІОДИЧНІ ГРУПИ, В ЯКИХ ПІДГРУПИ НЕСКІНЧЕННОГО СПЕЦІАЛЬНОГО РАНГУ Є ТРАНЗИТИВНО НОРМАЛЬНИМИ Досліджено неперіодичні локально узагальнені радикальні групи, в яких підгрупи нескінченного спе­ ціального рангу є транзитивно нормальними. Доведено, що якщо така група G містить у собі висхідну ло­ кально нільпотентну підгрупу нескінченного спеціального рангу, то G абелева. Ключові слова: нескінченний спеціальний ранг, розв’язна група, періодична група, локально нільпотентний радикал, локально нільпотентний резидуал, транзитивно нормальні підгрупи. 6 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 2 L.A. Kurdachenko, I.Ya. Subbotin, T.V. Velychko Л.А. Курдаченко 1, И.Я. Субботин 2, Т.В. Величко 1 1 Днепровский национальный университет им. Олеся Гончара 2 Национальный университет, Лос­Анджелес, США E­mail: lkurdachenko@i.ua , isubboti@nu.edu, etativ@rambler.ru НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРУППЫ, У КОТОРЫХ ПОДГРУППЫ БЕСКОНЕЧНОГО СПЕЦИАЛЬНОГО РАНГА ТРАНЗИТИВНО НОРМАЛЬНЫ Исследованы непериодические локально обобщенные радикальные группы, у которых подгруппы бес­ конечного специального ранга транзитивно нормальны. Доказано, что если в такую группу G входит вос­ ходящая локально нильпотентная подгруппа бесконечного специального ранга, то G абелева. Ключевые слова: конечный специальный ранг, разрешимая группа, периодическая группа, локально ниль­ потентный радикал, локально нильпотентный резидуал, транзитивно нормальные подгруппы.

Схожі ресурси