О влиянии конечных начальних деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости
Рассмотрена задача о распространении акустических волн в предварительно деформированном несжимаемом упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем вязкой сжимаемой жидкости. Исследование проведено на основе трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для несжимае...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170331 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О влиянии конечных начальних деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости / А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 2. — С. 15-23. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859549548760793088 |
|---|---|
| author | Багно, А.М. |
| author_facet | Багно, А.М. |
| citation_txt | О влиянии конечных начальних деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости / А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 2. — С. 15-23. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассмотрена задача о распространении акустических волн в предварительно деформированном несжимаемом упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем вязкой сжимаемой жидкости. Исследование проведено на основе трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций
для несжимаемого упругого полупространства и трехмерных линеаризованных уравнений Навье—Стокса
для слоя вязкой сжимаемой жидкости. Применены постановка задачи и подход, основанные на использовании представлений общих решений линеаризованных уравнений для упругого тела и жидкости. Получено дисперсионное уравнение, описывающее распространение гармонических волн в гидроупругой системе.
Построены дисперсионные кривые поверхностных волн в широком диапазоне частот. Проанализировано
влияние конечных начальных деформаций упругого полупространства и толщины слоя вязкой сжимаемой
жидкости на фазовые скорости, коэффициенты затухания и дисперсию поверхностных волн в гидроупругих волноводах. Числовые результаты представлены в виде графиков и дан их анализ.
Розглянуто задачу про поширення акустичних хвиль в попередньо деформованому нестисливого пружному півпросторі, що взаємодіє з шаром в'язкої стисливої рідини. Дослідження проведено на основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для нестисливого пружного
півпростору та тривимірних лінеаризованих рівнянь Нав'є—Стокса для шару в'язкої стисливої рідини.
Застосовано постановку задачі та підхід, засновані на використанні представлень загальних розв'язків
лінеаризованих рівнянь для пружного тіла і рідини. Отримано дисперсійне рівняння, що описує поширення гармонічних хвиль у гідропружній системі. Побудовано дисперсійні криві поверхневих хвиль в широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив скінченних початкових деформацій пружного півпростору
та товщини шару в'язкої стисливої рідини на фазові швидкості, коефіцієнти загасання і дисперсію поверхневих хвиль у гідропружних хвилеводах. Числові результати наведено у вигляді графіків і дано їх аналіз.
The problem of the propagation of acoustic waves in a previously deformed incompressible elastic halfspace
interacting with a layer of a viscous compressible fluid is considered. The study was carried out on the basis of
threedimensional linearized equations of the theory of elasticity of finite deformations for an incompressible
elastic halfspace and threedimensional
linearized Navier—Stokes equations for a layer of a viscous compressible
fluid. The formulation of the problem and the approach based on the use of representations of general solutions
of the linearized equations for an elastic body and fluid are used. A dispersion equation describing the
propagation of harmonic waves in a hydroelastic system is obtained. Dispersion curves of surface waves are constructed
in a wide frequency range. The effect of the finite initial deformations of the elastic halfspace
and the thickness of a layer of a viscous compressible fluid on the phase velocities, attenuation coefficients, and dispersion
of surface waves in hydroelastic waveguides is analyzed. The numerical results are presented in the form of
graphs, and their analysis is given.
|
| first_indexed | 2025-11-26T03:42:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
15
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
Широкое использование поверхностных акустических волн в сейсмологии, сейсморазвед
ке и других областях ставит задачу более полного учета свойств, присущих реальным уп
ругим и жидким средам. К числу таких факторов принадлежат начальные напряжения в
упругом теле, а также вязкость и сжимаемость жидкости [1—4].
В связи с этим для исследования закономерностей распространения поверхностных
волн возникла необходимость применения математических моделей, более полно отра
жающих поведение реальных упругих и жидких сред. К числу таких моделей принадлежит
модель, построенная на основании применения трехмерных линеаризованных уравнений
[3—7] и позволяющая учесть как начальные деформации упругого тела, так вязкость и сжи
маемость жидкой среды. Указанная модель применима также к высокоэластичным рези
ноподобным несжимаемым материалам, допускающим большие начальные деформации и
© А.М. Багно, 2020
ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 2: 15—23
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.02.015
УДК 539.3
А.М. Багно
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
Email: alexbag2016@gmail.com
О влиянии конечных начальных деформаций
на волновой процесс в системе, состоящей из упругого
полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости
Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем
Рассмотрена задача о распространении акустических волн в предварительно деформированном несжи
маемом упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем вязкой сжимаемой жидкости. Исследо
вание проведено на основе трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформа ций
для несжимаемого упругого полупространства и трехмерных линеаризованных уравнений Навье—Стокса
для слоя вязкой сжимаемой жидкости. Применены постановка задачи и подход, основанные на использо
вании представлений общих решений линеаризованных уравнений для упругого тела и жидкости. Получе
но дисперсионное уравнение, описывающее распространение гармонических волн в гидроупругой системе.
Построены дисперсионные кривые поверхностных волн в широком диапазоне частот. Проанализировано
влияние конечных начальных деформаций упругого полупространства и толщины слоя вязкой сжимаемой
жидкости на фазовые скорости, коэффициенты затухания и дисперсию поверхностных волн в гидроупру
гих волноводах. Числовые результаты представлены в виде графиков и дан их анализ.
Ключевые слова: поверхностные волны, фазовая скорость, коэффициент затухания, несжимаемое упру
гое полупространство, слой вязкой сжимаемой жидкости, конечные начальные деформации.
МЕХАНІКА
16 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 2
А.М. Багно
обладающим пониженной сдвиговой жесткостью, на динамическое поведение которых
вязкая сжимаемая жидкость может оказывать значительное влияние. Проведение исследо
ваний в рамках такого подхода вызвано тем, что в упругих телах практически всегда име
ются начальные напряжения. Они возникают, например, при действии полей различной
физической природы, а также в результате различных технологических процессов и других
факторов. Поэтому представляет определенный теоретический и прикладной интерес ис
следования влияния начальных напряжений на распространение поверхностных волн в
системе несжимаемое упругое полупространство — слой вязкой сжимаемый жидкости. За
метим, что применение указанной модели к сжимаемым жестким материалам (органиче
ское стекло, сталь) [2—4, 8—10] позволило подробно исследовать, а также получить ка
чественную и количественную информации о влиянии малых начальных деформаций на
волновой процесс.
В данном сообщении для исследования влияния больших начальных деформаций на
закономерности распространения поверхностных акустических волн в гидроупругой сис
теме, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой жидкости, применяются
модели, учитывающие начальные напряжения в упругом теле, а также вязкость и сжи
маемость жидкой среды. При исследовании используются трехмерные линеаризованные
уравнения Навье—Стокса для жидкости и трехмерные линеаризованные уравнения теории
упругости конечных деформаций для твердого тела. При этом предполагается, что жидкость
является ньютоновской, находится в состоянии покоя и тепловые эффекты не учитыва
ются. В качестве подхода выбраны постановки задач и метод, основанные на применении
представлений общих решений линеаризованных уравнений движения вязкой сжимаемой
жидкости и предварительно напряженного несжимаемого упругого тела, предложенные в
работах [3—7].
Постановка задачи. Рассмотрим такие динамические процессы в гидроупругой системе,
при которых возникающие дополнительные деформации, т.е. возмущения деформаций, зна чи
тельно меньше начальных. Исследуем гармонические волновые процессы малой амплиту ды.
Далее предположим, что изотропное нелинейноупругое твердое тело, упругий потен
циал которого является произвольной дважды непрерывнодифференцируемой функцией
компонент тензора деформаций Грина, занимает объем: 1z−∞ < < ∞ , 2 0z−∞ < � , 3z−∞ < < ∞
и контактирует со слоем вязкой сжимаемой жидкости, заполняющей объем: 1z−∞ < < ∞ ,
20 z h� � , 3z−∞ < < ∞. Примем, что внешние силы, действующие на указанные среды, рас
пределены равномерно вдоль оси 3 .Oz В этом случае задача является плоской и можно ог
раничиться изучением процесса распространения волн в плоскости 1 2Oz z . Следовательно,
указанная задача сводится к решению системы линеаризованных уравнений гидроупру
гости при следующих граничных условиях:
2 21 0 1 0z zQ P= ==% % ;
2 22 0 2 0z zQ P= ==% % ;
21 0z hP = =% ;
22 0z hP = =% ; (1)
2 2
1
1 0 0z z
u
v
t= =
∂
=
∂
;
2 2
2
2 0 0z z
u
v
t= =
∂
=
∂
. (2)
Воспользуемся постановками задач линеаризованной теории гидроупругости для тел с
начальными напряжениями и вязкой жидкости, а также представлениями общих решений,
17ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 2
О влиянии конечных начальных деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого...
предложенными в работах [3—7]. В дальнейшем исследуются волновые процессы в пред
варительно деформированных несжимаемых упругих телах, взаимодействующих с вязкой
жидкостью, начальное состояние которых является однородным. В случае однородного
напряженнодеформированного состояния для плоского случая общие решения имеют
вид [3—7]
2
1
1
1 2
u
z z
∂ χ
= −
∂ ∂
;
2
1 1
2 1 1 2 2 12
1
u q q
z
− − ∂
= λ λ χ
∂
;
2
1 1 2 2 0 1
1 1 1 1 11 11 1 2 1 2 12 12 2
1
[ ( )]p q a s q q a
z
− − − ∂= λ λ λ + − λ λ + µ +
∂
2 2
2 2 0
2 1 12 22 12 2
22
( )s
zz t
∂ ∂ ∂+λ λ µ + −ρ χ ∂∂ ∂
;
2 2
2 3
1
1 2
v
z t z t
∂ χ ∂ χ
= +
∂ ∂ ∂ ∂
;
2 2
2 3
2
2 1
v
z t z t
∂ χ ∂ χ
= −
∂ ∂ ∂ ∂
,
где введенные функции iχ являются решениями следующих уравнений:
4 2 2 04 4 4
2 2 1 12 22
4 4 2 2 0 4 2 2 0 2 2
1 1 1 2 12 11 2 1 2 12 11 1
( )
( ) ( )
q s
z q s z s z t
λ λ µ +∂ ∂ ρ ∂
+ − +
∂ λ λ µ + ∂ λ λ µ + ∂ ∂
1 2 0 1 2 0 4
1 2 2 22 22 1 2 1 11 11 1 2 12 12
2 2 2 0 1 2 2
1 2 2 12 11 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( )
( )
q q a s q q a s a
s q q z z
− −
− −
λ + + λ + − λ λ + µ ∂
+ −
λ λ λ µ + ∂ ∂
2 2 4
2 2
14 2 2 0 2 2
1 1 2 12 11 2
0
( )
q
q s z t
λ ρ ∂
− χ =
λ λ µ + ∂ ∂
; 1
i iq −= λ ; 1 2 1λ λ = ;
* 2 2 2
22 2 2 2 2
0 1 2 0
4 1
1 0
3 ta z z a t
ν ∂ ∂ ∂ ∂
+ + − χ = ∂ ∂ ∂ ∂
;
2 2
*
32 2
1 2
0
t z z
∂ ∂ ∂
− ν + χ = ∂ ∂ ∂
.
Выше приняты следующие обозначения: iQ% и iP% — составляющие напряжений, со
ответственно, в упругом теле и жидкости; iu — компоненты вектора смещений упругого
тела u ; iv — составляющие вектора возмущений скорости жидкости v относительно со
стояния покоя; іλ — удлинения упругого тела в направлениях координатных осей; ija ,
ijµ — величины, определяемые из уравнений состояния и зависящие от вида упругого по
тенциала [3, 4, 8, 9]; 0
ііs — начальные напряжения; ρ — плотность материала упругого по
лупространства; 0ρ и 0a — плотность и скорость звука в жидкости в состоянии покоя; *ν и
*µ — кинематический и динамический коэффициенты вязкости жидкости.
Для анализа распространения возмущений, гармонически изменяющихся во времени,
решения системы уравнений определяем в классе бегущих волн
2 1( )exp[ ( )]j jX z i kz tχ = − ω ( 1, 3)j = ,
18 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 2
А.М. Багно
где k ( )k i= β + γ — волновое число; γ — коэффициент затухания волны; ω — круговая ча
стота; i — мнимая единица ( 1i = − ).
Заметим, что выбранный в данной работе класс гармонических волн, являясь наиболее
простым и удобным в теоретических исследованиях, не ограничивает общности получен
ных результатов, поскольку линейная волна произвольной формы, как известно, может
быть представлена набором гармонических составляющих. Далее применяя метод Фурье,
приходим к трем задачам о собственных значениях для уравнений движения упругого тела
и жидкости. Решая их, определяем собственные значения и соответствующие собственные
функции. После подстановки полученных общих решений в граничные условия (1), (2) по
лучаем однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно произ
вольных постоянных. Исходя из условия существования нетривиального решения этой си
стемы, получаем дисперсионное уравнение
0 *
0 0det ( , , , , , , , , , , , ) 0lm i ij ij ii se c a s а h cγ λ ρ µ µ ρ µ ω = ( , 1, 6)l m = , (3)
где с — фазовая скорость волн в гидроупругой системе; h — толщина жидкого слоя; sc —
скорость волны сдвига в материале упругого тела ( 2
sc = µ ρ ); µ — модуль сдвига материала
упругого тела.
Отметим, что полученное при таком подходе дисперсионное уравнение (3) не зависит
от формы упругого потенциала. Оно является наиболее общим и из него можно получить
соотношения для ряда частных случаев, которые рассмотрены в работах [1, 2—4, 8—10].
В частности, если 0a устремить к бесконечности, то (3) перейдет в уравнение для опреде
ления параметров волн в случае взаимодействия упругого полупространства со слоем не
сжимаемой вязкой жидкости. При 0 0ρ = равенство (3) перейдет в уравнение для опреде
ления скоростей волн Рэлея [2—4, 9]. В случае если 0 0ρ ≠ и h → ∞ получим соотноше
ние, определяющее фазовую скорость волны Стоунли [2—4, 10].
Указанные частные случаи учитывают наличие начальных деформаций в упругом по
лупространстве. Кроме того, модели, основанные на различных вариантах теории малых на
чальных деформаций, на уравнениях приближенных прикладных двумерных теорий как
для предварительно напряженных, так и для тел без начальных деформаций, на линейных
соотношениях классической теории упругости, являются частными случаями, рассматри
ваемого в работе, и следуют из него при введении дополнительных упрощающих предпо
ложений. Задачи, которые были рассмотрены в рамках модели, учитывающей начальные
напряжения, приведены в [2—4, 7—10]. Если принять 0 0ііs = ( 1iλ = ) и * 0µ = , то получим
равенства для основательно исследованных в рамках классической теории гидроупругос
ти волн Рэлея и Стоунли—Шольте [1].
Числовые результаты. В дальнейшем дисперсионное уравнение (3) решаем численно.
При этом расчеты проводим для гидроупругой системы, материалы составляющих которой
являются реальными. В качестве материала для упругого полупространства выбираем вы
сокоэластичную несжимаемую резину, упругие свойства которой описываются упругим по
тенциалом Трелоара. При этом механические параметры гидроупругой системы выбираем
следующими: упругое полупространство — 1200ρ = кг/м3, 61,2 10µ = ⋅ Па; слой жидкости —
0 1000ρ = кг/м3, 0 1459,5а = м/с, * 0,001µ = , 0 0 46,153442sa a c= = . У этого волновода ма
териал упругого тела (резина) является податливым и мягким. Кроме того, при решении
19ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 2
О влиянии конечных начальных деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого...
предполагалось, что начальное напряженное состояние удовлетворяло соотношениям
0
11 0s ≠ , 0
22 0s = . Как показано в работах [3, 4], при такой загрузке нет аналогии между зада
чами в линеаризованной и линейной постановках. Поэтому результаты для тел с начальны
ми напряжениями не могут быть получены из решений соответствующих линейных задач.
Заметим, что уравнение (3) выведено без какихлибо дополнительных требований к
виду функции упругого потенциала, поэтому оно имеет место для упругих потенциалов
произвольной формы.
Далее дисперсионное уравнение (3) решаем численно. Результаты вычислений в виде
графиков представлены на рис. 1—3.
Характер влияния предварительного сжатия ( 1 0,8λ = ) на фазовые скорости поверх
ностных волн в упругожидкостной системе иллюстрируют графики на рис. 1, а. Здесь при
ведены графики дисперсионных кривых для гидроупругих волноводов, отражающих зави
симость безразмерных величин фазовых скоростей поверхностных волн c ( / sc с c= ) от
безразмерной величины толщины слоя вязкой ( * 0,001µ = ) жидкости (частоты) h ( sh h c= ω ).
При этом сплошной линией 2 обозначена дисперсионная кривая, отвечающая гидроупру
гой системе с упругим полупространством, подверженным начальному сжатию ( 1 0,8λ = ).
Штриховой линией 1 обозначена дисперсионная кривая для ненапряженного упругого по
лупространства ( 1 1λ = ). На этом рисунке штрихпунктирными линиями обозначены асим
птотики, к которым стремятся фазовые скорости c этих волн при возрастании толщины
жидкого слоя (частоты) h ( h → ∞ ).
На рис. 1, б приведены зависимости безразмерных величин коэффициентов затухания
мод γ ( skγ = γ , sk — волновое число волны сдвига в материале упругого полупростран
ства) от безразмерной величины толщины жидкого слоя h при * 0,001µ = .
Характер влияния вязкости жидкости ( * 0,001µ = ) на скорости мод в гидроупругой
сис теме иллюстрируют графики на рис. 2, а, на котором представлены зависимости от
носитель ных изменений величин фазовых скоростей волн *c [ * ( )i v ic c c c= − , ic — фазовая
скорость поверхностных волн в гидроупругой системе с идеальной жидкостью; vc — фазо
вая скорость волн в системе с вязкой жидкостью] от безразмерной величины толщины жид
кого слоя h .
Рис. 1
20 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 2
А.М. Багно
На рис. 1, б и 2, а так же, как и на рис. 1, а сплошные линии 2 соответствуют гидроупругой
системе с упругим полупространством, подвергнутым начальному сжатию ( 1 0,8λ = ). Штри хо
выми линиями 1 обозначены кривые для ненапряженного упругого полупространства ( 1 1λ = ).
Характер влияния предварительного деформирования упругого полупространства
на скорости поверхностных волн иллюстрируют графики на рис. 2, б, на котором пред
ставлены зависимости величин фазовых скоростей c этих мод от изменения величины 1λ .
На рисунке приведены результаты вычислений для предварительно деформированного
( 10,6 1,2λ� � ) упругого полупространства. При этом график, изображенный сплошной ли
нией, получен для гидроупругой системы, толщина вязкого ( * 0,001µ = ) жидкого слоя h
которой равна 20, а штриховая линия отвечает упругому полупространству, не взаимодей
ствующему с жидкостью ( 0 0ρ = ).
На рис. 3, а приведен график зависимости безразмерной величины коэффициента
затухания поверхностной волны γ ( skγ = γ , sk — волновое число волны сдвига в мате
риале упругого полупространства) от величины 1λ для гидроупругой системы ( * 0,001µ = ).
Как и в предыдущем случае, этот график получен для гидроупругой системы, толщина
вязкого ( * 0,001µ = ) жидкого слоя h которой равна 20.
Рис. 2
Рис. 3
21ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 2
О влиянии конечных начальных деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого...
График на рис. 3, б иллюстрирует зависимость относительных изменений величин
фазовых скоростей волн *c от величины 1λ для гидроупругой системы ( * 0,001µ = ).
На рис. 2, б — 3, б представлены результаты вычислений, отражающие влияние на ки
нематические характеристики гидроупругих волноводов, как предварительного сжатия
( 10,6 1λ <� ), так и предварительного растяжения ( 11 1,2< λ � ) упругого полупространства.
Анализ числовых результатов. Из графиков, представленных на рис. 1, а, следует, что
в упругом полупространстве из высокоэластичной резины (податливый материал), взаи
модействующем со слоем вязкой сжимаемой жидкости, распространяется лишь одна
вол на. Скорость этой поверхностной волны c изменяется от скорости волны Рэлея Rc
( 0,955312R R sc c c= = для 1 1λ = и 0,709557Rc = для 1 0,8λ = ) при 0h → до скорости волны
Стоунли stc ( 0,857938st st sc c c= = для 1 1λ = и 0,649541stc = для 1 0,8λ = ) при h → ∞ .
В рассматриваемом случае механические параметры гидроупругой системы резина — во
да таковы, что скорость распространения звуковой волны в жидкости 0a ( 0 46,153442a = )
больше скорости рэлеевской волны Rc ( 0,955312Rc = для 1 1λ = и 0,709557Rc = для 1 0,8λ = ).
Согласно результатам, полученным в работе [11], в данной гидроупругой системе, сос
тоящей из податливого упругого тела и слоя вязкой жидкости, в коротковолновой части
спектра поверхностная волна, распространяясь вдоль границы раздела сред, локализуется,
преимущественно, в приконтактной области упругого полупространства. Этим обусловле
но влияние начальных деформаций на ее кинематические характеристики во всем частот
ном диапазоне. Из графиков также следует, что с увеличением толщины слоя жидкости (ча
стоты) h рэлеевская поверхностная волна, трансформируясь в волну Стоунли, в дальней
шем становится практически бездисперсионной.
Графики, приведенные на рис. 1, б и 2, а, показывают, что с увеличением толщины жид
кого слоя h влияние вязкой жидкости проявляется сильнее. При этом возрастают абсолют
ное значение коэффициента затухания γ (см. рис. 1, б) и значение относительного измене
ния величины фазовой скорости *c (см. рис. 2, а). Для волноводной гидроупругой системы
с вязкой жидкостью характерно уменьшение величины фазовой скорости поверхностной
волны (волна типа Стоунли) vc . Это обусловлено тем, что движения в этой волне, распро
страняющейся вдоль границы раздела сред, локализуются в приконтактной области упру
гого полупространства [11], где влияние вязкости жидкости проявляется значительнее.
Влияние конечных начальных деформаций на параметры волнового процесса в гидро
упругой системе. Как известно [11], особенности воздействия предварительных дефор ма ций
на фазовые скорости волн в гидроупругих системах связаны с локализацией этих волн в
разных средах. Как показано в работе [11], при 0 Ra c> поверхностная волна в гидроупругой
системе со слоем вязкой жидкости распространяется, преимущественно, в упругом полупрос
транстве. Как уже отмечалось, этим обусловлено влияние начальных напряжений на ве ли
чину фазовой скорости этой волны во всем частотном диапазоне. Как следует из графиков
(см. рис. 1, а), начальное сжатие ( 1 0,8λ = ) приводит к понижению величины фазовой ско рос
ти поверхностной волны на всем интервале частот. Наибольшее влияние предварительные де
формации оказывают на скорости этих волн в окрестности частоты их запирания (см. рис. 1).
Из графиков, представленных на рис. 2, б, следует, что сжатие упругого полупрост
ранства ( 1 1λ < ) приводит к уменьшению величин фазовых скоростей c поверхностных
волн, а растяжение ( 1 1λ > ) — наоборот, к их увеличению.
22 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 2
А.М. Багно
Как следует из графика, приведенного на рис. 3, а, влияние начальных деформаций на
коэффициент затухания зависит от величины деформаций и их вида. При сильном сжа
тии ( 10,6 0,8λ <� ) абсолютная величина коэффициента затухания γ быстро возрастает,
а на интервале 10,8 1,2λ� � она изменяется медленно. Как следует из графика, представ
ленного на рис. 3, б, характер изменения величины *c противоположный. При укорочении
10,6 0,8λ <� изменение величины *c происходит медленно, а на интервале 10,8 1,2λ� �
величина *c быстро возрастает. При этом с возрастанием 1λ ( 10,8 1,2λ� � ) различие меж
ду величинами скоростей волн в гидроупругих системах с идеальной и вязкой жидкостью
увеличивается.
В заключение отметим, что предложенный подход и полученные результаты, позволя
ют для волновых процессов установить пределы применимости модели идеальной жидко
сти, а также моделей, основанных на различных вариантах теории малых начальных дефор
маций и классической теории упругости.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. Москва: Наука, 1981. 288 с.
2. Guz A. N., Zhuk A. P., Bagno A. M. Dynamics of elastic bodies, solid particles, and fluid parcels in a compressible
viscous fluid (review). Int. Appl. Mech. 2016. 52, № 5. С. 449—507. https://doi.org/10.1007//S10778016
07706
3. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями: 2 части. Saarbrücken:
LAMBERT, 2016. Ч. 2. 505 с.
4. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости. Киев: А.С.К., 1998. 350 с.
5. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid. Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2009. 428 p.
6. Гузь А.Н. Введение в динамику сжимаемой вязкой жидкости. Saarbrücken: LAMBERT, 2017. 244 с.
7. Guz A. N. Aerohydroelasticity problems for bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech. 1980. 16, № 3.
С. 175—190. https://doi.org/10.1007/BF00885084
8. Гузь А.Н., Жук А.П., Махорт Ф.Г. Волны в слое с начальными напряжениями. Киев: Наук. думка, 1976.
104 с.
9. Babich S.Y., Guz A.N., Zhuk A.P. Elastic waves in bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech. 1979. 15, № 4.
С. 277—291. https://doi.org/10.1007/BF00884760
10. Жук А.П. Волны Стонли в среде с начальными напряжениями. Прикл. механика. 1980. 16, № 1. С. 113—116.
11. Гузь А.Н., Багно А.М. Об акустических волнах в слое вязкой жидкости, взаимодействующем с упругим
полупространством. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 6. С. 40—48. https://doi.org/10.15407/dopovidi
2018.06.040
Поступило в редакцию 14.02.2019
REFERENCES
1. Viktorov, I. A. (1981). Sound surface waves in solids. Moscow: Nauka (in Russian).
2. Guz, A. N., Zhuk, A. P. & Bagno, A. M. (2016). Dynamics of elastic bodies, solid particles, and fluid parcels in
a compressible viscous fluid (review). Int. Appl. Mech., 52, No 5, pp. 449507. https://doi.org/10.1007//
S1077801607706
3. Guz, A. N. (2016). Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses. 2 parts. Saarbrücken: LAMBERT
(in Russian).
4. Guz, A.N. (1998). Dynamics of compressible viscous fluid. Kyiv: A.C.K. (in Russian).
5. Guz, A.N. (2009). Dynamics of compressible viscous fluid. Cambridge: Cambridge Scientific Publishers.
6. Guz, A. N. (2017). Introduction to dynamics of compressible viscous fluid. Saarbrücken: LAMBERT (in Russian).
7. Guz, A. N. (1980). Aerohydroelasticity problems for bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech., 16, No 3,
pp. 175190. https//doi.org/10.1007/BF00885084
23ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 2
О влиянии конечных начальных деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого...
8. Guz, A. N., Zhuk, A. P. & Makhort, F. G. (1976). Waves in layer with initial stresses. Kyiv: Naukova Dumka
(in Russian).
9. Babich, S. Y., Guz, A. N. & Zhuk, A. P. (1979). Elastic waves in bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech.,
15, No 4, pp. 277291. doi: https//doi.org/10.1007/BF00884760
10. Zhuk, A. P. (1980). Stoneley wave in a medium with initial stresses. J. Appl. Mech., 16, No 1, pp. 113116 (in
Russian).
11. Guz, A. N. & Bagno, A. M. (2018). On the acoustic waves in a layer of a viscous fluid interacting with the
elastic halfspace. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., No. 6, pp. 4048. https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.06.040
(in Russian). https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.06.040
Received 14.02.2019
О.М. Багно
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
Email: alexbag2016@gmail.com
ПРО ВПЛИВ СКІНЧЕННИХ ПОЧАТКОВИХ ДЕФОРМАЦІЙ
НА ХВИЛЬОВИЙ ПРОЦЕС В СИСТЕМІ, ЩО СКЛАДАЄТЬСЯ
З ПРУЖНОГО ПІВПРОСТОРУ ТА ШАРУ В'ЯЗКОЇ СТИСЛИВОЇ РІДИНИ
Розглянуто задачу про поширення акустичних хвиль в попередньо деформованому нестисливого пруж
ному півпросторі, що взаємодіє з шаром в’язкої стисливої рідини. Дослідження проведено на основі три
вимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для нестисливого пружного
півпростору та тривимірних лінеаризованих рівнянь Нав’є—Стокса для шару в’язкої стисливої рідини.
Застосовано постановку задачі та підхід, засновані на використанні представлень загальних розв’язків
лінеаризованих рівнянь для пружного тіла і рідини. Отримано дисперсійне рівняння, що описує поширен
ня гармонічних хвиль у гідропружній системі. Побудовано дисперсійні криві поверхневих хвиль в широ
кому діапазоні частот. Проаналізовано вплив скінченних початкових деформацій пружного півпростору
та товщини шару в’язкої стисливої рідини на фазові швидкості, коефіцієнти загасання і дисперсію поверх
невих хвиль у гідропружних хвилеводах. Числові результати наведено у вигляді графіків і дано їх аналіз.
Ключові слова: поверхневі хвилі, фазова швидкість, коефіцієнт згасання, пружний півпростір, шар в'язкої
стисливої рідини, скінченні початкові деформації.
A.M. Bagno
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
Email: alexbag2016@gmail.com
ON THE INFLUENCE OF FINITE INITIAL DEFORMATIONS
ON THE WAVE PROCESS IN THE SYSTEM CONSISTING
OF AN ELASTIC HALFSPACE AND A LAYER OF
A VISCOUS COMPRESSIBLE FLUID
The problem of the propagation of acoustic waves in a previously deformed incompressible elastic halfspace in
teracting with a layer of a viscous compressible fluid is considered. The study was carried out on the basis of
threedimensional linearized equations of the theory of elasticity of finite deformations for an incompressible
elastic halfspace and threedimensional linearized Navier—Stokes equations for a layer of a viscous compres
sible fluid. The formulation of the problem and the approach based on the use of representations of general so
lutions of the linearized equations for an elastic body and fluid are used. A dispersion equation describing the
propagation of harmonic waves in a hydroelastic system is obtained. Dispersion curves of surface waves are con
structed in a wide frequency range. The effect of the finite initial deformations of the elastic halfspace and the
thickness of a layer of a viscous compressible fluid on the phase velocities, attenuation coefficients, and disper
sion of surface waves in hydroelastic waveguides is analyzed. The numerical results are presented in the form of
graphs, and their analysis is given.
Keywords: surface waves, phase velocity, attenuation coefficient, incompressible elastic halfspace, layer of a vis
cous compressible fluid, finite initial deformations.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-170331 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-26T03:42:16Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Багно, А.М. 2020-07-11T18:38:08Z 2020-07-11T18:38:08Z 2020 О влиянии конечных начальних деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости / А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 2. — С. 15-23. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.02.015 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170331 539.3 Рассмотрена задача о распространении акустических волн в предварительно деформированном несжимаемом упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем вязкой сжимаемой жидкости. Исследование проведено на основе трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для несжимаемого упругого полупространства и трехмерных линеаризованных уравнений Навье—Стокса для слоя вязкой сжимаемой жидкости. Применены постановка задачи и подход, основанные на использовании представлений общих решений линеаризованных уравнений для упругого тела и жидкости. Получено дисперсионное уравнение, описывающее распространение гармонических волн в гидроупругой системе. Построены дисперсионные кривые поверхностных волн в широком диапазоне частот. Проанализировано влияние конечных начальных деформаций упругого полупространства и толщины слоя вязкой сжимаемой жидкости на фазовые скорости, коэффициенты затухания и дисперсию поверхностных волн в гидроупругих волноводах. Числовые результаты представлены в виде графиков и дан их анализ. Розглянуто задачу про поширення акустичних хвиль в попередньо деформованому нестисливого пружному півпросторі, що взаємодіє з шаром в'язкої стисливої рідини. Дослідження проведено на основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для нестисливого пружного півпростору та тривимірних лінеаризованих рівнянь Нав'є—Стокса для шару в'язкої стисливої рідини. Застосовано постановку задачі та підхід, засновані на використанні представлень загальних розв'язків лінеаризованих рівнянь для пружного тіла і рідини. Отримано дисперсійне рівняння, що описує поширення гармонічних хвиль у гідропружній системі. Побудовано дисперсійні криві поверхневих хвиль в широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив скінченних початкових деформацій пружного півпростору та товщини шару в'язкої стисливої рідини на фазові швидкості, коефіцієнти загасання і дисперсію поверхневих хвиль у гідропружних хвилеводах. Числові результати наведено у вигляді графіків і дано їх аналіз. The problem of the propagation of acoustic waves in a previously deformed incompressible elastic halfspace interacting with a layer of a viscous compressible fluid is considered. The study was carried out on the basis of threedimensional linearized equations of the theory of elasticity of finite deformations for an incompressible elastic halfspace and threedimensional linearized Navier—Stokes equations for a layer of a viscous compressible fluid. The formulation of the problem and the approach based on the use of representations of general solutions of the linearized equations for an elastic body and fluid are used. A dispersion equation describing the propagation of harmonic waves in a hydroelastic system is obtained. Dispersion curves of surface waves are constructed in a wide frequency range. The effect of the finite initial deformations of the elastic halfspace and the thickness of a layer of a viscous compressible fluid on the phase velocities, attenuation coefficients, and dispersion of surface waves in hydroelastic waveguides is analyzed. The numerical results are presented in the form of graphs, and their analysis is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О влиянии конечных начальних деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости Про вплив скінченних початкових деформацій на хвильовий процес в системі, що складається з пружного півпростору та шару в'язкої стисливої рідини On the influence of finite initial deformations on the wave process in the system consisting of an elastic half-space and a layer of a viscous compressible fluid Article published earlier |
| spellingShingle | О влиянии конечных начальних деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости Багно, А.М. Механіка |
| title | О влиянии конечных начальних деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости |
| title_alt | Про вплив скінченних початкових деформацій на хвильовий процес в системі, що складається з пружного півпростору та шару в'язкої стисливої рідини On the influence of finite initial deformations on the wave process in the system consisting of an elastic half-space and a layer of a viscous compressible fluid |
| title_full | О влиянии конечных начальних деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости |
| title_fullStr | О влиянии конечных начальних деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости |
| title_full_unstemmed | О влиянии конечных начальних деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости |
| title_short | О влиянии конечных начальних деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости |
| title_sort | о влиянии конечных начальних деформаций на волновой процесс в системе, состоящей из упругого полупространства и слоя вязкой сжимаемой жидкости |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170331 |
| work_keys_str_mv | AT bagnoam ovliâniikonečnyhnačalʹnihdeformaciinavolnovoiprocessvsistemesostoâŝeiizuprugogopoluprostranstvaisloâvâzkoisžimaemoižidkosti AT bagnoam provplivskínčennihpočatkovihdeformacíinahvilʹoviiprocesvsistemíŝoskladaêtʹsâzpružnogopívprostorutašaruvâzkoístislivoírídini AT bagnoam ontheinfluenceoffiniteinitialdeformationsonthewaveprocessinthesystemconsistingofanelastichalfspaceandalayerofaviscouscompressiblefluid |