Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами

Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами

Детально вивчена нелінійна солітонна мода, яка може поширюватися в одновимірному ланцюжку однакових сферичних частинок, що взаємодіють за законом Герця. Отримані теоретичні результати порівняно з відповідними параметрами солітона Нестеренка. Встановлено розбіжності між амплітудами таких солітонів. П...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Доповіді НАН України
Дата:2020
Автори: Герасимов, О.І., Співак, А.Я.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2020
Теми:
Фізика
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170393
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами / О.І. Герасимов, А.Я. Співак // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 3. — С. 36-46. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-170393
record_format dspace
spelling Герасимов, О.І.
Співак, А.Я.
2020-07-13T15:01:12Z
2020-07-13T15:01:12Z
2020
Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами / О.І. Герасимов, А.Я. Співак // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 3. — С. 36-46. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
1025-6415
DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.03.036
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170393
538.9:539.215
Детально вивчена нелінійна солітонна мода, яка може поширюватися в одновимірному ланцюжку однакових сферичних частинок, що взаємодіють за законом Герця. Отримані теоретичні результати порівняно з відповідними параметрами солітона Нестеренка. Встановлено розбіжності між амплітудами таких солітонів. Проаналізовано параметри, яким відповідає генерація солітонного режиму та арешту нелінійної моди в межах декорованого ланцюжка. Амплітуда відбитого від домішкової частинки солітона оцінена теоретично і узгоджується із експериментальними даними краще ніж отримані раніше теоретичні результати.
We study comprehensively a nonlinear solitonic mode which propagates in the longwave limit in a 1D chain of identical spherical particles interacting with each other by the Hertz law. The obtained theoretical results have been compared with relevant parameters of familiar Nesterenko’s soliton. Quantitative discrepancies between parameters of both results are outlined. Particular attention has been paid to the study of parameters which describe the impact conditions for a discrete chain and correspond to the solitonic mode generation, nonhomogeneous energy distribution, and the arrest of the solitonic energy within a particularly decorated (defected) chain. The amplitude of the soliton mode reflected from an impurity particle is estimated theoretically and found to be in a good agreement with the experimental data (much better than in analogous works).
Детально изучена солитонная мода, распространяющаяся в одномерной нелинейной цепочке одинаковых сферических частиц, взаимодействующих по закону Герца. Полученные теоретические результаты сравниваются с соответствующими параметрами солитона Нестеренко. Отмечены небольшие расхождения в терминах амплитуд и дисперсий обеих нелинейных мод. Особое внимание уделяется параметрам, которые описывают такие условия возбуждения, которым соответствуют генерация солитонного режима и арест энергии нелинейной моды в декорированной цепочке. Амплитуда отраженного от примесной частицы солитонного пакета найдена теоретически и согласуется с экспериментальными данными лучше чем в ряде аналогичных исследований.
Автори висловлюють подяку акад. НАН України А.Г. Загородніму за стимулюючий інтерес до роботи та корисні зауваження.
uk
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
Доповіді НАН України
Фізика
Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами
Soliton in a onedimensional force chain with Hertz contacts
Солитон в одномерной силовой цепочке с герцевскими контактами
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами
spellingShingle Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами
Герасимов, О.І.
Співак, А.Я.
Фізика
title_short Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами
title_full Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами
title_fullStr Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами
title_full_unstemmed Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами
title_sort солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами
author Герасимов, О.І.
Співак, А.Я.
author_facet Герасимов, О.І.
Співак, А.Я.
topic Фізика
topic_facet Фізика
publishDate 2020
language Ukrainian
container_title Доповіді НАН України
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format Article
title_alt Soliton in a onedimensional force chain with Hertz contacts
Солитон в одномерной силовой цепочке с герцевскими контактами
description Детально вивчена нелінійна солітонна мода, яка може поширюватися в одновимірному ланцюжку однакових сферичних частинок, що взаємодіють за законом Герця. Отримані теоретичні результати порівняно з відповідними параметрами солітона Нестеренка. Встановлено розбіжності між амплітудами таких солітонів. Проаналізовано параметри, яким відповідає генерація солітонного режиму та арешту нелінійної моди в межах декорованого ланцюжка. Амплітуда відбитого від домішкової частинки солітона оцінена теоретично і узгоджується із експериментальними даними краще ніж отримані раніше теоретичні результати. We study comprehensively a nonlinear solitonic mode which propagates in the longwave limit in a 1D chain of identical spherical particles interacting with each other by the Hertz law. The obtained theoretical results have been compared with relevant parameters of familiar Nesterenko’s soliton. Quantitative discrepancies between parameters of both results are outlined. Particular attention has been paid to the study of parameters which describe the impact conditions for a discrete chain and correspond to the solitonic mode generation, nonhomogeneous energy distribution, and the arrest of the solitonic energy within a particularly decorated (defected) chain. The amplitude of the soliton mode reflected from an impurity particle is estimated theoretically and found to be in a good agreement with the experimental data (much better than in analogous works). Детально изучена солитонная мода, распространяющаяся в одномерной нелинейной цепочке одинаковых сферических частиц, взаимодействующих по закону Герца. Полученные теоретические результаты сравниваются с соответствующими параметрами солитона Нестеренко. Отмечены небольшие расхождения в терминах амплитуд и дисперсий обеих нелинейных мод. Особое внимание уделяется параметрам, которые описывают такие условия возбуждения, которым соответствуют генерация солитонного режима и арест энергии нелинейной моды в декорированной цепочке. Амплитуда отраженного от примесной частицы солитонного пакета найдена теоретически и согласуется с экспериментальными данными лучше чем в ряде аналогичных исследований.
issn 1025-6415
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170393
citation_txt Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами / О.І. Герасимов, А.Я. Співак // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 3. — С. 36-46. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT gerasimovoí solítonvodnovimírnomusilovomulancûžkuzgercívsʹkimikontaktami
AT spívakaâ solítonvodnovimírnomusilovomulancûžkuzgercívsʹkimikontaktami
AT gerasimovoí solitoninaonedimensionalforcechainwithhertzcontacts
AT spívakaâ solitoninaonedimensionalforcechainwithhertzcontacts
AT gerasimovoí solitonvodnomernoisilovoicepočkesgercevskimikontaktami
AT spívakaâ solitonvodnomernoisilovoicepočkesgercevskimikontaktami
first_indexed 2025-11-25T22:13:41Z
last_indexed 2025-11-25T22:13:41Z
_version_ 1850561039434776576
fulltext 36 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 3: 36—46 Ц и т у в а н н я: Герасимов О.І., Співак А.Я. Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськи ми контактами Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 3. С. 36—46. https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.03.036 https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.03.036 УДК 538.9:539.215 О.І. Герасимов, А.Я. Співак Одеський державний екологічний університет E­mail: gerasymovoleg@gmail.com, spivaka@ukr.net Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами Представлено академіком НАН України А.Г. Загороднім Детально вивчена нелінійна солітонна мода, яка може поширюватися в одновимірному ланцюжку одна­ кових сферичних частинок, що взаємодіють за законом Герця. Отримані теоретичні результати порівня­ но з відповідними параметрами солітона Нестеренка. Встановлено розбіжності між амплітудами таких солітонів. Проаналізовано параметри, яким відповідає генерація солітонного режиму та арешту неліній­ ної моди в межах декорованого ланцюжка. Амплітуда відбитого від домішкової частинки солітона оцінена тео ретично і узгоджується із експериментальними даними краще ніж отримані раніше теоретичні ре­ зультати. Ключові слова: солітон, ланцюжок Герця, перенесення енергії, квазічастинка, ефективна маса, бінарні зіткнення. Перенесення імпульсів збуджень (енергії) у одновимірних ланцюжках силових центрів є актуальною задачею [1—14]. Це пов’язано як з фундаментальним інтересом до таких задач (наприклад, про термалізацію системи) [1], так і з перспективами практичного застосуван­ ня, зокрема при створенні елементів хвильової схемотехніки. Вивчення реальних систем за допомогою їх одновимірних моделей приваблює можли­ вістю отримання точних розв’язків, до того ж в деяких випадках існують, як штучно створе­ ні так і природні системи, які можна наближено вважати одновимірними. Наприклад, нит­ коподібна кластерізація спостерігається в дискретних дисипативних матеріалах у вигляді мережі довгих ланцюжків контактуючих частинок. Низьковимірні структури, під дією зовнішнього навантаження породжують перерозподіл сил діючих у системі [3]. Сучасні технології 3D­друку дозволяють створювати такого роду конструкції довільної складності [15]. Таким чином, низьковимірні структури у мезомасштабі є реально існуючими об’єкта­ ми і вивчення їх властивостей створює предмет актуальної задачі. ФІЗИКА 37ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 3 Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами Рівняння руху імпульсу збудження у континуальній границі. Розглянемо одновимір­ ний обмежений силовий ланцюжок, який складається з N однакових макроскопічних части­ нок, що взаємодіють лише з найближчими сусідами за певним нелінійним законом. На­ приклад, у випадку частинок сферичної форми така взаємодія може бути змодельована за законом Герця (тобто коли сила пружної взаємодії 2­х сферичних частинок, пропорційна дробовій степені δ = 3/2 від їх взаємної деформації ε). Рівняння руху частинок (зауважимо, що воно не змінює форму також у випадку почат­ кової прекомпресії, яка існує наприклад, у горизонтально розташованому ланцюжку, стис­ нутому зовнішньою силою, або у розташованому вертикально у полі сил тяжіння), у кон­ тинуальній границі має вигляд: 2 2 4 4 2 3/2 3/2 2 2 4 ( ) ( ) 12 d a a d h h ε ∂ ∂ = ε + ⋅ ε τ ∂ ∂ , (1) де ε — величина перекриття (взаємна деформація) частинок в межах n­го контакту, яка у дискретному випадку визначається як εn = d–(xn+1–xn); xn — координата центра n­ї гранули; tτ = γ ⋅ — перенормований час; 2/ /[3 (1 )]C m E d mγ = = − ν — силова стала; E — модуль пружності Юнга; ν — коефіцієнт Пуасона; d та m — діаметр та маса частинки­гранули від­ повідно; a — параметр континуального переходу, який можна прийняти співпадаючим із розміром частинки (a ≡ d). Солітонний розв’язок. Безпосередньою підстановкою можна переконатися, що рівнян­ ня (1) має точний (частковий) розв’язок солітонного типу: 4 max cos 3 x vt a −  ε = ε     , (2) де 4 4 2 max 36 ]/[25v a= γε — перекриття частинок, яке відповідає максимальному зближен­ ню сусідніх частинок; 2 1/3 1/6 max5 / ( ) ( /[3 (1 )])v E a F= πρ ⋅ − ν — швидкість переміщення (солі­ тонного) збудження вздовж ланцюжка; ρ — густина матеріалу частинок; maxF — ампліту­ да збудження. Зазначимо, що значення maxε перекриття частинок ланцюжка реалізується в тому випадку, коли його центр розташований в центрі солітона. Розв’язок (2) задовольняє умову відсутності початкової прекомпресії, тобто відповідає найпростішим однорідним умовам у рівнянні (1). Схожий розв’язок (солітон Нестеренка [2]) отримано для рівняння, яке сформульовано у наближенні “звукового вакууму” (і також за відсутності початкової прекомпресії). Порівнюючи отриманий нами вираз для швидкості розповсюдження солітонного збуд ження v (див.(2)) із її визначенням (див.[7]) для солітона Нестеренка: 0,6802 2 / 1v = ⋅ ρ − ν × × 3/2 2 1 6 m x /3 / a 1( [ ( )]) ( )0,6802 2 / 1 FE a= ⋅ ρ − ν , бачимо, що вони майже повністю збігаються (розбіжність складає ~2 %). Визначимо тепер зміщення частинок в ланцюжку відносно їх рівноважного положен­ ня за допомогою співвідношення: )– (0n n nx xϕ = , з якого з урахуванням (1), отримуємо зв’язок із перекриттям: 1(0 –)n n n n+ε ε ϕ ϕ= + . У довгохвильовому наближенні остання фор­ мула отримує наступний вигляд: (0) /a hε ≈ ε − ⋅∂ϕ ∂ . Звідси із урахуванням розв’язку (2) 38 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 3 О.І. Герасимов, А.Я. Співак (який відповідає початковій умові (0) 0)ε = , зміщення ϕ будемо шукати у вигляді інтегра­ лу виду: ε −  ϕ = −   ∫ 4max cos 3 h vt dh a a . Виконуючи інтегрування у попередньому співвідно­ шен ні отримуємо: max3 sin 4 2sin 2 3 8 4 ε ϑ ϕ = − + ϑ+ ϑ    , (3) де ( ) / ( 3 )h vt aϑ = − . Розв’язок (3) в термінах зміщення ϕ частинок, в інтервалі / 2 / 2−π ϑ π� � / 2 / 2−π ϑ π� � має профіль, який з часом не змінюється та рухається уздовж ланцюжка із ста­ лою швидкістю v і таким чином, має необхідні ознаки кінку. Знайдемо швидкість зміщення частинок у збуреному ланцюжку. Виконуючи диферен­ ціювання в (3) за часом t , отримуємо: 4 max cos 3 h vt a −  ϕ = ϕ     & & , (4) де 5 5 2 max 36 /[25 ]v aϕ = γ& . Зауважимо, що саме таку швидкість ( maxϕ& ) частинка ланцюжка має у тому випадку, коли вона розташована точно в центрі солітона. Завдяки умові max aε = , з виразів (2) та (4) випливають наступні обмеження: max max/ / 36 /[25 ] 1a v v aε = ϕ = γ& 4 5 2 max max/ / 36 /[25 ] 1a v v aε = ϕ = γ& = , max max/ / 1v a = ϕ ε& ? , звідси маємо max vϕ& = . Таким чином, частинки у збудженому ланцюжку рухаються значно повільніше у порівнянні із швидкіс­ тю розповсюдження самого збудження ( v ). Підсумовуючи зауважимо, що розв’язки (2), (3) та (4) описують нелінійну локалізова­ ну моду, яка описує розповсюдження імпульсу збудження. Як було відмічено вище, отри­ маний розв’язок якісно збігається із отриманим іншим шляхом в [2] для v та ϕ& , але відріз­ няється від нього кількісно. Дисперсія солітона. В отриманому солітонному розв’язку в термінах перекриття (де­ формації) частинок (2) (як і в термінах швидкостей зміщення частинок (4)) солітон опи­ сується функцією 4cos ϑ . Тому, параметри, які характеризують дисперсію солітона в тер­ мінах ε (2) (а також і ϕ& у (4)) будуть близькими один до одного. Так, аргумент у виразах (2) та (4) змінюється в межах [ /2; /2−π π ]. Тому повна ширина солітона h∆ та його дисперсія ∆ визначаються як: 1/43 5,441 , 2 3 arccos(2 ) 1,981h a a a a−∆ = π ≈ ∆ = ⋅ ≈ . (5) Відповідні параметри солітона Нестеренка ([2]) складають: 10 / 2 4,969Nh a a∆ = π ≈ , 1/410 arccos(2 ) 1,808N a a−∆ = ⋅ ≈ . Розбіжності у наведених характеристиках обох розв’яз­ ків, як бачимо, складають приблизно 10 %. Енергія солітона. В разі лінійних наближень в силових ланцюжках повна енергія ( E ) збурень розподіляється рівномірно, в сенсі співвідношення між кінетичною ( kE ) та по­ тенціальною ( pE ) енергіями. Розподіл енергії в разі ланцюжка із нелінійними взаємо­ діями, в якому, скажімо розповсюджується солітонна мода (із виразу (4) для швидкості зміщення частинок), набуває очевидних змін. 39ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 3 Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами Розглянемо найбільш загальну конфігурацію дискретного силового ланцюжка із гер­ цівськими контактами. Припустимо, що в деякий визначений момент часу реалізується таке розташування частинок, при якому екстремуму швидкості солітона ϕ& відповідає положен­ ня центра мас однієї з них, тоді 5 6 1 1 /k p kj pi j i E E E E = = = ∑ ∑ , (6) де відповідно до (5) повна ширина солітона охоплює 5 частинок (і 6 їх контактів, тобто — перекриттів). За законом Герця 3/2F C= ε , тому потенціальна енергія, яку умовно приписуємо i­му контакту може бути записана у наступному вигляді: = ⋅ ε 5/2 p 2/5i iE C Відповідно потенці­ альна енергія, яка зосереджена в межах всіх контактів у масштабі солітона, з урахуванням piE та (2), дорівнює 6 6 5/2 5/2 10 max 1 1 2 2 cos 5 5 3 i p i i i h vt E C C a= = − = ε = ε∑ ∑ . (7) Користуючись виразом для кінетичної енергії частинок в солітонному пакеті (4), отримуємо 25 5 2 8 max 1 1 cos 2 2 3 j j k j j m h vtm E a= = ϕ − = = ϕ∑ ∑ & & . (8) Із урахуванням (7), (8), (6) отримуємо наступне співвідношення: 8 10[ ]/ 25 / 24k pE E C C= , (9) де 8 8 8 1 2 1 2cos 42 1,487cos 3 3 C == + + ; 10 10 10 10 1 3 5 5 2cos 2cos 2cos 2 3 3 2 3 2 67 3 1,3C == + + . З (9) випливає оцінка вкладу кінетичної енергії : / 0,5368k kE E E= ≈% . (10) Отримані результати (9)—(10) демонструють нерівномірний розподіл енергії в нелі­ нійному ланцюжку в режимі солітонної моди (4): 53,68 % припадає на кінетичну енергію руху частинок ланцюжка, а 46,32 % — на потенціальну енергію їх пружної взаємодії. Збудження ланцюжка ідентичною частинкою (стрікером). Розглянемо процес пере­ дачі ланцюжку енергії від крайньої (ідентичної до частинок ланцюжка) частинки­стрікера за допомогою центрального удару зі швидкістю vs. Завдяки закону збереження імпульсу та енергії маємо 5 1 , ( )s s ks j j p smv m mv E E E E = ′= +′= ϕ ++∑ & , (11) 40 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 3 О.І. Герасимов, А.Я. Співак де sv′ — швидкість збуджуючої частинки стрікера після удару; sE та sE ′ — кінетична енер­ гія частинки­стрікера, яка збуджує ланцюжок до та після взаємодії з ланцюжком (ударом) відповідно. Сумісне розв’язання системи рівнянь (11), яка випливає із законів збереження імпуль­ су і енергії, відповідно, дає наступні розв’язки для швидкостей частинки­стрікера до та після зіткнення:    ϕ ϕ = + = −′       & & % % max max8 8 4 4 4 4 , 2 2s s k k C C v C v C C E C E , (12) де 4 4 4 1 2 1 2cos 2c 63os 3 3 2,0 92C == + + — коефіцієнт, який визначається підстановкою солітонного розв’язку (4) до закону збереження імпульсу (11), звідки маємо: 5 5 4 max 4 max 1 1 cos 3 j j j j h vt C a= = − ϕ = ϕ = ϕ∑ ∑& & & . Використовуючи в (12) чисельні значення сталих 8C , kE% та 4C , які були визначені в (9)—(10) і (12), після елементарних маніпуляцій, отримуємо : max 00,58 , ,2006 38 s s sv vv ≈ −′ϕ ≈& . (13) Знак мінус у виразі (13) вказує на зміну напрямку руху частинки­стрікера після її вза­ ємодії з ланцюжком. Отримані характеристики sv′ добре узгоджуються із результатами чи­ сельних розрахунків, проведених в [6]. Відзначимо також, що згідно з результатами чисельних розрахунків [6], зв’язок між sv та maxϕ& має вигляд max 0,682 svϕ =& . (14) Теоретичний аналіз, проведений для солітона Нестеренка у [8], показав для цієї ж ве­ личини наступний результат: max 0,616 svϕ =& . Порівнявши (13) та (14), одержуємо вис­ новок, що у випадку знайденої нами моди максимальна швидкість зміщення частинок у лан­ цюжку за однакових умов збудження є помітно меньшою і відрізняється приблизно на 15 %. Якщо врахувати вирази (13) та maxϕ& (4), швидкість збурення ланцюжка ( sv ) можна пов’язати із швидкістю поширення солітона ( v ), а саме: = ⋅ γ = γ5 2 1/5 2 1/5( )25 / 36 0,5886 0,83 2s sv a v v a 5 2 1/ 25 1/5( ) ( )88 0,8362s sv a v v a= × γ = γ . Тобто, швидкість солітона v є пропорційною до діаметра частинок ланцюжка a, а також залежить від матеріальних сталих 2/5γ∼ та початкової швидкості “стрікера” 1/5 sv∼ . Квазідисипативний сценарій опису збудження ланцюжка. Так як частина початкової енергії sE стрікера переходить (після взаємодії його з ланцюжком) в потенціальну енергію сил пружності (в області міжчастинкових контактів), таку взаємодію можна умовно роз­ глядати, як непружну (квазідисипативну), тобто таку, при якій повна кінетична енергія (солітона) фактично не зберігається, а передається іншій системі (контакту). У загальному випадку характеристикою дисипативних витрат у бінарних зіткненнях виступає коефіцієнт відновлення (restitution coefficient) α . У випадку, коли 0α = маємо абсолютно непружний 41ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 3 Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами удар, а для 1α = , відповідно, абсолютно пружне зіткнення). Покладемо, що роль величи­ ни дисипації D виконує частка загальної кількості (кінетичної) енергії sE стрікера, яка пе­ реходить у потенціальну енергію на контактах: = pD E . Будемо вважати, що частинки ланцюжка, які охоплені солітонним збудженням, ут­ ворюють своєрідну солітонну квазічастинку. Розглянемо взаємодію збуджуючої ланцюжок частинки­стрікера масою sm із солітонною квазічастинкою у рамках відомої моделі не­ пружного центрального удару. Розв’язком такої моделі є наступні характеристики квазі­ частинки: 8max 8 4 2 4/ /, fef ff ev m m CC CC = ×= ϕ& , (15) де effv та effm — ефективні швидкість та маса квазічастинки (солітона) відповідно. Спів­ відношення, які визначають effv та maxϕ& в залежності від sv , мають наступний вигляд: 2 max 4 8 4 10 24 2 1 , 2 25 eff p eff s s s k s m E m v v C v C C C m E m     = + + ϕ = + +       & . (16) Для коефіцієнта непружних втрат α отримуємо: 2 2 8 4 10 8 4 10 24 24 25 25s s m m C C C C C C m m     α = + − + +        . (17) З (17) випливає, що коефіцієнт α залежить від співвідношення маси частинки в лан­ цюжку ( m ) та маси частинки­стрікера ( sm ). За умови sm m= , з (17) отримуємо 0,63α ≈ . У випадку коли зворотній імпульс частинки­стрікера (після взаємодії з ланцюжком) обертається на нуль ( 0sv ′ = ), запропонована модель дозволяє знайти наступні співвідно­ шення: /s eff km m E= =α % . З урахуванням (15) для відносної маси збуджуючої частинки отримуємо 2 4 8/ / 1,50s km m E C C= ≈% . (18) При цьому 0,54kE= ≈α % . Енергія децентрованого солітона. Приймемо, що в деякий момент реалізується та­ ке положення частинок (в межах солітонного пакету в термінах ϕ& (4)), що в його центрі розташований не центр однієї з частинок ланцюжка, а один із контактів між ними. Перепише мо (6) в цьому разі наступним чином: 6 5 1 1 / /k p kj pi j i E E E E = = = ∑ ∑ , де у відповідності до ви разу (5) повна ширина солітона охоплює 6 центрів мас частинок і 5 їх контактів (пе­ рекриттів). З урахуванням записаного тут виразу для відношення енергій /k pE E , отри­ муємо 5 5 5/2 5/2 10 max 1 1 2 2 cos 5 5p i i i i E C C = = = ε = ε ϑ∑ ∑ , 26 6 2 8 max 1 1 cos 2 2 j k j j j m m E = = ϕ = = ϕ ϑ∑ ∑ & & , які замінюють (7) та (8) відповідно. Відношення кінетичної енергії до потенціальної у новій конфігурації має вигляд: 42 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 3 О.І. Герасимов, А.Я. Співак 8 8 8 8 10 10 10 1 3 5 2cos 2cos 2cos 25 252 3 2 3 2 3 1,1558 1 224 241 2cos 2cos 3 3 k p E C E C + + = ⋅ = ⋅ ≈ + + % % , (19) де 8 1,4884C =% , 10 1,3414C =% . Із (19) отримуємо величини відносних внесків кінетичної та потенціальної енергії: / 0,5361, 1 0,4639k k p kE E E E E= ≈ = − ≈% % % . (20) Пружний сценарій збудження ланцюжка. У розглянутій моделі взаємодії частин ки­ стрікера із ланцюжком були враховані відповідні умовні витрати енергії. Роль дисипації при цьому відігравав частковий перехід кінетичної в потенціальну енергію пружної де­ формації на міжчастинкових контактах (інтерфейсах). Розглянемо тепер передачу енергії від стрікера маси sm (яка може бути, як ідентич­ ною до частинок ланцюжка, так і відмінною від неї) до ланцюжку складеного із ідентичних сферичних частинок масою m . Будемо використовувати у подальшому наближення аб со­ лютно пружного удару. На цьому шляху отримуємо: 2 8 4 max 4 8 1 ,eff eff eff eff k k k k v C C v m m E m E C CE E = = ϕ = =% %% %& % % , (21) де effv% та effm% — відповідно, ефективна швидкість та ефективна маса квазічастинки (солітона). Із (21) випливає, що ефективна маса effm% солітонної квазічастинки, яка задовольняє умові абсолютно пружного удару має вигляд 2,796 0,5368 1,5009effm m m= ⋅ =% , 5 частинок, 6 контактів, 2,801 0,5361 1,5016effm m m= ⋅ =% , 6 частинок, 5 контактів, (1,50125 0,00035)eff eff effm m m m=< > ±∆ = ±% % % . Таким чином, ефективна маса солітонної квазічастинки складає приблизно понад пів­ тори маси ( m ) частинки, яка входить до складу ланцюжка. Якщо стрікер взаємодіє із солі­ тонною квазічастинкою у ланцюжку як із частинкою ідентичної маси тоді внаслідок пруж­ нього сценарію вони обмінюються швидкостями. В такому підході стрікер фактично налітає на квазічастинку, яка знаходиться у стані спокою. Згідно зі сценарієм пружного зіткнення, після контакту стрікер має зупинитися. Подібну ситуацію можна очікувати і при зворот­ ному процесі, тобто коли солітонна квазічастинка проходячи по ланцюжку досягає його краю і взаємодіє з крайньої частинкою, яка має півтори маси в термінах окремої частинки ланцюжка. У такому випадку відбиття солітонного імпульсу спостері гатися не буде, так як при ударі солітонна квазічастинка передасть енергію граничній і так би мовити “зупини­ ться” (тобто солітон у початковому сенсі перестане існувати). Розглянута в попередньому абзаці ситуація може бути використана у відомій моделі колиски (ланцюжка) Ньютона (Newton’s cradle). Відомо, що запущений в ланцюжку Нью тона імпульс з часом починає розгойдувати всю систему, як ціле, що пов'язано в свою чергу з тим, що система містить частинки однакової маси і після кожного зіткнення стріке­ 43ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 3 Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами ра із ланцюжком, стрікер не зупиняється, а відбивається у протилежному напрямку (хоча й із швидкістю, що поступово, із кожним циклом, зменшується). Таким чином, якщо на границях ланцюжка Ньютона розмістити кулі з масою в 1,5 m, введений в систему імпульс збудження буде циркулювати всередині із загасанням внаслі­ док дії дисипативних сил (тертя). Солітон в декорованому “де фек тами” ланцюжку. Розглянемо взаємодію запропо­ нованої вищє солітонної квазічастинки із найпростішим — ізотопічним дефектом довільно розташованим всередині ланцюжка із масою M m� . При центральному пружному зіткнен­ ні двох частинок, одна з яких знаходилася у стані спокою, швидкості налітаючої частинки до та після зіткнення задовільняють співвідношенню 1 1 2 1 2 1( ) ( )/ /v v m m m m− = +′ − . (22) Користуючись ефективними швидкостями та масами, з урахуванням (22), отримуємо / ( ) / ( )eff eff eff effv v M m M m′− = − +% %% % % % , (23) де M% — ефективна маса дефекту (вона може відрізнятися від істинної маси M на величи­ ну M M M∆ = −% ). За відсутності дефектів ( M m= ) солітонне збудження поширюється без відбиття (тобто / 0eff effv v′− =% % ). У випадку однорідного ланцюжка за допомогою (23) має­ мо: 1,5effM m m= ≈% % , тобто 1,5 0,5M M M m m m∆ = − = − =% — маса, яку треба додати до чистої маси дефекту (таким чином і буде сформована його ефективна маса). Припустимо, що 0,5M m∆ = не тільки в разі M m= , але й (приблизно) для M m> . Тоді для ефективної маси дефекта отримуємо = +% 0,5M M m . (24) Підставляючи (24) у співвідношення (23) і враховуючи − = ϕ ϕ′ ′% % max max/ /eff effv v , зна­ ходимо Відносна амплітуда 6/5/ /| |r i r iF F v v= від­ биття солітонного збудження від “важко­ го” ізотопічного дефекту у герцівському ланцюжку. Отримані нами теоретичні ре­ зультати для 6/5[( ) )/ / ( ]2r iF F M m M m= − + (див. (25)) — зображені суцільною черво­ ною лінією. Експе риментальні дані і мо­ дельні розрахунки виконані в [11] — зобра­ жені синіми квадратами (із зазначенням похибок вимірювань) та чорним пункти­ ром, відповідно. 44 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 3 О.І. Герасимов, А.Я. Співак max max/ ( ) / ( 2 )M m M m′−ϕ ϕ = − +& & . (25) Отриманий результат (25) добре узгоджується з даними безпосереднього фізичного експерименту [11] (див. рис.). Тут враховано, що 6/5/ /| |r i r iF F v v= , де rF та iF — амплітуди відбитого (від дефекту) та налітаючого (на дефект) солітона відповідно; а rv та iv — макси­ мальні швидкості зміщення частинок у зазначених модах (див.(2) та (4)). Висновки. Солітонна мода, отримана у одновимірному нелінійному силовому ланцюжку із герцівськими контактами за допомогою використання пробного розв’язку виду 4cosA ϑ (де ) /(h cϑ = − τ λ — автохвильовий аргумент) до нелінійного континуального рівняння (1), яке описує рух збудження у довгохвильовому наближені. Порівняння її параметрів, зок­ рема швидкості розповсюдження солітона v та дисперсії ∆ із відповідними характеристи­ ками відомого солітона Нестеренка показало їх розбіжність приблизно у 2 % та 10 % відпо­ відно. Наявність розбіжностей пов’язана із задіяними підходами при отриманні керуючих рівнянь, які дещо розрізняються. А саме, стартуючи з найбільш загального дискретного рів­ няння руху збудження для герцівського ланцюжка без прекомпресії в нашій роботі ми от­ римуємо керуюче рівняння (1) в термінах перекриттів використовуючи лише довгохвильо­ ве наближення. Натомість, при отриманні рівняння для солітона Нестеренка в термінах зміщень, після континуального наближення, додатково виконується розкладання в ряд за від’ємними градієнтами зміщення (фактично по перекриттям). Запропонована модель солітонної квазічастинки у застосуванні до задачі про ударне збудження та динаміку знайденої нелінійної моди за допомогою якої знайдені критерій ге­ нерації самого солітона, його параметри та умови і характеристики його відбиття від ізо­ топічних дефектів (чи декоруючих домішок). Теоретична оцінка для амплітуди відбитого від домішкової частинки солітона узгоджується із експериментальними даними краще за відомі результати. Показано, що нерівномірність розподілу енергії в ланцюжку в солітонному режимі скла­ дає / 54%kE E ≈ . Знайдено швидкість поширення солітона v та максимальну швидкість руху частинок у ньому ϕmax, як функцію швидкості збуджуючої частинки sv ; співвідно­ шення для коефіцієнта непружних витрат α ; співвідношення для ефективних мас effm і effm% та швидкостей квазічастинки effv і effv% , відносну амплітуду відбитого від дефекту солітон ного збудження. Проаналізовані як дисипативний так і пружний сценарії взаємодії. Знай дено критерій в термінах маси збуджуючої частинки­стрікера ( / 1,50sm m ≈ ) за умов виконання якого надана ланцюжку енергія запирається в його межах (і не витрачається хоча б і частково суто на його відбиття). Автори висловлюють подяку акад. НАН України А.Г. Загородніму за стимулюючий ін­ терес до роботи та корисні зауваження. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Fermi E., Pasta J.R., Ulam S.M. Studies of Nonlinear Problems. Technical Report LA­1940, Los Alamos Sci. Lab. 1955. P. 978—988. https://doi.org/10.2172/4376203 2. Нестеренко В.Ф. Распространение нелинейных импульсов сжатия в зернистых средах. Журн. прикл. мех. техн. физ. 1983. № 5. С. 136—148. 45ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 3 Солітон в одновимірному силовому ланцюжку з герцівськими контактами 3. Goldhirsch I.S.A.A.C., Zanetti G. Clustering instability in dissipative gases. Physical Review Letters. 1993. 70, № 11. P. 1619—1622. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.70.1619 4. Coste C., Falcon E., Fauve S. Solitary waves in a chain of beads under Hertz contact. Phys. Rev. E. 1997. 56, № 5. P. 6104—6117. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.56.6104 5. Hascoet E., Herrmann H.J. Shocks in non­loaded bead chains with impurities. The Eur. Phys. J. B. 2000. 14. P. 183—190. https://doi.org/10.1007/s100510050119 6. Chatterjee A. Asymptotic solution for solitary waves in a chain of elastic spheres. Phys. Rev. E. 1999. 59, № 5. P. 5912—5919. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.59.5912 7. Daraio C., Nesterenko V.F., Herbold E.B., Jin S. Tunability of solitary wave properties in one­dimensional strongly nonlinear photonic crystals. Phys. Rev. E. 2006. 73, No. 2. P. 026610/1—10. https://doi.org/10.1103/ PhysRevE.73.026610 8. Job S., Melo F., Sokolow A., Sen S. Solitary wave trains in granular chains: experiments, theory and simula­ tions. Granular Matter. 2007. 10, № 1. P. 13—20. https://doi.org/10.1007/s10035­007­0054­2 9. Герасимов О.І., Вандевалле Н. Щодо точних розв’язків задачі про перенесення імпульсу у неоднорід­ ному гранульованому ланцюжку. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2012. № 8. С. 67—72. 10. Stefanov A., Kevrekidis P. On the Existence of Solitary Traveling Waves for Generalized Hertzian Chains. J. Nonl. Sci. 2012. 22, № 3. P. 327—349. https://doi.org/10.1007/s00332­011­9119­9 11. Li F., Zhao L., Tian Zh., Yu L., Yang J. Visualization of solitary waves via laser Doppler vibrometry for heavy impurity identification in a granular chain. Smart Mater. Struct. 2013. 22, № 3. P. 035016/1—10. https://doi.org/10.1088/0964­1726/22/3/035016 12. Lumay G., Dorbolo S., Gerasymov O., Vandewalle N. Experimental study of a vertical column of grains submitted to a series of impulses. European Phys. J. E. 2013. 36, № 2. P. 16/1—6. https://doi.org/10.1140/ epje/i2013­13016­1 13. Герасимов О.І. Фізика гранульованих матеріалів. Одеса: ТЕС, 2015. 264 c. 14. Yasuda H., Chong C., Yang J., Kevrekidis P.G. Emergence of dispersive shocks and rarefaction waves in power­law contact models. Phys. Rev. E. 2017. 95, № 6. P. 062216/1—5. https://doi.org/10.1103/PhysRev E.95.062216 15. Donovan K.J. Microfluidic Investigations of Capillary Flow and Surface Phenomena in Porous Polymeric Media for 3D Printing. Thesis PhD in Materials Science. Oregon State Univ., Corvallis, USA, 2019. 132 p. Надійшло до редакції 14.01.2020 REFERENCES 1. Fermi, E., Pasta, J. R. & Ulam, S. M. (1955). Studies of Nonlinear Problems. Technical Report LA­1940, Los Alamos Sci. Lab., pp. 978­988. https://doi.org/10.2172/4376203 2. Nesterenko, V. F. (1983). Propagation of nonlinear compression pulses in granular media. J. Appl. Mech. Tech. Phys. (Engl. Trans.), 24, No. 5, pp. 733­743. https://doi.org/10.1007/BF00905892 3. Goldhirsch, I. S. A. A. C. & Zanetti, G. (1993). Clustering instability in dissipative gases. Physical review letters, 70, No. 11, pp. 1619­1622. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.70.1619 4. Coste, C., Falcon, E. & Fauve, S. (1997). Solitary waves in a chain of beads under Hertz contact. Phys. Rev. E, 56, No. 5, pp. 6104­6117. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.56.6104 5. Hascoët, E. & Herrmann, H. J. (2000). Shocks in non­loaded bead chains with impurities. The Eur. Phys. J. B, 14, pp. 183­190. https://doi.org/10.1007/s100510050119 6. Chatterjee, A. (1999). Asymptotic solution for solitary waves in a chain of elastic spheres. Phys. Rev. E, 59, No. 5, pp. 5912­5919. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.59.5912 7. Daraio, C., Nesterenko, V. F., Herbold, E. B. & Jin S. (2006). Tunability of solitary wave properties in one­ dimensional strongly nonlinear photonic crystals. Phys. Rev. E, 73, No. 2, pp. 026610/1­10. https://doi. org/10.1103/PhysRevE.73.026610 8. Job, S., Melo, F., Sokolow, A. & Sen, S. (2007). Solitary wave trains in granular chains: experiments, theory and simulations. Granular Matter, 10, No. 1, pp. 13­20. https://doi.org/10.1007/s10035­007­0054­2 9. Gerasymov, O. I. & Vandewalle, N. (2012). On the exact solutions of the problem of impulsive propagation in an inhomogeneous granular chain. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., No. 8, pp. 67­72 (in Ukrainian). 46 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 3 О.І. Герасимов, А.Я. Співак 10. Stefanov, A. & Kevrekidis, P. (2012). On the Existence of Solitary Traveling Waves for Generalized Hertzian Chains. J. Nonl. Sci., 22, No. 3, pp. 327­349. https://doi.org/10.1007/s00332­011­9119­9 11. Li, F., Zhao, L., Tian, Zh., Yu, L. & Yang, J. (2013). Visualization of solitary waves via laser Doppler vibrometry for heavy impurity identification in a granular chain. Smart Mater. Struct., 22, No. 3, pp. 035016/1­10. https://doi.org/10.1088/0964­1726/22/3/035016 12. Lumay, G., Dorbolo, S., Gerasymov, O. & Vandewalle, N. (2013). Experimental study of a vertical column of grains submitted to a series of impulses. Eur. Phys. J. E, 36, No. 2, pp. 16/1­6. https://doi.org/10.1140/epje/ i2013­13016­1 13. Gerasymov, O. I. (2015). Physics of granular materials. Odesa: TES (in Ukrainian). 14. Yasuda, H., Chong, C., Yang, J. & Kevrekidis, P. G. (2017). Emergence of dispersive shocks and rarefaction waves in power­law contact models. Phys. Rev. E, 95, No. 6, pp. 062216/1­5. https://doi.org/10.1103/ PhysRevE.95.062216 15. Donovan, K. J. (2019). Microfluidic Investigations of Capillary Flow and Surface Phenomena in Porous Polymeric Media for 3D Printing. (Thesis PhD in Materials Science). Oregon State Univ., Corvallis, USA. Received 14.01.2020 О.И. Герасимов, А.Я. Спивак Одесский государственный экологический университет E­mail: gerasymovoleg@gmail.com, spivaka@ukr.net СОЛИТОН В ОДНОМЕРНОЙ СИЛОВОЙ ЦЕПОЧКЕ С ГЕРЦЕВСКИМИ КОНТАКТАМИ Детально изучена солитонная мода, распространяющаяся в одномерной нелинейной цепочке одинако­ вых сферических частиц, взаимодействующих по закону Герца. Полученные теоретические результаты сравниваются с соответствующими параметрами солитона Нестеренко. Отмечены небольшие расхожде­ ния в терминах амплитуд и дисперсий обеих нелинейных мод. Особое внимание уделяется параметрам, которые описывают такие условия возбуждения, которым соответствуют генерация солитонного режима и арест энергии нелинейной моды в декорированной цепочке. Амплитуда отраженного от примесной ча­ стицы солитонного пакета найдена теоретически и согласуется с экспериментальными данными лучше чем в ряде аналогичных исследований. Ключевые слова: солитон, цепочка Герца, перенос энергии, квазичастица, эффективная масса, бинарные столкновения. O.I. Gerasymov, A.Ya. Spivak Odesa State Environmental University E­mail: gerasymovoleg@gmail.com, spivaka@ukr.net SOLITON IN A ONE­DIMENSIONAL FORCE CHAIN WITH HERTZ CONTACTS We study comprehensively a nonlinear solitonic mode which propagates in the long­wave limit in a 1D chain of identical spherical particles interacting with each other by the Hertz law. The obtained theoretical results have been compared with relevant parameters of familiar Nesterenko’s soliton. Quantitative discrepancies be­ tween parameters of both results are outlined. Particular attention has been paid to the study of parameters which describe the impact conditions for a discrete chain and correspond to the solitonic mode generation, non­ homogeneous energy distribution, and the arrest of the solitonic energy within a particularly decorated (de­ fected) chain. The amplitude of the soliton mode reflected from an impurity particle is estimated theoretically and found to be in a good agreement with the experimental data (much better than in analogous works). Keywords: soliton, Hertz chain, energy transmission, quasiparticle, effective mass, binary collisions.

Схожі ресурси