The Dirichlet problem for the Poisson type equations in the plane

• Published in: Доповіді НАН України
• Date: 2020
• Main Authors: Gutlyanskiĭ, V.Ya., Nesmelova, O.V.
• Format: Article
• Language: English
• Published: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2020
• Subjects: Математика
• Online Access: https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/170500
• Journal Title: Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
• Cite this: The Dirichlet problem for the Poisson type equations in the plane / V.Ya. Gutlyanskiĭ, O.V. Nesmelova // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 5. — С. 10-16. — Бібліогр.: 15 назв. — англ.

We present a new approach to the study of semilinear equations of the form div[A(z)▽u]=f(u), the diffusion term of which is the divergence uniform elliptic operator with measurable matrix functions A(z), whereas its reaction term f(u) is a continuous non-linear function. We establish a theorem on the existence of weak C(Ḋ)∩W¹′²loc(D) solutions of the Dirichlet problem with arbitrary continuous boundary data in any bounded domains D without degenerate boundary components and give applications to equations of mathematical physics in anisotropic media. Запропоновано новий підхід до вивчення напівлінійних рівнянь виду div[A(z)∇u]=f(u), дифузний член яких є дивергентним рівномірно еліптичним оператором з вимірними матричними функціями A(z), тоді як його реакційний член f(u) є неперервною нелінійної функцією. Доведено теорему про існування слабких C(Ḋ)∩W¹′²loc(D) розв'язків задачі Діріхле з довільними неперервними граничними даними в довільних обмежених областях D без вироджених граничних компонент і дано застосування до рівнянь математичної фізики в анізотропних середовищах. Предложен новый подход к изучению полулинейных уравнений вида div[A(z)∇u]=f(u) , диффузионный член которых является дивергентным равномерно эллиптическим оператором с измеримыми матричными функциями A(z) , тогда как его реакционный член f(u) является непрерывной нелинейной функцией. Доказана теорема о существовании слабых C(Ḋ)∩W¹′²loc(D) решений задачи Дирихле с произвольными непрерывными граничными данными в любых ограниченных областях D без вырожденных граничных компонент и даны приложения к уравнениям математической физики в анизотропных средах.