Эллиптические краевые задачи в многосвязной области в уточненной шкале пространств
A mixed elliptic boundary-value problem for a differential equation over a multiply connected bounded domain is studied. The boundary conditions have different orders on the distinct connected components of the boundary. We prove that the operator of the problem is a Fredholm one on the one-sided re...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1708 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Эллиптические краевые задачи в многосвязной области в уточненной шкале пространств / А.А. Мурач // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 29-35. — Библиогр.: 15 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1708 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мурач, А.А. 2008-09-02T16:49:07Z 2008-09-02T16:49:07Z 2007 Эллиптические краевые задачи в многосвязной области в уточненной шкале пространств / А.А. Мурач // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 29-35. — Библиогр.: 15 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1708 517.944 A mixed elliptic boundary-value problem for a differential equation over a multiply connected bounded domain is studied. The boundary conditions have different orders on the distinct connected components of the boundary. We prove that the operator of the problem is a Fredholm one on the one-sided refined scale of functional Hilbert spaces. Elements of this scale are the isotropic spaces of Hormander–Volevich–Paneyakh. A mixed elliptic boundary-value problem with parameter is investigated as well. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Эллиптические краевые задачи в многосвязной области в уточненной шкале пространств Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Эллиптические краевые задачи в многосвязной области в уточненной шкале пространств |
| spellingShingle |
Эллиптические краевые задачи в многосвязной области в уточненной шкале пространств Мурач, А.А. Математика |
| title_short |
Эллиптические краевые задачи в многосвязной области в уточненной шкале пространств |
| title_full |
Эллиптические краевые задачи в многосвязной области в уточненной шкале пространств |
| title_fullStr |
Эллиптические краевые задачи в многосвязной области в уточненной шкале пространств |
| title_full_unstemmed |
Эллиптические краевые задачи в многосвязной области в уточненной шкале пространств |
| title_sort |
эллиптические краевые задачи в многосвязной области в уточненной шкале пространств |
| author |
Мурач, А.А. |
| author_facet |
Мурач, А.А. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
A mixed elliptic boundary-value problem for a differential equation over a multiply connected bounded domain is studied. The boundary conditions have different orders on the distinct connected components of the boundary. We prove that the operator of the problem is a Fredholm one on the one-sided refined scale of functional Hilbert spaces. Elements of this scale are the isotropic spaces of Hormander–Volevich–Paneyakh. A mixed elliptic boundary-value problem with parameter is investigated as well.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1708 |
| citation_txt |
Эллиптические краевые задачи в многосвязной области в уточненной шкале пространств / А.А. Мурач // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 29-35. — Библиогр.: 15 назв. — рус. |
| work_keys_str_mv |
AT muračaa élliptičeskiekraevyezadačivmnogosvâznoioblastivutočnennoiškaleprostranstv |
| first_indexed |
2025-11-25T20:37:27Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:37:27Z |
| _version_ |
1850524449947779072 |
| fulltext |
УДК 517.944
© 2007
А.А. Мурач
Эллиптические краевые задачи в многосвязной области
в уточненной шкале пространств
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком)
A mixed elliptic boundary-value problem for a differential equation over a multiply connected
bounded domain is studied. The boundary conditions have different orders on the distinct
connected components of the boundary. We prove that the operator of the problem is a Fredholm
one on the one-sided refined scale of functional Hilbert spaces. Elements of this scale are the
isotropic spaces of Hörmander–Volevich–Paneyakh. A mixed elliptic boundary-value problem
with parameter is investigated as well.
В настоящей работе рассматривается эллиптическая краевая задача для линейного диф-
ференциального уравнения, заданного в многосвязной ограниченной области евклидового
пространства. В отличие от известных работ [1–5] предполагается, что порядки граничных
выражений различны на разных связных компонентах границы. Например, для уравнения
Лапласа в кольце можно задавать граничное условие Дирихле на одной и граничное усло-
вие Неймана на другой компонентах границы. Рассматриваемая задача относится к классу
смешанных задач [6–9]. Они изучены существенно менее полно, чем несмешанные задачи.
Это связано с тем, что при сведении смешанной задачи к псевдодифференциальному опе-
ратору на границе возникают определенные трудности (см., напр., [9]). В рассматриваемой
нами задаче участки границы, на которых порядок граничного выражения различен, не
примыкают друг к другу. Это позволяет с помощью локальных построений свести задачу
к эллиптической модельной задаче в полупространстве. Отметим, что исследуемая задача,
вообще говоря, нерегулярная.
Оператор, соответствующий задаче, исследуется в уточненной шкале гильбертовых
функциональных пространств [10–12]. Элементами этой шкалы являются некоторые изо-
тропные пространства Хермандера–Волевича–Панеяха. Уточненная шкала содержит клас-
сическую соболевскую шкалу и позволяет по сравнению с последней более тонко охаракте-
ризовать гладкость функции по свойствам ее преобразования Фурье вблизи бесконечности.
Установлены теорема о фредгольмовости оператора в односторонней уточненной шкале,
априорная оценка решения и теорема об изоморфизмах, порождаемых оператором. Иссле-
дована также смешанная эллиптическая задача с параметром в уточненной шкале. В ка-
честве приложения приводится одно достаточное условие классичности решения задачи.
Отметим, что полученные результаты являются, по-видимому, новыми даже в случае со-
болевских пространств.
1. Постановка задачи. Пусть Ω — ограниченная многосвязная область в евклидовом
пространстве R
n, где n > 2. Граница Γ области Ω состоит из r > 2 непустых связных
компонент Γ1, . . . ,Γr, которые являются бесконечно гладкими многообразиями размерности
n − 1 без края. Пусть Ω := Ω
⋃
Γ — замыкание области Ω.
Рассмотрим в области Ω краевую задачу
Lu = f в Ω, (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 29
Bj,ku = gj,k на Γj при j = 1, . . . , r и k = 1, . . . , q. (2)
Здесь L — линейное дифференциальное выражение, заданное в замкнутой области Ω; выра-
жение L имеет произвольный четный порядок 2q > 2. Здесь также {Bj,k : k = 1, . . . , q} —
система граничных линейных дифференциальных выражений, заданных на связной ком-
поненте Γj границы Γ. Выражение Bj,k имеет порядок mj,k 6 2q − 1. Все коэффициенты
выражений L и Bj,k являются бесконечно гладкими комплекснозначными функциями. По-
ложим
m := max{mj,k : j = 1, . . . , r и k = 1, . . . , q}.
Определение 1. Краевую задачу (1), (2) называем эллиптической в многосвязной обла-
сти Ω, если выполняются следующие условия:
а) дифференциальное выражение L правильно эллиптическое в замкнутой области Ω
[4, с. 166];
б) для любого номера j = 1, . . . , r система граничных выражений {Bj,k : k = 1, . . . , q}
удовлетворяет условию дополнительности по отношению к L на Γj [4, с. 167].
Всюду далее предполагается, что граничная задача (1), (2) эллиптическая в многосвяз-
ной области Ω. Свяжем с этой задачей линейное отображение
u 7→ Au := (Lu,B1,1u, . . . , B1,qu, . . . , Br,1u, . . . , Br,qu), (3)
где u ∈ C∞(Ω). Будем изучать его продолжения по непрерывности в уточненных шкалах
пространств.
2. Уточненные шкалы гильбертовых функциональных пространств введены в [10].
Напомним определения этих шкал.
Обозначим через M совокупность всех таких функций ϕ : [1,+∞) → (0,+∞), что:
а) ϕ измерима по Борелю на полуоси [1,+∞);
б) функции ϕ и 1/ϕ ограничены на каждом отрезке [1, b], где 1 < b < +∞;
в) функция ϕ медленно меняющаяся на +∞, т. е. [13, c. 9]
lim
t→+∞
ϕ(λt)
ϕ(t)
= 1 для любого λ > 0.
Пусть s ∈ R, ϕ ∈ M. Обозначим через Hs,ϕ(Rn), где n > 1, пространство всех таких
распределений u медленного роста, заданных в R
n, что преобразование Фурье û распре-
деления u является локально суммируемой по Лебегу в R
n функцией, удовлетворяющей
условию
∫
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉)|û(ξ)|2dξ < ∞.
Здесь интеграл берется по R
n, а 〈ξ〉 = (1 + ξ2
1 + · · · + ξ2
n)1/2 — сглаженный модуль вектора
ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ R
n. В Hs,ϕ(Rn) в качестве скалярного произведения возьмем величину
(u, v)Hs,ϕ(Rn) :=
∫
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉)û(ξ)v̂(ξ) dξ.
Пространство Hs,ϕ(Rn) — это частный изотропный гильбертов случай пространств, вве-
денных Л. Хермандером [3, с. 54] и Л.Р. Волевичем, Б.П. Панеяхом [14, с. 14]. В случае
ϕ ≡ 1 пространство Hs,ϕ(Rn) совпадает с классическим пространством Соболева Hs(Rn).
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Гильбертово сепарабельное пространство Hs,ϕ(Rn) тесно связано с соболевской шкалой:
⋃
ε>0
Hs+ε(Rn) =: Hs+(Rn) ⊂ Hs,ϕ(Rn) ⊂ Hs−(Rn) :=
⋂
ε>0
Hs−ε(Rn).
Отсюда вытекает, что в семействе {Hs,ϕ(Rn) : s ∈ R, ϕ ∈ M} функциональный параметр ϕ
уточняет основную (степенную) s-гладкость. Это семейство названо уточненной шкалой
в R
n.
Далее, обозначим через Hs,ϕ(Ω) факторпространство пространства Hs,ϕ(Rn) по замкну-
тому подпространству
{w ∈ Hs,ϕ(Rn) : suppw ⊆ R
n \ Ω}. (4)
Факторпространство Hs,ϕ(Ω) гильбертово сепарабельное; в нем скалярное произведение
классов смежности распределений u1, u2 ∈ Hs,ϕ(Rn) равно
(u1 − Πu1, u2 − Πu2)Hs,ϕ(Rn),
где Π — ортопроектор в Hs,ϕ(Rn) на подпространство (4). Отметим, что Hs,ϕ(Ω) естественно
трактовать как пространство сужений в область Ω всех распределений из Hs,ϕ(Rn). Для
такого сужения v имеем
‖v‖Hs,ϕ(Ω) = inf{‖u‖Hs,ϕ(Rn) : u = v в Ω}.
Семейство {Hs,ϕ(Ω): s ∈ R, ϕ ∈ M} называем уточненной шкалой в области Ω.
Наконец, для каждого j = 1, . . . , r определим уточненную шкалу на Γj . По условию,
Γj — бесконечно гладкое компактное многообразие без края размерности n − 1. Возьмем
конечный атлас из C∞-структуры на Γj, образованный локальными картами αι : R
n−1 ↔ Uι,
где ι = 1, . . . , ρ. Здесь множества Uι составляют открытое покрытие многообразия Γj. Пусть
функции χι ∈ C∞(Γj), где ι = 1, . . . , ρ, образуют разбиение единицы на Γj, удовлетворяющее
условию suppχι ⊂ Uι. Обозначим через Hs,ϕ(Γj) пространство всех таких распределений g
на Γj, что
(χιg) ◦ αι ∈ Hs,ϕ(Rn−1) для каждого ι = 1, . . . , ρ.
Здесь (χιg) ◦αι — представление распределения χιg в локальной карте αι. В Hs,ϕ(Γj) опре-
делим скалярное произведение по формуле
(g, h)Hs,ϕ(Γj) :=
ρ∑
ι=1
((χιg) ◦ αι, (χιh) ◦ αι)Hs,ϕ(Rn−1).
Пространство Hs,ϕ(Γj) гильбертово сепарабельное и с точностью до эквивалентности норм
не зависит от использованных для его определения атласа и разбиения единицы.
В конце этого пункта отметим, что уточненная шкала позволяет тоньше, чем соболевс-
кая шкала, охарактеризовать классическую гладкость распределения по свойствам его пре-
образования Фурье в окрестности +∞. А именно [10, c. 362], если функциональный пара-
метр ϕ ∈ M удовлетворяет условию
+∞∫
1
dt
tϕ2(t)
< ∞, (5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 31
то справедливы компактные вложения
Hk+n/2,ϕ(Ω) →֒ Ck(Ω) и Hk+(n−1)/2,ϕ(Γj) →֒ Ck(Γj) для любого целого k > 0. (6)
3. Оператор задачи в уточненной шкале. Предварительно напомним следующее.
Определение 2. Линейный ограниченный оператор T : X → Y , где X, Y — банаховы
пространства, называется фредгольмовым, если его ядро конечномерно, а область значе-
ний T (X) замкнута в Y и имеет там конечную коразмерность. Индексом фредгольмового
оператора T называется число indT := dim ker T − dim(Y/T (X)).
Обозначим через (·, ·)Ω и (·, ·)Γj
скалярные произведения в пространствах L2(Ω) и L2(Γj)
соответственно, а также расширения по непрерывности этих скалярных произведений.
Граничная задача (1), (2), эллиптическая в многосвязной области Ω, имеет следующие
свойства.
Теорема 1. Пусть s > m+1/2, ϕ ∈ M. Отображение (3) продолжается по непрерыв-
ности до ограниченного фредгольмового оператора
A : Hs,ϕ(Ω) → Hs,ϕ := Hs−2q,ϕ(Ω) ×
r∏
j=1
q∏
k=1
Hs−mj,k−1/2,ϕ(Γj). (7)
Ядро N оператора (7) удовлетворяет условию N ⊂ C∞(Ω) и не зависит от s, ϕ. Область
значений этого оператора состоит из всех таких векторов
F := (f, g1,1, . . . , g1,q, . . . , gr,1, . . . , gr,q) ∈ Hs,ϕ,
что
(F,W )Ω,Γ := (f,w0)Ω +
r∑
j=1
q∑
k=1
(gj,k, wj,k)Γj
= 0
для любой вектор-функции
W := (w0, w1,1, . . . , w1,q, . . . , wr,1, . . . , wr,q) ∈ N∗.
Здесь N∗ — некоторое не зависящее от s, ϕ конечномерное подпространство в
C∞(Ω) ×
r∏
j=1
(C∞(Γj))
q.
Индекс оператора (7) равен числу dim N − dim N∗ и поэтому также не зависит от s, ϕ.
Как видим, оператор (7) оставляет инвариантным индекс ϕ, уточняющий основную
s-гладкость. Если ϕ ≡ 1, то этот оператор действует в пространствах Соболева. Теоре-
ма 1 хорошо известна в случае, когда s > 2q, ϕ ≡ 1, а область Ω односвязна (или, более
общо, когда порядки граничных выражений Bj,k не зависят от j); см., напр., [3, т. 3, § 20.1].
Теорема 2 (априорная оценка). Для произвольных чисел s > m + 1/2, ρ > 0 и функции
ϕ ∈ M существует такое число c > 0, что
‖u‖Hs,ϕ(Ω) 6 c(‖Au‖Hs,ϕ + ‖u‖Hs−ρ,ϕ(Ω)) для любого u ∈ Hs,ϕ(Ω).
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Согласно теореме 1 оператор (7) является топологическим изоморфизмом, если прост-
ранства N и N∗ тривиальны. В общем случае изоморфизм удобно построить с помощью
следующих проекторов. Рассмотрим прямые суммы
Hs,ϕ(Ω) = N + {u ∈ Hs,ϕ(Ω): (u,w)Ω = 0 для любого w ∈ N},
Hs,ϕ = N∗ + A(Hs,ϕ(Ω)).
Обозначим через P проектор пространства Hs,ϕ(Ω) на дополнение пространства N в первой
сумме, а через Q — проектор пространства Hs,ϕ на дополнение пространства N∗ во второй
сумме. Эти проекторы не зависят от s, ϕ.
Теорема 3. Для произвольных s > m + 1/2, ϕ ∈ M справедлив топологический изо-
морфизм
A : P (Hs,ϕ(Ω)) ↔ Q(Hs,ϕ).
4. Эллиптическая задача с параметром. Рассмотрим в области Ω краевую задачу
L(λ)u = f в Ω, (8)
Bj,k(λ)u = gj,k на Γj при j = 1, . . . , r и k = 1, . . . , q. (9)
Здесь λ — комплексный параметр, а L(λ) и Bj,k(λ) — линейные дифференциальные выра-
жения, зависящие от параметра λ следующим образом:
L(λ) :=
∑
ρ+|µ|62q
lρ,µ(x)λρDµ, Bj,k(λ) :=
∑
ρ+|µ|6mj,k
bj,k
ρ,µ(x)λρDµ.
Суммирование выполняется с помощью целого индекса ρ > 0 и мультииндекса µ =
= (µ1, . . . , µn) с неотрицательными целыми компонентами, причем |µ| = µ1 + . . . + µn.
Порядки 2q и mj,k такие, как и прежде. Предполагается, что функции lρ,µ(x) и bj,k
ρ,µ(x)
бесконечно гладкие в Ω и на Γj соответственно.
Напомним, что оператор частного дифференцирования Dµ = Dµ1
1 . . . Dµn
n при преобра-
зовании Фурье переходит в оператор умножения на функцию ξµ = ξµ1
1 . . . ξµn
n от ξ =
= (ξ1, . . . , ξn) ∈ R
n. Положим
L(0)(x, ξ, λ) :=
∑
ρ+|µ|=2q
lρ,µ(x)λρξµ, B
(0)
j,k (x, ξ, λ) :=
∑
ρ+|µ|=mj,k
bj,k
ρ,µ(x)λρξµ.
Пусть K — фиксированный замкнутый угол на комплексной плоскости с вершиной в на-
чале координат (не исключается случай, когда K — луч).
Определение 3. Краевую задачу (10), (11) называем эллиптической с параметром
в многосвязной области Ω и в угле K, если выполняются следующие условия:
а) для произвольных точки x ∈ Ω, вектора ξ ∈ R
n и параметра λ ∈ K справедливо
L(0)(x, ξ, λ) 6= 0 при (ξ, λ) 6= 0;
б) для произвольных номера j = 1, . . . , r, точки x ∈ Γj, вектора τ , касательного к гра-
нице Γ в точке x, и параметра λ ∈ K, удовлетворяющих условию |τ | + |λ| 6= 0, многочлены
B
(0)
j,k (x, τ + ην, λ), k = 1, . . . , q,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 33
комплексного переменного η линейно независимы по модулю многочлена
L
(0)
+ (x, τ + ην, λ) :=
q∏
k=1
(η − η+
k (x, τ, λ));
здесь ν — орт внутренней нормали к границе Γ в точке x, а η+
1 (x, τ, λ), . . . , η+
q (x, τ, λ) — все
η-корни многочлена L(0)(x, τ + ην, λ), имеющие положительную мнимую часть.
Отметим следующее. Поскольку n > 2, то [5, c. 23] условие а влечет за собой, что мно-
гочлен L(0)(x, τ + ην, λ) от переменного η имеет поровну, т. е. по q корней с положительной
и отрицательной мнимыми частями. Поэтому условие б сформулировано корректно.
Если задача (8), (9) эллиптическая с параметром в Ω и в K, то она эллиптическая в Ω
для каждого фиксированного λ ∈ C. Следовательно, в силу теоремы 1 отображение
u 7→ A(λ)u := (L(λ)u,B1,1(λ)u, . . . , B1,q(λ)u, . . . , Br,1(λ)u, . . . , Br,q(λ)u),
где u ∈ C∞(Ω), продолжается по непрерывности до ограниченного фредгольмового опе-
ратора
A(λ) : Hs,ϕ(Ω) → Hs,ϕ, (10)
где s > m + 1/2, ϕ ∈ M. Этот результат усиливается так:
Теорема 4. Пусть краевая задача (8), (9) эллиптическая с параметром в многосвязной
области Ω и в угле K. Тогда существует такое число σ > 0, что для каждого парамет-
ра λ ∈ K, удовлетворяющего условию |λ| > σ, оператор (10) является топологическим
изоморфизмом.
В случае, когда ϕ ≡ 1 (пространства Соболева), а порядки граничных выражений Bj,k
не зависят от j, теорема 4 доказана М.С. Аграновичем и М.И. Вишиком [15, c. 85; 5, c. 25].
Из теоремы 4 вытекает (ср. [15, c. 96])
Теорема 5. Если краевая задача (8), (9) эллиптическая с параметром в многосвязной
области Ω и на некотором замкнутом луче K := {λ ∈ C : arg λ = const}, то оператор (10)
этой задачи имеет нулевой индекс.
Заметим, что аналоги теорем 4, 5 верны и в односвязных областях.
5. Приложение. Теорема 1 позволяет исследовать гладкость решения эллиптической
задачи (1), (2). Например, она в месте с вложениями (6) влечет за собой следующее доста-
точное условие классичности решения.
Пусть Hm+1/2+(Ω) обозначает пересечение всех пространств Hs,ϕ(Ω), где s > m + 1/2,
ϕ ∈ M. Обозначим через Hs,ϕ
loc (Ω) пространство всех таких распределений f в области Ω,
что χf ∈ Hs,ϕ(Ω) для произвольной функции χ ∈ C∞(Ω) с носителем suppχ ⊂ Ω.
Теорема 6. Предположим, что функция u ∈ Hm+1/2+(Ω) является решением зада-
чи (1), (2), в которой
f ∈ H
n/2,ϕ
loc (Ω)
⋂
Hm−2q+n/2,ϕ(Ω),
gj,k ∈ Hm−mj,k+(n−1)/2,ϕ(Γj) для любых j = 1, . . . , r и k = 1, . . . , q,
где функциональный параметр ϕ ∈ M удовлетворяет условию (5). Тогда u — классическое
решение, т. е. u ∈ C2q(Ω)
⋂
Cm(Ω).
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в
частных производных при общих граничных условиях. I. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. – 206 с.
2. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – Москва: Мир,
1971. – 372 с.
3. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4 т. –
Москва: Мир. – Т 2. – 1986. – 456 с; Т. 3. – 1987. – 696 с.
4. Функциональный анализ / Под общ. ред. С. Г. Крейна. – Москва: Наука, 1972. – 544 с.
5. Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci., 79. Part. Different. Equat. – Berlin:
Springer, 1997. – P. 1–144.
6. Schechter M. Mixed boundary value problems for general elliptic equations // Communs Pure and Appl.
Math. – 1960. – 13, No 2. – P. 183–201.
7. Peetre J. Mixed problems for higher order elliptic equations in two variables. I // Ann. Scuola norm. Super.
Pisa. – 1961. – 15. – P. 337–353.
8. Вишик М.И., Эскин Г.И. Смешанные краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных
уравнений // Тр. Ин-та прикл. мат. Тбилис. гос. ун-та. – 1969. – 11. – С. 31–48.
9. Simanca S. R. Mixed elliptic boundary value problems // Commun. Part. Differential Equations. – 1987. –
12, No 2. – P. 123–200.
10. Михайлец В.А., Мурач А.А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II //
Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 3. – С. 352–370.
11. Михайлец В.А., Мурач А.А. Регулярная эллиптическая граничная задача для однородного уравне-
ния в двухсторонней уточненной шкале пространств // Там же. – 2006. – 58, № 11. – С. 1536–1555.
12. Михайлец В.А., Мурач А.А. Эллиптический оператор с однородными регулярными граничными
условиями в двухсторонней уточненной шкале пространств // Укр. мат. вiсн. – 2006. – 3, № 4. –
С. 447–480.
13. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука, 1985. – 142 с.
14. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения //
Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3–74.
15. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего
вида // Там же. – 1964. – 19, № 3. – С. 53–161.
Поступило в редакцию 26.09.2006Институт математики НАН Украины, Киев
Черниговский государственный технологический
университет
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 35
|