Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах
Boundary-value problems of connected thermoelasticity for transtropic plates under various mechanical and thermal conditions given on their flat edges are investigated by the method of homogeneous solutions.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1709 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах / Е.В. Алтухов, В.П. Шевченко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 49-53. — Библиогр.: 5 назв. — рус. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1709 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Алтухов, Е.В. Шевченко, В.П. 2008-09-02T16:49:33Z 2008-09-02T16:49:33Z 2007 Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах / Е.В. Алтухов, В.П. Шевченко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 49-53. — Библиогр.: 5 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1709 539.3 Boundary-value problems of connected thermoelasticity for transtropic plates under various mechanical and thermal conditions given on their flat edges are investigated by the method of homogeneous solutions. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах |
| spellingShingle |
Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах Алтухов, Е.В. Шевченко, В.П. Механіка |
| title_short |
Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах |
| title_full |
Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах |
| title_fullStr |
Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах |
| title_full_unstemmed |
Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах |
| title_sort |
однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах |
| author |
Алтухов, Е.В. Шевченко, В.П. |
| author_facet |
Алтухов, Е.В. Шевченко, В.П. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
Boundary-value problems of connected thermoelasticity for transtropic plates under various mechanical and thermal conditions given on their flat edges are investigated by the method of homogeneous solutions.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1709 |
| citation_txt |
Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах / Е.В. Алтухов, В.П. Шевченко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 49-53. — Библиогр.: 5 назв. — рус. |
| work_keys_str_mv |
AT altuhovev odnorodnyerešeniâtrehmernyhzadačorasprostraneniigarmoničeskihvolnvtranstropnyhtermouprugihplastinah AT ševčenkovp odnorodnyerešeniâtrehmernyhzadačorasprostraneniigarmoničeskihvolnvtranstropnyhtermouprugihplastinah |
| first_indexed |
2025-11-26T13:28:41Z |
| last_indexed |
2025-11-26T13:28:41Z |
| _version_ |
1850622997945122816 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2007
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2007
Е.В. Алтухов, академик НАН Украины В.П. Шевченко
Однородные решения трехмерных задач
о распространении гармонических волн в транстропных
термоупругих пластинах
Boundary-value problems of connected thermoelasticity for transtropic plates under various
mechanical and thermal conditions given on their flat edges are investigated by the method of
homogeneous solutions.
Для решения трехмерных краевых задач теории упругости одним из эффективных является
метод однородных решений. В данной работе получены однородные решения уравнений
связанной термоупругости для транстропных пластин, на плоских гранях которых заданы
различные однородные механические и тепловые граничные условия.
Постановка задачи. Построение однородных решений после исключения временного
множителя exp(−iωt) сводится к интегрированию системы уравнений
s−2
0
∂2
3uj+(λ2D2+ω2
1)uj +λ2µ1∂j(∂1u1+∂2u2)+λµ3∂j∂3u3 = 2λ2β1∂ju4 (j = 1, 2),
µ2∂
2
3u3 + (λ2D2 + ω2
1)u3 + λµ3∂3(∂1u1 + ∂2u2) = 2λβ3∂3u4,
λ2
0∂
2
3u4 + (λ2D2 + iω2)u4 + 2iω3(β1(∂1u1 + ∂2u2) + λ−1β3∂3u3) = 0
(1)
при одном из механических краевых условий на плоских гранях пластины
uj(x1, x2,±1) = 0 (j = 1, 2, 3), (2)
σj3(x1, x2,±1) = 0, (3)
u3(x1, x2,±1) = 0, σi3(x1), x2,±1) = 0 (i = 1, 2), (4)
σ33(x1, x2,±1) = 0, ui(x1, x2,±1) = 0 (5)
и тепловых
u4(x1, x2,±1) = 0 (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 49
или
∂3u4(x1, x2,±1) = 0. (7)
Здесь
x1 =
x̃1
R
, x2 =
x̃2
R
, x3 =
λ−1x̃3
R
, λ =
h
r
, ui =
ũi
R
(i = 1, 3),
u4 = α1(T − T0), σij =
σ̃ij
2G1
, G1 = Ã66, Aij =
Ãij
2G1
,
A11 = µ−1
0
(1 − ν2ν3), A12 = µ−1
0
(ν1 + ν2ν3), A13 = µ1ν3, A33 =
µ2
2
,
A44 =
s−2
0
2
, A66 =
1
2
, s−2
0
=
G3
G1
, µ0 = 1 − ν1 − 2ν2ν3, µ1 = µ−1
0
(1 + ν1),
µ2 = 2µ1(1 − ν1)ν
−1
2
ν3, µ3 = 2µ1ν3 + s−2
0
, ν2 =
ν3E1
E3
, β1 = µ1(1 + ν3α0),
β3 = µ1ν3(2 + (1 − ν1)ν
−1
2
α0), α0 =
α3
α1
, λ2
0 =
λ3
λ1
, ω2
1 = h2ρG−1
1
ω2,
ω2 = h2cvω, ω3 = T0α
2
1G1h
2λ−1
1
ω, ∂i =
∂
∂xi
, D2 = ∂2
1 + ∂2
2 ,
символом “ ˜ ” обозначены размерные величины: Ãij, Aij — компоненты тензора упру-
гой жесткости транстропного тела; T0 — температура тела в ненапряженном состоянии;
T (x1, x2, x3) — абсолютная температура точек тела; ω — круговая частота; 2h — толщина
пластины; R — характерный радиус пластины; ρ — плотность; α1, α3 — температурные
коэффициенты линейного расширения; λ1, λ3 — коэффициенты теплопроводности; Cv —
объемная теплоемкость; E1, E3 — модули Юнга; G1, G3 — модули сдвига; ν1, ν3 — коэф-
фициенты Пуассона.
Построение однородных решений. С учетом свойств векторного поля и в соответст-
вии с полуобратным методом И.И. Воровича [4] амплитудные значения вектора перемеще-
ний и температуры представим суммой вихревого и потенциального состояний
ui(x1, x2, x3) = uiв(x1, x2, x3) + uin(x1, x2, x3) (i = 1, 4).
Вихревое решение
u1в =
∞∑
k=1
pk(x3)∂2Bk(x1, x2), u2п = −
∞∑
k=1
pk(x3)∂1Bk,
u3в = u4в = 0, λ2D2Bk = (δ2
k − ω2
1)Bk,
соответствующее граничным условиям (2)–(5), совпадает с полученным в работах [1–3].
Потенциальное решение найдем, исходя из представлений
u1п = n(x3)∂1C(x1, x2), u2п = n(x3)∂2C(x1, x2),
u3п = q(x3)C(x1, x2), u4п = λ−2t(x3)C(x1, x2).
(8)
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Тогда из системы уравнений (1) с учетом выражений (8) следует, что функция C(x1, x2)
является метагармонической
λ2D2C − γ2C = 0,
а неизвестные функции n, q, t удовлетворяют системе уравнений
s−2
0
n′′ + (γ2(1 + µ1) + ω2
1)n + λµ3q
′
− 2β1t = 0,
µ2q
′′ + (γ2s−2
0
+ ω2
1)q + λ−1µ3γ
2n′
− 2λ−1β3t′ = 0,
λ2
0t
′′ + (γ2 + iω2)t + 2iω3β1γ
2n + 2iω3λβ3q
′ = 0,
(9)
где γ — параметр разделения переменных.
Характеристическое уравнение системы (9) имеет вид
a1k
6 + a2k
4 + a3k
2 + a4 = 0, (10)
в котором
a1 = λ2
0s
−2
0
µ2;
a2 = γ2[s−2
0
µ2 + λ2
0(s
−4
0
+ (1 + µ1)µ2 − µ2
3)] + ω2
1λ
2
0(s
−2
0
+ µ2) + is−2
0
(ω2µ2 + 4ω3β
2
3);
a3 = γ4[s−4
0
+ (1 + µ1)(µ2 + s−2
0
λ2
0) − µ2
3] + γ2[ω2
1(s
−2
0
+ µ2 + λ2
0(1 + µ1 + s−2
0
)) +
+ i(ω2(s
−4
0
+ (1 + µ1)µ2 − µ2
3) + 4ω3(β
2
3(1 + µ1) − 2µ3β1β3)] + λ2
0ω
4
1 +
+ iω2
1(4ω3β
2
3 + ω2(s
−2
0
+ µ2));
a4 = γ6(1 + µ1)s
−2
0
+ γ4[ω2
1(1 + µ1 + s−2
0
) + is−2
0
(ω2(1 + µ1) + 4ω3β
2
1)] +
+ γ2ω2
1 [ω
2
1 + i(ω2(1 + µ1 + s−2
0
) + 4ω3β
2
1)] + iω4
1ω
2
2.
Решением системы (9) для различных корней ki уравнения (10) являются функции
n+(x3) =
3∑
i=1
H+
i ch kix3, n−(x3) =
3∑
i=1
H−
i sh kix3,
q+(x3) =
3∑
i=1
Q+
i sh kix3, q−(x3) =
3∑
i=1
Q−
i ch kix3,
t+(x3) =
3∑
i=1
T+
i ch kix3, t−i (x3) =
3∑
i=1
T−
i sh kix3.
(11)
При этом
Q±
i = ciH
±
i , T±
i = diH
1
i ,
ci = [s−2
0
β3k
2
i + (β3(1 + µ1) − µ3β1)γ
2 + β3ω
2
1 ]ki∆
−1
i λ−1,
di = [(s−2
0
k2
i + (1 + µ1)γ
2 + ω2
1)(µ2k
2
i + s−2
0
γ2 + ω2
1) − µ2
3k
2
i γ
2]∆−1
i ,
∆i = (β1µ2 − β3µ3)k
2
i + β1(γ
2s−2
0
+ ω2
1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 51
и знаками + и − отмечены величины, относящиеся соответственно к симметричным и ан-
тисимметричным относительно срединной плоскости x3 = 0 видам колебаний пластины.
Неизвестные коэффициенты H±
i и собственные значения γ найдем из граничных усло-
вий (2)–(7). Подставляя соотношения (8), (11) в граничные условия (2), (6), получим одно-
родные системы уравнений
3∑
i=1
H+
i ch ki = 0,
3∑
i=1
H+
i ci sh ki = 0,
3∑
i=1
H+
i di ch ki = 0; (12)
3∑
i=1
H−
i sh ki = 0,
3∑
i=1
H−
i ci ch ki = 0,
3∑
i=1
H−
i di sh ki = 0. (13)
Из условия равенства нулю определителей системы (12), (13) получаем относительно γ
дисперсионные уравнения
∆+
26
= c1(d2 − d3) th k1 + c2(d3 − d1) th k2 + c3(d1 − d2) th k3 = 0, (14)
∆−
26
= c1(d2 − d3) cth k1 + c2(d3 − d1) cth k2 + c3(d1 − d2) cth k3 = 0. (15)
В случае граничных условий (2), (7) дисперсионные уравнения имеют вид
∆+
27
= (c2d3k3−c3d2k2) cth k1+(c3d1k1−c1d3k3) cth k2+(c1d2k2−c2d1k1) cth k3 = 0, (16)
∆−
27
= (c2d3k3−c3d2k2) th k1+(c3d1k1−c1d3k3) th k2+(c1d2k2−c2d1k1) th k3 = 0. (17)
Краевым условиям (3) и (6), (4) и (6), (5) и (6) соответствуют дисперсионные уравнения
∆+
36
= (e3d2 − e2d3)f1 th k1 + (e1d3 − e3d1)f2 th k2 + (e2d1 − e1d2)f3 th k3 = 0, (18)
∆−
36
= (e3d2 − e2d3)f1 cth k1 + (e1d3 − e3d1)f2 cth k2 + (e2d1 − e1d2)f3 cth k3 = 0, (19)
∆+
46
= d1(k2c3 − k3c2) cth k1 + d2(k3c1 − k1c3) cth k2 + d3(k1c2 − k2c1) cth k3 = 0, (20)
∆−
46
= d1(k2c3 − k3c2) th k1 + d2(k3c1 − k1c3) th k2 + d3(k1c2 − k2c1) th k3 = 0, (21)
∆+
56
= ch k1 ch k2 ch k3 = 0, (22)
∆−
56
= sh k1 sh k2 sh k3 = 0. (23)
Здесь ei = ν2(1 − ν1)
−1 + λeiki, fi = ki + λci.
В случае теплоизолированных плоских граней пластины (7) и граничных условий (3)–(5)
алгоритм получения дисперсионных уравнений и потенциального решения не изменяется.
Неизвестные коэффициенты H±
i определяются из решения систем вида (12), (13).
Счетному множеству корней γp дисперсионных уравнений (14)–(23) соответствуют соб-
ственные функции n±
p (x3), q±p (x3), t±p (x3), C±
p (x1, x2). Поэтому потенциальное решение для
всех видов граничных условий имеет форму
u1п =
∞∑
p=1
n±
p (x3)∂1C
±
p (x1, x2), u2п =
∞∑
p=1
n±
p ∂2C
±
p ,
u3п =
∞∑
p=1
q±p C±
p , u4п =
∞∑
p=1
tpcp.
(24)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Таким образом, решение краевых задач связанной термоупругости сведено к нахожде-
нию метагармонических Bk(x1, x2), Cp(x1, x2) функций с учетом граничных условий на бо-
ковой поверхности пластины.
Полученные однородные решения могут быть использованы для построения приближен-
ных теорий тонких пластинок [5] и позволяют исследовать волноводные свойства транс-
тропных толстых плит.
1. Алтухов Е. В., Панченко Ю.В. Колебания транстропных пластин в случае смешанных граничных
условий // Теорет. и прикл. механика. – 1999. – Вып. 29. – С. 52–62.
2. Алтухов Е. В., Панченко Ю.В. Колебания транстропных пластин с граничными условиями типа
плоского торца или диафрагмы // Динамич. системы. – 1999. – Вып. 15. – С. 104–109.
3. Космодамианский А.С., Сторожев В.И., Шалдырван В.А. Вынужденные колебания многосвязных
транстропных толстых пластин // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1976. – С. 1088–1092.
4. Ворович И.И., Малкина О.С. Напряженное состояние толстой плиты // Прикл. математика и меха-
ника. – 1967. – 31, № 2. – С. 230–241.
5. Швец Р.Н. Применение операторного метода в динамических задачах термоупругости пластин по-
стоянной толщины // Физ.-мех. поля в деформируемых средах. – Киев: Наук. думка, 1978. – С. 84–92.
Поступило в редакцию 27.07.2006Донецкий национальный университет
УДК 539.3
© 2007
Я.О. Жук, О. П. Червiнко, Л.Я. Васильєва
Уточнена модель структурних перетворень в тонкому
сталевому цилiндрi при тепловому опромiненнi торця
(Представлено академiком НАН України Я.М. Григоренком)
Phase transformations in a steel thin cylinder under thermal pulse irradiation of the cylinder
end are studied. The statement of a dynamic problem of coupled thermomechanics along with a
thermodynamically consistent theory of the inelastic behavior of a material is used. The model
is refined to take account for temperature-induced phase transformations. The residual stress-
strain and structural states of the steel cylinder are studied by the numerical simulation.
Розробка лазерних та iмпульсних систем для мiкро- i нанообробки вимагає детального до-
слiдження зв’язаних термомеханiчних процесiв, якi вiдбуваються при опромiненнi i подаль-
шому охолодженнi матерiалу. Зокрема для матерiалiв типу сталей такi iсторiї змiни тем-
ператури можуть супроводжуватись структурними перетвореннями, що роблять вiдповiд-
ний внесок у формування залишкового напружено–деформованого стану. В данiй роботi
розв’язується модельна задача про опромiнення лазерним iмпульсом або пучком зарядже-
них часток торця тонкого кругового цилiндра (стержня) з мартенситної сталi 35ХМ. Мета
такої обробки полягає у пiдвищеннi мiцнiсних i втомних характеристик приповерхневих
шарiв матерiалу, тому дослiдження i коректне описання структурних перетворень в околi
дiї iмпульсу є важливим при оцiнцi довговiчностi сталевих елементiв конструкцiй [1, 2].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 53
|