Вероятностный анализ неустойчивости вихревых структур в He II
На основi формалiзму рiвняння Фоккера–Планка проведено ймовiрнiсний аналiз стiйкостi поодинокої вихорової нитки та вихорового кiльця у надплинному гелiї He II. Одержано розподiли функцiї щiльностi вiрогiдностi положення вихорових когерентних структур. Probability analysis of the stability of a singl...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17175 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Вероятностный анализ неустойчивости вихревых структур в He II / А.А. Авраменко // Доп. НАН України. — 2009. — № 7. — С. 83-87. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860038989263667200 |
|---|---|
| author | Авраменко, А.А. |
| author_facet | Авраменко, А.А. |
| citation_txt | Вероятностный анализ неустойчивости вихревых структур в He II / А.А. Авраменко // Доп. НАН України. — 2009. — № 7. — С. 83-87. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | На основi формалiзму рiвняння Фоккера–Планка проведено ймовiрнiсний аналiз стiйкостi поодинокої вихорової нитки та вихорового кiльця у надплинному гелiї He II. Одержано розподiли функцiї щiльностi вiрогiдностi положення вихорових когерентних структур.
Probability analysis of the stability of a single vortical string and a vortical ring in superfluid helium HeII is carried out. The analysis is carried out within the Fokker–Planck equation formalism. Distributions of the probability density function for a position of vortex coherent structures are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:55:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2009
ТЕПЛОФIЗИКА
УДК 532.526
© 2009
А.А. Авраменко
Вероятностный анализ неустойчивости вихревых
структур в He II
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Б. И. Баском)
На основi формалiзму рiвняння Фоккера–Планка проведено ймовiрнiсний аналiз стiй-
костi поодинокої вихорової нитки та вихорового кiльця у надплинному гелiї He II.
Одержано розподiли функцiї щiльностi вiрогiдностi положення вихорових когерентних
структур.
Сверхтекучий гелий He II используется при криостатировании сверхпроводящих систем [1].
Степень охлаждения зависит от режима течения. При определенных условиях в пото-
ках сверхтекучего гелия возникает так называемая сверхтекучая турбулентность, которая,
в отличие от классической, представляет собой совокупность хаотически ориентированных
когерентных структур — вихревых нитей и колец [2]. Для понимания механизма возникно-
вения такого вида турбулентности и закономерностей ее развития важно знать динамику
поведения указанных когерентных структур. В данной работе рассматривается вероятно-
стный анализ поведения вихревой нити и вихревого кольца в He II.
Вихревая нить. Рассмотрим вихревую нить в цилиндрическом вращающемся сосу-
де с He II. Радиус сосуда — R и угловая скорость вращения — ω. Уравнение, описываю-
щее диссипативное движение вихревой нити, смещенной от оси вращения, приведено в [3].
В безразмерной форме оно имеет следующий вид:
dr
dFo
= −
(
Ro − 1
1 − r2
)
r, (1)
где r = r̃/R — безразмерная радиальная координата вихревой нити; r̃ — размерная ради-
альная координата вихревой нити; Fo = tρsς3/R
2 — число Фурье; t — время; ρs — плотность
сверхтекучей компоненты; ς3 — третий коэффициент второй вязкости [4]; Ro = ωR2/γ —
число Россби; γ = nh/m — квантованная циркуляция сверхтекучей компоненты скорости;
n — целое число; h — постоянная Планка; m — масса молекулы He II.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 83
В работе [3] уравнение (1) было рассмотрено для случая, когда вихревая нить располо-
жена вблизи центра сосуда r2 ≪ 1. При этом уравнение (1) трансформируется к виду
dr
dFo
= −(Ro − 1)r. (2)
Если в уравнение (2) добавить случайную гауссовскую силу Fi(t)
〈Fi(t)〉 = 0,
〈Fi(t)Fj(t
′)〉 = Qδ(t − t′),
(3)
то оно будет описывать стационарный гауссовский марковский процесс. В (3) параметр Q
характеризует интенсивность флуктуационных сил, скобки 〈. . . 〉 означают осреднение, δ —
дельта-функция Дирака. В этом случае модифицированное уравнение (2)
dr
dFo
= −(Ro − 1)r + F (Fo − Fo′) (4)
может быть исследовано на основе флуктуационно-диссипационной теоремы [5], которая
позволяет определить плотность вероятности того, что вихревая нить находится в точке r.
На основе этой теоремы было найдено, что эта плотность вероятности равна
P = P0 exp
[
−(Ro − 1)
r2
Q
]
, (5)
где P0 является нормирующим множителем. Отсюда видно, что наиболее вероятным по-
ложением вихревой нити при Ro > 1 является центр сосуда. В этом случае вихревая нить
будет двигаться к центру и остановится там, т. е. вихревая нить будет динамически устой-
чива. В случае же Ro < 1 вихревая нить будет двигаться к стенке сосуда, и, следовательно,
ее положение на оси вращения неустойчиво.
Результат (5) можно получить, не используя флуктуационно-диссипационную теоре-
му, а основываясь на формализме уравнения Фоккера–Планка. Согласно сказанному, ве-
роятность реализации определенного состояния системы, которая описывается уравнением
Ланжевена
dr
dt
= f(r) + F (t), (6)
определяется уравнением Фоккера–Планка
∂P (r, t)
∂t
= − ∂
∂r
[f(r)P (r, t)] +
1
2
Q
∂2P (r, t)
∂r2
. (7)
Здесь f(r) — нелинейная функция.
Если теперь построить стационарное решение уравнения (7) для уравнения (4), то сразу
приходим к распределению (5). Определяя P0 из условия нормировки
1∫
0
P (r)dr = 1, (8)
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №7
находим, что
P0 = 2
√
Ro − 1
πQ
erf−1
(√
Ro − 1
Q
)
.
Как видно, выражение для P0 имеет смысл лишь при условии, что Ro > 1. Это и по-
нятно, так как задача рассматривалась при приближении малых r, а нормировка произво-
дилась по всему пространству. Для корректного анализа необходимо исследовать полное
уравнение (1), трансформировав его в уравнение Ланжевена путем добавления в правую
часть функции (3). Такое уравнение уже не описывает стационарный гауссовский марков-
ский процесс (так как правая часть уравнения (1) нелинейная) и, следовательно, в данном
случае не применима флуктуационно-диссипационная теорема. Однако, применив к уравне-
нию Ланжевена формализм Фоккера — Планка, построим уравнение вида (7), стационарное
решение которого есть
P = P0(1 − r2)−1/Q exp
[
−Ro
r2
Q
]
, (9)
где
P0 =
2Γ
(
3
2
− 1
Q
)
√
πΓ
(
1 − 1
Q
)
1F1
(
1
2
,
3
2
− 1
Q
,−Ro
Q
) ;
Γ — гамма функция; 1F1 — конфлюэнтная гипергеометрическая функция Куммера. При
этом должно выполняться условие Q > 1. Анализ функции (9) показывает, что она имеет
минимум в точке
rmin =
√
Ro − 1
Ro
.
Следовательно, при Ro 6 1 распределение (9) имеет монотонный характер с минимальным
значением при r = 0 и максимальным при r = 1. Таким образом, при любом начальном
положении вихревой нити ее состояние будет неустойчивым, и сама нить будет стреми-
ться на периферию сосуда. При Ro > 1 распределение (9) носит экстремальный характер,
и наибольшая вероятность наблюдается в точках r = 0 и r = 1. Это означает, что вихре-
вая нить будет дрейфовать к устойчивому состоянию (r = 0) или неустойчивому (r = 1)
в зависимости от того, где она находилась в начальный момент — левее или правее точки
минимума rmin. Как видно, значение rmin (следовательно, и конфигурация функции пло-
тности вероятности) не зависит от значения параметра Q, а определяется только значением
числа Россби, т. е. соотношением угловой скорости нормальной компоненты и циркуляцией
сверхтекучей компоненты. Полученные результаты показывают, что чем меньше указан-
ное соотношение, тем неустойчивее вихревая нить. Следовательно, тем выше вероятность
появления сверхтекучей турбулентности.
В диапазоне изменения параметра Q ∈ [1,∞] функция плотности вероятности (9) изме-
няется от нуля до единицы. При этом при определенных соотношениях координаты r и чис-
ла Россби функциональная зависимость P = P (Q) может носить либо монотонный, либо
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 85
экстремальный (с максимумом) характер. В [3] показано, что тепловые флуктуации могут
вызывать гауссовскую силу (3), где
Q =
kBT
πγ2ρsl
,
kB — постоянная Больцмана; T — температура; l — длина вихревой нити. Из условия Q > 1
следует, что при γ = idem вероятность неустойчивости возрастает с ростом температуры
(что автоматически сопровождается уменьшением ρs). Это и понятно, так как рост темпе-
ратуры ведет к ухудшению условий, необходимых для сверхтекучести.
Вихревое кольцо. Уравнение для вихревого квантового кольца в сверхтекучем гелии
имеет следующий вид [3]:
dr
dFo
= − 1
4πr
[
ln
(
8
r
a
)
− 1
2
]
, (10)
где r = r̃/R — безразмерный радиус кольца; r̃ — радиус кольца; R — начальный радиус
кольца; a = ã/R — безразмерный радиус тора кольца; a — радиус тора кольца. Уравне-
ние (10) было решено в [3] при условии слабого изменения ln(r). Отсюда был сделан вывод,
что со временем кольцо аннигилирует. Проанализируем вероятностное поведения вихревого
кольца, преобразовав уравнение (10) в уравнение Ланжевена путем добавления в его пра-
вую часть гауссовской силы (3). Тогда, составив для (10) уравнение Фоккера–Планка (7)
и получив его стационарное решение, найдем распределение плотности вероятности в сле-
дующем виде:
P = P02
−3
1−ln(8r/a)
4πQ
[
r
a
] 1−ln(8r/a)
4πQ
.
Анализ этого выражения показывает, что плотность вероятности имеет максимум в точке
rmax =
a
√
e
8
.
Это значит, что если rmax > 1, распределение плотности вероятности носит монотонный
характер и наиболее вероятная ситуация при наличии случайной силы — кольцо не меняет
своего размера (его радиус осциллирует около R). Если же rmax < 1, функция плотно-
сти вероятности имеет максимум. При этом, чем меньше радиус тора кольца, тем меньше
наиболее устойчивый радиус самого кольца. Кроме того, вид функции плотности вероят-
ности показывает, что при Q → 0 функция P стремится к дельта-функции вида δ(r−rmax),
т. е. в этом случае наиболее вероятный размер кольца четко выражен. В противоположном
случае (Q → ∞) функция плотности вероятности стремится принять форму функции Хе-
висайда, т. е. все размеры колец являются равновероятными.
Как показывает анализ случайной силы, проведенный в [3], параметр Q при тепловых
флуктуациях имеет следующую функциональную зависимость:
Q ∼ kBT
〈r̃〉 ,
т. е. параметр Q зависит от текущего радиуса вихревого кольца. Отсюда следует, что с по-
вышением температуры и уменьшением начального радиуса кольца текущий радиус r мо-
жет принимать любые значения в диапазоне от нуля до единицы. Если же температура
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №7
уменьшается и увеличивается R, то радиус кольца стремится к размеру, определяемому
выражением для rmax.
Таким образом, в работе на основе вероятностного подхода проанализирован характер
влияния различных факторов на неустойчивость вихревых нитей в He II. Это позволит
лучше понять механизм возникновения и развития сверхтекучей турбулентности.
1. Кондаурова Л.П., Немировский С.К. Численное исследование эволюции интенсивных волн второго
звука в турбулентном сверхтекучем гелии // Теплофизика и аэромеханика. – 2008. – 15, № 2. –
С. 237–246.
2. Vinen W.F. Mutual friction in a heat current in liquid helium II. Theory of mutual friction // Proc. R.
Soc. Lond. A. – 1957. – 242. – P. 493–515.
3. Паттерман С. Гидродинамика сверхтекучей жидкости. – Москва: Мир, 1978. – 520 с.
4. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. – Москва: Наука, 1971. – 320 с.
5. Fox R.F., Uhlenbeck G. E. Contributions to non-equilibrium thermodynamics. I. Theory of hydrodynamical
fluctuations // Physics of Fluids. – 1970. – 13. – P. 1893–1902.
Поступило в редакцию 22.10.2008Институт технической теплофизики
НАН Украины, Киев
A.A. Avramenko
Probability analysis of vortex structures instability in He II
Probability analysis of the stability of a single vortical string and a vortical ring in superfluid helium
HeII is carried out. The analysis is carried out within the Fokker–Planck equation formalism.
Distributions of the probability density function for a position of vortex coherent structures are
obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 87
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-17175 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:55:13Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Авраменко, А.А. 2011-02-23T20:00:53Z 2011-02-23T20:00:53Z 2009 Вероятностный анализ неустойчивости вихревых структур в He II / А.А. Авраменко // Доп. НАН України. — 2009. — № 7. — С. 83-87. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17175 532.526 На основi формалiзму рiвняння Фоккера–Планка проведено ймовiрнiсний аналiз стiйкостi поодинокої вихорової нитки та вихорового кiльця у надплинному гелiї He II. Одержано розподiли функцiї щiльностi вiрогiдностi положення вихорових когерентних структур. Probability analysis of the stability of a single vortical string and a vortical ring in superfluid helium HeII is carried out. The analysis is carried out within the Fokker–Planck equation formalism. Distributions of the probability density function for a position of vortex coherent structures are obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Теплофізика Вероятностный анализ неустойчивости вихревых структур в He II Probability analysis of vortex structures instability in He II Article published earlier |
| spellingShingle | Вероятностный анализ неустойчивости вихревых структур в He II Авраменко, А.А. Теплофізика |
| title | Вероятностный анализ неустойчивости вихревых структур в He II |
| title_alt | Probability analysis of vortex structures instability in He II |
| title_full | Вероятностный анализ неустойчивости вихревых структур в He II |
| title_fullStr | Вероятностный анализ неустойчивости вихревых структур в He II |
| title_full_unstemmed | Вероятностный анализ неустойчивости вихревых структур в He II |
| title_short | Вероятностный анализ неустойчивости вихревых структур в He II |
| title_sort | вероятностный анализ неустойчивости вихревых структур в he ii |
| topic | Теплофізика |
| topic_facet | Теплофізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17175 |
| work_keys_str_mv | AT avramenkoaa veroâtnostnyianalizneustoičivostivihrevyhstrukturvheii AT avramenkoaa probabilityanalysisofvortexstructuresinstabilityinheii |