Решение задач о свободных колебаниях конических оболочек переменной толщины
Наводиться чисельно-аналiтичний пiдхiд для дослiдження вiльних коливань тонких конiчних iзотропних оболонок змiнної товщини, який базується на сплайн-апроксимацiї невiдомих функцiй. Розрахунки виконанi для рiзних типiв граничних умов. Дослiджено вплив змiнної товщини на характер поведiнки динамiчних...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17178 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Решение задач о свободных колебаниях конических оболочек переменной толщины / А.Я. Григоренко, С.А. Мальцев // Доп. НАН України. — 2009. — № 7. — С. 63-69. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-17178 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Григоренко, А.Я. Мальцев, С.А. 2011-02-23T20:15:35Z 2011-02-23T20:15:35Z 2009 Решение задач о свободных колебаниях конических оболочек переменной толщины / А.Я. Григоренко, С.А. Мальцев // Доп. НАН України. — 2009. — № 7. — С. 63-69. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17178 539.3 Наводиться чисельно-аналiтичний пiдхiд для дослiдження вiльних коливань тонких конiчних iзотропних оболонок змiнної товщини, який базується на сплайн-апроксимацiї невiдомих функцiй. Розрахунки виконанi для рiзних типiв граничних умов. Дослiджено вплив змiнної товщини на характер поведiнки динамiчних характеристик. The paper considers free vibrations of thin isotropic conical shells with variable thickness basing on the method of spline-approximation of unknown functions. Calculations were carried out for different types of boundary conditions. The influence of a variable thickness of shells on free vibrations is studied. Free vibrations of shells with constant and variable thicknesses are compared. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Решение задач о свободных колебаниях конических оболочек переменной толщины Solving the problems on free vibrations of conical shells with variable thickness Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Решение задач о свободных колебаниях конических оболочек переменной толщины |
| spellingShingle |
Решение задач о свободных колебаниях конических оболочек переменной толщины Григоренко, А.Я. Мальцев, С.А. Механіка |
| title_short |
Решение задач о свободных колебаниях конических оболочек переменной толщины |
| title_full |
Решение задач о свободных колебаниях конических оболочек переменной толщины |
| title_fullStr |
Решение задач о свободных колебаниях конических оболочек переменной толщины |
| title_full_unstemmed |
Решение задач о свободных колебаниях конических оболочек переменной толщины |
| title_sort |
решение задач о свободных колебаниях конических оболочек переменной толщины |
| author |
Григоренко, А.Я. Мальцев, С.А. |
| author_facet |
Григоренко, А.Я. Мальцев, С.А. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Solving the problems on free vibrations of conical shells with variable thickness |
| description |
Наводиться чисельно-аналiтичний пiдхiд для дослiдження вiльних коливань тонких конiчних iзотропних оболонок змiнної товщини, який базується на сплайн-апроксимацiї невiдомих функцiй. Розрахунки виконанi для рiзних типiв граничних умов. Дослiджено вплив змiнної товщини на характер поведiнки динамiчних характеристик.
The paper considers free vibrations of thin isotropic conical shells with variable thickness basing on the method of spline-approximation of unknown functions. Calculations were carried out for different types of boundary conditions. The influence of a variable thickness of shells on free vibrations is studied. Free vibrations of shells with constant and variable thicknesses are compared.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17178 |
| citation_txt |
Решение задач о свободных колебаниях конических оболочек переменной толщины / А.Я. Григоренко, С.А. Мальцев // Доп. НАН України. — 2009. — № 7. — С. 63-69. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT grigorenkoaâ rešeniezadačosvobodnyhkolebaniâhkoničeskihoboločekperemennoitolŝiny AT malʹcevsa rešeniezadačosvobodnyhkolebaniâhkoničeskihoboločekperemennoitolŝiny AT grigorenkoaâ solvingtheproblemsonfreevibrationsofconicalshellswithvariablethickness AT malʹcevsa solvingtheproblemsonfreevibrationsofconicalshellswithvariablethickness |
| first_indexed |
2025-11-24T11:39:35Z |
| last_indexed |
2025-11-24T11:39:35Z |
| _version_ |
1850845866272751616 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2009
А.Я. Григоренко, С.А. Мальцев
Решение задач о свободных колебаниях конических
оболочек переменной толщины
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Л.П. Хорошуном)
Наводиться чисельно-аналiтичний пiдхiд для дослiдження вiльних коливань тонких ко-
нiчних iзотропних оболонок змiнної товщини, який базується на сплайн-апроксимацiї
невiдомих функцiй. Розрахунки виконанi для рiзних типiв граничних умов. Дослiджено
вплив змiнної товщини на характер поведiнки динамiчних характеристик.
Конические оболочки переменной толщины находят широкое применение во многих отра-
слях современной техники. Одним из важных аспектов обеспечения прочности отмеченных
упругих тел является получение информации об их свободных колебаниях.
В данной работе предлагается эффективная численная методика исследования сво-
бодных колебаний конических оболочек переменной в окружном направлении толщины.
В основу методики положено применение сплайн-апроксимации и метода коллокации, с по-
мощью которых исходная краевая задача на собственные значения для систем дифференци-
альных уравнений в частных производных сводится к соответствующей задаче для систем
обыкновенных дифференциальных уравнений. Последняя решается устойчивым числен-
ным методом дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового поиска [1, 2].
Такой подход для решения ряда динамических задач был применен в [3–6]. Предлагае-
мая методика позволяет провести исследование свободных колебаний конических оболочек
с произвольным законом изменения толщины при сложных граничных условиях.
Исходные соотношения. Будем рассматривать задачу о свободных колебаниях ко-
нической оболочки переменной толщины h(s, θ) в криволинейной ортогональной системе
координат (s, θ), где s — длина дуги меридиана; θ — центральный угол в параллельном
круге.
Согласно теории тонких оболочек Кирхгофа–Лява, уравнения, описывающие свободные
колебания конических оболочек, будут иметь вид [3]:
∂
∂s
(rNs) +
∂S
∂θ
− cosϕNθ = rρh
∂2u(s, θ, ω)
∂t2
;
∂Nθ
∂θ
+
∂
∂s
(rS) + cosϕS + sinϕ
(
Qθ +
∂H
∂s
)
= rρh
∂2v(s, θ, ω)
∂t2
;
∂
∂s
(rQs) +
∂Qθ
∂θ
− sinϕNθ = rρh
∂2w(s, θ, ω)
∂t2
;
∂
∂s
(rMs) +
∂H
∂θ
− cosϕMθ − rQs = 0;
∂
∂s
(rH) +
∂Mθ
∂θ
+ cosϕH − rQθ = 0,
(1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 63
где ϕ — угол, образованный нормалью к координатной поверхности и осью вращения; r —
радиус параллельного круга; t — время; u, v, w — перемещения точек срединной поверхно-
сти; ρ — плотностьматериала; ω — частота свободных колебаний оболочки.
Представим связь между деформациями и перемещениями:
εs =
∂u
∂s
; εθ =
1
r
∂v
∂θ
+
cosϕ
r
u+
sinϕ
r
w; εsθ =
1
r
∂u
∂θ
+
∂v
∂s
− cosϕ
r
v;
χs = −∂
2w
∂s2
; χθ = − 1
r2
∂2w
∂θ2
− cosϕ
r
∂w
∂s
; χsθ =
cosϕ
r2
∂w
∂θ
− 1
r
∂2w
∂s∂θ
.
(2)
Для нормальных и сдвигающих усилий Ns, Nθ и S, сгибающих и крутильных момен-
тов Ms, Mθ и H при условии изотропного материала справедливы такие соотношения:
Ns = DN (εs + νεθ); Nθ = DN (νεs + εθ); S =
1 − ν
2
DNεsθ;
Ms = DM (χs + νχθ); Mθ = DM (νχs + χθ); H = DM (1 − ν)χsθ.
(3)
Жесткостные коэффициенты оболочки задаются формулами
DN =
Eh
1 − ν
; DM =
Eh3
12(1 − ν)
.
Здесь E, ν — соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона.
Из системы уравнений (1)–(3) получим три эквивалентных дифференциальных уравне-
ния относительно трех перемещений u, v и w точек срединной поверхности оболочки [3, 4]:
∂2u
∂θ2
= Fu
(
u,
∂u
∂s
,
∂2u
∂s2
,
∂u
∂θ
, v,
∂v
∂s
,
∂v
∂θ
,
∂2v
∂s∂θ
,w,
∂w
∂s
, ω
)
;
∂2v
∂θ2
= Fv
(
u,
∂u
∂s
,
∂u
∂θ
,
∂2u
∂s∂θ
, v,
∂v
∂s
,
∂v
∂θ
,
∂2v
∂s2
, w,
∂w
∂s
,
∂w
∂θ
,
∂2w
∂s2
,
∂2w
∂θ2
,
∂2w
∂s∂θ
,
∂3w
∂s2∂θ
,
∂3w
∂θ3
, ω
)
;
∂4w
∂θ4
= Fw
(
u,
∂u
∂s
,
∂v
∂θ
,w,
∂w
∂s
,
∂w
∂θ
,
∂2w
∂s2
,
∂2w
∂θ2
,
∂2w
∂s∂θ
,
∂3w
∂s3
,
∂3w
∂θ3
,
∂3w
∂s∂θ2
,
∂3w
∂s2∂θ
,
∂4w
∂s4
,
∂4w
∂s2∂θ2
, ω
)
,
(4)
где Fu, Fv, Fw — линейные дифференциальные операторы.
На контурах s = s0, sa и θ = 0, b задаются следующие граничные условия, которые
определяются через перемещения:
1) жесткое закрепление всех контуров
u = v = w =
∂w
∂θ
при θ = 0, b;
u = v = w =
∂w
∂s
при s = s0, sa;
(5)
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №7
2) жесткое закрепление трех контуров и шарнирное опирание одного
u = v = w =
∂w
∂θ
при θ = 0;
u =
∂v
∂θ
= w =
∂2w
∂θ2
при θ = b; (6)
u = v = w =
∂w
∂s
при s = s0, sa.
Методика решения. Решение системы уравнений (4) будем искать в виде
u =
N
∑
i=0
ui(θ)ϕi(s), v =
N
∑
i=0
vi(θ)χi(s), w =
N
∑
i=0
wi(θ)ψi(s), (7)
где ui(θ), vi(θ), wi(θ) (i = 0, . . . , N) — искомые функции; ϕi(s), χi(s) — функции, постро-
енные с помощью B-сплайнов третьей степени (N > 4), ψi(s) — функции, построенные
с помощью В-сплайнов пятой степени (N > 6). Выбор функций ϕi(s), χi(s), ψi(s) обуслов-
лен требованиями удовлетворить граничные условия при s = const с помощью линейных
комбинаций B-сплайнов 3-й и 5-й степени соответственно [1].
Подставив (7) в уравнения (4), будем требовать, чтобы они удовлетворялись в заданных
точках коллокации ξk ∈ [sa, sb], k = 0, . . . , N . В случае четного числа узлов сетки (N = 2n+
+1, n > 3) и при условии, что узлы коллокации удовлетворяют требованиям ξ2i ∈ [s2i, s2i+1],
ξ2i+1 ∈ [s2i, s2i+1], (i = 0, . . . , N), на отрезке [s2i, s2i+1] имеем два узла коллокации, а на
соседних отрезках [s2i+1, s2i+2] узлы коллокации отсутствуют. На каждом из отрезков s2i,
s2i+1 точки коллокации выбираются следующим образом:
ξ2i = s2i + z1h, ξ2i+1 = s2i + z2h (i = 0, . . . , N),
где h — шаг сетки; z1, z2 — корни полинома Лежандра второго порядка на отрезке [0, 1],
которые равняются: z1 = 1/2 −
√
3/6 и z2 = 1/2 +
√
3/6. Такой выбор точек коллокации
является оптимальным и существенно повышает порядок точности аппроксимации. После
всех преобразований получим систему 8(N + 1) линейных дифференциальных уравнений
относительно ui, vi, wi. Если ввести обозначения
Φl = [ϕ
(l)
i (ξk)], Xl = [χ
(l)
i (ξk)], Ψl = [ψ
(l)
i (ξk)],
i, k = 0, . . . , N, l = 0, . . . , 2, m = 0, . . . , 4;
uT = {u0, . . . , uN}, vT = {v0, . . . , vN}, wT = {w0, . . . , wN};
aT
1r = {a1r(θ, ξ0), . . . , a1r(θ, ξN )}, r = 1, . . . , 10;
aT
2r = {a2r(θ, ξ0), . . . , a2r(θ, ξN )}, r = 1, . . . , 16;
aT
3r = {a3r(θ, ξ0), . . . , a3r(θ, ξN )}, r = 1 . . . 15;
aT
111 = {a111(θ, ξ0, ω), . . . , a111(θ, ξN , ω)}; aT
217 = {a217(θ, ξ0, ω), . . . , a217(θ, ξN , ω)};
aT
316 = {a316(θ, ξ0, ω), . . . , a316(θ, ξN , ω)};
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 65
а также для матрицы A = [aij] (i, j = 0, . . . , N), и вектора c = {c0, . . . , cN} обозначить через
c · A матрицу [ci · aij], то система дифференциальных уравнений запишется в виде
u′′ = Φ−1
0 {(a12 · Φ2 + a13 · Φ1 + a14 · Φ0 + a111 · Φ0)u+ (a11 · Φ0)u
′ +
+ (a17 ·X1 + a18 ·X0)v + (a15 ·X1 + a16 ·X0)v
′ + (a19 · Ψ1 + a110 · Ψ0)w},
v′′ = X−1
0 {(a23 · Φ1 + a24 · Φ0)u+ (a21 · Φ1 + a22 · Φ0)u
′ +
+ (a26 ·X2 + a27 ·X1 + a28 ·X0 + a217 ·X0)v + (a25 ·X0)v
′ +
+ (a214 · Ψ2+ a215 · Ψ1+ a216 · Ψ0)w+ (a211 · Ψ2 + a212 · Ψ1 + a213 · Ψ0)w
′ +
+ (a210 · Ψ0)w
′′ + (a29 · Ψ0)w
′′′},
wIV = Ψ−1
0 {(a31 · Φ1 + a32 · Φ0)u+ (a33 ·X0)v
′ +
+ (a311 · Ψ4 + a312 · Ψ3 + a313 · Ψ2 + a314 · Ψ1 + a315 · Ψ0 + a316 · Ψ0)w +
+ (a38 · Ψ2 + a39 · Ψ1 + a310 · Ψ0)w
′ +
+ (a35 · Ψ2 + a36 · Ψ1 + a37 · Ψ0)w
′′ + (a34 · Ψ0)w
′′′},
(8)
где u
(k)
i = u
(k)
i (θ, ξi), v
(k)
i = v
(k)
i (θ, ξi), w
(l)
i = w
(l)
i (θ, ξi), k = 0, 1, l = 0, . . . , 3, i = 0, . . . , N .
Полученную систему (8) обыкновенных дифференциальных уравнений можно привести
к нормальному виду:
dY
dθ
= A(θ, ω)Y (0 6 θ 6 b), (9)
где
Y
T
= {u0, . . . , uN , u0
′, . . . , uN
′, v0, . . . , vN , v0
′, . . . , vN
′, w0, . . . , wN , w0
′, . . . , wN
′,
w0
′′, . . . , wN
′′, w0
′′′, . . . , wN
′′′},
A(θ, ω) — квадратная матрица порядка 8(N + 1) × 8(N + 1).
Граничные условия (5), (6) для системы (9) можно записать в виде
B1Y (0) = 0, B2Y (b) = 0. (10)
Задача на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений (9) с граничными условиями (10) решалась методом дискретной ортогонализации
в сочетании с методом пошагового поиска [1, 8].
Решение задачи. Анализ результатов. Упругие характеристики материала иссле-
дуемых оболочек таковы: E = 1 · 10−6 Па, ν = 0,3, ρ = 1 кг/м3.
Расчеты, проведенные по методу сплайн-коллокации при разном количестве точек кол-
локации, практически совпадают (N = 10, N = 12, N = 14). Данные расчетов приведены
для N = 12.
Для всех исследуемых панелей угол раствора b = π/2.
Проверка достоверности получаемых результатов осуществлялась путем сравнения ча-
стот цилиндрической оболочки (R = 0,1 м, L = 0,4 м, h0 = 0,002 м) c частотами близких
к ней конических оболочек эквивалентной массы со следующими геометрическими параме-
трами: R1 = 0,095 м, R2 = 0,105 м, L = 0,4 м, h0 = 0,002 м (будем обозначать такой вариант
геометрических параметров — C); R1 = 0,09 м, R2 = 0,11 м, L = 0,4 м, h0 = 0,002 м (бу-
дем обозначать такой вариант геометрических параметров — D). Рассматривался случай
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №7
шарнирного опирания всех контуров. Для цилиндрической панели задача решалась путем
аппроксимации функций перемещений двойными рядами Фурье [9]:
u =
∑
i
∑
j
Aij cos
mπs
L
sin
nq
R
eiωt,
v =
∑
i
∑
j
Bij sin
mπs
L
cos
nq
R
eiωt,
w =
∑
i
∑
j
Cij cos
mπs
L
sin
nq
R
eiωt.
(11)
Решение этой системы осуществлялось методом пошагового поиска и сравнивалось с ча-
стотами, полученными методом сплайн-коллокации для данной панели и близкими к ней
коническими оболочками. В табл. 1 приведены следующие результаты расчета собственных
частот для указанных граничных условий: A — задача решалась для случая цилиндриче-
ской панели с помощью аналитического подхода (11); B — задача решалась для случая
цилиндрической панели с помощью предложенной численной методики; C, D — задача
решалась для случая конических оболочек, геометрические параметры которых близки
к рассматриваемой цилиндрической панели.
На основании предлагаемой методики были исследованы конические изотропные обо-
лочки, жестко закрепленные по всем контурам с переменной в окружном направлении тол-
щиной со следующими геометрическими параметрами: R1 = 0,05 м, R2 = 0,15 м, L =
= 0,4 м, b = π/2 (оболочку данной геометрии обозначим КП1); R1 = 0,0 м, R2 = 0,2 м,
L = 0,4 м, b = π/2 (оболочку данной геометрии обозначим КП2), где L — длина обра-
зующей; R1, R2 — радиусы торцевых поверхностей; b — угол раствора конической па-
нели.
Толщина исследуемых оболочек изменялась по следующему закону:
h = h0(1 + α cos θ) (12)
где −0,2 6 α 6 0,2; h0 — толщина оболочки постоянной толщины и эквивалентной массы
(в расчетах h0 = 0,002 м). Результаты расчетов собственных частот указанных выше ко-
нических оболочек с соответствующими граничными условиями для различных значений
параметра α приведены в табл. 2.
На основании данных табл. 2 можно проследить характер различия значений собствен-
ных частот конических оболочек с переменной толщиной относительно оболочек с посто-
янной толщиной. Различие значений частот возрастает при увеличении параметра α и на
более высоких частотах.
Таблица 1
ωi, Гц
ωi A B C D
ω1 1,010E-03 9,653E-04 9,614E-04 9,582Е-04
ω2 1,201E-03 1,165E-03 1,155E-03 1,143Е-03
ω3 1,663E-03 1,640E-03 1,640E-03 1,646Е-03
ω4 2,161E-03 2,142E-03 2,116E-03 2,062Е-03
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 67
Таблица 2
Тип
оболочки
ωi
α
−0,2 −0,1 0 0,1 0,2
КП1 ω1 1,96E-03 2,03E-03 2,09E-03 2,16E-03 2,22E-03
ω2 2,07E-03 2,18E-03 2,29E-03 2,39E-03 2,49E-03
ω3 2,73E-03 2,87E-03 3,00E-03 3,12E-03 3,23E-03
ω4 2,93E-03 3,07E-03 3,20E-03 3,34E-03 3,46E-03
КП2 ω1 1,77E-03 1,84E-03 1,92E-03 1,99E-03 2,06E-03
ω2 1,86E-03 1,93E-03 2,00E-03 2,06E-03 2,11E-03
ω3 2,37E-03 2,47E-03 2,57E-03 2,67E-03 2,77E-03
ω4 2,65E-03 2,79E-03 2,91E-03 3,03E-03 3,13E-03
Рис. 1 Рис. 2
На рис. 1 представлена зависимость значения первой частоты свободных колебаний обо-
лочек эквивалентной массы от угла ϕ для различных значений параметра изменения то-
лщины α при условии жесткого закрепления всех контуров (5). Аналогичные данные для
условий жесткой заделки трех контуров и шарнирного опирания одного (6) приведены на
рис. 2. Длина образующей у исследованных конических оболочек сохранялась постоянной
L = 0,4 м, толщина менялась по закону (12), h0 = 0,002 м.
На основании данных, приведенных на рисунках, можно проследить характер изменения
первой частоты для различных значений параметра изменения толщины в окружном на-
правлении при увеличении угла конусности. Граничные условия также существенно влияют
на динамические характеристики конических оболочек. При жестком закреплении всех кон-
туров при увеличении угла ϕ (уменьшении угла конусности) возрастают значения первой
частоты свободных колебаний. При условиях жесткой заделки трех контуров и шарнирного
опирания одного (6) зависимость обратная. При этом за счет незначительных изменений
в геометрии поверхности оболочек можно добиваться увеличения (уменьшения) значений
частот свободных колебаний.
1. Григоренко Я.М., Мукоєд А.П. Розв’язання лiнiйних i нелiнiйних задач теорiї оболонок на ЕОМ. –
Київ: Либiдь, 1992. – 152 с.
2. Завьялов Ю.С., Квасов Ю.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. – Москва: Наука,
1980. – 352 с.
3. Григоренко Я.М., Авраменко О.А. Исследование напряженно-деформированного состояния замкну-
тых нетонких ортотропных конических оболочек переменной толщины // Прикл. механика. – 2008. –
44, № 6. – С. 46–58.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №7
4. Григоренко Я.М., Яремченко С.Н. Анализ влияния параметров ортотропии на перемещения и напря-
жения в нетонких цилиндрических оболочках с эллиптическим поперечным сечением // Там же. –
2007. – 43, № 6. – С. 82–92.
5. Григоренко А.Я., Яремченко Н.П. О напряженно-деформированном состоянии прямоугольных в пла-
не пологих оболочек переменной толщины в уточненной постановке // Там же. – № 10. – С. 80–91.
6. Будак В.Д., Григоренко А.Я., Пузырев С.В. Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных
в плане пологих оболочек переменной толщины // Там же. – № 4. – С. 89–98.
7. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Методы расчета оболочек. Т. 4. Теория оболочек переменной жес-
ткости. – Киев: Наук. думка, 1981. – 544 с.
8. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Свободные колебания эле-
ментов оболочечных конструкций. – Киев: Наук. думка, 1986. – 171 с.
9. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в 3-х томах / Под ред. И.А. Биргера, Я. Г. Па-
новко. – Москва: Машиностроение, 1968. – Т. 3. – 567 с.
Поступило в редакцию 05.08.2008Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
A.Ya. Grigorenko, S.A. Maltsev
Solving the problems on free vibrations of conical shells with variable
thickness
The paper considers free vibrations of thin isotropic conical shells with variable thickness basing
on the method of spline-approximation of unknown functions. Calculations were carried out for di-
fferent types of boundary conditions. The influence of a variable thickness of shells on free vibrations
is studied. Free vibrations of shells with constant and variable thicknesses are compared.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 69
|