Гібридний метод розв'язування обернених граничних задач теорії потенціалу в частково необмежених областях з тріщиною
We consider an inverse boundary-value problem for the crack reconstruction in semiinfinite domains. The numerical solution is realized through the hybrid method. It consists in the iterative procedure, where some functional is minimized on each step of the iteration. The functional is formed from th...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1723 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Гібридний метод розв'язування обернених граничних задач теорії потенціалу в частково необмежених областях з тріщиною /Н.І. Вінтоняк, Р.С. Хапко // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 42–48. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859617821887037440 |
|---|---|
| author | Вінтоняк, Н.І. Хапко, Р.С. |
| author_facet | Вінтоняк, Н.І. Хапко, Р.С. |
| citation_txt | Гібридний метод розв'язування обернених граничних задач теорії потенціалу в частково необмежених областях з тріщиною /Н.І. Вінтоняк, Р.С. Хапко // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 42–48. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | We consider an inverse boundary-value problem for the crack reconstruction in semiinfinite domains. The numerical solution is realized through the hybrid method. It consists in the iterative procedure, where some functional is minimized on each step of the iteration. The functional is formed from the corresponding nonlinear operator equation. The results of numerical experiments are presented.
|
| first_indexed | 2025-11-28T22:23:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2007
Н. I. Вiнтоняк, Р.С. Хапко
Гiбридний метод розв’язування обернених граничних
задач теорiї потенцiалу в частково необмежених
областях з трiщиною
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. Л. Макаровим)
We consider an inverse boundary-value problem for the crack reconstruction in semiinfinite
domains. The numerical solution is realized through the hybrid method. It consists in the iterati-
ve procedure, where some functional is minimized on each step of the iteration. The functional
is formed from the corresponding nonlinear operator equation. The results of numerical experi-
ments are presented.
1. Постановка задачi. Важливою проблемою багатьох прикладних застосувань є визна-
чення мiсцезнаходження i форми трiщини в частково необмеженому тiлi. Одним iз способiв
швидкого неруйнiвного тестування об’єктiв та виявлення дефектiв матерiалiв є технологiя
термiчного зображення. Вона полягає в нагрiваннi границi тiла, пiсля чого здiйснюється
монiторинг теплового потоку. За цими температурно-потоковими вимiрами робиться вис-
новок про внутрiшню структуру тiла.
Проблема iдентифiкацiї трiщини за вiдомими температурою та потоком на границi обла-
стi зводиться в стацiонарному випадку до розв’язування оберненої граничної задачi для
рiвняння Лапласа.
Припустимо, що D1 ⊂ R
2 — частково необмежена область з границею Γχ, Γξ ⊂ D1 —
розiмкнена крива (трiщина), D = D1\Γξ. Пiд частково необмеженою областю розумiтимемо
одну з таких канонiчних областей: пiвплощина, смуга, пiвсмуга i квадрант. Будемо також
вважати, що Γξ ∈ C2. Нехай для заданої функцiї f обмежена функцiя u ∈ C2(D)
⋂
C(D)
задовольняє рiвняння Лапласа
∆u = 0 в D (1)
i граничнi умови Дiрiхле
u = 0 на Γξ, u = f на Γχ. (2)
Обернена гранична задача полягає в наступному: за вiдомим тепловим потоком
∂u
∂ν
= g на Σχ ⊂ Γχ (3)
знайти форму трiщини Γξ. Тут ν — одиничний вектор зовнiшньої нормалi; Σχ — непорожня
пiдмножина.
Питання єдиностi форми трiщини (так званої iдентифiковностi) за вiдомими функцiя-
ми f i g дослiджено в роботi [1].
Чисельне розв’язування сформульованої оберненої граничної задачi (1)–(3) може бути
здiйснено методом Ньютона, який передбачає розв’язування певної кiлькостi прямих задач
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
на кожному кроцi iтерацiї. Власне це приводить до значних затрат обчислювальних ресурсiв
i робить такий пiдхiд неефективним. В [2] запропоновано так званий гiбридний метод для
розв’язування обернених задач теорiї потенцiалу, пов’язаних з реконструкцiєю внутрiшньої
частини двозв’язної границi обмеженої областi. Його важливою перевагою є вiдсутнiсть
необхiдностi в розв’язуваннi прямих задач. В [3, 4] цей метод використано для розв’язу-
вання обернених граничних задач дифракцiї. Метою даної роботи є розробка гiбридного
методу реконструкцiї трiщини для випадку частково необмежених областей. Часткова не-
обмеженiсть областi i розiмкненiсть кривої, що реконструюється, вносять суттєву специфiку
в гiбридний метод порiвняно з випадком обмеженої областi [2]. Iдея методу полягає в послi-
довному здiйсненнi двох крокiв. Спочатку, фiксуючи певну апроксимацiю для Γξ, шукається
густина деякого iнтегрального рiвняння першого роду з неперервним ядром, отриманого за
допомогою додаткової iнформацiї про потiк (3). На другому кроцi для задоволення одно-
рiдної граничної умови на Γξ фiксується густина i змiнюється апроксимацiя для трiщини.
Обидва кроки повторюються до виконання певного критерiю зупинки iтерацiйного процесу.
Можливiсть застосування методу пiдтверджена чисельними експериментами.
2. Апроксимацiя iнтегральних операторiв для оберненої граничної задачi. Для
функцiй f ∈ C(Γχ), ϕ(x) = ϕ̃(x)w(x) i
w(x) =
1√
|x− x∗−1‖x− x∗1|
, ϕ̃ ∈ C(Γξ), x ∈ Γξ,
де x∗−1, x
∗
1 — граничнi точки трiщини Γξ, розглянемо такi iнтегральнi оператори:
(Kϕ)(x) =
∫
Γξ
ϕ(y)
∂G(x, y)
∂ν(x)
ds(y), (Bf)(x) =
∫
Γχ
f(y)
∂2G(x, y)
∂ν(x)∂ν(y)
ds(y), x ∈ Γχ,
(Nϕ)(x) =
∫
Γξ
ϕ(y)G(x, y)ds(y), (Cf)(x) =
∫
Γξ
f(y)
∂G(x, y)
∂ν(y)
ds(y), x ∈ Γξ,
(Sϕ)(x) =
∫
Γξ
ϕ(y)
∂G(x, y)
∂ν(x)
ds(y), (Qf)(x) =
∫
Γχ
f(y)
∂2G(x, y)
∂ν(x)∂ν(y)
ds(y), x ∈ Γξ.
Тут G — функцiя Грiна граничної задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в областi D1; ν —
одинична нормаль до Γξ та Γχ вiдповiдно. Зауважимо, що оператор N має логарифмiчну
особливiсть в ядрi, оператор B — гiперсингулярну особливiсть, а ядра iнших операторiв
є неперервними.
Використовуючи можливiсть представлення розв’язку граничної задачi (1), (2) у вигля-
дi потенцiалу простого шару з густиною ϕ i функцiєю Грiна в якостi фундаментального
розв’язку, з умови (3) отримуємо iнтегральне рiвняння першого роду
(Kϕ)(x) = g(x) + (Bf)(x), x ∈ Σχ. (4)
Тодi слiд функцiї u на Γξ можна обчислити за формулою
u(x) = (Nϕ)(x) − (Cf)(x), x ∈ Γξ, (5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 43
а його нормальну похiдну на Γξ подати у виглядi
∂u
∂ν
(x) = −
1
2
ϕ(x) + (Sϕ)(x) − (Qf)(x), x ∈ Γξ \ {x
∗
−1, x
∗
1}. (6)
Через неперервнiсть ядра оператора K рiвняння (4) є некоректно поставленою задачею.
Для його чисельного розв’язування потрiбно застосувати метод, що має регуляризуючi влас-
тивостi. Можливiсть використання регуляризуючого методу Тихонова [5] забезпечується
справедливiстю такого твердження.
Теорема 1. Оператор K : L2(w; Γξ) → L2(Γχ) iн’єктивний i має щiльну множину зна-
чень.
Доведення. Очевидно, що ϕ ∈ L2(w; Γξ), (Kϕ)(x) ∈ L2(Γχ). Iн’єктивнiсть оператора
можна показати за допомогою теореми Гольмгрена, принципу максимуму для гармонiй-
них функцiй i властивостей потенцiалу простого шару. Обгрунтування щiльностi множини
значень оператора K здiйснюється через доведення iн’єктивностi спряженого оператора
K∗ : L2(Γχ) → L2(w; Γξ).
Нехай кривi Γξ, Γχ i Σχ мають параметричнi подання Γξ = {ξ(t) = (ξ1(t), ξ2(t)),−1 6
6 t 6 1}, Γχ = {χ(t) = (χ1(t), χ2(t)),−∞ 6 t 6 ∞} i Σχ = {χ(t) = (χ1(t), χ2(t)), σ1 6 t 6 σ2}
вiдповiдно.
Параметризацiя операторiв K, N i S здiйснюється з використанням cos-замiни [6] для
позбавлення кореневої особливостi в густинi. В результатi перетворень отримуємо вiдповiднi
параметризованi оператори
(Kψ)(s) =
1
2π
2π∫
0
ψ(σ)H
(1)
1 (s, σ) dσ, s ∈ [σ1, σ2],
(Nψ)(s) =
1
2π
2π∫
0
ψ(σ)
[
cπ ln
4
e
sin2 s− σ
2
+H
(1)
2 (s, σ)
]
dσ, s ∈ [0, 2π],
(Sψ)(s) =
1
2π
2π∫
0
ψ(σ)H
(1)
3 (s, σ) dσ, s ∈ [0, 2π],
де ψ(s) := ϕ̃(cos s); cπ — константа, яка залежить вiд вигляду частково необмеженої областi.
Ядра H(1)
ℓ (ℓ = 1, 2, 3) є неперервними, i їх гладкiсть залежить вiд гладкостi трiщини Γξ. Тут
i далi для параметризованих операторiв використано тi ж позначення, що i для вiдповiдних
граничних операторiв.
Залежно вiд вигляду областi D1, пiд час параметризацiї операторiв B, C та Q здiйсню-
ються вiдповiднi замiни (див. [7, 8]) для отримання iнтегралiв, визначених на всiй дiйснiй
осi:
(Bf)(s) =
1
2π
∞∫
−∞
[
[f(σ)H
(2)
1,1 (s, σ)]′σ
s− σ
+ f(σ)H
(2)
1,2 (s, σ)
]
dσ, s ∈ [σ1, σ2],
(Cf)(s) =
1
2π
∞∫
−∞
f(σ)H
(2)
2 (s, σ) dσ, (Qf)(s) =
1
2π
∞∫
−∞
f(σ)H
(2)
3 (s, σ) dσ, s ∈ [0, 2π],
де f̃ отримана з f шляхом вiдповiдної замiни, H(2)
1,1 , H(2)
1,2 , H(2)
ℓ (ℓ = 2, 3) — гладкi функцiї.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
Для апроксимацiї параметризованих операторiв K, N i S скористаємося тригономет-
ричними квадратурами [6, 9, 10]
1
2π
2π∫
0
f(σ) dσ ≈
1
2M
2M−1∑
j=0
f(sj),
1
2π
2π∫
0
f(σ) ln
(
4
e
sin2 s− σ
2
)
dσ ≈
2M−1∑
j=0
Rj(s)f(sj).
Тут Rj — вiдомi ваговi функцiї, sj = jh, j = 0, 1, . . . 2M − 1,M ∈ N.
Далi, враховуючи парнiсть пiдiнтегральних функцiй, запишемо вiдповiднi напiвдискре-
тизованi оператори
(KMψ)(s) =
ψ(s0)
2M
H
(1)
1 (s, s0) +
1
M
M−1∑
j=1
ψ(sj)H
(1)
1 (s, sj)+
ψ(sM )
2M
H
(1)
1 (s, sM ), s ∈ [σ1, σ2],
(NMψ)(s) = ψ(s0)
[
cπR0(s) +
1
2M
H
(1)
2 (s, s0)
]
+ ψ(sM )
[
cπRM (s) +
1
2M
H
(1)
2 (s, sM )
]
+
+
M−1∑
j=1
ψ(sj)
[
cπRj(s) + cπR2M−j(s) +
1
M
H
(1)
2 (s, sj)
]
, s ∈ [0, 2π]
i
(SMψ)(s) =
ψ(s0)
2M
H
(1)
3 (s, s0) +
1
M
M−1∑
j=1
ψ(sj)H
(1)
3 (s, sj) +
ψ(sM )
2M
H
(1)
3 (s, sM ), s ∈ [0, 2π].
Для апроксимацiї операторiв B, C та Q використаємо sinc-квадратури [7, 8]
∞∫
−∞
f(σ) dσ ≈ h∞
M1∑
i=−M1
f(ih∞),
∞∫
−∞
f ′(σ)
s− σ
dσ ≈
M1∑
i=−M1
f(ih∞)Ri,∞(s).
Тут Ri,∞ — вiдомi ваговi функцiї; h∞ = c/
√
M1, M1 ∈ N, c > 0.
Отримуємо апроксимацiї
(BM1
f)(s) =
1
2π
M1∑
i=−M1
[f̃(ih∞)H
(2)
1,1 (s, ih∞)Ri,∞(s) + h∞f̃(ih∞)H
(2)
1,2 (s, ih∞)], s ∈ [σ1, σ2],
(CM1
f)(s) =
h∞
2π
M1∑
i=−M1
f̃(ih∞)H
(2)
2 (s, ih∞), s ∈ [0, 2π]
i
(QM1
f)(s) =
h∞
2π
M1∑
i=−M1
f̃(ih∞)H
(2)
3 (s, ih∞), s ∈ [0, 2π].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 45
Для одержаних наближень справедливi такi оцiнки похибок [6–8].
Теорема 2. Нехай 0 6 q 6 p i p > 1/2. Для ψ ∈ Hp
e [0, 2π] мають мiсце оцiнки
‖(S − SM)ψ‖q+1 6 C1M
q−p, ‖(N −NM )ψ‖q 6 C2M
q−p, ‖(K −KM )ψ‖q 6 C3M
q−p.
Для f ∈ H(Dd) мають мiсце оцiнки
‖(B −BM1
)f‖∞ 6 C4e
−C5M1 , ‖(Q−QM1
)f‖∞ 6 C6e
−C7M1
i
‖(C − CM1
)f‖∞ 6 C8M
1/2
1 e−C9M1 .
Тут Cℓ > 0, ℓ = 1, . . . , 9, Hp
e [0, 2π] — простiр Соболєва парних 2π-перiодичних функцiй;
H(Dd) — простiр функцiй, аналiтичних в смузi Dd i таких, що |f(z)| 6 C|eβz|(1+ |ez |)−2β ,
C > 0, β > 0 (див. [8]).
Отже, з рiвняння (4) iз врахуванням отриманих апроксимацiй операторiв та методу
регуляризацiї Тихонова, для знаходження апроксимацiї ψ̃M для
ψM = (ψ(s0), ψ(s1), . . . , ψ(sM ))T
одержуємо рiвняння другого роду
(αI + K̃∗
MK̃M )ψ̃M = K̃∗
M (g + B̃M1
f), (7)
де α > 0 — параметр регуляризацiї; K̃M , B̃M1
— вiдповiднi дискретизованi оператори.
Наближенi значення u на Γξ обчислюються вiдповiдно до (5) за формулою
u(ξ(cos s)) ≈ (NM ψ̃M )(s) − (CM1
f)(s), s ∈ [0, π]. (8)
Згiдно з (6), для нормальної похiдної можна записати апроксимацiю
∂u
∂ν
(ξ(cos si)) ≈ −
ψ̃(si)
sin si
+ (SM ψ̃M )(si) − (QM1
f)(si), i = 1, . . . ,M − 1. (9)
3. Гiбридний метод. Визначимо нелiнiйний оператор A, який вiдображає розiмкнену
криву Γξ на слiд функцiї u на Γξ. В результатi, обернена гранична задача (1)–(3) зводиться
до розв’язування нелiнiйного рiвняння
A(Γξ) = 0. (10)
Справедливим є таке твердження.
Теорема 3. Оператор A : C2[−1; 1] → C[−1; 1] є диференцiйований за Фреше i його
похiдна для випадку трiщини з параметричним представленням Γξ має вигляд
A′
ξh = (grad uξ, h),
де h ∈ C2 — векторне поле (мале збурення) в R
2.
Доведення. Доведення грунтується на означеннi похiдної Фреше. Нехай h — деяке
мале збурення, вибране таким чином, що розiмкнена крива Γξ,h = {ξ(t) + h(t), t ∈ [−1; 1]}
належить D1.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
Згiдно з формулою Тейлора
u(ξ + h)(t) = u(ξ(t)) + (grad u(ξ(t)), h(t)) +O(|h|2), t ∈ [−1; 1],
одержуємо
A(ξ + h) −A(ξ) = uξ,h − uξ = (graduξ, h) +O(|h|2).
Отже,
‖A(ξ + h) −A(ξ) −A′
ξh‖ = O(‖h‖C2), ‖h‖C2 → 0,
i доведення теореми випливає iз означення похiдної Фреше.
Лiнеаризацiя рiвняння (10) методом Ньютона приводить до лiнiйного рiвняння
A′
ξh+A(Γξ) = 0
вiдносно корекцiї h з фiксованою бiжучою апроксимацiєю трiщини Γξ. Враховуючи резуль-
тати теореми 3, до розв’язування отримуємо лiнiйне рiвняння
uξ + (graduξ, h) = 0, (11)
де uξ — слiд розв’язку задачi (1)–(2) на Γξ. Наближене розв’язування рiвняння (11) здiйс-
нюється за допомогою методу колокацiї з використанням многочленiв Чебишева першого
роду в якостi базисних функцiй i регуляризуючого методу найменших квадратiв.
Описаний спосiб еквiвалентний мiнiмiзацiї вiдповiдного квадратичного функцiоналу, по-
будованого на основi цього рiвняння.
Сформулюємо алгоритм гiбридного методу реконструкцiї трiщини.
Задати початкове наближення трiщини ξ0.
Розв’язати систему рiвнянь (7).
Знайти апроксимацiю uξk
на Γξk
за формулою (8).
Обчислити градiєнт
graduξk
=
∂uξk
∂θ
~θ +
∂uξk
∂ν
~ν,
де ~θ — одиничний вектор дотичної. Обчислення нормальної похiдної здiйснюється за фор-
мулою (9), тангенцiальної — через диференцiювання iнтерполяцiйного тригонометричного
многочлена, побудованого для uξk
.
Знайти мiнiмум функцiоналу
‖
√
1| − |t2[uξk(t) + (graduξk(t), h(t))]‖
2
L2 [|−|1;1] − β‖Γξk+h‖
2 → min︸︷︷︸
h
, (12)
де β > 0 — параметр. Другий доданок у функцiоналi (12) має забезпечити знаходження
апроксимацiї трiщини максимальної довжини. Мiнiмiзацiя функцiоналу (12) здiйснюється
методом Левенберга–Маквардта. Зауважимо, що в першому доданку введено спецiальну
вагову функцiю для уникнення проблем при обчисленнi апроксимацiї нормальної похiдної
в граничних точках трiщини (див. (9)).
Знайти нове наближення ξk+1 := ξk + h.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 47
Рис. 1. Реконструкцiя трiщини у верхнiй пiвплощинi
Виконувати iтерацiйний процес, поки ‖h‖L2[−1;1] < ǫ, де ǫ > 0 — досить мале число.
4. Чисельнi експерименти. Для чисельних експериментiв за частково необмежену
область взято верхню пiвплощину. Потiк g на частинi границi Σχ для вiдомої форми трi-
щини та граничної функцiї f генерується шляхом розв’язування методом граничних iнтег-
ральних рiвнянь вiдповiдної прямої граничної задачi. Гранична функцiя f та згенерований
потiк g беруться як вхiднi данi для оберненої граничної задачi (1)–(3).
На рис. 1 показано результати роботи гiбридного методу для двох прикладiв: реконст-
рукцiя трiщини у виглядi параболи i трiщини у виглядi вiдрiзку, пiсля виконання 10-ти
iтерацiй з граничною функцiєю f = 1. Тонкою суцiльною лiнiєю зображено отриманий
наближений результат, штриховою — точний розв’язок, пунктирна лiнiя вiдповiдає вибра-
ному початковому наближенню.
Отже, як бачимо, запропонований метод дає можливiсть здiйснити реконструкцiю трi-
щини у частково необмеженiй областi за вийнятком граничних точок трiщини, що викли-
кано особливостями обчислення. Недолiком методу є вiдсутнiсть апрiорної iнформацiї про
вибiр параметрiв регуляризацiї.
1. Friedman A., Vogelius M. Determing crack by boundary measurement // Indiana Univ. Math. J. – 1989. –
38. – P. 527–556.
2. Chapko R., Kress R. A hybrid method for inverse boundary value problems in potential theory // J. of
Ill-Posed and Inverse Problems. – 2005. – 13. – P. 1–14.
3. Kress R., Serranho P. A hybrid method for two-dimensional crack reconstruction // Inverse Problems. –
2005. – 21. – P. 773–784.
4. Serranho P. A hybrid method for inverse scattering for shape and impedance // Ibid. – 2006. – 22. –
P. 663–680.
5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – Москва: Наука, 1976.
6. Kress R. Linear integral equations. 2nd. ed. – Heidelberg: Springer-Verlag, 1999.
7. Вiнтоняк Н., Хапко Р. Про використання sinc квадратур для наближеного обчислення iнтегралiв з
рiзними типами особливостей // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. прикл. матем. та iнформ. – 2006. – Вип. 11. –
С. 35–42.
8. Stenger F. Numerical methods based on sinc and analytic functions. – Heidelberg: Springer-Verlag, 1993.
9. Хапко Р. С. Метод квадратур для iнтегральних рiвнянь першого роду з логарифмiчною особливiстю
в ядрi // Докл. АН Украины. – 1993. – № 5. – С. 36–40.
10. Chapko R., Kress R. On a quadrature method for a logarithmic integral equation of the first kind //
In Agarwal, ed.: World Scientific Series in Applicable Analysis. – Vol. 2. Contributions in Numerical
Mathematics. – Singapore: World Scientific, 1993. – P. 127–140.
Надiйшло до редакцiї 06.12.2006Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1723 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T22:23:04Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вінтоняк, Н.І. Хапко, Р.С. 2008-09-02T16:56:02Z 2008-09-02T16:56:02Z 2007 Гібридний метод розв'язування обернених граничних задач теорії потенціалу в частково необмежених областях з тріщиною /Н.І. Вінтоняк, Р.С. Хапко // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 42–48. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1723 517.9 We consider an inverse boundary-value problem for the crack reconstruction in semiinfinite domains. The numerical solution is realized through the hybrid method. It consists in the iterative procedure, where some functional is minimized on each step of the iteration. The functional is formed from the corresponding nonlinear operator equation. The results of numerical experiments are presented. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Гібридний метод розв'язування обернених граничних задач теорії потенціалу в частково необмежених областях з тріщиною Article published earlier |
| spellingShingle | Гібридний метод розв'язування обернених граничних задач теорії потенціалу в частково необмежених областях з тріщиною Вінтоняк, Н.І. Хапко, Р.С. Інформатика та кібернетика |
| title | Гібридний метод розв'язування обернених граничних задач теорії потенціалу в частково необмежених областях з тріщиною |
| title_full | Гібридний метод розв'язування обернених граничних задач теорії потенціалу в частково необмежених областях з тріщиною |
| title_fullStr | Гібридний метод розв'язування обернених граничних задач теорії потенціалу в частково необмежених областях з тріщиною |
| title_full_unstemmed | Гібридний метод розв'язування обернених граничних задач теорії потенціалу в частково необмежених областях з тріщиною |
| title_short | Гібридний метод розв'язування обернених граничних задач теорії потенціалу в частково необмежених областях з тріщиною |
| title_sort | гібридний метод розв'язування обернених граничних задач теорії потенціалу в частково необмежених областях з тріщиною |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1723 |
| work_keys_str_mv | AT víntonâkní gíbridniimetodrozvâzuvannâobernenihgraničnihzadačteoríípotencíaluvčastkovoneobmeženihoblastâhztríŝinoû AT hapkors gíbridniimetodrozvâzuvannâobernenihgraničnihzadačteoríípotencíaluvčastkovoneobmeženihoblastâhztríŝinoû |