Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона

Получены полные асимптотические разложения для величин точных верхних граней приближений функций из классов Wʳ₁, r ∈ N, и W¯ʳ₁,r ∈ N∖{1}, их бигармоническими интегралами Пуассона....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2007
Main Authors:	Кальчук, И.В., Харкевич, Ю.И.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут математики НАН України 2007
Series:	Український математичний журнал
Subjects:	Статті Wʳ₁
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/172472
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона / И.В. Кальчук, Ю.И. Харкевич // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 8. — С. 1105–1115. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-172472
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1724722025-02-09T17:11:51Z Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals Кальчук, И.В. Харкевич, Ю.И. Статті Wʳ₁ Получены полные асимптотические разложения для величин точных верхних граней приближений функций из классов Wʳ₁, r ∈ N, и W¯ʳ₁,r ∈ N∖{1}, их бигармоническими интегралами Пуассона. Complete asymptotic decompositions are obtained for values of exact upper bounds of approximations of functions from the classes Wʳ₁, r ∈ N, and W¯ʳ₁,r ∈ N∖{1}, by their biharmonic Poisson integrals. 2007 Article Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона / И.В. Кальчук, Ю.И. Харкевич // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 8. — С. 1105–1115. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/172472 517.5 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Wʳ₁ Статті Wʳ₁
spellingShingle	Статті Wʳ₁ Статті Wʳ₁ Кальчук, И.В. Харкевич, Ю.И. Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона Український математичний журнал
description	Получены полные асимптотические разложения для величин точных верхних граней приближений функций из классов Wʳ₁, r ∈ N, и W¯ʳ₁,r ∈ N∖{1}, их бигармоническими интегралами Пуассона.
format	Article
author	Кальчук, И.В. Харкевич, Ю.И.
author_facet	Кальчук, И.В. Харкевич, Ю.И.
author_sort	Кальчук, И.В.
title	Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона
title_short	Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона
title_full	Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона
title_fullStr	Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона
title_full_unstemmed	Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона
title_sort	асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів пуассона
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Статті Wʳ₁
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/172472
citation_txt	Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона / И.В. Кальчук, Ю.И. Харкевич // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 8. — С. 1105–1115. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT kalʹčukiv asimptotikaveličinnabližennâvserednʹomuklasívdiferencíjovnihfunkcíjzadopomogoûbígarmoníjnihíntegralívpuassona AT harkevičûi asimptotikaveličinnabližennâvserednʹomuklasívdiferencíjovnihfunkcíjzadopomogoûbígarmoníjnihíntegralívpuassona AT kalʹčukiv asymptoticsofthevaluesofapproximationsinthemeanforclassesofdifferentiablefunctionsbyusingbiharmonicpoissonintegrals AT harkevičûi asymptoticsofthevaluesofapproximationsinthemeanforclassesofdifferentiablefunctionsbyusingbiharmonicpoissonintegrals
first_indexed	2025-11-28T11:15:43Z
last_indexed	2025-11-28T11:15:43Z
_version_	1850032568692375552
fulltext	UDK 517.5 G. I. Xarkevyç, I. V. Kal\çuk (Volyn. un-t, Luc\k) ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN\|OMU KLASIV DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ ZA DOPOMOHOG BIHARMONIJNYX INTEHRALIV PUASSONA Complete asymptotic decompositions are obtained for values of exact upper bounds of approximations of functions from the classes W r 1 , r ∈ N, and W r 1 , r N∈ { }\ 1 , by their biharmonic Poisson integrals. Poluçen¥ poln¥e asymptotyçeskye razloΩenyq dlq velyçyn toçn¥x verxnyx hranej prybly- Ωenyj funkcyj yz klassov W r 1 , r ∈ N, y W r 1 , r N∈ { }\ 1 , yx byharmonyçeskymy yntehralamy Puassona. Nexaj C — prostir 2π -periodyçnyx neperervnyx funkcij, u qkomu norma zada[t\sq za dopomohog rivnosti f C = max ( ) t f t ; L∞ — prostir 2π-periodyç- nyx vymirnyx sutt[vo obmeΩenyx funkcij iz normog f ∞ = ess sup ( ) t f t ; L — prostir 2π-periodyçnyx sumovnyx na periodi funkcij, de normu zadano takym çynom: f L = f 1 = −∫ π π f t( ) dt. Çerez Wp r (de p = 1 abo p = ∞) poznaçymo mnoΩynu 2π-periodyçnyx funkcij, qki magt\ absolgtno neperervni poxidni do (r – 1)-ho porqdku vklgç- no, i f tr p ( )( ) ≤ 1, qkwo p = 1, ∞. Wp r — klas funkcij, sprqΩenyx do funk- cij iz klasu Wp r , tobto Wp r = f f x f x t t dt f Wp r: ( ) ( ) ctg ,= − + ∈        − ∫1 2 2π π π , (1) de intehral rozumi[mo v sensi joho holovnoho znaçennq, tobto − ∫ + π π f x t t dt( ) ctg 2 = lim ( ) ctg ε π ε ε π → + − − ∫ ∫+       + 0 2 f x t t dt (dyv., napryklad, [1, s.522]). Nexaj f L∈ . Velyçyna B f xδ( , ) = 1 π π π δ − ∫ +f t x K t dt( ) ( ) , δ > 0, – π ≤ x < π, (2) nazyva[t\sq biharmonijnym intehralom Puassona funkci] f, de K tδ( ) = 1 2 + k kk e e kt = ∞ − −∑ + −( )   1 21 2 1 / / cosδ δ (3) — biharmonijne qdro Puassona (dyv. [2]). Dali pid poznaçennqm Bδ budemo rozumity periodyçne prodovΩennq funkci] B f xδ( , ), x ∈ −[ ; )π π , na vsg çyslovu vis\. © G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL\|ÇUK, 2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1105 1106 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL\|ÇUK Poznaçymo � �( , )Bδ 1 = sup ( ) ( , ) f f x B f x ∈ − � δ 1, (4) � �( , )B Cδ = sup ( ) ( , ) f Cf x B f x ∈ − � δ , (5) de � ≡ Wp r , abo � ≡ Wp r , p = 1, ∞. Qkwo v qvnomu vyhlqdi znajdeno funkcig g( )δ = g( ; )� δ taku, wo pry δ → → ∞ ma[ misce toçna asymptotyçna rivnist\ � �( , )B Xδ = g( )δ + o g( )δ( ), (6) to, naslidugçy O.5I.5Stepancq [3, s.5198], budemo hovoryty, wo rozv’qzano zadaçu Kolmohorova – Nikol\s\koho dlq danoho klasu � i operatora B f xδ( , ) u met- ryci prostoru X. Formal\nyj rqd n ng= ∞∑ 0 ( )δ budemo nazyvaty povnym asymptotyçnym roz- kladom abo povnog asymptotykog funkci] f ( )δ pry δ → ∞ , qkwo pry vsix n N∈ gn +1( )δ = o gn( )δ( ) (7) i pry bud\-qkomu natural\nomu N f g o g n N n N( ) ( ) ( )δ δ δ= + ( ) = ∑ 0 , δ → ∞ . (8) Korotko budemo zapysuvaty cej fakt tak: f ( )δ ≅ n ng= ∞∑ 0 ( )δ . Metog dano] roboty [ otrymannq povnyx asymptotyçnyx rozkladiv velyçyn (4) pry � = W r 1 , r N∈ , ta � = W r 1 , r N∈ \ {}1 , za stepenqmy 1 δ pry δ → ∞. Teorema 1. Ma[ misce povnyj asymptotyçnyj rozklad �( ; )W B k k k1 1 1 2 12 1 1 δ π δ ν δ ≅ +       = ∞ ∑ , δ → ∞ , (9) de νk 1 = ( ) ! − −− −1 11 1 k k k k σ , k = 2, 3, … , (10) σ j j i j j i j j i j i j i j j l j i a j j C j i j l= = − − − − − − =     − = + = − ∑ ∑ 0 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 21 1 1 0 1 2 , , ! ( ) ( )! ( )! ( ) ( ) , , l N∈ , (11) a i i j a i a j i i j i j i j j i j= = = − − + − −( ) < < −     − − − 1 1 1 2 1 2 1 1 11 1 , , , ( ) ( ) , , j N∈ . (12) Dovedennq. V roboti [4] bulo znajdeno povnyj asymptotyçnyj rozklad �( ; )W B C k k k∞ = ∞ ≅ +     ∑1 2 12 1 1 δ π δ ν δ , δ → ∞ , u qkomu νk 1 vyznaça[t\sq za formulog (10), pryçomu vykorystovuvalas\ riv- nist\ z roboty L.5P.5Falal[[va [5, s.5164] ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN\|OMU KLASIV … 1107 �( ; ) ( ) / W B k e e k C k k ∞ = ∞ − − + = − + + −( )    +∑1 1 2 2 1 2 4 1 1 2 1 2 1 2 1δ δ δ π . (13) OtΩe, zrozumilo, wo dlq vstanovlennq spivvidnoßennq (9) dostatn\o po- kazaty, wo �( ; )W B1 1 1δ zbiha[t\sq z pravog çastynog (13), abo, te same, wo �( ; )W B1 1 1δ = �( ; )W B C∞ 1 δ . Vraxovugçy intehral\ne zobraΩennq (2) i te, wo 1 π π π δ − ∫ K t dt( ) = 1, ma[mo f x B f x f x f t x K t dt( ) ( , ) ( ) ( ) ( )− = − +( ) − ∫δ π π δπ 1 . (14) Oskil\ky funkciq f x f t x K t( ) ( ) ( )− +( ) δ [ vymirnog na mnoΩyni [− ]π π; × × [− ]π π; ta − −∫ ∫ − +( ) π π π π δdx f x f t x K t dt( ) ( ) ( ) < + ∞, vykorystovugçy naslidok do teoremy Fubini (dyv., napryklad, [6, s.5331]) pislq pidstanovky pravo] çastyny rivnosti (14) v (4), a takoΩ vraxovugçy, wo dlq f W∈ 1 1 − ∫ + − ≤ π π f x t f x dx t( ) ( ) i K tδ( ) ≥ 0 pry δ > 0, – π ≤ x < π, otrymu[mo �( ; )W B1 1 1δ ≤ 2 0 π π δ∫ t K t dt( ) = 4 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 2π δ δ k k k e e k= ∞ − − + ∑ − + + −( )    + / ( ) . (15) Z inßoho boku, zhidno z lemog z roboty [7, s.563] �( ; )W B1 1 1δ ≥ sup ( ) ( , ) f T f x B f x dx ∈ − ∫ − 1 π π δ ≥ ≥ 4 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 2π δ δ k k k e e k= ∞ − − + ∑ − + + −( )    + / ( ) , (16) de T n — klas usix tryhonometryçnyx polinomiv g, dlq qkyx ma[ misce spivvidnoßennq −∫ π π g x dxn( )( ) ≤ 1. Iz nerivnostej (15) ta (16) iz uraxuvannqm (13) otrymu[mo �( ; )W B1 1 1δ = 4 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 2π δ δ k k k e e k= ∞ − − + ∑ − + + −( )    + / ( ) = �( ; )W B C∞ 1 δ . (17) Teoremu 1 dovedeno. Teorema 2. Qkwo r = 2l +1, l N∈ , to pry δ → ∞ ma[ misce povnyj asymp- totyçnyj rozklad ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1108 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL\|ÇUK �( ; ) ! lnW B r r r r k k r k1 1 2 2 1 1 1 δ π δ δ ν δ ≅ − +       = ∞ ∑ , (18) u qkomu νk r = ( ) ( ) ! ( ), , ! ( ) ln , , ( ) ( ) ! , , , , , − − < − +       +       = − − > = …           − − = − − ∑ 1 1 0 1 1 2 1 1 1 1 2 3 1 1 1 k r k i r k k r k k k r r r i k r k k k r k ϕ σ (19) σ j vyznaça[t\sq formulog (11), a ϕ π πn n n K n l K n l ( ) , , ˜ , , 0 2 2 1 2 2 = = − =      l N∈ , (20) de Kn i K̃n — vidomi konstanty Û.+Favara – N.+I.+Axi[zera – M.+H.+Krejna: Kn = 4 1 2 10 1 1π m m n nm= ∞ + +∑ − + ( ) ( ) ( ) , n = 0, 1, 2, … , K̃n = 4 1 2 10 1π m mn nm= ∞ +∑ − + ( ) ( ) , n N∈ . Dovedennq. V roboti [4] (teorema 2) bulo znajdeno povnyj asymptotyçnyj rozklad �( ; ) ! lnW B r r r C r k k r k∞ = ∞ ≅ − +     ∑δ π δ δ ν δ 2 1 1 1 2 , δ → ∞ , de koefici[nty νk r obçyslggt\sq za formulog (19). OtΩe, dlq dovedennq teoremy dosyt\ pokazaty spravedlyvist\ rivnosti �( ; )W Br 1 1δ = �( ; )W Br C∞ δ , r = 2l + 1, l N∈ , (21) zauvaΩyvßy, wo zhidno z rivnistg (47) roboty [4] �( ; )W Br C∞ δ = 4 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − + + −( )    + / ( ) . (22) Iz (14) v rezul\tati r-kratnoho intehruvannq çastynamy otrymu[mo f x( ) – B f xδ( , ) = 1 π δ π π − ∫ +f x t Q t dtr r ( )( ) ( ; ) , de ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN\|OMU KLASIV … 1109 Q tr( ; )δ = k k r k e e k kt r = ∞ − − ∑ − + −( )    +    1 21 1 2 1 2 / / cos δ δ π . (23) Tomu �( ; )W Br 1 1δ = sup ( ) ( ; )( ) f W r r r f t x Q t dt dx ∈ − − ∫ ∫ + 1 1 π δ π π π π . (24) Dlq podal\ßo] ocinky velyçyny �( ; )W Br 1 1δ pokaΩemo spoçatku, wo sign ( ; ) sign sinQ t tr δ = ± , r = 2l + 1. (25) Oçevydno, wo pry r = 2l + 1, l N∈ , Qr( ; )0 δ = Qr( ; )π δ = 0. Tomu, prypustyvßy, wo Q tr( ; )δ dorivng[ nulg we v deqkij toçci t0 ∈ 5(0, π ), matymemo, wo zhidno z teoremog Rollq isnugt\ toçky t1 1( ) ∈ 5(0, t0 ), t1 2( ) ∈ 5( t0 , π ) taki, wo ′Q tr( ; )( ) 1 1 δ = ′Q tr( ; )( ) 1 2 δ = 0, zvidky Q tr−1 1 1( ; )( ) δ = Q tr−1 1 2( ; )( ) δ = 0, i, qk naslidok, isnu[ toçka t2 ∈5 t t1 1 1 2( ) ( ),( ) taka, wo Q tr−2 2( ; )δ = 0, i t.5d. Povtoryvßy vkazanu proceduru r – 2 razy, pryjdemo do vysnovku, wo isnugt\ toçky tr−2 1( ) ∈5(0, tr−1), tr−2 2( ) ∈5( tr−1, π ) taki, wo Q tr2 2 1 −( )( ) ; δ = Q tr2 2 2 −( )( ) ; δ = 0. Ostannq rivnist\ [ supereçlyvog, tomu wo funkciq Q t2( ; )δ dorivng[ nulg na promiΩku (0; π ) lyße v odnij toçci. Dijsno, ′ = − + + −( ) = ∞ = ∞ − − = ∞ − ∑ ∑ ∑Q t kt k e kt k e e kt k k k k k 2 1 1 2 1 1 2 1( ; ) sin sin sin / /δ δ δ δ . Vraxovugçy spivvidnoßennq (1.441.1), (1.447.1) ta (1.448.1) z [8], otrymu[mo ′ = − + − + −( ) − +( ) − − − − − −Q t t e t e t e e t e t e 2 1 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 ( ; ) arctg sin cos sin cos / / / / / /δ π δ δ δ δ δ δ . Dali znaxodymo ′′ = −( ) −( ) − +( ) − − − − Q t e e t e t e 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 ( ; ) cos cos / / / / δ δ δ δ δ i perekonu[mosq, wo ′′Q t2( ; )δ > 0, t ∈( ; )0 π . OtΩe, ′Q t2( ; )δ zrosta[ na ( ; )0 π , pryçomu, oskil\ky ′Q2 0( ; )δ = − π 2 , ′Q2( ; )π δ = 0, to ′Q t2( ; )δ < 0 na ( ; )0 π . Takym çynom, Q t2( ; )δ spada[ na ( ; )0 π i, vraxovugçy, wo Q2 0( ; )δ > 0 i Q2( ; )π δ < 0, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1110 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL\|ÇUK pryxodymo do vysnovku, wo funkciq Q t2( ; )δ dorivng[ nulg lyße v odnij toçci vidrizka ( ; )0 π . Rivnist\ (25) dovedeno. OtΩe, vyxodqçy z (24) pry r = 2l + 1, l N∈ , oderΩu- [mo �( ; )W Br 1 1δ ≤ 1 π δ π π − ∫ Q t dtr( ; ) = 2 1 1 2 1 0 1 2 π π δ δ ∫ ∑ = ∞ − −− + −( )[ ] k k r k e e k kt dt / / sin = = 4 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − + + −( )    + / ( ) . (26) Z inßoho boku, vykorystovugçy lemu z roboty [7, s.563], pry neparnomu r ma[mo �( ; )W Br 1 1δ ≥ sup ( ) ( , ) f T r f x B f x dx ∈ − ∫ − π π δ ≥ ≥ 4 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − + + −( )    + / ( ) . (27) Porivnggçy spivvidnoßennq (26) ta (27), pryxodymo do vysnovku, wo �( ; )W Br 1 1δ = 4 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − + + −( )    + / ( ) , i, vraxovugçy (22), oderΩu[mo (21) i, qk naslidok, (18). Teoremu 2 dovedeno. Teorema 3. Qkwo r = 2l, l N∈ , to pry δ → ∞ ma[ misce povnyj asymp- totyçnyj rozklad �( ; )W Br k k r k1 1 2 4 1 δ π η δ ≅ = ∞ ∑ , (28) u qkomu ηk r = ( ) ( ) ! ( ), , ! , , ( ) ! , , , , , − − < − = − > = …         − − − 1 1 0 1 4 1 2 3 1k r k k r k k k r r r k r k k k r k ψ π τ (29) τ j j i j i i j j l a j l = = − = −     = − +∑ 0 2 1 2 1 2 1 1 1 1 , , ( ) , , l N∈ , (30) koefici[nty ai j oznaçeno formulog (12), ψ π πn n n K n l K n l ( ) ˜ , , , , 0 4 2 1 4 2 = = − =     l N∈ . (31) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN\|OMU KLASIV … 1111 Dovedennq. Zhidno z teoremog 3 roboty [4] ma[ misce povnyj asymptotyç- nyj rozklad �( ; )W Br C k k r k∞ = ∞ ≅ ∑δ π η δ 4 1 1 , δ → ∞, de koefici[nty ηk r obçyslggt\sq za formulog (29), a takoΩ zhidno z formu- log (50) ti[] Ω roboty ma[ misce rivnist\ �( ; ) ( ) ( ) / W B k e e k r C k k k r∞ = ∞ − − + += − − + + −( )    +∑δ δ δ π 4 1 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1 . (32) Tomu dlq dovedennq teoremy dostatn\o pokazaty, wo vykonu[t\sq rivnist\ �( ; )W Br 1 1δ = �( ; )W Br C∞ δ , r = 2l, l N∈ , abo, wo te same, dovesty, wo velyçyna �( ; )W Br 1 1δ zbiha[t\sq z pravog çasty- nog (32). Qk pokazano v dovedenni teoremy 1, ma[ misce rivnist\ (24). PokaΩemo, wo sign ( ; ) ; sign cosQ t Q tr rδ π δ−         = ± 2 , r = 2l, l N∈ . (33) Rivnist\ (33) u vypadku r = 2 vykonu[t\sq qk naslidok toho, wo funkciq Q t2( ; )δ ma[ lyße odyn nul\ na ( ; )0 π . PokaΩemo spravedlyvist\ rivnosti (33) u vypadku r = 2l + 2, l N∈ . Za pry- puwennq, wo Q tr( ; )0 δ – Qr π δ 2 ;    = 0, t0 0∈( , )π , t0 2 ≠ π , zhidno z teoremog Rollq isnu[ toçka t1 0∈( , )π taka, wo ′Q tr( ; )1 δ = 0, zvidky Q tr−1 1( ; )δ = 0. Ale ce vnaslidok (25) nemoΩlyvo. Rivnist\ (33) dovedeno. Tomu iz (24), vyko- rystovugçy naslidok iz teoremy Fubini [5, s.5331], vykonannq umov qkoho [ oçevydnymy, pry r = 2l, l N∈ , ma[mo �( ; )W Br 1 1δ = sup ( ) ( ; ) ;( ) f W r r r r f x t Q t Q dt dx ∈ − − ∫ ∫ + −         1 1 2π δ π δ π π π π ≤ ≤ 1 2π δ π δ π π − ∫ −    Q t Q dtr r( ; ) ; = 2 2 0 2 2 π δ π δ π π π/ / ( ; ) ;∫ ∫−       −        Q t Q dtr r = = 4 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 2 1 1π π δ δ/ / ( ) cos( )∫ ∑ = ∞ − − + + − + + −( )    + + k k r k e e k k t dt = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1112 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL\|ÇUK = 4 1 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − − + + −( )    + ( ) ( ) / . (34) Z inßoho boku, zhidno z lemog z roboty [7, s.563] pry parnyx r ma[ misce spivvid- noßennq �( ; )W Br 1 1δ ≥ sup ( ) ( , ) f T r f x B f x dx ∈ − ∫ − π π δ ≥ ≥ 4 1 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − − + + −( )    + ( ) ( ) / . (35) Iz (34) ta (35) iz uraxuvannqm (32) vyplyva[ spravedlyvist\ rivnosti �( ; )W Br 1 1δ = 4 1 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − − + + −( )    + ( ) ( ) / = �( ; )W Br C∞ δ . Teoremu 3 dovedeno. V nastupnyx dvox teoremax podano povni asymptotyçni rozklady dlq nably- Ωen\ klasiv W r 1 . Teorema 4. Qkwo r = 2l, l N∈ , to pry δ → ∞ ma[ misce povnyj asymp- totyçnyj rozklad �( ; ) ! lnW B r r r r k k r r1 1 2 2 1 1 1 δ π δ δ ν δ ≅ − +    = ∞ ∑ , (36) de νk r = νk r pry k ≠ r i νr r = – νr r , a koefici[nty νk r , k = 2, 3, … , vyznaça- gt\sq formulog (19). Dovedennq. V teoremi 4 roboty [4] znajdeno povnyj asymptotyçnyj roz- klad �( ; ) ! lnW B r r r C r k k r r∞ = ∞ ≅ − +     ∑δ π δ δ ν δ 2 1 1 1 2 , δ → ∞. Qk i raniße, dlq dovedennq dano] teoremy dostatn\o pokazaty, wo �( ; )W Br C∞ δ = �( ; )W Br 1 1δ , r = 2l, l N∈ , qkwo dlq �( ; )W Br C∞ δ , r = 2l, l N∈ (dyv. [4, s.523]), [ vidomog rivnist\ �( ; )W Br C∞ δ = 4 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − + + −( )    + / ( ) . (37) Vraxovugçy intehral\ne zobraΩennq (1) i te, wo pry f W r∈ , r N∈ \ {}1 , B f xδ( , ) = B f xδ( , ) = − + + −( )    − = ∞ − −∫ ∑1 1 2 1 1 2 π π π δ δf t x k e e kt dt k k( ) sin/ / , pislq zastosuvannq r-kratnoho intehruvannq çastynamy otrymu[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN\|OMU KLASIV … 1113 �( ; )W Br 1 1δ = 1 π δ π π π π sup ( ) ( ; )( ) f W r r r f t x Q t dt dx ∈ − − ∫ ∫ + , (38) de Q tr( ; )δ = k k r k e e k kt r = ∞ − − ∑ − + −( )    + +    1 21 1 2 1 1 2 / / cos ( ) δ δ π , δ > 0. Perekona[mosq v tomu, wo sign ( ; ) signsinQ t tr δ = ± , r = 2l, l N∈ . (39) Oçevydno, wo Q Qr r( ; ) ( ; )0 0δ π δ= = , r = 2l, l N∈ . OtΩe, v prypuwenni, wo Q tr( ; )δ = 0 we pry deqkomu t0 0∈( , )π , zastosovugçy r – 2 razy teoremu Rollq, pryxodymo do vysnovku, wo dlq funkci] Q t2( ; )δ isnu[ tr− ∈2 0( , )π take, wo Q tr2 2( ; )− δ = 0. Ale ce nemoΩlyvo, oskil\ky, vykorystovugçy zauvaΩennq do teoremy 1.14 ro- boty [9, s.5297], moΩna perekonatys\, wo Q t2( ; )δ > 0, t ∈( , )0 π . OtΩe, rivnist\ (39) ma[ misce. Takym çynom, iz (38) pry r = 2l, l N∈ , oderΩu[mo �( ; )W Br 1 1δ ≤ 1 π δ π π − ∫ Q t dtr( ;, ) = = 2 1 1 2 1 0 1 2 π π δ δ ∫ ∑ = ∞ − −− + −( )    k k r k e e k kt dt / / sin = = 4 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − + + −( )    + / ( ) . (40) Z inßoho boku, vykorystovugçy lemu z roboty [7, s.563], pry parnomu r ma[mo �( ; )W Br 1 1δ ≥ 4 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − + + −( )    + / ( ) . (41) Porivnggçy spivvidnoßennq (40) ta (41), a takoΩ vraxovugçy rivnist\ (37), pry- xodymo do vysnovku, wo �( ; )W Br 1 1δ = 4 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − + + −( )    + / ( ) = �( ; )W Br C∞ δ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1114 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL\|ÇUK Teoremu 4 dovedeno. Teorema 5. Qkwo r = 2l +1, l N∈ , to pry δ → ∞ ma[ misce povnyj asymptotyçnyj rozklad �( ; )W Br k k r k1 1 2 4 1 δ π η δ ≅ = ∞ ∑ , (42) de ηk r = ηk r pry k ≠ r i ηr r = – ηr r , a koefici[nty ηk r , k = 2, 3, … , vyznaça- gt\sq z rivnosti (29). Dovedennq. Zhidno z teoremog 5 roboty [4] ma[ misce povnyj asymptotyç- nyj rozklad �( ; )W Br C k k r k∞ = ∞ ≅ ∑δ π η δ 4 1 2 , δ → ∞. Tomu dlq dovedennq teoremy dostatn\o dovesty rivnist\ �( ; )W Br 1 1δ = �( ; )W Br C∞ δ , r = 2l + 1, l N∈ , (43) zauvaΩyvßy, wo zhidno z rivnistg (57) roboty [4] �( ; )W Br C∞ δ = 4 1 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − − + + −( )    + ( ) ( ) / . (44) Qk pokazano v dovedenni teoremy 4, ma[ misce rivnist\ (38). PokaΩemo, wo sign ( ; ) ; sign cosQ t Q tr rδ π δ− ( )( ) = ±2 , r = 2l + 1, l N∈ . (45) Za prypuwennq, wo Q t Qr r( ; ) ;0 2δ π δ− ( ) = 0, t0 0∈( , )π , t0 2 ≠ π , zhidno z teoremog Rollq isnu[ toçka t1 0∈( , )π taka, wo ′ =Q tr( ; )1 0δ , zvidky Q tr− =1 1 0( ; )δ . Ale ce vnaslidok (39) nemoΩlyvo. Rivnist\ (45) dovedeno. Tomu iz (38), vyko- rystovugçy naslidok iz teoremy Fubini [6, s.5331], pry r = 2l + 1, l ∈ N, ma[mo �( ; )W Br 1 1δ = sup ( ) ( ; ) ;( ) f W r r r r f x t Q t Q dt dx ∈ − − ∫ ∫ + −         1 1 2π δ π δ π π π π ≤ ≤ 1 2π δ π δ π π − ∫ −    Q t Q dtr r( ; ) ; = 2 2 0 2 2 π δ π δ π π π/ / ( ; ) ;∫ ∫−       −        Q t Q dtr r = = 4 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 2 1 1π π δ δ/ / ( ) cos( )∫ ∑ = ∞ − − + + − + + −( )    + + k k r k e e k k t dt = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN\|OMU KLASIV … 1115 = 4 1 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − − + + −( )    + ( ) ( ) / . (46) Z inßoho boku, zhidno z lemog roboty [7, s.563] pry neparnyx r ma[ misce spiv- vidnoßennq �( ; )W Br 1 1δ ≥ 4 1 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − − + + −( )    + ( ) ( ) / . (47) Iz (46) ta (47), a takoΩ (44) vyplyva[ rivnist\ �( ; )W Br 1 1δ = 4 1 1 1 2 1 2 1 2 10 2 2 1 1π δ δ k k k r k e e k= ∞ − − + +∑ − − + + −( )    + ( ) ( ) / = �( ; )W Br C∞ δ . Teoremu 5 dovedeno. 1. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1987. – 268 s. 2. Petrov V. A. Byharmonyçeskyj yntehral Puassona // Lyt. mat. sb. – 1967. – 7, # 1. – S.51375– 142. 3. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyq. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 2002. – Ç. I. – 427 s. 4. Xarkevyç G. I., Kal\çuk I. V. Povni asymptotyky toçnyx verxnix meΩ vidxylen\ biharmonij- nyx intehraliv Puassona na klasax dyferencijovnyx funkcij // Problemy teori] nablyΩen- nq funkcij ta sumiΩni pytannq: Zb. prac\ In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2005. – 2, # 2. – S. 311 – 335. 5. Falaleev L. P. Polnoe asymptotyçeskoe razloΩenye dlq verxnej hrany uklonenyq funk- cyj yz Lip11 ot odnoho synhulqrnoho yntehrala // Teorem¥ vloΩenyq y yx pryloΩenyq (Materyal¥ Vsesogz. symp.). – Alma-Ata: Nauka KazSSSR, 1976. – S. 163 – 167. 6. Natanson I. P. Osnovy teori] funkcij dijsno] zminno]. – Ky]v: Rad. ßkola, 1950. – 424 s. 7. Pych P. Approximation of functions in L- and C -metrics // Ann. Soc. Math. Pol. – 1967. – 1, # 11. – P. 61 – 76. 8. Hradßtejn Y. S., R¥Ωyk Y. M. Tablyc¥ yntehralov, summ, rqdov y proyzvedenyj. – M.: Fyzmathyz, 1963. – 1100 s. 9. Zyhmund A. Tryhonometryçeskye rqd¥: V 2 t. – M.: Myr, 1965. – T. 1. – 615 s. OderΩano 19.04.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8

Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона

Institution

Similar Items