Стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями в умовах дифузійної апроксимації
Получены достаточные условия устойчивости динамической системы в полумарковской среде в условиях диффузионной аппроксимации с использованием асимптотических свойств компенсирующего оператора для полумарковского процесса, а также свойств функции Ляпунова для усредненной системы. We obtain sufficient...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/172486 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями в умовах дифузійної апроксимації / Я.М. Чабанюк // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 9. — С. 1290–1296. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-172486 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Чабанюк, Я.М. 2020-11-02T12:53:01Z 2020-11-02T12:53:01Z 2007 Стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями в умовах дифузійної апроксимації / Я.М. Чабанюк // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 9. — С. 1290–1296. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/172486 519.21+62 Получены достаточные условия устойчивости динамической системы в полумарковской среде в условиях диффузионной аппроксимации с использованием асимптотических свойств компенсирующего оператора для полумарковского процесса, а также свойств функции Ляпунова для усредненной системы. We obtain sufficient conditions for the stability of a dynamical system in a semi-Markov medium under the conditions of diffusion approximation by using asymptotic properties of the compensation operator for a semi-Markov process and properties of the Lyapunov function for an averaged system. Автор висловлює подяку академіку НАН України В.С. Королюку за увагу до викладеного матеріалу. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями в умовах дифузійної апроксимації Stability of a dynamical system with semi-Markov switchings under conditions of diffusion approximation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями в умовах дифузійної апроксимації |
| spellingShingle |
Стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями в умовах дифузійної апроксимації Чабанюк, Я.М. Статті |
| title_short |
Стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями в умовах дифузійної апроксимації |
| title_full |
Стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями в умовах дифузійної апроксимації |
| title_fullStr |
Стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями в умовах дифузійної апроксимації |
| title_full_unstemmed |
Стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями в умовах дифузійної апроксимації |
| title_sort |
стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями в умовах дифузійної апроксимації |
| author |
Чабанюк, Я.М. |
| author_facet |
Чабанюк, Я.М. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2007 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Stability of a dynamical system with semi-Markov switchings under conditions of diffusion approximation |
| description |
Получены достаточные условия устойчивости динамической системы в полумарковской среде в условиях диффузионной аппроксимации с использованием асимптотических свойств компенсирующего оператора для полумарковского процесса, а также свойств функции Ляпунова для усредненной системы.
We obtain sufficient conditions for the stability of a dynamical system in a semi-Markov medium under the conditions of diffusion approximation by using asymptotic properties of the compensation operator for a semi-Markov process and properties of the Lyapunov function for an averaged system.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/172486 |
| citation_txt |
Стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями в умовах дифузійної апроксимації / Я.М. Чабанюк // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 9. — С. 1290–1296. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT čabanûkâm stíikístʹdinamíčnoísistemiznapívmarkovsʹkimiperemikannâmivumovahdifuzíinoíaproksimacíí AT čabanûkâm stabilityofadynamicalsystemwithsemimarkovswitchingsunderconditionsofdiffusionapproximation |
| first_indexed |
2025-11-26T00:08:46Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:08:46Z |
| _version_ |
1850593323185602560 |
| fulltext |
UDK 519.21+62
Q. M. Çabangk (Nac. un-t „L\viv. politexnika”)
STIJKIST| DYNAMIÇNO} SYSTEMY
Z NAPIVMARKOVS|KYMY PEREMYKANNQMY
V UMOVAX DYFUZIJNO} APROKSYMACI}
We obtain sufficient conditions of the stability of a dynamical system in the semi-Markov space under
the conditions of the diffusion approximation by using asymptotic properties of the compensation
operator for the semi-Markov process and properties of the Lyapunov function for an averaged system.
Poluçen¥ dostatoçn¥e uslovyq ustojçyvosty dynamyçeskoj system¥ v polumarkovskoj srede v
uslovyqx dyffuzyonnoj approksymacyy s yspol\zovanyem asymptotyçeskyx svojstv kompensy-
rugweho operatora dlq polumarkovskoho processa, a takΩe svojstv funkcyy Lqpunova dlq us-
rednennoj system¥.
1. Vstup. Vyvçennq stijkosti dynamiçnyx system u vypadkovomu seredovywi po-
çalosq z rozvytku teori] vypadkovyx evolgcij [1, 2]. V umovax dyfuzijno] ap-
roksymaci] dynamiçno] systemy z markovs\kym zburennqm problemu stijkosti
vperße bulo rozv’qzano v roboti [3] z vykorystannqm martynhal\no] xaraktery-
zaci] vidpovidnoho markovs\koho procesu, a takoΩ v robotax V.7S. Korolgka
(dyv., napryklad, [4]).
Stijkist\ dynamiçno] systemy z napivmarkovs\kym peremykannqm v umovax
userednennq ta dyfuzijno] aproksymaci] vyvçalas\ u robotax A.7V. Sviwuka
(dyv. [5]) zvedennqm do markovs\koho procesu. Pry c\omu vykorystovuvalas\
martynhal\na xarakteryzaciq vidpovidnoho markovs\koho procesu z dodatkovog
komponentog linijnoho procesu.
V danij roboti analiz stijkosti dynamiçno] systemy z napivmarkovs\kymy pe-
remykannqmy budemo rozhlqdaty u bil\ß zahal\nij formi i realizuvaty z vy-
korystannqm kompensugçoho operatora dlq napivmarkovs\koho procesu, vvede-
noho v roboti [6]. Asymptotyçne zobraΩennq kompensugçoho operatora, wo po-
budovane v danij roboti, faktyçno zvodyt\ problemu stijkosti systemy z napiv-
markovs\kymy peremykannqmy do analohiçno] problemy z markovs\kymy peremy-
kannqmy.
2. Postanovka zadaçi. Dynamiçna systema v napivmarkovs\komu seredovywi
v umovax dyfuzijno] aproksymaci] zada[t\sq evolgcijnym dyferencial\nym riv-
nqnnqm
du t
dt
C u t x t C u t x t
ε
ε εε ε ε( ) ( ), ( / ) ( ), ( / )= ( ) + ( )−1
1
2
0
2
, (1)
u uε ( )0 0= ,
de ε > 0 — malyj parametr, a uε
( t ) = u t k dk
ε( ), ,=( )1 .
Ívydkosti Ck ( u, x ) = C u x i dki( , ); ,=( )1 , k = 1, 0, u ∈ R
d, x ∈ X, zadovol\nq-
gt\ umovy, wo zabezpeçugt\ isnuvannq hlobal\nyx rozv’qzkiv determinovanyx
system pry koΩnomu ε > 0:
du t
dt
C u t x C u t xx
x x
ε
ε εε( )
( ), ( ),= ( ) + ( )−1
1 0 , x X∈ . (2)
Tut x ( t ) , t ≥ 0, — napivmarkovs\kyj proces (NMP) u standartnomu fazovomu
prostori staniv ( X, � ) , wo porodΩu[t\sq procesom markovs\koho vidnovlennq
x n , τ n , n ≥ 0, qkyj zada[t\sq napivmarkovs\kym qdrom [7]
Q ( t, x, B ) = P ( x, B ) Gx ( t ) ,
de stoxastyçne qdro
© Q. M. ÇABANGK, 2007
1290 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
STIJKIST| DYNAMIÇNO} SYSTEMY Z NAPIVMARKOVS|KYMY … 1291
P ( x, B ) : = P x B x xn n+ ∈ ={ }1 , B ∈� ,
vyznaça[ vkladenyj lancgh Markova (VLM) x n = x ( τn ) v momenty vidnovlennq
τ θn k
k
n
=
=
∑
1
, n ≥ 0, τ0 0= ,
çerez intervaly θ k + 1 = τ k + 1 – τ k
miΩ momentamy vidnovlennq. Pry c\omu θ n
vyznaçagt\sq funkciqmy rozpodilu
G t t x x tx n n x( ) := ≤ ={ } = ≤{ }+P Pθ θ1 .
Napivmarkovs\kyj proces zada[t\sq spivvidnoßennqm
x t x t( ) ( )= ν , t ≥ 0,
de liçyl\nyj proces ν (t ) vyznaça[t\sq formulog
ν τ( ) : max :t n tn= ≤{ }, t ≥ 0 .
NMP x ( t ), t ≥ 0, rozhlqda[mo rehulqrnyj ta rivnomirno erhodyçnyj [8] zi
stacionarnym rozpodilom π ( B ), B ∈ �, qkyj zadovol\nq[ spivvidnoßennq [9]
π ( dx ) = ρ ( dx ) m ( x ) / m,
de
m x G t dtx x( ) E ( )= =
∞
∫θ
0
, G t G tx x( ) ( )= −1 ,
m dx m x
X
= ∫ ρ( ) ( ) ,
a ρ(B) — stacionarnyj rozpodil VLM xn
, n ≥ 0:
ρ ρ( ) ( ) ( , )B dx P x B
X
= ∫ , ρ( )X = 1.
Dlq intensyvnosti çasu perebuvannq vvedemo poznaçennq
q x m x( ) ( )= −1 , q m= −1.
Pry m (x ) = 0 poklademo q ( x ) = ∞.
Dali budemo vykorystovuvaty takoΩ suprovodΩugçyj markovs\kyj proces
x
0 ( t ) , t ≥ 0, wo zada[t\sq heneratorom
Q x q x P x dy y x
X
ϕ ϕ ϕ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )= −[ ]∫ , (3)
na test-funkciqx ϕ ( x ) banaxovoho prostoru � ( X ) dijsnoznaçnyx funkcij z
supremum-normog ϕ( )x : = sup ( )
x X
x
∈
ϕ .
Stacionarnyj rozpodil π ( B ) , B ∈ �, porodΩu[ proektor P v � ( X ) , wo
zada[t\sq rivnistg [ 9 ]
Πϕ ϕ( ) ˆ ( )x x= 1 , ˆ : ( ) ( )ϕ π ϕ= ∫ dx x
X
, 1( )X ≡ 1.
Budemo vykorystovuvaty takoΩ potencial\nyj operator (potencial) R 0
[ 9 ],
wo vyznaça[t\sq spivvidnoßennqm QR 0 = R 0
Q = I – P.
Stijkist\ stoxastyçno] systemy ( 1 ) rozhlqda[t\sq v umovax stijkosti usered-
neno] systemy, qka pry umovi balansu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
1292 Q. M. ÇABANGK
π( ) ( , )dx C u x
X
1 0∫ ≡ , u Rd∈ ,
vyznaça[t\sq rozv’qzkom stoxastyçno] systemy [ 10 ]
du t C u t dt d t( ) ( ) ( )= ( ) +0 ζ ,
(4)
d t a u t dt u t dw tζ σ( ) ( ) ( ) ( )= ( ) + ( ) .
Userednennq zdijsng[t\sq za stacionarnym rozpodilom π ( dx ):
C u dx C u x
X
0 0( ) : ( ) ( , )= ∫ π .
Dyfuzijnyj proces ζ ( t ) , t ≥ 0, vyznaça[t\sq vektor-funkci[g zsuvu
a u a u a u( ) ( ) ( )= +1 2 ,
de
a u dx C u x R C u x
X
1 1 0 1( ) ( ) ( , ) ( , )= − ′∫ π ,
(5)
a u q dx x C u x C u x
X
2 1 1
1
2
( ) ( ) ( , ) ( , )= ( ) ′∫ ρ µ ,
ta matryceg dyspersi] σ ( u ) , wo vyznaça[t\sq spivvidnoßennqm
B ( u ) = σ ( u ) σ∗ ( u ),
pry umovi pozytyvno] vyznaçenosti matryci
B ( u ) = B0 ( u ) + B 1 ( u ), (6)
de
B u dx C u x R C u x
X
0 1 0 12( ) ( ) ( , ) ( , )= − ∫ π ,
(7)
B u q dx x C u x
X
1 1
2( ) ( ) ( ) ( , )= ∫ ρ µ .
V (5) ta (7)
µ( ) ( ) ( )x m x m x= −2
22 ,
m x G s dsx
2 2
0
( ) ( )( )=
∞
∫ , a G t G s dsx x
t
( )( ) : ( )2 =
∞
∫ .
ZauvaΩennq 1. Dlq pokaznykovyx funkcij rozpodilu z intensyvnistg
q ( x )7= m
–
1
( x ) ma[mo µ ( x ) = 0. OtΩe, çleny a 2 ( u ) zsuvu ta B 2 ( u ) dyspersi]
xarakteryzugt\ nemarkovist\ peremykagçoho procesu.
ZauvaΩennq 2. Henerator stoxastyçno] systemy (4) vyznaça[t\sq na test-
funkciqx ϕ ( u ) ∈ C
2
( R
d
) spivvidnoßennqm
Lϕ ϕ ϕ( ) ( ) ( ) Tr ( ) ( )u C u u B u u= ′ + ′′[ ]1
2
, (8)
de
C u C u a u( ) ( ) ( )= +0 . (9)
Zadaça polqha[ v tomu, wob za umov zbiΩnosti stoxastyçno] systemy (1) do
useredneno] systemy (4) pry ε → 0 vstanovyty dodatkovi umovy, wo zabezpe-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
STIJKIST| DYNAMIÇNO} SYSTEMY Z NAPIVMARKOVS|KYMY … 1293
çugt\ stijkist\ poçatkovo] systemy (1) pry vsix ε ≤ ε 0 (ε 0 — dostatn\o male
çyslo).
Stijkist\ systemy (1) rozhlqda[t\sq v umovax eksponencial\no] stijkosti
useredneno] systemy [4]
du t
dt
C u t
˜( ) ˜( )= ( )0 .
3. Formulgvannq rezul\tatu.
Teorema. Nexaj dlq useredneno] stoxastyçno] systemy (4), wo vyznaça-
[t\sq heneratorom (8), isnu[ funkciq Lqpunova V ( u ), u ∈ R
d
, dlq qko] vyko-
nugt\sq umova eksponencial\no] stijkosti:
C 1 ) LV u C V u( ) ( )≤ − 0 , C 0
> 0,
a takoΩ nastupni dodatkovi umovy pry k, r, l = 0, 1:
C 2
) C u x V u C V uk ( , ) ( ) ( )′ ≤ 1 , C 1
> 0,
C u x R C u x V u C V uk r( , ) ( , ) ( ) ( )0 2
′[ ]′ ≤ , C 2
> 0,
C u x R C u x C u v V u C V uk r( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )0 1 3
′[ ]′
′
≤ , C 3
> 0;
C3 ) funkci] rozpodilu G x ( t ), t ≥ 0, x ∈ X, zadovol\nqgt\ umovu Kramera
rivnomirno po x ∈ X :
sup ( )
x X
ht
xe G t dt H
∈
∞
∫ ≤ < + ∞
0
, h > 0,
a takoΩ magt\ misce ocinky
0 < ≤ ≤ < + ∞m m x m( ) .
Todi dlq vsix ε ≤ ε 0 rozv’qzok evolgcijnoho rivnqnnq (1) pry vsix poçat-
kovyx umovax u
ε
( 0 ) ≤ u 0 (u 0 — dostatn\o male) [ asymptotyçno stijkym
z imovirnistg 1:
Ρ lim ( )
t
u t
→∞
={ } =ε 0 1.
4. Kompensugçyj operator. Rozßyrenyj proces markovs\koho vidnovlennq
(RPMV) zada[t\sq poslidovnistg
u un n
ε ε ετ= ( ) , x xn n
ε ε ετ= ( ) , τ ε τε
n n= 2
, n ≥ 0 . (10)
Oznaçennq [ 5 ]. Kompensugçyj operator (KO) RPMV ( 1 0) vyznaça[t\sq
spivvidnoßennqm
Lεϕ( , , )u x t =
= ε ϕ τ τ ϕε ε ε ε ε ε−
+ + + = = ={ } −[ ]2
1 1 1q x u x u u x x t u x tn n n n n n( ) , , ( , , )E ( , , ) . (11)
Rozhlqnemo sukupnist\ napivhrup C xt
ε( ) , t ≥ 0 , x X∈ , wo porodΩu[t\sq
suprovodΩugçog systemog (2) ta vyznaça[t\sq heneratorom
C Cε εϕ ϕ( ) ( ) ( , ) ( )x u u x u= ′ , (12)
de
Cε ε( , ) ( , ) ( , )u x C u x C u x= +−1
1 0 ,
a takoΩ operator Cε( )x , wo ma[ vyhlqd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
1294 Q. M. ÇABANGK
C C C Cε
εε ε( ) : ( ) ( ) ( )x x x x= = +1 0 , (13)
skladovi qkoho vyznaçagt\sq za formulamy
C1 1( ) ( ) : ( , ) ( )x u C u x uϕ ϕ= ′ , C0 0( ) ( ) ( , ) ( )x u C u x uϕ ϕ= ′ .
Lema 1. KO (11) dlq RPMV (10) na test-funkciqx ϕ ( u, x ) ma[ vyhlqd
Lε
ε
εϕ ε ϕ ϕ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )u x q x G ds C x P x dy u y u xx s
X
= −
−
∞
∫∫2
0
2 . (14)
Dovedennq. Oskil\ky
E Eϕ ϕ ϕε ε
θ
ε ε
ε
ε( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , )u x C x u x G ds C x P x dy u y
x x s
X
1 1 1
0
2= =
∞
∫ ∫ ,
to z (11) ma[mo (14).
Lema 2. KO (14) na test-funkciqx ϕ ( u, ⋅ ) ∈ C3 ( R
d ) dopuska[ asympto-
tyçni zobraΩennq
Lε εϕ ε ϕ ε θ ϕ( , ) ( , ) ( ) ( , )u x Q u x x u x= +− −2 1
0 =
= ε ϕ ε ϕ θ ϕε− −+ +2 1
1 1Q u x Q x u x x u x( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) =
= ε ϕ ε ϕ ϕ εθ ϕε− −+ + +2 1
1 2 2Q u x Q x u x Q x u x x u x( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ), (15)
de operator Q vyznaçeno v (3), a operatory Q x1( ) i Q x2( ) vyznaçagt\sq
spivvidnoßennqmy
Q x u x x u x1 1( ) ( , ) ( ) ( , )ϕ ϕ= C P ,
Q x u x x x x u x2 0 2 1
2( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )ϕ µ ϕ= +[ ]C C P ,
µ2
2
2
( )
( )
( )
x
m x
m x
= ,
a zalyßkovi çleny magt\ vyhlqd
θ ϕ ϕε
ε
ε
0 1( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )x u x q x x x u x= ( )C G P , (16)
θ ϕ ϕε
ε
ε
1
2
2 0( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )x u x q x x x x u x= [ ]C G + C P , (17)
θ ϕ ϕε
ε
ε ε
2
3
3
2
22
( ) ( , ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( , )x u x q x x x
m x
x u x=
C G + C P . (18)
Tut operatory Gk xε( ), k = 1 3, , vyznaçagt\sq rekursi[g
Gk x
k
s
x G s ds C xε
ε
ε( ) ( ) ( )( )=
∞
∫ 2
0
,
de G sx
( )( )1
= G sx( ), a C C C C2 0 1 02ε ε( ) ( ) ( ) ( )x x x x= +[ ].
Dovedennq. Spoçatku vykorysta[mo oçevydne zobraΩennq
L Lε εε ε= +− −2 2
1Q x( ) , (19)
de
L G P1
ε
ε( ) : ( ) ( )x q x x I= −[ ] , (20)
ta v pravij çastyni (20)
Gε ε
ε( ) : ( ) ( )x G ds C xx s
=
∞
∫
0
2 . (21)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
STIJKIST| DYNAMIÇNO} SYSTEMY Z NAPIVMARKOVS|KYMY … 1295
Dali, intehrugçy çastynamy ta vykorystovugçy rivnqnnq dlq napivhrupy
dC x x C x ds
s sε
ε ε
ε
εε2 2
2( ) ( ) ( )= C ,
z uraxuvannqm umovy7 C3 teoremy otrymu[mo dlq (21) take zobraΩennq:
G C Gε
ε εε( ) ( ) ( )x I x x− = 2
1 , (22)
de
G1
0
2
ε
ε
ε( ) ( ) ( )x G s dsC xx s
=
∞
∫ . (23)
Analohiçno z (23) ma[mo
G C G1
2
2
ε ε εε( ) ( ) ( ) ( )x m x I x x= + , (24)
de
G2
2
0
2
ε
ε
ε( ) : ( ) ( )( )x G s ds C xx s
=
∞
∫ , (25)
a takoΩ z (25) znaxodymo
G C G2
2 2
32
ε ε εε( )
( )
( ) ( )x
m x
I x x= + , (26)
de
G3
3
0
2
ε
ε
ε( ) : ( ) ( )( )x G s dsC xx s
=
∞
∫ ,
i
G s G s dsx x
s
( ) ( )( ) : ( )3 2=
∞
∫ .
Ob’[dnugçy (22), (24) ta (26), oderΩu[mo
G C C C Gε
ε ε ε εε ε ε( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x I m x x m x x x x− = + [ ] + [ ]2 4
2
2 6 3
3 . (27)
Teper, vraxovugçy (12) ta (13), ostatoçno z (27) ma[mo
G C C Cε
εε ε ε θ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x I m x x m x x m x x x− = + +[ ] +1
2
0 2 1
2 3
3 , (28)
de zalyßkovyj çlen
θ εε
ε
ε
3 2 1 0 0
2 3
32( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x m x x x x x x= +( ) +C C C C G . (29)
Ob’[dnugçy (19), (20), (28) i (29), otrymu[mo asymptotyçni zobraΩennq (15).
5. Zburena funkciq Lqpunova. Dovedennq teoremy bazu[t\sq na vykorys-
tanni rozv’qzku problemy synhulqrnoho zburennq (RPSZ) [4] dlq kompensugço-
ho operatora, podanoho v asymptotyçnomu zobraΩenni (15).
Vvedemo zburenu funkcig Lqpunova
V u x V u V u x V u xε ε ε( , ) ( ) ( , ) ( , )= + +1
2
2 , (30)
de V u( ) — funkciq Lqpunova dlq hranyçno] dyfuzi] (4).
Lema 3. Na zburenij funkci] Lqpunova (30) KO (14) dopuska[ zobraΩennq
L Lε ε εεθV u x V u x V uL( , ) ( ) ( ) ( )= + ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
1296 Q. M. ÇABANGK
de L — henerator hranyçno] dyfuzi] (4), a zalyßkovyj operator θε
L x( ) vyz-
naça[t\sq spivvidnoßennqm
θ θ θ θε ε ε ε
L x V u x V u x V u x x V u x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )= + +0 1 1 2 2P P . (31)
Zburennq funkci] Lqpunova magt\ zobraΩennq
V u x R Q x V u1 0 1( , ) ( ) ( )= − , (32)
V u x R x V u2 0( , ) ˜( ) ( )= L . (33)
Tut
˜( ) : ( )L L Lx x= − , (34)
L P( ) : ( ) ( ) ( )x Q x Q x R Q x= −2 1 0 1 .
Dovedennq lemy 3 [ bezposerednim vysnovkom RPSZ (dyv. [9, s. 52], lema 3.3)
ta asymptotyçnyx zobraΩen\ (15). Pry c\omu hranyçnyj operator L obçyslg-
[t\sq za formulog
LΠ Π Π Π Π= −Q x Q x R Q x2 1 0 1( ) ( ) ( ) ,
a zalyßkovyj operator θε
L x( ) vyznaça[t\sq ob’[dnannqm çleniv pry odnakovyx
stepenqx ε u rozkladi
L P P Pε ε εε ε εθV u x Q Q x Q x x V u( , ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + +[ ]− −2 1
1 2 2 +
+ ε εθε− + +[ ]1
1 1 1Q Q x x V u x( ) ( ) ( , )P P + Q x V u x+ ( )[ ]εθε
0 2P ( , ) ,
wo pryvodyt\ do formul (31) – (33).
Vysnovok 1. Hranyçnyj operator, wo vyznaça[ userednenu dyfuzig (4), za-
da[t\sq rivnistg (8), de C ( u ) i B ( u ) obçyslggt\sq za formulamy vidpovidno
(9) i (6).
Vraxovugçy zobraΩennq (32), (33) zburggçyx funkcij Vk ( u, x ), k = 1, 2, ta
vyraz (31) dlq zalyßkovoho operatora θε
L x( ) , otrymu[mo nastupne zobraΩennq
zalyßkovoho operatora na funkciqx Lqpunova V ( u ) :
θ θ θ θε ε ε ε
L x V u x R Q x R x V u( ) ( ) ( ) ( ) ˜( ) ( )= − +[ ]2 1 0 1 0 0P P L .
Na pidstavi vyraziv (16) – (18) dlq zalyßkovyx operatoriv θε
k x( ) , k = 0, 1, 2,
ta zobraΩennq (34) operatora
˜( )L x robymo vysnovok, wo u zalyßkovoho ope-
ratora θε
L x( ) digt\ operatory dyferencigvannq po zminnij u ∈ Rd
ne vywe
tret\oho porqdku. Krim toho, z umov teoremy vyplyva[, wo operatory Gk xε( ),
k = 0, 1, 2, 3, ta potencial R 0 [ obmeΩenymy u prostori funkcij V ( u ) ∈
∈ C3( R
3
) . OtΩe, ma[ misce takyj vysnovok.
Vysnovok 2. V umovax teoremy ma[ misce ocinka
θε
L Lx V u c V u( ) ( ) ( )≤ .
Z ohlqdu na umovu C1 teoremy ta asymptotyçne zobraΩennq (15) moΩemo
sformulgvaty takyj vysnovok.
Vysnovok 3. V umovax C1 – C3 teoremy pry vsix ε ≤ ε0 (ε0 — dostatn\o ma-
le, ε0 ≤ c / cL ) ma[ misce klgçova nerivnist\
Lε εV u x cV u( , ) ( )≤ − , c > 0. (35)
6. Dovedennq teoremy. Zaverßennq dovedennq teoremy realizu[t\sq za
sxemog roboty [10]. Iz zobraΩen\ (32), (33) funkcij zburennq Vk ( u , x ) , k = 1, 2,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
STIJKIST| DYNAMIÇNO} SYSTEMY Z NAPIVMARKOVS|KYMY … 1297
ta umovy C2 teoremy ma[mo nastupnu dvostoronng ocinku dlq zbureno] funkci]
Lqpunova V u xε( , ):
0 1 1< − ≤ ≤ +( ) ( ) ( , ) ( ) ( )ε εεc V u V u x c V u . (36)
Martynhal\na xarakteryzaciq procesu ηε( )t :7= V uε ε ετ( )( , x t( / )ε2 ) [ 6] ta
klgçova nerivnist\ (35) xarakteryzugt\ proces ηε( )t , qk nevid’[mnyj super-
martynhal [10]. OtΩe, isnu[ z imovirnistg odynycq nevid’[mna hranycq vε
:
Ρ lim ( ( ), ( / ))
t
V u t x t v
→∞
=
=ε ε εε2 1.
Pry c\omu vypadkova velyçyna vε
ma[ skinçenne matematyçne spodivannq, os-
kil\ky
EV u t x t V u x c V uε ε εε ε( ), ( / ) ( , ) ( ) ( )2 1( ) ≤ ≤ + .
Vraxovugçy dodatkovu vlastyvist\ funkci] Lqpunova
V u( ) → ∞ , u → ∞ , (37)
robymo vysnovok, wo Ρ vε < ∞{ } = 1. Znovu Ω taky z klgçovo] nerivnosti (35) ta
ocinky (36) ma[mo
Ρ lim ( )
t
V u t
→∞
( ) ={ } =ε 0 1,
tobto
Ρ lim ( )u
n
n
ε τ
→∞
={ } =0 1.
Nasamkinec\, pozytyvnist\ funkci] Lqpunova V( u ) > 0 pry u ≠ 0, vlas-
tyvist\ (37) ta rehulqrnist\ napivmarkovs\koho procesu x ( t ) , t ≥ 0, pryvodqt\
do tverdΩennq teoremy.
Avtor vyslovlg[ podqku akademiku NAN Ukra]ny V.7S.7Korolgku za uvahu
do vykladenoho materialu.
1. Hersh T., Griego R. Random evolution — theory and applications // Univ. New Mexico. Techn.
Repts. – 1969. – 180. – P. 15 – 38.
2. Pinsky M. Random evolution // Springer Lect. Notes Math. – 1975. – 451. – P. 89 – 100.
3. Blankenship G. L., Papanicolaou G. C. Stability and control of stochastic systems with wide band
noise disturbances // SIAM J. Appl. Math. – 1978. – 34. – P. 437 – 476.
4. Korolgk V. S. Stijkist\ stoxastyçnyx system u sxemi dyfuzijno] aproksymaci] // Ukr. mat.
Ωurn. – 1998. – 50, #71. – S. 36 – 47.
5. Swishchuk A. V. Stability of semi-Markov evolutionary stochastic systems in averaging and
diffusion approximation schemes // Asymptotyçnyj analiz vypadkovyx evolgcij. – Ky]v : In-t
matematyky NAN Ukra]ny, 1994. – S. 255 – 269.
6. Svyrydenko M. N. Martynhal\naq xarakteryzacyq predel\n¥x raspredelenyj v prostran-
stve funkcyj bez razr¥vov vtoroho roda // Mat. zametky. – 1998. – 43, #75. – S. 398 – 402.
7. Korolyuk V. S., Swishchuk A. V. Evolution of systems in random media. – CRC Press, 1995. –
352 p.
8. Korolgk V. S., Svywuk A. V. Polumarkovskye sluçajn¥e πvolgcyy. – Kyev : Nauk. dumka,
1992. – 246 s.
9. Korolyuk V. S., Korolyuk V. V. Stochastic models of systems. – Netherland: Kluwer, 1999. –
185 p.
10. Korolgk V. S., Çabangk Q. M. Stijkist\ dynamiçno] systemy z napivmarkovs\kymy peremy-
kannqmy za umov stijkosti useredneno] systemy // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, #72. –
S.71957–7204.
OderΩano 10.10.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
|