Слабые базисы векторных мер

Розв'язано питання про зображення мір із значеннями в банаховому просторі як границь слабко збіжних послідовностей векторних мір, що мають своїм базисом дану невід'ємну міру....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Романов, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2007
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Короткі повідомлення
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/172502
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Слабые базисы векторных мер / В.А. Романов // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 10. — С. 1436–1440. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-172502
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1725022025-02-09T16:27:12Z Слабые базисы векторных мер Weak bases of vector measures Романов, В.А. Короткі повідомлення Розв'язано питання про зображення мір із значеннями в банаховому просторі як границь слабко збіжних послідовностей векторних мір, що мають своїм базисом дану невід'ємну міру. We solve the problem of representation of measures with values in a Banach space as the limits of weakly convergent sequences of vector measures whose basis is a given nonnegative measure. 2007 Article Слабые базисы векторных мер / В.А. Романов // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 10. — С. 1436–1440. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/172502 519.53+517.987 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Романов, В.А. Слабые базисы векторных мер Український математичний журнал
description	Розв'язано питання про зображення мір із значеннями в банаховому просторі як границь слабко збіжних послідовностей векторних мір, що мають своїм базисом дану невід'ємну міру.
format	Article
author	Романов, В.А.
author_facet	Романов, В.А.
author_sort	Романов, В.А.
title	Слабые базисы векторных мер
title_short	Слабые базисы векторных мер
title_full	Слабые базисы векторных мер
title_fullStr	Слабые базисы векторных мер
title_full_unstemmed	Слабые базисы векторных мер
title_sort	слабые базисы векторных мер
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Короткі повідомлення
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/172502
citation_txt	Слабые базисы векторных мер / В.А. Романов // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 10. — С. 1436–1440. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT romanovva slabyebazisyvektornyhmer AT romanovva weakbasesofvectormeasures
first_indexed	2025-11-27T22:52:50Z
last_indexed	2025-11-27T22:52:50Z
_version_	1849985832669151232
fulltext	UDK 519.53 + 517.987 V. A. Romanov (Kyrovohrad. ped. un-t) SLABÁE BAZYSÁ VEKTORNÁX MER We solve a problem of the representation of measures with values in a Banach space as limits of weakly convergent sequences of vector measures for which a given nonnegative measure is a basis. Rozv’qzano pytannq pro zobraΩennq mir iz znaçennqmy v banaxovomu prostori qk hranyc\ slabko zbiΩnyx poslidovnostej vektornyx mir, wo magt\ svo]m bazysom danu nevid’[mnu miru. 1. Vvedenye. Meru m nazovem slab¥m bazysom mer¥ µ, esly µ est\ predel slabo sxodqwejsq posledovatel\nosty mer, ymegwyx m svoym bazysom. Ta- koj obobwenn¥j podxod pryvodyt k suwestvovanyg mer, kotor¥e sluΩat sla- b¥m bazysom dlq vsex druhyx mer (y daΩe vektorn¥x) v dannom polnom separa- bel\nom metryzuemom topolohyçeskom lynejnom prostranstve. Pry klassyçes- kom Ωe podxode uΩe v hyl\bertovom prostranstve nykakaq veroqtnostnaq (a po- tomu y syhma-koneçnaq) mera m ne moΩet sluΩyt\ bazysom daΩe dlq semejstva vsex svoyx sdvyhov, poskol\ku ee sdvyh na vektor, ne prynadleΩawyj obrazu ne- kotoroho operatora Hyl\berta – Ímydta, pryvodyt k mere, vzaymno synhulqr- noj s m [1, s. 144]. Suwestvovanye „unyversal\noho” slaboho bazysa moΩet predstavlqt\ ynteres pry yssledovanyy dyfferencyal\n¥x uravnenyj dlq mer, kohda stanovytsq vozmoΩn¥m rassmotrenye sootvetstvugwyx uravnenyj dlq approksymyrugwyx plotnostej, t. e. dlq funkcyj toçky, a takΩe pry ys- sledovanyy svojstv mer v termynax approksymyrugwyx plotnostej. 2. Postanovka zadaçy. Pust\ X — polnoe separabel\noe metryzuemoe to- polohyçeskoe lynejnoe prostranstvo, Y — banaxovo prostranstvo. Pod Y- znaçnoj meroj v X ponymaem syhma-addytyvnug funkcyg mnoΩestva koneçnoj polnoj varyacyy, opredelennug na vsex borelevskyx podmnoΩestvax prostran- stva X y prynymagwug znaçenyq v Y. Napomnym, çto neotrycatel\naq mera m naz¥vaetsq bazysom Y-znaçnoj mer¥ µ, esly µ predstavyma kak proyzvedenye yntehryruemoj po Boxneru Y-znaçnoj funkcyy na meru m. Oboznaçym çerez Cb ( X ) mnoΩestvo vsex neprer¥vn¥x na X ohranyçenn¥x funkcyj s çyslov¥my znaçenyqmy. Posledovatel\nost\ Y-znaçn¥x mer µn na- z¥vaem slabo sxodqwejsq k Y-znaçnoj mere µ, esly dlq kaΩdoj funkcyy f yz Cb ( X ) lim ( ) ( ) n X nf x d x →∞ ∫ µ = f x d x X ( ) ( )µ∫ . (1) Opredelenye 1. Neotrycatel\naq mera m v prostranstve X naz¥vaet- sq slab¥m bazysom Y -znaçnoj mer¥ µ v X, esly suwestvuet slabo sxodq- waqsq k µ posledovatel\nost\ Y-znaçn¥x mer, ymegwyx m svoym bazysom. Cel\ dannoj rabot¥ sostoyt v tom, çtob¥ dat\ opysanye vsex takyx neotry- catel\n¥x mer m v prostranstve X, çto dlq kaΩdoj Y-znaçnoj mer¥ v XAAmera m est\ slab¥j bazys. Zatem rezul\tat o slabom bazyse prymenqetsq kAslabo sxodqwymsq posledovatel\nostqm dyfferencyruem¥x vektorn¥x mer.AAOsnov- n¥e ponqtyq dyfferencyruem¥x vektorn¥x mer soderΩatsq v [2] (hl. 4). 3. Formulyrovka rezul\tatov. Teorema 1. Pust\ X — polnoe separabel\noe metryzuemoe topolohyçeskoe lynejnoe prostranstvo, Y — banaxovo prostranstvo. Dlq toho çtob¥ ne- otrycatel\naq mera m v prostranstve X b¥la slab¥m bazysom vsex Y - znaçn¥x mer v X, neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ ny na odnom nepustom ot- kr¥tom mnoΩestve ona ne prynymala nulevoho znaçenyq. © V. A. ROMANOV, 2007 1436 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10 SLABÁE BAZYSÁ VEKTORNÁX MER 1437 Teorema 2. Pust\ ( x k ) — proyzvol\naq posledovatel\nost\ s plotnoj ly- nejnoj oboloçkoj L v polnom separabel\nom metryzuemom lokal\no v¥puklom prostranstve X. Tohda kaΩdaq Y -znaçnaq mera µ v X est\ predel slabo sxodqwejsq posledovatel\nosty beskoneçno dyfferencyruem¥x po vsem nap- ravlenyqm yz L Y-znaçn¥x mer, ymegwyx svoym bazysom odnu y tu Ωe neotry- catel\nug meru ν, ne zavysqwug ot µ. 4. Dokazatel\stva. Dokazatel\stvo teorem¥ 1. PredpoloΩym, çto dlq nekotoroho nepustoho otkr¥toho mnoΩestva U m ( U) = 0. Pust\ f — funkcyq yz Cb ( X ) , prynymagwaq znaçenye 1 v nekotoroj toçke a mnoΩestva U y obrawagwaqsq v nul\ vne U, ( µn ) — posledovatel\nost\ Y-znaçn¥x mer, yme- gwyx m svoym bazysom, µ — dyskretnaq Y-znaçnaq mera, sosredotoçennaq v toçke a. Tohda levaq çast\ formul¥ (1) ravna nulg, a pravaq A— net. Otsgda sleduet neobxodymost\. DokaΩem dostatoçnost\. Pust\ m — fyksyrovannaq neotrycatel\naq mera v X s poloΩytel\n¥my znaçenyqmy nepust¥x otkr¥t¥x mnoΩestv, a µ — proyzvol\naq Y-znaçnaq mera koneçnoj polnoj varyacyy. V polnom separa- bel\nom metryzuemom prostranstve varyacyq v ( µ ) mer¥ µ, kak y lgbaq druhaq koneçnaq neotrycatel\naq mera, dolΩna b¥t\ meroj Radona [2, s. 19], a poπtomu v X najdetsq posledovatel\nost\ neperesekagwyxsq kompaktov Kn , dlq kotor¥x v( ) \µ X K nj n j =             < 1 1∪ . (2) Kompakt K1 pokroem koneçn¥m çyslom dyzægnktn¥x yzmerym¥x mnoΩestv A i n1, , dyametra men\ße 1 n , vnutrennosty kotor¥x peresekagtsq s K1. Pust\ T n1, — obæedynenye πtyx mnoΩestv. MnoΩestvo K2A\AT n1, pokroem koneçn¥m çyslom neperesekagwyxsq meΩdu soboj y s T n1, yzmerym¥x mnoΩestv A i n2, , dyametra men\ße 1 n , vnutrennosty kotor¥x peresekagtsq s K2. Pust\ T n2, — obæedynenye πtyx mnoΩestv. ProdolΩym πtot process dalee. Na j-m ßahe mnoΩestvo KjA\A p j p nT = −   1 1 ∪ , po- kroem koneçn¥m çyslom neperesekagwyxsq meΩdu soboj y s Tp n, (pry p < j ) yzmerym¥x mnoΩestv Aj i n, , dyametra men\ße 1 n , vnutrennosty kotor¥x pere- sekagtsq s Kj. Zdes\ yndeks i moΩet yzmenqt\sq ot 1 do nekotoroho natural\- noho N ( j, n ), zavysqweho ot j y n. Pust\ Tj, n — obæedynenye πtyx mnoΩestv. Zametym, çto p j p p j p nK T = = ⊂ 1 1 ∪ ∪ , , (3) pryçem mnoΩestva v pravoj çasty vklgçenyq (3) dyzægnktn¥. Process takyx postroenyj zaverßym dlq çysla j = n vklgçytel\no. Obo- znaçym ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10 1438 V. A. ROMANOV Fn n0 , = j n j nT =1 0 ∪ , = j n i N j n j i nA = =1 1 0 ∪ ∪ ( , ) , , , (4) hde n0 moΩet b¥t\ proyzvol\n¥m natural\n¥m çyslom, ne prev¥ßagwym n. Poskol\ku kaΩdoe yz mnoΩestv Aj i n, , ymeet nepustug vnutrennost\, mera m prynymaet na nem poloΩytel\noe znaçenye. Pust\ mj i n, , — veroqtnostnaq mera, poluçagwaqsq normyrovkoj proyzvedenyq yndykatora πtoho mnoΩestva na meru m; yj i n, , — znaçenye Y-znaçnoj mer¥ µ na ukazannom mnoΩestve. Rassmotrym posledovatel\nost\ Y-znaçn¥x mer, zadavaem¥x formulamy µn j i n i N j n j n j i ny m= ⋅ == ∑∑ , , ( , ) , , 11 . (5) Qsno, çto dlq kaΩdoj yz µn mera m est\ bazys. Yz postroenyq µn takΩe sleduet, çto ee varyacyq ne prev¥ßaet varyacyg µ. Teper\ zafyksyruem proyzvol\nug funkcyg f yz Cb ( X ) y çyslo ε > 0. Pust\ M = sup ( ) :f x x X∈{ } ≠ 0. Yz uslovyq (2) sleduet, çto najdetsq takoe natural\noe n0 , çto v( ) \µ X K j n j =            1 0 ∪ < ε M . Tohda yz formul (3) – (5) sleduet, pry n > n0 v( ) \ ,µn n nX F 0( ) ≤ v( ) \ ,µ X Fn n0( ) < ε M . (6) Çyslo n0 dalee sçytaem fyksyrovann¥m. Rassmotrym modul\ neprer¥vnos- ty funkcyy f na mnoΩestve j n jK=1 0∪ : ω δn0 ( ) = sup ( ) ( ) : ( , ) , ,f z f x z x z K x X j n j− < ∈ ∈        = ρ δ 1 0 ∪ . Poskol\ku obæedynenye koneçnoho çysla kompaktov snova est\ kompakt, to pry δ → 0 πtot modul\ neprer¥vnosty ymeet nulevoj predel, a poπtomu najdetsq takoe n1 > n0, çto pry n > n1 ω εn n0 1    < . (7) V kaΩdom yz mnoΩestv Aj i n, , najdetsq toçka z j i n, , , prynadleΩawaq kom- paktu Kj. Poskol\ku na ukazannom mnoΩestve mer¥ µn y µ prynymagt odyna- kov¥e znaçenyq, to s uçetom (7) pry n > n1 y pry j ≤ n0 f x d xn Aj i n ( ) ( )( ) , , µ µ−∫ = f x f z d xj i n A n j i n ( ) ( ) ( )( ), , , , −[ ] −∫ µ µ ≤ ≤ 2ε µv( ) , ,Aj i n[ ], a poπtomu s uçetom (4) pry n > n1 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10 SLABÁE BAZYSÁ VEKTORNÁX MER 1439 f x d xn Fn n ( ) ( )( ) , µ µ−∫ 0 ≤ 2 0 ε µv( ) ,Fn n[ ] ≤ 2ε µVar . Otsgda y yz (6) v¥tekaet, çto pry n > n1 f x d xn X ( ) ( )( )µ µ−∫ ≤ 2 1ε µ( )+ Var . Sledovatel\no, postroennaq posledovatel\nost\ Y-znaçn¥x mer µ n slabo sxodytsq k µ. Teorema dokazana. Dokazatel\stvo teorem¥ 2. Bez umen\ßenyq obwnosty moΩno sçytat\, çto πlement¥ xk lynejno nezavysym¥. Yz rezul\tatov [3, s. 63 – 68] y [ 4 ] (predloΩenye 4) sleduet suwestvovanye takoho vklgçagweho L lynejnoho podprostranstva H prostranstva X y takoho skalqrnoho proyzvedenyq na H, çto H stanovytsq separabel\n¥m hyl\bertov¥m prostranstvom s kompaktn¥m kanonyçeskym vloΩenyem v X, a L — vsgdu plotn¥m v H. Pust\ m est\ haus- sova mera v H, obraz kvadratnoho kornq yz korrelqcyonnoho operatora kotoroj vklgçaet L. Tohda m dyfferencyruema, a tem bolee neprer¥vna po vsem nap- ravlenyqm yz L [5] (teorema 5.3.1). No tohda L-neprer¥vn¥ y absolgtno ne- prer¥vn¥e otnosytel\no m mer¥ [6] (teorema 1), v tom çysle mer¥ mj i n, , , postroenn¥e v xode dokazatel\stva pred¥duwej teorem¥. Sledovatel\no, pro- yzvedenyq πtyx neotrycatel\n¥x mer na yntehryruem¥e po Boxneru Y-znaçn¥e funkcyy L -neprer¥vn¥ v topolohyy sxodymosty po varyacyy [7] (predloΩe- nyeA2). No tohda varyacyonno L-neprer¥vn¥ y summ¥ koneçnoho çysla takyx proyzvedenyj, v tom çysle Y-znaçn¥e mer¥ µ n , zadavaem¥e formulamy (5). Sledovatel\no [8] (teorema 2), najdutsq takye beskoneçno dyfferencyruem¥e po vsem napravlenyqm yz L Y-znaçn¥e mer¥ λn , dlq kotor¥x Var ( )µ λn n n − < 1 . No dlq kaΩdoj funkcyy f yz Cb ( X ) f x d xn X ( ) ( ) ( )λ µ−∫ ≤ 1 n f x x X sup ( ) ∈ + f x d xn X ( ) ( ) ( )µ µ−∫ . Otsgda y yz slaboj sxodymosty µn k µ sleduet, çto posledovatel\nost\ λn takΩe slabo sxodytsq k µ. Pry πtom yz postroennoj v [8] konstrukcyy sleduet, çto znaçenyq vektorn¥x mer λn zadagtsq formulamy λ µn n H nE E A h dm h( ) ( ) ( )= +( )∫ , hde m En( ) = m nE( ) , pryçem operator A s qdern¥m kvadratom moΩno v¥brat\ zavysqwym ot mer¥ m, sluΩawej obwym bazysom dlq vektorn¥x mer µ n , a potomu vektorn¥e mer¥ λn ymegt obwym bazysom meru ν, zadavaemug formu- loj ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10 1440 V. A. ROMANOV ν( ) ( ) ( )E m E A h dm hn n H n= +( ) = ∞ ∑ ∫1 21 . Teorema dokazana. 1. Skoroxod A. V. Yntehryrovanye v hyl\bertovom prostranstve. – M.: Nauka, 1975. – 232 s. 2. Daleckyj G. L., Fomyn S. V. Mer¥ y dyfferencyal\n¥e uravnenyq v beskoneçnomern¥x prostranstvax. – M.: Nauka, 1983. – 384 s. 3. Ho X. Haussovskye mer¥ v banaxov¥x prostranstvax. – M.: Myr, 1979. – 176 s. 4. Bohaçev V. Y. PrenebreΩym¥e mnoΩestva v lokal\no v¥pukl¥x prostranstvax // Mat. za- metky. – 1984. – 36, # 1. – S. 51 – 64. 5. Averbux V. Y., Smolqnov O. H., Fomyn S. V. Obobwenn¥e funkcyy y dyfferencyal\n¥e uravnenyq v lynejn¥x prostranstvax. 1 Dyfferencyruem¥e mer¥ // Tr. Mosk. mat. o-va. – 1987. – 24. – S. 133 – 174. 6. Romanov V. A. Ob H-neprer¥vn¥x merax v hyl\bertovom prostranstve // Vestn. Mosk. un- ta. Mat., mex. – 1977. – 32, # 1. – S. 81 – 85. 7. Romanov V. A. Vektorn¥e mer¥ razlyçn¥x klassov hladkosty y yx predel¥ // Ukr. mat. Ωurn. – 1995. – 47, # 4. – S. 512 – 516. 8. Romanov V. A. Predel¥ analytyçeskyx vektorn¥x mer // Tam Ωe. – 1992. – 44 , # 8. – S.A1133 –1135. Poluçeno 19.09.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10

Слабые базисы векторных мер

Репозитарії

Схожі ресурси