Чисельний аналіз нестаціонарних пружноелектричних осесиметричних коливань п'єзокерамічної кулі з товщинною поляризацією
Работа присвячена побудовi чисельного методу розв’язання i аналiзу осесиметричних нестацiонарних коливань порожнистої п’єзокерамiчної поляризованої по товщинi кулi при динамiчних електричних збуреннях. Динамiчнi рiвняння електропружностi для кулi дискретизуються за допомогою скiнченних рiзниць i явн...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17276 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Чисельний аналіз нестаціонарних пружноелектричних осесиметричних коливань п'єзокерамічної кулі з товщинною поляризацією / М.О. Шульга, С.А. Григор’єв // Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 63-69. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-17276 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шульга, М.О. Григор'єв, С.А. 2011-02-24T20:31:05Z 2011-02-24T20:31:05Z 2009 Чисельний аналіз нестаціонарних пружноелектричних осесиметричних коливань п'єзокерамічної кулі з товщинною поляризацією / М.О. Шульга, С.А. Григор’єв // Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 63-69. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17276 534-21:537.226.86 Работа присвячена побудовi чисельного методу розв’язання i аналiзу осесиметричних нестацiонарних коливань порожнистої п’єзокерамiчної поляризованої по товщинi кулi при динамiчних електричних збуреннях. Динамiчнi рiвняння електропружностi для кулi дискретизуються за допомогою скiнченних рiзниць i явних або неявних чисельних схем за часом. Проводиться аналiз деформованого стану кулi при динамiчному електричному збуреннi з врахуванням розрiзу на електродах, дослiджується змiна розподiлу механiчних перемiщень по меридiаннiй координатi в рiзнi моменти часу. A numerical method of solution and analysis of the problem on axisymmetric nonsteady vibrations of a hollow piezoceramic polarized ball under electric loading is constructed. The dynamic equations of electroelasticity for the ball are digitized by means of the finite-difference method and explicit and implicit numerical schemes by time. A strained state of the ball under a dynamic electric loading with regard for a cut on electrodes is analyzed, and the distribution of mechanical displacements along the meridional coordinate at various time moments is studied. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Чисельний аналіз нестаціонарних пружноелектричних осесиметричних коливань п'єзокерамічної кулі з товщинною поляризацією The numerical analysis of nonsteady elastoelectric axisymmetric vibrations of a piezoceramic ball with polarization by thickness Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Чисельний аналіз нестаціонарних пружноелектричних осесиметричних коливань п'єзокерамічної кулі з товщинною поляризацією |
| spellingShingle |
Чисельний аналіз нестаціонарних пружноелектричних осесиметричних коливань п'єзокерамічної кулі з товщинною поляризацією Шульга, М.О. Григор'єв, С.А. Механіка |
| title_short |
Чисельний аналіз нестаціонарних пружноелектричних осесиметричних коливань п'єзокерамічної кулі з товщинною поляризацією |
| title_full |
Чисельний аналіз нестаціонарних пружноелектричних осесиметричних коливань п'єзокерамічної кулі з товщинною поляризацією |
| title_fullStr |
Чисельний аналіз нестаціонарних пружноелектричних осесиметричних коливань п'єзокерамічної кулі з товщинною поляризацією |
| title_full_unstemmed |
Чисельний аналіз нестаціонарних пружноелектричних осесиметричних коливань п'єзокерамічної кулі з товщинною поляризацією |
| title_sort |
чисельний аналіз нестаціонарних пружноелектричних осесиметричних коливань п'єзокерамічної кулі з товщинною поляризацією |
| author |
Шульга, М.О. Григор'єв, С.А. |
| author_facet |
Шульга, М.О. Григор'єв, С.А. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2009 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The numerical analysis of nonsteady elastoelectric axisymmetric vibrations of a piezoceramic ball with polarization by thickness |
| description |
Работа присвячена побудовi чисельного методу розв’язання i аналiзу осесиметричних нестацiонарних коливань порожнистої п’єзокерамiчної поляризованої по товщинi кулi при динамiчних електричних збуреннях. Динамiчнi рiвняння електропружностi для кулi дискретизуються за допомогою скiнченних рiзниць i явних або неявних чисельних схем за часом. Проводиться аналiз деформованого стану кулi при динамiчному електричному збуреннi з врахуванням розрiзу на електродах, дослiджується змiна розподiлу механiчних перемiщень по меридiаннiй координатi в рiзнi моменти часу.
A numerical method of solution and analysis of the problem on axisymmetric nonsteady vibrations of a hollow piezoceramic polarized ball under electric loading is constructed. The dynamic equations of electroelasticity for the ball are digitized by means of the finite-difference method and explicit and implicit numerical schemes by time. A strained state of the ball under a dynamic electric loading with regard for a cut on electrodes is analyzed, and the distribution of mechanical displacements along the meridional coordinate at various time moments is studied.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17276 |
| citation_txt |
Чисельний аналіз нестаціонарних пружноелектричних осесиметричних коливань п'єзокерамічної кулі з товщинною поляризацією / М.О. Шульга, С.А. Григор’єв // Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 63-69. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT šulʹgamo čiselʹniianalíznestacíonarnihpružnoelektričnihosesimetričnihkolivanʹpêzokeramíčnoíkulíztovŝinnoûpolârizacíêû AT grigorêvsa čiselʹniianalíznestacíonarnihpružnoelektričnihosesimetričnihkolivanʹpêzokeramíčnoíkulíztovŝinnoûpolârizacíêû AT šulʹgamo thenumericalanalysisofnonsteadyelastoelectricaxisymmetricvibrationsofapiezoceramicballwithpolarizationbythickness AT grigorêvsa thenumericalanalysisofnonsteadyelastoelectricaxisymmetricvibrationsofapiezoceramicballwithpolarizationbythickness |
| first_indexed |
2025-11-27T08:47:09Z |
| last_indexed |
2025-11-27T08:47:09Z |
| _version_ |
1850806699359731712 |
| fulltext |
УДК 534-21:537.226.86
© 2009
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга, С.А. Григор’єв
Чисельний аналiз нестацiонарних пружноелектричних
осесиметричних коливань п’єзокерамiчної кулi
з товщинною поляризацiєю
Работа присвячена побудовi чисельного методу розв’язання i аналiзу осесиметричних
нестацiонарних коливань порожнистої п’єзокерамiчної поляризованої по товщинi ку-
лi при динамiчних електричних збуреннях. Динамiчнi рiвняння електропружностi для
кулi дискретизуються за допомогою скiнченних рiзниць i явних або неявних чисельних
схем за часом. Проводиться аналiз деформованого стану кулi при динамiчному електри-
чному збуреннi з врахуванням розрiзу на електродах, дослiджується змiна розподiлу
механiчних перемiщень по меридiаннiй координатi в рiзнi моменти часу.
Порожнистi п’єзокерамiчнi кулi застосовуються як конструктивнi елементи пристроїв, що
дiють на основi прямого та оберненого п’єзоефекту [2, 3, 9]. В процесi експлуатацiї п’єзо-
електричнi елементи можуть зазнавати довiльних в часi динамiчних електричних збурень,
що вимагає кiлькiсного дослiдження електромеханiчного стану тiла при нестацiонарних
режимах роботи.
Дана робота присвячена побудовi чисельного методу розв’язання та аналiзу осесиметри-
чних нестацiонарних коливань порожнистої п’єзокерамiчної поляризованої по товщинi кулi
при динамiчних електричних збуреннях.
Розглядаються осесиметричнi коливання порожнистої кулi, меридiанний перерiз якої
в сферичнiй системi координат r, α, β займає область D = {R − h 6 r 6 R + h, 0 6 α 6
6 π}. Оскiльки основнi електромеханiчнi характеристики не залежать вiд координати β, то
розв’язок шукається у виглядi функцiй ur(r, α, t), uα(r, α, t), ϕ(r, α, t).
Осесиметричнi коливання п’єзокерамiчної сфери описуються рiвняннями руху [5, 8]
ρ
∂2ur
∂t2
=
∂σrr
∂r
+
1
r
(2σrr − σαα − σββ + σrα ctg α) +
1
r
∂σrα
∂α
;
ρ
∂2uα
∂t2
=
∂σrα
∂r
+
1
r
(3σrα + (σαα − σββ) ctg α) +
1
r
∂σαα
∂α
(1)
та квазiстатичним наближенням рiвнянь Максвелла
∂Dr
∂r
+
2Dr
r
+
1
r
∂Dα
∂α
+
ctg α
r
Dα = 0, (2)
якi доповнюються матерiальними спiввiдношеннями при радiальнiй поляризацiї
σrr = c11
∂ur
∂r
+
c13
r
(
∂uα
∂α
+ 2ur + uα ctg α
)
+ e11
∂ϕ
∂r
;
σαα = c13
∂ur
∂r
+
c33
r
∂uα
∂α
+ (c33 + c23)
ur
r
+
c23
r
uα ctg α + e31
∂ϕ
∂r
;
σββ = c13
∂ur
∂r
+
c23
r
∂uα
∂α
+ (c33 + c23)
ur
r
+
c33
r
uα ctg α + e31
∂ϕ
∂r
; (3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 63
σrα = 2c55
(
1
r
∂ur
∂α
+
∂uα
∂r
− uα
r
)
+ e53
1
r
∂ϕ
∂α
;
Dr = e11
∂ur
∂r
+
e31
r
(
∂uα
∂α
+ 2ur + uα ctg α
)
− ε11
∂ϕ
∂r
;
Dα = 2e53
(
1
r
∂ur
∂α
+
∂uα
∂r
− uα
r
)
− ε33
1
r
∂ϕ
∂α
.
Тут ur, uα i σrr, σαα, σββ, σrα — механiчнi перемiщення i напруження; Dr, Dα — компоненти
вектора електричної iндукцiї; ϕ — електричний потенцiал; cE
11, cE
12, cE
13, cE
33, cE
44 — пружнi
модулi матерiалу при постiйному електричному полi; e31, e33, e42 — п’єзоелектричнi модулi;
εS
11, εS
33 — дiелектричнi проникностi при постiйнiй деформацiї; ρ — густина матерiалу.
Задача (1)–(3) замикається початковими умовами, що накладаються на перемiщення та
їх швидкостi [7, 8]
ur(r, α, t = 0) =
0
f(r, α),
∂ur
∂t
(r, α, t = 0) =
1
f(r, α);
uα(r, α, t = 0) =
0
g(r, α),
∂uα
∂t
(r, α, t = 0) =
1
g(r, α),
(4)
та граничними умовами, що описують поведiнку електричних та механiчних величин на
границi тiла. Нехай на зовнiшнiх електродованих поверхнях сфери задано рiзницю потен-
цiалiв (α ∈ [0, π])
ϕ(ri, α, t) = ±V (α, t), (5)
де i = 1, 2, r1 = R − h, r2 = R + h.
Механiчнi граничнi умови на зовнiшнiх поверхнях накладаються на перемiщення або
напруження
ur(ri, α, t) = yr,i(α, t) ∨ σrr(ri, α, t) = qr,i(α, t);
uα(ri, α, t) = yα,i(α, t) ∨ σrα(ri, α, t) = qα,i(α, t), i = 1, 2.
(6)
Внаслiдок симетрiї в точках α1 = 0, α2 = π повиннi виконуватися умови
∂ur
∂α
(r, αi, t) = 0, uα(r, αi, t) = 0,
∂ϕ
∂α
(r, αi, t) = 0, i = 1, 2. (7)
Перейдемо до безрозмiрних величин
r = R + x, x =
x
h
, t =
t
th
, ui =
ui
h
, σij =
σij
c00
, ϕ = ϕ
√
ε00
c00h2
,
ε =
h
R
, Di =
Di√
c00ε00
, ρ =
ρ
ρ00
, cij =
cij
c00
, eij =
eij√
c00ε00
, εii =
εii
ε00
,
(8)
де ρ00, c00, ε00, th = h
√
ρ00/c00 — нормуючi величини; ε — параметр кривизни. Надалi
знаки безрозмiрностi опускаються.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №8
Пiсля пiдстановки (3) в (1), (2) та обезрозмiрювання (8) маємо рiвняння електропруж-
ностi через перемiщення та електричний потенцiал в безрозмiрнiй формi
ρ
∂2ur
∂t2
= c11
∂2ur
∂x2
+ 2c11ξ
∂ur
∂x
+ 2(c13 − c33 − c23)ξ
2ur + 2c55ξ
2 ctg α
∂ur
∂α
+
+(c13−c33−c23−2c55)ξ
2
(
∂uα
∂α
+uα ctg α
)
+(2c55+ c13)ξ
(
ctg α
∂uα
∂x
+
∂2uα
∂x∂α
)
+
+ 2c55ξ
2 ∂2ur
∂α2
+ 2(e11 − e31)ξ
∂ϕ
∂x
+ e11
∂2ϕ
∂x2
+ e53ξ
2
(
ctg α
∂ϕ
∂α
+
∂2ϕ
∂α2
)
;
ρ
∂2uα
∂t2
= (2c55 + c13)ξ
∂2ur
∂α∂x
+ (c33 + c23 + 4c55)ξ
2 ∂ur
∂α
+ 2c55
∂2uα
∂x2
+
+ ξ2
(
−4c55 + (c23 − c33) ctg2 α − c23
sin2 α
)
uα + 4c55ξ
∂uα
∂x
+
+ c33ξ
2
(
∂2uα
∂α2
+ ctg α
∂uα
∂α
)
+ (e53 + e31)ξ
∂2ϕ
∂α∂x
+ 2e53ξ
2 ∂ϕ
∂α
;
e11
∂2ur
∂x2
+ 2e31ξ
2ur + 2(e31 + e11)ξ
∂ur
∂x
+ 2e53ξ
2 ctg α
∂ur
∂α
+ 2e53ξ
2 ∂2ur
∂α2
+
+ (e31 + 2e53)ξ ctg α
∂uα
∂r
+ (e31 − 2e53)ξ
2
(
ctg αuα +
∂uα
∂α
)
+
+ (e31 + 2e53)ξ
∂2uα
∂α∂r
− 2ε11ξ
∂ϕ
∂x
− ε33ξ
2 ∂2ϕ
∂α2
− ε11
∂2ϕ
∂x2
− ε33ξ
2 ctg α
∂ϕ
∂α
= 0.
(9)
У спiввiдношеннях (9) ξ = ε/(1 + εx).
Для знаходження розв’язку поставленої початково-крайової задачi розвивається чисель-
ний метод розв’язання, що базується на рiзницевих апроксимацiях та рiзних методах iнте-
грування за часом.
Для реалiзацiї методу в областi перетину кулi D = {−1 6 x 6 1,0 6 α 6 2π} вводиться
розбиття
Ω =
{
xi = (i − 0,5)∆x − 1, αj = (j − 0,5)∆α
∣
∣
∣
∣
∆x =
2
n
, ∆α =
2π
m
}
,
де i = 0, 1, . . . , n + 1, j = 0, 1, . . . ,m + 1. Крайнi точки розбиття знаходяться на вiдстанi
в половину кроку по просторовiй координатi вiдносно вiдповiдної границi областi, що дає
змогу записати граничнi умови з другим порядком точностi за просторовими координатами.
Розв’язок шукається в виглядi набору значень ur,k
i,j = ur(xi, αj , tk), uα,k
i,j = uα(xi, αj , tk),
ϕk
i,j = ϕ(xi, αj , tk).
Перетворимо диференцiальнi рiвняння в частинних похiдних (9) до звичайних диферен-
цiальних рiвнянь за часом шляхом переходу вiд похiдних за просторовими координатами до
скiнченно-рiзницевих виразiв другого порядку точностi [5]. Запишемо рiвняння (9) в цiлих
точках розбиття Ω = {xi, αj} (тут ζi = ε/(1 + εxi)):
ρ
∂2ur
i,j
∂t2
=
c11
∆x2
(ur
i+1,j − 2ur
i,j + ur
i−1,j) +
c11ζi
∆x
(ur
i+1,j − ur
i−1,j) +
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 65
+
2c55ζ
2
i
2∆α
ctg αj(u
r
i,j+1 − ur
i,j−1) + 2(c13 − c33 − c23)ζ
2
i ur
i,j +
+
2c55ζ
2
i
∆α2
(ur
i,j+1 − 2ur
i,j + ur
i,j−1) + ζ2
i (c13 − c33 − c23 − 2c55) ×
×
(
uα
i,j+1
− uα
i,j−1
2∆α
+ uα
i,j ctg αj
)
+ (2c55 + c13)ζi ×
×
(
ctg αj
uα
i+1,j − uα
i−1,j
2∆x
+
uα
i+1,j+1 − uα
i+1,j−1 − uα
i−1,j+1 − uα
i−1,j−1
4∆x∆α
)
+
+
2(e11 − e31)
2∆x
ζi(ϕi+1,j − ϕi−1,j) +
e11
∆x2
(ϕi+1,j − 2ϕi,j + ϕi−1,j) +
+ e53ζ
2
i
ctg αj
2∆α
(ϕi,j+1 − ϕi,j−1) +
e53ζ
2
i
∆α2
(ϕi,j+1 − 2ϕi,j + ϕi,j+1);
ρ
∂2uα
i,j
∂t2
= (2c55 + c13)
ζi
4∆x∆α
(ur
i+1,j+1 − ur
i−1,j+1 − ur
i+1,j−1 + ur
i−1,j−1) +
+ (c33 + c23 + 4c55)
ζ2
i
2∆α
(ur
i,j+1 − ur
i,j−1) +
2c55
∆α2
(uα
i+1,j − 2uα
i,j + uα
i+1,j) +
+ ζ2
i (−4c55 + (c23 − c33) ctg2 αj −
c23
sin2 αj
)uα
i,j +
4c55ζi
2∆x
(uα
i+1,j − uα
i−1,j) + (10)
+
c33ζ
2
i
∆α2
(uα
i,j+1 − 2uα
i,j + uα
i,j+1) +
c33ζ
2
i
2∆α
ctg αj(u
α
i,j+1 − uα
i,j−1) +
+
ζi(e53 + e31)
4∆x∆α
(ϕ−
i+1,j+1
ϕ−
i−1,j+1
ϕ+
i+1,j−1
ϕi−1,j−1) +
e53ζ
2
i
∆α
(ϕi,j+1 − ϕi,j−1);
e11
∆x2
(ur
i+1,j − 2ur
i,j + ur
i−1,j) + 2e31ξ
2
i u
r
i,j + (e31 + e11)
ξi
∆x
(ur
i+1,j − ur
i−1,j) +
+
e53ξ
2
i
∆α
ctg αj(u
r
i,j+1 − ur
i,j+1) +
2e53ξ
2
i
∆α2
(ur
i,j+1 − 2ur
i,j + ur
i,j−1) +
+ (e31 + 2e53)
ξi ctg αj
2∆x
(uα
i+1,j − uα
i−1,j) +
+ (e31 − 2e53)ξ
2
i
(
ctg αju
α
i,j +
1
2∆α
(uα
i,j+1 − uα
i,j−1)
)
+
+
(e31 + 2e53)ξi
4∆x∆α
(uα
i+1,j+1 − uα
i−1,j+1 − uα
i+1,j−1 − uα
i−1,j−1) −
− ε11ξi
∆x
(ϕi+1,j − ϕi−1,j) −
ε33ξ
2
i
∆α2
(ϕi,j+1 − 2ϕi,j + ϕi,j−1) −
− ε11
∆x2
(ϕi+1,j − 2ϕi,j + ϕi−1,j) − ε33ξ
2
i
ctg αj
2∆α
(ϕi,j+1 − ϕi,j−1) = 0.
Значення невiдомих в законтурних точках необхiдно виключити з системи (10), що ро-
бимо за допомогою умов (5)–(7). З (7) випливає, що при i = 0, 1, . . . , n + 1
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №8
ur
i,−0,5 = ur
i,1,5; uα
i,−0,5 = −uα
i,1,5; ϕi,−0,5 = ϕi,1,5;
ur
i,m+1,5 = ur
i,m−0,5; uα
i,m+1,5 = −uα
i,m−0,5; ϕi,m+1,5 = ϕi,m−0,5.
(11)
Значення електричного потенцiалу в законтурних точках вiдносно сферичних поверхонь
x = ±1 легко визначаються з (5):
ϕ0,j = −ϕ1,j − 2V (t); ϕm+1,j = −ϕm,j + 2V (t), j = 0, 1, . . . ,m + 1. (12)
Значення перемiщень ur
i,j, uα
i,j в законтурних точках вiдносно сферичних поверхонь ви-
значаються з (6) залежно вiд умов закрiплення. При заданих на границях x = ±1 перемi-
щеннях невiдомi ur
0,j, uα
0,j , ur
m+1,j , uα
m+1,j визначаються аналогiчно до електричного потен-
цiалу (12). При заданих механiчних напруженнях перемiщення в законтурних точках ви-
значаються з рiзницевої форми запису матерiальних спiввiдношень (3) в точках (x0,5, αj),
що лежать на границi областi.
Для iнтегрування за часом системи диференцiальних та алгебраїчних рiвнянь (10) вво-
димо розбиття iнтервалу часу t ∈ [0, T ] з кроком ∆t. Розв’язок шукається за допомогою
явної рiзницевої схеми або методом Ньюмарка [9]. Явна рiзницева схема зручна в реалiзацiї,
але є умовно стiйкою, внаслiдок чого крок за часом береться значно меншим за крок за про-
сторовими координатами (∆t ≈ 0,1
√
∆x2 + ∆z2), що призводить до громiздких обчислень.
До того ж на кожному часовому шарi для знаходження електричного потенцiалу ϕ потрiбно
розв’язувати систему nm алгебраїчних рiвнянь, що випливає з третього рiвняння (10). Ме-
тод Ньюмарка складнiше реалiзується, оскiльки на кожному кроцi за часом розв’язується
система з 3nm рiвнянь, але абсолютна стiйкiсть цього методу дозволяє iнтегрувати систему
рiвнянь (10) з значно бiльшим кроком за часом ∆t ≈
√
∆x2 + ∆z2. Тестування правиль-
ностi роботи схеми проводилося на основi розв’язкiв задач про одновимiрнi нестацiонарнi
коливання п’єзокерамiчних тiл [1, 3, 10].
3. Аналiз одержаних результатiв. Розглянемо задачу про осесиметричнi нестацiо-
нарнi коливання кулi з керамiки PZT-4 [6]
cE
11 = 11,5 · 1010 Н/м2, cE
33 = 13,9 · 1010 Н/м2, cE
23 = 7,78 · 1010 Н/м2,
cE
13 = 7,43 · 1010 Н/м2, cE
55 = 2,56 · 1010 Н/м2,
e11 = 15,1 Кл/м2, e31 = −5,2 Кл/м2, e53 = 12,7 Кл/м2,
εS
11 = 562 · 10−11 Ф/м, εS
33 = 646 · 10−11 Ф/м
з параметром кривизни ε = 0, 1 при нульових початкових умовах. За нормуючi параметри
вибрано ρ00 = ρ, c00 = cE
11, ε00 = εS
11, th = h
√
ρ/cE
11
.
Зовнiшнi поверхнi вiльнi вiд механiчних навантажень, тобто
σrr(±1, α, t) = 0; σrα(±1, α, t) = 0. (13)
Електроди на сферичних поверхнях кулi мають при α = α0 iзоляцiйну лiнiю розрiзу,
що дає змогу задавати рiзну рiзницю потенцiалiв на окремих областях електродованостi.
Розглянемо коливання кулi, що виникають при навантаженнi рiзницею електричного по-
тенцiалу 2V (t), де
V (α, t) =
{
V0, 0 6 α < α0,
−V0, α0 6 α 6 π.
(14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 67
Рис. 1. Розподiл радiальних перемiщень: а — на внутрiшнiй поверхнi кулi в рiзнi моменти часу; б — на
зовнiшнiй поверхнi
Двовимiрнiсть задачi та велика кiлькiсть механiчних та електричних невiдомих робить
розв’язок досить складним для аналiзу. Розв’язок задачi при вiдсутностi розрiзу на еле-
ктродах наведено в [8]. На рис. 1, а представленi радiальнi перемiщення на поверхнi x = −1
в рiзнi моменти часу при амплiтудi потенцiалу V0 = 1 та розрiзi на меридiанi α0 = π/2.
При такому навантаженнi радiальнi перемiщення антисиметричнi, а меридiаннi перемi-
щення uα симетричнi вiдносно екваторiальної площини кулi. Рис. 1, б iлюструє розподiл
радiальних перемiщень при x = 1. Всi наведенi результати представленi в безрозмiрнiй
формi.
При t < 20 на кривих розподiлу перемiщень є горизонтальнi дiлянки. Значення пере-
мiщень на цих дiлянках збiгається з вiдповiдними значеннями в одновимiрнiй задачi [8].
Двовимiрнi збурення поширюються вiд розрiзу на електродах, i в момент часу t ≈ 20 весь
перерiз опиняється в зонi двовимiрних збурень.
При наявностi розрiзу, на вiдмiну вiд розв’язку одновимiрної задачi [8], в якiй макси-
мальних перемiщень набувала внутрiшня поверхня, максимальнi перемiщення виникають
на зовнiшнiй поверхнi i перевищують перемiщення внутрiшньої поверхнi приблизно на 10%.
Вiдхилення вiд одновимiрного розв’язку на поверхнi x = 1 настає ранiше, нiж на внутрi-
шнiй поверхнi x = −1. Максимальнi перемiщення досягають значення umax = 100, що
при навантаженнi рiзницею потенцiалiв 2V0 = 200 В та h = 1 мм вiдповiдає значенню
umax = 2,21 · 10−3 мм.
1. Бабаев А.Э. Нестационарные волны в сплошных средах с системой отражающих поверхностей. –
Киев: Наук. думка, 1990. – 176 с.
2. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. – Москва: Наука, 1982. – 424 с.
3. Жарий О.Ю., Улитко А.Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. – Киев: Выща
шк., 1989. – 184 с.
4. Механика связанных полей в элементах конструкций. В 5-ти т. / Под общ. ред. А.Н. Гузя. Т. 5.
Электроупругость/ Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. – Киев: Наук. думка, 1989. – 280 с.
5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – Москва: Наука, 1989. – 432 с.
6. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. – Киев: Наук. думка, 1990. –
228 с.
7. Шульга М.О. Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi динамiчнi
задачi електропружностi // Доп. НАН України. – 2008. – № 6. – С. 36–45.
8. Шульга М.О. Про структуру рiвнянь електропружностi // Там само. – 2008. – № 4. – С. 81–85.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №8
9. Шульга М.О., Григор’єв С.А. Радiальнi пружноелектричнi нестацiонарнi коливання п’єзокерамiчної
порожнистої кулi // Опiр матерiалiв i теорiя споруд. – 2007. – Вип. 81. – С. 159–166.
10. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонанснi електромеханiчнi коливання п’єзоелектричних пластин. –
Київ: Наук. думка, 2008. – 280 с.
Надiйшло до редакцiї 13.10.2008Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Corresponding Member of the NAS of Ukraine M. O. Shulga, S.A. Grigoryev
The numerical analysis of nonsteady elastoelectric axisymmetric
vibrations of a piezoceramic ball with polarization by thickness
A numerical method of solution and analysis of the problem on axisymmetric nonsteady vibrations
of a hollow piezoceramic polarized ball under electric loading is constructed. The dynamic equations
of electroelasticity for the ball are digitized by means of the finite-difference method and explicit and
implicit numerical schemes by time. A strained state of the ball under a dynamic electric loading
with regard for a cut on electrodes is analyzed, and the distribution of mechanical displacements
along the meridional coordinate at various time moments is studied.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 69
|