Функції з однорідними особливостями на компактних поверхнях
Нехай M — компактна поверхня i P — або числова пряма R, або коло S¹. У роботi розглядається пiдпростiр F(M, P), що є підмножиною C^∞(M, P) і складається з вiдображень, якi мають iзольованi критичнi точки та задовольняють певнi умови невиродженостi. Для кожного f, що належить F(M, P), знайдено гомото...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17283 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Функції з однорідними особливостями на компактних поверхнях / С. I. Максименко // Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 20-23. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860063466805526528 |
|---|---|
| author | Максименко, С.І. |
| author_facet | Максименко, С.І. |
| citation_txt | Функції з однорідними особливостями на компактних поверхнях / С. I. Максименко // Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 20-23. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Нехай M — компактна поверхня i P — або числова пряма R, або коло S¹. У роботi розглядається пiдпростiр F(M, P), що є підмножиною C^∞(M, P) і складається з вiдображень, якi мають iзольованi критичнi точки та задовольняють певнi умови невиродженостi. Для кожного f, що належить F(M, P), знайдено гомотопiчнi типи його стабiлiзаторiв та орбiт вiдносно правої дiї групи дифеоморфiзмiв D(M) поверхнi.
Let M be a compact surface and P be either the real line R or a circle S¹. A certain subset F(M, P) of C^∞(M, P) which includes all Morse maps is introduced. For each f that belongs to F(M, P), the homotopy types of its stabilizers and orbits with respect to the action of the diffeomorphism group D(M) of M are calculated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:06:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 515.145+515.143
© 2009
С. I. Максименко
Функцiї з однорiдними особливостями на компактних
поверхнях
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В.В. Шарком)
Нехай M — компактна поверхня i P — або числова пряма R, або коло S1. У роботi
розглядається пiдпростiр F(M, P ) ⊂ C∞(M, P ), що складається з вiдображень, якi ма-
ють iзольованi критичнi точки та задовольняють певнi умови невиродженостi. Для
кожного f ∈ F(M, P ) знайдено гомотопiчнi типи його стабiлiзаторiв та орбiт вiдносно
правої дiї групи дифеоморфiзмiв D(M) поверхнi.
Нехай M — компактна поверхня, P — або числова пряма R, або коло S1 i D(M) — група
C∞-дифеоморфiзмiв поверхнi M . Для кожного f ∈ C∞(M,P ) позначимо через Σf множи-
ну його критичних точок, а через D(M,Σf ) — пiдгрупу в D(M), яка лишає множину Σf
iнварiантною, тобто D(M,Σf ) = {h ∈ D(M) : h(Σf ) = Σf}.
Визначимо праву дiю групи D(M) на C∞(M,P ) за формулою [1]
h · f = f ◦ h : M
h
−→M
f
−→P
для h ∈ D(M) i f ∈ C∞(M,P ). Нехай S(f) = {h ∈ D(M) : f ◦ h = f} та O(f) = {f ◦ h : h ∈
∈ D(M)} — вiдповiдно стабiлiзатор та орбiта f вiдносно дiї D(M). Аналогiчно позначимо
через S(f,Σf ) та O(f,Σf ) стабiлiзатор та орбiту f вiдносно правої дiї D(M,Σf ). Тодi легко
бачити [2], що
S(f,Σf ) = S(f), O(f,Σf ) ⊂ O(f).
На D(M) та C∞(M,P ) задамо сильнi C∞-топологiї Уїтнi [3]. Цi топологiї iндукують де-
якi топологiї на вiдповiдних стабiлiзаторах та орбiтах функцiй. Позначимо через Sid(f) ком-
поненту лiнiйної зв’язностi тотожного вiдображення idM в S(f), а через Of (f) та Of (f,Σf ) —
компоненти лiнiйної зв’язностi f в орбiтах O(f) та O(f,Σf) вiдповiдно.
У [4] автор обчислив гомотопiчнi типи Sid(f), Of (f) та Of (f,Σf ) для випадку, коли
f : M → P є вiдображенням Морса. Мета даної роботи — перенести цi обчислення на шир-
ший клас вiдображень F(M,P ) ⊂ C∞(M,P ) з виродженими особливостями.
Нагадаємо, що вiдображення f : M → P називається вiдображенням Морса, якщо всi
його критичнi точки є невиродженими. Згiдно з лемою Морса (напр., [3]), це означає, що
в околi кожної критичної точки z ∈ Σf iснує локальне представлення f : R
2 → R, в якому
z = (0, 0) i f(x, y) задається однiєю з таких форм: x2+y2, x2−y2 або −x2−y2, тобто є однорi-
дним многочленом 2-го степеня без кратних множникiв. Якщо зафiксувати орiєнтацiю P ,
то число мiнусiв не залежить вiд конкретного вибору такого локального представлення
i називається iндексом критичної точки z.
Позначимо через C∞
∂ (M,P ) пiдмножину в C∞(M,P ), що складається з вiдображень f ,
якi задовольняють таку умову:
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №8
f є локально постiйним на ∂M (тобто набуває постiйного значення на кожнiй ком-
понентi зв’язностi ∂M , хоча для рiзних компонент цi значення можуть бути рiзними)
i всi його критичнi точки лежать у внутрiшностi IntM .
Нехай далi F(M,P ) — пiдмножина в C∞
∂ (M,P ), що складається з вiдображень f та-
ких, що
для кожної критичної точки z ∈ Σf iснує локальне представлення f : R
2 → R, в якому
z = (0, 0) ∈ R
2, а f є однорiдним многочленом без кратних множникiв.
Зi сказаного вище випливає, що F(M,P ) мiстить вiдкриту i всюди щiльну в C∞
∂ (M,P )
множину морсiвських вiдображень. У данiй роботi буде показано, що обчислення, аналогi-
чнi [4], можна провести для функцiй з F(M,P ).
Вiдзначимо, що за винятком невеликої кiлькостi випадкiв кожне вiдображення f ∈
∈ F(M,P ) має або вироджену критичну точку, або невироджену критичну точку iндексу 1.
Виняток становлять усього 6 типiв випадкiв — це вiдображення Морса, якi або взагалi не
мають критичних точок, або всi їх критичнi точки є локальними екстремумами. Для них
опис гомотопiчних типiв Sid(f), Of (f) та Of (f,Σf ) дається в [4, теорема 1.9]. Для всiх
iнших вiдображень з класу F(M,P ) гомопiчнi типи їх орбiт та стабiлiзаторiв описуються
наведеним нижче твердженням, яке узагальнює [4, теореми 1.3, 1.5] та [2].
Теорема 1. Нехай f ∈ F(M,P ) має рiвно n > 1 критичних точок. Припустимо, що
хоча б одна з них є або виродженою, або невиродженою iндексу 1. Тодi Sid(f) є стягува-
ним, Of (f,Σf ) гомотопiчно еквiвалентна добутку m-кiл S1 × · · · × S1, де m — кiлькiсть
вироджених локальних естремумiв, а Of (f) гомотопiчно еквiвалентна деякому CW -ком-
плексу розмiрностi 6 2n− 1. Бiльше того, πkOf (f) = πkM , π2Of (f) = 0 i має мiсце така
точна послiдовнiсть:
1 → π1Did(M) ⊕ Z
r → π1Of (f) → G → 1 (1)
для деякого r > 0 та деякої скiнченної групи G.
Доведення базується на наведених нижче двох лемах i проводиться аналогiчно [2, 4].
Тому ми опишемо лише ключовi кроки та вкажемо принциповi вiдмiнностi вiд морсiвського
випадку.
Лема 1. Для кожного f ∈ F(M,P ) вiдображення p : D(M) → O(f), визначене за
формулою p(h) = f ◦ h, h ∈ D(M), та його обмеження p|D(M,Σf ) : D(M,Σf ) → O(f,Σf )
на D(M,Σf ) є головними локально тривiальними S(f)-розшаруваннями.
Лема 2. Якщо f ∈ F(M,P ) не є морсiвським, то Sid(f) — стягуваний.
З леми 1 випливає, що мають мiсце такi точнi послiдовностi гомотопiчних груп розша-
рування p:
· · · → πiS(f) → πiD(M) → πiO(f) → πi−1S(f) → · · · , (2)
· · · → πiS(f) → πiD(M,Σf ) → πiO(f,Σf ) → πi−1S(f) → · · · . (3)
Тепер теорема [1] доводиться за схемою [4, теорема 1.3; 2, теорема 2] з використанням
вiдомої iнформацiї про гомотопiчнi типи груп Did(M) [5–7], cтягуваностi Sid(f) та точних
послiдовностей (2) та (3). Основна вiдмiннiсть полягає в тому, що граф Кронрода–Рiба Γf
вiдображення f (напр. [4, § 3.1]), необхiдно модифiкувати.
Перед тим як доводити леми 1 та 2, нагадаємо кiлька означень та допомiжних твер-
джень.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 21
Числа Мiлнора. Нехай F — поле R aбо C, x = (x1, . . . , xn) i A позначає одну з таких
алгебр над F:
1) F{x} — F-алгебра аналiтичних функцiй вiд n-змiнних над F (ряди, збiжнi в деякому
околi 0 ∈ F
n);
2) C∞(x) — R-алгебра росткiв C∞ функцiй R
n → R у точцi 0 ∈ R
n.
Для кожного f ∈ A позначимо через JA(f) iдеал в A, породжений його частинними
похiдними в точцi 0 ∈ F
n. Цей iдеал називається iдеалом Якобi або градiєнтним iдеалом f
у цiй точцi, а його корозмiрнiсть в A над F:
µA(f) = dimF[A/JA(f)],
називають A-числом Мiлнора, або корозмiрнiстю [8, § 7], або кратнiстю [1, § 1.6.3] f у точцi
0 ∈ F
n. Очевидно, що мають мiсце такi включення:
C∞(x) ⊃ R{x} ⊂ C{x}.
Доведення поданої нижче леми проводиться безпосередньо.
Лема 3. Нехай f ∈ A. Тодi мають мiсце такi спiввiдношення мiж числами Мiлнора:
µC∞(x) 6 µR{x} 6 2µC{x},
за умови, що в кожнiй нерiвностi бiльше з чисел визначене (тобто A мiститься у вiд-
повiднiй алгебрi) i є скiнченним.
Однорiднi многочлени без кратних множникiв. Нехай f : R
2 → R — ненульовий
однорiдний многочлен. Очевидно, що 0 ∈ R
2 є критичною точкою f тодi i тiльки тодi,
коли deg f > 2. Також добре вiдомо, що f розпадається на незвiднi множники: f(x, y) =
=
l∏
i=1
Lli
i (x, y)
q∏
j=1
Q
qj
j (x, y), де кожен Li є лiнiйною функцiєю, а кожен Qj — незвiдною над R
квадратичною формою, причому li, qj > 1, Li/Li′ 6= const для i 6= i′ та Qj/Qj′ 6= const
для j 6= j′.
Вiдзначимо, що f можна розглядати як однорiдний комплексний многочлен f̂ : C
2 → C
вiд двох комплексних змiнних з дiйсними коефiцiєнтами. Тодi f̂ розпадається на лiнiйнi
множники.
Лема 4. Еквiвалентними є такi умови:
(a) f не має кратних множникiв у R[x, y], тобто li = qj = 1;
(b) f̂ не має кратних множникiв C[x, y];
(c) 0 ∈ C
2 є єдиною критичною точкою f̂ : C
2 → C;
(d) µC{x,y}(f) < ∞.
Доведення. Еквiвалентнiсть мiж (a), (b) i (c) очевидна, а еквiвалентнiсть (c) та (d)
випливає з [1, §§ 5.5, 5.9].
З леми випливає, що вiдображення з F(M,P ) мають лише iзольованi критичнi точки,
а оскiльки M компактна, то цих точок скiнченне число.
Доведення леми 1. Досить показати, що f має скiнченну корозмiрнiсть, тобто його
орбiта O(f) є пiдмноговидом Фреше в C∞
∂ (M,P ) скiнченної корозмiрностi. Тодi з [8, 9]
випливатиме, що p є головним локально тривiальним S(f)-розшаруванням (див. також [4,
§ 11]). Оскiльки кiлькiсть критичних точок скiнченна, то, згiдно з [8, § 7], досить встановити,
що для кожної критичної точки z ∈ Σf скiнченним є її число Мiлнора µC∞(x,y)(f, z). Але
з лем 4 та 3 маємо µC∞(x,y)(f, z) 6 2µC{x,y}(f, z) < ∞.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №8
Схема доведення леми 2. Для спрощення вважатимемо, що M є орiєнтовною поверх-
нею. Якщо f ∈ F(M,P ) є морсiвським, то простiр Sid(f) є або стягуваним, або гомотопiчно
еквiвалентним колу S1 [4, теорема 1.3]. Iдея доведення теореми 1.3 з роботи [4] полягала
в тому, щоб ототожнити Sid(f) з образом ϕ(Γ+) деякої опуклої пiдмножини Γ+ ⊂ C∞(M, R)
вiдносно так званого вiдображення зсуву ϕ уздовж орбiт “майже” гамiльтонового вектор-
ного поля F вiдображення f (див. [10]) i показати, що ϕ : Γ+ → Sid(f) є або гомеоморфiзмом
або нескiнченним циклiчним накриваючим вiдображенням. Якщо f має критичну точку iн-
дексу 1, то легко встановити, що ϕ iн’єктивне вiдображення, а тому є гомеоморфiзмом.
Використовуючи результати [4, 10–12], можна довести аналогiчне твердження для довiль-
ного вiдображення f ∈ F(M,P ). Тому залишається показати, що для f ∈ F(M,P ), яке не
є морсiвським, вiдображення зсуву ϕ завжди буде iн’єктивним.
Отже, нехай f ∈ F(M,P ) не є морсiвським, тобто f має критичну точку, в околi якої
в деяких локальних координатах (x, y) вiдображення f є однорiдним многочленом степеня
> 3. Розглянемо вiдповiдне локальне гамiльтонове векторне поле F (x, y) = −f ′
y∂/∂x +
+ f ′
x∂/∂y вiдображення f в околi такої точки. Оскiльки deg f > 3, то deg F > 2, тобто
лiнiйна частина поля F у точцi z = 0 дорiвнює нулю: j1F (0) = 0. Тому дотичний потiк
поля F на дотичному просторi TzM є тотожним. Згiдно з [10, твердження 13] це означає,
що вiдображення зсуву ϕ є iн’єктивним. Лему доведено.
1. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений, I. —
Москва: Наука, 1982. – 304 с.
2. Maksymenko S. Homotopy dimension of orbits of Morse functions on surfaces // Trav. Math. – 2008. –
18. – P. 39–44.
3. Хирш М. Дифференциальная топология. – Москва: Мир, 1979. – 280 с.
4. Maksymenko S. Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on surfaces // Ann. Glob.
Anal. Geom. – 2006. – 29, No 3. – P. 241–285.
5. Earle C. J., Eells J. The diffeomorphism group of a compact Riemann surface // Bull. Amer. Math. Soc. –
1967. – 73, No 4. – P. 557–559.
6. Earle C. J., Schatz A. Teichmüller theory for surfaces with boundary // J. Different. Geom. – 1970. – 4. –
P. 169–185.
7. Gramain A. Le type d’homotopie du groupe des difféomorphismes d’une surface compacte // Ann. sci.
Ecole norm. supér. 4-e ser. – 1973. – 6. – P. 53–66.
8. Segreraert F. Un théorème de fonction implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications //
Ann. sci. Ecole norm. supér. 4-e ser. – 1972. – 5. – P. 599–660.
9. Poenaru V. Un théorème des fonctions implicites pour les espaces d’applications C
∞ // Publ. Math. Inst.
Hautes Étud. Sci. – 1970. – 38. – P. 93–124.
10. Maksymenko S. Smooth shifts along trajectories of flows // Topol. Appl. – 2003. – 130. – P. 183–204.
11. Максименко С. Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв на площинi // Проблеми топологiї
та сумiжнi питання. Працi Iн-ту математики НАН України. – 2006. – 3, № 3. – С. 269–308.
12. Maksymenko S. ∞-jets of difeomorphisms preserving orbits of vector fields // Centr. Europ. J. Math. –
2009. – 7, No. 2. – P. 272–298.
Надiйшло до редакцiї 17.12.2008Iнститут математики НАН України, Київ
S. I. Maksymenko
Functions with homogeneous singularities on compact surfaces
Let M be a compact surface and P be either the real line R or a circle S1. A certain subset
F(M, P ) ⊂ C∞(M, P ) which includes all Morse maps is introduced. For each f ∈ F(M, P ), the
homotopy types of its stabilizers and orbits with respect to the action of the diffeomorphism group
D(M) of M are calculated.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-17283 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:06:14Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Максименко, С.І. 2011-02-24T21:16:13Z 2011-02-24T21:16:13Z 2009 Функції з однорідними особливостями на компактних поверхнях / С. I. Максименко // Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 20-23. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17283 515.145+515.143 Нехай M — компактна поверхня i P — або числова пряма R, або коло S¹. У роботi розглядається пiдпростiр F(M, P), що є підмножиною C^∞(M, P) і складається з вiдображень, якi мають iзольованi критичнi точки та задовольняють певнi умови невиродженостi. Для кожного f, що належить F(M, P), знайдено гомотопiчнi типи його стабiлiзаторiв та орбiт вiдносно правої дiї групи дифеоморфiзмiв D(M) поверхнi. Let M be a compact surface and P be either the real line R or a circle S¹. A certain subset F(M, P) of C^∞(M, P) which includes all Morse maps is introduced. For each f that belongs to F(M, P), the homotopy types of its stabilizers and orbits with respect to the action of the diffeomorphism group D(M) of M are calculated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Функції з однорідними особливостями на компактних поверхнях Functions with homogeneous singularities on compact surfaces Article published earlier |
| spellingShingle | Функції з однорідними особливостями на компактних поверхнях Максименко, С.І. Математика |
| title | Функції з однорідними особливостями на компактних поверхнях |
| title_alt | Functions with homogeneous singularities on compact surfaces |
| title_full | Функції з однорідними особливостями на компактних поверхнях |
| title_fullStr | Функції з однорідними особливостями на компактних поверхнях |
| title_full_unstemmed | Функції з однорідними особливостями на компактних поверхнях |
| title_short | Функції з однорідними особливостями на компактних поверхнях |
| title_sort | функції з однорідними особливостями на компактних поверхнях |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17283 |
| work_keys_str_mv | AT maksimenkosí funkcíízodnorídnimiosoblivostâminakompaktnihpoverhnâh AT maksimenkosí functionswithhomogeneoussingularitiesoncompactsurfaces |