Узагальнена процедура відокремлення змінних
На прикладi рiвняння теплопровiдностi запропоновано узагальнену процедуру вiдокремлення змiнних. The generalized procedure of the separation of variables is proposed by the example of the heat equation.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17285 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Узагальнена процедура відокремлення змінних / А.Ф. Баранник, Т.А. Баранник, I. I. Юрик // Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 7-13. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860265455812345856 |
|---|---|
| author | Баранник, А.Ф. Баранник, Т.А. Юрик, І.І. |
| author_facet | Баранник, А.Ф. Баранник, Т.А. Юрик, І.І. |
| citation_txt | Узагальнена процедура відокремлення змінних / А.Ф. Баранник, Т.А. Баранник, I. I. Юрик // Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 7-13. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | На прикладi рiвняння теплопровiдностi запропоновано узагальнену процедуру вiдокремлення змiнних.
The generalized procedure of the separation of variables is proposed by the example of the heat equation.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:00:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2009
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9:519.46
© 2009
А.Ф. Баранник, Т. А. Баранник, I. I. Юрик
Узагальнена процедура вiдокремлення змiнних
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В.В. Шарком)
На прикладi рiвняння теплопровiдностi запропоновано узагальнену процедуру вiдокрем-
лення змiнних.
Одним з ефективних методiв побудови точних розв’язкiв лiнiйних диференцiальних рiвнянь
у частинних похiдних є метод вiдокремлення змiнних. Так, добре вiдомими розв’язками
рiвняння теплопровiдностi
ut − uxx = 0 (1)
є розв’язки з вiдокремленими змiнними [1]:
u(x, t) =
keλt ch(
√
λx + δ), λ > 0,
kx + k̃, λ = 0,
keλt cos(
√
|λ|x + δ), λ < 0.
(2)
Розв’язки (2) можна отримати, використовуючи пiдстановку
u = a(x)b(t), (3)
яку можна розглядати також як анзац, який редукує рiвняння (1) до звичайного диферен-
цiального рiвняння з невiдомою функцiєю a = a(x) (або з невiдомою функцiєю b = b(t)).
У данiй роботi ми розглядаємо на прикладi рiвняння (1) таке узагальнення анзацу (3):
u =
m∑
i=1
ωi(t)ai(x), m > 1. (4)
Анзац (4) мiстить m невiдомих функцiй ai(x) i m невiдомих функцiй ωi(t), якi будемо визна-
чати з умови, що анзац (4) редукує рiвняння (1) до системи m звичайних диференцiальних
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 7
рiвнянь з невiдомими функцiями ωi(t), i = 1, . . . ,m. Питання про знаходження цiєї системи
буде розглянуто в п. 1.
1. Редукцiя рiвняння (1) до системи звичайних диференцiальних рiвнянь.
З’ясуємо перш за все, в якому випадку анзаци типу (4) визначають один i той же розв’язок
рiвняння (1). Вважатимемо, що функцiї a1, . . . , am, якi входять до анзацу (4), є лiнiйно не-
залежними над полем дiйсних чисел R. Тодi анзацу (4) вiдповiдає m-вимiрний векторний
простiр V = 〈a1, . . . , am〉 над R з базисом a1, . . . , am. Можна сказати, що анзац (4) представ-
лений в базисi a1, . . . , am. Нехай b1(x), . . . , bm(x) є яким-небудь iншим базисом простору V
i T — матриця переходу вiд базису a1, . . . , am до базису b1, . . . , bm. Тодi
b1
...
bm
= T
a1
...
am
. (5)
Функцiя u, визначена формулою (4), не змiниться, якщо одночасно виконати перетворення
над функцiями ω1, . . . , ωm згiдно з формулою
(ω̂1, . . . , ω̂m) = (ω1, . . . , ωm)T−1. (6)
У результатi отримуємо анзац
u =
m∑
i=1
ω̂i(t)bi(x), (7)
де функцiї bi i ω̂i визначаються за формулами (5) i (6). Очевидно, анзац (7) представляє ту
саму функцiю u, але в iншому базисi b1, . . . , bm простору V . У зв’язку з цим два анзаци (4)
i (7) вважаємо еквiвалентними, якщо iснує таке невироджене перетворення T простору V ,
що визначається формулами (5) i (6), яке переводить анзац (4) в анзац (7).
Розглянемо далi питання про редукцiю рiвняння (1). Пiдставивши (4) в (1), отримаємо
рiвняння
m∑
i=1
ω′
iai −
m∑
i=1
ωia
′′
i = 0. (8)
Припустимо, що функцiї a′′i належать до простору V для i = 1, . . . ,m. Це означає, що iснує
така квадратна матриця A над R порядку m, для якої
a′′1
...
a′′m
= A
a1
...
am
. (9)
Отже, анзацу (4), (9) вiдповiдає квадратна матриця A порядку m. З (5) i (9) випливає, що
b′′1
...
b′′m
= TAT−1
b1
...
bm
,
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №8
а тому в базисi b1, . . . , bm анзацу (4) вiдповiдає матриця TAT−1. Отримуємо, що матрицi A
i TAT−1 даного анзацу вiдповiдно в базисах a1, . . . , am i b1, . . . , bm простору V є подiбними.
У результатi класифiкацiя всiх анзацiв виду (4) зводиться до класифiкацiї всiх квадратних
матриць A порядку m над R з точнiстю до подiбностi. Залежно вiд коренiв характеристи-
чного рiвняння матриця A подiбна до однiєї з трьох канонiчних форм [2].
1. Коренi характеристичного рiвняння матрицi A дiйснi. Матриця A в цьому випадку
подiбна до матрицi
Jm1,λ1
0
. . .
0 Jms,λs
,
де Jmi,λi
є клiткою Жордана порядку mi (i = 1, 2, . . . , s):
Jmi,λi
=
λi 0 . . . . . .
1 λi 0 . . .
. . . . . . . . . . . .
0 . . . 1 λi
. (10)
2. Коренi характеристичного рiвняння матрицi A комплекснi. Матриця A у цьому ви-
падку подiбна до матрицi
Jm1
b1,d1
0
. . .
0 J
mk
bk,ds
, di 6= 0 для i = 1, 2, . . . , k,
де Jm
b,d — узагальнена клiтка Жордана, тобто матриця порядку 2m такого вигляду:
Jm
b,d =
b −d
d b
1 0
0 1
0
b −d
d b
1 0
0 1
. . .
0
b −d
d b
. (11)
Якщо m = 1, то
J1
b,d =
(
b1 −d1
d1 b1
)
.
3. Характеристичне рiвняння матрицi A має як дiйснi, так i комплекснi коренi. Ма-
триця A у даному випадку подiбна до матрицi, яка є сумою клiток Жордана виду (10)
i узагальнених клiток Жордана виду (11).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 9
Отже, можна вважати, що матриця A у рiвностi (9) має одну з трьох канонiчних форм.
Виконання рiвностi (9) означає, що рiвняння (8) можна записати у виглядi
m∑
i=1
aiΦi(ω1, . . . , ωm, ω′
1, . . . , ω
′
m) = 0, (12)
де функцiї Φi залежать тiльки вiд змiнної t, а функцiї ai — тiльки вiд змiнної x. Оскiльки
функцiї a1, . . . , am лiнiйно незалежнi над R, то рiвняння (12) розпадається на систему m
звичайних диференцiальних рiвнянь
Φ1 = 0, . . . , Φm = 0. (13)
Задача побудови розв’язкiв виду (4) рiвняння (1) зведена до iнтегрування двох систем зви-
чайних диференцiальних рiвнянь (9) i (13). Необхiдно зауважити, що якщо матриця A
є сумою s клiток Жордана, то вiдповiдний розв’язок рiвняння (1) є сумою s розв’язкiв
цього рiвняння, якi вiдповiдають даним клiткам. Тому можна обмежитись випадком, коли
матриця A є клiткою Жордана виду (10), або узагальненою клiткою Жордана виду (11).
2. Точнi розв’язки рiвняння (1). Випадок матрицi (10). Нехай A є клiткою Жор-
дана Jm,λ. Для побудови точних розв’язкiв рiвняння (1) використаємо анзац (4), в якому
функцiї ai задовольняють систему рiвнянь
a′′1 = λa1 + a2, . . . , a′′m−1 = λam−1 + am, a′′m = λam. (14)
Пiдставивши (14) у (8) i використавши лiнiйну незалежнiсть функцiй ai, отримаємо систему
для визначення функцiй ωi:
ω′
1 = λω1, ω′
2 = ω1 + λω2, . . . , ω′
m = ωm−1 + λωm. (15)
Можливi три випадки.
1. Випадок λ > 0. Розв’язок системи (14):
am−k = fk(x)e
√
λx + gk(x)e−
√
λx, k = 0, 1, . . . ,m − 1, (16)
fk(x) i gk(x) — многочлени над R степеня, що менший або дорiвнює k, якi задовольняють
рекурентнi спiввiдношення
f ′′
k + 2
√
λf ′
k − fk−1 = 0, f0 = C1 — стала,
g′′k − 2
√
λg′k − gk−1 = 0, g0 = C2 — стала.
Розв’язок системи (15) має вигляд
ωk = hk−1(t)e
λt, k = 1, . . . ,m, (17)
hk(t) — многочлен над R степеня, що менший або дорiвнює k, який задовольняє рекурентне
спiввiдношення
h′
k = hk−1, h0 = B1 — стала. (18)
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №8
На пiдставi (4), (16) i (17) розв’язок рiвняння (1) має вигляд
u =
m−1∑
k=0
(fk(x)e
√
λx + gk(x)e−
√
λx)hm−k−1(t)e
λt.
2. Випадок λ < 0. Розв’язок системи (14):
am−k = fk(x) cos(
√
|λ|x) + gk(x) sin(
√
|λ|x), k = 0, 1, . . . ,m − 1, (19)
fk(x), gk(x) — многочлени над R степеня, що менший або дорiвнює k, якi задовольняють
рекурентнi спiввiдношення
f ′′
k − 4λf ′
k − f ′
k−1 + 2
√
|λ|gk−1 = 0, f0 = C1 — стала,
g′′k − 4λg′k − g′k−1 − 2
√
|λ|fk−1 = 0, g0 = C2 — стала.
На пiдставi (4), (17) i (19) розв’язок рiвняння (1) має вигляд
u =
m−1∑
k=0
(fk(x) cos(
√
|λ|x) + gk(x) sin(
√
|λ|x))hm−k−1(t)e
λt,
де многочлен hk(t) задовольняє рекурентне спiввiдношення (18).
3. Випадок λ = 0. Системи (14), (15) набувають вигляду
a′′1 = a2, . . . , a′′m−1 = am, a′′m = 0, (20)
ω′
1 = 0, ω′
2 = ω1, . . . , ω′
m = ωm−1. (21)
Розв’язок системи (20):
am−k = f2k+1(x), k = 0, 1, . . . ,m − 1, (22)
f2k+1(x) — многочлен над R степеня, що менший або дорiвнює 2k + 1, який задовольняє
рекурентне спiввiдношення
f ′′
2k+1 = f2k−1, f1 = C1x1 + C2, C1, C2 — довiльнi сталi.
Розв’язок системи (21):
ωk = hk−1(t), k = 1, . . . ,m, (23)
hk(t) — многочлен над R степеня, що менший або дорiвнює k, який задовольняє рекурентне
спiввiдношення
h′
k = hk−1, h0 = B1.
На пiдставi (4), (22) i (23) розв’язком рiвняння (1) є функцiя
u =
m−1∑
k=0
f2k+1(x)hm−k−1(t). (24)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 11
Формула (24) визначає вiдомi многочлени теплопровiдностi [3], якi є iнварiантними розв’яз-
ками рiвняння (1).
3. Точнi розв’язки рiвняння (1). Випадок матрицi (11). Нехай матриця A, що
вiдповiдає анзацу (4), належить до типу (11). Для зручностi анзац (4) запишемо у виглядi
u =
m∑
k=1
[
ω
(k)
1 (t)a
(k)
1 (x) + ω
(k)
2 (t)a
(k)
2 (x)
]
, (25)
де функцiї a
(k)
1 i a
(k)
2 задовольняють таку систему рiвнянь:
a
(k)′′
1 = ba
(k)
1 + da
(k)
2 + a
(k−1)
1 , (26)
a
(k)′′
2 = −da
(k)
1 + ba
(k)
2 + a
(k−1)
2 , (27)
k = 1, . . . ,m, a
(0)
1 = 0, a
(0)
2 = 0.
Розглянемо випадок m = 1. Система (26), (27) має вигляд
a
(1)′′
1 = ba
(1)
1 + da
(1)
2 , a
(1)′′
2 = −da
(1)
1 + ba
(1)
2 . (28)
Характеристичне рiвняння, що вiдповiдає системi (28), має вигляд
s4 − 2bs2 + b2 + d2 = 0. (29)
Оскiльки d 6= 0, то рiвняння (29) має чотири рiзнi коренi:
s1 = σ + iτ, s2 = σ − iτ, s3 = −σ − iτ, s4 = −σ + iτ,
де s2
1 = b + id. Розв’язок системи (28):
a
(1)
1 = eσx
(
C
(1)
1 cos(τx) − C
(1)
2 sin(τx)
)
+ e−σx
(
C
(1)
3 cos(τx) − C
(1)
4 sin(τx)
)
, (30)
a
(1)
2 = eσx
(
−C
(1)
1 sin(τx) − C
(1)
2 cos(τx)
)
+ e−σx
(
C
(1)
3 sin(τx) + C
(1)
4 cos(τx)
)
, (31)
де C
(1)
i — довiльнi сталi, i = 1, 2, 3, 4.
Пiдставивши (28) у (25), а далi (25) в (1), отримаємо редуковану систему рiвнянь для
визначення функцiй ω
(1)
1 i ω
(1)
2 :
ω
(1)′
1 = bω
(1)
1 − dω
(1)
2 , ω
(1)′
2 = dω
(1)
1 + bω
(1)
2 . (32)
Розв’язок системи (32):
ω
(1)
1 = ebt
(
−B
(1)
1 sin(dt) − B
(1)
2 cos(dt)
)
, (33)
ω
(1)
2 = ebt
(
−B
(1)
2 sin(dt) + B
(1)
1 cos(dt)
)
, (34)
B
(1)
i — довiльнi сталi, i = 1, 2. Пiдставивши (30), (31), (33), (34) в анзац (25) для m = 1,
пiсля нескладних перетворень отримаємо розв’язок рiвняння (1):
u = eσx+bt
[(
−B
(1)
1 C
(1)
1 + B
(1)
2 C
(1)
2
)
sin(τx + dt) −
(
B
(1)
1 C
(1)
2 + B
(1)
2 C
(1)
1
)
cos(τx + dt)
]
+
+ e−σx+bt
[(
B
(1)
1 C
(1)
3 + B
(1)
2 C
(1)
4
)
sin(τx − dt) +
(
B
(1)
1 C
(1)
4 − B
(1)
2 C
(1)
3
)
cos(τx − dt)
]
.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №8
Для випадку m > 1 розв’язок вигляду (25) рiвняння (1) внаслiдок громiздкостi випи-
сувати не будемо.
1. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. – Москва: Мир, 1989. – 639 с.
2. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – Москва: Наука, 1970. – С. 171–178.
3. Widder D.V. The heat equation. – New York: Acad. Press, 1975.
Надiйшло до редакцiї 14.11.2008Нацiональний унiверситет харчових
технологiй, Київ
A.F. Barannyk, T.A. Barannyk, I. I. Yuryk
The generalized procedure of separation of variables
The generalized procedure of the separation of variables is proposed by the example of the heat
equation.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 13
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-17285 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:00:13Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Баранник, А.Ф. Баранник, Т.А. Юрик, І.І. 2011-02-24T21:39:35Z 2011-02-24T21:39:35Z 2009 Узагальнена процедура відокремлення змінних / А.Ф. Баранник, Т.А. Баранник, I. I. Юрик // Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 7-13. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17285 517.9:519.46 На прикладi рiвняння теплопровiдностi запропоновано узагальнену процедуру вiдокремлення змiнних. The generalized procedure of the separation of variables is proposed by the example of the heat equation. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Узагальнена процедура відокремлення змінних The generalized procedure of separation of variables Article published earlier |
| spellingShingle | Узагальнена процедура відокремлення змінних Баранник, А.Ф. Баранник, Т.А. Юрик, І.І. Математика |
| title | Узагальнена процедура відокремлення змінних |
| title_alt | The generalized procedure of separation of variables |
| title_full | Узагальнена процедура відокремлення змінних |
| title_fullStr | Узагальнена процедура відокремлення змінних |
| title_full_unstemmed | Узагальнена процедура відокремлення змінних |
| title_short | Узагальнена процедура відокремлення змінних |
| title_sort | узагальнена процедура відокремлення змінних |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17285 |
| work_keys_str_mv | AT barannikaf uzagalʹnenaproceduravídokremlennâzmínnih AT barannikta uzagalʹnenaproceduravídokremlennâzmínnih AT ûrikíí uzagalʹnenaproceduravídokremlennâzmínnih AT barannikaf thegeneralizedprocedureofseparationofvariables AT barannikta thegeneralizedprocedureofseparationofvariables AT ûrikíí thegeneralizedprocedureofseparationofvariables |