Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв'язки, пов'язані з класичними ортогональними поліномами
Знайдено конструктивний алгоритм побудови диференціальних рівнянь вищих парних порядків, розв'язками яких є узагальнені класичні ортогональні поліноми. Для цих поліномів одержано явне зображення,
 тричленне рекурентне співвідношення та вигляд умов ортогональності залежно від відповідної...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173045 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв'язки, пов'язані з класичними ортогональними поліномами / В.Л. Макаров // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 7. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860257813777874944 |
|---|---|
| author | Макаров, В.Л. |
| author_facet | Макаров, В.Л. |
| citation_txt | Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв'язки, пов'язані з класичними ортогональними поліномами / В.Л. Макаров // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 7. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Знайдено конструктивний алгоритм побудови диференціальних рівнянь вищих парних порядків, розв'язками яких є узагальнені класичні ортогональні поліноми. Для цих поліномів одержано явне зображення,
тричленне рекурентне співвідношення та вигляд умов ортогональності залежно від відповідної функції розподілу. Наведено розв'язки відповідних резонансних рівнянь.
A constructive algorithm for constructing differential equations of higher even orders is found, whose solutions
are generalized classical orthogonal polynomials. For these polynomials, an explicit image, a three-term
recurrence relation, and the appearance of orthogonality conditions with respect to the corresponding distribution
function are obtained. The solutions of the corresponding resonance equations are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:51:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
3
МАТЕМАТИКА
Ц и т у в а н н я: Макаров В.Л. Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні роз в’яз-
ки, пов’язані з класичними ортогональними поліномами. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 7. С. 3—9.
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.07.003
ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 7: 3—9
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.07.003
УДК 517.587
В.Л. Макаров, академік НАН України
Інститут математики НАН України, Київ
E-mail: makarovimath@gmail.com
Диференціальні рівняння вищих порядків,
які мають поліноміальні розв’язки, пов’язані
з класичними ортогональними поліномами
Знайдено конструктивний алгоритм побудови диференціальних рівнянь вищих парних порядків, роз в’яз-
ка ми яких є узагальнені класичні ортогональні поліноми. Для цих поліномів одержано явне зображення,
тричленне рекурентне співвідношення та вигляд умов ортогональності залежно від відповідної функції роз-
поділу. Наведено розв’язки відповідних резонансних рівнянь.
Ключові слова: диференціальні рівняння вищих порядків, класичні ортогональні поліноми, поліноми Ле-
жандра, Лагерра, Ерміта, співвідношення ортогональності, тричленне рекурентне співвідношення, резо-
нансні рівняння.
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МАТЕМАТИКА
Побудові та дослідженню диференціальних рівнянь вищих парних порядків, розв’язки
яких є узагальненими класичними ортогональними поліномами, присвячено ряд робіт. Так,
у статті [1] наведене двопараметричне диференціальне рівняння четвертого порядку, роз-
в’язками якого є узагальнені поліноми Лагерра α β( , )( )nL x , які для β = 0 з точністю до множ-
ника −( 1) !n n збігаються з класичними поліномами Лагерра. Також у цій статті наведе но
однопараметричне диференціальне рівняння четвертого порядку, розв’язками якого є уза-
гальнені поліноми Ерміта β( )( )nH x , які для β = 0 збігаються з модифікованими поліно-
ма ми Ерміта (0) 2( ) 2 ( 2 )n
n nH x H x= . Проте варто зауважити, що в обох цих рівняннях від n
залежить не тільки коефіцієнт перед функцією, а й коефіцієнти перед похідними. У роботі
[2] вивчались узагальнені поліноми Лежандра, Лагерра, Якобі, що задовольняють від повідне
диференціальне рівняння четвертого порядку. У статті [3] досліджувалися узагальнені по-
ліноми Лежандра та поліноми типу Лежандра, які задовольняють диференціальне рівняння
шостого порядку і мають ряд властивостей, притаманних класичним ортогональним полі-
номам.
Усі диференціальні рівняння в [2, 3] мають вигляд
− λ = =2 2( ) ( ) ( ) 0, 2,3r rL u x n u x r , (1)
4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 7
В.Л. Макаров
і коефіцієнти диференціального оператора 2rL 2r-го порядку не залежать від параметра n,
степеня полінома.
У даній роботі знайдено алгоритм побудови диференціальних рівнянь вигляду (1) з
> 3r , розв’язками яких є узагальнені класичні ортогональні поліноми Лежандра та Лагерра.
Цей алгоритм базується на використанні диференціальних рівнянь четвертого та шостого
порядків, поліноміальні розв’язки яких збігаються і є узагальненими класичними орто го-
нальними поліномами. У випадку узагальнених поліномів Лежандра в літературі були ві-
домі такі рівняння з параметрами, і достатньо було вибрати параметри певним чином, щоб
їх поліноміальні розв’язки збігалися. Проте у випадку узагальнених поліномів Лагерра в
літературі були відомі тільки параметричні диференціальні рівняння четвертого порядку.
Отже, перед тим як застосувати запропонований нами алгоритм, треба було знайти дифе-
ренціальне рівняння шостого порядку, яке мало б за розв’язки ті самі узагальнені поліно-
ми Лагерра, що й рівняння четвертого порядку. Ця додаткова проблема в даній роботі ус-
пішно подолана. Під узагальненими класичними ортогональними поліномами ми будемо
розуміти лінійну комбінацію класичних ортогональних поліномів.
1. Алгоритм побудови рівнянь довільних парних порядків з узагальненими класични-
ми ортогональними поліномами. Введемо позначення для двох базових диференціальних
операторів, за допомогою яких будуються всі диференціальні рівняння парних порядків
певного класу з розв’язками, пов’язаними з класичними ортогональними поліномами. Не-
хай оператори
−−
− −
=
= − λ = − λ =∑
22 1
2 , 2 , 2 2 2 22
0
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 2, 3
r pr
r n r r p r r rr p
p
d u x
A u x a x n u x L u x n u x r
dx
,
мають серед своїх розв’язків одні й ті самі поліноми ( )np x , що узагальнюють класичні
ортогональні поліноми, отже, й однакові, з точністю до сталого множника, частинні роз в’яз-
ки відповідних резонансних рівнянь першого роду ( )nv x (стосовно резонансних рівнянь,
пов’язаних із класичними ортогональними поліномами, див. [4—6]).
Тоді:
1) оператори 4 6,L L комутують на множині поліномів = ( ), 0,1,np x n ;
2) рівняння
4 6 4 6( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0,1, ,L L u x n n u x n− λ λ = =
мають своїми розв’язками поліноми =( ) ( )nu x p x , а відповідні резонансні рівняння пер-
шого роду
4 6 4 6( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0,1, ,nL L v x n n v x p x n− λ λ = =
матимуть частинні розв’язки (див. [4–6])
− ∂
= λ λ + λ λ′ ′
∂
1
4 6 4 6
( )
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] np x
v x n n n n
n
.
Узагальненням вищенаведених міркувань є таке твердження.
5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 7
Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв’язки, пов’язані з класичними...
Лема. Усі рівняння
4 6
4 64 6
1
4 6 4 6
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0,
, 0, 1, 2, , , , , , 0,
i i
N
M M
i
N N
i i i i
i i
L L u x n n u x
i N M M M M
α β
=
= =
− λ λ =
∀α β ∈ ∪ = α = β = ∈ ∪
∏
∑ ∑
мають спільні поліноміальні розв’язки = = ( ) ( ), 0,1,nu x p x n . Відповідні резонансні рівнян-
ня першого роду мають спільні частинні розв’язки
− ∂∂⎡ ⎤= λ λ =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
4 6
1
4 6
( )
( ) ( ) ( ) , 0,1,M M np x
v x n n n
n n
.
Із цієї леми випливає, що для побудови диференціальних рівнянь вищих порядків (вище
шостого) з розв’язками, які є узагальненими класичними ортогональними поліномами, до-
статньо знайти два рівняння четвертого та шостого порядків, що мають однакові поліномі-
альні розв’язки, які зображуються у вигляді лінійної комбінації класичних ортогональних
поліномів.
2. Диференціальні рівняння четвертого та шостого порядків, спільними розв’язками
яких є узагальнені класичні ортогональні поліноми. Узагальнені поліноми Лежандра.
Оскільки диференціальні рівняння четвертого і шостого порядків, розв’язками яких є уза-
гальнені поліноми Лежандра, відомі (див. [2, 3]), ми наведемо тільки самі рівняння та зна-
чення параметрів, для яких поліноміальні розв’язки цих рівнянь збігаються, а також деякі
властивості згаданих розв’язків.
Розглянемо диференціальне рівняння четвертого порядку
= − λ = − + − +
+ α + − + α − λ = >
4 3
2 2 2
4, 4 4 4 3
2
2
42
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 8 ( 1)
( ) ( )
(4 12)( 1) 8 ( ) ( ) 0, 0.
n
d y x d y x
A y x L y x n y x x x x
dx dx
d y x dy x
x x n y x x
dxdx
Як було показано в [2], за умови
λ = α + α + − + − − + − − −4( ) 8 (4 12) ( 1) 8 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)n n n n n n n n n n n
поліноміальними розв’язками цього рівняння будуть
= = α − + +1
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )
2n n n n
d
y x v x P x x P x n n P x
dx
, (2)
де Pn(x) – поліном Лежандра. Ці поліноміальні розв’язки є ортогональними у тому сенсі, що
−
= + − − + =
α
= δ + + α − − α + + α
+
∫
1
1
4 3 2 2
,
1
( , ) ( ) ( ) [ ( 1) ( 1) (1) (1)]
2
[2 4 (8 2) (8 4) 8 ],
2 1
n m n m n m n m
n m
v v v x v x dx v v v v
n n n n
n
6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 7
В.Л. Макаров
і задовольняють рекурентне співвідношення
1( )n nv x A x+ = 1( ) ( ), 1, 2, ,n n nv x C v x n−− = …
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ α + + α + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ α + − + α + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − =′ ′
1 1
(2 1) ( 1) ( 1)( 2)
2 2
, ,
1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
2 2
, 1.
n n
n n n n
n n n n n n
A C
n n n n n n
A C A C
Тут δ ,n m – символ Кронекера.
Зробимо зауваження, яке буде корисним для побудови тричленного рекурентного
співвідношення для ортогональних поліномів, якщо є відомим їх зображення
−
−
=
= = …∑ ,
0
( ) , 0,1,
n
n j
n n n j
j
p x k x n .
У цьому випадку коефіцієнти тричленного рекурентного співвідношення
+ −= α +β − γ = …1 1( ) ( ) ( ) ( ), 1, 2,n n n n n np x x p x p x n ,
визначаються за формулами
1, 1 , 1 1,
, , 1, 1
, 2 , 1 1, 1
1, 1
, ,
1
( ),
n n n n n n
n n n
n n n n n n
n n n n n n n n n
n n
k k k
k k k
k k k
k
+ + − +
+ +
− − + −
− −
⎛ ⎞
α = β = α −⎜ ⎟
⎝ ⎠
γ = α +β −
в яких, на відміну від відповідних формул із [7] (див. с. 161, формули (7), (8)), викорис-
то вуються тільки коефіцієнти поліномів.
Розглянемо таке диференціальне рівняння шостого порядку:
−
− −
=
= − λ = − λ =
= − = − = − −
= − = − =
∑
65
6 6 6 6 66
0
2 3 2 2 2 2
6 5 4
2
3 2 1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,
( ) ( 1) , ( ) 18 ( 1) , ( ) 30( 1)(3 1),
( ) 120 ( 1), ( ) 24, ( ) 0,
p
p p
p
d y x
A y x L y x n y x a x n y x
dx
a x x a x x x a x x x
a x x x a x a x
яке є частинним випадком диференціального рівняння, розглянутого в роботі [3], коли
= = − =1, 1A B C . Його розв’язками за умови
λ = − +6 3 3( ) ( 2) ( 1)n n n
є ортогональні поліноми типу Лагранжа [3]
= = + − −2 ( )
( ) ( ) ( 2) / 2 ( ) n
n n
dP x
y x K x n n P x x
dx
. (3)
7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 7
Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв’язки, пов’язані з класичними...
Тут (а)n — cимвол Похгаммера. Із (2), (3) випливає, що для α = −1 буде мати місце спів-
відношення
=( ) ( )n nK x v x .
Отже, буде справедливою лема, згідно з якою можна побудувати диференціальні рів-
няння будь-яких парних порядків із розв’язками (3), а також розв’язки відповідних резо-
нансних рівнянь.
Узагальнені поліноми Лагерра. Розглянемо диференціальне рівняння четвертого порядку
4 3
2
4, 4 4 4 3
2
2
42
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )
( ) ( )
( 10 ) (6 4) ( ) ( ) 0, ( , ).
2n
d y x d y x
A y x L y x n y x x x
dx dx
d y x dy x
x x x n y x x
d
x
xdx
= − λ = − +
+ − + − + λ = ∈ −∞ ∞
−
(4)
Це рівняння є частковим випадком із [2] для = 2R . Як було показано в [2], за умови
λ = − +4( ) ( 5)n n n
поліноміальними розв’язками рівняння (4) будуть
= + +( ) ( 2) ( ) ( )n n n
d
v x n L x L x
dx
, (5)
де ( )nL x — поліном Лагерра. Згідно з [2], поліноми (5) є ортогональними в сенсі скаляр-
ного добутку
∞
−∞
= − + = δ + +∫ 2
,
1
( , ) exp( ) ( ) ( ) (0) (0) ( 5 6)
2n m n m n m n mv v x v x v x dx v v n n
і задовольняють рекурентне співвідношення
1 1
3 2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ), 1, 2, ,
3 2 11 17 4 ( 3)
, , .
( 2)( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1)
n n n n n n
n n n
v x A x B v x C v x n
n n n n n n
A B C
n n n n n n
+ −= + − = …
+ + + + += − = =
+ + + + + +
Розглянемо таке однопараметричне сімейство диференціальних операторів шостого
порядку:
6 5
3 2
6, 6 6 6 5
4 3
1, 0 1, 02 3 2 3
1, 04 3
2
1, 0 1, 0 2
1, 02
( )
( ) (
15 24 3 36 21
4 2
5
) ( ) ( ) 3 ( 3)
( ) ( )
( )
(
6 21 6
2
)
4
1
n
d y x d y
A y x L y x n y x x x x
dx dx
d y x d y x
d
a a
x x x a x x x
x dx
d ya a
x x a
x
dx
+ − − + − − + + −
− + + + − −
= − λ = − − +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
6
( )
( ) )
2
( .
3 dy x
n y x
d
x
x
⎛ ⎞− + λ⎜ ⎟⎝ ⎠
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 7
В.Л. Макаров
Нами доведено, що за виконання умови
⎛ ⎞
λ = − − − + + − −⎜ ⎟⎝ ⎠
0 1, 0
6
1, 6
4
( ) ( 1)( 2) ( 1) 3
2
a a
n n n n n n n
поліноміальними розв’язками однорідного диференціального рівняння з цим оператором є
= + + =
( )
( ) ( 2) ( ) , 0,1,n
n n
dL x
K x n L x n
dx
,
причому вони збігаються з (5). Отже, є справедливою лема, згідно з якою можна побудува-
ти диференціальні рівняння будь-яких парних порядків із розв’язками (5), а також розв’язки
відповідних резонансних рівнянь.
Зауваження. Автором побудовані однорідні рівняння четвертого і шостого порядків ви-
гляду (1), поліноміальні розв’язки яких збігаються та є узагальненими поліномами Ерміта,
але для них не існує тричленного рекурентного співвідношення, отже, вони не утворюють
ортогональну систему.
Робота підтримана грантом H2020-MSCA-RISE-2019, № 873071 (SOMPATY: Spectral
Optimization: From Mathematics to Physics and Advanced Technology).
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Hahn W. Über Orthogonalpolynome mit drei Parametern. Deutsche Math. 1939. 5. P. 273—278.
2. Krall A.M. Orthogonal polynomials satisfying fourth order differential equations. Pr. Roy. Soc. Edinb. 1981.
87 A. P. 271—288. https://doi.org/10.1017/S0308210500015213
3. Littlejohn L.L. The Krall polynomials: a new class of orthogonal polynomials. Quaest. Math. 1982. 5. P. 255—
265. https://doi.org/10.1080/16073606.1982.9632267
4. Макаров В.Л. Ортогональные многочлены и разностные схемы с точными и явными спектрами: дис.
д-ра. физ.-мат. наук. Киевский государственный университет им. Т.Г. Шевченко, Киев, 1976.
5. Gavrilyuk I., Makarov V. Resonant equations with classical orthogonal polynomials. I. Укр. мат. журн. 2019.
71, № 2. С. 190—209.
6. Gavrilyuk I., Makarov V. Resonant equations with classical orthogonal polynomials. II. Укр. мат. журн. 2019.
71, № 4. C. 455—470.
7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Москва: Наука, 1974. 296 с.
Надійшло до редакції 25.02.2020
REFERENCES
1. Hahn, W. (1939). Über Orthogonalpolynome mit drei Parametern. Deutsche Math., 5, pp. 273-278.
2. Krall, A. M. (1981). Orthogonal polynomials satisfying fourth order differential equations. Pr. Roy. Soc.
Edinb., 87A, pp. 271-288. https://doi.org/10.1017/S0308210500015213
3. Littlejohn, L. L. (1982). The Krall polynomials: a new class of orthogonal polynomials. Quaest. Math., 5,
pp. 255-265. https://doi.org/10.1080/16073606.1982.9632267
4. Makarov, V. L. (1976). Orthogonal polynomials and finite difference schemes with exact spectrum given in
closed form (Extended abstract of Doctor thesis). Taras Shevchenko State University of Kyiv, Ukraine (in
Russian).
5. Gavrilyuk, I. & Makarov, V. (2019). Resonant equations with classical orthogonal polynomials. I. Ukr. Mat.
Zhurn., 71, No. 2, pp. 190-209.
6. Gavrilyuk, I. & Makarov, V. (2019). Resonant equations with classical orthogonal polynomials. II. Ukr. Mat.
Zhurn., 71, No. 4, pp. 455-470.
7. Bateman, H. & Erdélyi, A. (1974). Higher trancendental functions. (Vol. 2). Moscow: Nauka (in Russian).
Received 25.02.2020
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 7
Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв’язки, пов’язані з класичними...
V.L. Makarov
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: makarovimath@gmail.com
HIGHER-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS
WITH POLYNOMIAL SOLUTIONS ASSOCIATED
WITH CLASSICAL ORTHOGONAL POLYNOMIALS
A constructive algorithm for constructing differential equations of higher even orders is found, whose solu-
tions are generalized classical orthogonal polynomials. For these polynomials, an explicit image, a three-term
recurrence relation, and the appearance of orthogonality conditions with respect to the corresponding distri-
bution function are obtained. The solutions of the corresponding resonance equations are given.
Keywords: higher-order differential equations, classical orthogonal polynomials, Legendre, Laguerre, and Her-
mite polynomials, orthogonality relation, three-term recurrence relation, resonance equations.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-173045 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:51:20Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаров, В.Л. 2020-11-19T17:39:06Z 2020-11-19T17:39:06Z 2020 Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв'язки, пов'язані з класичними ортогональними поліномами / В.Л. Макаров // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 7. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.07.003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173045 517.587 Знайдено конструктивний алгоритм побудови диференціальних рівнянь вищих парних порядків, розв'язками яких є узагальнені класичні ортогональні поліноми. Для цих поліномів одержано явне зображення,
 тричленне рекурентне співвідношення та вигляд умов ортогональності залежно від відповідної функції розподілу. Наведено розв'язки відповідних резонансних рівнянь. A constructive algorithm for constructing differential equations of higher even orders is found, whose solutions
 are generalized classical orthogonal polynomials. For these polynomials, an explicit image, a three-term
 recurrence relation, and the appearance of orthogonality conditions with respect to the corresponding distribution
 function are obtained. The solutions of the corresponding resonance equations are given. Робота підтримана грантом H2020-MSCA-RISE-2019, № 873071 (SOMPATY: Spectral
 Optimization: From Mathematics to Physics and Advanced Technology). uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв'язки, пов'язані з класичними ортогональними поліномами Higher-order differential equations with polynomial solutions associated with classical orthogonal polynomials Article published earlier |
| spellingShingle | Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв'язки, пов'язані з класичними ортогональними поліномами Макаров, В.Л. Математика |
| title | Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв'язки, пов'язані з класичними ортогональними поліномами |
| title_alt | Higher-order differential equations with polynomial solutions associated with classical orthogonal polynomials |
| title_full | Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв'язки, пов'язані з класичними ортогональними поліномами |
| title_fullStr | Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв'язки, пов'язані з класичними ортогональними поліномами |
| title_full_unstemmed | Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв'язки, пов'язані з класичними ортогональними поліномами |
| title_short | Диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв'язки, пов'язані з класичними ортогональними поліномами |
| title_sort | диференціальні рівняння вищих порядків, які мають поліноміальні розв'язки, пов'язані з класичними ортогональними поліномами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173045 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl diferencíalʹnírívnânnâviŝihporâdkívâkímaûtʹpolínomíalʹnírozvâzkipovâzanízklasičnimiortogonalʹnimipolínomami AT makarovvl higherorderdifferentialequationswithpolynomialsolutionsassociatedwithclassicalorthogonalpolynomials |