Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною
Розглянуто крайову задачу теорії пружності для скінченного ортотропного тіла із похилою крайовою тріщиною. Тіло перебуває під дією одновісного навантаження, а тріщина розташована вздовж однієї з осей ортотропії матеріалу під кутом до напрямку прикладання навантаження.
 Для дослідження механі...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173049 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною / М.Ф. Селіванов, В.В. Процан // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 7. — С. 32-42. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860246205402972160 |
|---|---|
| author | Селіванов, М.Ф. Процан, В.В. |
| author_facet | Селіванов, М.Ф. Процан, В.В. |
| citation_txt | Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною / М.Ф. Селіванов, В.В. Процан // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 7. — С. 32-42. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто крайову задачу теорії пружності для скінченного ортотропного тіла із похилою крайовою тріщиною. Тіло перебуває під дією одновісного навантаження, а тріщина розташована вздовж однієї з осей ортотропії матеріалу під кутом до напрямку прикладання навантаження.
Для дослідження механізмів зростання тріщини використано модель зони зчеплення (когезійну модель)
для змішаного режиму руйнування. Закон зчеплення–відриву передбачає зв'язаність нормальних і тангенціальних зчеплень у потенціальній формі. Використано два закони, які будуються на основі законів простих
режимів руйнування (нормальний відрив та поперечний зсув) з різними формами змішаності, але без параметрів змішаності режимів.
Побудовано алгоритм розв'язування задачі для визначення параметрів граничної рівноваги тріщини
методом скінченних елементів. Наведено приклад обчислення параметрів граничного стану та відповідного
поля напружень для двох когезійних законів змішаного режиму руйнування.
Досліджено вплив форми змішаності когезійних законів на параметри граничного стану. Для дослідженого діапазону параметрів ортотропії встановлено, що форма змішаності двох поширених в літературі
когезійних законів дає похибку у визначенні граничного рівня навантаження менше п'яти відсотків. Ця розбіжність зменшується із зменшенням довжини зчеплення.
The boundary-value problem of the theory of elasticity for a finite orthotropic plate with an oblique edge crack
is considered. A tensile load is applied to a cracked body, and the crack is located along the orthotropy axis, which
is not aligned with the loading direction.
A cohesive zone model for the mixed fracture mode is used to study crack growth mechanisms. The traction—
separation laws are represented in the potential form. In this case, normal and tangential tractions are
given by partial derivatives of the dissipation potential with respect to the corresponding separations. Two
cohesive laws of different mixity forms are constructed basing on the pure-mode fracture models (normal separation
and transverse shear) with no mode mixity parameters.
An algorithm for the determination of critical state parameters of a crack using the finite-element method is
constructed. An example of the calculation of critical load parameters and the corresponding stress field for
the two cohesive laws of mixed-mode fracture is given.
The impact of the mode-mixity form on the critical state parameters is studied. For the investigated range of
orthotropic parameters, it is established that the mode-mixity of two cohesive laws well-known in the literature
gives an error in determining the critical load to be less than five percent. This discrepancy decreases simultaneous ly with the cohesive length.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:37:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
32
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 7: 32—42
Ц и т у в а н н я: Селіванов М.Ф., Процан В.В. Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для
прог нозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною.
Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 7. С. 32–42. https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.07.032
Вступ і постановка задачі. Задача про прямолінійну крайову тріщину є основною для тес-
тування нових підходів механіки руйнування, яка враховує різноманітні аспекти руйнуван-
ня, одним з яких є наявність зони передруйнування в околі вершини тріщини. Дослідження
цього типу руйнування почались в другій половині 70-х років ХХ сторіччя для випадку роз-
ташування тріщини вздовж нормалі до півплощини, головна увага була приділена знахо-
дженню когезійної довжини для моделі Дагдейла [1]. Ця модель базується на припущенні
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.07.032
УДК 539.421
М.Ф. Селіванов, В.В. Процан
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: mfs@ukr.net, overfiled@gmail.com
Порівняння двох потенціальних когезійних моделей
для прогнозування граничного рівня навантаження
скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною
Представлено академіком НАН України Я.М. Григоренком
Розглянуто крайову задачу теорії пружності для скінченного ортотропного тіла із похилою крайовою трі-
щиною. Тіло перебуває під дією одновісного навантаження, а тріщина розташована вздовж однієї з осей ор-
тотропії матеріалу під кутом до напрямку прикладання навантаження.
Для дослідження механізмів зростання тріщини використано модель зони зчеплення (когезійну модель)
для змішаного режиму руйнування. Закон зчеплення–відриву передбачає зв’язаність нормальних і танген-
ціальних зчеплень у потенціальній формі. Використано два закони, які будуються на основі законів простих
режимів руйнування (нормальний відрив та поперечний зсув) з різними формами змішаності, але без па-
раметрів змішаності режимів.
Побудовано алгоритм розв’язування задачі для визначення параметрів граничної рівноваги тріщини
методом скінченних елементів. Наведено приклад обчислення параметрів граничного стану та відповідного
поля напружень для двох когезійних законів змішаного режиму руйнування.
Досліджено вплив форми змішаності когезійних законів на параметри граничного стану. Для дослідже-
ного діапазону параметрів ортотропії встановлено, що форма змішаності двох поширених в літературі
когезійних законів дає похибку у визначенні граничного рівня навантаження менше п’яти відсотків. Ця роз-
біжність зменшується із зменшенням довжини зчеплення.
Ключові слова: змішаний режим руйнування, похила крайова тріщина, тріщина в ортотропному тілі, по-
тенціальний закон зчеплення–відриву.
МЕХАНІКА
33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 7
Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження...
сталості інтенсивності сил зчеплення вздовж фіктивного розрізу на продовженні лінії трі-
щини (цей розріз моделює зону передруйнування) і надає аналітичні вирази двох головних
параметрів нелінійної механіки руйнування — розкриття у вершині тріщини і розмір зони
передруйнування. У випадку залежності інтенсивності когезійної взаємодії від відстані до
вершини фізичної тріщини [2], модель часто називають моделлю Баренблата—Дагдейла.
Робота [3] розпочала новий етап розвитку механіки руйнування шляхом врахування за-
лежності когезійної взаємодії від розкриття тріщини, ( )coh Tσ = Δ . Таку модель назвали ко-
гезійною моделлю тріщини (або моделлю зони зчеплення), а функцію T — законом зчеплен-
ня—відриву (ЗЗВ). В рамках цієї моделі для когезійних законів, близьких до рівномірного
[4], використовується той самий критерій руйнування, що і для моделі Дагдейла: повне
руйнування має місце якщо розкриття стає більшим за характеристичну довжину ∗Δ .
Щоб поширити когезійну модель тріщини на змішаний режим руйнування можна вва-
жати нормальні та тангенціальні когезійні сили функцією нормального ( IΔ ) та тангенціаль-
ного ( IIΔ ) розкриття [5]: I( )coh Tσ = Δ , I( )coh Tτ = Δ ( I II( , )Δ = Δ Δ ). Для потенціальних мо-
делей співвідношення між силами зчеплення і розкриттям будується поєднанням форм
зчеплення—відриву простих режимів руйнування за допомогою потенціальної функції Ψ
( I I/T = ∂Ψ ∂Δ , II II/T = ∂Ψ ∂Δ ).
При дослідженні відшарування використовуються внутрішні закони зчеплення—від-
риву (когезійна взаємодія для простого режиму руйнування відсутня за нульового розкрит-
тя), в той час як у випадку суцільних матеріалів зовнішні (жорсткі) моделі є фізично корек-
тними. Останні з вказаних моделей характеризуються максимально можливою когезійною
взаємодією за нульового розкриття (рис 1, а). При використанні аналітичних методів така
властивість забезпечує виконання умови скінченності напружень [6—9]; використання
зовнішнього закону зчеплення—відриву вимагає знаходження довжини зчеплення з умови
скінченності напружень, що ускладнює розв’язання задачі [9]. Якщо довжину зчеплення
взяти більшою за необхідну — розв’язок задачі розбігається, якщо більшою — розв’язок не
буде фізично коректним [10]. В першому випадку уникнути явного знаходження довжини
зчеплення можна наближенням закону зовнішнього типу законом внутрішнього типу з
достатньо малою ділянкою зміцнення (такий підхід буде використано в даній роботі).
Гранична задача для потенціальної функції може включати наступні умови:
1) енергія руйнування нормальним відривом
I
I I I I
0
( , 0)T d
∗Δ
Δ Δ = φ∫ ;
2) енергія руйнування зсувом
II
II II II II
0
( , 0)T d
∗Δ
Δ Δ = φ∫ ;
3) повне руйнування нормальним відривом та зсувом відбувається за нульового нор-
мального зчеплення: I I II( , ) 0T ∗Δ Δ = (а), I I II( , ) 0T ∗Δ Δ = (б);
4) повне руйнування нормальним відривом та зсувом відбувається за нульового тан-
генціального зчеплення: II I II( , ) 0T ∗Δ Δ = (а), II I II( , ) 0T ∗Δ Δ = (б).
В [11] для моделювання поля когезійних напружень було запропоновано потенціал
I II I I II II II( , ) [1 (1 ) ] [1 (1 ) ](1 )γ δ δΨ Δ Δ = φ − −Δ +φ − −Δ −Δ . (1)
34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 7
М.Ф. Селіванов, В.В. Процан
Тут введено позначення I I I/ ∗Δ = Δ Δ та II II II/ ∗Δ = Δ Δ для відносних відривів. Харак те рис-
тики критичного розкриття I, II
∗Δ визначаються параметрами руйнування відповідних
простих режимів руйнування [12].
Потенціал (1) визначено на верхній півплощині I 0Δ � , що забезпечує відсутність пе-
рекриття берегів; γ і δ є параметрами форми простих режимів руйнування. Перепишемо
потенціал у вигляді
I II I 1 I II 1 I 2 II
1 2
( , ) ( ) [1 ( )] ( )
( ) 1 (1 ) , ( ) 1 (1 ) ,
f f f
f x x f y yγ δ
Ψ Δ Δ = φ Δ +φ − Δ Δ
= − − = − −
,
(2)
таким чином узагальнивши його на інші прості режими руйнування з функціями форми
1, 2f . Потенціал (2) генерує поле когезійної взаємодії двох типів в залежності від знака вели-
чини I IIφ −φ . Далі в цій роботі вважатимемо, що енергія руйнування з нормальним відривом
менша за енергію зсувного режиму ( I IIφ < φ ) і розглянемо два типи потенціальних функцій.
Потенціал першого типу
I 1 I 2 II II 2 II( ) ( )[1 ( )] ( )f f fΨ Δ = φ Δ − Δ +φ Δ (3)
та другого потенціал типу
I 1 I II 1 I 2 II( ) ( ) [1 ( )] ( )f f fΨ Δ = φ Δ +φ − Δ Δ . (4)
Потенціал (3) задовільняє всі граничні умови окрім 4а. Руйнування нормальним від-
ривом відбувається за ненульового тангенціального зчеплення. Таким чином, для потен-
ціалу першого типу умова II I II( , ) 0T ∗Δ Δ = не задовольняється, що вважається головним не-
доліком моделі [13].
Потенціал (4) забезпечує як нульове тангенціальне зчеплення, коли відбувається повне
руйнування в нормальному та дотичному напрямках, так і нульове нормальне зчеплення,
коли відбувається повне руйнування нормальним відривом. Умови 3 і 4, таким чином, ви-
конуються. Єдиною вадою потенціалу є те, що величина нормального зчеплення стає
від’ємною для величин тангенціальних відривів, близьких до критичних. Щоб позбутися
цієї вади в [11] було запропоновано змінити умову I I II( , ) 0T ∗Δ Δ = на I I II( , ) 0T Δ Δ = , де
II II
∗Δ < Δ .
Метою даної роботи є виявлення розбіжностей між прогнозами критичного наванта-
ження, що дають потенціали двох розглянутих типів за однакових характеристик тріщинос-
тійкості. Іншими словами, треба показати як впливає розбіжність у формі змішаності двох
законів на критичне значення зовнішнього навантаження.
З цією метою проведемо МСЕ-аналіз в рамках когезійної моделі тріщини для скінчен-
ної пластини. Розглянемо тріщину, напрямок якої збігається з напрямком однієї з осей ор-
тотропії матеріалу пластини, а напрямок ортотропії не збігається з напрямком прикладання
навантаження (рис. 1, б).
Розрахунки проведемо для пластини шириною A і довжиною B з крайовою тріщиною,
розташованою під кутом α відносно нормалі до границі тіла. Пластину в умовах плоского
напруженого стану (з одиничною товщиною) навантажено розтягувальним навантаженням
σ . Об’ємні сили відсутні. Неушкоджений матеріал вважаємо ортотропним лінійно пруж-
35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 7
Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження...
ним з модулями 11E , 22E , 21ν і 12G . Тіло знаходиться в однорідному температурному полі,
переміщення є малими.
На рис. 1, б зображена область пластини, Ω . Приймемо, що на частині поверхні тіла
1∂ Ω задано переміщення îu , а на частині 2∂ Ω прикладені поверхневі сили it . Система рів-
нянь для визначення напружено-деформованого стану тіла:
, , ,
1
, 2
1
0, ( ), ,
2
ˆ , ,
, ,
,
ij j ij i j j i i
i i i
ij j j i i
ij ijkl kl
u u x
u u x
n t x
D
σ = ε = + ∈Ω
= ∈∂ Ω
σ = ∈∂ Ω
σ = ε
(5)
де ijσ , ijε і ijklD — компоненти тензорів напружень, деформацій та пружних сталих; iu , it і
in — компоненти векторів переміщень, поверхневих сил та одиничного вектора нормалі до
поверхні тіла,
2 1 2
1 II 1 II 2 I 1 2
2 I 1 II 2 I 1 2
2 1 2
ˆ 0, [0, ], 0
(2 / ,2 / ), [ , ], 0
(2 / ,2 / ), [ , ], 0
, [0, ], ,
u x A x
t T u u x x
t T u u x x
t x A x B
∗ ∗
∗ ∗
= ∈ =
′ ′ ′ ′ ′= Δ Δ ∈ λ β = ±
′ ′ ′ ′ ′= Δ Δ ∈ λ β = ±
= σ ∈ =
(6)
де iu′ і it ′ — компоненти векторів переміщень і поверхневих сил в системі координат Cx y′ ′ ,
/ cosAβ = α , I, IIT проілюстровано на рис. 1, в. Для визначення граничного навантаження
систему (6) треба доповнити рівнянням
Рис. 1
36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 7
М.Ф. Селіванов, В.В. Процан
1 II 2 Imax{2 ( , 0) / , 2 ( , 0) / } 1u u∗ ∗′ ′λ Δ λ Δ = .
У випадку, коли напрямок осей ортотропії збігається з напрямком координатних осей,
зв’язок деформацій з напруженнями має форму
1 1
11 21 2211 11
1 1 1 1
22 22 12 11 22
1
12 12 12
0
[ ] , [ ] 0
0 0
E E
D D E E
G
− −
− − − −
−
⎡ ⎤−νε σ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ε = σ = −ν⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪γ σ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎣ ⎦
, (7)
причому 21 22 12 11/ /E Eν = ν .
В [8, 12] встановлено, що незалежними параметрами ортотропії при побудові розв’язку
задачі теорії тріщин є наступні сталі:
11 11
2 2
, ,
2
nk n m
M
E E k
= ρ = ,
де
11 11
12
22 12
, 2 ( 2 )
E E
k m n m k
E G
= = − ν = +
є коефіцієнтами характеристичного рівняння теорії пружності ортотропного тіла, 4 2 2 0m kμ + μ + = .
Незалежними параметрами ортотропії оберемо M , k , ρ . Обертання (7) дає матрицю
пружності, яку запишемо через ці сталі та сталу 21ν (її можна довільно обрати з множини
можливих значень)
21
2
212 2
21 2 2
21
21
1 0
2 2 (1 )
[ ] 0
(1 )
1
0 0
2 ( )
k
D k
M k
k
k k
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥ν⎢ ⎥+ ρ ⎢ ⎥= ν
⎢ ⎥− ν
⎢ ⎥− ν
⎢ ⎥ρ+ ν⎣ ⎦
.
Потенціальні когезійні закони. Визначимо два закони для дослідження змішаного ре-
жиму руйнування шляхом поєднання законів для простих режимів руйнування (нормаль-
ний відрив та поперечний зсув) без параметрів змішаності.
Закон першого типу. Визначимо поле когезії за допомогою потенціалу (3):
1 I
1 1 1 1 I 10
max I
1 II
2 2 2 2 II 20
max II
( ) ( ) , ( ) ( , 0), ,
( ) ( ) , ( ) (0, ), .
x
y
f x c t d t x T x c
f y c t d t y T y c
−
∗
−
∗
φ
= ξ ξ = =
σ Δ
φ
= ξ ξ = =
τ Δ
∫
∫
Тут I, IIT є нормальними та тангенціальними зчепленнями, які визначаються частинними
похідними потенціалу:
37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 7
Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження...
I 1 I 2 II II 1 I 2 II( ) ( )[1 ( )], ( ) [1 ( )] ( )T t f T f tΔ = Δ − Δ Δ = −φ Δ Δ , (8)
де I II/ 1φ = φ φ < — відношення двох енергій руйнування. Параметри ic характеризують
форми когезійних законів простих режимів руйнування; розглядатимемо такі форми за-
конів, для яких ці параметри ненабагато менші за одиницю (одиниця відповідає рівномір-
ному закону). Як було зазначено у першому розділі, внаслідок недосконалості граничних
умов для побудови потенціалу сил когезії, повне руйнування нормальним відривом відбу-
вається при ненульовому тангенційному зчепленні ( II II(1, ) 0T Δ ≠ ), що не відповідає фізич-
ній природі руйнування.
При використанні числового методу розв’язання нелінійної системи МСЕ, побудова-
ної для визначальних рівнянь (5)—(6), важливо знати матрицю Якобі цієї системи. Згідно з
(8), частинні похідні функцій когезійного закону можна подати у вигляді
1
I 1 2 II 1 1 2
1
I 2 1 2 II 1 2
{ ( , )} ( )[1 ( )], { ( , )} ( ) ( ),
{ ( , )} ( ) ( ), { ( , )} [1 ( )] ( ).
x x
y y
T x y t x f y T x y c t x t y
T x y c t x t y T x y f x t y
−
−
′ ′ ′= − = − φ
′ ′ ′= − = −φ
Для числових прикладів, наведених нижче, згладжена трапецоїдальна форма викорис-
тана для законів простих режимів руйнування:
1 1
1 1 1
1 2
2 3
2 2 2
(2 ), [0, ),
( ) 1, [ , ],
(1 ) (1 2 3 )(1 ) , ( ,1]
i i i
i i i
i i i
a x a x x a
t x x a a
x x a a x a
− −
−
⎧ − ∈
⎪
= ∈⎨
⎪ − + − − ∈⎩
(9)
і 1 2
1
(3 2 3 )
6i i ic a a= − + ,
1 2 1
1 1 1
1 1 2
1
3 4 4
2 1 2 2
3 3 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1
1 , [0, ),
3
1
, [ , ],
3
1 1( ) (1 ) ( )
3 2
(1 )( ) 3 ( )
(1 3 )( ) , ( ,1],
i i i
i i i
i i
i i i i
i i i i
i i i
a x a x x a
x a x a a
f x c a a a x a
a x a a x a
a x a x a
− −
−
−
⎧ ⎛ ⎞− ∈⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪
⎪
− ∈⎪
⎪⎪ ⎡= ⎨ − + − −⎢⎪ ⎣
⎪
− + − + −⎪
⎪ ⎤⎪+ − ∈⎥⎪ ⎦⎩
1 1
1 1 1
1 2
3
2 2 2
2 (1 ), [0, ),
( ) 0, [ , ]
6(1 )( )(1 ) , ( ,1].
i i i
i i i
i i i
a a x x a
t x x a a
x x a a x a
− −
−
⎧ − ∈
⎪
= ∈′ ⎨
⎪− − − − ∈⎩
Закон другого типу. Розглянемо поле когезії, що генерує потенціал (4),
38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 7
М.Ф. Селіванов, В.В. Процан
1
I 1 I 2 II II 1 I 2 II( ) ( )[1 ( )], ( ) [1 ( )] ( )T t f T f t−Δ = Δ −φ Δ Δ = − Δ Δ . (10)
Частинні похідні цих функцій
1 1
I 1 2 II 1 1 2
1 1
I 2 1 2 II 1 2
{ ( , )} ( )[1 ( )], { ( , )} ( ) ( ),
{ ( , )} ( ) ( ), { ( , )} [1 ( )] ( ).
x x
y y
T x y t x f y T x y c t x t y
T x y c t x t y T x y f x t y
− −
− −
′ ′ ′= −φ = −
′ ′ ′= − φ = −
Потенціал дає від’ємні нормальні когезійні зусилля для великих тангенціальних відри-
вів. Щоб виправити цей недолік було запропоновано введення нового модельного пара-
метра IIΔ [11, 13] таким чином, щоб
2 II( )f Δ = φ
Рис. 2
39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 7
Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження...
і обчислювати нормальне зчеплення згідно з (10) тільки коли II IIΔ < Δ , для інших значень
IIΔ ця величина покладається нулем:
I I II II( ) 0, 0 1, 1T Δ = Δ Δ Δ� � � � . (11)
Наприклад, для простого режиму руйнування з формою (9), для 1 0ia = отримаємо
II 2cΔ = φ , якщо 2iaφ < .
Модифікація поля когезії (10) за допомогою (11) призводить до розбіжностей між енер-
гією руйнування модифікованого закону і енергією, що задається потенціалом (4) для стану
граничної рівноваги (між II(1, )Ψ Δ і I( ,1)Ψ Δ ).
Числові результати. Для побудови сітки методу скінченних елементів використано де-
сятиточкові трикутні елементи з ущільненням вздовж лінії розташування тріщини (рис. 1, г).
Рис. 3
Рис. 4
40 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 7
М.Ф. Селіванов, В.В. Процан
На рис. 2 проілюстровано поле відносного напруження 22 22 max/σ = σ σ (перший рядок
рисунків, де штрихами проілюстровано розкриття в зоні зчеплення) в стані граничної рів-
новаги, відповідні величини відносного критичного навантаження ( * *
max/σ = σ σ ), віднос-
них значень розкриття та зчеплення (другий рядок рисунків). Розв’язки побудовано для
когезійного закону другого типу, трьох довжин фізичної тріщини cos 10,15,20λ α = см при
наступних значеннях параметрів:
1) параметри тріщиностійкості I, II {200, 300}φ = Н/м, max max{ , } {4, 5}σ τ = МПа, 1 0,005ia = ,
2 {0,7, 0,6}ia = ;
2) параметри ортотропії 42 10M −= ⋅ МПа–1, 2 10k = , 4ρ = ;
3) геометричні параметри 0,5A = м, 0,8B = м, 0,1C = м, 50α = .
У всіх трьох прикладах руйнування відбувається нормальним відривом за порівняно
незначного тангенціального розкриття.
На рис. 3 наведено відносні розкриття та зчеплення, отримані для когезійного закону
першого типу з тими самими параметрами, що і в попередньому числовому прикладі. При
повному руйнуванні нормальним відривом відносне тангенціальне зчеплення в вершині
фізичної тріщини ( 1x′ = λ ) приймає значення φ .
На рис. 4 представлені залежності безрозмірного критичного навантаження від дов-
жини тріщини. Графіки побудовано для двох кутів нахилу тріщини, для значень cosλ α з
інтервалу від 10 до 20 см та двох значень параметра ортотропії M . Зі збільшенням цього
параметра зменшується когезійна довжина і разом з нею розбіжності між результатами, що
дають два когезійних закони. Для першого використаного значення M розбіжність для
наведених результатів не перевищує 4,9 %. Зі зменшенням кута нахилу тріщини величина
розбіжності між двома прогнозами зменшується. Так, для 30α = вона не перевищує 1,6 %.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits. J. Mech. Phys. Solids. 1960. 8. P. 100—104. https://doi.
org/10.1016/0022-5096(60)90013-2
2. Barenblatt G.I. The mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture. Adv. Appl. Mech. 1962. 7.
P. 55—129, https://doi.org/10.1016/S0065-2156(08)70121-2
3. Hillerborg A., Modeer M., Petersson P.E. Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means
of fracture mechanics and finite elements. Cem. Concr. Res. 1976. 6, P. 773—81. https://doi.org/10.1016/
0008-8846(76)90007-7
4. Selivanov M.F., Chornoivan Y.O. A semi-analytical solution method for problems of cohesive fracture and
some of its applications. Int. J. Fract. 2018. 212. № 1. P. 113—121. https://doi.org/10.1007/s10704-018-
0295-6
5. Needleman A. A continuum model for void nucleation by inclusion debonding. J. Appl. Mech. 1987. 54.
P. 525—31. https://doi.org/10.1115/1.3173064
6. Селіванов М.Ф. Крайова тріщина із зоною зчеплення. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 3. С. 46—54.
https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.03.046
7. Селіванов М.Ф. Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації
син гулярного інтегрального рівняння. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 5. С. 34—43. https://doi.
org/10.15407/dopovidi2019.05.034
8. Селіванов М.Ф. An edge crack with cohesive zone in orthotropic body. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019.
№ 6. С. 25—34. https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.06.025
9. Selivanov M.F. Subcritical and critical states of a crack with failure zones. Appl. Math. Model. 2019. 72.
P. 104—128. 10.1016/j.apm.2019.03.013
41ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 7
Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження...
10. Селіванов М.Ф., Процан В.В. Вплив неврахування умови плавності змикання берегів тріщини при ви-
значенні критичного навантаження. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 3. С. 28—35. https://doi.
org/10.15407/dopovidi2020.03.028
11. Park K., Paulino G.H., Roesler J.R. A unified potential-based cohesive model of mixed-mode fracture. J.
Mech. Phys. Solids. 2009. 57. № 6, P. 891—908. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2008.10.003
12. Park K., Paulino G.H. Cohesive zone models: A critical review of traction-separation relationships across
fracture surfaces. Appl. Mech. Reviews. 2013. 64. № 6. 060802—060802—20. https://doi.org/10.1115/
1.4023110
13. Селіванов М.Ф., Чорноіван Ю.О. Використання моделі складної зони зчеплення при дослідженні
крайової тріщини змішаного режиму руйнування в ортотропному тілі. Допов. Нац. акад. наук Укр.
2019. № 11. С. 31—40. https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.11.031
Надійшло до редакції 28.04.2020
REFERENCES
1. Dugdale, D. S. (1960). Yielding of steel sheets containing slits. J. Mech. Phys. Solids, 8, pp. 100-104, https://
doi.org/10.1016/0022-5096(60)90013-2
2. Barenblatt, G. I. (1962). The mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture. Adv. Appl. Mech.,
7, pp. 55-129. https://doi.org/10.1016/S0065-2156(08)70121-2
3. Hillerborg, A., Modeer, M. & Petersson, P. E. (1976). Analysis of crack formation and crack growth in concre-
te by means of fracture mechanics and finite elements. Cem. Concr. Res., 6, pp. 773-81, https://doi.
org/10.1016/0008-8846(76)90007-7
4. Selivanov, M. F. & Chornoivan, Y. O. (2018). A semi-analytical solution method for problems of cohesive
fracture and some of its applications. Int. J. Fract., 212, No. 1, pp. 113-121. https://doi.org/10.1007/s10704-
018-0295-6
5. Needleman, A. (1987). A continuum model for void nucleation by inclusion debonding. J. Appl. Mech., 54, pp.
525-31. https://doi.org/10.1115/1.3173064
6. Selivanov, M. F. (2019). An edge crack with cohesive zone. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 3, pp. 46-54
(in Ukrainian). https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.05.046
7. Selivanov, M. F. (2019). Solving a problem on an edge crack with cohesive zone by the regularization of a
singular integral equation. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 5, pp. 34-43 (in Ukrainian). https://doi.
org/10.15407/dopovidi2019.05.034
8. Selivanov, M. F. (2019). An edge crack with cohesive zone in orthotropic body. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr.,
No. 6, pp. 25-34 (in Ukrainian). https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.06.025
9. Selivanov, M. F. (2019). Subcritical and critical states of a crack with failure zones. Appl. Math. Model., 72,
pp. 104-128. https://doi.org/10.1016/j.apm.2019.03.013
10. Selivanov, M. F. & Protsan, V. V. (2020). The impact of neglecting the smooth crack closure condition when
determining the critical load. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 3, pp. 28-35 (in Ukrainian). https://doi.
org/10.15407/dopovidi2020.03.028
11. Park, K., Paulino, G. H. & Roesler, J. R. (2009). A unified potential-based cohesive model of mixed-mode
fracture. J. Mech. Phys. Solids, 57, No. 6, pp. 891-908. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2008.10.003
12. Park, K. & Paulino, G. H. (2013). Cohesive zone models: A critical review of traction-separation relation-
ships across fracture surfaces. Appl. Mech. Reviews, 64, No. 6, 060802—060802—20. https://doi.org/10.1115/
1.4023110
13. Selivanov, M. F. & Chornoivan, Y. O. (2019). Application of the complex cohesive zone model to the edge
mixed-mode crack problem for orthotropic media. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 11, pp. 31-40. https://
doi.org/10.15407/dopovidi2019.11.031
Received 28.04.2020
42 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 7
М.Ф. Селіванов, В.В. Процан
M.F. Selivanov, V.V. Protsan
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: mfs@ukr.net, overfiled@gmail.com
COMPARISON OF TWO POTENTIAL-BASED
COHESIVE MODELS TO PREDICT THE CRITICAL LOAD
OF A FINITE ORTHOTROPIC PLATE WITH OBLIQUE CRACK
The boundary-value problem of the theory of elasticity for a finite orthotropic plate with an oblique edge crack
is considered. A tensile load is applied to a cracked body, and the crack is located along the orthotropy axis, which
is not aligned with the loading direction.
A cohesive zone model for the mixed fracture mode is used to study crack growth mechanisms. The trac-
tion—separation laws are represented in the potential form. In this case, normal and tangential tractions are
given by partial derivatives of the dissipation potential with respect to the corresponding separations. Two
cohesive laws of different mixity forms are constructed basing on the pure-mode fracture models (normal sepa-
ration and transverse shear) with no mode mixity parameters.
An algorithm for the determination of critical state parameters of a crack using the finite-element method is
constructed. An example of the calculation of critical load parameters and the corresponding stress field for
the two cohesive laws of mixed-mode fracture is given.
The impact of the mode-mixity form on the critical state parameters is studied. For the investigated range of
orthotropic parameters, it is established that the mode-mixity of two cohesive laws well-known in the literature
gives an error in determining the critical load to be less than five percent. This discrepancy decreases simulta-
ne ous ly with the cohesive length.
Keywords: mixed-mode fracture, slanted edge crack, crack in orthotropic body, potential-based traction—sepa-
ration law.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-173049 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:37:31Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Селіванов, М.Ф. Процан, В.В. 2020-11-19T17:41:12Z 2020-11-19T17:41:12Z 2020 Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною / М.Ф. Селіванов, В.В. Процан // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 7. — С. 32-42. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.07.032 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173049 539.421 Розглянуто крайову задачу теорії пружності для скінченного ортотропного тіла із похилою крайовою тріщиною. Тіло перебуває під дією одновісного навантаження, а тріщина розташована вздовж однієї з осей ортотропії матеріалу під кутом до напрямку прикладання навантаження.
 Для дослідження механізмів зростання тріщини використано модель зони зчеплення (когезійну модель)
 для змішаного режиму руйнування. Закон зчеплення–відриву передбачає зв'язаність нормальних і тангенціальних зчеплень у потенціальній формі. Використано два закони, які будуються на основі законів простих
 режимів руйнування (нормальний відрив та поперечний зсув) з різними формами змішаності, але без параметрів змішаності режимів.
 Побудовано алгоритм розв'язування задачі для визначення параметрів граничної рівноваги тріщини
 методом скінченних елементів. Наведено приклад обчислення параметрів граничного стану та відповідного
 поля напружень для двох когезійних законів змішаного режиму руйнування.
 Досліджено вплив форми змішаності когезійних законів на параметри граничного стану. Для дослідженого діапазону параметрів ортотропії встановлено, що форма змішаності двох поширених в літературі
 когезійних законів дає похибку у визначенні граничного рівня навантаження менше п'яти відсотків. Ця розбіжність зменшується із зменшенням довжини зчеплення. The boundary-value problem of the theory of elasticity for a finite orthotropic plate with an oblique edge crack
 is considered. A tensile load is applied to a cracked body, and the crack is located along the orthotropy axis, which
 is not aligned with the loading direction.
 A cohesive zone model for the mixed fracture mode is used to study crack growth mechanisms. The traction—
 separation laws are represented in the potential form. In this case, normal and tangential tractions are
 given by partial derivatives of the dissipation potential with respect to the corresponding separations. Two
 cohesive laws of different mixity forms are constructed basing on the pure-mode fracture models (normal separation
 and transverse shear) with no mode mixity parameters.
 An algorithm for the determination of critical state parameters of a crack using the finite-element method is
 constructed. An example of the calculation of critical load parameters and the corresponding stress field for
 the two cohesive laws of mixed-mode fracture is given.
 The impact of the mode-mixity form on the critical state parameters is studied. For the investigated range of
 orthotropic parameters, it is established that the mode-mixity of two cohesive laws well-known in the literature
 gives an error in determining the critical load to be less than five percent. This discrepancy decreases simultaneous ly with the cohesive length. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною Comparison of two potential-based cohesive models to predict the critical load of a finite orthotropic plate with oblique crack Article published earlier |
| spellingShingle | Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною Селіванов, М.Ф. Процан, В.В. Механіка |
| title | Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною |
| title_alt | Comparison of two potential-based cohesive models to predict the critical load of a finite orthotropic plate with oblique crack |
| title_full | Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною |
| title_fullStr | Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною |
| title_full_unstemmed | Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною |
| title_short | Порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною |
| title_sort | порівняння двох потенціальних когезійних моделей для прогнозування граничного рівня навантаження скінченної ортотропної пластини з похилою тріщиною |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173049 |
| work_keys_str_mv | AT selívanovmf porívnânnâdvohpotencíalʹnihkogezíinihmodeleidlâprognozuvannâgraničnogorívnânavantažennâskínčennoíortotropnoíplastinizpohiloûtríŝinoû AT procanvv porívnânnâdvohpotencíalʹnihkogezíinihmodeleidlâprognozuvannâgraničnogorívnânavantažennâskínčennoíortotropnoíplastinizpohiloûtríŝinoû AT selívanovmf comparisonoftwopotentialbasedcohesivemodelstopredictthecriticalloadofafiniteorthotropicplatewithobliquecrack AT procanvv comparisonoftwopotentialbasedcohesivemodelstopredictthecriticalloadofafiniteorthotropicplatewithobliquecrack |