Logarithmic capacity and Riemann and Hilbert problems for generalized analytic functions

• Published in: Доповіді НАН України
• Date: 2020
• Main Authors: Gutlyanskiĭ, V.Ya., Nesmelova, O.V., Ryazanov, V.I.
• Format: Article
• Language: English
• Published: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2020
• Subjects: Математика
• Online Access: https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173094
• Journal Title: Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
• Cite this: Logarithmic capacity and Riemann and Hilbert problems for generalized analytic functions / V.Ya. Gutlyanskiĭ, O.V. Nesmelova, V.I. Ryazanov // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 8. — С. 11-18. — Бібліогр.: 14 назв. — англ.

The study of the Dirichlet problem with arbitrary measurable boundary data for harmonic functions in the unit disk
 is due to the famous Luzin dissertation. Later on, the known monograph of Vekua was devoted to boundary-value
 problems for generalized analytic functions, but only with Hölder continuous boundary data. The present paper contains
 theorems on the existence of nonclassical solutions of Riemann and Hilbert problems for generalized analy tic
 functions with sources whose boundary data are measurable with respect to the logarithmic capacity. Our ap proach
 is based on the geometric interpretation of boundary values in comparison with the classical operator approach in
 PDE. On this basis, one can derive the corresponding existence theorems for the Poincaré problem on directional
 derivatives to the Poisson equations and, in particular, for the Neumann problem with arbitrary boundary data that
 are measurable with respect to the logarithmic capacity. These results can be also applied to semilinear equations of
 mathematical physics in anisotropic inhomogeneous media. Вивчення задачі Діріхле з довільними вимірюваними граничними даними для гармонічних функцій в
 одиничному крузі має витоки з відомої дисертації Лузіна. Пізніше Векуа дослідив узагальнені аналітичні
 функції, але тільки для граничних даних, неперервних за Гельдером. Ця робота містить теореми існування
 некласичних розв'язків задач Рімана і Гільберта для узагальнених аналітичних функцій з джерелом,
 граничні дані яких є вимірюваними відносно логарифмічної ємності. Наш підхід заснований на
 геометричній інтерпретації граничних значень на відміну від класичного операторного підходу в теорії
 рівнянь з частинними похідними. На цій основі можна отримати відповідні теореми існування задачі
 Пуанкаре для похідної за напрямком для рівняння Пуассона і, зокрема, для задачі Неймана з довільними
 граничними даними, вимірюваними відносно логарифмічної ємності. Ці результати можуть бути
 застосовані до напівлінійних рівнянь математичної фізики в анізотропних і неоднорідних середовищах.