Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди
Отримано й досліджено розвинення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами (одна вагова матриця додатно-означена, а інша — невироджена знаконевизначена) у матричні степеневі ряди з додатними показниками степенів. На основі отриманих розвинень зважених псевдообернених матриць побудовано й...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173095 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди / Н.А. Варенюк, Є.Ф. Галба, І.В. Сергієнко, Н.І. Тукалевська // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 8. — С. 19-25. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-173095 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Варенюк, Н.А. Галба, Є.Ф. Сергієнко, І.В. Тукалевська, Н.І. 2020-11-21T14:46:26Z 2020-11-21T14:46:26Z 2020 Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди / Н.А. Варенюк, Є.Ф. Галба, І.В. Сергієнко, Н.І. Тукалевська // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 8. — С. 19-25. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.08.019 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173095 512.61 : 519.61 Отримано й досліджено розвинення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами (одна вагова матриця додатно-означена, а інша — невироджена знаконевизначена) у матричні степеневі ряди з додатними показниками степенів. На основі отриманих розвинень зважених псевдообернених матриць побудовано й досліджено ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами. Математичним апаратом побудови та дослідження ітераційних методів обчислення зазначених зважених псевдообернених матриць також слугують одержане авторами статті зважене спектральне розвинення матриць, що симетризуються, властивості цих матриць, пов'язаних із зваженими псевдооберненими матрицями, та представлення зважених псевдообернених матриць зі змішаними ваговими матрицями в термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів матриць, що симетризуються. The decompositions of weighted pseudoinverse matrices with mixed weights (one of the weighted matrices is positive definite, and an other one is nonsingular indefinite) into matrix power series with positive exponents are obtained and investigated. Iterative methods for calculation of weighted pseudoinverse matrices with mixed weights are built and investigated on the basis of obtained expansions of weighted pseudoinverse matrices. Weighted spectral decompositions of symmetrized matrices, properties of these matrices associated with weighted pseudoinverse matrices, and the representation of weighted pseudoinverse matrices with mixed weights in terms of the coefficients of characteristic polynomials of symmetrizable matrices are the mathematical apparatus for constructing and studying the iterative methods for calculating these weighted pseudoinverse matrices. The choice of the iterative parameter is substantiated that provides the convergence of iterative processes. The iterative processes of two types of weighted pseudoinverse matrices are considered. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди Iterative method for calculation of weighted pseudoinverse matrices with mixed weights on the basis of their decompositions into matrix power series Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди |
| spellingShingle |
Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди Варенюк, Н.А. Галба, Є.Ф. Сергієнко, І.В. Тукалевська, Н.І. Інформатика та кібернетика |
| title_short |
Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди |
| title_full |
Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди |
| title_fullStr |
Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди |
| title_full_unstemmed |
Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди |
| title_sort |
ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди |
| author |
Варенюк, Н.А. Галба, Є.Ф. Сергієнко, І.В. Тукалевська, Н.І. |
| author_facet |
Варенюк, Н.А. Галба, Є.Ф. Сергієнко, І.В. Тукалевська, Н.І. |
| topic |
Інформатика та кібернетика |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| publishDate |
2020 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Iterative method for calculation of weighted pseudoinverse matrices with mixed weights on the basis of their decompositions into matrix power series |
| description |
Отримано й досліджено розвинення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами (одна вагова
матриця додатно-означена, а інша — невироджена знаконевизначена) у матричні степеневі ряди з додатними показниками степенів. На основі отриманих розвинень зважених псевдообернених матриць побудовано й досліджено ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами. Математичним апаратом побудови та дослідження ітераційних методів обчислення зазначених
зважених псевдообернених матриць також слугують одержане авторами статті зважене спектральне
розвинення матриць, що симетризуються, властивості цих матриць, пов'язаних із зваженими псевдооберненими матрицями, та представлення зважених псевдообернених матриць зі змішаними ваговими матрицями в термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів матриць, що симетризуються.
The decompositions of weighted pseudoinverse matrices with mixed weights (one of the weighted matrices is
positive definite, and an other one is nonsingular indefinite) into matrix power series with positive exponents are
obtained and investigated. Iterative methods for calculation of weighted pseudoinverse matrices with mixed
weights are built and investigated on the basis of obtained expansions of weighted pseudoinverse matrices.
Weighted spectral decompositions of symmetrized matrices, properties of these matrices associated with weighted
pseudoinverse matrices, and the representation of weighted pseudoinverse matrices with mixed weights in
terms of the coefficients of characteristic polynomials of symmetrizable matrices are the mathematical apparatus
for constructing and studying the iterative methods for calculating these weighted pseudoinverse matrices.
The choice of the iterative parameter is substantiated that provides the convergence of iterative processes. The
iterative processes of two types of weighted pseudoinverse matrices are considered.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173095 |
| citation_txt |
Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди / Н.А. Варенюк, Є.Ф. Галба, І.В. Сергієнко, Н.І. Тукалевська // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 8. — С. 19-25. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT varenûkna íteracíinímetodidlâobčislennâzvaženihpsevdoobernenihmatricʹzízmíšanimivagaminaosnovííhrozvinennâumatričnístepenevírâdi AT galbaêf íteracíinímetodidlâobčislennâzvaženihpsevdoobernenihmatricʹzízmíšanimivagaminaosnovííhrozvinennâumatričnístepenevírâdi AT sergíênkoív íteracíinímetodidlâobčislennâzvaženihpsevdoobernenihmatricʹzízmíšanimivagaminaosnovííhrozvinennâumatričnístepenevírâdi AT tukalevsʹkaní íteracíinímetodidlâobčislennâzvaženihpsevdoobernenihmatricʹzízmíšanimivagaminaosnovííhrozvinennâumatričnístepenevírâdi AT varenûkna iterativemethodforcalculationofweightedpseudoinversematriceswithmixedweightsonthebasisoftheirdecompositionsintomatrixpowerseries AT galbaêf iterativemethodforcalculationofweightedpseudoinversematriceswithmixedweightsonthebasisoftheirdecompositionsintomatrixpowerseries AT sergíênkoív iterativemethodforcalculationofweightedpseudoinversematriceswithmixedweightsonthebasisoftheirdecompositionsintomatrixpowerseries AT tukalevsʹkaní iterativemethodforcalculationofweightedpseudoinversematriceswithmixedweightsonthebasisoftheirdecompositionsintomatrixpowerseries |
| first_indexed |
2025-11-26T14:42:32Z |
| last_indexed |
2025-11-26T14:42:32Z |
| _version_ |
1850624870957711360 |
| fulltext |
19
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 8: 19—25
Ц и т у в а н н я: Варенюк Н.А., Галба Є.Ф., Сергієнко І.В., Тукалевська Н.І. Ітераційні методи для обчислен-
ня зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі
ряди. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 8. С. 19—25. https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.08.019
Уперше визначення зваженої псевдооберненої матриці з додатно-означеними вагами дано в
[1]. У [2] встановлено зважену псевдообернену матрицю з виродженими вагами, конкрети-
зовано необхідні й достатні умови її існування. У [3—5] досліджено інші варіанти зважених
псевдообернених матриць із виродженими вагами (див. також оглядову статтю [6]), названо
необхідні й достатні умови існування розглянутих псевдообернених матриць із виродже-
ними вагами, визначено зважені нормальні псевдорозв’язки з виродженими вагами й вста-
новлено їх зв’язок із зваженими псевдооберненими матрицями. Оглядову статтю [7] при-
свячено методам обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних
псевдорозв’язків з виродженими вагами. У [8] введено поняття ML-зваженої псевдооберне-
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.08.019
УДК 512.61 : 519.61
Н.А. Варенюк, Є.Ф. Галба,
І.В. Сергієнко, Н.І. Тукалевська
Інститут кібернетики ім В.М. Глушкова НАН України, Київ
E-mail: nvareniuk@ukr.net, e.f.galba@ukr.net,
aik@public.icyb.kiev.ua, Tukalevska@nas.gov.ua
Ітераційні методи для обчислення зважених
псевдообернених матриць зі змішаними вагами
на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди
Представлено академіком НАН України І.В. Сергієнком
Отримано й досліджено розвинення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами (одна вагова
матриця додатно-означена, а інша — невироджена знаконевизначена) у матричні степеневі ряди з до дат-
ними показниками степенів. На основі отриманих розвинень зважених псевдообернених матриць побу до-
вано й досліджено ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними ва-
гами. Математичним апаратом побудови та дослідження ітераційних методів обчислення зазначених
зважених псевдообернених матриць також слугують одержане авторами статті зважене спектральне
роз винення матриць, що симетризуються, властивості цих матриць, пов’язаних із зваженими псевдообер-
неними матрицями, та представлення зважених псевдообернених матриць зі змішаними ваговими мат-
рицями в термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів матриць, що симетризуються.
Ключові слова: зважені псевдообернені матриці з індефінітними й змішаними вагами, матричні степеневі
ряди, ітераційні методи.
ІНФОРМАТИКА ТА КІБЕРНЕТИКА
20 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 8
Н.А. Варенюк, Є.Ф. Галба, І.В. Сергієнко, Н.І. Тукалевська
ної матриці. В [9] дано визначення зважених псевдообернених матриць із невиродженими
індефінітними вагами й відзначено достатні умови існування цих матриць. Дослідженню
зважених псевдообернених матриць із індефінітними невиродженими вагами присвячена
робота [10]. У ній доведено теорему існування й єдиності зважених псевдообернених ма-
триць із індефінітними вагами, дано представлення цих матриць у термінах коефіцієнтів
характеристичних многочленів матриць, що симетризуються, отримано розвинення зваже-
них псевдообернених матриць зі змішаними вагами в матричні степеневі ряди й добутки з
від’ємними показниками степенів, граничні представлення цих матриць, побудовано регу-
ляризовані ітераційні методи для їх обчислення. Відмінні від запропонованих в [10] розви-
нення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами в матричні степеневі ряди
й добутки з від’ємними показниками степенів і регуляризовані ітераційні методи для їх об-
числення наведено в [11]. Вплив збурення вихідних даних на розв’язки задач обчислення
зважених нормальних псевдорозв’язків з додатно-означеними вагами проаналізовано в [12].
У даному повідомленні запропоновано й обґрунтовано розвинення зважених псевдо-
обер нених матриць зі змішаними вагами в матричні степеневі ряди з додатними показни-
ками степенів. Припускається, що обидві вагові матриці симетричні, причому одна з них
додатно-означена, а друга — невироджена знаконевизначена. Математичними апаратами
дослідження слугують представлення зваженої псевдооберненої матриці зі змішаними ва-
гами в термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів матриць, що симетризуються,
і зважене спектральне розвинення матриць, що симетризуються. На основі розвинення зва-
жених псевдообернених матриць зі змішаними вагами в матричні степеневі ряди побудо-
вано й досліджено ітераційні процеси для їх обчислення. Обґрунтовано вибір ітераційних
параметрів, який забезпечує збіжність ітераційних процесів.
Позначимо через n n-вимірний векторний простір над полем дійсних чисел, де векто-
ри суть матриці розміру 1n× . Нехай H — симетрична додатно-означена, додатно-напів-
визначена, або ж знаконевизначена матриця. В n введемо скалярний добуток за фор-
мулою ( , ) ( , )H Eu v Hu v= , де ( , ) T
Eu v u v= , E — одинична матриця. Якщо метрична матриця
H додатно-означена або додатно-напіввизначена, то звичайним чином можна нормувати
простір n , поклавши 1 2( , )HH
u u u= . У першому випадку функція
H
u буде визначати
еліпсоїдальну норму, а в другому — еліпсоїдальну напівнорму.
Визначимо зважену норму прямокутної матриці з симетричними невиродженими ваго-
вими матрицями. Нехай m nA ×∈ , а T m mH H ×= ∈ й T n nV V ×= ∈ − невироджені матриці.
Для множини матриць A в [10] норму введено співвідношенням
2
1 22
0 0 0
( , )
sup sup supm m
n n n
T
E EH
HV
x x xE E E
HAVx VA H AVx xAVx
A
x x x≠ ≠ ≠
= = = , (1)
де nx∈ , а нижній індекс при одиничній матриці означає її розмірність.
В [10] показано, що функція (1) є адитивною (узагальненою) матричною нормою, яка
визначається за формулою
2 1 2
max[ ( )]T
HV
A VA H AV= λ , (2)
де max ( )Lλ — максимальне власне значення матриці L.
21ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 8
Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами...
Отримано наступні співвідношення для матричних норм із невиродженими вагами,
які використовуються при дослідженні розвинень зважених псевдообернених матриць зі
змішаними вагами в матричні степеневі ряди з додатними показниками степенів [10].
Лема 1. Нехай m pA ×∈ , p nB ×∈ , а m mH ×∈ , n nV ×∈ , p pM ×∈ — симетричні неви-
роджені матриці, тоді мають місце співвідношення
1HV HM M V
AB A B −� , 1HV HM MV
AB A B−� .
Означення 1. Дійсну матрицю U будемо називати такою, що симетризується зліва або
справа, якщо існує така симетрична невироджена матриця H, що виконуються відповідно
рівності ,T THU U H UH HU= = .
Означення 2. Квадратну дійсну матрицю Q будемо називати H-зваженою ортогональ-
ною (ортогональною з вагою H), якщо виконується умова TQ HQ E= , де H — симетрична
додатно-означена матриця.
При дослідженні розвинень зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами
в матричні степеневі ряди є важливим використання твердження наступної леми [10].
Лема 2. Матриця U, що симетризується зліва додатно-означеним симетризатором H,
може бути зведена до діагональної форми за допомогою H-зваженого ортогонального пере-
творення, тобто існує така H-зважена ортогональна матриця Q, що TQ HUQ = Λ, і мат-
рицю U можна представити у вигляді TU Q Q H= Λ , де ( )idiagΛ = λ , iλ — власні значення
матриці U, а стовпці матриці Q утворюють повну систему власних векторів матриці U.
Нехай m nA ×∈ , n mX ×∈ , T m mB B ×= ∈ , T n nC C ×= ∈ . Будемо розглядати систему
матричних рівнянь
,AXA A XAX X= = , ( )TBAX BAX= , ( )TCXA CXA= (3)
при двох умовах на вагові матриці В і С:
1) матриця С — додатно-означена, а В — невироджена знаконевизначена при виконан-
ні умови
rank( ) rank( )TA BA A= , (4)
2) матриця В — додатно-означена, а С — невироджена знаконевизначена при виконанні
умови
1rank( ) rank( )TAC A A− = . (5)
Отже, далі буде розглянуто два варіанти зважених псевдообернених матриць, обу-
мовлених умовами (3), (4) і (3), (5).
В [10] показано, що система матричних рівнянь (3), коли обидві вагові матриці В и С
невироджені знаконевизначені, при виконанні умов (4) і (5) має єдиний розв’язок BCX A+= ,
причому матрицю +
BCA можна представити у вигляді
1 T
BCA C SA B+ −= , (6)
де 1( )TS f A BAC−= — многочлен від матриці 1TA BAC− вигляду
22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 8
Н.А. Варенюк, Є.Ф. Галба, І.В. Сергієнко, Н.І. Тукалевська
1 1 1 1 2
1 1[( ) ( ) ]T k T k
k kS A BAC A BAC E− − − − −
−= −α +α + ⋅⋅⋅+α ,
, 1, ,p p nα = — коефіцієнти характеристичного многочлена 1( ) det[ ]Tf E A BAC−λ = λ − , а
kα — останній, відмінний від нуля коефіцієнт цього многочлена.
Відзначимо, що задачі (3), (4) і (3), (5) є окремими випадками задачі (3), (4), (5), тобто
задачі (3), коли обидві вагові матриці В і С невироджені знаконевизначені. Тому для цих за-
дач має місце формула (6), яка, що важливо, використовується при дослідженні розвинень
зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами в матричні степеневі ряди.
Щоб отримати розвинення зважених псевдообернених матриць у матричні степеневі
ряди й побудувати ітераційні методи обчислення зважених псевдообернених матриць зі
змішаними вагами доведено наступні допоміжні твердження.
Лема 3. Матриці BCA A+ й 1 TC A BA− комутують, мають спільну систему власних век-
торів і їх нуль-простори збігаються.
Лема 4. Матриці BCAA+ й 1 TAC A B− комутують, мають спільну систему власних век-
торів і їх нуль-простори збігаються.
Лема 5. Матриці A, BCA A+ і 1 TC A BA− при виконанні умови (4) мають однаковий ранг.
Лема 6. Матриці A, BCAA+ і 1 TAC A B− при виконанні умови (5) мають однаковий ранг.
Доведено, що мають місце наступні розвинення зважених псевдообернених матриць зі
змішаними вагами в матричні степеневі ряди.
Теорема 1. Для довільної матриці 0 m nA ×≠ ∈ , симетричної знаконевизначеної неви-
родженої матриці ,m mB ×∈ симетричної додатно-означеної матриці n nC ×∈ й дійсного
числа α , що задовольняє умову
1 10 0,5[ ( )]TC A BA− −< α < ρ , (7)
має місце співвідношення
1 1 1
0
1 1
2 2
k
T T T
BC
k
A E C A BA E C A BA C A B
∞
+ − − −
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +α −α⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ , (8)
де BCA+ — зважена псевдообернена матриця, що задовольняє умови (3), (4), ( )Lρ — спект-
ральний радіус матриці L.
Теорема 2. Для довільної матриці 0 m nA ×≠ ∈ , симетричної додатно-означеної матри ці
,m mB ×∈ симетричної знаконевизначеної невиродженої матриці n nC ×∈ й дійсного числа
α , що задовольняє умову
1 10 0,5[ ( )]TAC A B− −< α < ρ , (9)
має місце співвідношення
1 1 1
0
1 1
2 2
k
T T T
BC
k
A C A B E AC A B E AC A B
∞
+ − − −
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −α +α⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ , (10)
де BCA+ — зважена псевдообернена матриця, що задовольняє умови (3), (5), ( )Lρ — спект-
ральний радіус матриці L.
23ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 8
Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами...
На основі розвинення (8) для обчислення наближень до зважених псевдообернених ма-
триць BCA+ , визначених умовами (3), (4), побудовано ітераційний процес
1 1
1
1 1 1
1
1
,
2
1 1
, 2, 3,
2 2
T T
T T T
k k
X E C A BA C A B
X E C A BA X E C A BA C A B k
− −
− − −
−
⎛ ⎞= +α⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −α + +α =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(11)
Теорема 3. Ітераційний процес (11) збігається, причому має місце оцінка
1 2 1 2
k
BC k BCC V C V
A X q A+ +− � , (12)
де BCA+ — зважена псевдообернена матриця, що задовольняє умови (3), (4), n nC ×∈ — симет рич-
на додатно-означена матриця, яка входить до визначення зваженої псевдооберненої матри-
ці, m mV ×∈ — довільна симетрична додатно-означена матриця,
1 2
11
2
T
BC
C V
q A A C A BA+ −= −α =
11
1
2
T
BCA A C A BA+ −⎛ ⎞= ρ −α <⎜ ⎟⎝ ⎠
.
На основі розвинення (10) для обчислення наближень до зважених псевдообернених
матриць BCA+ , визначених умовами (3), (5), побудовано ітераційний процес
1 1
1
1 1 1
1
1
,
2
1 1
, 2, 3,
2 2
T T
T T T
k k
X C A B E AC A B
X E AC A B X C A B E AC A B k
− −
− − −
−
⎛ ⎞= +α⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −α + +α =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(13)
Теорема 4. Ітераційний процес (13) збігається, причому має місце оцінка
1 2 1 2
k
BC k BCHB HB
A X q A− −
+ +− � , (14)
де BCA+ — зважена псевдообернена матриця, що задовольняє умови (3), (5), ,m mB ×∈ — симет рич-
на додатно-означена матриця, яка входить до визначення зваженої псевдооберненої мат ри ці,
n nH ×∈ — довільна симетрична додатно-означена матриця,
1 2
11
2
T
BC
HB
q AA AC A B
−
+ −= −α =
11
1
2
T
BCAA AC A B+ −⎛ ⎞= ρ −α <⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Таким чином, отримано ітераційні процеси для обчислення зважених псевдообернених
матриць зі змішаними ваговими матрицями. З оцінок (12), (14) випливає, що похибка на-
ближення залежить від кількості ітерацій і величини q, визначеної в теоремах 3 і 4. Очевидно,
що параметр α , визначений в (7) і (9), необхідно вибирати таким, щоб величина q була мі-
німальною для даної задачі.
24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 8
Н.А. Варенюк, Є.Ф. Галба, І.В. Сергієнко, Н.І. Тукалевська
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Chipman J.S. On least squares with insufficient observation. J. Amer.Statist. Assoc. 1964. 59, № 308. P. 1078—
1111. https://doi.org/10.1080/01621459.1964.10480751
2. Ward J.F., Boullion T.L., Lewis T.O. Weighted pseudoinverses with singular weights. SIAM J. Appl. Math.
1971. 21, № 3. P. 480—482. https://doi.org/10.1137/0121051
3. Галба Е.Ф., Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Взвешенные псевдообратные матрицы и взвешенные нор-
мальные псевдорешения с вырожденными весами. Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2009.
49, № 8. С. 1347—1363.
4. Сергиенко И.В., Галба Е.Ф., Дейнека В.С. Существование и единственность взвешенных псевдообрат-
ных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Укр. мат. журн. 2011,
63, № 1. С. 80—101.
5. Сергиенко И.В., Галба Е.Ф., Дейнека В.С. Теоремы существования и единственности в теории взвешен-
ной псевдоинверсии с вырожденными весами. Кибернетика и систем. анализ. 2011. 47, № 1. С. 14—33.
6. Сергиенко И.В, Галба Е.Ф. Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами. Кибернетика и сис-
тем. анализ. 2016. 52, № 5, С. 56—80.
7. Галба Е.Ф., Сергиенко И.В. Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных
нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Кибернетика и систем. анализ. 2018. 54, № 3.
С. 65—93.
8. Mitra S.K., Rao C.R. Projections under seminorms and generalized Moore—Penroze inverses. Linear Algeb-
ra and Appl. 1974, № 9. P. 155—167. https://doi.org/10.1016/0024-3795(74)90034-2
9. Rao C.R., Mitra S.K.Generalized inverse of matrices and its applications. New York: Wiley, 1971. 240 p.
10. Варенюк Н.А., Галба Е.Ф., Сергиенко И.В., Химич А.Н. Взвешенная псевдоинверсия с индефинитны-
ми весами. Укр. мат. журн. 2018. 70, № 6. С. 752—772.
11. Галба Е.Ф., Варенюк Н.А. Разложение взвешенных псевдообратных матриц со смешанными весами в
матричные степенные ряды и произведения. Кибернетика и систем. анализ. 2019. 55, № 5. С. 67—80.
12. Николаевская Е.А., Химич А.Н. Оценка погрешности взвешенного нормального псевдорешения с
положительно-определенными весами. Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. 49, № 3. С. 422—430.
Надійшло до редакції 04.05.2020
REFERENCES
1. Chipman, J. S. (1964). On least squares with insufficient observation. J. Amer. Statist. Assoc., 59, No. 308,
pp. 1078-1111. https://doi.org/10.1080/01621459.1964.10480751
2. Ward, J. F., Boullion, T. L. & Lewis, T.O. (1971). Weighted pseudoinverses with singular weights. SIAM J.
Appl. Math., 21, No. 3, pp. 480-482. https://doi.org/10.1137/0121051
3. Galba, E. F., Deineka, V. S. & Sergienko, I. V. (2009). Weighted pseudoinverses and weighted normal pseudo-
so lutions with singular weights. Comput. Math. Math. Phys., 49, No. 8, pp. 1281-1297. https://doi.org/
10.1134/S0965542509080016
4. Sergienko, I. V., Galba, E. F. & Deineka, V. S. (2011). Existence and uniqueness of weighted pseudoinverse
matrices and weighted normal pseudosolutions with singular weights. Ukr. Math. J., 63, Art. 98. https://doi.
org/10.1007/s11253-011-0490-3
5. Sergienko, I. V., Galba, Y. F. & Deineka, V. S. (2011). Existence and uniqueness theorems in the theory of
weighted pseudoinverses with singular weights. Cybern. Syst. Anal., 47, Iss. 1, pp. 11-28. https://doi.org/
10.1007/s10559-011-9286-6
6. Sergienko, I. V. & Galba, E. F. (2016). Weighted pseudoinversion with singular weights. Cybern. Syst. Anal.,
52, pp. 708-729. https://doi.org/10.1007/s10559-016-9873-7
7. Galba, E. F., Sergienko, I. V. (2018). Methods for Computing Weighted Pseudoinverses and Weighted Normal
Pseudosolutions with Singular Weights. Cybern. Syst. Anal. 54, pp. 398-422. https://doi.org/10.1007/
s10559-018-0042-z
8. Mitra, S. K. & Rao, C. R. (1974). Projections under seminorms and generalized Moore-Penroze inverses.
Linear Algebra Appl., No. 9, pp. 155-167. https://doi.org/10.1016/0024-3795(74)90034-2
9. Rao, C. R. & Mitra, S. K. (1971). Generalized inverse of matrices and its applikations. New York: Wiley.
25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 8
Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами...
10. Varenyuk, N. A., Galba, E. F., Sergienko, I. V. & Khimich, A. N. (2018). Weighted Pseudoinversion with
Indefinite Weights. Ukr. Math. J., 70, pp. 866-889. https://doi.org/10.1007/s11253-018-1539-3
11. Galba, E. F. & Vareniuk, N. A. (2019). Expansions of weighted pseudoinverses with mixed weights into matrix
power series and power products. Cybern. Syst. Anal., 55, pp. 760-771. https://doi.org/10.1007/s10559-019-
00186-9
12. Nikolaevskaya, E. A. & Khimich, A. N. (2009). Error estimation for a weighted minimum-norm least squares
solution with positive definite weights. Comput. Math. and Math. Phys., 49, pp. 409-417. https://doi.
org/10.1134/S0965542509030038
Received 04.05.2020
N.A. Vareniuk, E.F. Galba,
I.V. Sergienko, N.I. Tukalevska
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: nvareniuk@ukr.net, e.f.galba@ukr.net, aik@public.icyb.kiev.ua, Tukalevska@nas.gov.ua
ITERATIVE METHODS FOR CALCULATION OF WEIGHTED
PSEUDOINVERSE MATRICES WITH MIXED WEIGHTS ON THE BASIS
OF THEIR DECOMPOSITIONS INTO MATRIX POWER SERIES
The decompositions of weighted pseudoinverse matrices with mixed weights (one of the weighted matrices is
positive definite, and an other one is nonsingular indefinite) into matrix power series with positive exponents are
obtained and investigated. Iterative methods for calculation of weighted pseudoinverse matrices with mixed
weights are built and investigated on the basis of obtained expansions of weighted pseudoinverse matrices.
Weighted spectral decompositions of symmetrized matrices, properties of these matrices associated with weigh-
ted pseudoinverse matrices, and the representation of weighted pseudoinverse matrices with mixed weights in
terms of the coefficients of characteristic polynomials of symmetrizable matrices are the mathematical appara-
tus for constructing and studying the iterative methods for calculating these weighted pseudoinverse matrices.
The choice of the iterative parameter is substantiated that provides the convergence of iterative processes. The
iterative processes of two types of weighted pseudoinverse matrices are considered.
Keywords: weighted pseudoinverse matrices with indefinite and mixed weights, matrix power series, iterative
methods.
|