Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку

Якщо класичну модель випадкового блукання доповнити стохастичним поверненням у початкову точку, то весь процес набуває нових нетривіальних рис. Зокрема, з'являється нерівноважний стаціонарний стан, а середній час першого досягнення цілі (нескінченний у відсутності повторних стартів) стає скін...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2020
1. Verfasser:	Христофоров, Л.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2020
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Фізика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173098
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку / Л.М. Христофоров // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 8. — С. 43-50. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-173098
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1730982025-02-09T15:55:06Z Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку Random walk with resetting in a 1D chain Христофоров, Л.М. Фізика Якщо класичну модель випадкового блукання доповнити стохастичним поверненням у початкову точку, то весь процес набуває нових нетривіальних рис. Зокрема, з'являється нерівноважний стаціонарний стан, а середній час першого досягнення цілі (нескінченний у відсутності повторних стартів) стає скінченним і може бути оптимізований належним вибором середньої частоти переривання r. Показано, що у випадку блукання вузлами одновимірного ланцюжка ці ефекти мають суттєві відмінності від своїх аналогів у класичній континуальній дифузійній моделі. Зокрема, асимптотика залежностей стаціонарних населеностей вузлів від r змінюється з експоненційного спадання на степеневе. Подібні якісні й кількісні відмінності мають місце й для середнього часу першого досягнення. У випадку скінченного ланцюжка додається цікавий ефект виникнення й зникнення можливості мінімізації цього часу в залежності від відстані до визначеної цілі. If the classical model of random walks is added with the stochastic resetting to the starting point, then the whole process acquires new nontrivial features. In particular, there appears a non-equilibrium steady state. In addition, the mean first passage time (which is infinite in the absence of restarts) becomes finite and can be optimized by choosing a proper mean intermittence frequency r. It is shown that, in the case of random walks on the nodes of a one-dimensional chain, these effects essentially differ from their analogs within the classical continuous diffusion model. In particular, the asymptotes of the dependences of stationary node populations on r change from exponential to power ones. Similar qualitative and quantitative distinctions take place for the mean first passage time as well. In the case of a finite chain, the interesting effect of emergence and disappearance of a possibility of the minimization of this time, depending on the distance to a defined target, shows up. Робота виконана за конкурсною темою 0120U100858 НАН України. 2020 Article Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку / Л.М. Христофоров // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 8. — С. 43-50. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.08.043 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173098 538.931+538.935 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Фізика Фізика
spellingShingle	Фізика Фізика Христофоров, Л.М. Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку Доповіді НАН України
description	Якщо класичну модель випадкового блукання доповнити стохастичним поверненням у початкову точку, то весь процес набуває нових нетривіальних рис. Зокрема, з'являється нерівноважний стаціонарний стан, а середній час першого досягнення цілі (нескінченний у відсутності повторних стартів) стає скінченним і може бути оптимізований належним вибором середньої частоти переривання r. Показано, що у випадку блукання вузлами одновимірного ланцюжка ці ефекти мають суттєві відмінності від своїх аналогів у класичній континуальній дифузійній моделі. Зокрема, асимптотика залежностей стаціонарних населеностей вузлів від r змінюється з експоненційного спадання на степеневе. Подібні якісні й кількісні відмінності мають місце й для середнього часу першого досягнення. У випадку скінченного ланцюжка додається цікавий ефект виникнення й зникнення можливості мінімізації цього часу в залежності від відстані до визначеної цілі.
format	Article
author	Христофоров, Л.М.
author_facet	Христофоров, Л.М.
author_sort	Христофоров, Л.М.
title	Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку
title_short	Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку
title_full	Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку
title_fullStr	Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку
title_full_unstemmed	Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку
title_sort	випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Фізика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173098
citation_txt	Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку / Л.М. Христофоров // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 8. — С. 43-50. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT hristoforovlm vipadkoveblukannâzpovernennâmvodnovimírnomulancûžku AT hristoforovlm randomwalkwithresettingina1dchain
first_indexed	2025-11-27T17:18:39Z
last_indexed	2025-11-27T17:18:39Z
_version_	1849964810267000832
fulltext	43 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 8: 43—50 Ц и т у в а н н я: Христофоров Л.М. Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку. До пов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 8. С. 43—50. https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.08.043 Процеси зі стохастичним поверненням (stochastic resetting) є досить розповсюдженим яви- щем. У багатьох випадках, змарнувавши якийсь час на безуспішне досягнення певної цілі, вважають розумним повернутися в початковий стан з надією, що наступна спроба виявить- ся більш вдалою. Цікаво, що така поведінка не є прерогативою якогось інтелекту, оскільки її аналоги зустрічаються у функціюванні навіть окремих молекул, зокрема ензимів [1, 2]. Природне питання, яке при цьому виникає, є таким: коли саме доцільно переривати невдалу спробу й починати нову? Точніше, чи існує — звісно, для певної більш-менш конкретизо- ваної системи/моделі — оптимальна (середня) частота стохастичного переривання, що при- скорить досягнення цілі? Формалізація подібних задач на найпростіших моделях почалася зовсім нещодавно. Так, в роботі [3], шо вже стала класичною, було розглянуто одновимірний дифузійний рух частинки з раптовим стохастичним поверненням у початкову точку. Було показано, що, по-перше, існує нестандартний стаціонарний розподіл ймовірностей положень частинки. По-друге, що цікавіше, виникає нетривіальна залежність середнього часу першого досяг- https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.08.043 УДК 538.931+538.935 Л.М. Христофоров Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, Київ E-mail: lchrist@bitp.kiev.ua Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку Представлено академіком НАН України А.Г. Загороднім Якщо класичну модель випадкового блукання доповнити стохастичним поверненням у початкову точку, то весь процес набуває нових нетривіальних рис. Зокрема, з’являється нерівноважний стаціонарний стан, а середній час першого досягнення цілі (нескінченний у відсутності повторних стартів) стає скінченним і може бути оптимізований належним вибором середньої частоти переривання r. Показано, що у випадку блукання вузлами одновимірного ланцюжка ці ефекти мають суттєві відмінності від своїх аналогів у кла- сичній континуальній дифузійній моделі. Зокрема, асимптотика залежностей стаціонарних населеностей вузлів від r змінюється з експоненційного спадання на степеневе. Подібні якісні й кількісні відмінності ма ють місце й для середнього часу першого досягнення. У випадку скінченного ланцюжка додається цікавий ефект виникнення й зникнення можливості мінімізації цього часу в залежності від відстані до визначеної цілі. Ключові слова: низьковимірні ґратки, випадкове блукання, стохастичне повернення, час першого досягнення. ФІЗИКА 44 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 8 Л.М. Христофоров нення (mean first passage time, MFPT) визначеної цілі — скажімо, точки 0x = за умови стар- ту з точки 0x x= — від середньої частоти r стохастичних повернень. А саме, цей час, нескін- ченний при 0r = , стає скінченним і навіть має мінімальне значення при певному r r= . З огляду, зокрема, на те, що розподіли часів здійснення стадій ензиматичних реакцій, почина- ючи з наріжної роботи [4], тепер прямо отримуються на поодиноких ензимах, цей результат привернув значну увагу й супроводжувався різноманітними узагальненнями на ускладне- них моделях (з кількома частинками, збільшенням розмірності простору тощо, див., напри- клад, [3, 5, 6]). Проте ці розгляди стосувалися здебільшого континуальних моделей, тоді як, наприклад, реакційні стани ензимів (проміжні фермент-субстратні комплекси) зазвичай складають дискретний набір. Взагалі, з дискретними ланцюжками можна пов’язати безліч міграційних і пошукових процесів. Тому в цій роботі систематично розглянуто процес пере- ривчастого випадкового блукання вузлами одновимірного ланцюжка1 з акцентом на відмін- ностях результатів від таких у континуальній моделі [3], особливо щодо MFPT. Нескінченний ланцюжок з поверненням. Отже, додамо до класичного випадкового блукання процес стохастичного повернення з будь-якого вузла в початковий вузол 0n з се- редньою частотою («константою швидкості») r , див. схему на рис. 1, а. Цій схемі відповідає рівняння еволюції ймовірності ( )n tρ перебування на вузлі n : 0 01 1d / d ( 2 ) , (0)n n n n n n n m n n n m t k r r ∞ − + =−∞ ρ = ρ − ρ +ρ − ρ +δ ρ ρ = δ∑ , (1) де k — константа швидкості стрибків у сусідній вузол (прямий аналог коефіцієнта дифузії в континуальних моделях). Оскільки система поки що залишається замкненою, сума в останньому члені рівняння (1) є насправді одиницею. Проте в наступних розділах вона вже не буде такою, тому залишена тут з методичних причин. Після замін 2ktτ = та ( ) ( )n ne−τρ τ = ϕ τ рівняння (1) набуває вигляду (2): 1 що може бути і (напів)обмеженим Рис. 1. Випадкове блукання з поверненням у нескінченному ланцюжку (а); на- півобмеженому ланцюжку з витоком (б) та скінченному ланцюжку з витоком (в) 45ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 8 Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку 0 0 2 2 1 1 d 1 ( ) , (0) d 2 2 2 n n n n n n m n n n m a a ∞ − + =−∞ ϕ = ϕ +ϕ − ϕ +δ ϕ ϕ = δ τ ∑ , (2) де 2 /a r k≡ . Типовим засобом розв’язання подібних рівнянь є введення твірної функції ( , ) ( )m mm z z ∞ =−∞Φ τ = ϕ τ∑ так що 0( , 0) nz zΦ = , а 1 1( ) (2 ) ( , ) n n i z z dz− − −ϕ τ = π Φ τ∫ , де контур охоп лює точку 0z = . Тоді (2) переходить у (3): 0 2 2( , ) 1 1 ( , ) (1, ) 2 2 nz a z a z z z ∂Φ τ ⎛ ⎞− + − Φ τ = Φ τ⎜ ⎟⎝ ⎠∂τ . (3) Розв’язком (3) без правої частини є 2 2 0 0 1 1 22 2 0( , ) ( ) a azn n mz mm z z e e z e z I ⎛ ⎞ τ+− τ − τ⎜ ⎟ ∞⎝ ⎠ =−∞ Φ τ = = τ∑ , де ( )mI τ — модифікована функція Бесселя. Тоді, як можна перевірити безпосереднім ди- ференціюванням, 2 2 0 2 2 2 0 ( , ) ( ) ( ) (1, ) 2 a a n m m m m az z e z I e I d ∞ τ− τ θ =−∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥Φ τ = τ + τ −θ Φ θ θ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∫ . (4) Лаплас-перетворення 0 ( ) ( )sg s e g d ∞ − τ= τ τ∫ зводить (4) до (5): 0 2 2 ( , ) 1 (1, ) 2 2 n m m m a az s z z Is s ∞ =−∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞Φ = + Φ +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∑   , (5) де 22( ) ( ) / 11 m m mI p I p pp p− ⎛ ⎞= = −−⎜ ⎟⎝ ⎠   [7]. Підставляючи 1z = у (5), знаходимо, що 2(1, ) ( ) /[1 ( /2) ( )]s I s a I sΦ = − , де 12 2 ( ) 1 2 2 m m a aI s I s s −∞ =−∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑  . (6) У даному випадку з (6) випливає, що (1, )sΦ є просто 1/( 1)s − внаслідок збереження суми (1, ) ( ) 1nt t ∞ −∞Φ = ρ =∑ . Тоді контурним інтегруванням рівняння (5) знаходимо роз- в’язок рівняння (1) в лаплас-образах 0 0( ) ( ) ( ) ( 1) n n n ns sρ = ϕ +  (верхній індекс позначає почат- кову умову): 0 0 2 2( ) ( ) 1 1 2 2 n n n n a as I s s − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠  , (7) що відповідає еволюції 46 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 8 Л.М. Христофоров 2 2 0 0 0 21 1( ) 2 2 0 ( ) ( ) ( )d 2 a a n n n n n n a e I e I ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ− τ − θ+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − −ρ τ = τ + θ θ∫ . (8) Стаціонарний розподіл 0 0( ) ( ) ( ) n n n nρ = ρ τ→∞ можна отримати як з (8), так і з (7), оскіль- ки 0 0( ) ( ) 0 lim ( ) n n n n s s s → ρ = ρ . Він є таким: 00 0 22 2 2 ( ) 2 11 1 2 42 4 44 1 n nn n n n r r ra aa a k k k ka r − −− − ⎛ ⎞⎛ ⎞ + + ++ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ρ = = + + , (9) див. рис. 2. Для малих 1а (9) зводиться до 0( /2)exp( )a a n n− ⏐ − ⏐ , що аналогічно резуль- тату роботи [3] для континуальної моделі з початком в точці 0x , якщо замість k постави- ти коефіцієнт дифузії D . Проте асимптотика 1а є степеневою, 0 0( ) ( 1) ( / ) n n n n a r k − −ρ = , що істотно відрізняється від експоненційного спадання зі збільшенням r у континуальній моделі. Середній час першого досягнення (MFPT). Під цим розуміють середній час, за який мігруючий об’єкт, стартувавши з певного вузла ланцюжка, вперше досягне іншого вузла, визначеного як “ціль”. Його континуальний аналог 0( , )T x r (з ціллю в 0x = ) розраховано в [3] за допомогою рівняння оберненої еволюції. У відсутності стохастичного повернення, як добре відомо, він є нескінченним за будь-яких, навіть дуже малих 0x . Для розрахунку цієї величини у вузельній схемі рис. 1 ми використаємо інший підхід, більш прийнятний, зокрема, в аналізі реакцій поодиноких молекул [2, 4, 8]. Розподіл ( )f t часів першого досягнення, скажімо, вузла 1n = − є просто 0( ) 0( ) ( ) n f t k t= ρ , де 0( ) 0 ( ) n tρ відпо- відає схемі для напівобмеженого ланцюжка з 0,1, 2n =  за наявності витоку k на вузлі 0n = (див. рис. 1, б). Рівняння еволюції при цьому зберігає вигляд (1), але за умови 0nρ = для всіх 0n < . Звісно, тепер сума ( )mm tρ∑ вже не дорівнює одиниці. Важливо, що для Рис. 2. Приклад стаціонарного розподілу в нескінченному ланцюжку з поверненням Рис. 3. Залежність часу першого досягнення від середньої частоти повернення у дискретній ( 0( 1, )T n r= — крива 1 та континуальній ( ( 2, )T x r= — крива 2 моделях 47ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 8 Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку обчислення MFPT 0( , )T x r не обов’язково знати явний розв’язок 0( ) 0 ( ) n tρ (що стає наба- гато складнішим, ніж (8)), оскільки 0 0( ) ( ) 0 00 00 0 ( , ) ( ) ( ) (1/4 ) ( ( )/ ) n n sT n r t f t dt k t t dt k d s ds ∞ ∞ == = ρ = − ρ∫ ∫  , а лаплас-образ 0( ) 0 ( ) n sρ отримується за такою ж процедурою, що й у попередньому розділі, з тією лише різницею, що тепер твірна функція будується як 0 ( , ) ( )m mm z z ∞ =Φ τ = ϕ τ∑ . Це зрештою дає: 0 0 0 2 2 ( ) 0 22 2 1 2 1 2 2( ) 2 1 122 2 n n n a aIs s s aa as sI Is s ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ρ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ++ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠     . (10) Беручи похідну по S від виразу (10) в точці 0s = , отримуємо: 00 ( 1)( 1) 22 2 0 2 2 1 1 ( , ) 1 1 .11 1 22 4 4 nn r r ra aT n r a rka k k k ++ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − = −+ + ++ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (11) Спробуємо тепер порівняти (11) з результатом у континуальній моделі, 0( , )T x r = 0 /1 ( 1)x r De r = − [3], замінюючи D на k , а 0x — на 0 1n + (відстань до цілі). У випадку 0 0n = (старт із сусіднього з ціллю вузла) маємо такі асимптотики. Якщо 0r → (відсутність пере- ривання), тоді 0( , )T n r і 0( , )T x r однаково прямують до нескінченності як 1/2( )kr − . Але в іншій границі, r →∞ , результати радикально відрізняються: 0( , )T x r знов прямує до не- скінченності, до того ж експоненційно, тоді як 0( , )T n r — до очевидного значення 1/k (ви- падок, що насправді не охоплюється континуальним розглядом). Для 0 1n � вже з’являється оптимальна частота переривання r , за якої 0( , )T n r має мінімум, оскільки тепер теж стає нескінченним в обох границях, 0r → та r →∞ (див. рис. 3), але асимптотики r →∞ суттє- во різняться: якщо 0( , )T x r зростає експоненційно, то 0( , )T n r — степенево, 0n r . Скінченний ланцюжок. Цьому варіанту відповідає схема рис. 1, в. Для розрахунку се- реднього часу першого досягнення мішені тут (на відміну від міграції квантової частинки [9]) не має значення, чи обмежений ланцюжок з лівого боку, чи ні — важливо лише те, що 00 n N� � , де N — кінцевий вузол праворуч. Отже, фактично розв’язується задача для об- меженого ( 0 n N� � ) ланцюжка з витоком на вузлі 0n = , тобто рівняння 01 1 0 d /d ( 2 ) N n n n n N Nn n n n m m t k k r r− + = ρ = ρ − ρ +ρ + ρ δ − ρ +δ ρ∑ , (12) з граничними умовами 1 1 0N− +ρ = ρ = та початковою умовою 0 (0)n n nρ = δ , 00 n N� � . Далі застосовуємо до (12) ту ж саму процедуру, що й у попередніх розділах, будуючи твірну функцію у вигляді скінченної суми 0 ( , ) ( ) N m mm z z=Φ τ = ϕ τ∑ . У підсумку це приводить до та- кого виразу для 0( ) 0 ( ) n sρ : 48 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 8 Л.М. Христофоров 0 0 0 0 0 2 ( ) 0 11 0 2 2 11 01 1 ( ) 2 11 ( )1 ( ) 22 , 111 ( )1 ( )1 4242 2 n n N n N N N Nn N N n a s s I I I II I a aI II Is II sI I − + + + − ⎛ ⎞ ρ = + ×⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤ − −+ −⎢ ⎥⎣ ⎦× ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ − −+ −++ +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦            (13) де всі лаплас-образи lI беруться в точці 2( 1 /2)s a+ + . Цікаво зупинитися на окремому ви- падку відсутності переривання, 0r = , оскільки внаслідок скінченності ланцюжка 0( , )T n N стає скінченним і має досить простий явний вигляд: 2 0 0 0 0 0 1 ( , ) (2 2 2 ) 2rT n N n n n N N k= = + − + + (14) зростаючи від ( 1)/N k+ при 0 0n = до ( 1)( 2)/2N N k+ + при 0n N= . Якщо ж 0r ≠ , то ди- ференціювання по s формули (13) призводить до занадто громіздкого виразу навіть за не- великих N , який навряд чи вартий аналітичних зусиль. Натомість краще розраховувати 0( , , )T n N r на основі (13) чисельно, що не викликає жодних проблем для стандартних ма- тематичних програм. Приклад розрахованих 0( , , )T n N r для 5N = подано на рис. 4, і він висвітлює цікаве розмаїття сценаріїв в залежності від місця старту 0n . Так, для 0 0n = маємо монотонне зменшення 0( , , )T n N r до 1/k в границі r →∞ . Для 0 1n = вже з’являється оптимальна середня частота повернення (мінімум 0( , , )T n N r за деякої частоти r∗). Ця можливість зберігається і для 0 2n = , а ось для 0 3n = ресетінг вже тіль- ки погіршує 0( , , )T n N r , монотонно збільшуючи його до нескінченності у границі r →∞. При збільшенні N результати досить швидко переходять у такі попереднього розділу (фор- мула (11)). Висновки. Підсумуємо ті нові риси (у порівнянні з такими континуальної моделі [3]), які з’являються у випадкового блукання з поверненням вузлами одновимірного ланцюжка. Вже стаціонарний розподіл заселеностей вузлів (9) має істотно відмінний закон спадання зі збільшенням частоти стохастичних повернень r (степеневий замість отриманого в [3] екс- поненційного). Ще яскравіші відмінності виникають у співставленні результатів щодо се- редніх часів першого досягнення цілі, 0( , )T n r та 0( , )T x r . Наведений тут вираз (11) є точним для будь- якого розташування цілі, навіть на сусідньому вузлі, тоді як спроба отримати відповідний аналог з форму- ли для 0( , )T x r в цьому випадку призводить до хибних висновків. Для 0 1n � певна аналогія результатів (іс- нування оптимальної частоти повернень) зберігаєть- ся, але відмінності на кількісному (див. рис. 3) і навіть на якісному рівні (степеневе збільшення 0nr замість експоненційного) залишаються суттєвими. Нарешті, розгляд випадку скінченного ланцюжка виявив ціка- вий ефект виникнення й зникнення оптимального ре- Рис. 4. Якісні зміни залежності T(n0, N, r) від r для різних стартових позицій n0 у скінченному ланцюжку (N = 5) 49ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 8 Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку жиму переривання в залежності від відстані до цілі. Отже, розгляд дискретного аналога наріжної континуальної моделі дійсно додає низку важливих рис щодо стохастичних про- цесів з поверненням та їхніх можливих застосувань. Робота виконана за конкурсною темою 0120U100858 НАН України. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Reuveni S., Urbakh M., Klafter J. Role of substrate unbinding in Michaelis-Menten enzymatic reactions. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2014. 111. P. 4391—4396. https://doi.org/10.1073/pnas.1318122111 2. Христофоров Л.М. Вплив від’єднання субстрату на кінетику ферментативного каталізу. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 1. C. 40—46. http://doi.org/10.15407/dopovidi2019.01.040 3. Evans M.R., Majumdar S.N. Diffusion with stochastic resetting. Phys. Rev. Lett. 2011. 106. P. 160601. https:// doi.org/10.1103/PhysRevLett.106.160601 4. Lu H.P., Xun L., Xie X.S. Single-molecule enzymatic dynamics. Science. 1998. 282. P. 1877—1882. https://doi. org/10.1126/science.282.5395.1877 5. Reuveni S. Optimal stochastic restart renders fluctuations in first passage times universal. Phys. Rev. Lett. 2016. 116. P. 170601. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.170601 6. Majumdar S.N., Pal A., Schehr G. Extreme value statistics of correlated random variables: A pedagogical review. Phys. Reports. 2020. 840. P. 1—32. https://doi.org/10.1016/j.physrep.2019.10.005 7. Bateman H. Tables of integral transforms. V. 1. P. 182. New York: McGraw-Hill, 1954. 8. Christophorov L.N. On the velocity of enzymatic reactions in Michaelis—Menten-like schemes (ensemble and single-molecule versions). Ukr. J. Phys. 2020. 65. P. 412—418. https://doi.org/10.15407/ujpe65.5.412 9. Christophorov L.N., Zagorodny A. G. Peculiarities of migration and capture of a quantum particle in a chain with traps. Chem. Phys. Lett. 2017. 682. P. 77—81. http://dx.doi.org/10.1016/j.cplett.2017.06.010 Надійшло до редакції 01.06.2020 REFERENCES 1. Reuveni, S., Urbakh, M. & Klafter J. (2014). Role of substrate unbinding in Michaelis-Menten enzymatic reactions. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 111, pp. 4391-4396. https://doi.org/10.1073/pnas.1318122111 2. Christophorov, L. N. (2019). Influence of substrate unbinding on kinetics of enzymatic catalysis. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 1, pp. 40-46 (in Ukrainian). http://doi.org/10.15407/dopovidi2019.01.040 3. Evans, M. R. & Majumdar, S. N. (2011). Diffusion with stochastic resetting. Phys. Rev. Lett., 106, pp. 160-601. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.106.160601 4. Lu, H. P., Xun, L. & Xie, X. S. (1998). Single-molecule enzymatic dynamics. Science, 282, pp. 1877-1882. https://doi.org/10.1126/science.282.5395.1877 5. Reuveni, S. (2016). Optimal stochastic restart renders fluctuations in first passage times universal. Phys. Rev. Lett., 116, pp. 170601. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.170601 6. Majumdar, S. N., Pal, A. & Schehr, G. (2020). Extreme value statistics of correlated random variables: A pedagogical review. Phys. Reports, 840, pp. 1-32. https://doi.org/10.1016/j.physrep.2019.10.005 7. Bateman, H. (1954). Tables of integral transforms. V. 1, p. 182. New York: McGraw-Hill. 8. Christophorov, L. N. (2020). On the velocity of enzymatic reactions in Michaelis-Menten-like schemes (ensemble and single-molecule versions). Ukr. J. Phys., 65, pp. 412-418. https://doi.org/10.15407/ujpe 65.5.412 9. Christophorov, L. N., Zagorodny, A. G. (2017). Peculiarities of migration and capture of a quantum particle in a chain with traps. Chem. Phys. Lett., 682, pp. 77-81. http://dx.doi.org/10.1016/j.cplett.2017.06.010 Received 01.06.2020 50 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 8 Л.М. Христофоров L.N. Christophorov Bogolyubov Institute for Theoretical Physics of the NAS of Ukraine, Kyiv E-mail: lchrist@bitp.kiev.ua RANDOM WALK WITH RESETTING IN A 1D CHAIN If the classical model of random walks is added with the stochastic resetting to the starting point, then the whole process acquires new nontrivial features. In particular, there appears a non-equilibrium steady state. In addition, the mean first passage time (which is infinite in the absence of restarts) becomes finite and can be optimized by choosing a proper mean intermittence frequency r. It is shown that, in the case of random walks on the nodes of a one-dimensional chain, these effects essentially differ from their analogs within the classical continuous diffusion model. In particular, the asymptotes of the dependences of stationary node populations on r change from exponential to power ones. Similar qualitative and quantitative distinctions take place for the mean first passage time as well. In the case of a finite chain, the interesting effect of emergence and disappearance of a possibility of the minimization of this time, depending on the distance to a defined target, shows up. Keywords: low-dimensional lattices, random walk, stochastic resetting, first passage time.

Випадкове блукання з поверненням в одновимірному ланцюжку

Institution

Ähnliche Einträge