Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінченним початковим деформаціям
Досліджено поширення нормальних хвиль та явище поверхневої нестійкості у попередньо деформованому нестисливому пружному шарі. Результати отримано на основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для нестисливого пружного шару. Застосовано постановку задачі та пі...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173201 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінченним початковим деформаціям / О.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 9. — С. 31-37. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-173201 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Багно, О.М. 2020-11-25T16:41:39Z 2020-11-25T16:41:39Z 2020 Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінченним початковим деформаціям / О.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 9. — С. 31-37. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.09.031 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173201 539.3 Досліджено поширення нормальних хвиль та явище поверхневої нестійкості у попередньо деформованому нестисливому пружному шарі. Результати отримано на основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для нестисливого пружного шару. Застосовано постановку задачі та підхід, що базуються на використанні представлень загальних розв'язків лінеаризованих рівнянь для нестисливого пружного тіла. Використовуючи метод Фур'є, отримано задачу про власні значення для рівняння руху пружного тіла. Розв'язуючи її, визначено відповідні власні функції. Після підстановки отриманих загальних розв'язків в граничні умови задачі отримано однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо довільних сталих. Виходячи з умови існування нетривіального розв'язку цієї системи, отримано дисперсійне рівняння, яке розв'язувалося чисельно. Побудовані дисперсійні криві нормальних хвиль Лемба в широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив скінченних початкових деформацій у нестисливому пружному шарі на фазові швидкості, дисперсію мод Лемба та поверхневу нестійкість. Визначено значення параметра критичного укорочення, при якому виникає явище поверхневої нестійкості пружного шару. Числові результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз. The problem of normal waves propagation in a pre-deformed incompressible elastic layer is considered. To study the propagation of Lamb waves in a elastic layer, we will use prestressed body model and the three-dimensional linearized equations of finite deformations for the elastic body. We will use a problem formulation and a method that are based on the general solutions of the linearized equations of motion of a prestressed body. Using the Fourier method, we arrive at the eigenvalue problem for the equation of motion of an elastic body. Solving it, we determine the corresponding eigenfunctions. After substituting the obtained general solutions in the boundary conditions, we obtain a homogeneous system of linear algebraic equations with respect to arbitrary constants. Based on the condition for the existence of a nontrivial solution to this system, we obtain the dispersion equation. A dispersion equation, which describes propagation of harmonic waves in elastic layer in a wide range of frequencies is obtained. On the basis of three-dimensional linearized equations of the elasticity theory of finite deformations for a incompressible elastic layer the dispersion curves of Lamb normal waves are constructed in a wide range of frequencies. The influence of finite initial deformations in an incompressible elastic layer on phase velocities, dispersion of the Lamb modes and surface instability is analyzed. It follows from the graphical material presented that in the case of compression with when shortening equal 0.54, i.e., with a 46 percent’s reduction in the length of the highly elastic incompressible body, the phase velocities of the surface waves vanish. This indicates that surface instability develops at when shortening equal 0.54 for a highly elastic incompressible non-Hookean body initially in a plane stress-strain state. We should point out that these figures agree with results obtained earlier in the theory of stability and correspond to the critical value of the contraction parameter. In the case of highly elastic incompressible bodies, linearized wave theory makes it possible to study not only general and several specific wave processes, but also the conditions under which surface instability begins in elastic bodies. The numerical results are presented in the form of graphs and their analysis is given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінченним початковим деформаціям On surface instability of incompressible elastic layer exposed to the finite initial deformation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінченним початковим деформаціям |
| spellingShingle |
Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінченним початковим деформаціям Багно, О.М. Механіка |
| title_short |
Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінченним початковим деформаціям |
| title_full |
Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінченним початковим деформаціям |
| title_fullStr |
Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінченним початковим деформаціям |
| title_full_unstemmed |
Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінченним початковим деформаціям |
| title_sort |
про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінченним початковим деформаціям |
| author |
Багно, О.М. |
| author_facet |
Багно, О.М. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2020 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On surface instability of incompressible elastic layer exposed to the finite initial deformation |
| description |
Досліджено поширення нормальних хвиль та явище поверхневої нестійкості у попередньо деформованому
нестисливому пружному шарі. Результати отримано на основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії
пружності скінченних деформацій для нестисливого пружного шару. Застосовано постановку задачі та
підхід, що базуються на використанні представлень загальних розв'язків лінеаризованих рівнянь для нестисливого пружного тіла. Використовуючи метод Фур'є, отримано задачу про власні значення для рівняння руху пружного тіла. Розв'язуючи її, визначено відповідні власні функції. Після підстановки отриманих
загальних розв'язків в граничні умови задачі отримано однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
щодо довільних сталих. Виходячи з умови існування нетривіального розв'язку цієї системи, отримано дисперсійне рівняння, яке розв'язувалося чисельно. Побудовані дисперсійні криві нормальних хвиль Лемба в широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив скінченних початкових деформацій у нестисливому пружному шарі на фазові швидкості, дисперсію мод Лемба та поверхневу нестійкість. Визначено значення параметра критичного укорочення, при якому виникає явище поверхневої нестійкості пружного шару. Числові
результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз.
The problem of normal waves propagation in a pre-deformed incompressible elastic layer is considered. To study
the propagation of Lamb waves in a elastic layer, we will use prestressed body model and the three-dimensional
linearized equations of finite deformations for the elastic body. We will use a problem formulation and
a method that are based on the general solutions of the linearized equations of motion of a prestressed body. Using
the Fourier method, we arrive at the eigenvalue problem for the equation of motion of an elastic body. Solving it,
we determine the corresponding eigenfunctions. After substituting the obtained general solutions in the boundary
conditions, we obtain a homogeneous system of linear algebraic equations with respect to arbitrary constants.
Based on the condition for the existence of a nontrivial solution to this system, we obtain the dispersion
equation. A dispersion equation, which describes propagation of harmonic waves in elastic layer in a wide range
of frequencies is obtained. On the basis of three-dimensional linearized equations of the elasticity theory of
finite deformations for a incompressible elastic layer the dispersion curves of Lamb normal waves are constructed
in a wide range of frequencies. The influence of finite initial deformations in an incompressible elastic layer on
phase velocities, dispersion of the Lamb modes and surface instability is analyzed. It follows from the graphical
material presented that in the case of compression with when shortening equal 0.54, i.e., with a 46 percent’s reduction
in the length of the highly elastic incompressible body, the phase velocities of the surface waves vanish.
This indicates that surface instability develops at when shortening equal 0.54 for a highly elastic incompressible
non-Hookean body initially in a plane stress-strain state. We should point out that these figures agree with results
obtained earlier in the theory of stability and correspond to the critical value of the contraction parameter.
In the case of highly elastic incompressible bodies, linearized wave theory makes it possible to study not only
general and several specific wave processes, but also the conditions under which surface instability begins in
elastic bodies. The numerical results are presented in the form of graphs and their analysis is given.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173201 |
| citation_txt |
Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінченним початковим деформаціям / О.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 9. — С. 31-37. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT bagnoom propoverhnevunestíikístʹnestislivogopružnogošarupíddanogoskínčennimpočatkovimdeformacíâm AT bagnoom onsurfaceinstabilityofincompressibleelasticlayerexposedtothefiniteinitialdeformation |
| first_indexed |
2025-11-25T22:57:36Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:57:36Z |
| _version_ |
1850576612177739776 |
| fulltext |
31
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9: 31—37
Дослідженню закономірностей поширення пружних хвиль у попередньо напружених тілах
присвячено значну кількість робіт, досить повна бібліографія яких, огляд і аналіз отрима-
них результатів представлені в [1—5]. Постановці задач і виводу дисперсійних рівнянь в
лагранжевих координатах природного недеформованого стану, що описують хвилі Лемба в
попередньо деформованих нестисливих тілах, присвячені роботи [2—5]. Однак, незважаю-
чи на актуальність даного питання і наявне велике число публікацій, кількісній інформації
про вплив скінченних початкових деформацій на швидкості та дисперсію хвиль Лемба для
нестисливих тіл приділено уваги незаслужено мало. У зв’язку з цим у повідомленні наве-
дено залежності, отримані чисельним шляхом, величини фазових швидкостей і дисперсії
Ц и т у в а н н я: Багно О.М. Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару, підданого скінчен-
ним початковим деформаціям. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9. С. 31—37. https://doi.org/10.15407/
dopovidi2020.09.031
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.09.031
УДК 539.3
О.М. Багно
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: alexbag2016@gmail.com
Про поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару,
підданого скінченним початковим деформаціям
Представлено академіком НАН України О.М. Гузем
Досліджено поширення нормальних хвиль та явище поверхневої нестійкості у попередньо деформованому
нестисливому пружному шарі. Результати отримано на основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії
пружності скінченних деформацій для нестисливого пружного шару. Застосовано постановку задачі та
підхід, що базуються на використанні представлень загальних розв’язків лінеаризованих рівнянь для не-
стисливого пружного тіла. Використовуючи метод Фур’є, отримано задачу про власні значення для рів-
няння руху пружного тіла. Розв’язуючи її, визначено відповідні власні функції. Після підстановки отриманих
загальних розв’язків в граничні умови задачі отримано однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
щодо довільних сталих. Виходячи з умови існування нетривіального розв’язку цієї системи, отримано дис-
персійне рівняння, яке розв’язувалося чисельно. Побудовані дисперсійні криві нормальних хвиль Лемба в ши-
рокому діапазоні частот. Проаналізовано вплив скінченних початкових деформацій у нестисливому пруж-
ному шарі на фазові швидкості, дисперсію мод Лемба та поверхневу нестійкість. Визначено значення па-
раметра критичного укорочення, при якому виникає явище поверхневої нестійкості пружного шару. Числові
результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз.
Ключові слова: хвилі Лемба, дисперсія мод, нестисливий пружний шар, скінченні початкові деформації, по-
верхнева нестійкість.
МЕХАНІКА
32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 9
О.М. Багно
хвиль Лемба від початкових деформацій у випадку високоеластичного нестисливого пруж-
ного шару, підданого великим (скінченним) початковим деформаціям.
Постановка задачі. Розглянемо задачу про поширення акустичних хвиль в пружному
нестисливому шарі, підданому великим (скінченним) початковим деформаціям. Розв’язок
отримаємо із залученням тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності при скін-
ченних деформаціях для пружного шару [2—4]. У якості підходу обрані постановки задач і
метод, засновані на застосуванні представлень загальних розв’язків рівнянь руху пружного
тіла [2—4].
Далі розглянемо такі динамічні процеси в пружному тілі, при яких виникають додатко-
ві деформації, тобто збурення деформацій, які значно менші за початкові. Досліджуємо гар-
монічні хвильові процеси малої амплітуди. При цьому приймемо, що пружне тіло знахо-
диться в початковому стані.
В рамках прийнятих моделей основні співвідношення для попередньо напруженого не-
стисливого пружного тіла приймають такий вигляд [2—4]:
αβ α α
β
⎛ ⎞∂ ∂ ∂κ − δ ρ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂∂⎝ ⎠
2 2
2
0,ij j ij
i i
p
u q
z z zt
∈ 1kz V ; (1)
αβ β αβκ = λ λ κ ij i ij ; = λij i ijq q ; λ λ λ =1 2 3 1;
∂
=
∂
0j
ij
i
u
q
z
, ∈ 1kz V ; (2)
α
αβ
β
⎛ ⎞∂
≡ κ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
0
j i ij ij
u
Q N q p
z
, ∈kz S . (3)
Введені тут тензори αβκ ij та ijq залежать від виду початкового стану і типу пружного по-
тенціалу матеріалу твердого тіла. Вирази для обчислення складових цих тензорів наведені
в роботі [6]. Там же запропоновані спрощення для різних варіантів теорії малих початкових
деформацій.
Вище прийняті наступні позначення: iu — компоненти вектора зсувів пружного тіла u;
ρ — щільність матеріалу пружного шару; λ і — подовження пружного шару в напрямках
координатних осей; iQ — складові напружень у пружному тілі; 1V — об’єм, який займає
пружне тіло; S — поверхня пружного тіла.
Далі припустимо, що ізотропне нелінійно-пружне тверде тіло, пружний потенціал яко-
го є довільною двічі безперервно-диференційованою функцією компонент тензора дефор-
мацій Гріна, займає об’єм: −∞ < < ∞1 ,z − 22 2h z h� � , −∞ < < ∞3z . Приймемо, що зовніш ні
сили, які діють на вказане тіло, розподілені рівномірно уздовж осі 3 .Oz У цьому випадку
задача є плоскою і можна обмежитися вивченням процесу поширення хвиль у площині
1 2.Oz z Таким чином, зазначена задача зводиться до розв’язання системи рівнянь (1)—(3)
за таких граничних умов:
=− =
21 2 0z hQ ; =− =
22 2 0z hQ ; = =
21 2 0z hQ ; = =
22 2 0z hQ . (4)
Надалі будемо використовувати представлення загальних розв’язків, отриманих у ро-
ботах [2—4]. Будемо досліджувати хвильові процеси в попередньо деформованих нестис-
33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9
Про вплив скінченних початкових деформацій на поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару...
ливих пружних тілах, початковий стан яких є однорідним. У разі однорідного напруже но-
деформованого стану для плоского випадку загальні розв’язки мають вигляд [2—4]
∂ χ= −
∂ ∂
2
1
1 2
u
z z
; − − ∂= λ λ χ
∂
2
1 1
2 1 1 2 2 2
1
u q q
z
;
− − −⎧ ∂⎪ ⎡ ⎤= λ λ λ + − λ λ + μ +⎨ ⎣ ⎦ ∂⎪⎩
⎫∂ ∂ ∂⎪+λ λ μ + − ρ χ⎬ ∂∂ ∂ ⎪⎭
2
1 1 2 2 0 1
1 1 1 1 11 11 1 2 1 2 12 12 2
1
2 2
2 2 0
2 1 12 22 2 2
22
( )
( ) ,
p q a s q q a
z
s
zz t
де введена функція χ є розв’язком такого рівняння:
⎡ λ λ μ +∂ ∂ ρ ∂+ − +⎢
∂ λ λ μ + ∂ λ λ μ + ∂ ∂⎢⎣
4 2 2 04 4 4
2 2 1 12 22
4 4 2 2 0 4 2 2 0 2 2
1 1 1 2 12 11 2 1 2 12 11 1
( )
( ) ( )
q s
z q s z s z t
− −
− −
λ + + λ + − λ λ + μ ∂+ −
λ λ λ μ + ∂ ∂
1 2 0 1 2 0 4
1 2 2 22 22 1 2 1 11 11 1 2 12 12
2 2 2 0 1 2 2
1 2 2 12 11 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( )
( )
q q a s q q a s a
s q q z z
⎤λ ρ ∂− χ =⎥
λ λ μ + ∂ ∂ ⎥⎦
2 2 4
2 2
4 2 2 0 2 2
1 1 2 12 11 2
0
( )
q
q s z t
; −= λ 1
i iq ; λ λ =1 2 1 .
Тут введено такі позначення: ija , μij — величини, що визначаються з рівнянь стану і зале-
жать від виду пружного потенціалу [2—6]; 0
ііs — початкові напруження.
Для аналізу поширення збурень, які гармонічно змінюються в часі, розв’язки системи
рівнянь визначаємо в класі біжучих хвиль
χ = − ω2 1( )exp[ ( )]X z i kz t ,
де k — хвильове число; ω — кругова частота; i — уявна одиниця ( = −1i ).
Зауважимо, що обраний в даній роботі клас гармонічних хвиль, будучи найбільш прос-
тим і зручним в теоретичних дослідженнях, не обмежує загальності отриманих результатів,
оскільки лінійна хвиля довільної форми, як відомо, може бути представлена набором гармо-
нічних складових. Далі застосовуючи метод Фур’є, приходимо до задачі про власні значен-
ня для рівняння руху пружного тіла. Розв’язуючи її, визначаємо відповідні власні функції.
Після підстановки отриманих загальних розв’язків в граничні умови (4) отримуємо од-
норідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо довільних сталих. Виходячи з умови
існування нетривіального розв’язку цієї системи, отримуємо дисперсійне рівняння
ρ μ λ μ ω =0det ( , , , , , , , ) 0lm i ij ij ii se c a s h c =( , 1,4)l m , (5)
де с – фазова швидкість мод у пружному тілі; h — товщина пружного шару; sc — швидкість
хвилі зсуву в матеріалі пружного тіла ( = μ ρ2
sc ); μ — модуль зсуву матеріалу пружного тіла.
34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 9
О.М. Багно
Відзначимо, що дисперсійне рівняння (5) не залежить від форми пружного потенціалу
та отримане для нестисливих пружних тіл, підданих великим (скінченним) початковим де-
формаціям. Воно є найбільш загальним і з нього можна отримати співвідношення для ряду
частинних випадків [7]. Якщо −∞ < 0h� , то зі співвідношення (5) отримаємо рівняння для
визначення швидкостей хвиль Релея [1—4]. При =0 0ііs ( λ =1 1 ) отримаємо рівності для
ґрунтовно досліджених в рамках класичної теорії пружності хвиль Релея і Лемба [7].
Числові результати. Надалі дисперсійне рівняння (5) розв’язуємо чисельно. Розра-
хун ки проводимо для високоеластичної гуми, пружні властивості якої описуються пруж-
ним потенціалом Трелоара при наступних механічних параметрах: — ρ = 1200 кг/м3,
μ = ⋅ 61,2 10 Па. Матеріал пружного тіла (гума) цього хвилеводу є нестисливим, податливим
і м’яким. Крім того, при розв’язанні передбачалося, що початковий напружений стан за-
довольняв співвідношенням ≠0
11 0s , =0
22 0s . Як показано в роботі [6], при такому заванта-
женні немає аналогії між задачами в лінеаризованій і лінійній постановках. Тому результа-
ти для тіл з початковими напруженнями не можуть бути отримані з розв’язків відповід-
них лі нійних задач.
Зауважимо, що рівняння (5) виведено без будь-яких додаткових вимог до виду функції
пружного потенціалу, тому воно має місце для пружних потенціалів довільної форми.
Далі дисперсійне рівняння (5) розв’язуємо чисельно. Результати обчислень у вигляді
графіків представлені на рис. 1 та 2.
На рис. 1, а зображені дисперсійні криві, що відображають залежності безрозмірних
величин фазових швидкостей антисиметричних мод Лемба c ( = sc c c ) від безрозмірної
величини товщини пружного шару (частоти) h ( = ω sh h c ). На рис. 1, б наведені аналогіч-
ні криві для симетричних мод Лемба.
На цих рисунках суцільні лінії відповідають випадку попередньо стисненого пружного
шару ( λ =1 0,8 ), а штрихові лінії отримані за відсутності початкових деформацій ( λ =1 1 ).
При цьому номерами an позначені антисиметричні моди, а sn — відповідно симетричні моди.
Характер впливу попереднього деформування пружного шару на швидкості нульових
антисиметричної і симетричної мод Лемба ілюструють графіки на рис. 2, де представлені
залежності безрозмірних величин фазових швидкостей c цих мод від зміни величини λ1 .
На рис. 2, а наведені результати обчислень як для попередньо стиснутих ( λ <1 1), так і по-
передньо розтягнутих ( λ11 1,3� � ) пружних шарів. Рис. 2, б представляє значення фазових
Рис. 1
35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9
Про вплив скінченних початкових деформацій на поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару...
швидкостей цих мод для сильно стисненого пружного шару ( λ10,54369 0,5437� � ). На ве-
дені на рис. 2, а і 2, б графіки отримані для пружних шарів з товщиною h = 10.
Аналіз числових результатів. З графіків, наведених на рис. 1, а та 1, б, випливає, що
зі зростанням частоти (товщини пружного шару) h швидкості нульових антисиметрич-
них мод Лемба прямують знизу до швидкостей хвиль Релея Rc ( =R R sc c c ). При цьому
= 0,7096Rc для λ =1 0,8 та = 0,9553Rc для λ =1 1 , а швидкості нульових симетричних мод —
до цих же швидкостей хвиль Релея Rc зверху. Моди вищого порядку поширюються в пруж-
них шарах з фазовими швидкостями, які прямують зі зростанням частоти ( → ∞h ) до швид-
кості хвилі зсуву в матеріалі пружного тіла sc . Відзначимо, що початкове стиснення пруж-
ного шару призводить до зменшення числа нормальних хвиль Лемба, які поширюються на
даному інтервалі частот. Початкові напруження також змінюють частоти зародження мод і
конфігурацію їх дисперсійних кривих. При стисненні відбувається зміщення дисперсійних
кривих в короткохвильову частину спектра. У роботі [5] для пружного шару із стисливого
матеріалу було вперше показано, що в пружному хвилеводі початкові напруження викли-
кають зміну частот зародження мод Лемба і зміщення їх дисперсійних кривих. Це призво-
дить до того, що в околі критичних частот величини фазових швидкостей мод в попередньо
деформованому шарі можуть бути як менше, так і більше величин фазових швидкостей від-
повідних мод в тілі без початкових напружень. Цим обумовлена поява в спектрі пружного
хвилеводу частот, при яких початкові напруження не впливають на величини фазових
швидкостей ряду нормальних хвиль Лемба [5]. З графіків, наведених на рис. 1, а та рис. 1, б,
випливає, що зазначена закономірність має місце і для пружного шару з нестисливого ма-
теріалу. Неважко бачити, що для всіх мод, крім нульової антисиметричної, існують частоти
(товщини пружного шару) h , при яких фазові швидкості c не залежать від початкового
стиснення λ1 . Мабуть, ця закономірність, вперше виявлена для стисливих тіл і описана в
роботі [5], має загальний характер і властива частотним діапазонам пружних хвилеводів із
стисливих і нестисливих матеріалів.
З графіків, наведених на рис. 2, а і 2, б, випливає, що стиснення пружного шару приз-
водить до зменшення фазових швидкостей нульових антисиметричної і симетричної мод
Лемба і відмінностей між їх величинами. Тому графіки на рис. 2, б, що відображають по-
ведінку цих мод для сильно стисненого високоеластичного шару, зливаються в одну лінію.
Рис. 2
36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 9
О.М. Багно
Поверхнева нестійкість високоеластичного пружного шару. Як видно з графіків рис. 1,
нульова антисиметрична мода Лемба при зростанні частоти (товщини пружного шару) h ,
поширюючись уздовж вільної поверхні пружного шару, стає поверхневою. При цьому швид-
кість її прямує до величини швидкості хвилі Релея. Це повною мірою стосується також і
нульової симетричної моди, яка поширюється вздовж другої вільної поверхні пружного
шару. З графіків, наведених на рис. 2, б, випливає, що при стисненні і λ ≈1 0,54 (більш точне
значення λ ≈1 0,543694 ), тобто при зменшенні довжини високоеластичного нестисливого
тіла на 46 % величини фазових швидкостей нульових антисиметричної і симетричної квазі-
релеєвих мод обертаються в нуль. Це свідчить про те, що в умовах плоского напружено-
деформованого початкового стану для високоеластичного нестисливого неогуківського
ті ла при λ ≈1 0,54 виникає явище поверхневої нестійкості. Відзначимо, що це значення збі-
гається з раніше отриманим в теорії стійкості [8] і відповідає значенню параметра кри-
тичного укорочення λкр .
Таким чином, розвинена лінеаризована теорія хвиль стосовно високоеластичних не-
стис ливих тіл дозволяє досліджувати хвильові процеси не тільки в загальному і ряді окре-
мих випадків, але також можливість і умови виникнення явища поверхневої нестійкості
пружного тіла.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Babich S.Y., Guz A.N., Zhuk A.P. Elastic waves in bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech. 1979. 15, № 4.
P. 277–291.
2. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. В 2 т. Киев: Наук. думка, 1986.
3. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. Киев: А.С.К., 2004. 672 с.
4. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями: 2 части. Saarbrucken:
LAP, 2016. Ч. 2. 505 с.
5. Гузь А.Н., Жук А.П., Махорт Ф.Г. Волны в слое с начальными напряжениями. Киев: Наук. думка, 1976.
104 с.
6. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при всестороннем сжатии. Киев: Наук. думка, 1979. 144 с.
7. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. Москва: Наука, 1981. 288 с.
8. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наук. думка, 1973. 272 с.
Надійшло до редакції 22.01.2020
REFERENCES
1. Babich, S.Y., Guz, A.N. & Zhuk, A.P. (1979). Elastic waves in bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech., 15,
No. 4, pp. 277-291. https://doi.org/ 10.1007/BF00884760
2. Guz, A.N. (1986). Elastic waves in bodies with initial stresses. 2 vols. Kyiv: Naukova Dumka (in Russian).
3. Guz, A.N. (2004). Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses. Kyiv: A.C.K. (in Russian).
4. Guz, A.N. (2016). Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses. 2 parts. Saarbrucken: LAP (in
Russian).
5. Guz, A.N., Zhuk, A.P. & Makhort, F.G. (1976). Waves in layer with initial stresses. Kyiv: Naukova Dumka
(in Russian).
6. Guz, A.N. (1979). Stability of elastic bodies under hydrostatic pressure. Kyiv: Naukova Dumka (in Russian).
7. Viktorov, I.A. (1981). Sound surface waves in solids. Moscow: Nauka (in Russian).
8. Guz, A.N. (1973). Stability of elastic bodies under finite deformations. Kyiv: Naukova Dumka (in Russian).
Received 22.01.2020
37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9
Про вплив скінченних початкових деформацій на поверхневу нестійкість нестисливого пружного шару...
А.M. Bagno
S.P. Tymoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: alexbag2016@gmail.com
ON SURFACE INSTABILITY OF INCOMPRESSIBLE ELASTIC LAYER
EXPOSED TO THE FINITE INITIAL DEFORMATION
The problem of normal waves propagation in a pre-deformed incompressible elastic layer is considered. To stu-
dy the propagation of Lamb waves in a elastic layer, we will use prestressed body model and the three-dimen-
sional linearized equations of finite deformations for the elastic body. We will use a problem formulation and
a method that are based on the general solutions of the linearized equations of motion of a prestressed body. Using
the Fourier method, we arrive at the eigenvalue problem for the equation of motion of an elastic body. Solving it,
we determine the corresponding eigenfunctions. After substituting the obtained general solutions in the boun-
dary conditions, we obtain a homogeneous system of linear algebraic equations with respect to arbitrary con-
stants. Based on the condition for the existence of a nontrivial solution to this system, we obtain the dispersion
equation. A dispersion equation, which describes propagation of harmonic waves in elastic layer in a wide range
of frequencies is obtained. On the basis of three-dimensional linearized equations of the elasticity theory of
finite deformations for a incompressible elastic layer the dispersion curves of Lamb normal waves are constructed
in a wide range of frequencies. The influence of finite initial deformations in an incompressible elastic layer on
phase velocities, dispersion of the Lamb modes and surface instability is analyzed. It follows from the graphical
material presented that in the case of compression with when shortening equal 0.54, i.e., with a 46 percent’s re-
duction in the length of the highly elastic incompressible body, the phase velocities of the surface waves vanish.
This indicates that surface instability develops at when shortening equal 0.54 for a highly elastic incompressible
non-Hookean body initially in a plane stress-strain state. We should point out that these figures agree with re-
sults obtained earlier in the theory of stability and correspond to the critical value of the contraction parameter.
In the case of highly elastic incompressible bodies, linearized wave theory makes it possible to study not only
general and several specific wave processes, but also the conditions under which surface instability begins in
elastic bodies. The numerical results are presented in the form of graphs and their analysis is given.
Keywords: Lamb waves, dispersion of modes, incompressible elastic layer, finite initial deformation, surface
instability.
|