Гідродинамічна модель технологічного процесу безперервного лиття заготовок з кольорових металів та сплавів
We propose a hydrodynamic model adequately describing the technological process of continuous casting of the billets of non-ferrous metals and alloys. The full system of differential equations with the corresponding boundary conditions forming the basis of the given model is formulated and solved. A...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1733 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гідродинамічна модель технологічного процесу безперервного лиття заготовок з кольорових металів та сплавів / С.С. Недорезов, О.М. Хорошилов // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 76–80. — Бібліогр.: 2 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859657310134075392 |
|---|---|
| author | Недорезов, С.С. Хорошилов, О.М. |
| author_facet | Недорезов, С.С. Хорошилов, О.М. |
| citation_txt | Гідродинамічна модель технологічного процесу безперервного лиття заготовок з кольорових металів та сплавів / С.С. Недорезов, О.М. Хорошилов // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 76–80. — Бібліогр.: 2 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | We propose a hydrodynamic model adequately describing the technological process of continuous casting of the billets of non-ferrous metals and alloys. The full system of differential equations with the corresponding boundary conditions forming the basis of the given model is formulated and solved. A close fit of the theory with experimental data is got.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:18:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 621.74
© 2007
С.С. Недорезов, О.М. Хорошилов
Гiдродинамiчна модель технологiчного процесу
безперервного лиття заготовок з кольорових металiв
та сплавiв
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. I. Дубодєловим)
We propose a hydrodynamic model adequately describing the technological process of continuous
casting of the billets of non-ferrous metals and alloys. The full system of differential equations
with the corresponding boundary conditions forming the basis of the given model is formulated
and solved. A close fit of the theory with experimental data is got.
1. В технологiчному процесi безперервного лиття кольорових металiв та сплавiв одним iз
складних завдань є:
визначення iзотерми фронту твердiння кольорових сплавiв, форми лунки рiдкої фази
для горизонтально розташованого кристалiзатора машини безперервного лиття заготовок
(ГМБЛЗ);
визначення вiдстанi вiд вихiдного торця кристалiзатора до точок перетину iзотерми
фронту твердiння з верхньою та нижньою твiрною графiтової втулки кристалiзатора (ГВК);
визначення технологiчних параметрiв процесу безперервного лиття, при яких буде пiд-
тримуватися задана вiдстань вiд вихiдного торця кристалiзатора до точки перетину iзо-
терми фронту твердiння з верхньою твiрною ГВК, що дозволяє пiдвищити стабiльнiсть
процесу.
Даний технологiчний процес моделюємо в’язкою рiдиною, яка проводить тепло та руха-
ється в цилiндрi радiусом R, що розташований горизонтально вздовж осi OX у полi важ-
костi ~F = ρ · ~q (див. рис. 1). Фiзичнi властивостi розглянутої рiдини описуються рiвнянням
Нав’є–Стокса, а також рiвняннями безперервностi й теплопровiдностi. Данi рiвняння до-
повнюються граничними умовами, сформульованими на основi умов, в яких вiдбувається
розглядуваний технологiчний процес.
2. В результатi розв’язання зазначеної системи рiвнянь одержуємо розподiл температури
T як у поперечному перерiзi цилiндра, так i на його поверхнi, що i є основою пропонованої
гiдродинамiчної моделi. Дана модель дозволяє:
визначати температуру як по об’єму цилiндричної заготовки, так i по її поверхнi;
визначати особливостi процесу горизонтального безперервного лиття, тобто визначати
положення iзотерми фронту твердiння кольорових сплавiв, а так само форму лунки рiдкої
фази в заготовцi та ступiнь термоконвективного розшарування розплаву в горизонтальному
кристалiзаторi;
визначати вiдстанi вiд вихiдного торця кристалiзатора до точок перетину iзотерми фрон-
ту твердiння з верхньою й нижньою твiрними лiнiями ГВК;
визначати технологiчнi параметри процесу безперервного лиття, при яких буде пiдтри-
муватися задана вiдстань вiд вихiдного торця кристалiзатора до точки перетину iзотерми
фронту твердiння з верхньою твiрною лiнiєю ГВК, що дозволятиме пiдвищити стабiльнiсть
процесу.
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
Рис. 1. Схема розташування цилiндричної заготовки:
1 — iзотерма фронту твердiння, що розташована на поверхнi заготовки, отриманої на машинi горизонталь-
ного безперервного лиття
Швидкiсть ~V руху в’язкої рiдини визначається стацiонарним рiвнянням Нав’є–Стокса [1]
(~V ∇)~V = −
1
ρ
grad P +
η
ρ
∆~V +
1
ρ
(
ς +
η
3
)
grad div ~V + ~q, (1)
де η й ς — коефiцiєнти в’язкостi; ρ — густина рiдини; P — тиск; ∆ — оператор Лапласа.
До рiвняння (1) додаємо рiвняння безперервностi
div ρ~V = 0 (2)
i рiвняння теплопровiдностi
(~V ∇)T = χ∆T +
v
2Cp
[
∂Vi
∂xk
+
∂Vk
∂xi
]2
. (3)
Тут Cp — теплоємнiсть; χ = ̟/(ρCp) — температуропровiднiсть; ̟ — теплопровiднiсть;
ν = η/ρ — кiнематична в’язкiсть. У правiй частинi рiвняння (3) за повторюваними iндексами
робиться пiдсумовування (i, k = 1, 2, 3).
Швидкiсть руху рiдини ~V спрямована вздовж осi цилiндра OX, так що з (1) виходить
система рiвнянь
V
∂V
∂x
= −
1
ρ
∂P
∂x
+
η
ρ
∆V +
1
ρ
(
ς +
η
3
)
∂2V
∂x2
,
∂P
∂y
=
(
ς +
η
3
)
∂2V
∂x∂y
,
∂P
∂z
=
(
ς +
η
3
)
∂2V
∂z∂x
− ρq,
(4)
а рiвняння теплопровiдностi (3) зводиться до вигляду
V
∂T
∂x
= χ∆T +
ν
Cp
[
2
(
∂V
∂x
)2
+
(
∂V
∂y
)
s2 +
(
∂V
∂z
)2]
. (5)
Припускаючи, що змiна густини рiдини ρ визначається температурою, з рiвняння без-
перервностi (2) одержуємо:
∂V
∂x
= βV
∂T
∂x
, (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 77
Рис. 2. Машина горизонтального безперервного лиття заготовок iз кольорових сплавiв:
1 — металоприймач; 2 — розплав; 3 — цилiндричний вузол кристалiзацiї; 4 — тверда заготовка; h — висота
розплаву (рiдкої фази) у металоприймачi
де
β = −
1
ρ
∂ρ
∂T
— (7)
температурний коефiцiєнт розширення рiдини.
Рiвняння (4)–(6) утворюють повну систему диференцiйних рiвнянь, що описують даний
технологiчний процес. До цих рiвнянь додаємо граничнi умови (r < R):
V |x=0 =
√
2q(h − z), V |x=xt(r,ϕ) = Vd. (8)
Тут Vd — швидкiсть руху заготовки iз фронтом твердiння x = xi(r, ϕ); h — висота рiдкої
фази у металоприймачi (див. рис. 2).
3. Розв’язок рiвнянь (4)–(6) шукаємо послiдовними наближеннями за малим параметром
kR ≪ 1, (9)
де λ = 1/k — характерна вiдстань, на якiй iстотно змiнюються швидкiсть V i температура
T залежно вiд x. В результатi для швидкостi руху рiдини ~V (V, 0, 0) одержуємо:
V (x, r, ϕ) = Ψ0(r, ϕ) + Ψ1(r, ϕ)ekx + Ψ2(r, ϕ)e−kx, (10)
де
Ψ0 =
σ0
4η
(r2 − R2),
Ψ1 =
1
ekxt − e−kxt
(Vd − V0e
−kxt − (1 − e−kxt)Ψ0),
Ψ2 =
1
ekxt − e−kxt
(V0e
kxt − Vd + (1 − ekxt)Ψ0).
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
Тут V0 =
√
2q(h − r cos ϕ) — швидкiсть рiдини (розплаву) на початку вхiдного торця ци-
лiндричної графiтової втулки кристалiзатора (ГВК), а σ0 — постiйна частка градiєнта тиску
∂P
∂x
= σ0 + σ1e
kxt + σ2e
−kxt .
Розв’язок рiвняння теплопровiдностi (5) шукаємо у виглядi
T =
+∞
∑
S=−∞
αSeskx. (11)
Пiдстановкою (11) в (5) одержуємо диференцiйнi рiвняння для функцiй αs(r, ϕ), якi
розв’язуються послiдовними наближеннями за малим параметром (9). В основному набли-
женнi одержуємо
T (x, r, ϕ) = T0 + α1(e
kx − 1) + α−1(e
−kx − 1) + α0r cos ϕ, (12)
де T0 — початкова температура рiдини в центрi поперечного перетину цилiндра (цилiнд-
ричної ГВК).
Розподiл температури T (x, r, ϕ) рiдкої фази залежить вiд параметрiв αs, якi визначаємо
з вимiрiв слiдiв кристалiзацiї на поверхнi цилiндра при твердiннi рiдкої фази.
4. Проведемо порiвняння запропонованої моделi з вiдповiдними експериментальними
даними. Фронт твердiння рiдкої фази x = xе(r, ϕ) знаходимо з рiвняння T (xt, r, ϕ) = Tc, де
Tc — температура твердiння.
В результатi одержуємо
xt(r, ϕ) = −λ ln
[
1
2
(
γ − β
r
R
cos ϕ +
√
(
γ − β
r
R
cos ϕ
)2
− 4α
)]
. (13)
Тут введенi безрозмiрнi параметри
α =
α1
α−1
, β =
Rα0
α−1
, γ = 1 + α −
T0 − Tc
α−1
. (14)
У табл. 1 наведенi результати xexp вимiру вiдстанi вiд вхiдного торця графiтової втулки
кристалiзатора (x = 0) до фронту твердiння на поверхнi цилiндричної заготовки r = R при
рiзних значеннях кута ϕ (див. рис. 3).
Зазначена вiдстань визначалася за методикою, що мiстить у собi визначення вiдстанi
фронту твердiння вiд вихiдного торця ГВК за методом рiвчакiв (“рисок”) [2]. Знаючи за-
гальну довжину ГВК, визначаємо шукану вiдстань iз похибкою одного вимiру, що становить
0,5 мм. Шукана вiдстань визначалася за формулою l2 = L − l1.
Таблиця 1. Порiвняльнi розрахунковi (xcal) i експериментальнi (xexp) данi щодо визначення положення
iзотерми фронту твердiння залежно вiд кута ϕ на поверхнi цилiндричної заготовки
ϕ, град 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
xexp, мм 152 151 149,5 148,5 145,5 142 140 139 137,5 135
xcal, мм 150,6 150,4 149,7 148,5 146,9 144,9 142,6 140,0 137,3 134,5
ϕ, град 100 110 120 130 140 150 160 170 180
xexp, мм 133 129 127,5 125 124 122 121,5 119,5 117,5
xcal, мм 131,6 128,9 126,3 123,9 121,9 120,2 119,0 118,3 118,0
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 79
Рис. 3. Схема визначення вiдстанi вiд вхiдного торця графiтової втулки кристалiзатора до фронту твердiння
на поверхнi цилiндричної заготовки:
1 — iзотерма фронту твердiння на поверхнi заготовки; l1 — вiдстань вiд вихiдного торця кристалiзатора до
фронту твердiння; l2 — вiдстань вiд вхiдного торця ГВК до фронту твердiння; L — загальна довжина ГВК
Величини xcal = xtt(R,ϕ) обчислювалися за формулою (13). Параметри λ, α, β й γ
знаходили методом найменших квадратiв, використовуючи лише п’ять вимiрювань при зна-
ченнях кута ϕ = 0◦, 60◦, 90◦, 120◦, 180◦. В результатi маємо
λ = 246,1938 мм; α = −0,514; β = 0,09716; γ = −0,30828. (15)
Як видно з табл. 1, отримана гарна вiдповiднiсть мiж обчисленими й вимiряними вели-
чинами, практично в межах похибки вимiрiв. Дослiджувався цилiндричний кристалiзатор
радiусом R = 25 мм. Вiдношення R/λ = 0,1 досить мале, так що (9) дiйсно є малим па-
раметром.
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Э.М. Гидродинамика. – Москва: Наука, 1988. – 733 с.
2. Горизонтальное беспрерывное литье цветных металлов и сплавов / О.А. Шатагин, В.Т. Сладкош-
теев, М.А. Вартазаров и др. – Москва: Металлургия, 1974. – 175 с.
Надiйшло до редакцiї 13.11.2006Харкiвський нацiональний
автомобiльно-дорожний унiврситет
НТУ “Харкiвський полiтехнiчний iнститут”
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1733 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:18:54Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Недорезов, С.С. Хорошилов, О.М. 2008-09-02T17:00:15Z 2008-09-02T17:00:15Z 2007 Гідродинамічна модель технологічного процесу безперервного лиття заготовок з кольорових металів та сплавів / С.С. Недорезов, О.М. Хорошилов // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 76–80. — Бібліогр.: 2 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1733 621.74 We propose a hydrodynamic model adequately describing the technological process of continuous casting of the billets of non-ferrous metals and alloys. The full system of differential equations with the corresponding boundary conditions forming the basis of the given model is formulated and solved. A close fit of the theory with experimental data is got. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Гідродинамічна модель технологічного процесу безперервного лиття заготовок з кольорових металів та сплавів Article published earlier |
| spellingShingle | Гідродинамічна модель технологічного процесу безперервного лиття заготовок з кольорових металів та сплавів Недорезов, С.С. Хорошилов, О.М. Механіка |
| title | Гідродинамічна модель технологічного процесу безперервного лиття заготовок з кольорових металів та сплавів |
| title_full | Гідродинамічна модель технологічного процесу безперервного лиття заготовок з кольорових металів та сплавів |
| title_fullStr | Гідродинамічна модель технологічного процесу безперервного лиття заготовок з кольорових металів та сплавів |
| title_full_unstemmed | Гідродинамічна модель технологічного процесу безперервного лиття заготовок з кольорових металів та сплавів |
| title_short | Гідродинамічна модель технологічного процесу безперервного лиття заготовок з кольорових металів та сплавів |
| title_sort | гідродинамічна модель технологічного процесу безперервного лиття заготовок з кольорових металів та сплавів |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1733 |
| work_keys_str_mv | AT nedorezovss gídrodinamíčnamodelʹtehnologíčnogoprocesubezperervnogolittâzagotovokzkolʹorovihmetalívtasplavív AT horošilovom gídrodinamíčnamodelʹtehnologíčnogoprocesubezperervnogolittâzagotovokzkolʹorovihmetalívtasplavív |