Влияние места приложения вынуждающей силы на амплитудный спектр изгибных колебаний стержня с дышащей трещиной
Представлены результаты расчетов по определению влияния места приложения вынуждающей силы на величину вибродиагностического параметра наличия дышащей трещины при суб- и супергармоническом резонансах первой изгибной формы колебаний консольного стержня постоянного прямоугольного поперечного сечения с...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173343 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Влияние места приложения вынуждающей силы на амплитудный спектр изгибных колебаний стержня с дышащей трещиной / Е.А. Синенко, А.П. Зиньковский // Проблемы прочности. — 2015. — № 4. — С. 51-60. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-173343 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Синенко, Е.А. Зиньковский, А.П. 2020-12-01T15:15:46Z 2020-12-01T15:15:46Z 2015 Влияние места приложения вынуждающей силы на амплитудный спектр изгибных колебаний стержня с дышащей трещиной / Е.А. Синенко, А.П. Зиньковский // Проблемы прочности. — 2015. — № 4. — С. 51-60. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173343 620.178, 620.179 Представлены результаты расчетов по определению влияния места приложения вынуждающей силы на величину вибродиагностического параметра наличия дышащей трещины при суб- и супергармоническом резонансах первой изгибной формы колебаний консольного стержня постоянного прямоугольного поперечного сечения с использованием трехмерной конечноэлементной модели. Результаты исследований сравниваются с известными данными, полученными аналитическим и численным методами. Представлено результати розрахунків щодо визначення впливу місця прикладення вимушеної сили на величину вібродіагностичного параметра наявності дихаючої тріщини при суб- і супергармонічному резонансах першої згинної форми коливань консольного стрижня постійного прямокутного поперечного перерізу з використанням тривимірної скінченноелементної моделі. Результати досліджень порівнюються з відомими даними, отриманими аналітичним і чисельним методами. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Влияние места приложения вынуждающей силы на амплитудный спектр изгибных колебаний стержня с дышащей трещиной Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Влияние места приложения вынуждающей силы на амплитудный спектр изгибных колебаний стержня с дышащей трещиной |
| spellingShingle |
Влияние места приложения вынуждающей силы на амплитудный спектр изгибных колебаний стержня с дышащей трещиной Синенко, Е.А. Зиньковский, А.П. Научно-технический раздел |
| title_short |
Влияние места приложения вынуждающей силы на амплитудный спектр изгибных колебаний стержня с дышащей трещиной |
| title_full |
Влияние места приложения вынуждающей силы на амплитудный спектр изгибных колебаний стержня с дышащей трещиной |
| title_fullStr |
Влияние места приложения вынуждающей силы на амплитудный спектр изгибных колебаний стержня с дышащей трещиной |
| title_full_unstemmed |
Влияние места приложения вынуждающей силы на амплитудный спектр изгибных колебаний стержня с дышащей трещиной |
| title_sort |
влияние места приложения вынуждающей силы на амплитудный спектр изгибных колебаний стержня с дышащей трещиной |
| author |
Синенко, Е.А. Зиньковский, А.П. |
| author_facet |
Синенко, Е.А. Зиньковский, А.П. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| description |
Представлены результаты расчетов по определению влияния места приложения вынуждающей силы на величину вибродиагностического параметра наличия дышащей трещины при суб- и супергармоническом резонансах первой изгибной формы колебаний консольного стержня постоянного прямоугольного поперечного сечения с использованием трехмерной конечноэлементной модели. Результаты исследований сравниваются с известными данными, полученными аналитическим и численным методами.
Представлено результати розрахунків щодо визначення впливу місця прикладення вимушеної сили на величину вібродіагностичного параметра наявності дихаючої тріщини при суб- і супергармонічному резонансах першої згинної форми коливань консольного стрижня постійного прямокутного поперечного перерізу з використанням тривимірної скінченноелементної моделі. Результати досліджень порівнюються з відомими даними, отриманими аналітичним і чисельним методами.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173343 |
| citation_txt |
Влияние места приложения вынуждающей силы на амплитудный спектр изгибных колебаний стержня с дышащей трещиной / Е.А. Синенко, А.П. Зиньковский // Проблемы прочности. — 2015. — № 4. — С. 51-60. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT sinenkoea vliâniemestapriloženiâvynuždaûŝeisilynaamplitudnyispektrizgibnyhkolebaniisteržnâsdyšaŝeitreŝinoi AT zinʹkovskiiap vliâniemestapriloženiâvynuždaûŝeisilynaamplitudnyispektrizgibnyhkolebaniisteržnâsdyšaŝeitreŝinoi |
| first_indexed |
2025-11-27T09:39:54Z |
| last_indexed |
2025-11-27T09:39:54Z |
| _version_ |
1850810090871848960 |
| fulltext |
ÓÄÊ 620.178, 620.179
Âëèÿíèå ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû íà àìïëèòóäíûé ñïåêòð
èçãèáíûõ êîëåáàíèé ñòåðæíÿ ñ äûøàùåé òðåùèíîé
Å. À. Ñèíåíêî, À. Ï. Çèíüêîâñêèé
Èíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, Óêðàèíà
Ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïî îïðåäåëåíèþ âëèÿíèÿ ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäà-
þùåé ñèëû íà âåëè÷èíó âèáðîäèàãíîñòè÷åñêîãî ïàðàìåòðà íàëè÷èÿ äûøàùåé òðåùèíû ïðè
ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñàõ ïåðâîé èçãèáíîé ôîðìû êîëåáàíèé êîíñîëüíîãî ñòåðæ-
íÿ ïîñòîÿííîãî ïðÿìîóãîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òðåõìåðíîé êîíå÷íî-
ýëåìåíòíîé ìîäåëè. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ñðàâíèâàþòñÿ ñ èçâåñòíûìè äàííûìè, ïîëó-
÷åííûìè àíàëèòè÷åñêèì è ÷èñëåííûì ìåòîäàìè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòåðæåíü, äûøàùàÿ òðåùèíà, êîíå÷íîýëåìåíòíàÿ ìîäåëü, èçãèáíûå
êîëåáàíèÿ, ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêèé ðåçîíàíñû.
Ââåäåíèå. Áîëüøèíñòâî êîíñòðóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, â ÷àñòíîñòè ðàáî÷èå ëîïàò-
êè òóðáîìàøèí, ðàáîòàåò â óñëîâèÿõ øèðîêîãî ñïåêòðà äèíàìè÷åñêèõ íàãðóçîê,
êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îñíîâíîé ïðè÷èíîé âîçíèêíîâåíèÿ òðåùèí óñòàëîñòè. Äëÿ îáåñ-
ïå÷åíèÿ íàäåæíîé ýêñïëóàòàöèè ìàøèí íåîáõîäèìî ñâîåâðåìåííî îáíàðóæèòü òàêèå
ïîâðåæäåíèÿ è îöåíèòü èõ ðàçìåðû. Íàëè÷èå òðåùèíû âëèÿåò íà óïðóãèå ñâîéñòâà
êîíñòðóêöèè è, êàê ñëåäñòâèå, íà åå âèáðàöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè, èçìåíåíèå êîòî-
ðûõ ñâèäåòåëüñòâóåò î âîçìîæíîì íàëè÷èè ðàññìàòðèâàåìûõ ïîâðåæäåíèé.
Ñðåäè âèáðàöèîííûõ ìåòîäîâ äèàãíîñòèêè ïîâðåæäåíèÿ îòìåòèì òå, êîòîðûå
îñíîâàíû íà ìîíèòîðèíãå ìîäàëüíûõ (÷àñòîòû è ôîðìû êîëåáàíèé) [1, 2] è äèñ-
ñèïàòèâíûõ [3] õàðàêòåðèñòèê îáúåêòîâ èññëåäîâàíèÿ, à òàêæå íà âîçíèêíîâåíèè ñóá-
è ñóïåðãàðìîíè÷åñêèõ ðåçîíàíñîâ [4, 5]. Óñòàíîâëåíî, ÷òî ïåðâûå ìåòîäû ìàëî-
÷óâñòâèòåëüíû ê íàëè÷èþ ïîâðåæäåíèé, òðåáóþò ñòðîãîé ôèêñàöèè èñõîäíîãî ñîñòîÿ-
íèÿ îáúåêòà èññëåäîâàíèÿ è ýôôåêòèâíû ëèøü ïðè óñëîâèè, ÷òî ïîâðåæäåíèÿ çàíè-
ìàþò áîëåå 20% âûñîòû åãî ñå÷åíèÿ [2, 6]. Ðåçóëüòàòû àíàëèòè÷åñêîãî [7] è ÷èñëåí-
íîãî [8] ðàñ÷åòà âèáðîäèàãíîñòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ íàëè÷èÿ òðåùèí â ñòåðæíÿõ ñ
ðàçëè÷íûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè â çàâèñèìîñòè îò ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæ-
äàþùåé ñèëû è ïîëîæåíèÿ ïîâðåæäåíèÿ ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî áîëåå ÷óâñòâè-
òåëüíûìè ÿâëÿþòñÿ ìåòîäû, áàçèðóþùèåñÿ íà àíàëèçå âîçíèêíîâåíèÿ íåëèíåéíûõ
ðåçîíàíñîâ.
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è îáíàðóæåíèÿ òðåùèíû ýòèìè ìåòîäàìè èñïîëüçóþòñÿ
ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê åå ìîäåëèðîâàíèþ. Òàê, îòêðûòûå òðåùèíû ïðåäñòàâëÿþòñÿ â
âèäå óïðóãèõ ýëåìåíòîâ [9], íàäðåçîâ [10] è ïàçîâ [11]. Îäíàêî ìîäåëè ñ îòêðûòûìè
òðåùèíàìè íå îáóñëîâëèâàþò íåëèíåéíîñòü ñèñòåìû è ÿâëÿþòñÿ àêòóàëüíûìè ïðè
áîëåå çíà÷èòåëüíûõ ïîâðåæäåíèÿõ [5].  ñëó÷àå äûøàùåé òðåùèíû, êîòîðàÿ îòêðûòà
íà îäíîì è çàêðûòà íà äðóãîì ïîëóöèêëàõ êîëåáàíèé ñèñòåìû, ïðè äåôîðìèðîâàíèè
íàáëþäàåòñÿ èçìåíåíèå åå æåñòêîñòè, ìîäåëèðóåìîå ñ ïîìîùüþ íåñèììåòðè÷íîé
êóñî÷íî-ëèíåéíîé õàðàêòåðèñòèêè âîññòàíàâëèâàþùåé ñèëû [2, 8, 12–14]. Òåì íå
ìåíåå òàêîå ïðåäïîëîæåíèå â äîñòàòî÷íîé ìåðå íå îòîáðàæàåò ñîñòîÿíèå òðåùèíû,
ïîñêîëüêó åå îòêðûòèå è çàêðûòèå íå ïðîèñõîäÿò ìãíîâåííî. Ïîýòîìó â ðàáîòàõ [4, 5,
15] ïðåäëàãàåòñÿ ìîäåëèðîâàòü òàêóþ òðåùèíó â âèäå êîíòàêòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ åå
áåðåãîâ, ÷òî ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü èõ âçàèìíîå íåïðîíèêíîâåíèå, à òàêæå ÷àñòè÷íîå
çàêðûòèå òðåùèíû.
© Å. À. ÑÈÍÅÍÊÎ, À. Ï. ÇÈÍÜÊÎÂÑÊÈÉ, 2015
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 4 51
 [16] ïðåäëîæåíà 2D êîíå÷íîýëåìåíòíàÿ (ÊÝ) ìîäåëü êîíñîëüíîãî ñòåðæíÿ
ïðÿìîóãîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, ïîçâîëÿþùàÿ ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå êîíòàêò-
íîå âçàèìîäåéñòâèå ïîâåðõíîñòåé äûøàùåé òðåùèíû, ôðîíò êîòîðîé ïåðïåíäèêó-
ëÿðåí ê åãî îñè. Ïðè ñðàâíåíèè ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ, îïðåäåëåííûõ ñ èñïîëüçî-
âàíèåì 2D ÊÝ ìîäåëè è ìîäåëåé â âèäå óïðóãèõ ýëåìåíòîâ è áèëèíåéíîãî îñöèë-
ëÿòîðà, ïîëó÷åíî èõ êà÷åñòâåííîå ñîâïàäåíèå, îäíàêî èìååò ìåñòî çíà÷èòåëüíîå
êîëè÷åñòâåííîå èõ ðàçëè÷èå.
Áîëåå îáùèé ïîäõîä ê ÊÝ ìîäåëèðîâàíèþ òðåùèíû, ðàñïîëîæåííîé ïîä îïðå-
äåëåííûì óãëîì ê îñè ñòåðæíÿ è â ïðåäïîëîæåíèè êîíòàêòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ åå
áåðåãîâ, ïðåäëîæåí â [15, 17]. Ïðè ýòîì îòìå÷àåòñÿ ïðåèìóùåñòâî 3D ìîäåëè,
ïîñêîëüêó ïî ñðàâíåíèþ ñ 2D ìîäåëüþ îíà ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü âñå ôîðìû êîëå-
áàíèé ñòåðæíÿ.
Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè âëèÿíèÿ ìåñòà ïðèëîæåíèÿ
âûíóæäàþùåé ñèëû íà àìïëèòóäíûé ñïåêòð èçãèáíûõ êîëåáàíèé ñòåðæíÿ ïîñòîÿí-
íîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òðåõìåðíîãî êîíå÷íîýëåìåíòíîãî ìîäå-
ëèðîâàíèÿ è êîíòàêòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ áåðåãîâ äûøàùåé òðåùèíû íîðìàëüíîãî
îòðûâà ïðè âîçáóæäåíèè ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêèõ ðåçîíàíñîâ ïåðâîé ôîðìû
êîëåáàíèé.
Îáúåêò èññëåäîâàíèÿ è åãî ìîäåëèðîâàíèå. Ðàññìàòðèâàåòñÿ êîíñîëüíûé ñòåð-
æåíü äëèíîé L� 230 ìì ïîñòîÿííîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ âûñîòîé b� 4 ìì è
øèðèíîé h� 20 ìì (ðèñ. 1). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî åãî êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò îò
ãàðìîíè÷åñêîé ïîïåðå÷íîé ñèëû, ïðèëîæåííîé íà ðàññòîÿíèè LP îò çàùåìëåíèÿ. Íà
ðàññòîÿíèè Lc îò çàùåìëåíèÿ ðàñïîëîæåíà ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê îñè ñòåðæíÿ äûøà-
ùàÿ òðåùèíà, ãëóáèíà êîòîðîé a ïðè åãî äåôîðìèðîâàíèè íå èçìåíÿåòñÿ (4 ìì).
Ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñòåðæíÿ ñëåäóþùèå: ìîäóëü óïðóãîñòè E � 200 ÃÏà,
ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà �� 7800 êã/ì 3, ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò êîëåáàíèé ��
� 0 01, . Âûáîð èìåííî òàêîãî îáúåêòà èññëåäîâàíèÿ ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü ñðàâíåíèå
ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòà ñ ïðèâåäåííûìè â [7, 8].
Êîíå÷íîýëåìåíòíîå ìîäåëèðîâàíèå ðàññìàòðèâàåìîãî ñòåðæíÿ ïðîèñõîäèò â äâà
ýòàïà: ñîçäàíèå ÊÝ ìîäåëè è çàäàíèå êîíòàêòíûõ óñëîâèé ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè
òðåùèíû.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÊÝ ñåòêè ñòåðæíÿ (ðèñ. 1) èñïîëüçóåòñÿ ëèíåéíûé 8-óçëîâîé
êîíå÷íûé ýëåìåíò Solid45 è åãî ìîäèôèêàöèè (ðèñ. 2), ÷òî ïîçâîëÿåò ïðè ñðàâ-
íèòåëüíî áîëüøîé ñêîðîñòè ðàñ÷åòà ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íóþ òî÷íîñòü ðåøåíèÿ.
Å. À. Ñèíåíêî, À. Ï. Çèíüêîâñêèé
52 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 4
Ðèñ. 1. Êîíñîëüíûé ñòåðæåíü ïîñòîÿííîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñ äûøàùåé òðåùèíîé è
íàíåñåííîé êîíå÷íîýëåìåíòíîé ñåòêîé.
Ñòåðæåíü ðàçáèâàåòñÿ íà ðàâíîìåðíûå êîíå÷íûå ýëåìåíòû (ðèñ. 2,à), â îêðåñòíîñòè
òðåùèíû, êàê âèäíî èç ðèñ. 1, ïî àíàëîãèè ñ [17] ÊÝ ñåòêà ñãóùàåòñÿ. Äëÿ ïåðåõîäà
ê áîëåå ìåëêîé ñåòêå èñïîëüçóþòñÿ ìîäèôèêàöèè âûáðàííîãî êîíå÷íîãî ýëåìåíòà
(ðèñ. 2,á).
Äûøàùàÿ òðåùèíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêèé ðàçðåç, à âçàèìíîå íå-
ïðîíèêíîâåíèå åå áåðåãîâ îáåñïå÷èâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ êîíòàêòíîé çàäà÷è ñ
èñïîëüçîâàíèåì ïîâåðõíîñòíûõ 4-óçëîâûõ êîíòàêòíûõ ýëåìåíòîâ Conta174 [18]. Îíè
ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ îòñëåæèâàíèÿ îòíîñèòåëüíûõ ïîëîæåíèé êîíòàêòèðóþùèõ ïîâåðõ-
íîñòåé (ðèñ. 3). Ïðè ýòîì èñêëþ÷àåòñÿ ñîóäàðåíèå áåðåãîâ òðåùèíû.
Ìåòîäèêà ðàñ÷åòà. Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå èçãèáíûå êîëåáàíèÿ
ïðåäëîæåííîé ÊÝ ìîäåëè ñòåðæíÿ ñ äûøàùåé òðåùèíîé (ðèñ. 1), èìååò âèä
[ ]{��} [ ]{�} [ ]{ } { ( )},M u D u K u P t� � � (1)
ãäå [ ],M [ ],D [ ]K – èíåðöèîííàÿ, äèññèïàòèâíàÿ è óïðóãàÿ ìàòðèöû ñèñòåìû
ñîîòâåòñòâåííî; { },u {�},u {��}u – âåêòîð-ñòîëáöû ïåðåìåùåíèé, ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ
ñîîòâåòñòâåííî; { ( )}P t – âåêòîð-ñòîëáåö âíåøíèõ íàãðóçîê, äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíîé, òàê êàê óïðóãàÿ ìàòðèöà [ ]K
èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè â çàâèñèìîñòè îò êîíòàêòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ áåðåãîâ òðå-
ùèíû. Äëÿ åå îïðåäåëåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ïðîöåäóðà Íüþòîíà–Ðàôñîíà [19], â îñíîâå
êîòîðîé ëåæèò ðåøåíèå íåëèíåéíîé êîíòàêòíîé çàäà÷è, îïèñûâàåìîé â äàííîì
ñëó÷àå óðàâíåíèåì
[ ]{ } { ( )},K u P t� (2)
â ðåçóëüòàòå ÷åãî îïðåäåëÿþòñÿ óçëû êîíòàêòèðóþùèõ ïîâåðõíîñòåé p è q (ðèñ. 3),
êîòîðûå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé.
Âëèÿíèå ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû ...
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 4 53
à á
Ðèñ. 2. Ëèíåéíûé 8-óçëîâîé êîíå÷íûé ýëåìåíò Solid45 (à) è åãî ìîäèôèêàöèè (á).
Ðèñ. 3. Ñõåìà âçàèìîäåéñòâèÿ óçëîâ êîíòàêòèðóþùèõ ïîâåðõíîñòåé.
Äèññèïàòèâíàÿ ìàòðèöà [ ]D â îáùåì ñëó÷àå èìååò âèä
[ ] [ ] [ ],D M K� �� �1 2 (3)
ò.å. ðàññåÿíèå ýíåðãèè â ñèñòåìå îáóñëîâëåíî âíåøíèì è âíóòðåííèì òðåíèåì. Â
äàííîì ñëó÷àå ïðåäïîëàãàåòñÿ íàëè÷èå òîëüêî ïîòåðü ýíåðãèè âñëåäñòâèå âçàèìî-
äåéñòâèÿ ñ âíåøíåé ñðåäîé ñòåðæíÿ, ÷òî íå îãðàíè÷èâàåò îáùíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è.
Ïîýòîìó áûëî ïðèíÿòî, ÷òî �1 0� , à �2 âûáèðàëîñü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû �� 0,01.
Îòìå÷åííàÿ íåëèíåéíîñòü äèíàìè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñòåðæíÿ,
äàæå ïðè ìîíîãàðìîíè÷åñêîì âîçáóæäåíèè óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà êîëåáàíèé ïðè
îñíîâíîì ðåçîíàíñå êàêîé-ëèáî j-é ñîáñòâåííîé ôîðìû, ïîçâîëÿåò ñ ïîìîùüþ
Ôóðüå-àíàëèçà âûÿâèòü íàëè÷èå âûñøèõ ãàðìîíèê è âîçìîæíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ
ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñîâ.
Ðåøåíèå íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (1) îñóùåñòâëÿåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî âðåìå-
íè ñ èñïîëüçîâàíèåì ñõåìû Íüþìàðêà. Îñíîâíàÿ ñóòü ñõåìû çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî
âðåìÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ðåøåíèÿ Ò ðàçáèâàåòñÿ íà N øàãîâ ñ âðåìåííûì øàãîì
�t T N� . Äàëåå äëÿ êàæäîãî ìîìåíòà âðåìåíè 0 2, , , ... ,� �t t T íàõîäèòñÿ ïðèáëè-
æåííîå ðåøåíèå ñ ó÷åòîì íà êàæäîì ïîäøàãå ðåøåíèÿ äëÿ ïðåäûäóùåãî çíà÷åíèÿ
âðåìåíè:
{�} {�} [( ){��} {��} ] ;
{ }
u u u u t
u
t t t t t t
t t
� �
�
� � �
�
� �
�
�1
{ } {�} {��} {��} ,u u t u u tt t t t t� �
�
�
�
�
� �
�
��
�
���� ��
1
2
2� �
(4)
ãäå � è
– ïàðàìåòðû èíòåãðèðîâàíèÿ Íüþìàðêà, îïðåäåëÿþùèå òî÷íîñòü è
óñòîé÷èâîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïðè ýòîì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ áûëè ïðèíÿòû òàêèå:
{ } ,u 0 0� {�} ,u 0 0� {��} .u 0 0�
Ñëåäóþùèì øàãîì ðåøåíèÿ çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ Ôóðüå-àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëü-
òàòîâ â âèäå çàâèñèìîñòè ïåðåìåùåíèÿ íåéòðàëüíîé ëèíèè â ñå÷åíèè ñâîáîäíîãî
êîíöà ñòåðæíÿ îò âðåìåíè t. Äëÿ îáðàáîòêè çàâèñèìîñòè u t( ) èñïîëüçóåòñÿ ïðîöå-
äóðà áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (FFT), â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðîé ìàññèâ îáðà-
áàòûâàåìûõ çíà÷åíèé äîëæåí áûòü êðàòíûì 2n , ãäå n – öåëîå ÷èñëî, à êîëè÷åñòâî
ïåðèîäîâ óêàçàííîé ôóíêöèè – íå ìåíåå òðåõ.  íàøåì ñëó÷àå ýòî äîñòèãàåòñÿ ïóòåì
èíòåðïîëÿöèè äàííîé çàâèñèìîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé óñòàíîâèâøåìóñÿ ðåæèìó âû-
íóæäåííûõ êîëåáàíèé, è ïðåäñòàâëåíèÿ åå òðåõ ïåðèîäîâ â âèäå 8192 òî÷åê.
 ðåçóëüòàòå ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà îïðåäåëÿþòñÿ àìïëèòóäû ãàðìîíèê ïåðå-
ìåùåíèé Ak , ãäå k – íîìåð ãàðìîíèêè.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ è èõ îáñóæäåíèå.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòàíîâêîé çàäà÷è ñ
èñïîëüçîâàíèåì ðàçðàáîòàííîé ÊÝ ìîäåëè ñòåðæíÿ ñ äûøàùåé òðåùèíîé ïðîâåäåí
êîìïëåêñ âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî îïðåäåëåíèþ âëèÿíèÿ ìåñòà ïðèëî-
æåíèÿ LP ãàðìîíè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëû P t0 sin � íà àìïëèòóäíûé ñïåêòð
èçãèáíûõ åãî êîëåáàíèé â îáëàñòè ÷àñòîòû âîçáóæäåíèÿ �, ðàâíîé óäâîåííîé è
ïîëîâèíå ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû ïåðâîé ( j� 1) ôîðìû êîëåáàíèé, ò.å. èññëåäîâàëèñü
ñóáãàðìîíè÷åñêèé ïîðÿäêà 1/2 è ñóïåðãàðìîíè÷åñêèé 2-ãî ïîðÿäêà ðåçîíàíñû. Ðàñ-
ñìàòðèâàëèñü äâà âàðèàíòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû ïî âûñîòå ñòåðæíÿ: íà
íåéòðàëüíîé ëèíèè è â óçëàõ åãî íèæíåé ãðàíè.  êà÷åñòâå âèáðîäèàãíîñòè÷åñêîãî
ïàðàìåòðà íàëè÷èÿ òðåùèíû, êàê è â ðàáîòå [20], ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå
áûëî âûáðàíî îòíîøåíèå ìàêñèìàëüíûõ àìïëèòóä ïåðâîé A1 (ðåçîíèðóþùåé) è
âòîðîé A2 ãàðìîíèê, à ïðè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå – âòîðîé À2 (ðåçîíè-
ðóþùåé) è ïåðâîé A1 ãàðìîíèê.
Ïî ðåçóëüòàòàì ðàñ÷åòîâ áûëè ïîñòðîåíû çàâèñèìîñòè âûáðàííûõ îòíîøåíèé
ìàêñèìàëüíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê ïðè ñóá- (ðèñ. 4) è ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì (ðèñ. 5)
54 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 4
Å. À. Ñèíåíêî, À. Ï. Çèíüêîâñêèé
ðåçîíàíñàõ îò ìåñòà ïðèëîæåíèÿ LP âûíóæäàþùåé ñèëû íà íåéòðàëüíîé ëèíèè,
ïîëó÷åííûå äëÿ äâóõ ïîëîæåíèé òðåùèíû: L Lc � 01, è 0 5, .L Ñ öåëüþ ñðàâíåíèÿ
ðåçóëüòàòîâ íà ðèñ. 4 è 5 ïðèâåäåíû àíàëîãè÷íûå çàâèñèìîñòè, îïðåäåëåííûå àíàëè-
òè÷åñêèì [7] è ÷èñëåííûì [8] ìåòîäàìè.
Ïðåäñòàâëåííûå ðåçóëüòàòû ïîäòâåðæäàþò ñóùåñòâåííóþ çàâèñèìîñòü âèáðî-
äèàãíîñòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ îò ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû, õàðàêòåð
êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ ìåñòîïîëîæåíèåì òðåùèíû è âèäîì ðåçîíàíñíîãî ñîñòîÿíèÿ
ñòåðæíÿ, ÷òî íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ïðè äèàãíîñòèêå ìåñòà ïîëîæåíèÿ ïîâðåæäåíèÿ.
Òàê, âî-ïåðâûõ, ïðè ïðèëîæåíèè ñèëû â ïîâðåæäåííîì ñå÷åíèè ñòåðæíÿ â ñëó÷àå
âîçáóæäåíèÿ ñóáãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà íàáëþäàåòñÿ ìàêñèìóì îòíîøåíèÿ ìàêñè-
ìàëüíûõ àìïëèòóä À À1 2 (ðèñ. 4), à ñóïåðãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà – ìèíèìóì
À À2 1 (ðèñ. 5). Âî-âòîðûõ, ñóùåñòâóþò òî÷êè ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû, â
êîòîðûõ ñóáãàðìîíè÷åñêèé ðåçîíàíñ ïðàêòè÷åñêè íå âîçáóæäàåòñÿ. Ýòî ÿâëåíèå,
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 4 55
à
á
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü îòíîøåíèÿ ìàêñèìàëüíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê ïåðåìåùåíèÿ ïðè ñóá-
ãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå îò ìåñòà ïðèëîæåíèÿ Lc âûíóæäàþùåé ñèëû: à – L Lc � 0 1, ; á –
L Lc � 0 5, . (Çäåñü è íà ðèñ. 5: ñïëîøíûå ëèíèè – òðåõìåðíàÿ ÊÝ ìîäåëü; øòðèõîâûå –
àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå [7]; øòðèõïóíêòèðíûå – ÷èñëåííûé ðàñ÷åò [8].)
Âëèÿíèå ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû ...
îáñóæäàåìîå â [7], ïðîÿâëÿåòñÿ â ñëó÷àå åñëè â ñå÷åíèè ñ òðåùèíîé çíà÷åíèå âòîðîé
ïðîèçâîäíîé ñîñòàâëÿþùåé ïðîãèáà ñòåðæíÿ ïî ðàññìàòðèâàåìîé ðåçîíèðóþùåé
ôîðìå êîëåáàíèé áóäåò ðàâíî íóëþ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì
ðåçîíàíñå çíà÷åíèÿ îòíîøåíèÿ ìàêñèìàëüíûõ àìïëèòóä A A1 2, ðàñ÷èòûâàåìûå êàê
àíàëèòè÷åñêèì ìåòîäîì [7], òàê è ÷èñëåííûì ïðè èñïîëüçîâàíèè áàëî÷íîé êîíå÷íî-
ýëåìåíòíîé ìîäåëè ñòåðæíÿ è îïðåäåëåíèè èçìåíåíèÿ æåñòêîñòè ýëåìåíòà ñ òðåùè-
íîé ïðè åå îòêðûòèè ÷åðåç êîýôôèöèåíò èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé [8], â îñíîâíîì
çàìåòíî âûøå, ïîëó÷åííûõ íàìè. Ïðè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå ðàçëè÷èå â
çíà÷åíèÿõ îòíîøåíèÿ ìàêñèìàëüíûõ àìïëèòóä À À2 1 â îñíîâíîì ìåíåå çíà÷èòåëü-
íîå. Âñå ïðåäñòàâëåííûå çàâèñèìîñòè äîñòàòî÷íî õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ìåæäó ñîáîé.
Íåîáõîäèìî òàêæå ïîä÷åðêíóòü óñòàíîâëåííóþ èíâàðèàíòíîñòü êàê ïðè ïðèëîæåíèè
âûíóæäàþùåé ñèëû íà íåéòðàëüíîé ëèíèè ñòåðæíÿ, òàê è ïðè àíàëèòè÷åñêîì ðåøå-
íèè îïðåäåëåííûõ âèáðîäèàãíîñòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ íàëè÷èÿ òðåùèíû ê âåëè÷èíå
àìïëèòóäû âûíóæäàþùåé ñèëû.
56 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 4
à
á
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü îòíîøåíèÿ ìàêñèìàëüíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê ïåðåìåùåíèÿ ïðè ñóïåð-
ãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå îò ìåñòà ïðèëîæåíèÿ Lc âûíóæäàþùåé ñèëû: à – L Lc � 0 1, ; á –
L Lc � 0 5, .
Å. À. Ñèíåíêî, À. Ï. Çèíüêîâñêèé
Ðàññìîòðèì âëèÿíèå ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû ïî âûñîòå ïîïåðå÷-
íîãî ñå÷åíèÿ íà ðåçóëüòàòû âûïîëíåííûõ èññëåäîâàíèé. Ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü ïðè
ìåñòîïîëîæåíèè òðåùèíû íà ðàññòîÿíèè L Lc � 0 5, äëÿ òðåõ çíà÷åíèé àìïëèòóäû P0
âûíóæäàþùåé ñèëû (ðèñ. 6).
Ïîëó÷åííûå çàâèñèìîñòè îòíîøåíèÿ ìàêñèìàëüíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê ïåðå-
ìåùåíèÿ îò ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû ïîçâîëÿþò çàêëþ÷èòü, ÷òî ïðè
ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå ïîâûøåíèå àìïëèòóäû Ð0, ïðèëîæåííîé â óçëàõ íèæ-
íåé ãðàíè ñòåðæíÿ, ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ îòíîøåíèÿ ìàêñèìàëüíûõ àìïëèòóä
ãàðìîíèê ïåðåìåùåíèÿ, à ïðè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì – ê åãî óìåíüøåíèþ ïðè ïðàêòè-
÷åñêè íåèçìåííîì êà÷åñòâåííîì õàðàêòåðå çàâèñèìîñòè ýòîãî îòíîøåíèÿ îò òî÷êè
ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 4 57
à
á
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü îòíîøåíèÿ ìàêñèìàëüíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê ïåðåìåùåíèÿ ïðè ñóá- (à)
è ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì (á) ðåçîíàíñàõ îò ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû íà íåéòðàëüíîé
ëèíèè ñòåðæíÿ (øòðèõîâûå ëèíèè) è â óçëàõ åãî íèæíåé ãðàíè (ñïëîøíûå ëèíèè) ïðè
Ð0 200� (�), 1000 (�) è 1500 Í (�).
Âëèÿíèå ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû ...
Äëÿ áîëåå äåòàëüíîãî àíàëèçà ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 6 ðåçóëüòàòîâ ðàññìîòðèì
çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ íåéòðàëüíîé ëèíèè â ñå÷åíèè ñâîáîäíîãî
êîíöà ñòåðæíÿ îò âðåìåíè íà óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå êîëåáàíèé. Íà ðèñ. 7 ïðåä-
ñòàâëåí îäèí ïåðèîä êîëåáàíèé ïðè ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñàõ â ñëó÷àå
ïðèëîæåíèÿ ãàðìîíè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëû àìïëèòóäîé Ð0 1000� Í ïðè LP �
� 0 728, .L Êàê âèäíî, ïðè ïðèëîæåíèè ñèëû â óçëàõ íèæíåé ãðàíè ñòåðæíÿ õàðàêòåð
çàâèñèìîñòè ïåðåìåùåíèÿ íåéòðàëüíîé ëèíèè îò âðåìåíè ÿâíî ñâèäåòåëüñòâóåò î
óâåëè÷åíèè àìïëèòóäû ïåðâîé (ðåçîíèðóþùåé) ãàðìîíèêè ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì
ðåçîíàíñå è óìåíüøåíèè âòîðîé (ðåçîíèðóþùåé) ãàðìîíèêè ïðè ñóïåðãàðìîíè÷åñ-
êîì ðåçîíàíñå, ÷òî ïðèâîäèò ê íàáëþäàåìîìó ðîñòó îòíîøåíèÿ À À1 2 è óìåíüøåíèþ
À À2 1. Òàêîå èçìåíåíèå àìïëèòóäû ïåðåìåùåíèé áóäåò òåì ñóùåñòâåííåå, ÷åì
áîëüøå àìïëèòóäà âûíóæäàþùåé ñèëû.
 û â î ä û
1. Ðàçðàáîòàíà òðåõìåðíàÿ ìîäåëü ñòåðæíÿ ñ äûøàùåé òðåùèíîé, êîòîðàÿ
ïðåäïîëàãàåò êîíòàêòíîå âçàèìîäåéñòâèå åå áåðåãîâ, ÷òî ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü íàïðÿ-
58 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 4
à
á
Ðèñ. 7. Çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ íåéòðàëüíîé ëèíèè â ñå÷åíèè ñâîáîäíîãî
êîíöà ñòåðæíÿ îò âðåìåíè ïðè ñóá- (à) è ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì (á) ðåçîíàíñàõ â ñëó÷àå
ïðèëîæåíèÿ ãàðìîíè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëû àìïëèòóäîé Ð0 1000� Í ïðè L LP � 0 728, ,
y y Acont� , ãäå Acont – àìïëèòóäà ïåðåìåùåíèÿ ñâîáîäíîãî êîíöà íåïîâðåæäåííîãî ñòåðæíÿ
ïðè çàäàííîé íàãðóçêå. (Ñïëîøíûå ëèíèè – íà íåéòðàëüíîé ëèíèè ñòåðæíÿ, øòðèõîâûå – â
óçëàõ åãî íèæíåé ãðàíè.)
Å. À. Ñèíåíêî, À. Ï. Çèíüêîâñêèé
æåííîå ñîñòîÿíèå ñòåðæíÿ ïî âñåì âîçáóæäàåìûì ôîðìàì êîëåáàíèé è èõ èçìåíåíèå
ïðè îòêðûòèè òðåùèíû.
2. Ïîëó÷åíû çàâèñèìîñòè îòíîøåíèÿ àìïëèòóä îñíîâíûõ ãàðìîíèê ïåðåìåùåíèÿ
ïðè ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñàõ îò ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû,
êîòîðûå êà÷åñòâåííî ñîãëàñóþòñÿ ñ èçâåñòíûìè ðåçóëüòàòàìè ðàñ÷åòîâ àíàëèòè÷åñ-
êèì è ÷èñëåííûì ìåòîäàìè, îäíàêî èìååò ìåñòî èõ êîëè÷åñòâåííîå ðàçëè÷èå.
3. Óñòàíîâëåíû çàêîíîìåðíîñòè âëèÿíèÿ ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû
ïî äëèíå è âûñîòå ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ íà âåëè÷èíó îòíîøåíèÿ àìïëèòóä
îñíîâíûõ ãàðìîíèê ïåðåìåùåíèÿ.
Ð å ç þ ì å
Ïðåäñòàâëåíî ðåçóëüòàòè ðîçðàõóíê³â ùîäî âèçíà÷åííÿ âïëèâó ì³ñöÿ ïðèêëàäåííÿ
âèìóøåíî¿ ñèëè íà âåëè÷èíó â³áðîä³àãíîñòè÷íîãî ïàðàìåòðà íàÿâíîñò³ äèõàþ÷î¿
òð³ùèíè ïðè ñóá- ³ ñóïåðãàðìîí³÷íîìó ðåçîíàíñàõ ïåðøî¿ çãèííî¿ ôîðìè êîëèâàíü
êîíñîëüíîãî ñòðèæíÿ ïîñò³éíîãî ïðÿìîêóòíîãî ïîïåðå÷íîãî ïåðåð³çó ç âèêîðèñòàí-
íÿì òðèâèì³ðíî¿ ñê³í÷åííîåëåìåíòíî¿ ìîäåë³. Ðåçóëüòàòè äîñë³äæåíü ïîð³âíþþòüñÿ ç
â³äîìèìè äàíèìè, îòðèìàíèìè àíàë³òè÷íèì ³ ÷èñåëüíèì ìåòîäàìè.
1. Li B. and He Z. J. Frequency-based crack identification for static beam with
rectangular cross-section // J. Vibroengineering. – 2011. – 13, No. 3. – P. 477–486.
2. Zheng D. Y. and Kessissoglou N. J. Free vibration analysis of a cracked beam by finite
element method // J. Sound Vibr. – 2004. – 273, No. 3. – P. 457–475.
3. Panteliou S. D., Chondros T. G., Argyrakis V. C., and Dimarogonas A. D. Damping
factor as an indicator of crack severity // Ibid. – 2001. – 241, No. 2. – P. 235–245.
4. Andreaus U. and Baragatti P. Cracked beam identification by numerically analysing
the nonlinear behaviour of the harmonically forced response // Ibid. – 330, No. 4. –
P. 721–742.
5. Giannini O., Casini P., and Vestroni F. Nonlinear harmonic identification of breathing
cracks in beams // Comp. Struct. – 2013. – 129. – P. 166–177.
6. Douka E., Loutridis S., and Trochidis A. Crack identification in beams using wavelet
analysis // Int. J. Solids Struct. – 2003. – 40, No. 13-14. – P. 3557–3569.
7. Ìàòâååâ Â. Â., Áîãèíè÷ Î. Å., ßêîâëåâ À. Ï. Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû è ðåçóëüòàòû
îïðåäåëåíèÿ âèáðîäèàãíîñòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ íàëè÷èÿ òðåùèíû â ñòåðæíåâûõ
ýëåìåíòàõ ïðè ñóïåð- è ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñàõ // Ïðî÷íîñòü ìàòåðèàëîâ
è ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé: Òð. Ìåæäóíàð. íàó÷.-òåõí. êîíô., ïîñâÿùåííîé
100-ëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ àêàäåìèêà ÍÀÍ Óêðàèíû Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî. – Êèåâ,
2011. – Ñ. 59–77.
8. Áîâñóíîâñêèé À. Ï., Áîâñóíîâñêèé Î. À. Èñïîëüçîâàíèå íåëèíåéíûõ ðåçîíàíñîâ
äëÿ äèàãíîñòèêè çàêðûâàþùèõñÿ òðåùèí â ñòåðæíåâûõ ýëåìåíòàõ // Ïðîáë.
ïðî÷íîñòè. – 2010. – ¹ 3. – Ñ. 125–141.
9. Mazanoglu K., Yesilyurt I., and Sabuncu M. Vibration analysis of multiple-cracked
non-uniform beams // J. Sound Vibr. – 2009. – 320, No. 4-5. – P. 977–989.
10. Èëüãàìîâ Ì. À., Õàêèìîâ À. Ã. Äèàãíîñòèêà ïîâðåæäåíèé áàëêè íà øàðíèðíûõ
îïîðàõ // Ñòðîèòåëüíàÿ ìåõàíèêà èíæåíåðíûõ êîíñòðóêöèé è ñîîðóæåíèé. –
2010. – ¹ 2. – Ñ. 42–48.
11. Stojanoviã V., Ribeiro P., and Stoykov S. Non-linear vibration of Timoshenko
damaged beams by a new p-version finite element method // Comp. Struct. – 2013. –
120. – P. 107–119.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 4 59
Âëèÿíèå ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû ...
12. Chatterjee A. Structural damage assessment in a cantilever beam with a breathing
crack using higher order frequency response functions // J. Sound Vibr. – 2010. – 329,
No. 16. – P. 3325–3334.
13. Chatterjee A. Identification and parameter estimation of a bilinear oscillator using
Volterra series with harmonic probing // Int. J. Non-Linear Mech. – 2010. – 45. –
P. 12–20.
14. Ìàòâååâ Â. Â., Áîãèíè÷ Î. Å. Ê âîïðîñó ïðèáëèæåííîãî îïðåäåëåíèÿ âèáðî-
äèàãíîñòè÷åñêîãî ïàðàìåòðà íåëèíåéíîñòè óïðóãîãî òåëà, îáóñëîâëåííîé íàëè-
÷èåì äûøàùåé òðåùèíû, ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè.
– 2012. – ¹ 3. – Ñ. 37–49.
15. Bouboulas A. S. and Anifantis N. K. Three-dimensional finite element modeling of a
vibrating beam with a breathing crack // Arch. Appl. Mech. – 2013. – 83. – P. 207–
223.
16. Andreaus U., Casini P., and Vestroni F. Non-linear dynamics of a cracked cantilever
beam under harmonic excitation // Int. J. Non-Linear Mech. – 2007. – 42. – P. 566–
575.
17. Bouboulas A. S. and Anifantis N. K. Finite element modeling of a vibrating beam with
a breathing crack: observations on crack detection // Struct. Health Monitoring. –
2010. – 10, No. 2. – P. 131–145.
18. Áàñîâ Ê. À. ANSYS: Ñïðàâî÷íèê ïîëüçîâàòåëÿ. – Ì.: ÄÌÊ “Ïðåññ”, 2005. – 640 ñ.
19. Zienkiewicz O. C. and Teylor R. L. The Finite Element Method. Vol. 2: Solid
Mechanics. – Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. – 480 p.
20. Ìàòâååâ Â. Â., ßêîâëåâ À. Ï., Áîãèíè÷ Î. Å., Ñèíåíêî Å. À. Ïðèáëèæåííîå
àíàëèòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âèáðîäèàãíîñòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ íàëè÷èÿ çàêðû-
âàþùåéñÿ òðåùèíû â ñòåðæíåâûõ ýëåìåíòàõ ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå //
Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2014. – ¹ 3. – Ñ. 21–37.
Ïîñòóïèëà 11. 12. 2014
60 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 4
Å. À. Ñèíåíêî, À. Ï. Çèíüêîâñêèé
|