Ймовірнісна модель накопичення втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах
Представлено математичну модель процесу накопичення нелокалізованої втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах. Запропоновано співвідношення для визначення констант відповідного рівняння з урахуванням відомих характеристик кривої втоми, зокрема випадкового їх розкиду. Отримано розрахункові сп...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173397 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Ймовірнісна модель накопичення втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах / О.О. Ларін // Проблемы прочности. — 2015. — № 6. — С. 84-94. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-173397 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ларін, О.О. 2020-12-02T16:28:21Z 2020-12-02T16:28:21Z 2015 Ймовірнісна модель накопичення втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах / О.О. Ларін // Проблемы прочности. — 2015. — № 6. — С. 84-94. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173397 539.388.1:678 Представлено математичну модель процесу накопичення нелокалізованої втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах. Запропоновано співвідношення для визначення констант відповідного рівняння з урахуванням відомих характеристик кривої втоми, зокрема випадкового їх розкиду. Отримано розрахункові співвідношення для визначення ймовірнісних характеристик пошкоджуваності. Розглянуто експериментальні дані щодо визначення реалізації процесу накопичення втоми в гумових зразках, які добре узгоджуються з теоретичними результатами. Представлена математическая модель процесса накопления нелокализованной усталостной повреждаемости в резиноподобных материалах. Предложены соотношения для определения констант данного уравнения с учетом известных характеристик кривой усталости, в частности случайного их разброса. Получены расчетные соотношения для определения вероятностных характеристик повреждаемости. Рассмотрены экспериментальные данные по определению реализации процесса накопления усталости в резиновых образцах, которые хорошо согласуются с теоретическими результатами. uk Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Ймовірнісна модель накопичення втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Ймовірнісна модель накопичення втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах |
| spellingShingle |
Ймовірнісна модель накопичення втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах Ларін, О.О. Научно-технический раздел |
| title_short |
Ймовірнісна модель накопичення втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах |
| title_full |
Ймовірнісна модель накопичення втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах |
| title_fullStr |
Ймовірнісна модель накопичення втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах |
| title_full_unstemmed |
Ймовірнісна модель накопичення втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах |
| title_sort |
ймовірнісна модель накопичення втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах |
| author |
Ларін, О.О. |
| author_facet |
Ларін, О.О. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2015 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| description |
Представлено математичну модель процесу накопичення нелокалізованої втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах. Запропоновано співвідношення для визначення констант відповідного рівняння з урахуванням відомих характеристик кривої втоми, зокрема випадкового їх розкиду. Отримано розрахункові співвідношення для визначення ймовірнісних характеристик пошкоджуваності. Розглянуто експериментальні дані щодо визначення реалізації процесу накопичення втоми в гумових зразках, які добре узгоджуються з теоретичними результатами.
Представлена математическая модель процесса накопления нелокализованной усталостной повреждаемости в резиноподобных материалах. Предложены соотношения для определения констант данного уравнения с учетом известных характеристик кривой усталости, в частности случайного их разброса. Получены расчетные соотношения для определения вероятностных характеристик повреждаемости. Рассмотрены экспериментальные данные по определению реализации процесса накопления усталости в резиновых образцах, которые хорошо согласуются с теоретическими результатами.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173397 |
| citation_txt |
Ймовірнісна модель накопичення втомної пошкоджуваності в гумоподібних матеріалах / О.О. Ларін // Проблемы прочности. — 2015. — № 6. — С. 84-94. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT larínoo imovírnísnamodelʹnakopičennâvtomnoípoškodžuvanostívgumopodíbnihmateríalah |
| first_indexed |
2025-11-24T11:40:01Z |
| last_indexed |
2025-11-24T11:40:01Z |
| _version_ |
1850845871992733696 |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.388.1:678
Éìîâ³ðí³ñíà ìîäåëü íàêîïè÷åííÿ âòîìíî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³
â ãóìîïîä³áíèõ ìàòåð³àëàõ
Î. Î. Ëàð³í
Íàö³îíàëüíèé òåõí³÷íèé óí³âåðñèòåò “Õàðê³âñüêèé ïîë³òåõí³÷íèé ³íñòèòóò”, Õàðê³â, Óêðà¿íà
AlexeyA.Larin@gmail.com
Ïðåäñòàâëåíî ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü ïðîöåñó íàêîïè÷åííÿ íåëîêàë³çîâàíî¿ âòîìíî¿ ïîøêîäæó-
âàíîñò³ â ãóìîïîä³áíèõ ìàòåð³àëàõ. Çàïðîïîíîâàíî ñï³ââ³äíîøåííÿ äëÿ âèçíà÷åííÿ êîíñòàíò
â³äïîâ³äíîãî ð³âíÿííÿ ç óðàõóâàííÿì â³äîìèõ õàðàêòåðèñòèê êðèâî¿ âòîìè, çîêðåìà âèïàäêî-
âîãî ¿õ ðîçêèäó. Îòðèìàíî ðîçðàõóíêîâ³ ñï³ââ³äíîøåííÿ äëÿ âèçíà÷åííÿ éìîâ³ðí³ñíèõ õàðàê-
òåðèñòèê ïîøêîäæóâàíîñò³. Ðîçãëÿíóòî åêñïåðèìåíòàëüí³ äàí³ ùîäî âèçíà÷åííÿ ðåàë³çàö³¿
ïðîöåñó íàêîïè÷åííÿ âòîìè â ãóìîâèõ çðàçêàõ, ÿê³ äîáðå óçãîäæóþòüñÿ ç òåîðåòè÷íèìè
ðåçóëüòàòàìè.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: âòîìà, ïîøêîäæóâàí³ñòü, ãóìîïîä³áí³ ìàòåð³àëè, åëàñòîì³ð.
Âñòóï. Ó ñó÷àñíèõ ìàøèíîáóä³âíèõ êîíñòðóêö³ÿõ øèðîêî âèêîðèñòîâóþòü åëå-
ìåíòè, ùî âèãîòîâëåí³ ç ãóìîïîä³áíèõ ìàòåð³àë³â. Öå ìîæóòü áóòè ÿê äîïîì³æí³,
óù³ëüíþþ÷³ ³ ò.ï. åëåìåíòè, òàê ³ ñàìîñò³éí³ îñíîâí³ åëåìåíòè ïåâíèõ êîíñòðóêö³é.
Ïðèêëàäîì îñòàíí³õ ìîæóòü ñëóãóâàòè ñïåö³àëüí³ øëàíãè, äåìïô³ðóâàëüí³ ïðîêëàä-
êè, ãóìîâ³ ïðóæèíí³ âñòàâêè â ïðèëàäàõ àìîðòèçàö³¿, ïíåâìàòè÷í³ øèíè àâòîìîá³ë³â
[1–6] òà ³í. Çàçíà÷åí³ îá’ºêòè ï³ä ÷àñ åêñïëóàòàö³¿ çàçíàþòü ñóòòºâîãî çîâí³øíüîãî
äèíàì³÷íîãî âïëèâó. Çì³ííà äåôîðìàö³ÿ ç ÷àñîì ïðèçâîäèòü äî íàêîïè÷åííÿ âòîìè â
ìàòåð³àë³ ³, ÿê íàñë³äîê, äî âòðàòè íåñ³âíî¿ çäàòíîñò³ â³äïîâ³äíèõ êîíñòðóêòèâíèõ
åëåìåíò³â. Òàêèì ÷èíîì, ïðè îö³íö³ íàä³éíîñò³ òà ì³öíîñò³ øèðîêîãî êëàñó åëåìåíò³â
êîíñòðóêö³é ç ãóìîïîä³áíèõ ìàòåð³àë³â àêòóàëüíèì º ðîçðîáêà ìîäåëåé, ùî îïèñóþòü
ïðîöåñè íàêîïè÷åííÿ âòîìè â öèõ åëåìåíòàõ ³ ó òàêèé ñïîñ³á äàþòü ìîæëèâ³ñòü
ïðîãíîçóâàòè ¿õ ðåñóðñ.
Ïèòàííÿì îö³íêè õàðàêòåðèñòèê îïîðó âòîì³ ð³çíèõ ìàòåð³àë³â ïðèä³ëÿºòüñÿ
áàãàòî óâàãè â ë³òåðàòóðíèõ äæåðåëàõ, çîêðåìà ïðîãíîçóâàííÿ âòîìíî¿ äîâãîâ³÷íîñò³
ó ãóìîïîä³áíèõ ìàòåð³àëàõ [7–9]. Îñíîâíîþ õàðàêòåðèñòèêîþ îïîðó âòîì³ º åêñïåðè-
ìåíòàëüíà êðèâà Âåëåðà, ÿêà âèçíà÷ຠçàëåæí³ñòü ì³æ àìïë³òóäàìè ïàðàìåòðà íàïðó-
æåíî-äåôîðìîâàíîãî ñòàíó (ÍÄÑ) òà ÷èñëîì öèêë³â äåôîðìàö³¿, ùî âèòðèìຠçðàçîê
äî ïîÿâè òð³ùèíè çàäàíîãî ðîçì³ðó (àáî äî ðóéíóâàííÿ). Ïðè öüîìó âèíèêຠïðîáëå-
ìà âèêîðèñòàííÿ çàëåæíîñòåé, îòðèìàíèõ ïðè ëàáîðàòîðíèõ äîñë³äæåííÿõ â óìîâàõ,
ÿê ïðàâèëî, ïðîñòîãî ÍÄÑ, äëÿ îö³íêè âòîìíî¿ äîâãîâ³÷íîñò³ ðåàëüíèõ åëåìåíò³â
ìàøèíîáóä³âíèõ êîíñòðóêö³é, ÍÄÑ ÿêèõ ï³ä ÷àñ åêñïëóàòàö³¿ º ñêëàäíèì äèíàì³÷íèì.
Äëÿ âèð³øåííÿ ö³º¿ ïðîáëåìè âèêîðèñòîâóþòü ìåòîäè ñõåìàòèçàö³¿ ïðîöåñ³â òà ââî-
äÿòü åêâ³âàëåíòí³ õàðàêòåðèñòèêè ÍÄÑ.
Ó äàí³é ðîáîò³ ïðîïîíóºòüñÿ âèêîðèñòîâóâàòè êðèòå𳿠çâåäåííÿ ñêëàäíîãî ÍÄÑ
äî åêâ³âàëåíòíèõ íàïðóæåíü [9, 10] òà ïðîâîäèòè îö³íêó îïîðó âòîì³ ãóìîâèõ
ìàòåð³àë³â ó ðàìêàõ òåî𳿠êîíòèíóàëüíî¿ ìåõàí³êè ïîøêîäæóâàíîñò³ [11, 12]. Òàêèé
ï³äõ³ä äîçâîëÿº îòðèìàòè ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü äëÿ îïèñó ïðîöåñó íàêîïè÷åííÿ âòîì-
íî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³, ùî, ç îäíîãî áîêó, äຠêðèòåð³é äëÿ îö³íêè íàêîïè÷åííÿ âòîìè
ïðè ñêëàäíîìó ÍÄÑ, à, ç äðóãîãî – â ïåðñïåêòèâ³ äຠìîæëèâ³ñòü âèçíà÷àòè íàêî-
ïè÷åííÿ âòîìè ïðè çì³ííèõ ïàðàìåòðàõ íàâàíòàæåíü.
Ïðè ïðîâåäåíí³ àíàë³çó ïðîöåñó íàêîïè÷åííÿ âòîìè âèõ³äíèìè åêñïåðèìåí-
òàëüíèìè äàíèìè º êðèâà Âåëåðà, ùî ïîâ’ÿçóº àìïë³òóäí³ çíà÷åííÿ åêâ³âàëåíòíîãî
© Î. Î. ËÀвÍ, 2015
84 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 6
ïàðàìåòðà ÍÄÑ (êðèòåð³é, ùî âèêîðèñòîâóºòüñÿ äëÿ îö³íêè ì³ðè íàêîïè÷åííÿ ïîøêîä-
æóâàíîñò³), òà ÷èñëî öèêë³â äî ðóéíóâàííÿ. ³äîì³ åêñïåðèìåíòàëüí³ äàí³ ùîäî
çàëåæíîñòåé ÷èñëà öèêë³â äî ðóéíóâàííÿ â³ä ïàðàìåòð³â ÍÄÑ âêàçóþòü íà òå, ùî
çàâæäè ³ñíóº äîñèòü ñóòòºâèé ñòàòèñòè÷íèé ðîçêèä ïðè âèçíà÷åíí³ ìàòåð³àëüíèõ
êîíñòàíò [13–15]. Îòæå, ïðè îö³íö³ âòîìíî¿ äîâãîâ³÷íîñò³ ðåàëüíèõ åëåìåíò³â ìàøèíî-
áóä³âíèõ êîíñòðóêö³é ïîâèííà âðàõîâóâàòèñü íàÿâí³ñòü â³äïîâ³äíîãî ðîçêèäó.
Ìåòîþ ðîáîòè º ðîçðîáêà éìîâ³ðí³ñíî¿ ìîäåë³ íàêîïè÷åííÿ âòîìíî¿ ïîøêîä-
æóâàíîñò³, ùî áàçóºòüñÿ íà êîíòèíóàëüí³é ìåõàí³ö³ ïîøêîäæóâàíîñò³ òà âðàõîâóº
âèïàäêîâó âàð³àö³þ ïàðàìåòð³â êðèâî¿ âòîìè.
ʳíåòèêà ïàðàìåòðà ïîøêîäæóâàíîñò³. Äëÿ îö³íêè ïðîöåñó íàêîïè÷åííÿ âòîìè
âèêîðèñòîâóºòüñÿ ñêàëÿðíèé ïàðàìåòð ïîøêîäæóâàíîñò³ D, ÿêèé ïðèéìàºòüñÿ çà
ïàðàìåòð ñòàíó ìàòåð³àëó. Âðàõîâóþ÷è öå, íåð³âí³ñòü Êëàñ³óñà–Äóãåìà, ùî âèõîäèòü
³ç äðóãîãî ïðèíöèïó òåðìîäèíàì³êè, ïðèçâîäèòü äî ââåäåííÿ àñîö³éîâàíî¿ äî ïîøêîä-
æóâàíîñò³ çì³ííî¿ Y (øâèäê³ñòü âèâ³ëüíåííÿ åíåð㳿 äåôîðìàö³¿ ïðè ïîøêîäæåíí³)
[9, 12, 16, 17] òà äî âèìîãè, ùî øâèäê³ñòü ðîñòó ïîøêîäæóâàíîñò³ ìຠáóòè íåâ³ä’ºì-
íîþ:
Y
D
���
��
�
; Y
dD
dt
�0, (1)
äå � – â³ëüíà åíåðã³ÿ Ãåëüìãîëüöÿ; � – ù³ëüí³ñòü ìàòåð³àëó.
Íå çóïèíÿþ÷èñü íà ïîäðîáèöÿõ òåîðåòè÷íèõ âèêëàäîê òåðìîäèíàì³êè ïðîöåñó
ïîøêîäæóâàíîñò³ (äåòàë³ ìîæíà çíàéòè â ðîáîòàõ [11, 12], â³äì³òèìî, ùî ê³íåòèêó
ðîñòó ïîøêîäæóâàíîñò³ ìîæíà äîñèòü çàãàëüíî ïðåäñòàâèòè ó âèãëÿä³ ñòóïåíåâîãî çà-
êîíó äëÿ àñîö³éîâàíî¿ çì³ííî¿ Y :
dD
dt
B Y c� �( ) . (2)
Âðàõîâóþ÷è, ùî ðîçãëÿäàþòüñÿ âèêëþ÷íî ïðîöåñè ïðóæíî¿ äåôîðìàö³¿, à òàêîæ
îáìåæóþ÷èñü ïðèïóùåííÿì, ùî çì³íîþ òåìïåðàòóðè ìàòåð³àëó â ïðîöåñ³ äåôîðìó-
âàííÿ ìîæíà çíåõòóâàòè, øâèäê³ñòü âèâ³ëüíåííÿ åíåð㳿 äåôîðìàö³¿ ïðè ïîøêîäæåíí³
ìîæíà âèçíà÷èòè ÷åðåç ôóíêö³þ ù³ëüíîñò³ åíåð㳿 äåôîðìàö³¿ W:
Y
W
D
��
�
�
. (3)
Ôóíêö³¿ ù³ëüíîñò³ åíåð㳿 äåôîðìàö³¿ äëÿ áàãàòüîõ ìàòåð³àë³â â³äîì³ òà º ôóíê-
ö³ÿìè äåôîðìàö³é ³ íàïðóæåíü. Çàëåæí³ñòü ôóíêö³¿ ù³ëüíîñò³ åíåð㳿 äåôîðìàö³¿ â³ä
ïàðàìåòðà ïîøêîäæóâàíîñò³ ââîäèòüñÿ â ðàìêàõ êîíöåïö³¿ åôåêòèâíèõ íàïðóæåíü.
Òîáòî ïðèéìàºòüñÿ, ùî ³ñíóþ÷³ ô³çè÷í³ ñï³ââ³äíîøåííÿ äëÿ íåïîøêîäæåíîãî ìàòå-
ð³àëó çáåð³ãàþòüñÿ, àëå ïîâèíí³ áóòè âèïèñàí³ äëÿ åôåêòèâíèõ çíà÷åíü ÍÄÑ, ÿê³ â
äàí³é ðîáîò³ âèçíà÷àþòüñÿ çà Ðàáîòíîâèì–Êà÷àíîâèì [11, 12, 16, 17]:
~
,S
S
D
ij
ij
�
�1
(4)
äå âèçíà÷åííÿ åôåêòèâíèõ íàïðóæåíü ïðèâåäåíî äëÿ íàïðóæåíü 2-ãî òåíçîðà ϳàëà–
ʳðõãîôôà, ùî â³äïîâ³äຠòåî𳿠ïîøêîäæóâàíîñò³ äëÿ ìàòåð³àë³â ç³ ñê³í÷åííèìè
äåôîðìàö³ÿìè [12]; S ij òà
~
S ij – êîìïîíåíòè óìîâíîãî òà åôåêòèâíîãî 2-ãî òåíçîðà
íàïðóæåíü ϳàëà–ʳðõãîôôà.
Äëÿ ã³ïåðïðóæíîãî ìàòåð³àëó ôóíêö³ÿ ù³ëüíîñò³ åíåð㳿 äåôîðìàö³¿ âèçíà÷àºòüñÿ
÷åðåç ³íâàð³àíòè òåíçîð³â äåôîðìàö³¿ àáî ÷åðåç ãîëîâí³ ïîäîâæåííÿ, ÿê³ ÷åðåç íàÿâ-
í³ñòü íàêîïè÷åííÿ âòîìè ìàòåð³àëó çàëåæàòü â³ä ïàðàìåòðà ïîøêîäæóâàíîñò³:
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 6 85
²ìîâ³ðí³ñíà ìîäåëü íàêîïè÷åííÿ âòîìíî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³ ...
Y
W
D
W
Di
i
i
�� ��
�
��
�
�
�
�
�
1
3
, (5)
äå i – êîìïîíåíòè âåêòîðà ãîëîâíèõ ïîäîâæåíü.
Äëÿ âèçíà÷åííÿ ïîõ³äíèõ â³ä ïîäîâæåíü ïî ïàðàìåòðó ïîøêîäæóâàíîñò³ ïðîäè-
ôåðåíö³þºìî áåçïîñåðåäíüî åôåêòèâí³ íàïðóæåííÿ ïî ïàðàìåòðó ïîøêîäæóâàíîñò³:
�
�
�
�
�
�
~ ~
,
S
D
S
D
i i
i
i�
�i 1 3, ... , , (6)
äå
~
S i – ãîëîâí³ åôåêòèâí³ íàïðóæåííÿ 2-ãî òåíçîðà ϳàëà–ʳðõãîôôà.
Âèçíà÷åííÿ åôåêòèâíèõ íàïðóæåíü (4) ìîæå áóòè àíàëîã³÷íî ñôîðìóëüîâàíî íå
ò³ëüêè äëÿ êîìïîíåíò³â, à é äëÿ ãîëîâíèõ çíà÷åíü òåíçîð³â íàïðóæåíü. Ó öüîìó âè-
ïàäêó ìàºìî
�
�
�
�
~
( )
~
,
S
D D
S
D
S
D
S
D
i i i i�
�
�
�
�
�
��
�
�
�1 1 12
�i 1 3, ... , . (7)
Ïðèð³âíþþ÷è ë³â³ ÷àñòèíè âèðàç³â (6) òà (7), îòðèìàºìî øóêàíå ñï³ââ³äíîøåííÿ
äëÿ ïîõ³äíèõ â³ä ãîëîâíèõ ïîäîâæåíü ïî ïàðàìåòðó ïîøêîäæóâàíîñò³:
�
�
�
�
i i i
iD
S
D
S
�
�
�
�
�
�
�
�
�~ ~
,
1
1
�i 1 3, ... , . (8)
Òàêèì ÷èíîì, (2) ðàçîì ³ç (5) òà (8) äîçâîëÿº îòðèìàòè ð³âíÿííÿ äëÿ ê³íåòèêè
íàêîïè÷åííÿ âòîìíî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³ ã³ïåðïðóæíèõ ìàòåð³àë³â ïðè ñê³í÷åííèõ äå-
ôîðìàö³ÿõ:
dD
dt
B
S
D
eq
c
�
�
�
�
�
�
��
1
, (9)
äå äëÿ çðó÷íîñò³ ââåäåíî ïîçíà÷åííÿ:
S
W
S
S
S
S
eq
ii
i
i
i
i i
i
i�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
1
3 1
2
1
3
~
~
~
~
i
�
�
�
�
�
�
�1
, (10)
S eq – ìຠðîçì³ðí³ñòü íàïðóæåíü ³ ìîæå ðîçãëÿäàòèñü ÿê åêâ³âàëåíòí³ íàïðóæåííÿ,
ùî äîçâîëÿþòü õàðàêòåðèçóâàòè íàêîïè÷åííÿ âòîìè ïðè ñêëàäíîìó ÍÄÑ [9, 10].
Îòðèìàí³ åêâ³âàëåíòí³ íàïðóæåííÿ ìîæóòü áóòè ïðåäñòàâëåí³ íå ò³ëüêè ÿê âèðàç
äëÿ ãîëîâíèõ íàïðóæåíü, à é ÿê âèðàæåí³ ÷åðåç ïîõ³äí³ ôóíêö³¿ ù³ëüíîñò³ åíåð㳿
äåôîðìàö³é, ùî ó ïåâíèõ âèïàäêàõ ìîæå áóòè á³ëüø çðó÷íèì:
~
,S
W
i
i i
�
1
�
�
�
�
�
�
�
�
~
,
S W Wi
i i i i i
�� �
1 1
2
2
2
�i 1 3, ... , ; (11)
S
W W W
eq
ii i i i
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
1
3 2 2
2
1
1
. (12)
86 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 6
Î. Î. Ëàð³í
Ó ðîáîò³ âèêîðèñòîâóâàëàñü ìîäåëü Ìóí³–Ð³âë³íà äëÿ íåë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³
íàïðóæåíü â³ä äåôîðìàö³é, ÿêà º îäí³ºþ ç íàéá³ëüø ïîøèðåíèõ, ùî çàñòîñîâóþòüñÿ
äëÿ äîñë³äæåííÿ ïðîöåñ³â ïîì³ðíèõ äåôîðìàö³é ãóìîâèõ ìàòåð³àë³â ó ïðàêòèö³ ³íæå-
íåðíèõ ðîçðàõóíê³â. Ôóíêö³ÿ ù³ëüíîñò³ åíåð㳿 äåôîðìàö³¿ äëÿ ìàòåð³àëó çà ìîäåëëþ
Ìóí³–Ð³âë³íà ìຠíàñòóïíèé âèãëÿä:
W C I C I
k
J� � � � � �01 1 10 2
23 3
2
1( ) ( ) ( ) , (13)
äå Ñ01, Ñ10, k – êîíñòàíòè ìàòåð³àëó; I1 òà I 2 – ïðèâåäåí³ ïåðøèé òà äðóãèé
³íâàð³àíòè òåíçîðà äåôîðìàö³¿ Ãð³íà; J – âèçíà÷íèê öüîãî òåíçîðà, ÿêèé º êâàäðàò-
íèì êîðåíåì ç éîãî òðåòüîãî ³íâàð³àíòà. Çíà÷åííÿ I1, I 2 òà J ìîæóòü áóòè
âèçíà÷åí³ ÷åðåç ãîëîâí³ ïîäîâæåííÿ ( i ):
I J I1
2 3
1� � / ; I1 1
2
2
2
3
2� � � ; J � 1 2 3; (14)
I J I2
4 3
2� � / ; I 2 1
2
2
2
2
2
3
2
1
2
3
2� � � . (15)
Ïðîâ³âøè ðîçðàõóíêè ïîõ³äíèõ â³ä ôóíêö³¿ ù³ëüíîñò³ åíåð㳿 äåôîðìàö³¿, îòðè-
ìàºìî âèðàç äëÿ âèçíà÷åííÿ åêâ³âàëåíòíèõ íàïðóæåíü ÷åðåç ³íâàð³àíòè òåíçîðà
äåôîðìàö³¿ Ãð³íà òà ãîëîâí³ ïîäîâæåííÿ:
S
C J I C J I kJ J
eq
i i�
� � � � ��( [ ] [ ] [/ /2 3 2 3 3 101
2 3
1
2
10
2 2
2
7 3 ])
( [ ] [ ]/ / /
2
4 3
01
2 3
1
2
10
2 2
2
7 38 2 3 8 6 9J C J I C J I kJi i� � � �� )
.
i�
�
1
3
(16)
Åêñïåðèìåíòàëüí³ âèïðîáóâàííÿ. Îòæå, âèêîðèñòàííÿ âèðàçó (9) ðàçîì ç
åêâ³âàëåíòíèìè íàïðóæåííÿìè (12) äîçâîëÿº àíàë³çóâàòè ïðîöåñ íàêîïè÷åííÿ âòîìè ó
ãóìîâèõ ìàòåð³àëàõ, ó òîìó ÷èñë³ ïðè ñêëàäíîìó ÍÄÑ.
Ñë³ä â³äì³òèòè, ùî çà ïîì³ðíèõ äåôîðìàö³é äëÿ âèçíà÷åííÿ åêâ³âàëåíòíèõ
íàïðóæåíü ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè âèðàç (16).
Îá’ºêòîì äîñë³äæåííÿ ñëóãóâàëà ãóìà, ùî âèêîðèñòîâóºòüñÿ â àâòîìîá³ëüíèõ
øèíàõ ÿê ìàòðèöÿ êàðêàñó òà áðåêåðó ç ïàðàìåòðàìè: Ñ01 01� , ÌÏà; Ñ10 0 8� , ÌÏà;
k�160 ÌÏà, ÿê³ çàäîâ³ëüíî îïèñóþòü ïîâåä³íêó äàíîãî ìàòåð³àëó â ñòàá³ë³çîâàíîìó
ñòàí³ â ìåæàõ äî 250% äåôîðìàö³é (ãðàíè÷í³ çíà÷åííÿ äåôîðìàö³é ïðè ðîçðèâ³
( )%610 25� ). Äëÿ âèçíà÷åííÿ êîíñòàíò ó ð³âíÿíí³ ïîøêîäæóâàíîñò³ áóëî ïðîâåäåíî
ñåð³þ âèïðîáóâàíü ìàòåð³àëó íà âòîìó.
Ïëîñê³ çðàçêè ãóìè íàâàíòàæóâàëèñü öèêë³÷íî ïðè ðîçòÿç³. ²ç ìåòîþ óíèêíåííÿ
ïðîÿâó åôåêòó âòðàòè ñòàòè÷íî¿ ñò³éêîñò³ äåôîðìóâàííÿ çðàçê³â ïðîâîäèëîñü áåç
ñòèñíåííÿ. Îêð³ì òîãî, åêñïåðèìåíòè íà âòîìíó äîâãîâ³÷í³ñòü ïðîâîäèëèñü äëÿ ñòàá³-
ë³çîâàíîãî ìàòåð³àëó, òîáòî ñïî÷àòêó çðàçîê çàçíàâàâ äåñÿòü öèêë³â äåôîðìàö³¿, ï³ñëÿ
÷îãî ç íüîãî çí³ìàëîñü ïîâí³ñòþ íàâàíòàæåííÿ. Òàêà ïîïåðåäíÿ ïðîöåäóðà äîçâîëÿëà
ïîçáàâèòèñü âïëèâó åôåêòó Ìàë³íà íà ïîäàëüø³ ðåçóëüòàòè. Ïðîâîäèëîñü öèêë³÷íå
äåôîðìóâàííÿ ïðè æîðñòêîìó íàâàíòàæåíí³ (çàäàâàëèñü äåôîðìàö³¿) ç ð³çíèìè àìïë³-
òóäàìè (50, 66, 75 òà 100%) íàâêîëî ô³êñîâàíîãî ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ (150%). ×àñòîòà
íàâàíòàæåííÿ ñêëàäàëà 5 Ãö.
Ðåçóëüòàòè åêñïåðèìåíòàëüíèõ âèïðîáóâàíü ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 1 ó ïîäâ³éíèõ
ëîãàðèôì³÷íèõ êîîðäèíàòàõ. Íà ðèñ. 1,à ïðèâåäåíî çàëåæí³ñòü àìïë³òóä ãîëîâíèõ
ïîäîâæåíü â³ä ÷èñëà öèêë³â äî ðóéíóâàííÿ çðàçêà, íà ðèñ. 1,á – àíàëîã³÷íó çàëåæ-
í³ñòü, ïîáóäîâàíó äëÿ åêâ³âàëåíòíèõ íàïðóæåíü, ðîçðàõîâàíèõ çà ôîðìóëîþ (16), ó
ïðèïóùåíí³ îäíîâ³ñíîãî ÍÄÑ.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 6 87
²ìîâ³ðí³ñíà ìîäåëü íàêîïè÷åííÿ âòîìíî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³ ...
Âèäíî, ùî åêñïåðèìåíòàëüí³ òî÷êè äîáðå àïðîêñèìóþòüñÿ ïðÿìîþ ë³í³ºþ ó
ïîäâ³éíèõ ëîãàðèôì³÷íèõ êîîðäèíàòàõ, òîáòî çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ Âåëåðà:
S N C S Na
m
c
m� � �0 const , (17)
äå N – ÷èñëî öèêë³â äî ðóéíóâàííÿ çðàçêà ïðè äåôîðìóâàíí³ ç àìïë³òóäîþ S a ; m,
C – êîíñòàíòè àïðîêñèìàö³¿, ïðè÷îìó îñòàííÿ ìîæå áóòè âèçíà÷åíà ÿê äîáóòîê
áàçîâîãî ÷èñëà öèêë³â N 0 äî ðóéíóâàííÿ íà ô³êñîâàíîìó ð³âí³ àìïë³òóä íàâàíòà-
æåííÿ S c . Àïðîêñèìàö³þ ïðîâîäèëè òàêèì ÷èíîì, ùî áóëî çàô³êñîâàíî áàçîâèé
ð³âåíü àìïë³òóä äåôîðìàö³¿ S c íà ð³âí³ 50%, ïðè öüîìó ïàðàìåòðàìè êðèâî¿ Âåëåðà,
ùî ï³äëÿãàþòü âèçíà÷åííþ, ââàæàëèñü ïîêàçíèê íàõèëó ö³º¿ êðèâî¿ m òà ÷èñëî
öèêë³â N 0 äî ðóéíóâàííÿ çðàçêà.
Áóëî îòðèìàíî íàñòóïí³ ïàðàìåòðè àïðîêñèìàö³¿: m � 27; N 0
63 10 � � äëÿ
çàëåæíîñò³ àìïë³òóä ïîäîâæåíü â³ä ÷èñëà öèêë³â äî ðóéíóâàííÿ òà mSeq
� 8, N Seq0 �
� �5 106 äëÿ çàëåæíîñò³ àìïë³òóä åêâ³âàëåíòíèõ íàïðóæåíü â³ä ÷èñëà öèêë³â äî
ðóéíóâàííÿ. Çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà m îêðóãëåíî äî ö³ëîãî ÷èñëà. Ïðîâåäåí³ åêñïå-
ðèìåíòè ïîêàçóþòü, ùî äëÿ êîæíîãî ô³êñîâàíîãî ð³âíÿ àìïë³òóäè íàâàíòàæåííÿ
÷èñëî öèêë³â äî ðóéíóâàííÿ, âèçíà÷åíå åêñïåðèìåíòàëüíî, ìຠäîñèòü çíà÷íèé ðîç-
êèä ó ìåæàõ (25...30%) ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ.
гâíÿííÿ Âåëåðà (17) ç âèçíà÷åíèìè êîíñòàíòàìè ìîæóòü áóòè âèêîðèñòàí³ äëÿ
³äåíòèô³êàö³¿ ïàðàìåòð³â ð³âíÿííÿ ïðè íàêîïè÷åíí³ âòîìíî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³ (9).
ijéñíî, ôîðìàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ (9) â óìîâàõ öèêë³÷íîãî åêñïåðèìåíòó íà
âòîìó äຠìîæëèâ³ñòü âèçíà÷èòè ÷èñëî öèêë³â äî ðóéíóâàííÿ çðàçêà ïðè ô³êñîâàíîìó
ð³âí³ àìïë³òóä ïåâíîãî íàâàíòàæåííÿ øëÿõîì éîãî ³íòåãðóâàííÿ òà çà óìîâè, ùî ïàðà-
ìåòð ïîøêîäæóâàíîñò³ ó ìîìåíò ðóéíóâàííÿ ñÿãຠãðàíè÷íîãî çíà÷åííÿ (îäèíèö³):
T Dð: �1 ïðè S T
BS c
eq
eq
c
� �� �
�
const ð
( )
.
1
1
(18)
Àíàëîã³÷íî ìîæå áóòè âèçíà÷åíî ÷àñ äî ðóéíóâàííÿ Ò ð çðàçêà ïðè ô³êñîâàíèõ
ð³âíÿõ àìïë³òóä íàâàíòàæåííÿ ç ð³âíÿííÿ Âåëåðà (17):
à á
Ðèñ. 1. Ðåçóëüòàòè åêñïåðèìåíòàëüíèõ âèïðîáóâàíü íà âòîìó ãóìîâî¿ ñóì³ø³ ìàòðèö³ êàðêàñó
ïíåâìàòè÷íèõ øèí. (Òî÷êè – åêñïåðèìåíòàëüí³ äàí³, ë³í³¿ – àïðîêñèìàö³ÿ ìåòîäîì íàéìåíøèõ
êâàäðàò³â).
88 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 6
Î. Î. Ëàð³í
T
N S
S
N
e
eqc
eq
m
e
ð ,� �
�
�
�
�
�
�� �
0
(19)
äå �å – ÷àñòîòà öèêë³â äåôîðìàö³¿ çðàçêà, â Ãö.
Ïîð³âíÿííÿ (18) ³ç (19) çà óìîâè, ùî ö³ âèðàçè ïîâèíí³ çá³ãàòèñü çà áóäü-ÿêèõ,
àëå ô³êñîâàíèõ çíà÷åíü S eq , äîçâîëÿº âèðàçèòè íåâ³äîì³ êîíñòàíòè ð³âíÿííÿ (9), ùî
îïèñóº ê³íåòèêó íàêîïè÷åííÿ ïîøêîäæóâàíîñò³:
c m� ; B
S N m
e
eqc
m
�
�
�
0 1( )
. (20)
Éìîâ³ðí³ñíå ìîäåëþâàííÿ ê³íåòèêè ðîñòó âòîìíî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³. ßê çà-
çíà÷àëîñü âèùå, åêñïåðèìåíòàëüí³ äàí³ ÿê³ñíî äîáðå çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ Âåëåðà,
àëå çíà÷åííÿ ÷èñëà öèêë³â äî ðóéíóâàííÿ ìàþòü äîñèòü çíà÷íèé ðîçêèä. Ïðîïîíó-
ºòüñÿ âðàõîâóâàòè öåé ôàêò òà ðîçãëÿäàòè ïðîöåñ íàêîïè÷åííÿ âòîìíî¿ ïîøêîäæóâà-
íîñò³ ó éìîâ³ðí³ñí³é ïîñòàíîâö³. Äëÿ öüîãî áàçîâå ÷èñëî öèêë³â N 0 äî ðóéíóâàííÿ
ââàæàºòüñÿ âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ, ùî ìຠçàäîâîëüíÿòè íîðìàëüíîìó çàêîíó Ãàóññà
³ç ñåðåäí³ì çíà÷åííÿì � �N 0 , âèçíà÷åíèì ç àïðîêñèìàö³éíî¿ ïðîöåäóðè, òà êîåô³-
ö³ºíòîì âàð³àö³¿ VN 0 01� , , çã³äíî ç ÿêèì ÷èñëî öèêë³â äî ðóéíóâàííÿ ìîæå âàð³-
þâàòèñü ó ìåæàõ 30% ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ.
Òàêèì ÷èíîì, ïðîöåñ íàêîïè÷åííÿ ïîøêîäæóâàíîñò³ ïðè âòîì³ ãóìîâèõ ìàòå-
ð³àë³â, ùî ðîçãëÿäàþòüñÿ, îïèñóºòüñÿ äèôåðåíö³éíèì ð³âíÿííÿì (9), äî ÿêîãî âõîäÿòü
êîíñòàíòè, ùî âèçíà÷àþòüñÿ ç (20), à òàêîæ âèïàäêîâèé ïàðàìåòð.
Íåë³í³éí³ñòü äàíîãî ð³âíÿííÿ óñêëàäíþº ìîæëèâîñò³ éîãî áåçïîñåðåäíüîãî óñå-
ðåäíåííÿ ç òèì, àáè âèçíà÷èòè éìîâ³ðí³ñí³ õàðàêòåðèñòèêè ïîøêîäæóâàíîñò³. Äëÿ
âèð³øåííÿ ö³º¿ ïðîáëåìè ïðîïîíóºòüñÿ ââåñòè çàì³íó, ÿêà äîçâîëÿº ë³íåàðèçóâàòè ïî
ïàðàìåòðó ïîøêîäæóâàíîñò³ ð³âíÿííÿ éîãî ê³íåòèêè. Ââåäåìî äîäàòêîâó ôóíêö³þ U:
U t D
m
m( ) [ ( ) ]� � �
�
�1 1
1
1
1 ��
dU
dt
D
dD
dt
m� �( ) .1 (21)
Òàêèì ÷èíîì, îòðèìàºìî ë³í³éíå äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ ùîäî ââåäåíî¿ ôóíê-
ö³¿ U t( ) ç âèïàäêîâèì ïàðàìåòðîì. Éìîâ³ðí³ñí³ õàðàêòåðèñòèêè ïðîöåñó U t( ) ìî-
æóòü áóòè äîñèòü ëåãêî âèçíà÷åí³ áåçïîñåðåäí³ì óñåðåäíåííÿì:
dU
dt N m
S
S
e eq
eqc
m
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � 1
0 1( )
. (22)
Äëÿ çðó÷íîñò³ ðîçðàõóíê³â êîíñòàíò ïðîïîíóºòüñÿ ïðåäñòàâèòè âèïàäêîâó ñêëà-
äîâó áàçîâîãî ÷èñëà öèêë³â äî ðóéíóâàííÿ ÷åðåç îêðåìèé ïàðàìåòð:
�� N N0 0 . (23)
Äàíèé ïàðàìåòð çàäîâîëüíÿº íîðìàëüíîìó çàêîíó Ãàóññà, ìຠíîðìîâàíå äî
îäèíèö³ ìàòåìàòè÷íå î÷³êóâàííÿ, à éîãî ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ äîð³âíþº
êîåô³ö³ºíòó âàð³àö³¿ VN 0.
Îòæå, â ðàìêàõ ââåäåíèõ ïîçíà÷åíü òà äîñë³äæåííÿ îêðåìîãî âèïàäêó ïðîöåñó
íàêîïè÷åííÿ âòîìè ïðè ô³êñîâàíèõ àìïë³òóäàõ åêâ³âàëåíòíèõ íàïðóæåíü ñåðåäíº
çíà÷åííÿ ïðîöåñó U t( ) º ë³í³éíîþ ôóíêö³ºþ ÷àñó:
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 6 89
²ìîâ³ðí³ñíà ìîäåëü íàêîïè÷åííÿ âòîìíî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³ ...
U t
N m
S
S
dt t k t
e eq
eqc
mt
( )
( )
,�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
��
� �
� �
1
00
1
1
1
(24)
äå äëÿ ñêîðî÷åííÿ çàïèñó ââåäåíî ïîçíà÷åííÿ êîíñòàíòè:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
e eq
eqc
m
N m
S
S0 1( )
(25)
òà îïåðàòîð óñåðåäíåííÿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè:
� � � � �
�
�
� �
!
�
!
� � �
��
�
�
�
�
� �1 1
0
1
00
2
0
2
1
2
1
2
f d
V VN N
( ) exp
( )
�d�. (26)
Àíàëîã³÷íî âèçíà÷àºòüñÿ äèñïåðñ³ÿ ïðîöåñó U t( ):
" � �U t U t U t t k t k t2 2 2 2 2 2
1
2 2
2
2 2( ) ( ) ( ) .� � � � ��
(27)
Âðàõîâóþ÷è, ùî ôóíêö³ÿ U t( ) º àäèòèâíîþ òà ôîðìàëüíî ìîæå áóòè ïðåä-
ñòàâëåíà ó âèãëÿä³ ñóìè âèïàäêîâèõ âåëè÷èí (òàêå ïðåäñòàâëåííÿ ìîæíà îòðèìàòè,
ÿêùî ïåðåïèñàòè ð³âíÿííÿ (22) ÷åðåç ³íòåãðàëüíó ñóìó), ³ç ïîñèëàííÿì íà öåíòðàëüíó
ãðàíè÷íó òåîðåìó òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé ìîæíà çàñòîñóâàòè ã³ïîòåçó, çã³äíî ç ÿêîþ äàíà
ôóíêö³ÿ ìຠçàäîâîëüíÿòè íîðìàëüíîìó çàêîíó Ãàóññà (ïðèíàéìí³ áóòè áëèçüêîþ äî
íüîãî, îñîáëèâî äëÿ çíà÷åíü ÷àñó, áëèçüêèõ äî â³äìîâè, îñê³ëüêè ó öüîìó âèïàäêó â
³íòåãðàëüí³é ñóì³ áóäå äîñòàòíüî âåëèêà ê³ëüê³ñòü ÷ëåí³â ðÿäó). Òîìó îäíîâèì³ðíà
ôóíêö³ÿ ù³ëüíîñò³ éìîâ³ðíîñò³ ïðîöåñó U t( ) ìîæå áóòè ïðåäñòàâëåíà íàñòóïíèì
âèðàçîì:
f U t
k t
U k t
k t
U ( , ) exp
( )
.� �
��
�
�
�
�
�
1
2 22
1
2
2
2 2
(28)
Âèõîäÿ÷è ç â³äîìî¿ ôóíêö³¿ ù³ëüíîñò³ éìîâ³ðíîñò³ ïðîöåñó U t( ), ìîæíà âèçíà-
÷èòè ù³ëüí³ñòü éìîâ³ðíîñò³ ïîøêîäæóâàíîñò³, âðàõîâóþ÷è, ùî ³ñíóº ôóíêö³îíàëüíèé
çâ’ÿçîê ì³æ öèìè ïðîöåñàìè (21):
f D t f U
m
D
dU
dD
D U
m( , ) [ ( ) ] ;� �
�
� �
�
�
�
�
��1
1
1 1 1
f D t
D
k t
k m t D
m
D
m m
( , )
| ( ) |
exp
( ( ) ( ) )
(
�
�
�
� � � � �
1
2
1 1 1
22
1
1 2
�
�
�
�
�
�
�
1 2
2
2 2)
.
k t
(29)
Ñï³ââ³äíîøåííÿ (29) äຠìîæëèâ³ñòü ðîçðàõóâàòè ïðîöåñ íàêîïè÷åííÿ ïîøêîä-
æóâàíîñò³ ïðè ô³êñîâàíîìó ð³âí³ àìïë³òóä íàâàíòàæåííÿ ó ñåðåäíüîìó (� �D ), à
òàêîæ äîâ³ð÷èé ³íòåðâàë #D ìîæëèâî¿ âàð³àö³¿ öüîãî ïðîöåñó ³ç çàäàíîþ éìîâ³ð-
í³ñòþ ($� 0 9995, ):
D t Df D t dDD( ) ( , ) ;�
!
�
0
(30)
90 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 6
Î. Î. Ëàð³í
D f D t dDD
D
max : ( , ) ;
max$
2
0
� � D f D t dDD
D
D
min : ( , ) .
min
max
$� � (31)
³äïîâ³äíî äî ôîðìóë (31) ìåæ³ äîâ³ð÷îãî ³íòåðâàëó ðîçðàõîâóâàëèñü ³òåðàö³éíî
äëÿ êîæíîãî çíà÷åííÿ ÷àñó t. Ñïî÷àòêó âèçíà÷àëàñü âåðõíÿ ìåæà øëÿõîì ñå𳿠ðîç-
ðàõóíê³â ïåðøîãî ç ³íòåãðàë³â ó ôîðìóë³ (31) äîêè éîãî çíà÷åííÿ íå äîãÿãíå ïîëîâèíè
çíà÷åííÿ äîâ³ð÷î¿ éìîâ³ðíîñò³. Íàñòóïíèì êðîêîì áóëà àíàëîã³÷íà ïðîöåäóðà ùîäî
âèçíà÷åííÿ íèæíüî¿ ìåæ³.
Áåçïîñåðåäí³ì ³íòåãðóâàííÿì ù³ëüíîñò³ éìîâ³ðíîñò³ ïîøêîäæóâàíîñò³ â ìåæàõ
ïðèïóñòèìèõ çíà÷åíü ìîæíà ðîçðàõóâàòè éìîâ³ðí³ñòü â³äìîâè (Q) àáî éìîâ³ðí³ñòü
áåçâ³äìîâíî¿ ðîáîòè (P) (ôóíêö³ÿ íàä³éíîñò³). Îñòàíí³é ïàðàìåòð ìîæå áóòè âèçíà-
÷åíèé ÿê éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî ïîøêîäæóâàí³ñòü ó äàíèé ìîìåíò ÷àñó º ìåíøîþ çà
êðèòè÷íå çíà÷åííÿ, òîáòî çà îäèíèöþ:
P t D f D t dD Q tD( ) Pr[ ( , )] ( , ) ( ).� % � � ��0 1 1
0
1
(32)
Ðåçóëüòàòè äîñë³äæåíü. Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíî äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè ïîøêîäæó-
âàíîñò³, ÿê³ ðîçðàõîâàíî äëÿ ð³çíèõ ð³âí³â àìïë³òóä, òà íàêëàäåí³ íà íèõ çàëåæíîñò³
éìîâ³ðíîñò³ áåçâ³äìîâíî¿ ðîáîòè. ³ñü àáñöèñ ïðåäñòàâëåíî ó ëîãàðèôì³÷í³é øêàë³,
ùî äîçâîëÿº ïðèâåñòè íà îäíîìó ãðàô³êó ðîçðàõîâàí³ äàí³ ùîäî éìîâ³ðíîñò³ áåçâ³ä-
ìîâíî¿ ðîáîòè òà äîâ³ð÷îãî ³íòåðâàëó ïîøêîäæóâàíîñò³ äëÿ ð³çíèõ àìïë³òóä äåôîð-
ìàö³é. ßê âèäíî, çàëåæíîñò³ äåìîíñòðóþòü ïîä³áíèé õàðàêòåð.
Îòðèìàí³ õàðàêòåðèñòèêè ïðîöåñó ç íàêîïè÷åííÿ ïîøêîäæóâàíîñò³ ïåðåâ³ðÿ-
ëèñü åêñïåðèìåíòàëüíî. Äëÿ öüîãî âèçíà÷àëàñü íàêîïè÷åíà ïîøêîäæóâàí³ñòü ó ÷àñ³
ïðè öèêë³÷íîìó äåôîðìóâàíí³ äåê³ëüêîõ çðàçê³â. Òàê, ÷àñòèíà åêñïåðèìåíòàëüíèõ
âèïðîáóâàíü çðàçê³â äî ¿õ ðóéíóâàííÿ ïðè öèêë³÷íîìó äåôîðìóâàíí³ ïðîâîäèëîñü íà
ñó÷àñíîìó âèì³ðþâàëüíîìó êîìïëåêñ³, ùî ñêëàäàºòüñÿ ç äèíàì³÷íî¿ ìàøèíè
INSTRON/E3000 òà ñèíõðîí³çîâàíîãî ç íåþ êîìï’þòåðà. Öå äîçâîëÿëî îòðèìàí³ äàí³
àâòîìàòè÷íî ô³êñóâàòè ïî êîæíîìó åêñïåðèìåíòó â ðåàëüíîìó ÷àñ³. Çàïèñóâàëèñü
çíà÷åííÿ ïðèêëàäåíèõ àìïë³òóä äåôîðìàö³é òà âèì³ðþâàí³ ³íæåíåðí³ íàïðóæåííÿ
(âèì³ðþâàëüíà âåëè÷èíà – çóñèëëÿ).
Ðèñ. 2. Äîâ³ð÷èé ³íòåðâàë ïîøêîäæóâàíîñò³ òà éìîâ³ðí³ñòü áåçâ³äìîâíî¿ ðîáîòè çðàçê³â ïðè
àìïë³òóäàõ äåôîðìàö³é 50 (1), 66 (2), 75 (3) òà 100% (4).
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 6 91
²ìîâ³ðí³ñíà ìîäåëü íàêîïè÷åííÿ âòîìíî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³ ...
Íà îñíîâ³ îòðèìàíèõ äàíèõ áóëî ïîáóäîâàíî çàëåæí³ñòü ³íæåíåðíèõ íàïðóæåíü
â³ä ÷èñëà öèêë³â, ùî âèòðèìàâ çðàçîê. Àíàë³ç çàëåæíîñòåé ïîêàçóº, ùî íàïðóæåííÿ â
çðàçêàõ ïîñòóïîâî ñïàäຠç ðîñòîì ÷èñëà öèêë³â äåôîðìàö³¿. Öå ìîæå áóòè çóìîâëåíî
íàêîïè÷åííÿì âòîìíî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³ â ìàòåð³àë³. ijéñíî, íàêîïè÷åííÿ ïîøêîäæó-
âàíîñò³ ïðèçâîäèòü äî óòâîðåííÿ â ìàòåð³àë³ ì³êðîäåôåêò³â òà ì³êðîòð³ùèí, ÿê³ éîãî
ïîñëàáëþþòü, ùî çà ô³êñîâàíîãî ð³âíÿ äåôîðìàö³é çóìîâëþº çìåíøåííÿ âèì³ðþ-
âàíîãî çóñèëëÿ. Âèíèêíåííÿ òà ðîçâèòîê âåëèêî¿ ê³ëüêîñò³ äåôåêò³â íà ïîâåðõí³
ãóìîâèõ çðàçê³â ó ïðîöåñ³ ¿õ öèêë³÷íîãî äåôîðìóâàííÿ ï³äòâåðäæóâàëîñü â³çóàëüíî.
Íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåíî ôîòîãðàô³¿ îäíîãî é òîãî æ çðàçêà ï³ñëÿ â³äïðàöþâàííÿ
ïðèáëèçíî 25 é 75% ðåñóðñó òà ðóéíóâàííÿ, îòðèìàí³ ôîòîêàìåðîþ, ùî ìຠâèñîêó
ðîçä³ëüíó çäàòí³ñòü.
Ó ðîáîò³ âòîìíà ïîøêîäæóâàí³ñòü ââîäèòüñÿ ó ðàìêàõ êîíöåïö³¿ åôåêòèâíèõ
íàïðóæåíü. Îòæå, â³äíîøåííÿ çàðåºñòðîâàíîãî ïðîöåñó çìåíøåííÿ íàïðóæåíü â
åêñïåðèìåíò³ äî ¿õ ïî÷àòêîâîãî çíà÷åííÿ (äëÿ ìàòåð³àëó â ñòàá³ë³çîâàíîìó ñòàí³)
äîçâîëÿº îòðèìàòè åêñïåðèìåíòàëüí³ êðèâ³ ðåàë³çàö³¿ ïðîöåñó íàêîïè÷åííÿ ïîøêîä-
æóâàíîñò³ ïðè öèêë³÷íîìó äåôîðìóâàíí³ çðàçêà:
D
S
S
� �1
~
. (33)
Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíî îòðèìàí³ åêñïåðèìåíòàëüíî ðåàë³çàö³¿ ïðîöåñó íàêîïè-
÷åííÿ ïîøêîäæóâàíîñò³ (êðèâ³), ÿê³ íàíåñåíî íà îáëàñò³ äîâ³ð÷îãî ³íòåðâàëó ìîæëè-
âî¿ âàð³àö³¿ ïîøêîäæóâàíîñò³, ùî áóëî ðîçðàõîâàíî òåîðåòè÷íî. Ñë³ä â³äì³òèòè, ùî
á³ëüø âèðàæåíèì öåé ïðîöåñ º ïðè íåâåëèêèõ ð³âíÿõ àìïë³òóä äåôîðìàö³¿ (â³äíîñíî
ãðàíè÷íî ïðèïóñòèìèõ çíà÷åíü äëÿ öüîãî ìàòåð³àëó).
Ó ðàìêàõ ðîçãëÿíóòî¿ òåî𳿠ìîæíà îòðèìàòè òàêîæ çàëåæíîñò³ ù³ëüíîñò³ éìî-
â³ðíîñò³ ðóéíóâàííÿ, òîáòî çàêîí ðîçïîä³ëó ðåñóðñó, ãóìîâîãî çðàçêà ïðè ô³êñîâàíîìó
ð³âí³ íàâàíòàæåííÿ:
q t
dQ
dt
dP
dt
( ) .� �� (34)
Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåíî äàíó õàðàêòåðèñòèêó. Òàì æå äëÿ íàî÷íîñò³ íàâåäåíî
ãðàô³ê ñåðåäíüî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³. Àíàë³ç ïðèâåäåíîãî ðåçóëüòàòó âêàçóº íà àñèìåò-
ð³þ ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñò³. Òàêèé ðåçóëüòàò äîáðå óçãîäæóºòüñÿ ç â³äîìèìè äàíèìè,
Ðèñ. 3. Ôîòîãðàô³¿ ïðîöåñó çàðîäæåííÿ òà ðîçâèòêó ì³êðîäåôåêò³â íà ïîâåðõí³ çðàçê³â ïðè
öèêë³÷íîìó äåôîðìóâàíí³.
92 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 6
Î. Î. Ëàð³í
ÿê³ ñâ³ä÷àòü, ùî âòîìíèé ðåñóðñ íàéêðàùå àïðîêñèìóºòüñÿ ëîãíîðìàëüíèì çàêîíîì
àáî çàêîíîì Âåéáóëëà, ³ ÿê³ñíî çá³ãàþòüñÿ ç íàâåäåíèìè íà ðèñ. 5.
 è ñ í î â ê è
1. Ðîçãëÿíóòî éìîâ³ðí³ñíå ìîäåëþâàííÿ ïðîöåñó íàêîïè÷åííÿ íåëîêàë³çîâàíî¿
âòîìíî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³ â ãóìîâèõ ìàòåð³àëàõ.
2. Ó ðàìêàõ êîíöåïö³¿ åôåêòèâíèõ íàïðóæåíü ïðåäñòàâëåíî ê³íåòè÷íå ð³âíÿííÿ
äëÿ îïèñó ïðîöåñó ðîñòó ïîøêîäæóâàíîñò³ òà çàïðîïîíîâàíî ðîçðàõóíêîâ³ ñï³ââ³ä-
íîøåííÿ äëÿ âèçíà÷åííÿ éìîâ³ðí³ñíèõ õàðàêòåðèñòèê éîãî ðîçâ’ÿçê³â (ñåðåäíüîãî
çíà÷åííÿ, äîâ³ð÷îãî ³íòåðâàëó ïîøêîäæóâàíîñò³), à òàêîæ ïîêàçíèê³â íàä³éíîñò³.
3. Ðîçãëÿíóòî åêñïåðèìåíòàëüí³ äàí³ ùîäî âèçíà÷åííÿ ðåàë³çàö³¿ ïðîöåñó íàêî-
ïè÷åííÿ âòîìè â ãóìîâèõ çðàçêàõ, ÿê³ äîáðå óçãîäæóþòüñÿ ç òåîðåòè÷íèìè.
Ð å ç þ ì å
Ïðåäñòàâëåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà íàêîïëåíèÿ íåëîêàëèçîâàííîé óñòàëîñò-
íîé ïîâðåæäàåìîñòè â ðåçèíîïîäîáíûõ ìàòåðèàëàõ. Ïðåäëîæåíû ñîîòíîøåíèÿ äëÿ
à á
Ðèñ. 4. Äîâ³ð÷èé ³íòåðâàë ïîøêîäæóâàíîñò³, ðîçðàõîâàíèé òåîðåòè÷íî, é åêñïåðèìåíòàëüí³
äàí³ ùîäî ðåàë³çàö³¿ ïðîöåñó íàêîïè÷åííÿ ïîøêîäæóâàíîñò³ ïðè àìïë³òóäàõ äåôîðìàö³é 75 (à)
òà 66% (á).
Ðèñ. 5. Ñåðåäíÿ ïîøêîäæóâàí³ñòü òà ù³ëüí³ñòü D éìîâ³ðíîñò³ ðóéíóâàííÿ çðàçêà q ïðè
àìïë³òóä³ äåôîðìàö³¿ 66%.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 6 93
²ìîâ³ðí³ñíà ìîäåëü íàêîïè÷åííÿ âòîìíî¿ ïîøêîäæóâàíîñò³ ...
îïðåäåëåíèÿ êîíñòàíò äàííîãî óðàâíåíèÿ ñ ó÷åòîì èçâåñòíûõ õàðàêòåðèñòèê êðèâîé
óñòàëîñòè, â ÷àñòíîñòè ñëó÷àéíîãî èõ ðàçáðîñà. Ïîëó÷åíû ðàñ÷åòíûå ñîîòíîøåíèÿ
äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê ïîâðåæäàåìîñòè. Ðàññìîòðåíû ýêñïå-
ðèìåíòàëüíûå äàííûå ïî îïðåäåëåíèþ ðåàëèçàöèè ïðîöåññà íàêîïëåíèÿ óñòàëîñòè â
ðåçèíîâûõ îáðàçöàõ, êîòîðûå õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ òåîðåòè÷åñêèìè ðåçóëüòàòàìè.
1. Noda N.-A., Kim B., Ota K., et al. Effect of dimensions of crimped portion upon
sealing performance of hydraulic brake hose by applying three-dimensional FEM
analysis // J. Solid Mech. Mater. Eng. – 2013. – 7, No. 2. – P. 281–292.
2. Luo Y., Liu Y., and Yin H. P. Numerical investigation of nonlinear properties of a rubber
absorber in rail fastening systems // Int. J. Mech. Sci. – 2013. – 69. – P. 107–113.
3. Polukoshko S., Gonca V., and Svabs J. Vibration damping using laminated
elastomeric structures // Solid State Phenomena. – 2015. – 220-221. – P. 81–90.
4. Suh J. B., Gent A. N., and Kelly S. G. Shear of rubber tube springs // Int. J.
Non-Linear Mech. – 2007. – 42, No. 9. – P. 1116–1126.
5. Brinkmeier M., Nackenhorst U., and Ziefle M. Finite element analysis of rolling tires a
state of the art review // Proc. of Int. CTI Conf. Automotive Tire Technology. –
Stuttgart, 2007. – No. 1994. – P. 1–10.
6. Áåñïàëîâà Å. È., Óðóñîâà Ã. Ï. Íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ìíîãîñëîéíûõ îáîëî÷åê
âðàùåíèÿ òèïà ïíåâìàòè÷åñêèõ øèí, êîíòàêòèðóþùèõ ñ æåñòêèì îñíîâàíèåì //
Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2007. – ¹ 3. – Ñ. 75–86.
7. Mars W. V. and Fatemi A. A literature survey on fatigue analysis approaches for
rubber // Int. J. Fatigue. – 2002. – 24, No. 9. – P. 949–961.
8. Schubel P. M., Gdoutos E. E., and Daniel I. M. Fatigue characterization of tire rubber
// Theor. Appl. Fract. Mech. – 2004. – 42, No. 2. – P. 149–154.
9. Ayoub G., Nait-Abdelaziz M., Zairi F., and Gloaguen J. M. Multiaxial fatigue life
prediction of rubber-like materials using the continuum damage mechanics approach
// Proc. Eng. – 2010. – 2, No. 1. – P. 985–993.
10. Ayoub G., Nait-Abdelaziz M., Zairi F., et al. A continuum damage model for the
high-cycle fatigue life prediction of styrene-butadiene rubber under multiaxial loading
// Int. J. Solids Struct. – 2011. – 48, No. 18. – P. 2458–2466.
11. Lemaitre J. Engineering Damage Mechanics. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag,
2005. – 380 p.
12. Murakami S. Continuum Damage Mechanics. – Springer, 2012. – 402 p.
13. Òðîùåíêî Â. Ò., Êîâàëü Þ. È., Ìèò÷åíêî Å. È. Ðàññåÿíèå õàðàêòåðèñòèê óñòà-
ëîñòè ñòàëåé è åãî àíàëèç ñ ó÷åòîì öèêëè÷åñêèõ íåóïðóãèõ äåôîðìàöèé //
Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2007. – ¹ 3. – Ñ. 5–22.
14. Sun Q., Dui H.-N., and Fan X.-L. A statistically consistent fatigue damage model
based on miner’s rule // Int. J. Fatigue. – 2014. – 69. – P. 16–21.
15. Zhao Y. X. and Liu H. B. Weibull modeling of the probabilistic S–N curves for rolling
contact fatigue // Ibid. – 2014. – 66. – P. 47–54.
16. Áîáèð Ì. ²., Ãðàáîâñüêèé À. Ï., Õàë³ìîí Î. Ï. òà ³í. ʳíåòèêà ðîçñ³ÿíîãî
ðóéíóâàííÿ ìåòàëåâèõ êîíñòðóêö³éíèõ ìàòåð³àë³â ïðè ïðóæíî-ïëàñòè÷íîìó äå-
ôîðìóâàíí³ // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2007. – ¹ 3. – Ñ. 23–34.
17. Ìîâàããàð À., Ëüâîâ Ã. È. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èññëåäîâàíèå óñòàëîñòíîé ïðî÷íîñ-
òè ñòåêëîâîëîêîííîãî êîìïîçèòà ÑÒÝÔ-1 // Òàì æå. – 2012. – ¹ 2. – Ñ. 145–155.
Ïîñòóïèëà 22. 09. 2015
94 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 6
Î. Î. Ëàð³í
|