О динамике электромагнитных вибровозбудителей с подмагничиванием и полигармоническим управлением
The peculiarities of the creation of the tractive effort of an electromagnetic vibrobench are shown. The analysis of the bench oscillatory system is given. The formulas for the oscillations of travelling bench masses are deduced.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1734 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О динамике электромагнитных вибровозбудителей с подмагничиванием и полигармоническим управлением / А.Е. Божко, В.И. Белых, К.Б. Мягкохлеб // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 84–91. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860257819319599104 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. Белых, В.И. Мягкохлеб, К.Б. |
| author_facet | Божко, А.Е. Белых, В.И. Мягкохлеб, К.Б. |
| citation_txt | О динамике электромагнитных вибровозбудителей с подмагничиванием и полигармоническим управлением / А.Е. Божко, В.И. Белых, К.Б. Мягкохлеб // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 84–91. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The peculiarities of the creation of the tractive effort of an electromagnetic vibrobench are shown. The analysis of the bench oscillatory system is given. The formulas for the oscillations of travelling bench masses are deduced.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:51:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2007
МЕХАНIКА
УДК 534.232.001.62.50
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко, В.А. Пушня
Особенности динамики подвижной системы
электромагнитного вибростенда
The peculiarities of the motion of the traveling system of an electromagnetical bench under the
conditions of different dispositions of the inertia center and the main center of system’s hard
elements are shown.
Применение электромагнитных вибровозбудителей ЭМВ в качестве источников вибраций
в различных технологических процессах, испытательных вибростендах известно [1, 2]. Но
динамика электромагнитных вибростендов (ЭМВС) до настоящего времени не рассматри-
валась в таком аспекте, как это сделано в данной работе. Некоторые взгляды на подоб-
ное решение были изложены для электродинамических вибростендов (ЭДВС) в работе [2].
Однако ЭДВС существенно отличаются от ЭМВС. Для уяснения существа вопроса пред-
ставим на рис. 1 электромагнитомеханическую схему ЭМВС, где 1 — магнитопровод; 2 —
якорь (подвижная часть); 3 — испытуемый объект; 4–6 — пружины; 7 — электрическая
катушка; 8 — реактивная масса; U — входное задающее напряжение; δ — воздушный зазор;
9 — корпус.
Колебания подвижной системы ЭМВС возникают из-за действия переменного по фор-
ме тягового усилия F , которое появляется в результате наведения в магнитной системе
1 → δ → 2 → δ → 1 переменного магнитного потока Φ, притягивающего якорь 2 совместно
с объектом 3 к полюсам магнитопровода 1. Пружины 4, 5 отталкивают якорь 2 от магни-
топровода 1. Магнитный поток Φ создается током i, идущим по катушке 7 и образованном
переменным напряжением U и параметрами электрической цепи ЭМВС.
Вначале рассмотрим особенности движения якоря 2 совместно с испытуемым объек-
том 3 вне зависимости от внешних сил, электрических и магнитных сил, равных нулю,
что соответствует разомкнутой катушке 7. Для этого изобразим на рис. 2 динамическую
модель колебаний подвижной части (2 + 3).
Центр координат 0, считаем, находится в центре масс 01 подвижной системы. Оси 0x,
0y, 0z совпадают с главными центральными осями инерции системы (2 + 3) в состоянии
покоя. Комплекс пружин 4, 5, называемый подвесом, представим в виде четырех упругих
элементов, расположенных на взаимно перпендикулярных направлениях с координатами
(xi, yi, zi, i = 1, 4).
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
Рис. 1
Пружины (упругие элементы) также представим в виде трех составляющих, ориенти-
рованных параллельно осям 01x1, 01y1, 01z1. При этом положим, что упругая сила каждой
составляющей упругого элемента пропорциональна его деформации и направлена вдоль оси
соответствующего элемента. Как видно из рис. 2, подвижная часть обусловливает переме-
щения своего центра масс вдоль осей 0x, 0y, 0z и вращательные движения вокруг этих осей.
Для исключения громоздкости в решении задачи предположим, что перемещения (2 + 3)
вдоль одной оси не оказывает влияния на перемещения (2 + 3) по другим осям. Обозначим
через α, β, γ углы поворота вокруг осей 0x, 0y, 0z соответственно и направление враща-
тельного движения примем положительным по часовой стрелке.
С достаточной точностью можем считать, что перемещения (2 + 3) линейны, а α, β, γ
малы. Тогда справедливы соотношения sin l ≈ l, cos l ≈ 1, l = α, β, γ. Координаты точек
крепления упругих элементов определяются соотношениями
∆ix = x − yiγ + ziβ,
∆iy = y − ziα + xiγ,
∆iz = z − xiβ + yiα.
(1)
В соответствии с рис. 2 введем обозначения: Ki
x, Ki
y, Ki
z, i = 1, 4, — коэффициенты ли-
нейных жесткостей в направлении осей 01x1, 01y1, 01z1; Ci
x, Ci
y, Ci
z, i = 1, 4, — коэффициенты
крутильных жесткостей, соответствующие углам α, β, γ; m — масса (2 + 3); Ix1, Iy1, Iz1 —
моменты инерции подвижной системы (2+3) относительно осей 0x1, 0y1, 0z1 соответственно;
реакции составляющих упругих элементов по координатным осям 01x1, 01y1, 01z1 —
H i
x = ki
xAix; H i
y = ki
yAiy; H i
z = ki
zAiz; i = 1, 4. (2)
Моменты каждой составляющей упругих элементов, приведенные к точкам их крепле-
ния, для соответствующих углов α, β, γ определяются так:
M i
x = Ci
xα; M i
y = Ci
yβ; M i
z = Ci
zγ; i = 1, 4. (3)
В качестве обобщенных координат qj подвижной системы якоря совместно с испытуе-
мым объектом примем линейные и угловые перемещения x, y, z, α, β, γ, т. е. j = 6. Тогда
кинематическая энергия ЭМВС, не считая реактивной массы 8, запишется выражением
T =
1
2
(mẋ2 + mẏ2 + mż2 + Ixα̇2 + Iyβ̇
2 + Izγ̇
2). (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 57
Рис. 2
Потенциальная энергия ЭМВС для четырех упругих элементов в системе (2 + 3) опре-
деляется соотношением
∏
=
1
2
(
4
∑
i=1
H i
x∆ix +
4
∑
i=1
H i
y∆iy +
4
∑
i=1
H i
z∆iz +
4
∑
i=1
M i
xα +
4
∑
i=1
M i
yβ +
4
∑
i=1
M i
zγ
)
или с учетом принятых обозначений для упругих сил (1) и моментов (2)
∏
=
1
2
[
4
∑
i=1
Ki
x(x − yiγ + ziβ)2 +
4
∑
i=1
Ki
y(y − ziα + xiγ)2 +
+
4
∑
i=1
Ki
z(z − xiβ + yiα)2 +
4
∑
i=1
Ci
εϕ
2
]
, ε = x, y, z; ϕ = α, β, γ. (5)
Диссипативная функция для ЭМВС (без реактивной массы) определяется выражением
D =
1
2
(hxẋ2 + hy ẏ
2 + hz ż
2 + hαα̇2 + hβ β̇2 + hγ γ̇2), (6)
где hz, hy, hz, hα, hβ , hγ — постоянные величины, соответствующие коэффициентам дисси-
пации. Силы сопротивления определяются по формуле
Qi =
∂D
∂q
, i = 1, 4; j = 1, 6. (7)
На основании (7) и (6) проекции сил и моментов сопротивления на оси неподвижной
системы координат будут иметь вид
Mx = hαα̇ − hγγβ,
My = hβ β̇ − hγγα,
Mz = hγ γ̇ − hααβ.
(8)
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
Подставляя полученные формулы (2)–(6), (8) в уравнения Лагранжа–Максвелла для
механических систем
d
dt
(
∂L
∂q̇j
)
−
∂L
∂qj
= Qj, ∀j ∈ n+; i = 1, 4,
где L = T −
∏
; t — время, получим систему дифференциальных уравнений
mẍ + hxẋ + k11x + k15β − k16γ = 0,
mÿ + hy ẏ + k22y − k24α + k26γ = 0,
mz̈ + hz ż + k33z + k34α − k35β = 0,
Ixα̈ + hαγ̇β − k42y + k43z + k44α − k45β − k46γ = 0,
Iyβ̈ + hβ β̇ − hγ γ̇α + k51x − k53z − k54α + k55β − k56γ = 0,
Iz γ̈ + hγ γ̇ − hαα̇β − k61x + k62y − k64α − k65β + k66γ = 0,
(9)
где
k11 =
4
∑
i=1
ki
x; k15 =
4
∑
i=1
ki
xzi; k16 =
4
∑
i=1
ki
xyi; k22 =
4
∑
i=1
ki
y; k24 =
4
∑
i=1
ki
yzi;
k26 =
4
∑
i=1
ki
yxi; k33 =
4
∑
i=1
ki
z; k34 =
4
∑
i=1
ki
zyi; k35 =
4
∑
i=1
ki
zxi; k42 = k24; k43 = k34;
k44 =
4
∑
i=1
(ci
x+ki
yz
2
i +ki
zy
2
i ); k45 =
4
∑
i=1
ki
zxiyi; k46 =
4
∑
i=1
ki
yzixi; k51 = k15; k53 = k35;
k54 =
4
∑
i=1
ki
zxiyi; k55 =
4
∑
i=1
(ci
y + ki
zx
2
i + ki
xz2
i ); k56 =
4
∑
i=1
ki
xyizi;
k61 = k16; k62 = k26; k64 = k46; k65 = k56; k66 =
4
∑
i=1
(ci
z + ki
xy2
i + ki
yx
2
i ).
Полученная система дифференциальных уравнений 12-го порядка описывает движение
подвижной системы (2 + 3) ЭМВС. Переменные в системе не разделяются, и перемещение
одной из них вызывает перемещение остальных. Связь между координатами осуществля-
ется упругими силами. Диссипативные силы не способствуют разделению координат.
Далее рассмотрим физический смысл коэффициентов, входящих в систему уравне-
ний (9). Коэффициенты k11, k22, k33, являясь линейными жесткостями, имеют совместно
с координатами x, y, z соответственно размерность силы и представляют собой суммар-
ные реакции упругих элементов при поступательном перемещении (2 + 3) в направлении
одной из координатных осей. Коэффициенты k15, k16, k26, k35, k42, k43, k51, k53, k54, k61,
k62 совместно с α, β, γ имеют размерность момента и называются линейно-поворотными
жесткостями. Коэффициенты k44, k55, k66 имеют размерность момента, отнесенного к угло-
вому перемещению (2 + 3) и называются крутильными жесткостями. Коэффициенты k45,
k46, k54, k56, k65 имеют размерность момента, отнесенного к поступательному перемещению
(2 + 3) и называются гироскопическими жесткостями упругих элементов. В системе (9) все
координаты связаны, и разделение колебаний получить в общем случае невозможно.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 59
Рис. 3
Поскольку связанность координат определяется, в основном, упругими силами, а роль
сил сопротивления невелика и сказывается лишь на величинах амплитуд связанных коле-
баний, то при рассмотрении случаев разделения переменных в уравнениях (9) пренебрежем
коэффициентами демпфирования. Тогда (9) примет вид
mẍ + k11x + k15β − k16γ = 0,
mÿ + k22y − k24α + k26γ = 0,
mz̈ + k33z + k34α − k35β = 0,
Ixα̈ − k42y + k43z + k44α − k45β − k46γ = 0,
Iyβ̈ + k51x − k53z − k54α + k55β − k56γ = 0,
Iz γ̈ − k61x + k62y − k64α − k65β + k66γ = 0.
(10)
Так как при проектировании ЭМВС важно знать поведение (2 + 3), то необходимо уяснить
вопросы разделения координат в системе уравнений, описывающих движении этой подви-
жной системы. Рассмотрим различные случаи разделения координат в (10).
Случай 1. Параметры упругих элементов подвеса (2 + 3) выбраны так, что главный
центр жесткости системы и центр инерции совпадают. При этом главные оси жесткости
совпадают с главными центральными осями инерции (рис. 3, а). Тогда
k15 = k16 = k24 = k26 = k34 = k35 = k42 = k43 = k51 = k53 = k61 = k62 = 0, (11)
k45 = k46 = k54 = k56 = k64 = k65 = 0. (12)
То есть линейно-поворотные и гироскопические жесткости равны нулю. С учетом этих усло-
вий уравнения движения (10) примут вид
mẍ + k11x = 0,
mÿ + k22y = 0,
mz̈ + k33z = 0,
Ixα̈ + k44α = 0,
Iyβ̈ + k55β = 0,
Iz γ̈ + k66γ = 0.
(13)
Система (13) является консервативной. В ней возможно полное разделение переменных
x, y, z, α, β, γ, т. е. эти перемещения являются независимыми. Заметим, что при про-
ектировании и изготовлении упругого подвеса (2 + 3) могут быть геометрические ошибки
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
и отклонения физических характеристик упругих элементов подвеса и случай 1 может быть
нарушен. Тогда этот случай заменим двумя другими с неполной связанностью координат.
Случай 2. Главный центр жесткости (2+3) совпадает с центром инерции, но главные оси
жесткости не совпадают с главными осями инерции (рис. 3, б ). В этом случае выполняется
только условие (11) и система (10) принимает вид
mẍ + k11x = 0,
mÿ + k22y = 0,
mz̈ + k33z = 0,
Ixα̈ + k44α − k45β − k46γ = 0,
Iyβ̈ + k55β − k54α − k56γ = 0,
Iz γ̈ + k66γ − k64α − k65β = 0.
(14)
В уравнениях (14) поступательные перемещения x, y, z разделены, а вращательные α,
β, γ остаются связанными.
Случай 3. Главный центр жесткости совпадает с центром масс (2 + 3), главная ось
жесткости 01y1 совпадает с осью инерции 0y (рис. 3, в), другие оси не совпадают. В этом
случае условие (11) выполняется полностью, а условие (12) частично, т. е. k45 = k54 = k56 =
= k65 = 0. В результате (10) принимает вид
mẍ + k11x = 0,
mÿ + k22y = 0,
mz̈ + k33z = 0,
Iαα̈ + k44α − k46β = 0,
Iββ̈ + k55β = 0,
Iγ γ̈ + k66γ − k64α = 0.
(15)
Здесь разделяются x, y, z и вращательные относительно угла β.
Далее рассмотрим случаи, когда не достигается совпадение главного центра тяжести
и центра масс (2 + 3). Такое положение возникает при асимметричном расположении на 2
объекта 3.
Случай 4 (см. рис. 3, г). Главная центральная ось жесткости 01 y1 совпадает с цент-
ральной осью инерции 0y, а центральные оси жесткости 01x1, 01z1 не совпадают с 0x, 0z.
В этом случае условие (11) выполняется частично: k15 = k24 = k26 = k35 = k42 = k51 =
= k53 = k62 = 0. Условие (12) выполняется полностью. Тогда (10) примет вид
mẍ + k11x − k16γ = 0,
mÿ + k22y = 0,
mz̈ + k33z + k34α = 0,
Ixα̈ + k44α + k43z = 0,
Iyβ̈ + k44β = 0,
Iγ γ̈ + k66γ − k61x = 0.
(16)
Здесь поступательное y и вращательное β перемещения разделяются по отношению к дру-
гим переменным. Перемещение x связано с вращательным γ, а z связано с α. Таким образом,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 61
в этом случае движение (2 + 3) распадается на независимые движения по координатам y
и β и на связанные по координатам x, γ и z, α.
Случай 5 (рис. 3, д). Главные центральные оси жесткости совпадают с главными, но
не центральными осями инерции (2 + 3). Центр жесткости лежит в главной центральной
плоскости инерции y0z (y0x, x0z). В этом случае условие (12) выполняется полностью,
а условие (11) частично: k26 = k62 = k35 = k53 = 0. Система (10) запишется в виде
mẍ + k11x + k15β − k16γ = 0,
mÿ + k22y − k24α = 0,
mz̈ + k33z + k34α = 0,
Ixα̈ + k44α − k42y + k43z = 0,
Iyβ̈ + k55β + k51x = 0,
Iz γ̈ + k66γ − k61x = 0.
(17)
Переменные в этой системе не разделяются, но образуют две группы трех связанных
колебаний. В первой группе x неотделимо от β и γ. Во второй группе α связано с y и z.
Итак, в результате рассмотрения представленных случаев (1–5) можно сделать следую-
щий вывод. Если связь между всеми перемещениями в (2 + 3) сохраняется, то любая гар-
моника возмущающей силы может вызвать шесть резонансов подвижной системы ЭМВС.
Если связь между координатами ограничена, то число резонансов может сократиться до
трех, а то и до одного. Однако при больших α, β, γ или при нелинейных жесткостях упру-
гих элементов подвеса разделение переменных нарушается. Важное практическое значение
имеют уравнения (17), соответствующие описанию движения платформы (2 ) стенда, на-
груженной асимметричным объектом (3 ).
Уравнения (13) могут быть использованы при проектировании калибровочных ЭМВС,
в которых должны быть соблюдены соответствующие условия, обеспечиваемые конструк-
цией стенда и технологией его изготовления.
Заметим, что на рис. 1 изображена реактивная масса 8, соединенная с (2 + 3) пру-
жинами 4, 5 и с корпусом пружинами 6. Колебания реактивной массы, возбуждаемые от
колебаний подвижной системы (2 + 3), оказывают через пружины 4, 5 обратное действие
на движение (2 + 3). Это действие можно скомпенсировать методом и системой, описан-
ными в работе [4]. Кроме того, в данной работе подчеркнуто, что рассмотрение движения
(2 + 3) осуществляется на основе искусственного приема, когда принимаются равными ну-
лю внешние силы.
1. Вибрации в технике: Справочник. В 6 т. / Под ред. Э. Э. Лавендела. – Москва: Машиностроение,
1981. – Т. 4. – 510 с.
2. Испытательная техника: Справочник: В 2-х кн. / Под ред. В.В. Клюева. – Москва: Машиностроение,
1982. – Кн. 1. – 528 с.
3. Божко А. Е., Пермяков В.И., Пушня В.А. Методы проектирования электромеханических виброво-
збудителей. – Киев: Наук. думка, 1989. – 206 с.
4. Божко А.Е., Личкатый Е.А. Управляемая виброзащита электромагнитных вибростендов // Пробл.
машиностроения. – 2005. – 8, № 2. – С. 39–44.
Поступило в редакцию 18.09.2006Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Харьковская академия инженеров
городского хозяйства
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1734 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:51:42Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. Белых, В.И. Мягкохлеб, К.Б. 2008-09-02T17:00:39Z 2008-09-02T17:00:39Z 2007 О динамике электромагнитных вибровозбудителей с подмагничиванием и полигармоническим управлением / А.Е. Божко, В.И. Белых, К.Б. Мягкохлеб // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 84–91. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1734 621.318.3.001.2 The peculiarities of the creation of the tractive effort of an electromagnetic vibrobench are shown. The analysis of the bench oscillatory system is given. The formulas for the oscillations of travelling bench masses are deduced. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Енергетика О динамике электромагнитных вибровозбудителей с подмагничиванием и полигармоническим управлением Article published earlier |
| spellingShingle | О динамике электромагнитных вибровозбудителей с подмагничиванием и полигармоническим управлением Божко, А.Е. Белых, В.И. Мягкохлеб, К.Б. Енергетика |
| title | О динамике электромагнитных вибровозбудителей с подмагничиванием и полигармоническим управлением |
| title_full | О динамике электромагнитных вибровозбудителей с подмагничиванием и полигармоническим управлением |
| title_fullStr | О динамике электромагнитных вибровозбудителей с подмагничиванием и полигармоническим управлением |
| title_full_unstemmed | О динамике электромагнитных вибровозбудителей с подмагничиванием и полигармоническим управлением |
| title_short | О динамике электромагнитных вибровозбудителей с подмагничиванием и полигармоническим управлением |
| title_sort | о динамике электромагнитных вибровозбудителей с подмагничиванием и полигармоническим управлением |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1734 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae odinamikeélektromagnitnyhvibrovozbuditeleispodmagničivaniemipoligarmoničeskimupravleniem AT belyhvi odinamikeélektromagnitnyhvibrovozbuditeleispodmagničivaniemipoligarmoničeskimupravleniem AT mâgkohlebkb odinamikeélektromagnitnyhvibrovozbuditeleispodmagničivaniemipoligarmoničeskimupravleniem |