Использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных

Рассмотрены динамика линейных слабосвязанных колебательных систем при наличии низкочастотного возмущения, а также системы с двумя степенями свободы и распределенные. Найдены условия, когда воздействие низкочастотных колебаний может приводить к параметрическому усилению амплитуд высокочастотных колеб...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Буц, В.А., Толстолужский, А.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України 2010
Теми:	Нелинейные процессы в плазменных средах
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17342
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных / В.А. Буц, А.П. Толстолужский // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 4. — С. 254-258. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859787790005305344
author	Буц, В.А. Толстолужский, А.П.
author_facet	Буц, В.А. Толстолужский, А.П.
citation_txt	Использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных / В.А. Буц, А.П. Толстолужский // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 4. — С. 254-258. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Рассмотрены динамика линейных слабосвязанных колебательных систем при наличии низкочастотного возмущения, а также системы с двумя степенями свободы и распределенные. Найдены условия, когда воздействие низкочастотных колебаний может приводить к параметрическому усилению амплитуд высокочастотных колебаний. Розглянуто динаміку лінійних слабко зв’язаних коливальних систем при наявності низькочастотного збурення, а також системи з двома ступенями вільності і розподілені. Знайдено умови, коли дія низькочастотних коливань може призводити до параметричного підсилення амплітуд високочастотних коливань. Dynamics of linear weakly coupled oscillation systems at existing of low frequency disturbance are considered. The system with two degree of freedom and continuous systems are considered. The conditions at which the acting of the low frequency oscillations can result in parametric amplification of high frequency oscillations were found.
first_indexed	2025-12-02T10:32:01Z
format	Article
fulltext	________________________________________________________________ ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2010. № 4. Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (7), с.254-258. 254 УДК 621.396.67 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВТОРИЧНЫХ РЕЗОНАНСОВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ НИЗКОЧАСТОТНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭНЕРГИЮ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ В.А. Буц, А.П. Толстолужский Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт», Харьков, Украина E-mail: vbuts@kipt.kharkov.ua Рассмотрены динамика линейных слабосвязанных колебательных систем при наличии низкочастотного возмущения, а также системы с двумя степенями свободы и распределенные. Найдены условия, когда воз- действие низкочастотных колебаний может приводить к параметрическому усилению амплитуд высокочас- тотных колебаний. 1. ВВЕДЕНИЕ Известно, что вторичные резонансы могут играть существенную роль в динамике гамильтоновых сис- тем только при достаточно большой величине воз- мущения (см, например, [1]). Действительно, если величина возмущения мала (ε<<1), то величины эф- фектов, связанных со вторичными резонансами, ма- лы (например, ширина вторичных нелинейных ре- зонансов) и пропорциональны 1/(1/ε)!. В работах [2- 4] было показано, что для многих динамических систем, которые не описываются уравнениями Га- мильтона, наличие внешнего периодического воз- мущения может приводить к параметрическому усилению амплитуд высокочастотных колебаний, которые участвуют в резонансном взаимодействии (первичные резонансы). Оказалось, что это могут быть либо нелинейные системы, либо системы с невзаимными связями. Возможность параметриче- ского усиления высокочастотных колебаний с по- мощью внешнего низкочастотного возмущения, кроме общефизического интереса, представляет большой практический интерес. Действительно, такой механизм потенциально позволяет преобразо- вать энергию, например, лазерного излучения в энергию рентгеновского излучения и, вообще, от- крывает новые каналы связи между высокочастот- ными и низкочастотными колебаниями. Простым примером реализации вторичных резонансов может служить детская игрушка, которая представляет со- бой пуговицу, в которую продета нитка. Быстрое вращение пуговицы в одном направлении можно рассматривать как одну колебательную моду. Вра- щение пуговицы на другую сторону, соответствен- но, будет второй колебательной модой. Взаимодей- ствие (между этими модами) происходит через за- крученную нить. Медленное (по сравнению с вра- щением пуговицы) растягивание нити руками мож- но рассматривать как внешнее низкочастотное воз- мущение. Энергия этого возмущения переходит в энергию быстрых вращений пуговицы. Нужно ска- зать, что математическая модель такой простой дет- ской игрушки оказывается достаточно сложной. Эта модель является существенно нелинейной. В настоящей работе мы ограничимся более про- стыми линейными динамическими системами. Од- нако механизм преобразования энергии низкочас- тотных движений в этих системах в энергию высо- кочастотных движений принципиально оказывается тем же самым. Вначале, в разд. 2, будут рассмотре- ны самые простые линейные колебательные систе- мы, в которых возможно наблюдать эффект вторич- ных резонансов. Наиболее интересной является воз- можность параметрического усиления колебаний двух связанных резонаторов. Аналитически и чис- ленно будет показано, что только при наличии не- взаимной связи между такими резонаторами воз- можно преобразование энергии низкочастотных колебаний в высокочастотные. В третьем разделе анализируется возможность преобразования энергии низкочастотного излучения в энергию высокочас- тотных колебаний в распределенных периодически неоднородных средах (лазерного излучения в энер- гию рентгеновского излучения в идеальных кри- сталлах). 2. СИСТЕМЫ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ Проиллюстрируем сформулированное утвержде- ние на простейшем примере. Этим примером может быть система двух связанных одинаковых осцилля- торов, связи между которыми зависят от времени и, в общем случае, невзаимные. Систему уравнений, которая описывает динамику таких осцилляторов, можно записать в виде: 1 1 1 2 2 2 2 1 ( ) , ( ) . x x x x x x μ τ μ τ + = ⋅ + = ⋅ && && (1) Если (μ1/μ2) ≠const система (1) не может быть за- писана в гамильтоновом виде (гамильтониан для системы (1) в общем случае может быть написан в расширенном фазовом пространстве). Причина от- сутствия гамильтониана заключается в том, что вир- туальная работа реакций связей не равна нулю, т.е. связи в этом случае являются неидеальными. Физическим примером системы, которая может быть описана системой уравнений (1), является ди- намика полей двух связанных одинаковых резона- торов (Рис.1). Причем связи между этими резонато- рами ( )k tμ , в общем случае, разные. Такие связи можно осуществить, например, с помощью каналов, которые имеют гиротропные вставки. 255 Рис.1. Резонаторы с обратной связью В самом деле систему уравнений, которая опи- сывает динамику взаимодействия таких резонато- ров, можно записать в виде: 2 1 1 1 22 2 2 2 2 2 12 2 1 ( ) , 1 ( ) . E E t E c t E E t E c t μ μ ∂ Δ − = ⋅ ∂ ∂ Δ − = ⋅ ∂ r r r r r r (2) Решение этой системы уравнений будем искать в виде ( , ) ( ) exp( )E r t E t kr= ⋅ rr rr r . Таким образом, получим: 2 1 1 1 22 2 2 2 2 12 ( ) , ( ) , d E E t E d d E E t E d μ τ μ τ + = ⋅ + = ⋅ r r r r r r (3) где введены безразмерные переменные kc tτ = ⋅ , 2( ) ( ) /i i t kμ τ μ= − . Для наших целей, не нарушая общности, иссле- дование системы (3) можно проводить в одномер- ном приближении. При этом, полагая, что ( )i ix x τ≡ представляет собой одну из компонент поля iE r , нетрудно убедиться в полном соответствии системы (3) с системой (1). При малых коэффициентах связи (μi <<1) для опре- деления медленно меняющихся амплитуд ( )ia t коле- баний маятников, для решения ( ) exp( )i ix a t it= ⋅ , полу- чим следующую систему укороченных уравнений: 1 1 2 1 2 a a i μ= ⋅& 2 2 1 1 2 a a i μ= ⋅& . (4) Пусть коэффициенты связи имеют вид: cos( )i i i tμ α β γ= + ⋅ ⋅ , где iα , iβ − постоянные. Если iβ =0, то возникает периодическая модуляция ам- плитуд ai с частотой 1 2 / 2α αΩ = ⋅ , т.е. энергия одного маятника перекачивается в энергию другого и обратно. На Рис. 2-3 представлены графики зави- симости амплитуд 1( ),x τ 1( )a τ и 2 ( )x τ , 2 ( )a τ от време- ни при iβ =0, 1α =0.09 и 2α =0.04. Рис.2. Зависимость амплитуд x1(τ) и a1(τ) от времени: x1(τ) − сплошная линия; a1(τ) − пунктирная Рис.3. Зависимость амплитуд x2(τ) и a2(τ) от времени: x2(τ) − сплошная линия; a2(τ) − пунктирная Начальные амплитуды 1( 0)x τ = = 1( 0)a τ = =1. Вре- мя счета 2 4 /fin Tτ π= = Ω. Время измеряется в перио- дах основной частоты Tbas=2π, равной единице. При 0iβ ≠ система уравнений (4) эквивалентна уравнению Хилла. При этом возможен рост ампли- туды взаимодействующих осцилляторов. Отметим, что из системы (4), в частности, следует ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 2d a d aμ μ= . (5) Если отношение коэффициентов связи не зави- сит от времени ((μ1/μ2) ≠const), то система (4) имеет следующий интеграл: ( )2 2 1 1 2 2a a constμ μ− = . (6) При выполнении (6) система (4) не имеет нарас- тающих решений. Действительно, наличие интегра- ла (6) позволяет выразить одну из амплитуд через другую. Этот факт, в свою очередь позволяет полу- чить решение системы (4) в элементарных функци- ях. Усиление при этом отсутствует. На Рис.4-5 пока- заны графики зависимости амплитуд 1( )x τ , 1( )a τ и 2 ( )x τ , 2 ( )a τ от времени при 1 =0.09 α , 2 0.04α = ; 1β =0.045, 2β =0.02; 1 2 2γ γ= = Ω . Рис.4. Зависимость амплитуд x1(τ) и a1(τ) от времени: x1(τ) − сплошная линия; a1(τ) − пунктирная Рис.5. Зависимость амплитуд x2(τ) и a2(τ) от времени: x2(τ) − сплошная линия; a2(τ) − пунктирная Как видно из этих графиков, при малых значени- ях параметра связи, 1iμ << , решение системы урав- нений (4) является огибающей для полной системы уравнений (1). При численном решении закон со- хранения (6) выполнялся с относительной точно- стью до величины порядка 10-13. Из (4) также следует, что в первом приближении по параметру i iβ α интеграл (6) существует, если 1 1 2 2β α β α→ . Можно показать, что чем больше раз- личие в величинах 1 1β α и 2 2β α , тем большим бу- дет инкремент параметрического усиления. Если (μ1/μ2) ≠const и выполнено условие пара- метрического резонанса γ=2Ω, тогда наблюдается нарастание амплитуд связанных осцилляторов. Пусть для определенности 1 1 2 2β α β α>> и выпол- нено условие параметрического резонанса γ=2Ω. Тогда, воспользовавшись теорией возмущения, най- дем, что амплитуды связанных осцилляторов экспо- ненциально увеличиваются: 1 2~ ~ exp( )a a tΦ , (7) где ( )1 12β αΦ = ⋅ . 256 На Рис.6-7 представлены графики зависимости амплитуд 1( )x τ , 1( )a τ и 2 ( )x τ , 2 ( )a τ от времени при 1α = 0.09, 2α = 0.04; 1β =0.09, 2β =0.004; 1 2 2γ γ= = Ω . Рис.6. Зависимость амплитуд x1(τ) и a1(τ) от времени: x1(τ) − сплошная линия; a1(τ) − пунктирная Рис.7. Зависимость амплитуд x1(τ) и a1(τ) от времени: x2(τ) − сплошная линия; a2(τ) − пунктирная Из этих графиков хорошо видно, что имеет место нарастание амплитуд колебаний обеих осциллято- ров. При этом exp( )finτΦ =5.45, а максимальные значения: 1( )x τ =6.01 и 2 ( )x τ =5.91, что хорошо со- гласуется с приведенными выше аналитическими оценками. На Рис.8-9 приведены графики зависимости ам- плитуд 1( )x τ , 1( )a τ и 2 ( )x τ , 2 ( )a τ от времени при 1 0.09α = , 2 0.04α = ; 1 0.09β = ; 2 0.01β = ; 1 2 2γ γ= = Ω. Рис.8. Зависимость амплитуд x1(τ) и a1(τ) от времени: x1(τ) − сплошная линия; a1(τ) − пунктирная Рис.9. Зависимость амплитуд x1(τ) и a1(τ) от времени: x2(τ) − сплошная линия; a2(τ) − пунктирная Из графиков 8-9 также видно, что имеет место на- растание амплитуд колебаний обеих осцилляторов. 3. ИЗУЧЕНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ И ОСОБЕННОСТЕЙ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОРОТКОВОЛНОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ Таким образом, в линейной системе с двумя сте- пенями свободы с идеальными связями отсутствует механизм параметрической перекачки энергии низ- кочастотных колебаний в энергию высокочастотных движений. В такой системе для перекачки необхо- дим элемент нелинейности, или связи должны быть неидеальными. Однако для многих интересных для приложений случаев, например, для рентгеновского излучения, величины нелинейностей исчезающе малы. Для реализации условий параметрической неустойчивости в линейных системах следует орга- низовать невзаимную (неидеальную) связь между взаимодействующими частями. Такими свойствами, по-видимому, могут обладать системы с большим числом степеней свободы. Действительно, в таких системах энергия возмущения может распростра- няться только в одну сторону. Если распределенную систему представить в виде бесконечной системы связанных осцилляторов, то воздействие одного осциллятора будет передаваться по цепочке вперед, не возвращаясь назад, т.е. в таких системах можно надеяться на осуществление невзаимных связей ме- жду осцилляторами. Ниже мы проанализируем та- кую возможность. В качестве примера рассмотрим возможность усиления высокочастотного излучения в периоди- чески неоднородной среде с помощью внешней волны, частота которой значительно меньше часто- ты усиливаемого высокочастотного (рентгеновско- го) излучения. Рассмотрим такой процесс. Пусть в среде со слабой периодической пространственной неоднородностью (например, в кристалле) распро- страняется волна. Диэлектрическую проницаемость такой среды представим в виде 1 cos( )q rε κ= + ⋅ ⋅ r r ( 1)q << . При выполнении условий Лауэ энергия этой волны преобразовывается в энергию волны минус первого порядка дифракции. Такое преобра- зование происходит на длине экстинкции. По по- рядку величины длину экстинкции можно оценить величиной ~ /L qλ , где λ − длина волны распро- страняющегося излучения. Видно, что преобразова- ние происходит на расстоянии, значительно боль- шем длины волны. Такой процесс носит периодиче- ский характер – энергия волны минус первого по- рядка дифракции, в свою очередь, преобразуется в энергию исходной волны. Амплитуды волн исход- ной волны и волны минус первого порядка дифрак- ции периодически меняются. Такое решение для амплитуд носит название маятникового решения. Можно считать, что у нас имеется два маятника, которые связаны друг с другом через слабую неод- нородность. В наших моделях такое взаимодействие волн можно рассматривать как первичное резонанс- ное взаимодействие. До взаимодействия волны име- ли один характерный размер – длина волны. При наличии взаимодействия появляется другой, значи- тельно больший, характерный размер – длина экс- тинкции. Можно рассчитывать, что если мы органи- зуем внешнее низкочастотное возмущение, которое будет находиться в резонансе с маятниковым реше- нием, то мы добьемся усиления исходных высоко- частотных волн. Пусть теперь среда, в которой взаимодействуют волны, подвергается внешнему возмущению. Причем, внешнее возмущение таково, что оно меняет диэлектрическую проницаемость среды. Ниже мы рассмотрим две модели такого из- менения: 1) 1 cos( ) ( , )q r Q z tε κ= + ⋅ ⋅ + r r ; 2) ( )1 1 ( , ) cos( )q Q z t rε κ= + ⋅ + ⋅ r r . 257 Отметим, что такие изменения диэлектрической проницаемости, например кристаллов, можно осу- ществить путем воздействия на него лазерным излу- чением. Первая модель модификации диэлектриче- ской проницаемости была рассмотрена в работе [2, 3]. В ней ( ),Q z t q≤ . Однако, как мы увидим, она, по-видимому, не позволяет добиться параметриче- ского усиления. Вторая модель, как мы покажем, позволяет осуществить параметрическое усиление исходных высокочастотных волн. В ней ( ), 1Q z t ≤ . Укороченные уравнения, описывающие эволю- цию амплитуд высокочастотных для первой модели волн, можно представить в виде [5]: 0 0 0 0 0 0 0 1 01 1 1 1 1 1 0 1 , 2 2 1 , 2 2 A A q Q A A z i qA A Q A A z i ∂ ∂ α μ ∂ ∂τ ∂ ∂ α μ ∂ ∂τ ⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦ (8) где A0, A1 – медленно меняющиеся амплитуды внешней и дифрагированной волн соответственно, коэффициенты α0 и α1 определяются волновыми векторами волн. Коэффициенты μ0 и μ1 обусловле- ны нестационарностью. Эта нестационарность воз- никает вследствие внешней низкочастотной волны накачки, которая описывается функциями cos( )i iQ zε τ= Κ −Ω (i =0,1), где K – волновое число волны накачки, Ω – ее частота. При этом значения этих величин значительно меньше, чем соответст- вующие значения для высокочастотных (рентгенов- ских) волн. Величины ε0 и ε1 определяют амплитуды волн накачки, а 0q и 1q – влияние кристаллической решетки на внешнюю и дифрагированную высоко- частотные (рентгеновские) волны. По физическому содержанию решаемой задачи эти коэффициенты удовлетворяют условиям 0 1 0 10 , , , 1q q ε ε< . Укороченные уравнения, описывающие эволю- цию амплитуд высокочастотных волн для второй модели, можно записать в аналогичном (8) виде: 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 (1 ) , 2 2 1 (1 ) . 2 2 A A q Q A z i A A q Q A z i ∂ ∂ α μ ∂ ∂τ ∂ ∂ α μ ∂ ∂τ ⋅ +⎡ ⎤+ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ +⎡ ⎤+ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ (9) Определим сначала наиболее общие условия, при выполнении которых система уравнений (8) может иметь нарастающие решения. Для этого сис- тему уравнения (8) в частных производных перепи- шем в виде системы характеристических уравнений: 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 , , 2 2 1 , . 2 2 dA q dQ A A dz i dz dA q dQ A A dz i dz μτ α α μτ α α ⎡ ⎤= ⋅ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤= ⋅ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ (10) Первая пара уравнений в (10) эквивалентна пер- вому уравнению системы (8), вторая пара − второму уравнению. Легко увидеть, что если функции Q0 и Q1 совпадают и совпадают характеристики ( )0 0 1 1μ α μ α= , то система (8) полностью интегри- руема. Наличие низкочастотных возмущений при этом приводит только к усложнению динамики ам- плитуд Ak. Легко также видеть, что если хотя бы одно из этих условий (совпадение характеристик и равенство функций Q0 и Q1) не выполняется, то в общем случае система уравнений (8) (или (10)) мо- жет иметь решение, которое описывает параметри- ческое усиление. Система уравнений (8) была проанализирована в работах [2, 4]. Были найдены условия параметриче- ского усиления высокочастотных волн. Однако, как показали численные расчеты, усиление отсутствова- ло. Такой довольно неожиданный результат обу- словлен тем фактом, что, как оказалось, наряду с основным параметрическим резонансом существует второй параметрический резонанс. Причем, ампли- туды и фазы этих резонансов таковы, что они гасят друг друга. Чтобы показать это, мы ограничимся случаем, когда характеристики первого и второго уравнений системы (8) совпадают. Пусть коэффициенты Qi являются периодиче- скими функциями времени τ и координаты z . Вы- берем эту зависимость в виде cos( )i iQ Kzε τ= ⋅ +Ω . Для совпадающих характеристик эту зависимость можно записать: cos( ), / /i iQ K Kε ξ α μ= ⋅ Ω = , /k k kzξ α τ μ= + ⋅ . Тогда для отыскания амплитуд взаимодейст- вующих волн ( 0A и 1A ) можно получить следующие независимые уравнения: 2 0 0 02 2 1 1 12 (1 cos(2 )) sin( ) 0, (1 cos(2 )) sin( ) 0. d Y k Y i k Y d d Y k Y i k Y d η ξ ϑ ξ ξ η ξ ϑ ξ ξ + + Δ + ⋅ Δ = + + Δ − ⋅ Δ = (11) Здесь 1 1exp 2k kY A i X dξ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ , 0 1 1 0 1 1 4 Q QX i α α ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 2 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 ( ) 2 ( )q q ε α ε αη α α ε α ε α − = + − , 01 0 1 0 1 8 K εε ϑ ω α α ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 2 2 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 ( )1 1 64 2 q q q q ε α ε αω α α α α ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 0ξ ω ξ= ; 0 Kk ω Δ = . Как видно, уравнения системы (11) при θ =0 и 1kΔ = представляют собой уравнение Матье с дей- ствительными параметрами. Если, наоборот, η =0, а 0ϑ ≠ , то мы получим уравнение с комплексными параметрами. По своим характеристикам это урав- нение аналогично уравнению Матье. Однако в об- щем случае и θ ≠0, и η ≠0. Более того, в резонансе параметры η и θ однозначно связаны. Причем связь всегда такова, что эти два резонанса гасят друг дру- га. Численные расчеты как системы уравнений (11), так и исходной системы (8) показали, что ни при каких значениях параметров системы усиления вы- сокочастотных волн не происходит. Рассмотрим теперь вторую модель диэлектриче- ской проницаемости. Динамика амплитуд взаимо- действующих волн при этом описывается системой уравнений (9). Легко видеть, что если характеристи- ки первого и второго уравнений системы (9) совпа- дают, то эта система имеет интеграл: 2 2 0 0 1 1A A constα α⋅ − ⋅ = . (12) 258 В этом случае так же, как и для случая взаимо- действующих осцилляторов, система уравнений (9) интегрируется в элементарных функциях. Усиление такой системы отсутствует. К сожалению, так же, как это было сделано для осцилляторов (см. разд. 2), необходимо организовать невзаимную связь между волнами. Покажем, что при такой невзаимной связи легко добиться параметрического усиления взаимо- действующих высокочастотных волн. Для простоты будем считать, что внешнее низкочастотное возму- щение не действует на вторую волну (на волну минус первого порядка дифракции). При этом параметр Q исчезает из второго уравнения системы (9). Кроме того, будем считать, что параметр Q мал (Q<<1). В этом случае, выбирая ( ) cos(2 )Q Kξ ε ξ= , система уравнений (9) может быть записана в виде уравнения Матье: 2 21 0 12 (1 cos(2 )) 0 d A K A d ω ε ξ ξ + + = , (13) где 2 0 1 0 0 1 1 64 q q ω α α = , /zξ α τ μ= + ⋅ . На Рис.10 приведен график зависимости реальной части амплитуды 0Re A от ξ,, полученный при реше- нии системы уравнений (9) для случая, когда внешнее низкочастотное возмущение не действует на вторую волну (на волну минус первого порядка дифракции). Как видно из этого графика, наблюдается експоненци- альное нарастание амплитуды волны с ростом ξ. Рис.10. Зависимость ReA0 от ξ ЗАКЛЮЧЕНИЕ Полученные выше результаты показывают, что использование вторичных резонансов действительно позволяет преобразовать энергию низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных. Однако, как следует из этих же результатов, такая возможность является далеко нетривиальной. Как мы видели вы- ше, во многих случаях были выполнены, казалось бы, все условия для такого преобразования, однако само преобразование не происходило. Амплитуды высо- кочастотных колебаний оставались без изменения. Как выяснилось, необходимы дополнительные усло- вия на характер связей между высокочастотными модами. А именно – эти связи должны быть невзаим- ными, т.е. влияние низкочастотной накачки, содер- жащейся в коэффициентах связи, должно быть раз- личным на каждую из высокочастотных мод. Дейст- вительно, как мы видели выше, при наличии взаим- ности (симметрии) возникают дополнительные ин- тегралы. Наличие таких интегралов приводило к существенному упрощению динамики рассматри- ваемой колебательной системы и к отсутствию эф- фекта усиления высокочастотных колебаний за счет энергии низкочастотных колебаний. Следует, одна- ко, заметить, что класс рассматриваемых в настоящей работе систем ограничивался только линейными сис- темами. Кроме того, несмотря на тот факт, что в третьем разделе рассматривалась распределенная система с бесконечным числом степеней свободы, в действительности задачу удавалось свести практиче- ски к рассмотрению систем с небольшим числом сте- пеней свободы. Более того, наш предварительный анализ указывает, что учет нелинейностей разрушает симметрию и позволяет организовать процесс с про- теканием вторичных резонансов. Кроме того, можно ожидать, что не формальное, а истинное увеличение числа степеней свободы также позволит реализовать механизм вторичных резонансов. Под формальным мы понимаем, что, несмотря на большое число сте- пеней свободы, задачу практически можно свести к малоразмерной. ЛИТЕРАТУРА 1. А. Лихтенберг, М. Либерман. Регулярная и сто- хастическая динамика. М.: «Мир», 1984. 2. V.A. Buts. Peculiar properties of systems under sec- ondary resonances with an external perturbation // Problems of Atomic Science and Technology. Spe- cial issue dedicated to the 90-th birthday anniver- sary of A.I. Akhiezer. 2001, №6, с.329-333. 3. V.A. Buts. Using Secondary Resonances for Ampli- fication of Short-Wave Radiation // 8th International Conference on Transparent Optical Networks. Not- tingham, United Kingdom, June 18-22, 2006. 2006, p.193-196. 4. В.А. Буц. Динамика систем при вторичных резо- нансах с низкочастотным возмущением // Элек- тромагнитные волны и электронные системы. 2004, №1, т.9, с.59-68. 5. С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин. Введе- ние в статистическую радиофизику и оптику. М.: «Наука», 1981, с.640. Статья поступила в редакцию 01.06.2010 г USING SECONDARY RESONANCES OF LINEAR SYSTEMS FOR TRANSFORMING ENERGY OF THE LOW FREQUENCY OSCILLATIONS TO THE ENERGY OF HIGH FREQUENCY V.A. Buts, A.P. Tolstoluzhsky Dynamics of linear weakly coupled oscillation systems at existing of low frequency disturbance are considered. The system with two degree of freedom and continuous systems are considered. The conditions at which the acting of the low frequency oscillations can result in parametric amplification of high frequency oscillations were found. ВИКОРИСТАННЯ ВТОРИННИХ РЕЗОНАНСІВ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЕНЕРГІЇ НИЗЬКОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ В ЕНЕРГІЮ ВИСОКОЧАСТОТНИХ В.О. Буц, О.П. Толстолужський Розглянуто динаміку лінійних слабко зв’язаних коливальних систем при наявності низькочастотного збу- рення, а також системи з двома ступенями вільності і розподілені. Знайдено умови, коли дія низькочастотних коливань може призводити до параметричного підсилення амплітуд високочастотних коливань.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-17342
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1562-6016
language	Russian
last_indexed	2025-12-02T10:32:01Z
publishDate	2010
publisher	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
record_format	dspace
spelling	Буц, В.А. Толстолужский, А.П. 2011-02-25T14:10:27Z 2011-02-25T14:10:27Z 2010 Использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных / В.А. Буц, А.П. Толстолужский // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 4. — С. 254-258. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17342 621.396.67 Рассмотрены динамика линейных слабосвязанных колебательных систем при наличии низкочастотного возмущения, а также системы с двумя степенями свободы и распределенные. Найдены условия, когда воздействие низкочастотных колебаний может приводить к параметрическому усилению амплитуд высокочастотных колебаний. Розглянуто динаміку лінійних слабко зв’язаних коливальних систем при наявності низькочастотного збурення, а також системи з двома ступенями вільності і розподілені. Знайдено умови, коли дія низькочастотних коливань може призводити до параметричного підсилення амплітуд високочастотних коливань. Dynamics of linear weakly coupled oscillation systems at existing of low frequency disturbance are considered. The system with two degree of freedom and continuous systems are considered. The conditions at which the acting of the low frequency oscillations can result in parametric amplification of high frequency oscillations were found. ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Нелинейные процессы в плазменных средах Использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных Використання вторинних резонансів лінійних систем для перетворення енергії низькочастотних коливань в енергію високочастотних Using secondary resonances of linear systems for transforming energy of the low frequency oscillations to the energy of high frequency Article published earlier
spellingShingle	Использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных Буц, В.А. Толстолужский, А.П. Нелинейные процессы в плазменных средах
title	Использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных
title_alt	Використання вторинних резонансів лінійних систем для перетворення енергії низькочастотних коливань в енергію високочастотних Using secondary resonances of linear systems for transforming energy of the low frequency oscillations to the energy of high frequency
title_full	Использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных
title_fullStr	Использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных
title_full_unstemmed	Использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных
title_short	Использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных
title_sort	использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных
topic	Нелинейные процессы в плазменных средах
topic_facet	Нелинейные процессы в плазменных средах
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17342
work_keys_str_mv	AT bucva ispolʹzovanievtoričnyhrezonansovlineinyhsistemdlâpreobrazovaniâénergiinizkočastotnyhkolebaniivénergiûvysokočastotnyh AT tolstolužskiiap ispolʹzovanievtoričnyhrezonansovlineinyhsistemdlâpreobrazovaniâénergiinizkočastotnyhkolebaniivénergiûvysokočastotnyh AT bucva vikoristannâvtorinnihrezonansívlíníinihsistemdlâperetvorennâenergíínizʹkočastotnihkolivanʹvenergíûvisokočastotnih AT tolstolužskiiap vikoristannâvtorinnihrezonansívlíníinihsistemdlâperetvorennâenergíínizʹkočastotnihkolivanʹvenergíûvisokočastotnih AT bucva usingsecondaryresonancesoflinearsystemsfortransformingenergyofthelowfrequencyoscillationstotheenergyofhighfrequency AT tolstolužskiiap usingsecondaryresonancesoflinearsystemsfortransformingenergyofthelowfrequencyoscillationstotheenergyofhighfrequency

Использование вторичных резонансов линейных систем для преобразования энергии низкочастотных колебаний в энергию высокочастотных

Репозитарії

Схожі ресурси