Модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением

Обсуждается характер развития модуляционной неустойчивости волн, поддерживаемых внешним моно-хроматическим источником в среде с поглощением. Показано, что в условиях малости отношений амплитуд отдельных мод спектра модуляции к амплитуде основной волны можно ограничиться взаимодействием мод спектра,...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Белкин, Е.В., Киричок, А.В., Куклин, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України 2010
Schlagworte:	Нелинейные процессы в плазменных средах
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17350
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением / Е.В. Белкин, А.В. Киричок, В.М. Куклин // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 4. — С. 291-295. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-17350
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-173502025-02-23T20:11:04Z Модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением Модуляційна нестійкість хвиль у середовищі з поглинанням у присутності зовнішнього джерела коливань Modulation instability of waves driven by external source in dumped medium Белкин, Е.В. Киричок, А.В. Куклин, В.М. Нелинейные процессы в плазменных средах Обсуждается характер развития модуляционной неустойчивости волн, поддерживаемых внешним моно-хроматическим источником в среде с поглощением. Показано, что в условиях малости отношений амплитуд отдельных мод спектра модуляции к амплитуде основной волны можно ограничиться взаимодействием мод спектра, поддерживаемых основной волной. Появление аномальных волн большой амплитуды характерно для начальной стадии развитой модуляционной неустойчивости. При дальнейшем развитии процесса также можно обнаружить появление волн, удовлетворяющих критерию аномальности, однако их амплитуды постепенно убывают вместе со средней величиной амплитуды волнения. Розглянуто розвиток модуляційної нестійкості хвиль в середовищі з поглинанням та у присутності зовнішнього монохроматичного джерела коливань. Показано, що в умовах малості відносин амплітуд окремих мод спектру модуляції до амплітуді основної хвилі можна обмежиться взаємодією мод спектру, підтримуваних основною хвилею. Поява аномальних хвиль великої амплітуди характерна для початкової стадії розвинутої модуляційної нестійкості. При подальшому розвитку процесу також можна спостерігати появу хвиль, що задовольняють критерію аномальності, проте їх амплітуди поступово зменшуються разом із середньою величиною амплітуди хвилювання. In present paper we study the dynamics of modulation instability of waves in dumped medium in presence of an external monochromatic source. The instability of intensive gravitation wave on the oceanic surface is considered. It is shown that under condition of small ratio of side mode amplitudes to the central wave amplitude it is possible to take into account the interaction of the side modes with the central mode only. The appearance of the enormous waves of large amplitude is typical for the initial stage of modulation instability. During the latter dynamics the appearance of waves satisfying the anomality criterion can also be revealed, but their amplitudes gradually diminish as well as the average choppiness amplitude. Авторы выражают благодарность Е.А. Кузнецову за внимание к работе и полезные замечания. 2010 Article Модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением / Е.В. Белкин, А.В. Киричок, В.М. Куклин // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 4. — С. 291-295. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17350 532.59 ru application/pdf Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Нелинейные процессы в плазменных средах Нелинейные процессы в плазменных средах
spellingShingle	Нелинейные процессы в плазменных средах Нелинейные процессы в плазменных средах Белкин, Е.В. Киричок, А.В. Куклин, В.М. Модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением
description	Обсуждается характер развития модуляционной неустойчивости волн, поддерживаемых внешним моно-хроматическим источником в среде с поглощением. Показано, что в условиях малости отношений амплитуд отдельных мод спектра модуляции к амплитуде основной волны можно ограничиться взаимодействием мод спектра, поддерживаемых основной волной. Появление аномальных волн большой амплитуды характерно для начальной стадии развитой модуляционной неустойчивости. При дальнейшем развитии процесса также можно обнаружить появление волн, удовлетворяющих критерию аномальности, однако их амплитуды постепенно убывают вместе со средней величиной амплитуды волнения.
format	Article
author	Белкин, Е.В. Киричок, А.В. Куклин, В.М.
author_facet	Белкин, Е.В. Киричок, А.В. Куклин, В.М.
author_sort	Белкин, Е.В.
title	Модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением
title_short	Модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением
title_full	Модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением
title_fullStr	Модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением
title_full_unstemmed	Модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением
title_sort	модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением
publisher	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Нелинейные процессы в плазменных средах
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17350
citation_txt	Модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением / Е.В. Белкин, А.В. Киричок, В.М. Куклин // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 4. — С. 291-295. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT belkinev modulâcionnaâneustojčivostʹvolnpodderživaemyhvnešnimistočnikomvsredespogloŝeniem AT kiričokav modulâcionnaâneustojčivostʹvolnpodderživaemyhvnešnimistočnikomvsredespogloŝeniem AT kuklinvm modulâcionnaâneustojčivostʹvolnpodderživaemyhvnešnimistočnikomvsredespogloŝeniem AT belkinev modulâcíjnanestíjkístʹhvilʹuseredoviŝízpoglinannâmuprisutnostízovníšnʹogodžerelakolivanʹ AT kiričokav modulâcíjnanestíjkístʹhvilʹuseredoviŝízpoglinannâmuprisutnostízovníšnʹogodžerelakolivanʹ AT kuklinvm modulâcíjnanestíjkístʹhvilʹuseredoviŝízpoglinannâmuprisutnostízovníšnʹogodžerelakolivanʹ AT belkinev modulationinstabilityofwavesdrivenbyexternalsourceindumpedmedium AT kiričokav modulationinstabilityofwavesdrivenbyexternalsourceindumpedmedium AT kuklinvm modulationinstabilityofwavesdrivenbyexternalsourceindumpedmedium
first_indexed	2025-11-25T00:07:03Z
last_indexed	2025-11-25T00:07:03Z
_version_	1849718707292471296
fulltext	УДК 532.59 МОДУЛЯЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛН, ПОДДЕРЖИВАЕМЫХ ВНЕШНИМ ИСТОЧНИКОМ В СРЕДЕ С ПОГЛОЩЕНИЕМ Е.В. Белкин, А.В. Киричок, В.М. Куклин Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, Украина E-mail: kuklinvm1@rambler.ru Обсуждается характер развития модуляционной неустойчивости волн, поддерживаемых внешним моно- хроматическим источником в среде с поглощением. Показано, что в условиях малости отношений амплитуд отдельных мод спектра модуляции к амплитуде основной волны можно ограничиться взаимодействием мод спектра, поддерживаемых основной волной. Появление аномальных волн большой амплитуды характерно для начальной стадии развитой модуляционной неустойчивости. При дальнейшем развитии процесса также можно обнаружить появление волн, удовлетворяющих критерию аномальности, однако их амплитуды по- степенно убывают вместе со средней величиной амплитуды волнения. 1. ВВЕДЕНИЕ Корректное описание явлений и процессов в раз- личных средах и системах предусматривает наличие возмущений различных пространственно-временных масштабов. При этом должна учитываться нелиней- ность среды или системы, которая определяет меха- низмы взаимодействия этих возмущений. Различные подходы к описанию подобных явлений и процессов представлены, например, в монографиях [1-6]. Ниже обсудим распадные процессы в среде с по- глощением при наличии внешнего источника интен- сивного монохроматического излучения. Явление модуляционной неустойчивости волны конечной амплитуды было впервые исследовано в работах [7- 8]. В консервативных средах, т.е. в отсутствие внешних источников и механизмов поглощения энергии, конечным этапом развития модуляционной неустойчивости является образование цуга уеди- ненных волн или реализация режимов с обострени- ем [9-10]. Именно поэтому существуют настойчи- вые попытки описывать развитие процесса модуля- ционной неустойчивости с помощью модифициро- ванных различным образом решений, относящихся к консервативным системам (см., например, [11]). Однако этот подход не обязательно может оказаться конструктивным, ибо не учитывает достаточно ак- тивный и продолжительный переходной процесс формирования устойчивых волновых образований. Да и устойчивость этих образований может дости- гаться лишь в узких интервалах параметров. В настоящей работе показано, что наличие пото- ка энергии через такую открытую систему приводит к полному или частичному подавлению или задерж- ке процесса формирования цуга уединенных волн и формирует новое метастабильное состояние. Это состояние, по крайней мере, на начальной стадии развитой неустойчивости (т.е., за времена, лишь в несколько раз превышающими обратный линейный инкремент неустойчивости) характеризуется появ- лением короткоживущих всплесков модуляции ос- новной волны с аномально большой амплитудой. Причем среднее значение амплитуды основной вол- ны остается достаточно большим. В случае значи- тельного числа пространственных мод возбуждае- мого спектра их амплитуды остаются достаточно малыми в сравнении с амплитудой основной волны и их взаимодействием между собой без поддержки основной волны можно пренебречь. Процесс взаи- модействия мод спектра при этом сопровождается вынужденной (т.е. управляемой волной большой амплитуды) интерференцией [12]. Дальнейшее раз- витие неустойчивости на больших временах процес- са приводит к сужению спектра и формированию устойчивых крупномасштабных солитоноподобных образований, напоминающих структуры, получен- ные в работе [11]. Таким образом, в присутствии внешнего источника и конечного уровня поглощения значительные вспле- ски огибающей и аномально большие амплитуды поля обнаруживают себя на начальной стадии развитой мо- дуляционной неустойчивости. При этом амплитуда каждой пространственной моды спектра модуляции остается много меньше амплитуды основной волны, что позволяет ограничиться в описании системы лишь некоторыми видами взаимодействия. Впервые подобный метод описания открытой системы, в которой развивается модуляционная не- устойчивость, первоначально сформулирован в ра- боте [13]. В ней было показано, что при накачке спиновых волн однородной прецессией намагни- ченности ( ), описываемой уравнением Лайт- хилла при учете возбуждения симметричного спек- тра, для которого выполнены условия пространст- венно-временного синхронизма вида и , 00 →k )()(2 0 kk −+= ωωω 02 0 kkk −== механизмом огра- ничения неустойчивости является их обратное влияние на накачку, приводящее к «заморажива- нию» ее амплитуды на пороговом уровне. Дальней- шее уточнение теории [14] позволяло учитывать более слабые взаимодействия возбужденных мод между собой, причем основной вклад должны были обеспечивать симметричные относительно накачки пары волн )'()'()()( kkkk −+=−+ ωωωω , которые позволяли обеспечить выполнение условий отме- ченного выше пространственно-временного синхро- низма для всех мод. В ряде работ ([15] и [16]), опи- _______________________________________________________________ ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2010. № 4. Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (7), с.291-295. 291 раясь на учет подобного взаимодействия, были сформулированы подходы к описанию нелинейной стадии модуляционной неустойчивости, что в даль- нейшем получило название S-теории. Для этого ав- торы этой теории перешли к описанию на языке корреляционных функций и )'(* ' kknAA kkk −Δ⋅=〉〈 )'(' kkAA kkk +Δ⋅=〉〈 σ , представив }exp{ kkk in ψσ −⋅= . К важным результатам чрезвы- чайно конструктивной S-теории можно причислить обнаруженное доминирование в механизме насы- щения обратного влияния на накачку спектра воз- буждения при малой надпороговости и рост влияния на эффект насыщения неустойчивости фазового рассогласования [17] при увеличении надпорогово- сти. В отличие от описания в рамках обобщенной на случай системы уравнений для модуляцион- ной неустойчивости, рассматривающей эволюцию отдельных мод спектра плазменных колебаний [18], предложенная ниже модель позволяет корректно проследить их поведение, определить пространст- венно-временную динамику волнового пакета (т.е. волн и их огибающих), а также характер процесса неустойчивости, в частности, нарушение симметрии спектра возмущений при развитии модуляционной неустойчивости волны большой амплитуды в среде с сильной дисперсией. В рамках данной модели, как показано ниже, также удается обнаружить образо- вание аномальных всплесков модуляции поля и появление волн значительной амплитуды. 00 ≠k 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА Рассмотрим в качестве примера модуляционную неустойчивость волн с достаточно сильной диспер- сией, которые можно наблюдать в плазменных вол- новодах, а также на поверхности жидкости, поддер- живаемых внешним источником G в условиях не- большого поглощения их энергии. Небольшое по- глощение энергии, как отмечается в работе [19], оказывает необходимое стабилизирующее влияние на процесс модуляции волн большой амплитуды, как, впрочем, и внешний источник, поддерживаю- щий постоянную энергию волнового движения. Важно отметить, что, как и в обсуждаемых в предыдущем разделе случаях, поддерживаемая внешним источником волна в процессе развития неустойчивости сохраняет значительную амплиту- ду, существенно превышающую амплитуду мод возбуждаемого пространственного спектра модуля- ции. Поэтому в условиях конечного уровня погло- щения моды возбуждаемого спектра модуляционной неустойчивости будут взаимодействовать, только если это их взаимодействие поддерживается волной большой амплитуды. Другими словами, домини- рующими видами взаимодействия, по крайней мере, на начальной стадии нелинейного режима неустой- чивости, остаются перечисленные в предыдущем разделе взаимодействия симметрично расположен- ных в волновом пространстве мод спектра модуля- ции. Для частоты волны большой амплитуды в отсут- ствие потерь можно использовать следующее выра- жение [20]: 2 2 1 ... 2 A kgkω ⎧ ⎫ = + +⎨ ⎬ ⎩ ⎭ , (1) где g – некоторый размерный коэффициент (для волн на поверхности жидкости – ускорение свобод- ного падения). Данные экспериментальных исследо- ваний [21] указывают на следующие характеристики таких волн: крутизна, максимальная для устойчивых волн, равна λ/H = 0.13…0.14 для интересующих нас длинных (гравитационных) волн на глубокой воде, где и – это соответственно рас- стояние между верхней точкой гребня волны и ниж- ней точкой впадины (размах), и длина волны, откуда AH 2∝ λ 1<Ak . \| – средняя амплитуда; \| 0A \|\|2 0AH = – средняя высота; 0(2...3) 2 \| \|A⋅ – высота больших волн, причем 13.0 2 \|\|2)3...2( 0 0 ∝kA π . Анализируя эти дан- ные, легко видеть, что ширина пространственного спектра неустойчивости в этих условиях не столь мала в сравнении с волновым числом волны большой амплитуды, как в модели Лайтхилла. Это затрудняет использование разложения по пространственным масштабам, использованным в работе [18]. Уравнение для комплексной амплитуды поля можно представить в виде: }},{* ]\|\|\|\|2\|\|2[{ 2 )()( )( }\|{\| 2 )()( )( 0, 2 0 2 0,' 2 ' 2 0 2 0 0 0 2 2 0 0 0 Κ− ≠Κ Κ− ≠ ∑ ∑ ⋅++ ++⋅ ⋅ + + −+−−= = + +− +−−= ∂ ∂ AAAA AAAA KkKkgi AKkgiA AAKkKkgi AKkgiA t A K K K KK KK KK K KK K δ δ (2) где – длина волны большой амплитуды. 0/2 kπλ = Можно перейти к описанию медленно меняю- щейся амплитуды волны (исключим частоту основ- ной волны 0gk ), т.е. будем рассматривать медлен- ное изменение комплексной амплитуды, что соот- ветствует переходу: }.)(exp{ })(exp{ 0 00 KK KK ixKkiA ixKkitiA ϕ ϕω +++∝ →+++−∝ При этом уравнение (2) можно записать в виде }}.{* ]\|\|\|\|2\|\|2[{ 2 )()( ])([ 0, 2 0 2 0,' 2 ' 2 0 2 0 0 00 Κ− ≠Κ Κ− ≠ ∑ ∑ ⋅+ +++⋅ ⋅ + + −−+−−= ∂ ∂ AAAA AAAA KkKkgi AgkKkgiA t A K K K KK KK KK K δ (3) Введем в рассмотрение действительные ампли- туды и фазы: }exp{\|\| KKK iuA ϕ= . Тогда система уравнений, описывающая модуляционную неустой- 292 чивость волны большой амплитуды в условиях сильной дисперсии, принимает вид: )].( [)1( 0, 2 0 5.2 K K K KKKd K Sinuuu SinuuKuu Φ−Φ⋅⋅+ +Φ⋅⋅++−= ∂ ∂ ΚΚ− ≠Κ Κ− − ∑ δ τ (4) Здесь следует различать моды с волновыми чис- лами и Κ , соответственно, и фазы и K ΚΦ KΦ )],( ]22[[)1( ]1)1([2 0, 2 0 2 0,' 2 ' 2 0 5.2 K KK K K K K K KK K K Cosuu u uCosu u u uuuK K Φ−Φ⋅⋅+Φ+ +++⋅+− −+ −= ∂ ∂ ΚΚ− ≠Κ Κ −− ≠ ∑ ∑ατ ϕ (5) где частоты мод .)1()()]1([)( 00000 gkKgkkKkK −+=−+=− ωωωω Здесь использованы обозначения ζξ =0k , ατ ω / 2 0 =t ; ;2 0 2 0 \|\| Ak=α 2 \|\| 2 0 2 0 0 Ak gkt ⋅=τ ; ; 00 /)( kkkK −= ;)2/( 4 2 2 0 KtK ⋅= ατω }exp{}exp{\|\|)0(/ 0 KKKKKK iuiaaAA ϕϕτ ==== , а также α ]}1)1(]1)1({[2 −−+−+ =Δ KK K ; причем при расчетах можно не использовать разложение подкоренных выражений. Уравнения для основной волны записы- ваем как },2)1(2)1(2{ 5.25.2 −−++=Ρ KKK GSinuuuuu K =Φ⋅⋅⋅++ ∂ ∂ ΚΚ− ≠Κ Κ∑ 0, 00 0 δ τ , (6) ΚΚ− ≠Κ Κ ≠ Φ⋅⋅−−−= ∂ ∂ ∑∑ Cosuuuu K K 00 22 0 0 2 τ ϕ (7) и переходим к и суммированию по m, т.е. , где mKK → 0/ kKmK m Δ⋅= N KK Max2 =Δ и ),...2,1( Nm ±= , причем 2/1 000 2\|\|2/ α⋅== AkkK Max , где KKK Φ=−− −ϕϕϕ 02 . Можно показать, что при значениях 1/ 0 <kK линейный инкремент ωγ Δ= Im определяется из соотношения ,}\|\|8 \|\|]) 2 3(1}[ 2 1{2} 2 1{[ }\|\|]) 2 3(1[{)( 2/14 0 2 2 0 2222 2 0 21 uK uKKK uKKii − +−−−−± ±++−=+Δ− − αα αδω (8) причем последним слагаемым под корнем можно пренебречь. Очевидно, здесь . В про- странстве α2/2/ 2K−≈Δ ζ вид возмущения (лабораторная систе- ма отсчета) )}]}.()11(2exp{ )}()11(2exp{[ {}exp{ 0 0 0 0 00 ϕϕζ α τ ϕϕζ α τ ϕζ −+−+−−−⋅ +−++−−+−⋅ +⋅++= −− > ≠ ∑ ii i i ii iiKKKiu iiKKKiu uiiE (9) Здесь основная волна покоится, а модуляция пе- ремещается. Так как дисперсия достаточно сильная в окрест- ности частоты волны большой амплитуды, в приве- денных уравнениях можно легко увидеть нарушение симметрии в условиях возбуждения стоксовой и антистоксовой части спектра, что способно значи- тельно изменить характер модуляции. 3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Для анализа размахов волн (т.е., расстояния ме- жду верхней точкой гребня волны и нижней точкой впадины) выделим из них треть наибольших. Най- дем для каждого момента времени в области рас- смотрения ( 2/10 2 /)//(2 α πππζ ⋅ ==Δ=⊂ NKNkKL m , где N K K Max2 =Δ , xko=ζ ) - средний размах всех волн и средние значения размаха трети самых боль- ших , а также самый большой размах волны из ансамбля (Рис.1). Расчеты проводились для 600 мод спектра, отношение декремента поглоще- ния к величине максимального инкремента выбира- лось на уровне 0.1 (т.е. CPU SWHU MaxU 0.1δ = ), при этом для нор- мировки амплитуды основной волны на единицу на начальной стадии процесса был выбран уровень внешней накачки 0.1G = . Прежде всего следует отметить, что критерий, по которому выделяют аномально большие волны, ви- да (10) SWHAG UU 2> не однозначен, ибо наибольшие амплитуды наблю- даются именно в начальной стадии развития неус- тойчивости. Рис.1. Размах волн (расстояние между верхней точкой гребня волны и нижней точкой впадины) как функция времени τ : среднее значение для всех волн и для трети самых больших волн , максимальное значение для каждого момента вре- мени [22] CPU SWHU MaxU Тем не менее, волны заметно меньших амплитуд или размахов в режиме развитой неустойчивости также подпадают под этот критерий, так как со вре- менем наблюдается снижение как средних, так и больших амплитуд волн. Приведем для сравнения две области, отдельные волны которых соответст- вуют критерию (10) (Рис.2). 293 а б Рис.2. Области вблизи аномально больших волн в разных реализациях процесса при 10∝τ (а) и при 30∝τ (б) Анализ наблюдений и численных экспериментов показывает [23], что аномальные волны часто воз- никают в составе группы волн, имеющих форму солитоноподобных образований. Рассматривая динамику спектра неустойчивости в проведенных в данной работе расчетах, можно обнаружить явление значительного его сдвига по отношению к спектральной области линейной неус- тойчивости (Рис.3). Этот сдвиг обусловлен сниже- нием амплитуды основной волны. Кроме этого сле- дует отметить, что амплитуды отдельных мод спек- тра остаются много меньше амплитуды основной волны. Отметим несимметричность спектра относи- тельно основной волны, что обусловлено сильной дисперсией и достаточно большой величиной ин- кремента модуляционной неустойчивости для волн большой амплитуды. а б в Рис.3. Спектр неустойчивости для одной реализа- ции при 10∝τ (а), 35∝τ (б), 140∝τ (в) Из анализа спектров можно увидеть, что в режи- ме развитой неустойчивости длина модуляции уве- личивается почти в 3,5 раза. Рис.4. Поведение относительной характерной длины модуляции в процессе неустойчивости Поведение относительной характерной длины мо- дуляции показано на Рис.4. Динамика двумерных волновых процессов оказывается подобной. Таким образом, количество волн на длине модуляции в на- чальной стадии развитой неустойчивости значитель- но меньше, чем на поздних стадиях процесса. Анализируя частоту появления аномальных волн в разных реализациях процесса, найдем, что одна такая волна появляется среди 10 000 волн, что каче- ственно соответствует известным наблюдениям. ВЫВОДЫ Таким образом, появление аномальных волн большой амплитуды характерно для начальной ста- дии развитой модуляционной неустойчивости. С развитием неустойчивости средние и максимальные значения волн заметно убывают. Рис.5. Частота появления волн разной амплитуды в численных экспериментах при разных реализациях процесса в момент времени 10∝τ Однако согласно принятому критерию (10), даже в этих условиях можно выделить аномально боль- шие волны, хотя их амплитуда уже при 30∝τ в пол- тора-два раза меньше, чем в наиболее интересном случае самых больших подобных волн при 10∝τ (Рис.5). На длине модуляции в начальной стадии процес- са укладывается несколько волн, одна из которых может в отдельных реализациях оказаться аномаль- но большой. В режиме развитой неустойчивости количество волн на длине модуляции возрастает в три-четыре раза. Частота появления волн в числен- ном эксперименте качественно соответствует из- вестным наблюдениям. При этом следует отметить, что в области рас- смотрения (как по времени, так и в пространстве) сохраняется с приемлемой точностью полная энер- гия волнового движения и выполняются условия малости отношений амплитуды отдельных мод спектра к амплитуде основной волны. Последнее позволяет считать подобное описание модуляцион- ной неустойчивости на временах рассмотрения дос- таточно корректным. 294 Авторы выражают благодарность Е.А. Кузнецову за внимание к работе и полезные замечания. ЛИТЕРАТУРА 1. В.П. Силин, А.А. Рухадзе. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред. М.: «Атомиздат», 1961, 244с. 2. .Д. Пайнс. Элементарные возбуждения в твер- дых телах. М.: «Мир», 1965, 320с. 3. В.Н. Цытович. Нелинейные эффекты в плазме. М.: «Наука», 1967. 288с. 4. В.С. Львов. Нелинейные спиновые волны. М.: «Наука», 1987, 272с. 5. В.И. Петвиашвили, О.А. Похотелов. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: «Энергоатом- издат», 1989, 200с. 6. В.П. Силин. Параметрическое воздействие из- лучения большой мощности на плазму. М.: «Нау- ка», 1973, с.287. 7. M.J. Lighhill. Contribution to the theory of waves in nonlinear dispersive system // J. Inst. Math. Appl. 1965, v.1, №2, p.269-306. 8. V.E. Zakharov. Stability of nonlinear waves in dis- persive media // J Teor. Prikl. Fiz. 1966, v.51, p.668-671. 9. В.Е. Захаров, А.Б. Шабат. Теория двумерной са- мофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1971, т.61, №1, с.118-134; О взаимодействии солитонов в устойчивой среде // ЖЭТФ. 1973, т.64, №5, с.1627-1639. 10. В.Е. Захаров. Коллапс ленгмюровских волн // ЖЭТФ. 1972, т.62, №5, с.767-770. 11. E.V. Zemlyanaya and N.V. Alexeeva. Oscillation solitons of the driven, dampted nonlinear Schreodin- ger equation // Theoretical and Mathematical Phys- ics. 2009, №159(3), p.870-876. 12. V.M. Kuklin. Effect of induced interference and the formation of spatial perturbation fine structure in nonequlibrium open-ended system // Вопросы атомной науки и техники Серия «Плазменная электроника и новые методы ускорения», 2006, №5, с.63-68. 13. H. Suhl. Effective Nuclear Spin Interactions in Fer- romagnets // Phys Rev. 1958, v.109, №2, p.606. 14. E.L. Schlomann, J.H. Saunder, M.H. Sirvets. Band Ferromagnetic Resonance Experiments at High Peak Power Levels // J. Appl. Phys. 1960, v.31, p.386S- 395S. 15. В.Е. Захаров, В.С. Львов, С.С. Старобинец. Тур- булентность спиновых волн за порогом их пара- метрического возбуждения // УФН. 1974, т.114, №4, с.609-654. 16. В.С. Львов. Нелинейные спиновые волны. М.: «Наука», 1987, 272с. 17. В.Е. Захаров, В.С. Львов, С.С. Старобинец. Ме- ханизм ограничения амплитуды СВ при парал- лельной накачке // ФТТ. 1969, т.11, с.2047-2055. 18. Е.В. Белкин, А.В. Киричок, В.М. Куклин. Об ин- терференции в многомодовых режимах модуля- ционных неустойчивостей // Вопросы атомной науки и техники. Серия «Плазменная электроника и новые методы ускорения». 2008, №4, с.222-227. 19. H. Segur, D. Henderson, J. Carter, et al. Stabilizing the Benjamin–Feir instability // J. Fluid Mech. 2005, v.539, р.229-271. 20. В.И. Карпман. Нелинейные волны в дисперги- рующих средах. М.: «Наука», 1973, 175с. 21. L.W. Schwartz, J.D. Fenton. Strongly nonlinear waves // Ann. Rev. Fluid. Mech / Пер. Л. Шварц, Дж. Фентон. 1982, v.14, p.39-60. Сильно нелинейные волны // Нелинейные волно- вые процессы. Серия «Механика»: Сборник ста- тей. М.: «Мир», 1987, №42, 296с. 22. Е.В. Белкин, В.М. Куклин, А.С. Петренко. О ква- зилинейном характере многомодовых неустой- чивостей в нелинейных средах // Thesis of Int. Conf. MSS-09 “Mode Convertion, Coherent Struc- tures and Turbulence”. Moscow, 23-25 Nov., 2009. 23. C. Kharif, E. Pelinovsky, A. Slunyaev. Rogue Waves in the Ocean. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009. Статья поступила в редакцию 16.06.2010 г. MODULATION INSTABILITY OF WAVES DRIVEN BY EXTERNAL SOURCE IN DUMPED MEDIUM E.V. Belkin, A.V. Kirichok, V.M. Kuklin In present paper we study the dynamics of modulation instability of waves in dumped medium in presence of an external monochromatic source. The instability of intensive gravitation wave on the oceanic surface is considered. It is shown that under condition of small ratio of side mode amplitudes to the central wave amplitude it is possible to take into account the interaction of the side modes with the central mode only. The appearance of the enormous waves of large amplitude is typical for the initial stage of modulation instability. During the latter dynamics the ap- pearance of waves satisfying the anomality criterion can also be revealed, but their amplitudes gradually diminish as well as the average choppiness amplitude. МОДУЛЯЦІЙНА НЕСТІЙКІСТЬ ХВИЛЬ У СЕРЕДОВИЩІ З ПОГЛИНАННЯМ У ПРИСУТНОСТІ ЗОВНІШНЬОГО ДЖЕРЕЛА КОЛИВАНЬ Є.В. Бєлкін, О.В. Киричок, В.М. Куклін Розглянуто розвиток модуляційної нестійкості хвиль в середовищі з поглинанням та у присутності зов- нішнього монохроматичного джерела коливань. Показано, що в умовах малості відносин амплітуд окремих мод спектру модуляції до амплітуді основної хвилі можна обмежиться взаємодією мод спектру, підтримува- них основною хвилею. Поява аномальних хвиль великої амплітуди характерна для початкової стадії розви- нутої модуляційної нестійкості. При подальшому розвитку процесу також можна спостерігати появу хвиль, що задовольняють критерію аномальності, проте їх амплітуди поступово зменшуються разом із середньою величиною амплітуди хвилювання. 295

Модуляционная неустойчивость волн, поддерживаемых внешним источником в среде с поглощением

Institution

Ähnliche Einträge