Структурные переходы в модели Проктора-Сивашинского
Обсуждается характер структурных переходов в формировании пространственной структуры возмущений в модели Проктора-Сивашинского. Показано, что процесс развития возмущений состоит из последовательного возникновения и разрушения нескольких метастабильных состояний и формирования устойчивой правильной п...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17351 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Структурные переходы в модели Проктора-Сивашинского / Е.В. Белкин, И.В. Гущин, А.В. Киричок, В.М. Куклин // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 4. — С. 296-298. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859800831256166400 |
|---|---|
| author | Белкин, Е.В. Гущин, И.В. Киричок, А.В. Куклин, В.М. |
| author_facet | Белкин, Е.В. Гущин, И.В. Киричок, А.В. Куклин, В.М. |
| citation_txt | Структурные переходы в модели Проктора-Сивашинского / Е.В. Белкин, И.В. Гущин, А.В. Киричок, В.М. Куклин // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 4. — С. 296-298. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Обсуждается характер структурных переходов в формировании пространственной структуры возмущений в модели Проктора-Сивашинского. Показано, что процесс развития возмущений состоит из последовательного возникновения и разрушения нескольких метастабильных состояний и формирования устойчивой правильной пространственной решетки. Отмечается корреляция между разными представлениями о дефектности структуры. Обсуждается возможность использования модифицированной модели для имитационного моделирования фазовых переходов второго рода в конденсированных средах и в системах типа пылевой плазмы.
Обговорюється характер структурних переходів у формуванні просторової структури збурень в моделі Проктора-Сівашинського. Показано, що процес розвитку збурень складається з послідовного виникнення і руйнування декількох метастабільних станів і формування стійкої правильної просторової решітки. Відзначається кореляція між різними уявленнями про дефектності структури. Обговорюється можливість використання модифікованої моделі для імітаційного моделювання фазових переходів другого роду в конденсованих середовищах та в моделях запорошеної плазми.
The structural transitions appearing during the formation of spatial convective structures are discussed within framework of the Proctor-Sivashinsky model. It is shown that dynamics of perturbations consists of successive formation and destruction of several metastable states and the formation of a stable regular spatial convective lattice. The correlation between the different concepts of structural defects is noted. We discuss the possibility of using the modified model for simulation of phase transitions in condensed matter.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:13:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 532.54
СТРУКТУРНЫЕ ПЕРЕХОДЫ В МОДЕЛИ
ПРОКТОРА-СИВАШИНСКОГО
Е.В. Белкин, И.В. Гущин, А.В. Киричок, В.М. Куклин
Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, Украина
E-mail: kuklinvm1@rambler.ru
Обсуждается характер структурных переходов в формировании пространственной структуры возмущений
в модели Проктора-Сивашинского. Показано, что процесс развития возмущений состоит из последовательного
возникновения и разрушения нескольких метастабильных состояний и формирования устойчивой правильной
пространственной решетки. Отмечается корреляция между разными представлениями о дефектности структу-
ры. Обсуждается возможность использования модифицированной модели для имитационного моделирования
фазовых переходов второго рода в конденсированных средах и в системах типа пылевой плазмы.
1. ВВЕДЕНИЕ
При рассмотрении различных процессов в
сплошных средах необходимо учитывать существо-
вание возмущений различного пространственно-
временного масштаба. Нелинейность среды прояв-
ляется в наличии определенных механизмов взаи-
модействия таких возмущений. Процессы с участи-
ем большого количества возмущений разного мас-
штаба часто называют многомодовыми или много-
волновыми. Описание процессов с учетом плотного
спектра возмущений позволяет обнаружить сущест-
вование долгоживущих квазиустойчивых нелиней-
ных состояний, а также корректно определить ха-
рактерные времена переходных процессов − струк-
турных переходов между этими состояниями. Ниже
обсудим характер развития многомодовых режимов
развития конвекции в тонком слое жидкости.
Уравнение Проктора-Сивашинского [1,2], опи-
сывающее развитие конвекции в тонком слое, по-
зволяло без труда найти ряд стационарных решений
с малым число пространственных мод, одно из ко-
торых (конвективные ячейки) оказалось устойчи-
вым, а второе (конвективные валы) – нестабильным
(см. например, [3]). Более детальное изучение моде-
ли [4] с использованием многомодового описания
позволило выяснить, что сначала возникает квазиу-
стойчивое долгоживущее состояние, которое за дос-
таточно большое время, значительно большее об-
ратного линейного инкремента процесса, переходит
в устойчивое состояние. Причем каждой из возни-
кающих пространственных структур (конвективные
валы, модулированные в поперечном направлении
конвективные валы и конвективные ячейки) отвеча-
ет определенное значение интегральной квадратич-
ной формы.
Данная модель является достаточно привлека-
тельной для имитационного моделирования процес-
сов структурообразования в средах, где есть выде-
ленный характерный размер взаимодействия между
квазичастицами или элементами будущей структу-
ры. Оказывается, наличие локальных минимумов
потенциала взаимодействия определяет характер
пространственных структур. Ниже на примере мо-
дели Проктора-Сивашинского обсудим механизмы
структурообразования и процессы структурных пе-
реходов в подобных случаях.
2. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ
Если число Релея Ra превышает критическое
значение , т.е. thrRa )1( ε+= thrRaRa , в слое жидко-
сти между плохо проводящими тепло горизонталь-
ными поверхностями (вдоль оси z) возникает трех-
мерная конвекция (см. например, [5]), описываемая
уравнением Проктора-Сивашинского [1,2], которое
определяет динамику температурного поля этого
процесса в горизонтальной плоскости (x,y):
( ) f22222
3
1)1( εε +ΦΦ∇∇+Φ∇−−Φ=Φ& , (1)
где f – внешний аддитивный шум; ε, определяющая
превышение порога развития конвекции, считается
достаточно малой и положительно определенной
величиной. В этих условиях решение можно искать
в форме
∑ε=Φ
j
jj rkia )exp(
rr (2)
с 1|| =jk
r
. Перенормируя единицу времени 2ε∝ ,
для медленных амплитуд aj, получаем эволюцион-
ное уравнение [3]:
,||
1
2 faaVaa
N
i
jiijjj +−= ∑
=
& (3)
где коэффициенты взаимодействия определены со-
отношениями:
, (4) 1=jjV
( )( ) ( )ϑ22
cos21)32(21)3(2= +=− jiij kkV
rr
,
(5)
где ϑ – угол между векторами и . ik
r
jk
r
Вообще говоря, ширина интервала неустойчиво-
сти в k-пространстве представляет собой кольцо,
средний радиус которого равен единице, а ширина –
порядка величины относительной надпороговости ε,
т.е. много меньше единицы. Во время развития не-
устойчивости из-за роста нелинейных членов эф-
фективный инкремент мод, лежащих вне весьма
малой окрестности вблизи единичной окружности,
будет убывать и может изменить знак. Наибольший
интерес будут представлять моды, находящиеся
именно на данной единичной окружности, т.е. рас-
смотрим упрощенную модель явления, полагая, что
спектр колебаний уже располагается на единичной
окружности в k-пространстве.
________________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2010. № 4.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (7), с.296-298.
296
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
Развитие возмущений в системе, как показывает
численный анализ уравнения (3), происходит сле-
дующим образом [4,6]. Из начальных флуктуаций
быстро возбуждается широкий спектр по ϑ . Значе-
ние квадратичной формы этого спектра ∑= j jaI 2
можно оценить, приравняв правую часть (3) нулю,
при этом получим значение, близкое к 0,75.
В работах [4,7] показано, что в случае большого
числа мод при высокой точности расчетов система
задерживается в своем развитии, оставаясь в дина-
мическом равновесии. Для дальнейшего развития –
«кристаллизации», одна из мод должна получить
порцию энергии, превышающую некоторый порог,
т.е. в этих условиях необходимо наличие опреде-
ленного уровня шума – флуктуаций. Это достигает-
ся при конечном значении шума или при
уменьшении точности расчетов, что, как отмечается
в [7], эквивалентно. Подобные случаи, когда шум
способен спровоцировать или ускорить процесс не-
устойчивости, собраны в книге [8].
0≠f
Если одна из мод получает нужную порцию
энергии, развивается процесс формирования про-
стейшей конвективной структуры – валов (Рис.1,а).
Величина I при этом достигает значений, близких к
единице ( ). Однако это состояние не является
устойчивым и наблюдается структурный переход:
конвективные валы испытывают модуляцию вдоль
оси вращения жидкости, характерный размер кото-
рой сокращается. В этом переходном состоянии сис-
тема находится достаточно большое время (которое
незначительно растет в определенных пределах при
увеличении числа мод), причем при этом сохраняет-
ся значение . Спустя достаточно большое
время, в десятки раз превосходящее обратный ин-
кремент начальной линейной неустойчивости, из
вновь образованного "бокового" спектра "выживает"
лишь одна мода, амплитуда которой сравнивается с
амплитудой первоначальной лидирующей моды. В
конечном итоге формируется устойчивая конвек-
тивная структура – квадратные ячейки (см. Рис.1,б),
при которой квадратичная форма системы достигает
значения .
1→I
07.1≈I
2.1=I
Рис.1. Конвективные структуры:
валы (а) и квадратные ячейки (б)
Дальнейшие исследования процесса обнаружили
следующую динамику изменения интегральной
квадратичной формы со временем (Рис.2).
Именно после первого всплеска производной фор-
мируется метастабильная структура – система кон-
вективных валов, причем, вплоть до второго вспле-
ска величина
∑= j jaI 2
1≈I не изменяется. Следующий
всплеск tI ∂∂ / сигнализирует о появлении вторич-
ной метастабильной структуры с новым значением
07.1≈I . После второго всплеска производной
квадратичной формы начинает формироваться ста-
бильная структура конвективных ячеек. Подобное
поведение системы убеждает в существовании
структурно-фазовых переходов в данной системе.
Рис.2. Поведение производной интегральной
квадратичной формы
tI ∂∂ /
∑= j jaI 2
Рассмотрим более подробно формирование ста-
бильной структуры конвективных ячеек. Обозначим
амплитуды мод, формирующих в каждой реализации
пространственную структуру квадратных конвектив-
ных ячеек, как и . На интервале между вторым
и третьим всплесками производной квадратичной
формы (см. Рис.2) изучим динамику «спектральной
дефектности» структуры , основан-
ной на отношении квадратов амплитуд мод спектра,
не отвечающего системе квадратных ячеек, к пол-
ной сумме квадратов мод, а также так называемую
«визуальную дефектность» , где
– число дефектных пространственных ячеек (пло-
щадь структуры, занятая нерегулярными ячейками)
и – число ячеек в идеальной регулярной структу-
ре (полная площадь структуры).
1a 2a
∑∑
≠
=
j j
j
j aaD 2
2,1
2 /
NNd def /= defN
N
а
Рис.3. Сравнительный анализ спектральной
и визуальной дефектности. Число мод - 50
б
297
Критерии, по каким считать ячейку правильной, и
метод, позволяющий подсчитать число этих ячеек,
следующие. Полученная картина для поля перево-
дится в режим 8-битного изображения, т.е. макси-
мальное количество отображаемых цветов уменьша-
ется до 256. Тем самым сформировавшаяся структура
становится более явно различимой. При увеличении
подобного изображения можно достаточно явно раз-
личить, какая из структурных единиц является необ-
ходимой нам правильной ячейкой, а какая – нет. Пра-
вильная ячейка имеет правильную геометрическую
форму с равномерно темным центром и соизмери-
мыми с центром по размеру четырьмя возвышенно-
стями более светлого равномерного окраса.
Несмотря на качественный характер описания
величин, характеризующих спектральную и визу-
альную дефектность структуры, можно отметить
подобное их поведение (Рис.3) при приближении к
завершению структурного перехода.
298
ВЫВОДЫ
Особенностью этой модели описания конвекции
является наличие трех состояний. Времена струк-
турных переходов между метастабильными состоя-
ниями меньше времени их существования.
Характерный размер конвективных образований в
режиме развитой неустойчивости и принятых едини-
цах измерения порядка ππ 2/2 ∝k , а длина волновых
векторов порядка единицы. Потенциал взаимодейст-
вия пространственных мод ( )ijijV ϑ2cos21)32(= + имеет
глубокий минимум для углов ϑij= ϑI − ϑj между век-
торами и ik
r
jk
r
двух пространственных мод
2/πϑ ±=ij . Именно эти минимумы порождают неус-
тойчивость структуры валов [3]. Ибо существование
минимума Vij для мод с относительно небольшими
амплитудами позволяет им продолжать свой рост,
подавляя при этом возникшие прежде возмущения.
При приближении к стабильному состоянию
пространственная структура избавляется от множе-
ства дефектов, причем наблюдается корреляция ме-
жду относительной долей наблюдаемых визуально
(геометрически) дефектов структуры и величиной
дефектности, определяемой как отношение квадра-
тов амплитуд мод спектра, не отвечающего системе
квадратных ячеек к полной сумме квадратов мод.
Данная модель при достаточно небольшой мо-
дификации представляет интерес для широкого
применения для целей имитационного моделирова-
ния процессов формирования структур и фазовых
переходов второго рода. Наличие большего числа
минимумов на периоде изменения угла ϑ (напри-
мер, шести) приведет в конечном итоге к появлению
пространственной структуры в виде вписанного в
единичный круг многогранника с большим числом
ребер (шестигранника). Изменяя пространственную
структуру локальных минимумов потенциала и их
величину, можно добиться формирования любой
симметричной пространственной структуры, при-
чем, наблюдая последовательно формирование ме-
тастабильных состояний и все стадии структурных
переходов. Это позволяет применять модифициро-
ванную подобным образом модель для качественно-
го описания процессов формирования как минимум
двумерных пространственных структур в системах,
где есть один выделенный масштаб, в частности, в
конденсированных средах.
ЛИТЕРАТУРА
1. J. Chapman, M.R.E. Proctor. Nonlinear Rayleigh-
Benard convection between poorly conducting boun-
daries // J. Fluid Mech., 1980, №101, p.759-765.
2. V. Gertsberg and G.E. Sivashinsky. Large cells in
nonlinear Rayleigh-Benard convection // Prog.
Theor. Phys. 1981, №66, p.1219-1229.
3. Б.А. Маломед, А.А. Непомнящий,
М.П. Трибельский. Двумерные квазипериодиче-
ские структуры в неравновесных системах //
ЖЭТФ. 1989, т.96, с.684-699.
4. A.V. Kirichok and V.M. Kuklin. Allocated Imper-
fections of Developed Convective Structures //
Physics and Chemistry of the Earth Part A. 1999,
№6, p.533-538.
5. S. Chandrasekhar. Hydrodynamic and hydromag-
netic stability. Third printing of the Clarendon Press
Oxford University Press edition, Dover Publication,
Inc. New York, 1970, 704p.
6. В.М. Куклин. Роль поглощения и диссипации
энергии в формировании пространственных не-
линейных структур в неравновесных средах //
УФЖ. Обзоры. 2004, т.1, №1, с.49-81.
7. Е.В. Белкин, И.В. Гущин. Математическая мо-
дель конвекции слоя жидкости с градиентом
температуры. Харьков: ХНУ, КМНТ, 2010, т.1,
с.39-40.
8. В. Хорстхемке, Р. Лефевр. Индуцированные шумом
переходы / Пер с англ. М.: «Мир», 1987, 400с.
Статья поступила в редакцию 16.06.2010 г.
STRUCTURAL TRANSITIONS IN THE MODEL OF PROCTOR-SIVASHINSKY
E.V. Belkin, I.V. Gushchin, A.V. Kirichok, V.M. Kuklin
The structural transitions appearing during the formation of spatial convective structures are discussed within framework of
the Proctor-Sivashinsky model. It is shown that dynamics of perturbations consists of successive formation and destruction of
several metastable states and the formation of a stable regular spatial convective lattice. The correlation between the different
concepts of structural defects is noted. We discuss the possibility of using the modified model for simulation of phase transitions
in condensed matter.
СТРУКТУРНІ ПЕРЕХОДИ У МОДЕЛІ ПРОКТОРА-СІВАШИНСЬКОГО
Є.В. Бєлкін, І.В. Гущин, О.В. Киричок, В.М. Куклін
Обговорюється характер структурних переходів у формуванні просторової структури збурень в моделі Проктора-
Сівашинського. Показано, що процес розвитку збурень складається з послідовного виникнення і руйнування декількох
метастабільних станів і формування стійкої правильної просторової решітки. Відзначається кореляція між різними уяв-
леннями про дефектності структури. Обговорюється можливість використання модифікованої моделі для імітаційного
моделювання фазових переходів другого роду в конденсованих середовищах та в моделях запорошеної плазми.
STRUCTURAL TRANSITIONS IN THE MODEL OF PROCTOR-SIVASHINSKY
СТРУКТУРНІ ПЕРЕХОДИ У МОДЕЛІ ПРОКТОРА-СІВАШИНСЬКОГО
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-17351 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-6016 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:13:01Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Белкин, Е.В. Гущин, И.В. Киричок, А.В. Куклин, В.М. 2011-02-25T14:31:55Z 2011-02-25T14:31:55Z 2010 Структурные переходы в модели Проктора-Сивашинского / Е.В. Белкин, И.В. Гущин, А.В. Киричок, В.М. Куклин // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 4. — С. 296-298. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17351 532.54 Обсуждается характер структурных переходов в формировании пространственной структуры возмущений в модели Проктора-Сивашинского. Показано, что процесс развития возмущений состоит из последовательного возникновения и разрушения нескольких метастабильных состояний и формирования устойчивой правильной пространственной решетки. Отмечается корреляция между разными представлениями о дефектности структуры. Обсуждается возможность использования модифицированной модели для имитационного моделирования фазовых переходов второго рода в конденсированных средах и в системах типа пылевой плазмы. Обговорюється характер структурних переходів у формуванні просторової структури збурень в моделі Проктора-Сівашинського. Показано, що процес розвитку збурень складається з послідовного виникнення і руйнування декількох метастабільних станів і формування стійкої правильної просторової решітки. Відзначається кореляція між різними уявленнями про дефектності структури. Обговорюється можливість використання модифікованої моделі для імітаційного моделювання фазових переходів другого роду в конденсованих середовищах та в моделях запорошеної плазми. The structural transitions appearing during the formation of spatial convective structures are discussed within framework of the Proctor-Sivashinsky model. It is shown that dynamics of perturbations consists of successive formation and destruction of several metastable states and the formation of a stable regular spatial convective lattice. The correlation between the different concepts of structural defects is noted. We discuss the possibility of using the modified model for simulation of phase transitions in condensed matter. ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Нелинейные процессы в плазменных средах Структурные переходы в модели Проктора-Сивашинского Структурні переходи у моделі Проктора-Сівашинського Structural transitions in the model of Proctor-Sivashinsky Article published earlier |
| spellingShingle | Структурные переходы в модели Проктора-Сивашинского Белкин, Е.В. Гущин, И.В. Киричок, А.В. Куклин, В.М. Нелинейные процессы в плазменных средах |
| title | Структурные переходы в модели Проктора-Сивашинского |
| title_alt | Структурні переходи у моделі Проктора-Сівашинського Structural transitions in the model of Proctor-Sivashinsky |
| title_full | Структурные переходы в модели Проктора-Сивашинского |
| title_fullStr | Структурные переходы в модели Проктора-Сивашинского |
| title_full_unstemmed | Структурные переходы в модели Проктора-Сивашинского |
| title_short | Структурные переходы в модели Проктора-Сивашинского |
| title_sort | структурные переходы в модели проктора-сивашинского |
| topic | Нелинейные процессы в плазменных средах |
| topic_facet | Нелинейные процессы в плазменных средах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17351 |
| work_keys_str_mv | AT belkinev strukturnyeperehodyvmodeliproktorasivašinskogo AT guŝiniv strukturnyeperehodyvmodeliproktorasivašinskogo AT kiričokav strukturnyeperehodyvmodeliproktorasivašinskogo AT kuklinvm strukturnyeperehodyvmodeliproktorasivašinskogo AT belkinev strukturníperehodiumodelíproktorasívašinsʹkogo AT guŝiniv strukturníperehodiumodelíproktorasívašinsʹkogo AT kiričokav strukturníperehodiumodelíproktorasívašinsʹkogo AT kuklinvm strukturníperehodiumodelíproktorasívašinsʹkogo AT belkinev structuraltransitionsinthemodelofproctorsivashinsky AT guŝiniv structuraltransitionsinthemodelofproctorsivashinsky AT kiričokav structuraltransitionsinthemodelofproctorsivashinsky AT kuklinvm structuraltransitionsinthemodelofproctorsivashinsky |