Метод учета рекомбинации точечных дефектов в теории диффузионных процессов в кристаллах под облучением
Предложен способ приближенного учета квадратичного слагаемого рекомбинационного типа в диффузионной задаче в области влияния стока. Суть его состоит в следующем: вблизи границы стока этим слагаемым, как и ранее, пренебрегаем в силу малости концентрации точечных дефектов; вблизи границы области влиян...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17375 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод учета рекомбинации точечных дефектов в теории диффузионных процессов в кристаллах под облучением / В.В. Слёзов, П.Н. Остапчук // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 5. — С. 15-20. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-17375 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Слёзов, В.В. Остапчук, П.Н. 2011-02-26T10:24:03Z 2011-02-26T10:24:03Z 2010 Метод учета рекомбинации точечных дефектов в теории диффузионных процессов в кристаллах под облучением / В.В. Слёзов, П.Н. Остапчук // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 5. — С. 15-20. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17375 Предложен способ приближенного учета квадратичного слагаемого рекомбинационного типа в диффузионной задаче в области влияния стока. Суть его состоит в следующем: вблизи границы стока этим слагаемым, как и ранее, пренебрегаем в силу малости концентрации точечных дефектов; вблизи границы области влияния нелинейную часть диффузионного уравнения приближенно лианеризуем из-за малости градиента концентрации. В качестве точки сшивки концентрации и потока предлагается выбрать точку перегиба квадрата концентрации. Сравнение точных и приближенных решений приведено для линейной и сферически симметричной задач. Запропоновано спосіб приблизного урахування квадратичного додатку рекомбінаційного типу у дифузійній задачі в області впливу стоку. Суть його полягає у наступному: поблизу границі стоку цим додатком, як і раніше, нехтуємо в силу малості концентрації точкових дефектів; поблизу границі області впливу нелінійну частину дифузійного рівняння приблизно ліанеризуємо в силу малості градієнта концентрації. В якості точки зшивки концентрації та потоку пропонується вибрати точку перегину квадрату концентрації. Порівняння точних та приблизних рішень наведено для лінійної та сферично симетричної задач. А method of taking into account the quadratic term responsible for the bulk recombination of point defects in the diffusion problem in the sink region of influence is proposed. It is based on linearization of the diffusion equation near the vicinity of the boundary of the sink region of influence, where the concentration gradient is sufficiently small. The approximate analytical solution agrees very well with the exact numerical one for the spherically symmetrical case and with exact analytical one for the linear case. Авторы благодарны НТЦУ за частичную финансовую поддержку работы по проекту № 4962. ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах Метод учета рекомбинации точечных дефектов в теории диффузионных процессов в кристаллах под облучением Метод урахування рекомбінації точкових дефектів у теорії дифузійних процесів в кристалах під опроміненням Method of introducing bulk recombination of point defects in the rate theory of crystals under irradiation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Метод учета рекомбинации точечных дефектов в теории диффузионных процессов в кристаллах под облучением |
| spellingShingle |
Метод учета рекомбинации точечных дефектов в теории диффузионных процессов в кристаллах под облучением Слёзов, В.В. Остапчук, П.Н. Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах |
| title_short |
Метод учета рекомбинации точечных дефектов в теории диффузионных процессов в кристаллах под облучением |
| title_full |
Метод учета рекомбинации точечных дефектов в теории диффузионных процессов в кристаллах под облучением |
| title_fullStr |
Метод учета рекомбинации точечных дефектов в теории диффузионных процессов в кристаллах под облучением |
| title_full_unstemmed |
Метод учета рекомбинации точечных дефектов в теории диффузионных процессов в кристаллах под облучением |
| title_sort |
метод учета рекомбинации точечных дефектов в теории диффузионных процессов в кристаллах под облучением |
| author |
Слёзов, В.В. Остапчук, П.Н. |
| author_facet |
Слёзов, В.В. Остапчук, П.Н. |
| topic |
Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах |
| topic_facet |
Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| publisher |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Метод урахування рекомбінації точкових дефектів у теорії дифузійних процесів в кристалах під опроміненням Method of introducing bulk recombination of point defects in the rate theory of crystals under irradiation |
| description |
Предложен способ приближенного учета квадратичного слагаемого рекомбинационного типа в диффузионной задаче в области влияния стока. Суть его состоит в следующем: вблизи границы стока этим слагаемым, как и ранее, пренебрегаем в силу малости концентрации точечных дефектов; вблизи границы области влияния нелинейную часть диффузионного уравнения приближенно лианеризуем из-за малости градиента концентрации. В качестве точки сшивки концентрации и потока предлагается выбрать точку перегиба квадрата концентрации. Сравнение точных и приближенных решений приведено для линейной и сферически симметричной задач.
Запропоновано спосіб приблизного урахування квадратичного додатку рекомбінаційного типу у дифузійній задачі в області впливу стоку. Суть його полягає у наступному: поблизу границі стоку цим додатком, як і раніше, нехтуємо в силу малості концентрації точкових дефектів; поблизу границі області впливу нелінійну частину дифузійного рівняння приблизно ліанеризуємо в силу малості градієнта концентрації. В якості точки зшивки концентрації та потоку пропонується вибрати точку перегину квадрату концентрації. Порівняння точних та приблизних рішень наведено для лінійної та сферично симетричної задач.
А method of taking into account the quadratic term responsible for the bulk recombination of point defects in the diffusion problem in the sink region of influence is proposed. It is based on linearization of the diffusion equation near the vicinity of the boundary of the sink region of influence, where the concentration gradient is sufficiently small. The approximate analytical solution agrees very well with the exact numerical one for the spherically symmetrical case and with exact analytical one for the linear case.
|
| issn |
1562-6016 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17375 |
| citation_txt |
Метод учета рекомбинации точечных дефектов в теории диффузионных процессов в кристаллах под облучением / В.В. Слёзов, П.Н. Остапчук // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 5. — С. 15-20. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT slezovvv metodučetarekombinaciitočečnyhdefektovvteoriidiffuzionnyhprocessovvkristallahpodoblučeniem AT ostapčukpn metodučetarekombinaciitočečnyhdefektovvteoriidiffuzionnyhprocessovvkristallahpodoblučeniem AT slezovvv metodurahuvannârekombínacíítočkovihdefektívuteoríídifuzíinihprocesívvkristalahpídopromínennâm AT ostapčukpn metodurahuvannârekombínacíítočkovihdefektívuteoríídifuzíinihprocesívvkristalahpídopromínennâm AT slezovvv methodofintroducingbulkrecombinationofpointdefectsintheratetheoryofcrystalsunderirradiation AT ostapčukpn methodofintroducingbulkrecombinationofpointdefectsintheratetheoryofcrystalsunderirradiation |
| first_indexed |
2025-11-25T16:20:12Z |
| last_indexed |
2025-11-25T16:20:12Z |
| _version_ |
1850520045021560832 |
| fulltext |
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2010. №5.
Серия: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение (96), с. 15-20. 15
МЕТОД УЧЕТА РЕКОМБИНАЦИИ ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ
В ТЕОРИИ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В КРИСТАЛЛАХ
ПОД ОБЛУЧЕНИЕМ
В.В. Слезов1, П.Н. Остапчук2
1Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт»,
Харьков, Украина;
2Институт электрофизики и радиационных технологий НАН Украины,
Харьков, Украина
E-mail: ostapchuk@kipt.kharkov.ua
Предложен способ приближенного учета квадратичного слагаемого рекомбинационного типа в
диффузионной задаче в области влияния стока. Суть его состоит в следующем: вблизи границы стока этим
слагаемым, как и ранее, пренебрегаем в силу малости концентрации точечных дефектов; вблизи границы
области влияния нелинейную часть диффузионного уравнения приближенно лианеризуем из-за малости
градиента концентрации. В качестве точки сшивки концентрации и потока предлагается выбрать точку
перегиба квадрата концентрации. Сравнение точных и приближенных решений приведено для линейной и
сферически симметричной задач.
PACS: 66.30.LW
Как известно, облучение кристалла приводит,
прежде всего, к смещению атомов из узлов
кристаллической решетки, образуя при этом пары
точечных дефектов (ТД) – вакансий и собственных
межузельных атомов (СМА). Их дальнейшая судьба
– уход на стоки или объемная рекомбинация.
Центральной задачей теории является вычисление
потоков ТД на каждый тип стока (пору,
дислокацию, межзеренную границу и т.д.). При этом
вводятся понятия области влияния данного стока и
эффективной поглощающей среды, моделирующей
наличие других стоков [1-3]. По определению, в
области влияния нет иных стоков, кроме
выделенного, и ТД, рождаемые в ней облучением,
поглощаются только содержащимся в ней же стоком
либо рекомбинируют. ТД, рождаемые вне области
влияния данного стока, поглощаются другими
стоками или опять же рекомбинируют. Искомые
потоки вычисляются в стандартном приближении
развитой структуры стоков, когда длина
диффузионного пробега ТД относительно
рекомбинации много больше среднего расстояния
между стоками. Тогда рекомбинация учитывается
только в общем балансе ТД, а в области влияния
стока ею пренебрегают.
В данном сообщении предлагается способ
приближенного учета рекомбинационного
слагаемого в диффузионной задаче в области
влияния стока. Основную физическую идею можно
изложить на простой, точно решаемой, модельной
задаче:
2
2
2 0d CD K C
dx
β+ − = ; ; |x LC = = 0
0
|x L
dC
dx = = 0 , (1)
где - концентрация ТД; - коэффициент
диффузии;
( )C x D
K - интенсивность источника ТД,
смещ./(ат.·с); β - скорость их взаимной
рекомбинации. Введем безразмерные /x x l=% и
где 0/C C C=% , 0 /C K β= , а 2 /l D Kβ= .
Тогда (1) переписывается в виде:
2
2
2 1 0d C C
dx
+ − =
%
%
%
; ; |x RC = =%
% 0
0
|x R
dC
dx = 0=%
%
%
; /R L l= ; 0 0 /R L l= . (2)
Умножая (2) на и интегрируя с учетом
граничных условий, получаем решение в неявном
виде:
/dC dx%
( )
1/2
2 20
1
2
1
3
C dc x R
C C c cC c
∗ ∗
∗
= −
⎡ ⎤⎛ ⎞+ +
− −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
%
%
% %
%
;
0
|x RC C∗
= =%
% % . (3)
При этом имеем искомый поток на условный
«сток» вида:
( )32| | 2
3x L x R
dC dCD Kl Kl C C
dx dx
∗ ∗
= == = −%
%
% %
%
(4)
и для его определения достаточно найти граничную
концентрацию ∗C% . Заметим, что при 0x R=%
соотношение (3) как раз и является уравнением для
C∗% . Рассмотрим два предельных случая. Первый,
0 1R << . В этом случае из (3) следует, что
( )01/ 2C R∗ R≈ −% , а из (4) –
( )0| 2x L
dCD Kl C K L L
dx
∗
= ≈ = −% . Второй,
. Очевидно, что здесь 0 1R >> 1C∗% , т.е
1C ε∗ = −% , где ε - малый параметр. В линейном
приближении по ε из (3) нетрудно получить
mailto:ostapchuk@kipt.kharkov.ua
( )( 01 2exp 2C∗ ≈ − − −% )R R , а из (4) –
2|
3x L
dCD Kl
dx = ≈ .
Введенный характерный масштаб физически
выделяет в уравнении (1) две области: в одной
(
l
L x l≤ < ) из них доминирует диффузионное
слагаемое, в другой ( ) - существенную
роль играет рекомбинация. Если
( ), то роль рекомбинации в (1)
пренебрежимо мала, и мы получаем очевидный
результат: все что рождается в области
0l x L< ≤
0l L>>
0 1R <<
0L x L≤ <
поглощается «стоком». В случае ( )
появляется область сильной рекомбинации. Здесь
концентрационный профиль быстро
выполаживается, выходя на значение . Интерес,
однако, представляет не концентрация, а ее квадрат.
Дело в том, что производная от равна нулю на
границах и положительна всюду внутри интервала
0l L< 0 1R >
C∗%
2C%
9R x R< <% . Это означает, что она имеет точку
максимума, а , соответственно, точку перегиба 2C%
x∗% :
2 2
2 |x x
d C
dx ∗= =% %
%
%
0.
C%
Ширина максимума определяет
переходную область, слева от которой (ближе к
«стоку») концентрация мала, а значит, роль
рекомбинационного слагаемого не существенна, и
им можно пренебречь. Справа (ближе к внешней
границе) – мал градиент. Здесь концентрация
меняется слабо, ее значение порядка , поэтому
. Интуитивно понятно,
что масштаб порядка находится именно в этой
переходной области, где все слагаемые в (2) одного
порядка. Предполагая далее, что ширина
переходной области «достаточно» мала, мы
предлагаем заменить исходную диффузионную
задачу (2) на ее приближенный вариант:
C∗%
2(1 ) (1 )(1 )C C ∗− ≈ − +% %
l
2
2 1 0d C
dx
+ =
%
%
; , 00| 0xC = =%
% x x∗≤ ≤% % ; (5)
( )( )
2
2 1 1d C C C
dx
∗+ − + =
%
% %
%
0 , | 0x R
dC
dx = =%
%
%
,
x x R∗ ≤ ≤% % ,
а в качестве границы x∗% , разделяющей упомянутые
выше области, выбрать точку перегиба : 2C%
( )
2
2| 1 |x x
dC C C
dx ∗=
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
% % % %
%
% %
% x x∗= . (6)
В первой области пренебрегли
рекомбинационным слагаемым, а во второй –
заменили нелинейную часть линейной, учитывая
пологость и малое отличие от ( )C x% % C% C∗% .
Уравнение (6) получено с учетом (2) и является
математическим определением границы раздела
областей. Недостающими уравнениями являются
два условия сшивки в точке x∗% : концентрации и
потока.
Решения (5) имеют вид:
( ) ( )2 21( )
2
C x R x b x R= − + −% % % % , 0 x x∗≤ ≤% % ;
( ) ( )0( ) 1 1 ch 1C x C C R x∗ ∗⎡ ⎤= − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
% % %% % ,
0x x R∗ ≤ ≤% % . (7)
Условия сшивки концентраций и потоков в точке
x∗% определяют коэффициент и граничную
концентрацию C
b
∗% :
( ) ( )01 1 sh 1b x C C C R x∗ ∗ ∗
∗ ∗
⎡ ⎤= + − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦
% % %% % ;
(8)
( )2 2
0
1 11 1 ( , ,
2 2
, );x Rx R C F R R x C∗ ∗
∗ ∗ ∗
⎛ ⎞− − − = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
% %% % %
(9)
( ) ( )
( )
0
0
0
( , , , )
1 sh 1
ch 1 ,
F R R x C
C x R C R x
C R x
∗
∗
∗ ∗
∗ ∗
∗
∗
=
⎡ ⎤= + − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦
%%
% %% %
% %
а дополнительное физическое условие (6) дает
уравнение для определения x∗% . Сразу заметим, что
правая часть (9) всегда отрицательна, поэтому мы
имеем ограничение 2x R∗ < +% . Далее введем
формально обозначение:
( ) ( 01 ch 1C C Rα ∗ ∗
∗ )x⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
% % % . Тогда с
учетом соотношения
уравнения (6), (9) принимают вид:
2 2( ) ( ) 1ch x sh x− =
( ) ( )( ) ( )(
221 1 1 2C C )α α α α∗ ∗+ − − = − −% % ; (10)
( )( )( )
( )( )
2
2
1 1 2
2
11 1 2
2
x R x
R R
α α α
α α α α
∗ ∗− − − − −
⎛ ⎞ 0.− − − + − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
% %
(11)
Кубическое уравнение (10) имеет три
вещественных корня для всех значений C∗% в
интервале 0 1C∗≤ ≤% : один отрицательный и два
положительных. Как следует из (11), физическим
является корень, принадлежащий интервалу
0 1α≤ ≤ . И такой корень действительно есть для
любого C∗% , поэтому никаких противоречий не
возникает. Из (11) имеем
16
( )( ) ( )
21 2 1 1
2
( ),
x R
R f
α α α
α α
α
∗
⎡ ⎤
= + − − + − ≡⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
≡ +
%
а из (10) находим α как функцию C ; подставляем
в определение величины
∗%
α и получаем уравнение
для C ∗%
( ) ( ) ( )01 ch 1C C C R Rα ∗ ∗ ∗⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
% % %
+ 1 ( ( ))]C f Cα∗ ∗+ % % (12)
решив которое, найдем все интересующие нас
величины, в частности, поток на условный сток:
( ) ( )( )| 1x L
dCD Kl x R Kl
dx
2α α α= ∗= − + − −% .
Последний, как видно, содержит два слагаемых.
Первое имеет очевидный физический смысл: все что
рождается в области R x x∗< <% % поглощается
«стоком», рекомбинацией здесь пренебрегаем.
Второе – поток из области 0x x R∗ < <% % , где
рекомбинация играет существенную роль. Решить
(12) в общем виде можно только численно. Поэтому
рассмотрим предельный случай 0R R , когда
. Заменяя в (10) единицей, в нулевом
приближении получаем:
1C∗% C∗%
5 17
2
α −
= ; ( )x R f α∗ = +% ;
2
1( ) 2 1 1f αα α
α
⎛ ⎞−
= +⎜⎜
⎝ ⎠
( )
2
|
12 2 1
x L
dCD Kl x R
dx
Kl Kl αα α
α
= ∗= − +
−
+ = +
%
Следующее приближение дает
( ) ( )( )01 2 exp 2 ( ) exp 2C fα α∗ ≈ − − −% R R .
(14)
Подставив его в (10), найдем поправку к α , x∗% и
т.д. Заметим, что выражение для C∗% (14)
отличается от аналогичного выражения,
полученного по точному решению (3) задачи (2),
множителем ( )exp 2 ( ) 1.036fα α ≈ , а поток на
условный «сток» (13) содержит множитель
2
12 1 1.228αα
α
−
+ ≈ в отличие от
2 / 3 1.155≈ , полученного ранее. Видно, что
различия не существенны с учетом приближенного
характера самих решений.
Для примера выберем и 0.1R = 0 3R = .
Численное решение (10)-(12) дает , 0.96C∗ =%
0.704x∗ =% ; приближенные соотношения (13), (14)
соответственно и 0.97C∗ =% 0.708x∗ =% .
Сравнение точного (3) и приближенного решений
(7) для и приведено на рис. 1, 2.
Графики, соответствующие приближенному
решению, лежат чуть выше точного решения. Это
указывает на то, что приближенная схема все же
немного занижает роль рекомбинационного
слагаемого.
( )C x% % 2( )C x% %
− ⎟⎟ ; (13)
2
-- в первой области (7)
······ во второй области (7)
- - - по точному решению (3)
---- в первой области (7)
······ во второй области (7)
- - - по точному решению (3)
Рис. 1. Концентрация по приближенному (7) и
точному (3) решениям для и 0.1R = 0 3R =
Рис. 2. Квадрат концентрации по приближенному
(7) и точному (3) решениям для и 0.1R = 0 3R =
Посмотрим теперь какая ситуация с реальными
стоками на примере сферической симметрии. Для
такого типа стока приближенная диффузионная
задача в области его влияния аналогично (5)
формулируется следующим образом:
кв
ад
ра
т
ко
нц
ен
тр
ац
ии
ко
нц
ен
тр
ац
ия
безразмерное состояние безразмерное состояние
17
2
2
1 1 0d dCx
x dx dx
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
%
; |x RC = 0=%% ; R x x∗≤ ≤% % ; /x r l= ; (15)
( )( )2
2
1 1 1d dCx C C
x dx dx
∗⎛ ⎞
+ − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
%
% % 0 ;
0
|x R
dC
dx = 0=%
%
; 0x x R∗ ≤ ≤ %% ,
где и R% 0R% – безразмерные радиус и размер области влияния стока; C∗% - концентрация ТД на 0R% .
Решения (15) имеют вид:
( )2 21 1( )
6
C x R x b 1
R x
⎛ ⎞= − + −⎜
⎝ ⎠
% %
% ⎟ ; R x x∗≤ ≤% % ; (16)
( ) ( ){ }0 0
1 1( ) 1 1 1 1
1
CC x R C ch C R x sh C R x
xC
∗
∗ ∗ ∗
∗
−
0
⎡ ⎤ ⎡= − + + − − + − ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣+
%
% % %% %
% ⎦
% % ;
0x x R∗ ≤ ≤ %% .
Сшивка концентраций и потоков в точке x x∗= % определяет константу и дает уравнение для b C∗% :
( )( )
3
0 0 0 0
1 ( , ) ( , ) 1 1 ( , )
3 1
x Cb R x ch R x C x R sh
C
ϕ ϕ ϕ
∗
∗∗
∗ ∗ ∗∗
− ⎡ ⎤R x∗⎡ ⎤ ⎡= + + + − ⎤⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥⎣ ⎦+
%% %% % % %% % %
% ⎦% ; (17)
( ) ( )( )3 2 2
0
1 1 11 1 , , , 1
3 2 6
x x R C R R x C
R
∗ ∗
∗ ∗ ∗
⎛ ⎞− − − = − − Φ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
%% % %% % %
%
% ; (18)
( ) ( )( )0 0 0
1 1 ( , ) 1 1
1
C R x R ch R x C x R R sh R x
R C
ϕ ϕ∗ ∗
∗ ∗ ∗∗
⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ 0( , )∗⎡ ⎤ ⎡Φ = + − − + + − − ⎤⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦+
% %% % % % % %% % %
%% ⎦% ,
где (0( , ) 1 )0R x C Rϕ ∗
∗ = + −%% % x∗% % . Наконец, дополнительное физическое условие (оно же уравнение для
точки сшивки) в данном случае имеет вид:
( )
2
22| | 1 |x x x x
dC dCC C C
dx x dx∗ ∗= =
∗
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
% %
% %
% % %
% x x∗= %
) >
. (19)
Отметим два момента. Во-первых, что
. Это обстоятельство,
как и в рассмотренном выше случае, приводит к
ограничению на
( )( 0, , , 1 0R R x C∗
∗Φ + %% % %
x∗% . Поскольку , то правая
часть (18) положительная. Кубическое уравнение в
левой части (18) имеет один действительный
корень, поэтому значение
1C∗ <%
x∗% должно быть меньше
значения этого корня. Во-вторых, входит в
уравнение для
C∗%
x∗% (19) через комбинацию ( )1 C∗+ % ,
что допускает схему последовательных
приближений. Так, выразив из (18) сомножитель
и подставив его в (16), найдем
концентрацию и ее производную в любой точке
«
( )1 C∗− %
x ». Затем подставим их в (19) и получим явное
уравнение для точки сшивки, в которое будет
входить через
C∗%
( )1 C∗+ % . В нулевом приближении
можно положить ( )1 C∗ 2+ =% , и тогда (19)
определит нам x∗% . Это значение подставим в (18) и
найдем уточненное значение для и т. д.
Оказывается, что, если
C∗%
0R R>>% % , достаточно одной
итерации, поскольку значение x∗% практически не
чувствительно к малым изменениям . Такова
схема численного счета. Аналитическое
рассмотрение возможно лишь в предельном случае
C∗%
0R x∗% % , когда справедливо следующее
приближение:
( ) ( ) (0 01 1 1/ 2exp 1ch C R x sh C R x C R x∗ ∗ ∗
∗ ∗
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − ≈ + − ≈ + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
% % %% %% % )0 ∗
% % . (20)
Можно проверить, что при этом имеет место простое соотношение
18
( ) 1| 1 ( ) | 1x x x x
dC C x C
dx x∗ ∗
∗
= =
∗
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
% %
%
% %
%
, (21)
связывающее концентрацию в точке сшивки с ее производной, а сама концентрация имеет вид:
(( ) | 1 , ,x x
RC x F R x C
x∗
)∗=
∗
= +%
%
% % %
% ∗
% ; (22)
( ) ( )( ) 1
3 2 21 1 1, , 1 1 1
3 2 6
F R x C x x R C x R
R
−
∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
% %% %% % % %
%
% .
Подставляя (21) и (22) в (19), получаем следующее уравнение:
( ) ( ) 1
23 , , 2 1 1 2 1R R RF R x C R C F x F F x C
x x x
−
∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
⎛ ⎞⎛ ⎞
− = + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
% % %
% % %% %% % %
% % %
1∗ + . (23)
Если предположить, что x∗% пропорционален , то, учитывая что R% 1R <% , в нулевом приближении
получаем , а 1F ≈ − ( )3 / 2x R∗ ≈ %% . Что касается C∗% , то для нее из (18) имеем уравнение
( ) 0
0
2 11 , , exp 1 (
1 1
R CC F R x C C
R C
∗
∗ ∗
∗ ∗∗
+ )R x∗⎡ ⎤= + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦+ −
%%
% %% % %
%%
% % , (24)
поэтому поправка к единице будет иметь вид
0
0
2 21 exp 2( 3 /
2 1
RC
R
∗ 2 )R R⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦−
%
% %
%
% . В
качестве примера положим , а .
Численный счет по уравнениям (18), (19) дает
и , численный счет по
уравнениям (22), (23) – и то же
значение для точки сшивки, наконец, последнее
соотношение дает . Видно, что
выбранное приближение (20) достаточно удачное. В
данном случае точного аналитического решения у
нас нет, поэтому сравнивать (16) можно лишь с
численным решением исходной нелинейной
диффузионной задачи. Это решение нам
предоставил доктор физико-математических наук
Туркин А.А. в частном порядке. Сравнение этого
решения с приближенным (модельным) (16)
приведено на рис. 3, 4. Согласие хорошее, и это
позволяет надеяться на то, что предложенный
способ учета рекомбинации может быть
использован при вычислении потоков ТД на стоки
уже в реальных физических задачах радиационной
изики.
0.1R =% 0 1.5R =%
0.149x∗ =% 0.966C∗ =%
0.964C∗ =%
0.963C∗ =% ф
- · - ·- точный численный расчет
в первой области (16)
• • • - во второй области (16)
Рис. 3. Концентрация по приближенному
решению (16) и точному численному счету исходной
нелинейной диффузионной задачи в сферической
симметрии для и 0.1R =% 0 1.5R =%
- · - · - точный численный расчет
в первой области (16)
• • • - во второй области (16)
Рис. 4. Квадрат концентрации по
приближенному решению (16) и точному
численному счету исходной нелинейной
диффузионной задачи в сферической симметрии
для и 0.1R =% 0 1.5R =%
кв
ад
ра
т
ко
нц
ен
тр
ац
ии
ко
нц
ен
тр
ац
ия
безразмерное состояние безразмерное состояние
19
Под реальными имеются в виду, прежде всего,
задачи с учетом упругого взаимодействия ТД со
стоками. По этой причине в данной работе
отсутствует случай с цилиндрической симметрией,
связанной с дислокациями, для которых оно имеет
принципиальное значение. Кроме того, здесь размер
области влияния стока считается заданным. На
самом деле он должен определяться
самосогласованным образом [2,3].
Авторы благодарны НТЦУ за частичную
финансовую поддержку работы по проекту № 4962.
ЛИТЕРАТУРА
1. A.D. Brailsford, R. Bullough. The theory of sink
strengths // Philos. Trans of Roy. Soc. 1981,
v. A302, p. 87-137.
2. В.В. Слезов. Диффузионная скорость роста
макродефектов в ансамблях // ФТТ. 1989, т.31,
№8, с.20-30.
3. В.В. Слезов. П.Н. Остапчук. К теории вакан-
сионного распухания металлов. I. Радиационные
потоки точечных дефектов на пору и
дислокацию // ФТТ. 1990, т.32, №10,
с .3047-3053.
Статья поступила в редакцию 13.09.2010 г.
МЕТОД УРАХУВАННЯ РЕКОМБІНАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ У ТЕОРІЇ
ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ В КРИСТАЛАХ ПІД ОПРОМІНЕННЯМ
В.В. Сльозов, П.М. Остапчук
Запропоновано спосіб приблизного урахування квадратичного додатку рекомбінаційного типу у
дифузійній задачі в області впливу стоку. Суть його полягає у наступному: поблизу границі стоку цим
додатком, як і раніше, нехтуємо в силу малості концентрації точкових дефектів; поблизу границі області
впливу нелінійну частину дифузійного рівняння приблизно ліанеризуємо в силу малості градієнта
концентрації. В якості точки зшивки концентрації та потоку пропонується вибрати точку перегину квадрату
концентрації. Порівняння точних та приблизних рішень наведено для лінійної та сферично симетричної
задач.
METHOD OF INTRODUCING BULK RECOMBINATION OF POINT DEFECTS IN THE
RATE THEORY OF CRYSTALS UNDER IRRADIATION
V.V. Slezov, P.N. Ostapchuk
А method of taking into account the quadratic term responsible for the bulk recombination of point defects in the
diffusion problem in the sink region of influence is proposed. It is based on linearization of the diffusion equation
near the vicinity of the boundary of the sink region of influence, where the concentration gradient is sufficiently
small. The approximate analytical solution agrees very well with the exact numerical one for the spherically
symmetrical case and with exact analytical one for the linear case.
20
|