Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі

Викладено процедуру розв’язання плоскої задачі лінійної теорії в’язкопружності методом скінченних елементів. На основі принципу віртуальної роботи та припущення про сталість швидкості деформацій на малих проміжках часу записано матричну форму рівнянь рівноваги скінченно-елементної апроксимації тіл...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2020
Hauptverfasser:	Селіванов, М.Ф., Кульбачний, Є.Р., Онищенко, Д.Р.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2020
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Механіка
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173761
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі / М.Ф. Селіванов, Є.Р. Кульбачний, Д.Р. Онищенко // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 10. — С. 28-34. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-173761
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1737612025-02-09T14:19:07Z Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі Determining the stress concentration change with time in a viscoelastic orthotropic solid Селіванов, М.Ф. Кульбачний, Є.Р. Онищенко, Д.Р. Механіка Викладено процедуру розв’язання плоскої задачі лінійної теорії в’язкопружності методом скінченних елементів. На основі принципу віртуальної роботи та припущення про сталість швидкості деформацій на малих проміжках часу записано матричну форму рівнянь рівноваги скінченно-елементної апроксимації тіла. Процедуру розв’язання описано для визначальних співвідношень в інтегральній формі Больцмана—Вольтерра. Цей інтеграл перетворюється до інкрементної форми на часовій сітці, на кожному інтервалі якої задача розв’язується методом скінченних елементів з невідомими приростами переміщень. Числову процедуру побудовано за нерівномірного розбиття інтервалу часу, на якому проводиться дослідження. В цьому випадку матриця жорсткості потребує переобчислення на кожному часовому кроці. Функції релаксації модулів в’язкопружного ортотропного матеріалу описано у формі ряду Проні—Діріхле. Представлено розв’язок задачі про визначення зміни з часом концентрації напружень в тілі з круглим отвором у в’язкопружній ортотропній пластині. Для побудови числового розв’язку три модулі ортотропного матеріалу записано з допомогою однієї експоненти з тим самим часом релаксації. Для цих вихідних даних побудовано аналітичний вираз для в’язкопружних компонент матриці жорсткості ортотропної пластини в умовах плоского напруженого стану. Числові приклади представлено для декількох співвідношень радіуса отвору та розміру пластини. Ці результати зіставлені з розв’язком, отриманим для нескінченної пластини шляхом оберненого перетворення числовим методом відомого аналітичного розв’язку пружної задачі. The procedure for solving the plane problem of the linear theory of viscoelasticity by the finite element method is described. Based on the virtual work principle and the assumption of the constancy of the strain rate at small intervals of time, the matrix form of the equilibrium equations of the finite-element approximation of a body is written. The solution procedure is described for the constitutive relations in the Boltzmann—Volterra integral form. This integral is transformed into an incremental form on a time mesh, at each interval of which the problem is solved by the finite element method with unknown increments of displacements. The numerical procedure is constructed by ununiformly dividing the time interval, at which the study is conducted. In this case, the stiffness matrix requires recalculation at each time step. The relaxation functions of the moduli of a viscoelastic orthotropic material are described in the form of the Proni—Dirichlet series. The solution to the problem of determining the change over time of the stress concentration in a body with a round hole in a viscoelastic orthotropic plate is presented. To construct a numerical solution, the three moduli of orthotropic material were written using one exponent with the same relaxation time. For these initial data, an analytic expression for the viscoelastic components of the stiffness matrix of an orthotropic plate under plain stress conditions is constructed. Numerical examples are presented for several ratios of the hole radius to the size of the plate. These results are compared with the solution obtained for an infinite plate by inverse transformation by a numerical method of the well-known analytic elastic solution. 2020 Article Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі / М.Ф. Селіванов, Є.Р. Кульбачний, Д.Р. Онищенко // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 10. — С. 28-34. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.10.028 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173761 539.421 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Механіка Механіка
spellingShingle	Механіка Механіка Селіванов, М.Ф. Кульбачний, Є.Р. Онищенко, Д.Р. Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі Доповіді НАН України
description	Викладено процедуру розв’язання плоскої задачі лінійної теорії в’язкопружності методом скінченних елементів. На основі принципу віртуальної роботи та припущення про сталість швидкості деформацій на малих проміжках часу записано матричну форму рівнянь рівноваги скінченно-елементної апроксимації тіла. Процедуру розв’язання описано для визначальних співвідношень в інтегральній формі Больцмана—Вольтерра. Цей інтеграл перетворюється до інкрементної форми на часовій сітці, на кожному інтервалі якої задача розв’язується методом скінченних елементів з невідомими приростами переміщень. Числову процедуру побудовано за нерівномірного розбиття інтервалу часу, на якому проводиться дослідження. В цьому випадку матриця жорсткості потребує переобчислення на кожному часовому кроці. Функції релаксації модулів в’язкопружного ортотропного матеріалу описано у формі ряду Проні—Діріхле. Представлено розв’язок задачі про визначення зміни з часом концентрації напружень в тілі з круглим отвором у в’язкопружній ортотропній пластині. Для побудови числового розв’язку три модулі ортотропного матеріалу записано з допомогою однієї експоненти з тим самим часом релаксації. Для цих вихідних даних побудовано аналітичний вираз для в’язкопружних компонент матриці жорсткості ортотропної пластини в умовах плоского напруженого стану. Числові приклади представлено для декількох співвідношень радіуса отвору та розміру пластини. Ці результати зіставлені з розв’язком, отриманим для нескінченної пластини шляхом оберненого перетворення числовим методом відомого аналітичного розв’язку пружної задачі.
format	Article
author	Селіванов, М.Ф. Кульбачний, Є.Р. Онищенко, Д.Р.
author_facet	Селіванов, М.Ф. Кульбачний, Є.Р. Онищенко, Д.Р.
author_sort	Селіванов, М.Ф.
title	Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі
title_short	Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі
title_full	Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі
title_fullStr	Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі
title_full_unstemmed	Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі
title_sort	дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Механіка
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173761
citation_txt	Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі / М.Ф. Селіванов, Є.Р. Кульбачний, Д.Р. Онищенко // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 10. — С. 28-34. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT selívanovmf doslídžennâzmínikoncentracíínapruženʹzčasomuvâzkopružnomuortotropnomutílí AT kulʹbačnijêr doslídžennâzmínikoncentracíínapruženʹzčasomuvâzkopružnomuortotropnomutílí AT oniŝenkodr doslídžennâzmínikoncentracíínapruženʹzčasomuvâzkopružnomuortotropnomutílí AT selívanovmf determiningthestressconcentrationchangewithtimeinaviscoelasticorthotropicsolid AT kulʹbačnijêr determiningthestressconcentrationchangewithtimeinaviscoelasticorthotropicsolid AT oniŝenkodr determiningthestressconcentrationchangewithtimeinaviscoelasticorthotropicsolid
first_indexed	2025-11-26T18:05:54Z
last_indexed	2025-11-26T18:05:54Z
_version_	1849877185301577728
fulltext	28 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 10: 28—34 Вступ і постановка задачі. В’язкопружні матеріали, такі як твердопаливні речовини, полі- мери і композити на їх основі, все частіше використовуються в промисловості. Як відомо, властивості в’язкопружних матеріалів є спадковими. Механічна поведінка в задачах в’яз- копружності залежить як від поточного моменту часу так і від всієї історії. Дуже часто рі- вень напружень є порівняно низьким, час завантаження не є тривалим. Механічні власти- Ц и т у в а н н я: Селіванов М.Ф., Кульбачний Є.Р., Онищенко Д.Р. Дослідження зміни концентрації на п- ружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 10. С. 28—34. https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.10.028 https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.10.028 УДК 539.421 М.Ф. Селіванов, Є.Р. Кульбачний, Д.Р. Онищенко Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка, НАН України, Київ E-mail: mfs@ukr.net, jeniakulb@gmail.com, donishenko@kse.org.ua Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі Представлено академіком НАН України Я.М. Григоренком Викладено процедуру розв’язання плоскої задачі лінійної теорії в’язкопружності методом скінченних еле- ментів. На основі принципу віртуальної роботи та припущення про сталість швидкості деформацій на малих проміжках часу записано матричну форму рівнянь рівноваги скінченно-елементної апроксимації тіла. Процедуру розв’язання описано для визначальних співвідношень в інтегральній формі Больцмана— Вольтерра. Цей інтеграл перетворюється до інкрементної форми на часовій сітці, на кожному інтервалі якої задача розв’язується методом скінченних елементів з невідомими приростами переміщень. Числову процедуру побудовано за нерівномірного розбиття інтервалу часу, на якому проводиться дослідження. В цьому випадку матриця жорсткості потребує переобчислення на кожному часовому кроці. Функції ре- лаксації модулів в’язкопружного ортотропного матеріалу описано у формі ряду Проні—Діріхле. Пред- ставлено розв’язок задачі про визначення зміни з часом концентрації напружень в тілі з круглим отвором у в’язкопружній ортотропній пластині. Для побудови числового розв’язку три модулі ортотропного ма- теріалу записано з допомогою однієї експоненти з тим самим часом релаксації. Для цих вихідних даних по- будовано аналітичний вираз для в’язкопружних компонент матриці жорсткості ортотропної пластини в умовах плоского напруженого стану. Числові приклади представлено для декількох співвідношень радіуса отвору та розміру пластини. Ці результати зіставлені з розв’язком, отриманим для нескінченної пластини шляхом оберненого перетворення числовим методом відомого аналітичного розв’язку пружної задачі. Ключові слова: концентрація напружень, в’язкопружна ортотропна пластина, інкрементне в’язко- пруж не формулювання, метод скінченних елементів МЕХАНІКА 29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 10 Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі вості багатьох в’язкопружних матеріалів дуже часто можна змоделювати в рамках ліній ної теорії в’язко- пружності. Існують два основних типи підходів до визначен- ня напружено-деформованого стану в лінійному в’язко- пружному середовищі. Перший використовує класич- ний принцип від повідності між пружністю та в’язко- пружністю [1]. Однак через складну структуру роз в’я- зання задачі теорії пружності ускладнюється перехід із області перетворення, внаслідок чого аналітичні розв’язки є обмеженими лише деякими простими за- дачами. Для складних задач визначення напружено- деформованого стану у лінійно в’язкопружному тілі, розв’язок часто отримується за допомогою числового оберненого перетворення [2—4]. У якості другого підходу використовується числовий метод визначення напружено- деформівного стану. Метод скінченних елементів — один із найпоширеніших обчислю- вальних методів. Він успішно використовується і для розв’язання в’язкопружних задач [5, 6]. Рівняння зв’язку між напруженнями та деформаціями записуються в інтегральній формі, що включає функції релаксації, та перетворюються до інкрементної форми для імплементації в розрахункову схему методу скінченних елементів. Реалізація підходу зна- чно спрощується за умов ізотопії матеріалу. Для такої постановки розв’язано багато задач про деформування та руйнування конструкцій з в’язкопружних матеріалів. Водночас май- же немає ілюстрацій підходу у випадку в’язкопрупружного ортотропного матеріалу. В даній роботі у рамках другого підходу розв’язано задачу про зміну з часом концен- трації напружень в точці контуру круглого отвору у скінченній в’язкопружній ортотроп- ній пластині. Числові розв’язки порівняно з результатами, отриманими в рамках першого підходу для нескінченної пластини. Розрахунки проведемо для квадратної пластини зі стороною 2A з центральним кру- говим отвором радіуса R . Пластину в умовах плоского напруженого стану (з одиничною товщиною) навантажено розтягувальним навантаженням p . Об’ємні сили відсутні. Ма те- ріал вважаємо ортотропним лінійно в’язкопружним із залежними від часу модулями 11E , 22E , 21ν та 12G . Тіло знаходиться в однорідному температурному полі, переміщення є малими. В силу симетрії отримаємо розв’язок для чверті пластини Ω , яка зображена на рис. 1. Приймемо, що на частині поверхні тіла 1∂ Ω задано переміщення ˆiu , а на частині 2∂ Ω прикладені поверхневі сили iT . Система рівнянь для визначення напружено—деформова- ного стану тіла: σ = ε = + ∈Ω = ∈∂ Ω σ = ∈∂ Ω σ = ∗ε , , , 1 , 2 1 0, ( ), , 2 ˆ , , , , , ij j ij i j j i i i i i ij j j i i ij ijkl kl u u x u u x n T x C Рис. 1 30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 10 М.Ф. Селіванов, Є.Р. Кульбачний, Д.Р. Онищенко де ijσ , ijε і ijklC — компоненти тензорів напружень, деформацій та функцій релаксації; ∗ — оператор згортки; iu , iT та in — компоненти векторів переміщень, поверхневих сил та одиничного вектора нормалі до поверхні тіла, 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ 0, [ , ], 0, ˆ 0, [ , ], 0, , [0, ], . u x R A x u x R A x T p x A x A = ∈ = = ∈ = = ∈ = Розв’язання задачі. Вважатимемо лінійно в’язкопружним матеріал, для якого спів від но- шення між напруженнями та деформаціями мають форму Больцмана—Вольтерра ( ) ( )d ( ) t ij ijkl klt C t −∞ σ = − τ ε τ∫ . Приймаємо, що функції релаксації матеріалу можна визначити в формі ряду Проні—Діріхле ( ) ( )( ) exp{ / }m m ijkl ijkl ijkl ijkl m C t E E t∞= + − ρ∑ (без сумування за індексами, що повторюються). Для імплементації в’язкопружної моделі в розрахункову схему метода скінченних елементів запишемо приріст напружень на часовому інтервалі 1( , )n nt t− ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )ˆ , ( ), 1,n n n n n n ij nij ij ij ij ij ij t n−Δσ ≡ σ −σ = −σ +σ σ = σ =  де 1 ( ) 1[ ( ) ( )]d ( ) nt n ijkl n ijkl nij C t C t − − −∞ σ = − − τ − − τ ε τ∫ , 1 ( )ˆ ( )d ( ) n n t n ijkl n klij t C t − σ = − τ ε τ∫ . Якщо навантаження прикладено миттєво в момент часу 0t , (1) (0) 1 0[ ( ) ( )]ijkl ijklij klC t C tσ = − − ε , причому нульовий верхній індекс в дужках відповідає миттєвому (пружному) розв’язку задачі. За відсутності об’ємних сил та незмінного з часом зовнішнього навантаження, засто- суємо для елемента інкрементну форму принципу віртуальної роботи ( ) ( ) ( )d dn n n iij ij i e e V T u S Ω ∂Ω σ δε = δ∫ ∫ , (1) де δ — варіаційний оператор, eΩ і e∂Ω — область елемента та границя, на якій прикладено поверхневі сили, відповідно; ( ) ( )n ij nij tε = ε , ( ) ( )n i niu u t= — деформації та переміщення в мо- мент часу nt ; iT — незмінні з часом поверхневі сили, 31ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 10 Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ),n n n n n n ij ij ij i i iu u u− −ε = ε + Δε = + Δ . Приймемо ( ) ( ) ( ) ( )( ), ( )n n n n ij ij i iu uδε = δ Δε δ = δ Δ , і підставимо ці вирази в (1). Швидкості деформацій на кожному інтервалі часу 1( , )n nt t− покладемо сталими: ( )d ( ) / d n ij ijt tε = Δε . Отримаємо ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )d ( ) dn n n n iij iijkl kl e e E V u T S Ω ∂Ω δ Δε δ Δε = δ Δ∫ ∫ , ( 1) ( ) ( ) ( )( )d ( )dn n n n ij ij ij ij e e V V− Ω Ω − σ δ Δε + σ δ Δε∫ ∫  , де введено позначення (без сумування за індексами, що повторюються) ( ) ( , ) ( , )(1 )n m n m n ijklijkl ijkl ijkl m E E∞= + η −ζ∑ , ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )exp{ / }, /m n m m n m m n nijkl ijkl ijkl ijkl ijklt E tζ = −Δ ρ η = ρ Δ . Перейдемо до матричної форми запису. Визначивши поле інкременту переміщень ( )nΔu в елементі через інкремент переміщень у вузлах ( )nΔq , а також відповідні деформації ( )nΔε ( ) ( ) ( ) ( )N ,n n n nΔ = Δ Δε = Δu q B q , отримаємо розв’язуюче рівняння для елемента ( ) ( 1) ( )n t n n−Δ = − +K q F F F , де T ( ) ( )dn n e V Ω = Δ∫K B E B q ( ) ( ) ( ) ( )d , d , F dt n T n n T n e e eS V V ∂Ω Ω Ω = = =∫ ∫ ∫F NT F B B s s ( ) ( , ) ( , )(1 )n m n m n i ik ik m k Sσ = −ζ∑∑ ( , 1) ( ) (0) ( , ) ( , 1) ( , 1) ( , 1) ( , 1) ( 1) ; (1 ) , 2, m m ik ik k m n m n m n m n m n n ik ik ik ik ik k S E S S n− − − − − = ε = ζ + η −ζ Δε = … (сумування за повторними індексами не проводимо). Таким чином, величини ( , )m n ikS рекурентно визначаються в точках інтегрування на кож- но му часовому інтервалі. Матриця K не потребує переобчислення для кожного n за рів- номірного розбиття інтервалу часу, на якому проводиться дослідження. 32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 10 М.Ф. Селіванов, Є.Р. Кульбачний, Д.Р. Онищенко Числові результати. Дослідимо зміну з часом концентрації напружень біля кругового отвору в ортотропній пластині. Для ортотропного матеріалу з головними осями, напрям- леними вздовж осей координат, матриця, що пов’язує напруження і деформації в задачі те- орії пружності, у випадку плоского напруженого стану має вигляд 11 12 22 21 11 22 12 22 21 11 12 21 12 12 21 0 1 0 , . 1 0 0 (1 ) E E E E E E G ν⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ν ν = ν⎢ ⎥− ν ν ⎢ ⎥− ν ν⎣ ⎦ D (2) Побудуємо в’язкопружний аналог цієї матриці. Розглянемо випадок, коли кожен з мо- дулів 11E , 22E , 12G задано однією експоненціальною функцією з тим самим часом релаксації: 1 1 11 1 1 22 2 2 1 12 21 ( ) exp{ / }, ( ) exp{ / }, ( ) exp{ / }, const. E t E E t E t E E t G t G G t ∞ ∞ ∞ = + − ρ = + − ρ = + − ρ ν = (3) В цьому випадку легко знайти в’язкопружний аналог матриці [ ]ijD=D . Для цього під- ставимо в (2) перетворення Лапласа—Карсона відповідних модулів. Обернене перетво- рен ня дає 1 1 0 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 11 1 1 0 0 2 1 2 2 0 1 2 2 2 2 1 1 2 22 1 1 0 0 ( ) ( ) = exp exp , ( ) ( ) ( ) ( ) = exp exp , E E E E t E E E E E t D t E E E E E E E E t E E E E E t D t E E E E E E ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ α ∞ ∞ α α α α α α ∞ ∞ ∞ ∞ α ∞ ∞ α α α α α α ⎧ ⎫α −⎧ ⎫ ⎪ ⎪+ − − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ρ ρ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎧ ⎫α −⎧ ⎫ ⎪ ⎪+ − − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ρ ρ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭ 12 21 11 33 12( ) ( ), ( ) ( )D t D t D t G t= ν = , Рис. 2 33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 10 Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі де 0 0 0 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 21 0 1 0 1 1 1 1 2 2 2 , , , , , . E E E E E E E E E E E E E E E ∞ ∞ ∞ α α α ∞ ∞ = −α = −α = −α α = ν = + = + Для побудови сітки методу скінченних елементів використано десятиточкові трикутні елементи з ущільненням вздовж контуру отвору (обрано 90 вершин елементів вздовж кон- туру та розмір елемента, що не перевищує 0.1). На рис. 2 проілюстровані вихідні характеристики релаксації, відповідні числові роз- в’язки задачі та аналітичний розв’язок для нескінченної пластини. Останній для точки кон- туру на осі Ox для пружної задачі має вигляд 22 22 22 21 12 11 / 1 2 E E p G E ⎛ ⎞ σ = + + − ν⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Щоб отримати в’язкопружний розв’язок, підставимо замість пружних модулів відповідні перетворення Лапласа—Карсона, та повернемось в область оригінала за допомогою число- вого методу (процедура переходу детально описана в [3]). Числові розв’язки отримано для наступних значень вихідних параметрів задачі: 0 1 3E = ГПа, 1 2E∞ = ГПа, 0 2 4E = ГПа, 2 3E∞ = ГПа, 0 1 2G G G∞= + = ГПа, 1G∞ = ГПа, 21 0,3ν = , 20ρ = с. Для відношення радіуса отвору до розміру пластини рівному 0,01 різниця між чис- ловим і аналітичним розв’язком склала менше відсотка. Таким чином, в роботі проілюстровано ефективний алгоритм розв’язування задач лі- нійної в’язкопружності для ортотропних тіл за допомогою методу скінченних елементів. Вірогідність отриманих результатів підтверджено порівнянням із відомим класичним ана- літичним розв’язком для нескінченного тіла. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Christensen R.M. Theory of viscoelasticity. New York: Academic Press Inc, 1982. 2. Kaminsky A.A., Selivanov M.F., Chornoivan Y.O. On the long-term deformation process in viscoelastic composites around an elliptical hole. Mech. Time-Depend. Mat. 2016. 20. № 6. P. 233—243. https://doi. org/10.1007/s11043-016-9293-0 3. Kaminsky A.A., Selivanov M.F., Chornoivan Yu.A. Subcritical growth of a mode III erack in a viscoelastic vomposite body. Int. Appl. Mech. 2013. 49. № 3. P. 293-302. https://doi.org/10.1007/s10778-013-0567-9 4. Kaminsky A.A., Selivanov M.F. A method for solving boundary-value problems of linear vis coelasticity for anisotropic composites. Int. Appl. Mech. 2003. 39. № 11. P. 1294—1304. https://doi.org/10.1023/B:INAM. 0000015599.90700.86 5. Zocher M.A., Groves S.E, Allen D.H. A three-dimensional finite element formulation for thermo viscoelastic orthotropic media. Int. J. Numer. Meth. Engng. 1997. 40. № 12. P. 2267—2288. https://doi.org/10.1002/ (SICI)1097-0207(19970630)40:12<2267::AID-NME156>3.0.CO;2-P 6. Chazal C., Pitti R.M. Incremental constitutive formulation for time dependent materials: creep integral approach. Mech. Time-Depend. Mat. 2011. 15. P. 239—253. https://doi.org/10.1007/s11043-011-9135-z Надійшло до редакції 10.09.2020 34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 10 М.Ф. Селіванов, Є.Р. Кульбачний, Д.Р. Онищенко REFERENCES 1. Christensen, R. M. (1982). Theory of viscoelasticity. New York: Academic Press Inc. 2. Kaminsky, A. A., Selivanov, M. F. & Chornoivan, Y. O. (2016). On the long-term deformation process in viscoelastic composites around an elliptical hole. Mech. Time-Depend. Mat., 20, No. 2, pp. 233-243, https:// doi.org/10.1007/s11043-016-9293-0 3. Kaminsky, A. A., Selivanov, M. F. & Chornoivan, Yu. A. (2013). Subcritical Growth of a Mode III Crack in a Viscoelastic Composite Body. Int. Appl. Mech., 49, No. 3, pp. 293-302, https://doi.org/10.1007/s10778-013- 0567-9 4. Kaminsky, A. A. & Selivanov, M. F. (2003). A method for solving boundary-value problems of linear viscoe- lasticity for anisotropic composites. Int. Appl. Mech., 39, No. 11, pp. 1294-1304, https://doi.org/10.1023/ B:INAM.0000015599.90700.86 5. Zocher, M. A., Groves, S. E. & Allen, D. H. (1997). A three-dimensional finite element formulation for thermoviscoelastic orthotropic media. Int. J. Numer. Meth. Engng., 40, No. 12, pp. 2267-2288. https://doi. org/10.1002/(SICI)1097-0207(19970630)40:12<2267::AID-NME156>3.0.CO;2-P 6. Chazal, C. & Pitti, R.M. (2011). Incremental constitutive formulation for time dependent materials: creep integral approach. Mech. Time-Depend. Mat., 15, pp. 239-253, https://doi.org/10.1007/s11043-011-9135-z Received 10.09.2020 M.F. Selivanov, Y.R. Kulbachnyy, D.R. Onishchenko S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv E-mail: mfs@ukr.net, jeniakulb@gmail.com, donishenko@kse.org.ua DETERMINING THE STRESS CONCENTRATION CHANGE WITH TIME IN A VISCOELASTIC ORTHOTROPIC SOLID The procedure for solving the plane problem of the linear theory of viscoelasticity by the finite element method is described. Based on the virtual work principle and the assumption of the constancy of the strain rate at small intervals of time, the matrix form of the equilibrium equations of the finite-element approximation of a body is written. The solution procedure is described for the constitutive relations in the Boltzmann—Volterra integral form. This integral is transformed into an incremental form on a time mesh, at each interval of which the prob- lem is solved by the finite element method with unknown increments of displacements. The numerical pro- cedure is constructed by ununiformly dividing the time interval, at which the study is conducted. In this case, the stiffness matrix requires recalculation at each time step. The relaxation functions of the moduli of a viscoelastic orthotropic material are described in the form of the Proni—Dirichlet series. The solution to the problem of de- termining the change over time of the stress concentration in a body with a round hole in a viscoelastic or- thotropic plate is presented. To construct a numerical solution, the three moduli of orthotropic material were written using one exponent with the same relaxation time. For these initial data, an analytic expression for the viscoelastic components of the stiffness matrix of an orthotropic plate under plain stress conditions is con- structed. Numerical examples are presented for several ratios of the hole radius to the size of the plate. These re- sults are compared with the solution obtained for an infinite plate by inverse transformation by a numerical method of the well-known analytic elastic solution. Keywords: stress concentration, viscoelastic orthotropic plate, incremental viscoelastic formulation, finite element method.

Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі

Institution

Ähnliche Einträge