Влияние возмущений формы границы на частотные характеристики планарных колебаний пьезокерамических пластин. Аналитическое решение
Построено общее решение граничной задачи о планарных колебаниях пьезокерамических пластин в форме параллелограмма. Решение представлено в виде бесконечных рядов, каждое слагаемое которых удовлетворяет уравнениям движения элемента пьезопластины. Для определения коэффициентов рядов используются функци...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2018
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173904 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Влияние возмущений формы границы на частотные характеристики планарных колебаний пьезокерамических пластин. Аналитическое решение / П. Шакери Мобараке, В.Т. Гринченко, Б. Солтанниа // Проблемы прочности. — 2018. — № 3. — С. 14-26. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-173904 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шакери Мобараке, П. Гринченко, В.Т. Солтанниа, Б. 2020-12-25T10:00:43Z 2020-12-25T10:00:43Z 2018 Влияние возмущений формы границы на частотные характеристики планарных колебаний пьезокерамических пластин. Аналитическое решение / П. Шакери Мобараке, В.Т. Гринченко, Б. Солтанниа // Проблемы прочности. — 2018. — № 3. — С. 14-26. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173904 539.3 Построено общее решение граничной задачи о планарных колебаниях пьезокерамических пластин в форме параллелограмма. Решение представлено в виде бесконечных рядов, каждое слагаемое которых удовлетворяет уравнениям движения элемента пьезопластины. Для определения коэффициентов рядов используются функциональные уравнения, получаемые на основе граничных условий задачи. Решение указанных уравнений возможно по двум подходам, основанным на минимизации среднеквадратичного отклонения и на методе коллокации. При практическом использовании конечных сумм согласно обоим подходам приходим к поиску решения систем линейных алгебраических уравнений. Получены количественные оценки динамических характеристик пьезопластин, анализ которых позволяет оценить влияние геометрии пластины. Метод решения обеспечивает высокую точность получаемых результатов. Побудовано загальний розв’язок граничної задачі про планарні коливання п’єзокерам ічних пластин у формі паралелограма. Розв’язок подано через нескінченні ряди, кожний доданок яких задовольняє рівнянням руху елемента п’єзопластини. Для визначення коефіцієнтів рядів використовуються функціональні рівняння, які отримано на основі граничних умов задачі. Розв’язок цих рівнянь можливий за допомогою двох підходів: на основі методу колокації і мінімізації середньоквадратичного відхилення. При практичному застосуванні скінченних сум згідно з обома підходами приходимо до пошуку розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Отримано кількісні оцінки динамічних характеристик п’єзопластин, аналіз яких дозволяє оцінити вплив геометрії пластини. Метод розв’язку забезпечує високу точність отриманих результатів. The general solution of the boundary problem of planar vibrations of piezoceramic plates in the form of parallelogram is constructed. The solution is presented as infinite series, with each term satisfying the motion equations of the piezoceramic plate element. The series coefficients are determined with functional equations, generated by the boundary conditions of the problem. These equations can be solved using the two approaches: approach based on minimization of the standard deviation and collocation method-based approach. In the case of practical application of finite sums, both approaches lead to the search of solving the systems of linear algebraic equations. Quantitative estimates of the dynamic characteristics of piezoceramic plates are obtained, their analysis permits of evaluating the plate geometry effect. This method provides high accuracy of calculation results. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Влияние возмущений формы границы на частотные характеристики планарных колебаний пьезокерамических пластин. Аналитическое решение Effect of Boundary Form Disturbances on the Frequency Response of Planar Vibrations of Piezoceramic Plates. Analytical Solution Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Влияние возмущений формы границы на частотные характеристики планарных колебаний пьезокерамических пластин. Аналитическое решение |
| spellingShingle |
Влияние возмущений формы границы на частотные характеристики планарных колебаний пьезокерамических пластин. Аналитическое решение Шакери Мобараке, П. Гринченко, В.Т. Солтанниа, Б. Научно-технический раздел |
| title_short |
Влияние возмущений формы границы на частотные характеристики планарных колебаний пьезокерамических пластин. Аналитическое решение |
| title_full |
Влияние возмущений формы границы на частотные характеристики планарных колебаний пьезокерамических пластин. Аналитическое решение |
| title_fullStr |
Влияние возмущений формы границы на частотные характеристики планарных колебаний пьезокерамических пластин. Аналитическое решение |
| title_full_unstemmed |
Влияние возмущений формы границы на частотные характеристики планарных колебаний пьезокерамических пластин. Аналитическое решение |
| title_sort |
влияние возмущений формы границы на частотные характеристики планарных колебаний пьезокерамических пластин. аналитическое решение |
| author |
Шакери Мобараке, П. Гринченко, В.Т. Солтанниа, Б. |
| author_facet |
Шакери Мобараке, П. Гринченко, В.Т. Солтанниа, Б. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Effect of Boundary Form Disturbances on the Frequency Response of Planar Vibrations of Piezoceramic Plates. Analytical Solution |
| description |
Построено общее решение граничной задачи о планарных колебаниях пьезокерамических пластин в форме параллелограмма. Решение представлено в виде бесконечных рядов, каждое слагаемое которых удовлетворяет уравнениям движения элемента пьезопластины. Для определения коэффициентов рядов используются функциональные уравнения, получаемые на основе граничных условий задачи. Решение указанных уравнений возможно по двум подходам, основанным на минимизации среднеквадратичного отклонения и на методе коллокации. При практическом использовании конечных сумм согласно обоим подходам приходим к поиску решения систем линейных алгебраических уравнений. Получены количественные оценки динамических характеристик пьезопластин, анализ которых позволяет оценить влияние геометрии пластины. Метод решения обеспечивает высокую точность получаемых результатов.
Побудовано загальний розв’язок граничної задачі про планарні коливання п’єзокерам ічних пластин у формі паралелограма. Розв’язок подано через нескінченні ряди, кожний доданок яких задовольняє рівнянням руху елемента п’єзопластини. Для визначення коефіцієнтів рядів використовуються функціональні рівняння, які отримано на основі граничних умов задачі. Розв’язок цих рівнянь можливий за допомогою двох підходів: на основі методу колокації і мінімізації середньоквадратичного відхилення. При практичному застосуванні скінченних сум згідно з обома підходами приходимо до пошуку розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Отримано кількісні оцінки динамічних характеристик п’єзопластин, аналіз яких дозволяє оцінити вплив геометрії пластини. Метод розв’язку забезпечує високу точність отриманих результатів.
The general solution of the boundary problem of planar vibrations of piezoceramic plates in the form of parallelogram is constructed. The solution is presented as infinite series, with each term satisfying the motion equations of the piezoceramic plate element. The series coefficients are determined with functional equations, generated by the boundary conditions of the problem. These equations can be solved using the two approaches: approach based on minimization of the standard deviation and collocation method-based approach. In the case of practical application of finite sums, both approaches lead to the search of solving the systems of linear algebraic equations. Quantitative estimates of the dynamic characteristics of piezoceramic plates are obtained, their analysis permits of evaluating the plate geometry effect. This method provides high accuracy of calculation results.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/173904 |
| citation_txt |
Влияние возмущений формы границы на частотные характеристики планарных колебаний пьезокерамических пластин. Аналитическое решение / П. Шакери Мобараке, В.Т. Гринченко, Б. Солтанниа // Проблемы прочности. — 2018. — № 3. — С. 14-26. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT šakerimobarakep vliânievozmuŝeniiformygranicynačastotnyeharakteristikiplanarnyhkolebaniipʹezokeramičeskihplastinanalitičeskoerešenie AT grinčenkovt vliânievozmuŝeniiformygranicynačastotnyeharakteristikiplanarnyhkolebaniipʹezokeramičeskihplastinanalitičeskoerešenie AT soltanniab vliânievozmuŝeniiformygranicynačastotnyeharakteristikiplanarnyhkolebaniipʹezokeramičeskihplastinanalitičeskoerešenie AT šakerimobarakep effectofboundaryformdisturbancesonthefrequencyresponseofplanarvibrationsofpiezoceramicplatesanalyticalsolution AT grinčenkovt effectofboundaryformdisturbancesonthefrequencyresponseofplanarvibrationsofpiezoceramicplatesanalyticalsolution AT soltanniab effectofboundaryformdisturbancesonthefrequencyresponseofplanarvibrationsofpiezoceramicplatesanalyticalsolution |
| first_indexed |
2025-11-26T03:43:08Z |
| last_indexed |
2025-11-26T03:43:08Z |
| _version_ |
1850610473902276608 |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.3
Âëèÿíèå âîçìóùåíèé ôîðìû ãðàíèöû íà ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè
ïëàíàðíûõ êîëåáàíèé ïüåçîêåðàìè÷åñêèõ ïëàñòèí. Àíàëèòè÷åñêîå
ðåøåíèå
Ï. Øàêåðè Ìîáàðàêå
à,1
, Â. Ò. Ãðèí÷åíêî
á
, Á. Ñîëòàííèà
â
à Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, Êèåâ, Óêðàèíà
á Èíñòèòóò ãèäðîìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, Óêðàèíà
â Ôàêóëüòåò ìàøèíîñòðîåíèÿ, Óíèâåðñèòåò Àëüáåðòû, Ýäìîíòîí, Êàíàäà
1 pouyan.shakeri@gmail.com
Ïîñòðîåíî îáùåå ðåøåíèå ãðàíè÷íîé çàäà÷è î ïëàíàðíûõ êîëåáàíèÿõ ïüåçîêåðàìè÷åñêèõ
ïëàñòèí â ôîðìå ïàðàëëåëîãðàììà. Ðåøåíèå ïðåäñòàâëåíî â âèäå áåñêîíå÷íûõ ðÿäîâ, êàæäîå
ñëàãàåìîå êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ ýëåìåíòà ïüåçîïëàñòèíû. Äëÿ
îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäîâ èñïîëüçóþòñÿ ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåìûå íà
îñíîâå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé çàäà÷è. Ðåøåíèå óêàçàííûõ óðàâíåíèé âîçìîæíî ïî äâóì ïîä-
õîäàì, îñíîâàííûì íà ìèíèìèçàöèè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ è íà ìåòîäå êîëëî-
êàöèè. Ïðè ïðàêòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè êîíå÷íûõ ñóìì ñîãëàñíî îáîèì ïîäõîäàì ïðèõîäèì ê
ïîèñêó ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïîëó÷åíû êîëè÷åñòâåííûå îöåíêè
äèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ïüåçîïëàñòèí, àíàëèç êîòîðûõ ïîçâîëÿåò îöåíèòü âëèÿíèå
ãåîìåòðèè ïëàñòèíû. Ìåòîä ðåøåíèÿ îáåñïå÷èâàåò âûñîêóþ òî÷íîñòü ïîëó÷àåìûõ ðåçóëü-
òàòîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïëàíàðíûå êîëåáàíèÿ, ïüåçîêåðàìè÷åñêèå ïëàñòèíû íåêàíîíè÷åñ-
êîé ôîðìû, ìåòîä ñóïåðïîçèöèè, ìåòîä êîëëîêàöèè, ìåòîä ìèíèìèçàöèè ñðåäíå-
êâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ, ìåòîä ðåäóêöèè, ñïåêòð ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò.
Ââåäåíèå. Èñïîëüçîâàíèå ìàòåðèàëîâ ñ ïüåçîýôôåêòîì ïîçâîëÿåò äîñòàòî÷íî
ëåãêî âîçáóæäàòü êîëåáàíèÿ â òâåðäûõ óïðóãèõ òåëàõ. Èçó÷åíèå òàêèõ êîëåáàíèé
ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ êàê äëÿ ïîíèìàíèÿ îáùèõ çàêîíîìåðíîñòåé ïîâåäåíèÿ óïðóãèõ
âîëí â îãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõ, òàê è ðàçðàáîòêè ðåêîìåíäàöèé ïî ðåøåíèþ èíæå-
íåðíûõ çàäà÷ ïðè ñîçäàíèè ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàòåëåé [1, 2].  íàñòîÿ-
ùåå âðåìÿ îñîáîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ðàçðàáîòêàì ìíîãî÷èñëåííûõ òèïîâ ìèêðî-
ïðåîáðàçîâàòåëåé, êîòîðûå îáúåäèíÿþòñÿ òåðìèíîì MEMS (MicroElectroMechanical
Systems) [3].
Îäíîé èç âîçìîæíîñòåé óïðàâëåíèÿ äèíàìè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè àêòèâ-
íûõ ýëåìåíòîâ MEMS ÿâëÿåòñÿ èçìåíåíèå ôîðìû ïüåçîýëåìåíòà, ÷òî è îáóñëîâèëî
àêòóàëüíîñòü èññëåäîâàíèé ïî ðàçâèòèþ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷
ýëåêòðîóïðóãîñòè äëÿ ýëåìåíòîâ ðàçëè÷íîé ãåîìåòðèè. Íèæå ïðåäñòàâëåí àíàëèòè-
÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ ýëåêòðîóïðóãîñòè äëÿ ïüåçîïëàñòèí â ôîðìå
ïàðàëëåëîãðàììà. Èçìåíåíèå èõ ôîðìû ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê âîçìóùåíèå
ôîðìû ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí.
Îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ðàçðàáîòêå àíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ ãðà-
íè÷íûõ çàäà÷. Íàëè÷èå àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñîçäàåò ïðåäïîñûëêè äëÿ áîëåå
ãëóáîêîãî àíàëèçà ñâîéñòâ êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè òàêèõ
âîçìîæíîñòåé ìîæíî ñîñëàòüñÿ íà ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ ÿâëåíèÿ êðàåâîãî ðåçî-
íàíñà â óïðóãèõ, â òîì ÷èñëå è ïüåçîêåðàìè÷åñêèõ, ïëàñòèíàõ. Èìåííî òî, ÷òî íà
÷àñòîòå êðàåâîãî ðåçîíàíñà ìàêñèìóìà äîñòèãàþò âñå àìïëèòóäû íåîäíîðîäíûõ âîëí,
âàæíî äëÿ ïðàâèëüíîãî ïîíèìàíèÿ ñóòè ýòîãî ÿâëåíèÿ.
© Ï. ØÀÊÅÐÈ ÌÎÁÀÐÀÊÅ, Â. Ò. ÃÐÈÍ×ÅÍÊÎ, Á. ÑÎËÒÀÍÍÈÀ, 2018
14 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3
Ïðè ïîñòðîåíèè àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è äëÿ ïëàñòèíû â ôîðìå ïàðàëëå-
ëîãðàììà èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä, îñíîâàííûé íà ñóïåðïîçèöèè ðåøåíèé óðàâíåíèé äâè-
æåíèÿ, ïðåäñòàâëåííûõ â âèäå áåñêîíå÷íûõ ðÿäîâ è ïîñòðîåííûõ òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû óäîâëåòâîðÿëèñü ïðîèçâîëüíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ãðàíèöàõ ïàðàëëåëî-
ãðàììà. Îáîñíîâàíèå è ýôôåêòèâíîñòü òàêîãî ïîäõîäà ñîäåðæàòñÿ â [4–7].
Îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ðÿäîâ, âõîäÿùèõ â ïðåäñòàâëåíèå îáùèõ ðåøåíèé
ãðàíè÷íûõ çàäà÷, ïðèâîäèò ê áåñêîíå÷íûì ñèñòåìàì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Êðîìå
åñòåñòâåííîãî ñïîñîáà îöåíêè òî÷íîñòè âûïîëíåíèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé èñïîëü-
çîâàíà âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ è ïðèâåäåíî ñðàâíåíèå ðåçóëü-
òàòîâ äâóõ ðàñ÷åòîâ. Òàêîå ñðàâíåíèå ïîëåçíî êàê äëÿ äîïîëíèòåëüíîé ïðîâåðêè
äîñòîâåðíîñòè àíàëèòè÷åñêèõ îöåíîê, òàê è äëÿ ðàçðàáîòêè ðåêîìåíäàöèé ïî âûáîðó
íåîáõîäèìûõ øàãîâ äèñêðåòèçàöèè â ÷èñëåííîì ðàñ÷åòå.
Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ òåîðèè ïëàíàðíûõ êîëåáàíèé òîíêèõ ýëåêòðîäèðî-
âàííûõ ïüåçîïëàñòèí ñ òîëùèííîé ïîëÿðèçàöèåé ïðè âîçáóæäåíèè ýëåêòðè÷åñ-
êèì ïîëåì. Ïëàíàðíûå êîëåáàíèÿ (êîëåáàíèÿ â ïëîñêîñòè) òîíêèõ ïüåçîêåðàìè-
÷åñêèõ ïëàñòèí ñ òîëùèííîé ïîëÿðèçàöèåé îïèñûâàþòñÿ âåêòîðíûì óðàâíåíèåì
äâèæåíèÿ â ïåðåìåùåíèÿõ (óðàâíåíèåì Ëàìå), êîòîðîå â ñëó÷àå ñïëîøíûõ ýëåêòðî-
äîâ, ïîêðûâàþùèõ ëèöåâûå ïëîñêèå ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû, èìååò ñëåäóþùèé âèä
[2]:
2
1
2 111
2
2
�
� � �
�
� �
�
�
grad div rot rotu u
u
s
t
E ( ) , (1)
ãäå u – äâóõìåðíûé âåêòîð ïåðåìåùåíèÿ ñ êîìïîíåíòàìè ux , u y â äåêàðòîâîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò, u u� ( , , ),x y t îñè Ox, Oy ëåæàò â ïëîñêîñòè ïëàñòèíû, îñü Oz –
ïåðïåíäèêóëÿðíà ê íåé; � – ïëîòíîñòü; sE
11, sE
12 – óïðóãèå ïîäàòëèâîñòè ïüåçî-
ìàòåðèàëà, èçìåðÿåìûå ïðè íóëåâîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå; � – êîýôôèöèåíò Ïóàñ-
ñîíà â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê íàïðàâëåíèþ ïîëÿðèçàöèè ìàòåðèàëà (â
ïëîñêîñòè èçîòðîïèè), ��� s sE E
12 11:
div u� �
�
�
�
�
u
x
u
y
x y
; ( ) ;rot u z
y x
u
x
u
y
� �
�
�
�
�
( ) ( ) .rot rotu ux y� � 0 (2)
Êîìïîíåíòû äâóõìåðíîãî òåíçîðà íàïðÿæåíèé äëÿ òîíêèõ ïüåçîêåðàìè÷åñêèõ
ïëàñòèí âûðàæàþòñÿ â âèäå [2]
�
�
�
x E x y y z
y
s
d E
s
�
�
� � � � �
�
1
1
1 1
1
11
2 31
11
( )
[( ) ( ) ( ) ];
E x y x z
xy E
d E
s
( )
[( ) ( ) ( ) ];
(
1
1 1
1
2 1
2 31
11
�
� � � � �
�
�
�
�
�
�
� )
,
xy
�
�
�
�
�
�
�
�
(3)
�
�
x
xu
x
� ,
�
�
y
yu
y
� ,
�
�
�
�
xy
y x
u
x
u
y
� � ; (4)
ãäå
x ,
y ,
xy – äåôîðìàöèè [8]; d31 – ïüåçîýëåêòðè÷åñêàÿ êîíñòàíòà; E E tz z� ( ) –
ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E , êîòîðûé èìååò ëèøü
îäíó íåíóëåâóþ êîìïîíåíòó â íàïðàâëåíèè îñè Oz, íîðìàëüíóþ ê ýëåêòðîäíûì
ïîêðûòèÿì ïëàñòèíû.
Âëèÿíèå âîçìóùåíèé ôîðìû ãðàíèöû ...
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3 15
 ñëó÷àå âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé ïëàñòèíû òîëùèíîé 2h îò ãåíåðàòîðà íàïðÿ-
æåíèé ñ âûõîäíîé ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ 2 0V t( ), ïðèêëàäûâàåìûõ ê ýëåêòðîäíûì
ïîêðûòèÿì íà åå ëèöåâûõ ïîâåðõíîñòÿõ, èìååì
E
V t
h
z ��
0 ( )
. (5)
Ñîîòâåòñòâåííî êîìïîíåíòû âåêòîðà íàïðÿæåíèÿ Fn íà ýëåìåíòàðíîé ïëîùàä-
êå ñ åäèíè÷íîé íîðìàëüþ n âûðàæàþòñÿ â âèäå [2]
F n n
F n n
nx x x xy y
ny yx x y y
� �
� �
�
�
;
.
(6)
Ïðè çàäàíèè óñëîâèé â íàïðÿæåíèÿõ íà ãðàíèöå îáû÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ
íîðìàëüíûå è êàñàòåëüíûå êîìïîíåíòû âåêòîðà íàïðÿæåíèÿ:
F F n F n
F F n F n
n nx x ny y
nx y ny x
� �
�� �
;
.
�
(7)
Îáùèå ðåøåíèÿ â ïîòåíöèàëàõ. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ïåðåìåùåíèÿõ (1)
ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûì, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, â òîì ÷èñëå è ïðè àíàëèòè-
÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ, óäîáíî äëÿ ïîëÿ óïðóãèõ ïåðåìåùåíèé u u� ( , , )x y t ïåðåéòè
ê ïðåäñòàâëåíèþ Ãåëüìãîëüöà ÷åðåç ñêàëÿðíûé �( , , )x y t è âåêòîðíûé �( , , )x y t
ïîòåíöèàëû [1]:
u� �grad rot� �, div �� 0. (8)
 äàííîì äâóõìåðíîì ñëó÷àå âåêòîðíûé ïîòåíöèàë � èìååò åäèíñòâåííóþ
íåíóëåâóþ êîìïîíåíòó � �z � â íàïðàâëåíèè îñè Oz. Ïîäñòàâëÿÿ ñ ó÷åòîì ýòîãî (8)
â (1) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî div grad � �� �
2 , rot rot grad div� � �� ��
2 , à òàêæå òîæäåñòâà
rot grad � �� è div rot �� 0, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âîëíîâûå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëü-
íî ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà � è íåíóëåâîé ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà �:
� � � �
2
11
2
2
2
1 0� � �
� �
�
s
t
E ( ) ; � � � �
2
11
2
2
2 1 0� � �
� �
�
s
t
E ( ) , (9)
ãäå ïåðâîå îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå â ïëîñêîñòè ïëàñòèíû ïðîäîëüíûõ âîëí,
âòîðîå – ïîïåðå÷íûõ ñî ñêîðîñòÿìè ñîîòâåòñòâåííî
c
sE
1
11
2
1
1
�
�� �( )
; c
sE
2
11
1
2 1
�
�� �( )
. (10)
Ñ ó÷åòîì (10) óðàâíåíèÿ (9) ïðèíèìàþò âèä
� � �
2
1
2
2
2
1
0�
� �
�c t
; � �
2
2
2
2
2
0��
� � �
�c t
. (11)
Ó÷èòûâàÿ ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ âåêòîðíûõ îïåðàöèé grad( )� è rot( ),� à òàêæå òî,
÷òî â ïëîñêîé çàäà÷å èìååì � �� k ( , )x y , ãäå � �( , )x y z� – ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ,
Ï. Øàêåðè Ìîáàðàêå, Â. Ò. Ãðèí÷åíêî, Á. Ñîëòàííèà
16 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3
� x � 0, � y � 0, à äëÿ êîìïîíåíòîâ èñõîäíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ïåðåìåùåíèé –
u i j� �u ux y , ñîãëàñíî (8) ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò ïåðåìåùåíèé:
u
x y
x � �
��
�
��
�
; u
y x
y � �
��
�
��
�
. (12)
Ïðè âîçáóæäåíèè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ïüåçîïëàñòèíû ïåðåìåííûì ýëåêò-
ðè÷åñêèì ïîëåì îò ãåíåðàòîðà íàïðÿæåíèé ïðåäïîëîæèì ãàðìîíè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü
èññëåäóåìûõ âåëè÷èí îò âðåìåíè:
u u� ( , )exp( );x y i t� � � �� ( , )exp( );x y i t � � �� ( , )exp( ),x y i t (13)
ãäå i� �1 – ìíèìàÿ åäèíèöà; � �� 2 f – êðóãîâàÿ ÷àñòîòà (ðàä/ñ); f – íàòóðàëüíàÿ
(ãåðöåâà) ÷àñòîòà, Ãö.
Äàëåå ãàðìîíè÷åñêèé ñîìíîæèòåëü exp( )i t� îïóñêàåì, à ïîä âåëè÷èíàìè u, �,
� è ò.ä. áóäåì ïîäðàçóìåâàòü èõ àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ. Òàê, ïîäñòàâëÿÿ (13) â (11),
ïîëó÷àåì ñêàëÿðíûå óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà:
� � �
2
1
2 0� �k ; � � �
2
2
2 0� �k , (14)
ãäå k1 , k2 – âîëíîâûå ÷èñëà ïðîäîëüíûõ è ïîïåðå÷íûõ âîëí â ïëàñòèíå,
k
c
sE
1
1
2
11
21� � �
�
� � �( ) ; k
c
sE
2
2
2
112 1� � �
�
� � �( ) . (15)
Ïðåîáðàçîâàíèå ñîñòàâëÿþùèõ òåíçîðà íàïðÿæåíèé äëÿ ïëîñêîé çàäà÷è (3) â ñî-
îòâåòñòâèè ñ ïðåäñòàâëåíèåì êîìïîíåíò âåêòîðà ïåðåìåùåíèé ÷åðåç ïîòåíöèàëû
Ãåëüìãîëüöà (12) ñ ó÷åòîì ôîðìóë Êîøè äëÿ äåôîðìàöèé (4) è âûðàæåíèÿ äëÿ
íàãðóæàþùåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (5) ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâàì
�
� �
�
�
� �
�
�
� �
� �
x Es x y x y s
�
�
� � �
�
�
�
�
�
��
1
1
1
1
11
2
2
2
2
2
2
( )
( )
11
31
0
11
2
2
2
2
2
1
1
1
E
y E
d
V
h
s x y
( )
;
( )
�
�
�
!
"
#
�
�
� �
�
�
�
� �
�
� �
�
( )
( )
;1
1
1
1
2
2
11
31
0
1
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
!
"
#
�
�
� �
� � �
�
x y s
d
V
h
s
E
xy
1
2 2
2
2
21
2
E x y x y( )
.
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
�
� �
�
(16)
Ïðè çàäàíèè íà êîíòóðå ïëàñòèíû íîðìàëüíûõ Fn è êàñàòåëüíûõ F
�
íàïðÿ-
æåíèé ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðèîáðåòàþò ñëåäóþùèé âèä:
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
G n
x
n
y x
y x
�
�
�
�
!
"
# �
�
�
�
�
!
"
# �
�
� �
� �
� �
�
� �
� �y
n n
x y x y
n nx y x y( )2 2
2 2
2
2
2
2� �
�
�
� � �
�
�
!
"
#
#
�
�
� �
� �
� �
�
� �
�
�
�
�
��
�
�
�2
1
1
31
0
G d
V
h
Fn
( )
( )
;
�
�
(17a)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3 17
Âëèÿíèå âîçìóùåíèé ôîðìû ãðàíèöû ...
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
G
x y x y
n n
x
x y
� �
� �
� �
�
� �
�
� �
�
�
� �
�
�
!
"
#
#
� � �( )
�
�
� �
� �
�
y x y
n n Fx y2
2
2�
�
�
!
"
#
#
�
�
�
�
�
�
�
�
� , (17á)
ãäå G – ìîäóëü ñäâèãà, G
sE
�
�
1
2 111 ( )�
; âåëè÷èíà �
�
�
2
1
1
31
0
G d
V
h
( )
( )
�
�
â ïðàâîé ÷àñòè
ðàâåíñòâà (17a) âîçíèêàåò âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ ñâÿçè ìåæäó ýëåêòðè÷åñêèìè è ìåõà-
íè÷åñêèìè ïîëÿìè, à òàêæå îíà ïðîïîðöèîíàëüíà ïüåçîêîíñòàíòå d31 è àìïëèòóäå
íàïðÿæåííîñòè âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Äàëåå îáîçíà÷èì åå êàê Fn
Veq . Çàìå-
òèì, ÷òî ñëåâà â (17) ðàñïîëîæåíû ÷ëåíû, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ÷àñòè íîðìàëüíîé
è êàñàòåëüíîé ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà íàïðÿæåíèé, ñâÿçàííûå ñ óïðóãîé äåôîðìà-
öèåé, êîòîðûå ìîæíî îáîçíà÷èòü n
def è
�
def .
Ïðè ýòîì (17) â ñîêðàùåííîì âèäå ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
� �
n
def
n
Veq
n
def
F F
F
� �
�
;
.
(18)
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.  ðàìêàõ âûøåïðèâåäåííîé ìîäåëè ðàññìîòðèì çàäà÷ó î
ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ òîíêîé ïüåçîêåðàìè÷åñêîé ïëàñòèíû ñî ñâîáîäíûìè îò
ìåõàíè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé êðàÿìè â ôîðìå ïàðàëëåëîãðàììà OBCD ñ óãëàìè $ â
âåðøèíàõ O è C è ðàçìåðàìè ñòîðîí OD BC a� � , OB CD b� � (ðèñ. 1). Ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ äëÿ íàïðÿæåíèé íà ãðàíèöå ïàðàëëåëîãðàììà èìåþò âèä (17) ïðè
Fn � 0; F
�
� 0. (19)
Ââåäåì äâå ïðÿìîóãîëüíûå äåêàðòîâû ñèñòåìû êîîðäèíàò Ox y1 1 è Ox y2 2 ñ
íà÷àëîì â òî÷êå O (ðèñ. 1).
Çàâèñèìîñòü ìåæäó êîîðäèíàòàìè â ýòèõ ñèñòåìàõ èìååò âèä
x x y
y x y
1 2 2
1 2 2
� �
�� �
�
�
sin cos ,
cos sin ;
$ $
$ $
(20à)
18 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3
Ï. Øàêåðè Ìîáàðàêå, Â. Ò. Ãðèí÷åíêî, Á. Ñîëòàííèà
Ðèñ. 1. Ïüåçîêåðàìè÷åñêàÿ ïëàñòèíà â ôîðìå ïàðàëëåëîãðàììà.
x x y
y x y
2 1 1
2 1 1
� �
� �
�
�
sin cos ,
cos sin .
$ $
$ $
(20á)
Ðåøåíèå äëÿ ïîòåíöèàëîâ � è � ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî â âèäå ñóììû (ñóïåð-
ïîçèöèè) ïîòåíöèàëîâ, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé Ãåëüìãîëüöà (14):
� � � � �
� �
� � � �
�
1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 2 2
1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , );
( ,
x y x y x y x y
x y x y x y x y1 2 1 1 3 2 2 4 2 2) ( , ) ( , ) ( , ).� � �� � �
(21)
Ïðè ýòîì êàæäûé èç ïîòåíöèàëîâ �i , � i ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðÿäîì â âèäå
�
�
�
1 1 1
1
1 1
0
2 1 1
2
( , ) ( )cos ;
( , ) (
( )
( )
x y A y
n
a
x
x y A y
n
n
n
�
�
�
%
&
1 1 1
0
3 2 2
3
2 2
)cos ( );
( , ) ( )cos (( )
n
a
x
x y A x
m
b
y
n
m
�
'
�
�
�
� �
�
%
&
'
�
�
�
2
0
4 2 2
4
2 2
0
1 1 1
);
( , ) ( )cos ;
( ,
( )
m
m
m
x y A x
m
b
y
x y
�
%
�
%
&
&�
) ( )cos ;
( , ) ( )cos
( )
( )
�
�
�
%
&B y
n
a
x
x y B y
n
a
n
n
n
1
1 1
0
2 1 1
2
1
�
�
�
( );
( , ) ( )cos ( );( )
x
x y B x
m
b
y
n
m
m
1 1
0
3 2 2
3
2 2 2
0
�
� �
�
%
�
%
& '
�
�
'&
&�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
%
�
�
4 2 2
4
2 2
0
( , ) ( )cos ,( )x y B x
m
b
ym
m
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(22)
ãäå '1 �GB; '2 � FD (ðèñ. 1).
Ôîðìà ðÿäîâ (22) áûëà âûáðàíà èñõîäÿ èç òîãî, ÷òîáû íà i-õ ñòîðîíàõ ïàðàëëåëî-
ãðàììà �i , � i ïðåäñòàâëÿëè ñîáîé ðÿäû ïî ïîëíûì òðèãîíîìåòðè÷åñêèì áàçèñàì.
Ïîäñòàâëÿÿ � j , � j ( j�1 4, ) â óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà (14), ïðèõîäèì ê ñîâî-
êóïíîñòè íåçàâèñèìûõ îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÎÄÓ) âòîðîãî
ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè îòíîñèòåëüíî âõîäÿùèõ â ïðåäñòàâëåíèÿ
(22) ôóíêöèé Ai
j( )
, Bi
j( )
. Ðåøàÿ ýòè óðàâíåíèÿ è âûáèðàÿ ðåøåíèÿ ÎÄÓ èç ñîîáðà-
æåíèé íåçàâèñèìîñòè ïîëó÷àåìûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé è óáûâàíèÿ ýêñïîíåíò îò
ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììà âíóòðü, ïîëó÷àåì ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ Ai
j( )
, Bi
j( )
â çàâèñè-
ìîñòè îò ñîîòíîøåíèé ( �n n a� , ) �m m b� è âîëíîâûõ ÷èñåë k1, k2 (15) äëÿ
êàæäîãî n è m:
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3 19
Âëèÿíèå âîçìóùåíèé ôîðìû ãðàíèöû ...
A y A
k y k
k y
n n
n n
n n
( ) ( )
cos , ,
exp( ),
1
1 1
1
2 2
1 1
2
1
2
1
�
� *
� �
( (
( ( +
�
�
�
�
�
� *
�
k
A y A
k y k
k
n n
n n
n
1
2
1 2
1
2 2
1 1
2
;
( )
sin , ,
exp(
( ) ( (
( 1
2
1 1
3
2 3
1
2 2
2
( )), ;
( )
sin ,( )
y h k
A x A
k x
n
m m
m m
� +
�
�
�
�
�
� *
(
) ) k
k x a k
A x A
k
m m
m m
1
2
1
2
2 1
4
2 4
,
exp( ( )), ;
( )
cos( )
) )� � +
�
�
�
�
�
1
2 2
2 1
2
1
2
2 1
1
1
� *
� � +
�
�
�
�
) )
) )
m m
m m
n
x k
k x k
B y
, ,
exp( ), ;
(( ) )
cos , ,
exp( ), ;
�
� *
� � +
�
�
�
B
k y k
k y k
n
n n
n n
1
2
2 2
1 2
2
2
2
1 2
( (
( (�
�
� *
� �
B y B
k y k
k y h
n n
n n
n
( ) ( )
sin , ,
exp( ( )
2
1 2
2
2 2
1 2
2
2
2
1
( (
( ), ;
( )
sin , ,
exp(
( )
(
) )
)
n
m m
m m
k
B x B
k x k
+
�
�
�
�
�
� *
2
3
2 3
2
2 2
2 2
m m
m m
m
k x a k
B x B
k x
2
2
2
2 2
4
2 4
2
2 2
2
� � +
�
�
�
�
�
�
( )), ;
( )
cos( )
)
) , ,
exp( ), .
)
) )
m
m m
k
k x k
*
� � +
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2 2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(23)
Òàêèì îáðàçîì, ðÿäû (22) äëÿ �i , � i ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (23) ÿâëÿþòñÿ
ðÿäàìè ïî äâóõìåðíûì áàçèñíûì ôóíêöèÿì, êîòîðûå äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷èì ñîîò-
âåòñòâåííî ,ij k kx y( , ), -ij k kx y( , ) , ñ êîýôôèöèåíòàìè Àij , Bij (i�1 4, , k�1 2, ).
Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå êîëåáàíèé ïëàñòèí. Ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì ìî-
äåëèðîâàíèè ôèçè÷åñêèõ êîëåáàíèé îñíîâíîé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå èõ êîëè-
÷åñòâåííûõ õàðàêòåðèñòèê â çàâèñèìîñòè îò ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ îáëàñòè èõ
ñóùåñòâîâàíèÿ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Êàê ïðàâèëî, äîñòè÷ü ýòîãî ìîæíî ñ ïîìîùüþ
íåêîòîðûõ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ. Íàïðèìåð, ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà ÷ëåíîâ
ðÿäà Ôóðüå, èñïîëüçóåìîãî äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè. Äëÿ ýôôåêòèâíîé
ðåàëèçàöèè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ âàæíî, ÷òîáû ïðè âûáîðå õàðàêòåðèñòèê ñàìîãî
ïðîöåññà îáåñïå÷èâàëèñü åãî óñòîé÷èâîñòü è ïîëó÷åíèå â èòîãå äîñòîâåðíûõ êîëè-
÷åñòâåííûõ îöåíîê. Îòìåòèì, ÷òî èñïîëüçóåìûé ìåòîä ñóïåðïîçèöèè, ïðèâîäÿùèé ê
ïîñòðîåíèþ îáùèõ ðåøåíèé ãðàíè÷íûõ çàäà÷, îáëàäàåò ýòèìè êà÷åñòâàìè. Óñòîé÷è-
âîñòü è ñõîäèìîñòü âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåäóð ïðè åãî ðåàëèçàöèè îáåñïå÷èâàþòñÿ
ôóíäàìåíòàëüíûìè ñâîéñòâàìè ïîëíîòû èñïîëüçóåìûõ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ çíà÷åíèÿ
ôóíêöèé.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîëè÷åñòâåííûõ îöåíîê íàïðÿæåíèé è ïåðåìåùåíèé ïëàñòèí
ïåðåéäåì â ïðåäñòàâëåíèÿõ (22) îò áåñêîíå÷íûõ ðÿäîâ ê êîíå÷íûì ñóììàì ïî n è m
äî N�1 è M�1 ñîîòâåòñòâåííî (ìåòîä ðåäóêöèè) [9–12]. Äàëåå ðåøåíèå çàäà÷è
ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ 4( )N M� íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ â ðåäóöèðîâàííûõ
ôóíêöèîíàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ (22) íà îñíîâå ïðèáëèæåííîãî óäîâëåòâîðåíèÿ îò-
äåëüíûì òî÷êàì êîëëîêàöèè èëè ìåòîäà ìèíèìèçàöèè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíå-
íèÿ (ïðîåêöèîííûé ìåòîä) ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ñòîðîíàõ ïàðàëëåëîãðàììà OD (I),
BC (II), CD (III) è OB (IV) (ðèñ. 1).
20 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3
Ï. Øàêåðè Ìîáàðàêå, Â. Ò. Ãðèí÷åíêî, Á. Ñîëòàííèà
Ìåòîä êîëëîêàöèè. Ðåøàÿ çàäà÷ó î ïëàíàðíûõ êîëåáàíèÿõ ïüåçîêåðàìè÷åñêîé
ïëàñòèíû ñî ñâîáîäíûì êðàåì â ôîðìå ïàðàëëåëîãðàììà ìåòîäîì êîëëîêàöèè, íåîá-
õîäèìî âûïîëíèòü çàäàííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ íîðìàëüíûõ è êàñàòåëüíûõ íàïðÿ-
æåíèé (17), (19) â îòäåëüíûõ òî÷êàõ ãðàíèöû (òî÷êàõ êîëëîêàöèè), â êà÷åñòâå êîòîðûõ
[8] ìîæíî âûáðàòü ñåðåäèíû îòðåçêîâ ðàâíîìåðíîãî ðàçáèåíèÿ íà N ÷àñòåé ãðàíèö I
è II è íà Ì ÷àñòåé ãðàíèö III è IV (ðèñ. 1). Òàêèì îáðàçîì, èìååì 2( )N M� òî÷åê
êîëëîêàöèè ñ êîîðäèíàòàìè (x yi
c
i
c, ), â êàæäîé èç êîòîðûõ çàäàí âåêòîð âíåøíåé
íîðìàëè ñ êîìïîíåíòàìè nx , n y .  ðåçóëüòàòå äëÿ êàæäîé òî÷êè êîëëîêàöèè ôîðìè-
ðóþòñÿ äâà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ Aij ,
Bij óñå÷åííûõ ðÿäîâ. Ðåøèâ ýòó ñèñòåìó è ïîäñòàâèâ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ êîýô-
ôèöèåíòîâ â ñîîòâåòñòâóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ �i , � i (22), à òàêæå âû÷èñëèâ èõ
ñóïåðïîçèöèþ ïî ôîðìóëàì (21), ïîëó÷èì òðåáóåìîå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå èññëå-
äóåìîé êðàåâîé çàäà÷è â ïîòåíöèàëàõ. Ïîñëå ýòîãî íåîáõîäèìûå ñîñòàâëÿþùèå
ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé âû÷èñëÿþòñÿ ïî (12) è (16). Àíàëîãè÷íûå ïðåîáðàçî-
âàíèÿ ðåàëèçîâàíû ðàíåå [13, 14].
Ìåòîä ìèíèìèçàöèè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ. Äðóãîé ñïîñîá ïðè-
áëèæåííîãî óäîâëåòâîðåíèÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ïðè ðåøåíèè êðàåâîé çàäà÷è ñîñòî-
èò â ïîñëåäîâàòåëüíîì óìíîæåíèè íåâÿçîê ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ãðàíèöàõ I, II è III,
IV (ðèñ. 1) íà íåçàâèñèìûå ìåæäó ñîáîé ôóíêöèè èç ôóíêöèîíàëüíûõ áàçèñîâ,
èñïîëüçóåìûõ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ, è èíòåãðèðîâàíèè ïîëó÷åííûõ ïðîèçâå-
äåíèé ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì I–IV, ò.å. âû÷èñëåíèè ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé
(ïðîåêöèè) íåâÿçîê íà áàçèñíûå ôóíêöèè, êîòîðûå ïðèðàâíèâàþòñÿ íóëþ [12]. Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷åíà ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî
êîýôôèöèåíòîâ ðÿäîâûõ ðàçëîæåíèé Aij , Bij . B äàííîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå ôóíêöèé, íà
êîòîðûå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîåêòèðîâàíèå, âûáèðàþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè,
âõîäÿùèå êàê ñîìíîæèòåëè â äâóõìåðíûå áàçèñíûå ôóíêöèè ,ij k kx y( , ), -ij k kx y( , ):
cos
~n
a
x
�
1 íà ãðàíèöå I; cos
~
( )
n
a
x
�
'1 1� íà ãðàíèöå II, ~ , ;n N� �0 1 cos
~
( )
m
b
y
�
'2 2�
íà ãðàíèöå III è cos
~m
b
y
�
2 íà ãðàíèöå IV, ~ ,m M� �0 1 (ðèñ. 1). Â áîëüøèíñòâå
ñëó÷àåâ òî÷íîñòü ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé, ïîëó÷àåìûõ ïðè ïðèìåíåíèè äàííîãî
ìåòîäà, îêàçûâàåòñÿ íåñêîëüêî âûøå, ÷åì ïðè ìåòîäå êîëëîêàöèè.
Íà îñíîâå òåîðåòè÷åñêèõ ìîäåëåé ðàçðàáîòàíû ïðîãðàììíûå ñðåäñòâà äëÿ ÷èñ-
ëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïëàíàðíûõ êîëåáàíèé ïëàñòèí, ðåàëèçóþùèå ïðè ïðèáëè-
æåííîì óäîâëåòâîðåíèè ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì êàê ìåòîä êîëëîêàöèè, òàê è ìåòîä
ìèíèìèçàöèè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ. Ïðè ýòîì âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçû-
âàåòñÿ óäîáíûì ïåðåéòè ê áåçðàçìåðíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì äëÿ íàïðÿæåíèé,
ïðîíîðìèðîâàâ íàïðÿæåíèÿ, âõîäÿùèå â (17), ïî ìîäóëþ ñäâèãà G.
×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîâîäèëîñü äëÿ ïüåçîêåðàìè÷åñêèõ ïëàñòèí èç ìà-
òåðèàëà PZT-4, õàðàêòåðèñòèêè êîòîðîãî ïðèâåäåíû â [2, 15]: sE
11
1212 3 10� �
�, ì 2/Í;
sE
12
124 05 10�� �
�, ì 2/Í; ��� � .s sE E
12 11 0 329268 0 33, ... , ; �� 7500 êã/ì 3.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê (À×Õ) ðàññìàòðèâàåìûõ
ïüåçîêåðàìè÷åñêèõ ïëàñòèí ñî ñïëîøíûì äâóõñòîðîííèì ýëåêòðîäèðîâàíèåì áåç-
ðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà ýêâèâàëåíòíîé âûíóæäàþùåé íàãðóçêè Fn
Veq ïîëàãàëàñü ðàâ-
íîé �1.
Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà À×Õ äëÿ ïëàñòèíû â ôîðìå ïàðàë-
ëåëîãðàììà ðàçìåðàìè a� 34,54 ìì, b� 45,69 ìì è óãëîì $� /80 ïî ìåòîäó
êîëëîêàöèè äëÿ çíà÷åíèé N M� � 60.
Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ÷èñëåííîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà êîëëîêàöèè ïðè N M� � 90 è ìåòîäà ìè-
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3 21
Âëèÿíèå âîçìóùåíèé ôîðìû ãðàíèöû ...
íèìèçàöèè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ ïðè N M� � 60 è 90, à òàêæå çíà÷å-
íèÿ ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò ïðàêòè÷åñêè íå îòëè÷àþòñÿ îò äàííûõ, ïðèâåäåííûõ íà
ðèñ. 2.
Áëèçîñòü ýòèõ çíà÷åíèé ïîäòâåðæäàåò âûñîêóþ òî÷íîñòü èñïîëüçóåìîãî àíàëè-
òè÷åñêîãî ìåòîäà è åãî ýôôåêòèâíîñòü ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ èññëåäî-
âàíèÿ äèíàìèêè ïüåçîêåðàìè÷åñêèõ ïëàñòèí íåêàíîíè÷åñêîé ôîðìû.
 ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà ( fcomp ) è ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ ( fexp ) êîëå-
áàíèé ïüåçîêåðàìè÷åñêîé ïëàñòèíû ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ðåçîíàíñíûõ
÷àñòîò (êÃö): fcomp � 31,69; 34,93; 41,52; 51,54; 56,77; 66,69; 78,82; fexp � 31,05;
34,35; 40,40; 49,55; 55,72; 65,14; 77,33.
Ïðè ñðàâíåíèè ðàñ÷åòíûõ äàííûõ ñïåêòðîâ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ïëàñòèíû ñ
ýêñïåðèìåíòàëüíûìè íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ñëåäóþùåå. Ðàñ÷åòû ïðîâîäèëè äëÿ
ìîäåëè èäåàëüíî óïðóãîãî ìàòåðèàëà. Â ïðîöåññå ýêñïåðèìåíòà ïðîÿâëÿþòñÿ ðåàëü-
íûå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà, â ÷àñòíîñòè íàëè÷èå âíóòðåííåãî äåìïôèðîâàíèÿ. Îòíî-
ñèòåëüíî ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò íàëè÷èå äåìïôèðîâàíèÿ ïðèâîäèò ê ñìåùåíèþ çíà÷å-
íèé ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû. Áîëåå òîãî, äëÿ òàêîãî ñëó÷àÿ ñëåäóåò ó÷èòûâàòü ðàçíèöó â
çíà÷åíèÿõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ïî ñêîðîñòÿì è ñìåùåíèÿì, ïîñêîëüêó ýòî ðàçëè÷íûå
ðåçîíàíñû.
Ñèòóàöèÿ óñëîæíÿåòñÿ òàêæå òåì, ÷òî äåìïôèðîâàíèå ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò
÷àñòîòû. Ýòî ñëåäóåò ó÷èòûâàòü ïðè ñðàâíåíèè ðåçóëüòàòîâ. Íå ìåíåå âàæíî òî, ÷òî
ýêñïåðèìåíòàëüíî íåâîçìîæíî ðåàëèçîâàòü òî÷íî çàäàííûå â ðàñ÷åòíîé ñõåìå ãðà-
íè÷íûå óñëîâèÿ.
Äëÿ îöåíêè òî÷íîñòè ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ íà ðèñ. 3, 4 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè
ïîãðåøíîñòåé óäîâëåòâîðåíèÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì:
� �
n
err
n
def comp
n
Veq
err def comp
F� �
�
( )
( )
;
,
(24)
22 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3
Ï. Øàêåðè Ìîáàðàêå, Â. Ò. Ãðèí÷åíêî, Á. Ñîëòàííèà
Ðèñ. 2. À×Õ ïüåçîêåðàìè÷åñêîé ïëàñòèíû â ôîðìå ïàðàëëåëîãðàììà (
0
� �x y – ìîäóëü
ñóììû áåçðàçìåðíûõ ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé â öåíòðå ïëàñòèíû).
ãäå comp îáîçíà÷àåò âåëè÷èíû, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèé; err – âåëè-
÷èíû ïîãðåøíîñòåé.
Ïðè ïîñòðîåíèè ãðàôèêîâ ïîãðåøíîñòåé, ïîëó÷åííûõ â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ
ìåòîäà êîëëîêàöèè, äàííûå â îêðåñòíîñòè óãëîâûõ òî÷åê íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåíû íå
ïîëíîñòüþ, ïîñêîëüêó ïîãðåøíîñòü çäåñü íåñêîëüêî âîçðàñòàåò, îäíàêî íå ïðåâûøàåò
10 3� çíà÷åíèé íàãðóçêè, çàäàííîé íà ãðàíèöå. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ñâèäåòåëüñòâóåò î
õîðîøåì èõ ñîâïàäåíèè, ïîñêîëüêó îáà ìåòîäà ïðè óäîâëåòâîðåíèè ãðàíè÷íûì
óñëîâèÿì ïðåíåáðåãàþò âêëàäîì ãàðìîíèê ñ âûñîêèìè íîìåðàìè, òàêîå ïîâåäåíèå
íåâÿçêè – âûñîêàÿ èçìåíÿåìîñòü ïî êîîðäèíàòå – ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì.
Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ äëÿ äâóõ ñèñòåì òî÷åê êîëëîêàöèè (60 è 90) ïîêàçûâàåò,
÷òî óâåëè÷åíèå èõ êîëè÷åñòâà ïðèâîäèò ê ïîâûøåíèþ òî÷íîñòè âûïîëíåíèÿ ãðàíè÷-
íûõ óñëîâèé. Òî æå ñïðàâåäëèâî è ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà ïðîåêöèîííûõ ôóíê-
öèé â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ìèíèìèçàöèè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ.
Îäíàêî ïðè îäèíàêîâîì ÷èñëå ñëàãàåìûõ òî÷íîñòü ðåçóëüòàòîâ íåñêîëüêî âûøå.
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ îòíîñèòåëüíî âûñîêàÿ ïîãðåøíîñòü â î÷åíü óçêèõ îáëàñ-
òÿõ âáëèçè êîíöîâ ãðàíè÷íûõ îòðåçêîâ. Ïî-âèäèìîìó, ýòî ñïåöèôè÷åñêàÿ îñîáåí-
íîñòü ìåòîäà êîëëîêàöèè (ðèñ. 3). Îäíàêî ïðè èñïîëüçîâàíèè, íàïðèìåð, ïðîåêöèîí-
íîãî ìåòîäà ýòîò íåäîñòàòîê óñòðàíÿåòñÿ (ðèñ. 4). Ïðè îïðåäåëåíèè òàêèõ èíòåãðàëü-
íûõ õàðàêòåðèñòèê êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû, êàê ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû, îáà ìåòîäà
îáåñïå÷èâàþò ïðàêòè÷åñêè îäíó è òó æå òî÷íîñòü ïðè îäèíàêîâîì ÷èñëå óäåðæè-
âàåìûõ ñëàãàåìûõ â áåñêîíå÷íûõ ðÿäàõ.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3 23
Âëèÿíèå âîçìóùåíèé ôîðìû ãðàíèöû ...
a á
â ã
Ðèñ. 3. Ñðàâíåíèå ïîãðåøíîñòåé óäîâëåòâîðåíèÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì äëÿ íîðìàëüíûõ n
err
(à, á) è êàñàòåëüíûõ
�
err (â, ã) íàïðÿæåíèé íà ãðàíèöå I ïüåçîêåðàìè÷åñêîé ïëàñòèíû â ôîðìå
ïàðàëëåëîãðàììà ïî ìåòîäó êîëëîêàöèè: à, â – N M� � 60; á, ã – N M� � 90.
Çàêëþ÷åíèå. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà äèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ïüåçîïëàñòèí â
ôîðìå ïàðàëëåëîãðàììà ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàçðàáîòàííûé ìåòîä àíàëèòè÷åñêîãî ðåøå-
íèÿ çàäà÷è ýëåêòðîóïðóãîñòè äëÿ íåêàíîíè÷åñêîé îáëàñòè îáåñïå÷èâàåò äîñòîâåðíûå
çíà÷åíèÿ èõ êà÷åñòâåííûõ îöåíîê. Ïîêàçàíî, ÷òî êîëè÷åñòâåííûå îöåíêè õàðàêòå-
ðèñòèê êîëåáëþùåéñÿ ïëàñòèíû ïî îáîèì ïðåëîæåííûì àëãîðèòìàì ïðàêòè÷åñêè
îäèíàêîâûå. Ïðè ýòîì ìåòîä êîëëîêàöèé òðåáóåò ìåíüøåãî îáúåìà àíàëèòè÷åñêèõ
ïðåîáðàçîâàíèé.
Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèÿ (22) äàþò òî÷íîå îáùåå ðåøåíèå ãðàíè÷íîé çàäà÷è î
ïëàíàðíûõ êîëåáàíèÿõ ïüåçîêåðàìè÷åñêîé ïëàñòèíû â ôîðìå áåñêîíå÷íûõ ðÿäîâ.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîëè÷åñòâåííûõ îöåíîê ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ñóùåñòâåííî êîëè÷åñòâî
óäåðæèâàåìûõ ñëàãàåìûõ îò òðåáóåìîé ñòåïåíè òî÷íîñòè îöåíîê. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
íåîáõîäèìûõ êîýôôèöèåíòîâ èñïîëüçîâàëèñü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ çàäà÷è. Ñîîòâåòñò-
âóþùèå ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà (N è Ì) óäåðæèâàåìûõ
ñëàãàåìûõ ìîãóò áûòü ïðåîáðàçîâàíû â àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ äâóìÿ ïðèíöè-
ïèàëüíî ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè. Ïðåäëîæåíî äâà ïîäõîäà ê ðåøåíèþ ôóíêöèîíàëü-
íûõ óðàâíåíèé, âûðàæàþùèõ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ çàäà÷è. Îäèí èç íèõ èçâåñòåí â
ïðèêëàäíîé ìåõàíèêå êàê ìåòîä êîëëîêàöèè [12], êîãäà ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå
ïðåîáðàçóåòñÿ â àëãåáðàè÷åñêèå ðàâåíñòâà äëÿ íåêîòîðîé ñèñòåìû òî÷åê íà ãðàíèöå.
Ýòî äîâîëüíî ïðîñòîé ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ àëãåáðàè-
÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé. Äðóãîé, ñ íàøåé òî÷êè çðåíèÿ, áîëåå àäåêâàòíûé òðàäèöèîííîé
ïîñòàíîâêå ãðàíè÷íûõ çàäà÷ â ìåõàíèêå, ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ ñîîòíîøå-
24 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3
Ï. Øàêåðè Ìîáàðàêå, Â. Ò. Ãðèí÷åíêî, Á. Ñîëòàííèà
a á
â ã
Ðèñ. 4. Ñðàâíåíèå ïîãðåøíîñòåé óäîâëåòâîðåíèÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì äëÿ íîðìàëüíûõ n
err
(à, á) è êàñàòåëüíûõ
�
err (â, ã) íàïðÿæåíèé íà ãðàíèöå I ïüåçîêåðàìè÷åñêîé ïëàñòèíû â
ôîðìå ïàðàëëåëîãðàììà ïî ìåòîäó ìèíèìèçàöèè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ: à, â –
N M� � 60; á, ã – N M� � 90.
íèé îñíîâàí íà ïðèíöèïå ìèíèìèçàöèè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ ïðè âûïîë-
íåíèè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Ïðè ïîëó÷åíèè êîëè÷åñòâåííûõ îöåíîê áûëè èñïîëü-
çîâàíû îáà ìåòîäà è ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.
Ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè ÷àñòîòíûìè õàðàê-
òåðèñòèêàìè êîëåáàíèé ïüåçîêåðàìè÷åñêèõ ïëàñòèí â ôîðìå ïàðàëëåëîãðàììà, êîòî-
ðûå áóäóò ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåé ðàáîòå, ïîêàçàëî âûñîêóþ òî÷íîñòü èçëîæåí-
íîãî àíàëèòè÷åñêîãî ïîäõîäà ïðè èññëåäîâàíèè ïëàíàðíûõ êîëåáàíèé ïëàñòèí íå-
êàíîíè÷åñêîé ôîðìû.
Ð å ç þ ì å
Ïîáóäîâàíî çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ãðàíè÷íî¿ çàäà÷³ ïðî ïëàíàðí³ êîëèâàííÿ ï’ºçî-
êåðàì³÷íèõ ïëàñòèí ó ôîðì³ ïàðàëåëîãðàìà. Ðîçâ’ÿçîê ïîäàíî ÷åðåç íåñê³í÷åíí³ ðÿäè,
êîæíèé äîäàíîê ÿêèõ çàäîâîëüíÿº ð³âíÿííÿì ðóõó åëåìåíòà ï’ºçîïëàñòèíè. Äëÿ
âèçíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíò³â ðÿä³â âèêîðèñòîâóþòüñÿ ôóíêö³îíàëüí³ ð³âíÿííÿ, ÿê³ îòðè-
ìàíî íà îñíîâ³ ãðàíè÷íèõ óìîâ çàäà÷³. Ðîçâ’ÿçîê öèõ ð³âíÿíü ìîæëèâèé çà äîïîìî-
ãîþ äâîõ ï³äõîä³â: íà îñíîâ³ ìåòîäó êîëîêàö³¿ ³ ì³í³ì³çàö³¿ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íîãî
â³äõèëåííÿ. Ïðè ïðàêòè÷íîìó çàñòîñóâàíí³ ñê³í÷åííèõ ñóì çã³äíî ç îáîìà ï³äõîäàìè
ïðèõîäèìî äî ïîøóêó ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåì ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü. Îòðèìàíî
ê³ëüê³ñí³ îö³íêè äèíàì³÷íèõ õàðàêòåðèñòèê ï’ºçîïëàñòèí, àíàë³ç ÿêèõ äîçâîëÿº îö³íè-
òè âïëèâ ãåîìåò𳿠ïëàñòèíè. Ìåòîä ðîçâ’ÿçêó çàáåçïå÷óº âèñîêó òî÷í³ñòü îòðèìàíèõ
ðåçóëüòàò³â.
1. Ãðèí÷åíêî Â. Ò., Ìåëåøêî Â. Â. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ è âîëíû â óïðóãèõ
òåëàõ. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1981. 284 ñ.
2. Ìåõàíèêà ñâÿçàííûõ ïîëåé â ýëåìåíòàõ êîíñòðóêöèé / Ïîä ðåä. À. Í. Ãóçÿ. Â 5 ò.
Ò. 5: Ýëåêòðîóïðóãîñòü. Â. Ò. Ãðèí÷åíêî, À. Ô. Óëèòêî, Í. À. Øóëüãà. Êèåâ:
Íàóê. äóìêà, 1989. 280 ñ.
3. Ghodssi R. and Lin P. MEMS Materials and Processes Handbook. Springer Verlag,
2011. 1187 p.
4. Shakeri Mobarakeh P. and Grinchenko V. T. Construction method of analytical
solutions to the mathematical physics boundary problems for non-canonical domains.
Rep. Math. Phys. 2015. 75, No. 3. P. 417–434.
5. Krushynska A., Meleshko V., Ma C.-C., and Huang Y.-H. Mode excitation efficiency
for contour vibrations of piezoelectric resonators. IEEE T. Ultrason. Ferr. 2011. 58,
No. 10. P. 2222–2238.
6. Karlash V. L. Evolution of the planar vibrations of a rectangular piezoceramic plate as
its aspect ratio is changed. Int. Appl. Mech. 2007. 43, No. 7. P. 786–793.
7. Àíäðèàíîâ È. Â., Äàíèøåâñêèé Â. Â., Èâàíêîâ À. Î. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû â
òåîðèè êîëåáàíèé áàëîê è ïëàñòèí. Äíåïðîïåòðîâñê: ÏÄÀÁÀ, 2010. 216 ñ.
8. Òèìîøåíêî Ñ. Ï., Ãóäüåð Äæ. Òåîðèÿ óïðóãîñòè. Ì.: Íàóêà, 1979. 560 ñ.
9. Shakeri Mobarakeh P., Grinchenko V., and Soltannia B. Directional characteristics of
cylindrical radiators with an arc-shaped acoustic screen. J. Eng. Math. 2017. 103,
No. 1. P. 97–110. DOI: 10.1007/s10665-016-9863-9.
10. Shakeri Mobarakeh P., Grinchenko V. T., and Zrazhevsky G. M. A numerical-
analytical method for solving boundary value problem of elliptical type for a
parallelogram shaped plate. Bull. Taras Shevchenko Nat. Univ. Kyiv. Ser. Physics &
Mathematics. 2015. Special issue. P. 297–304.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3 25
Âëèÿíèå âîçìóùåíèé ôîðìû ãðàíèöû ...
11. Øàêåð³ Ìîáàðàêå Ï., Çðàæåâñüêèé Ã. Ì. Àëãîðèòì Ãàëüîðê³íà â ìåòîä³ ÷àñòèí-
íèõ îáëàñòåé ðîçâ’ÿçàííÿ ãðàíè÷íèõ çàäà÷. ³ñí. Êè¿â. íàö. óí-òó ³ì. Òàðàñà
Øåâ÷åíêà. Ñåð. Ô³ç.-ìàò. íàóêè. 2014. Âèï. 1. Ñ. 75–82.
12. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., and Fox D. D. The Finite Element Method for Solid
and Structural Mechanics. 7th edn. Oxford: Butterworth-Heinemmann, 2013. 672 p.
13. Shakeri Mobarakeh P., Grinchenko V. T., Iranpour Mobarakeh S., and Soltannia B.
Influence of acoustic screen on directional characteristics of cylindrical radiator. Proc.
of 5th Int. Conf. on Acoustics and Vibration (ISAV2015, Tehran, Iran, 2015).
14. Shakeri Mobarakeh P., Grinchenko V. T., Ahmadi H., and Soltannia B. The
amplitude- frequency characteristics of piezoceramic plates depending on the shape of
the boundaries. Proc. of 7th Int. Conf. on Acoustics and Vibration (ISAV2017,
Tehran, Iran, 2017).
15. Ìýçîí Ó. Ï. Ïüåçîåëåêòðè÷åñêèå êðèñòàëëû è èõ ïðèìåíåíèå â óëüòðààêóñòèêå.
Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1952. 447 ñ.
Ïîñòóïèëà 15. 05. 2017
26 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 3
Ï. Øàêåðè Ìîáàðàêå, Â. Ò. Ãðèí÷åíêî, Á. Ñîëòàííèà
|