Автоколебания функционально-градиентной нанокомпозитной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом газовом потоке
Получена модель геометрически нелинейного динамического деформирования цилиндрической оболочки из функционально-градиентного композитного материала с наноармированием. Рассматривается случай шарнирного закрепления оболочки. При получении этой модели используется сдвиговая теория Редди высокого поряд...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Технічна механіка |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2019
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174039 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Автоколебания функционально-градиентной нанокомпозитной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом газовом потоке / К.В. Аврамов // Технічна механіка. — 2019. — № 2. — С. 48-59. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859481505132183552 |
|---|---|
| author | Аврамов, К.В. |
| author_facet | Аврамов, К.В. |
| citation_txt | Автоколебания функционально-градиентной нанокомпозитной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом газовом потоке / К.В. Аврамов // Технічна механіка. — 2019. — № 2. — С. 48-59. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Технічна механіка |
| description | Получена модель геометрически нелинейного динамического деформирования цилиндрической оболочки из функционально-градиентного композитного материала с наноармированием. Рассматривается случай шарнирного закрепления оболочки. При получении этой модели используется сдвиговая теория Редди высокого порядка.
Отримано модель геометрично нелінійного динамічного деформування циліндричної оболонки з функціонально-градієнтного композитного матеріалу з наноармуванням. Розглядається випадок шарнірного закріплення оболонки. При отриманні цієї моделі використовується зсувна теорія Редді високого порядку.
The model of geometrically nonlinear behavior of functionally graded composite cylindrical shell with nanotubes reinforcements is derived. The simply supported cylindrical shell is treated. The Reddy high-order shear deformation theory is used.
|
| first_indexed | 2025-11-24T12:56:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
48
УДК 534
К. В. АВРАМОВ
АВТОКОЛЕБАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОЙ
НАНОКОМПОЗИТНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ В
СВЕРХЗВУКОВОМ ГАЗОВОМ ПОТОКЕ
Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины,
ул. Пожарского 2/10, Харьков, 61046, Украина; e-mail: avramov@nas.gov.ua
Отримано модель геометрично нелінійного динамічного деформування циліндричної оболонки з фу-
нкціонально-градієнтного композитного матеріалу з наноармуванням. Розглядається випадок шарнірного
закріплення оболонки. При отриманні цієї моделі використовується зсувна теорія Редді високого порядку.
Основними невідомими цієї моделі є три проєкції переміщень точок серединної поверхні і два кути пово-
роту нормалі до серединної поверхні. Отримано потенційну енергію геометрично нелінійного деформу-
вання циліндричної оболонки з урахуванням зсуву. Три проєкції переміщень і два кути повороту нормалі
до серединної поверхні розкладаються за власними формами коливань циліндричної оболонки. У цих
розкладаннях враховуються осьосиметричні форми коливань. Застосовуючи метод заданих форм, отрима-
но нелінійну систему звичайних диференціальних рівнянь великої розмірності, що описує нелінійні коли-
вання конструкції. Для опису надзвукового газового потоку використовується поршнева теорія. Для отри-
мання механічних характеристик нанокомпозита застосовується узагальнене правило сумішей. Для дослі-
дження динамічної стійкості тривіального стану рівноваги розраховуються характеристичні показники,
застосовується пряме числове інтегрування лінеаризованих рівнянь руху. В результаті числового аналізу
встановлено, що тривіальний стан рівноваги втрачає стійкість внаслідок біфуркації Хопфа. У точці біфур-
кації Хопфа народжується граничний цикл, який описує біжні хвилі в окружному напрямку циліндричної
оболонки. Для дослідження поведінки граничного циклу при зміні тиску незбуреного потоку застосовуєть-
ся метод гармонійного балансу, в якому використовується моногармонічне наближення для автоколивань.
Результати, отримані методом гармонійного балансу, порівнюються з даними прямого числового інтегру-
вання рівнянь руху. Результати, отримані двома методами, близькі, що свідчить про адекватність методу
гармонійного балансу при дослідженні автоколивань.
Получена модель геометрически нелинейного динамического деформирования цилиндрической обо-
лочки из функционально-градиентного композитного материала с наноармированием. Рассматривается
случай шарнирного закрепления оболочки. При получении этой модели используется сдвиговая теория
Редди высокого порядка. Основными неизвестными этой модели являются три проекции перемещений
точек срединной поверхности и два угла поворота нормали к срединной поверхности. Получена потенци-
альная энергия геометрически нелинейного деформирования цилиндрической оболочки с учетом сдвига.
Три проекции перемещений и два угла поворота нормали к срединной поверхности раскладываются по
собственным формам колебаний цилиндрической оболочки. В этих разложениях учитываются осесиммет-
ричные формы колебаний. Применяя метод заданных форм, получена нелинейная система обыкновенных
дифференциальных уравнений большой размерности, описывающая нелинейные колебания конструкции.
Для описания сверхзвукового газового потока используется поршневая теория. Для получения механиче-
ских характеристик нанокомпозита применяется обобщенное правило смесей. Для исследования динами-
ческой устойчивости тривиального состояния равновесия рассчитываются характеристические показатели
и применяется прямое численное интегрирование линеаризованных уравнений движения. В результате
численного анализа установлено, что тривиальное состояние равновесия теряет устойчивость вследствие
бифуркации Хопфа. В точке бифуркации Хопфа рождается предельный цикл, который описывает бегущие
волны в окружном направлении цилиндрической оболочки. Для исследования поведения предельного
цикла при изменении давления невозмущенного потока применяется метод гармонического баланса, в
котором используется моногармоническое приближение для автоколебаний. Результаты, полученные ме-
тодом гармонического баланса, сравниваются с данными прямого численного интегрирования уравнений
движения. Результаты, полученные двумя методами, близки, что свидетельствует об адекватности метода
гармонического баланса при исследовании автоколебаний.
The model of geometrically nonlinear behavior of functionally graded composite cylindrical shell with
nanotubes reinforcements is derived. The simply supported cylindrical shell is treated. The Reddy high-order shear
deformation theory is used. Three projections of the displacements and two rotations angles of middle surface
normal are the main unknowns of this problem. The potential energy of the cylindrical shell geometrically nonlin-
ear deformation is derived with account of shear. Three displacements projections and two rotation angles of the
middle surface normal is expanded using the eigenmodes of the cylindrical shell vibrations. The axisymmetric
eigenmodes are accounted in these expansions too. High dimension nonlinear system of ordinary differential equa-
tion is obtained to describe the structure nonlinear vibrations using the assumed-mode method. The piston theory
is used to describe the supersonic gas theory. The extended rule of mixture is used to obtain the mechanical fea-
tures of nano composites. The calculation of the characteristic exponents and the direct numerical integrations of
the motions equations are used to analyze the dynamic stability of the trivial equilibrium. As a result of the nu-
merical analysis, it is obtained, that the trivial equilibrium loses stability due to the Hopf bifurcation. The limit
© К. В. Аврамов, 2019
Технічна мех. – 2019. – № 2.
49
cycle is originated due to the Hopf bifurcation. This cycle describes the travelling waves of the cylindrical shell.
The harmonic balanced method is used to analyze the limit cycle behavior, when the flow pressure is varied. The
mono harmonic approximation of the self-sustained vibrations is used. The data, which are obtained by the har-
monic balanced method, are compared with the results of the direct numerical integrations. The results, which are
obtained by two methods, are close. Therefore, the harmonic balanced method are true for self- sustained vibra-
tions analysis.
Ключевые слова: функционально-градиентный композитный материал,
цилиндрическая оболочка в сверхзвуковом газовом потоке, сдвиговая теория
высокого порядка, динамическая неустойчивость, автоколебания.
Введение. Углеродистые нанотрубки обладают механическими характе-
ристиками на несколько порядков выше, чем у стали. Поэтому их использо-
вание для армирования композита привело к созданию высокопрочностного
и достаточно легкого композитного материала, который получил название
нанокомпозит [1]. Так как плотность нанотрубок переменна по толщине на-
нокомпозита, то композит обладает функционально-градиентными свойства-
ми. Свойства этих композитов сразу привлекли внимание ученых. Механиче-
ские характеристики нанокомпозита рассчитываются с помощью метода Мо-
ри–Тамака [2]. Правило смесей применяется для расчета упругих постоянных
нанокомпозита в [3]. В этой статье полученные результаты сравниваются с
данными численного решения упругой задачи. В серии статей эксперимен-
тально исследовались механические характеристики нанокомпозитов. Образ-
цы из нанокомпозита экспериментально исследовались на растяжение. Ре-
зультаты анализа обсуждаются в статье [4], где представлены данные анализа
модуля Юнга и предела текучести. В статье [5] экспериментально исследует-
ся влияние армирования нанотрубками на жесткость матрицы композита. В
работе констатируется существенное увеличение жесткости конструкции по-
сле ее армирования нанокомпозитами. Статика и динамика цилиндрических
оболочек из наноармированного материала изучается в работах [6 – 10]. Ли-
нейные колебания пластин из наноармированных композитных материалов
изучаются в работах [11 – 13].
В настоящей статье строится сдвиговая теория высокого порядка для
анализа деформирования функционально-градиентной композитной цилинд-
рической оболочки с наноармированием. В полученной модели учитывается
геометрически нелинейное деформирование. Благодаря его учету исследуют-
ся автоколебания оболочки при ее взаимодействии со сверхзвуковым газо-
вым потоком. Для описания сверхзукового потока применяется поршневая
теория. Для описания нелинейных колебаний оболочки из функционально-
градиентного композитного материала с наноармированием применяется ме-
тод заданных форм. В результате получается система нелинейных обыкновен-
ных дифференциальных уравнений большой размерности, которая описывает
автоколебания оболочки. Для исследования автоколебаний применяется метод
гармонического баланса. Используется моногармоническая аппроксимация
колебаний. Получена система нелинейных алгебраических уравнений относи-
тельно амплитуд автоколебаний, описывающая автоколебания оболочки.
1. Постановка задачи и уравнения движения. Рассматривается цилин-
дрическая оболочка постоянной толщины в сверхзвуковом газовом потоке.
Динамическое напряженно-деформируемое состояние оболочки исследуется
в криволинейной системе координат (рис. 1). В качестве основных
неизвестных задачи выбираются три проекции перемещений срединной по-
50
верхности оболочки и два угла поворота нормали к срединной поверхности.
При взаимодействии оболочки с газовым потоком может наблюдаться дина-
мическая неустойчивость, которая приводит к росту амплитуд колебаний ци-
линдрической оболочки и, как следствие, к геометрически нелинейному де-
формированию конструкции. Тогда деформации точек оболочки являются
малыми, а проекции трех перемещений – умеренными. Поэтому связь
между напряжениями и деформациями является линейной. Она описывается
законом Гука. Материал оболочки композитный функционально-
градиентный с наноармированием. Углеродистые нанотрубки располагаются
вдоль оси оболочки (рис. 1). Рассмотрим пять видов наноармирования, ко-
торые представлены на рис. 2. UD обозначает равномерное наноармирование
в поперечном направлении цилиндрической оболочки. Остальные виды ар-
мирования FGV, FG , FGX и FGO представлены на рис. 2. Все они имеют
переменное армирование в поперечном направлении. Поэтому материал обо-
лочки является функционально-градиентным. При равномерном распределе-
нии углеродистых нанотрубок (НТ) часть объема, занимаемого ими, обозна-
чим через . Для каждого из видов армирования часть объема
занимаемого нанотрубками, описывается формулами, представленными в
таблице 1.
Рис. 1
51
Рис. 2
Таблица 1. Зависимость объема, занимаемого НТ, от поперечной координаты
Тип армирования Часть объема, занимаемого НТ
UD-CNT
FGV-CNT
FG -CNT
FGX-CNT
FGO-CNT
Механические характеристики функционально-градиентного композит-
ного материала цилиндрической оболочки зависят от поперечной координаты
. Они определяются из расширенного правила смесей так:
где модули Юнга и модуль сдвига нанотрубок;
коэффициент Пуассона НТ; – параметры, описывающие связь ме-
жду НТ и матрицей композита; модуль Юнга и модуль сдвига
матрицы композита; плотность НТ и матрицы композита. Так
как материал оболочки композитный и градиентный, то в модели конструк-
ции будет учитываться сдвиг. Закон Гука для композитного материала обо-
лочки имеет вид:
где
52
– деформации сдвига; элементы тензора
деформаций Грина; напряжения сдвига; эле-
менты тензора напряжений.
Проекции перемещений произвольной точки оболочки, находящейся на
расстоянии от срединной поверхности, на оси и обозначим через
и , соответственно. Для описания де-
формирования оболочки воспользуемся сдвиговой теорией Редди высокого
порядка:
где радиус цилиндрической оболочки; углы вращения норма-
лей к срединной поверхности относительно осей , соответственно. Нели-
нейные колебания оболочки описываются пятью функциями:
. Тогда четыре функ-
ции разложения (3) определяются
из следующих граничных условий:
Из граничных условий (4), функции разложения (3) принимают следую-
щий вид:
Кинетическую энергию цилиндрической оболочки представим в сле-
дующем виде:
где длина оболочки вдоль образующей. Соотношения (3) подставим в
(6). Тогда кинетическая энергия примет следующий вид:
где Итак, кинетическая энергия (7) представ-
лена двойным интегралом. Потенциальную энергию оболочки представим в
следующем виде:
53
Соотношения (2) подставим в потенциальную энергию (8). В результате по-
лучим:
Так как оболочка совершает геометрически нелинейное деформирование,
то элементы тензора деформаций связаны с проекциями пере-
мещений так:
Элементы тензора деформаций удовлетворяют следующим разложениям
в ряд по координате :
где коэффициенты этого разложения находятся так:
Соотношения (11) подставим в потенциальную энергию (9) и произведем
интегрирование по . В результате получим следующее выражение для по-
тенциальной энергии:
54
где
Механические характеристики нанокомпозита, входящие в потенциаль-
ную энергию (12), определяются так:
Цилиндрическая оболочка обтекается снаружи сверхзвуковым газовым
потоком, который движется параллельно образующей оболочки. Нормальное
давление, действующее на оболочку со стороны сверхзвукового газового по-
тока, описывается поршневой теорией так [17]:
где показатель адиабаты; невозмущенное давление газового пото-
ка; число Маха; скорость звука.
В следующем разделе будут численно исследоваться нелинейные автоко-
лебания цилиндрической оболочки из нанокомпозита, возникшие вследствие
динамической неустойчивости, вызванной взаимодействием конструкции со
сверхзвуковым газовым потоком. В этом разделе выводится нелинейная ди-
намическая система с конечным числом степеней свободы, описывающая та-
кие автоколебания. Автоколебания оболочки разложим так:
55
где
–
вектор обобщенных координат размерности Так как кон-
струкция совершает геометрически нелинейные колебания, в разложениях
(15) присутствуют пары сопряженных мод колебаний. Более того, в разложе-
ниях нелинейных колебаний обязательно присутствуют осесимметричные
формы колебаний.
Для получения уравнений движения воспользуемся методом заданных
форм [43], который основывается на уравнениях Лагранжа. Соотношения (15)
подставим в кинетическую энергию системы (7) и произведем необходимое
интегрирование. Тогда кинетическая энергия будет иметь вид квадратичной
формы обобщенных скоростей: Теперь разложение (15)
подставим в соотношения (12). Тогда потенциальную энергию представим в
виде функции от обобщенных координат конструкции:
Эта функция содержит квадратные, кубические и сла-
гаемые четвертой степени относительно обобщенных координат. Тогда урав-
нение Лагранжа относительно обобщенных координат конструкции примет
следующий вид:
где матрицы масс и жесткости конст-
рукции; числовые коэффициенты, описывающие геометрически
нелинейное деформирование оболочки; обобщенные си-
лы, описывающие взаимодействие оболочки со сверхзвуковым газовым по-
током. Эти обобщенные силы линейно зависят от обобщенных координат и
обобщенных скоростей конструкции так:
Перед исследованием автоколебаний определяются значения параметров
системы, при которых тривиальное состояние равновесия теряет устойчи-
вость и в системе возникают автоколебания. Это происходит вследствие би-
фуркации Хопфа. Для исследования устойчивости тривиального состояния
равновесия рассчитываются характеристические показатели линеаризованной
динамической системы (16). Подход к расчету этих показателей обсуждается
в [14].
Для анализа автоколебаний к динамической системе (16) применим ме-
тод гармонического баланса, который подробно рассмотрен в монографии
[14]. Используется моногармоническое приближение для колебаний. Метод
56
гармонического баланса сводится к системе нелинейных алгебраических
уравнений относительно амплитуд автоколебаний.
2. Численный анализ динамической неустойчивости. Для расчета ме-
ханических характеристик функционально-градиентного композитного мате-
риала с наноармированием воспользуемся параметрами, описывающими связь
между НТ и матрицей композита . Величины этих параметров полу-
чены в работах [15]. Механические характеристики углеродистых нанотрубок
и матриц композита принимались следующими:
Для исследования потери устойчивости тривиального состояния равно-
весия рассчитывались характеристические показатели. Численно исследова-
лась эта потеря устойчивости при различном числе волн в окружном направ-
лении (15). Характеристические показатели исследовались для различных
значений невозмущенного давления газового потока . В результате расчета
определялась граница области устойчивости тривиального состояния равно-
весия, которая соответствует бифуркации Хопфа. В бифуркации Хопфа рож-
даются автоколебания цилиндрической оболочки. Такие колебания исследу-
ются в следующем разделе. Значение давления, соответствующее точке би-
фуркации Хопфа, назовем критическим . Численно исследуем оболочку
с параметрами
FGV армированием (рис. 2) и . Расчеты проводились для трех
значений чисел Маха и . При проведении расчетов в
разложении (15) принималось . Тогда число степеней свобо-
ды динамической системы (16) . Параметры сверхзвукового потока
(14) принимались следующими: . Результаты расчета представлены на
рис. 3. Сплошной и пунктирной линией показаны критические давления газо-
вого потока в зависимости от числа волн в окружном направлении для
и соответственно. При и минимальное крити-
ческое давление реализуется при . Как следует из этих графиков, число
Маха существенно влияет на величины критического давления.
Исследовались критические значения давления при оболочки с
параметрами (18) и с разными видами наноармирования, которые показаны
на рис. 2. Полученные расчетные значения критического давления представ-
лены в таблице 2. В первом столбце таблицы представлены виды наноарми-
рования; во втором столбце показаны значения части объема, занимаемого
углеродистыми НТ. В третьем столбце показано число волн в окружном на-
правлении, при котором наблюдается критическое давление, представленное
в четвертом столбце таблицы. Чаще всего критические значения давления
наблюдались при и значительно реже при . Как следует из таб-
лицы 3, вид армирования существенно влияет на величину критического дав-
ления. С помощью изменения вида армирования величину критического дав-
ление можно увеличить в два раза.
57
3. Численный анализ автоколебаний. Исследуем численно автоколеба-
ния, которые возникают вследствие динамической неустойчивости состояния
равновесия оболочки. Для исследования автоколебаний применяется метод
гармонического баланса. Результаты расчета таких автоколебаний представ-
ляются на бифуркационной диаграмме, которая выражает зависимость ам-
плитуд автоколебаний от давления невозмущенного потока . Кроме при-
менения метода гармонического баланса, для исследования автоколебаний
применяется прямое численное интегрирование уравнений движения (16).
Начальные условия для численного интегрирования выбираются из результа-
тов расчета методом гармонического баланса. Исследуются автоколебания
оболочки с равномерным наноармированием материала UD и параметром
. Численные значения параметров оболочки (18), а параметры
сверхзвукового потока таковы: ; . Величина в разложении
(15) принимались . Диаграмма отклика представлена на рис. 4, где по-
казываются амплитуды автоколебаний обобщенной координаты в
зависимости от давления потока . При тривиальное со-
стояние равновесия является устойчивым. При возникает
бифуркация Хопфа, в результате которой тривиальное состояние равновесия
становится неустойчивым и в системе возбуждаются автоколебания. Сплош-
ной линией (рис. 4) показываются амплитуды автоколебаний, полученные
методом гармонического баланса. Результаты прямого численного интегри-
рования представлены ромбами на рис. 4. Как следует из этого рисунка, ре-
зультаты прямого численного интегрирования и данные, полученные мето-
дом гармонического баланса, близки.
Рис. 3
,
Па
n
58
Таблица 2. Критические значения давления при различном виде
армирования углеродистыми нанотрубками и числе Маха
Вид
наноармирования n
0,12 6 0,33
0,17 5 0,68FGV-СNT
0,28 5 0,97
0,12 5 0,38
0,17 5 0,76FGX-CNT
0,28 5 1,21
0,12 6 0,27
0,17 5 0,56FGO-CNT
0,28 5 0,71
Рис. 4
Заключение. В работе построена новая модель геометрически нелиней-
ного динамического деформирования функционально-градиентной компо-
зитной цилиндрической оболочки с наноармированием. В модели применяет-
ся сдвиговая теория Редди высокого порядка. С помощью метода заданных
форм нелинейная динамика таких оболочек описывается системой нелиней-
ных обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности.
Для исследования автоколебаний применяется метод гармонического баланса
с моногармонической аппроксимацией колебаний. Показано, что этот подход
достаточно точно описывает автоколебания оболочки.
Динамическая неустойчивость цилиндрической оболочки из нанокомпо-
зита в сверхзвуковом газовом потоке наступает вследствие бифуркации Хоп-
фа. Минимальное значение критического давления сверхзвукового обтекания
59
оболочки реализуется при числе волн в окружном направлении .
При расчетах изотропных цилиндрических оболочек в сверхзвуковом газо-
вом потоке минимальное значение критического давления наступает при
числе волн в окружном направлении . Кроме радиальных перемеще-
ний, значительный вклад в нелинейные колебания вносит координата
, что свидетельствует о значительном вращении нормали к средин-
ной поверхности.
1. Seidel G. D., Lagoudas D. C. Micromechanical analysis of the effective elastic properties of carbon nanotube
reinforced composites. Mechanics of Materials. 2006. Vol. 38. P. 884–907.
2. Liu Y. J., Chen X. L. Evaluations of the effective material properties of carbon nanotube-based composites
using a nanoscale representative volume element. Mechanics of Materials. 2003. Vol. 35. 69–81.
3. Odegard G. M., Gates T. S., Wise K. E., Park C., Siochi E. J. Constitutive modeling of nanotube–reinforced
polymer composites. Composites Science and Technology. 2003. Vol. 63. Р. 1671–1687.
4. Allaoui A., Bai S., Cheng H. M., Bai J. B. Mechanical and electrical properties of a MWNT/epoxy composite/.
Composites Science and Technology. 2002.Vol. 62. Р.1993–1998.
5. Ci L., Bai J. B. The reinforcement role of carbon nanotubes in epoxy composites with different matrix stiff-
ness. Composites Science and Technology. 2006. Vol. 66. Р. 599–603.
6. Mehrabadi S. J., Aragh B. S. Stress analysis of functionally graded open cylindrical shell reinforced by ag-
glomerated carbon nanotubes. Thin-Walled Structures. 2014. Vol. 80. Р.130–141.
7. Zhang L.W., Lei Z. X., Liew K. M., Yu J. L. Static and dynamic of carbon nanotube reinforced functionally
graded cylindrical panels. Composite Structures. 2014. 111. Р. 205–212.
8. Song Z. G., Zhang L. W., Liew K. M. Vibration analysis of CNT-reinforced functionally graded composite
cylindrical shells in thermal environments. International Journal of Mechanical Sciences. 2016. Vol. 115–
116. Р. 339–347.
9. Sobhaniaragh B., Batra R. C., Mansur W. J., Peters F. C. Thermal response of ceramic matrix nanocomposite
cylindrical shells using Eshelby-Mori-Tanaka homogenization scheme. Composites Part B: Engineering.
2017. Vol. 118. Р. 41–53.
10. Yaser K., Rossana D., Francesco T. Free vibration of FG-CNT reinforced composite skew cylindrical shells
using the Chebyshev-Ritz formulation. Composites Part B: Engineering. 2018. Vol. 147. Р. 169–177.
11. Lei Z. X., Liew K. M., Yu J. L. Free vibration analysis of functionally graded carbon nanotube-reinforced com-
posite plates using the element-free kp-Ritz method in thermal environment. Composite Structures. 2013. Vol.
106. Р. 128–138.
12. Lei Z. X. Zhang L .W. , Liew K. M. Elastodynamic analysis of carbon nanotube-reinforced functionally graded
plates. International Journal of Mechanical Sciences. 2015. Vol. 99. Р. 208–217.
13. García-Macías E., Rodríguez-Tembleque L., Sáez A. Bending and free vibration analysis of functionally
graded graphene vs. carbon nanotube reinforced composite plates. Composite Structures. 2018. Vol. 186. Р.
123–138.
14. Аврамов К. В. Михлин Ю. В. Нелинейная динамика упругих систем. Т.1. Подходы, методы, явления.
2-е издание переработанное и дополненное. Москва: Институт компьютерных исследований, 2015.
716 с.
15. Mehri M., Asadi H., Wang Q. On dynamic instability of a pressurized functionally graded carbon nanotube
reinforced truncated conical shell subjected to yawed supersonic airflow. Composite Structures. 2016. Vol.
153. 938–951.
Получено 02.04.2019,
в окончательном варианте 10.06.2019
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174039 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9184 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T12:56:51Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| record_format | dspace |
| spelling | Аврамов, К.В. 2020-12-29T17:43:23Z 2020-12-29T17:43:23Z 2019 Автоколебания функционально-градиентной нанокомпозитной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом газовом потоке / К.В. Аврамов // Технічна механіка. — 2019. — № 2. — С. 48-59. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174039 534 Получена модель геометрически нелинейного динамического деформирования цилиндрической оболочки из функционально-градиентного композитного материала с наноармированием. Рассматривается случай шарнирного закрепления оболочки. При получении этой модели используется сдвиговая теория Редди высокого порядка. Отримано модель геометрично нелінійного динамічного деформування циліндричної оболонки з функціонально-градієнтного композитного матеріалу з наноармуванням. Розглядається випадок шарнірного закріплення оболонки. При отриманні цієї моделі використовується зсувна теорія Редді високого порядку. The model of geometrically nonlinear behavior of functionally graded composite cylindrical shell with nanotubes reinforcements is derived. The simply supported cylindrical shell is treated. The Reddy high-order shear deformation theory is used. ru Інститут технічної механіки НАН України і НКА України Технічна механіка Автоколебания функционально-градиентной нанокомпозитной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом газовом потоке Автоколивання функціонально-градієнтної нанокомпозитної циліндричної оболонки в надзвуковому газовому потоці Self-vibrations of a functionally graded nanocomposite cylindrical shell in a supersonic gas flow Article published earlier |
| spellingShingle | Автоколебания функционально-градиентной нанокомпозитной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом газовом потоке Аврамов, К.В. |
| title | Автоколебания функционально-градиентной нанокомпозитной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом газовом потоке |
| title_alt | Автоколивання функціонально-градієнтної нанокомпозитної циліндричної оболонки в надзвуковому газовому потоці Self-vibrations of a functionally graded nanocomposite cylindrical shell in a supersonic gas flow |
| title_full | Автоколебания функционально-градиентной нанокомпозитной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом газовом потоке |
| title_fullStr | Автоколебания функционально-градиентной нанокомпозитной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом газовом потоке |
| title_full_unstemmed | Автоколебания функционально-градиентной нанокомпозитной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом газовом потоке |
| title_short | Автоколебания функционально-градиентной нанокомпозитной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом газовом потоке |
| title_sort | автоколебания функционально-градиентной нанокомпозитной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом газовом потоке |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174039 |
| work_keys_str_mv | AT avramovkv avtokolebaniâfunkcionalʹnogradientnoinanokompozitnoicilindričeskoioboločkivsverhzvukovomgazovompotoke AT avramovkv avtokolivannâfunkcíonalʹnogradíêntnoínanokompozitnoícilíndričnoíobolonkivnadzvukovomugazovomupotocí AT avramovkv selfvibrationsofafunctionallygradednanocompositecylindricalshellinasupersonicgasflow |