Математическое моделирование динамических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске ЖРД с дожиганием генераторного газа
К числу наиболее важных и сложных вопросов при моделировании запуска ЖРД относится описание заполнения газожидкостных объемов двигателя, процессов, обусловленных кавитационными явлениями в насосах, и кинетики воспламенения и выгорания топлива в газогенераторе и камере сгорания. Представлена модифици...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Технічна механіка |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2019
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174079 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическое моделирование динамических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске ЖРД с дожиганием генераторного газа / О.В. Пилипенко, Н.В. Хоряк, C.И. Долгополов, А.Д. Николаев // Технічна механіка.— 2019.— № 4.— С. 5-20.— Бібліогр.: 21 назв.— рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174079 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Пилипенко, О.В. Хоряк, Н.В. Долгополов, C.И. Николаев, А.Д. 2021-01-01T19:53:16Z 2021-01-01T19:53:16Z 2019 Математическое моделирование динамических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске ЖРД с дожиганием генераторного газа / О.В. Пилипенко, Н.В. Хоряк, C.И. Долгополов, А.Д. Николаев // Технічна механіка.— 2019.— № 4.— С. 5-20.— Бібліогр.: 21 назв.— рос. 1561-9184 DOI: doi.org/10.15407/itm2019.04.005 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174079 621.454.2 К числу наиболее важных и сложных вопросов при моделировании запуска ЖРД относится описание заполнения газожидкостных объемов двигателя, процессов, обусловленных кавитационными явлениями в насосах, и кинетики воспламенения и выгорания топлива в газогенераторе и камере сгорания. Представлена модифицированная математическая модель динамики кавитирующих насосов, которая сохраняет свою структуру и работоспособность в широком диапазоне изменения чисел кавитации и при взаимных переходах с кавитационного режима работы насоса на бескавитационный, что необходимо при численном исследовании рабочих процессов в ЖРД при запуске. Разработан подход к построению нелинейной математической модели заполнения гидравлических трактов ЖРД, позволяющий в случае необходимости автоматически изменять схему разбиения гидравлического тракта на конечные гидравлические элементы в процессе его заполнения при расчетах запуска. Предложена схема приближенной замены уравнений с запаздываниями в математической модели динамики газовых трактов ЖРД, построенная с учетом особенностей расчета переходных процессов при запуске ЖРД и позволяющая повысить точность результатов моделирования при минимальном усложнении модели. Работоспособность разработанных математических моделей продемонстрирована на примере расчета запуска маршевого ЖРД с дожиганием окислительного генераторного газа. Результаты проведенных исследований могут быть использованы при математическом моделировании запуска современных ЖРД. Стаття присвячена удосконаленню математичних моделей, що описують низькочастотні динамічні процеси в гідравлічних і газових трактах РРД із допалюванням генераторного газу при запуску двигуна. Представлено модифіковану математичну модель динаміки кавітуючих насосів, яка зберігає свою структуру і працездатність в широкому діапазоні зміни чисел кавітації і при взаємних переходах з кавітаційного режиму роботи насоса на безкавітаційний, що необхідно при числовому дослідженні робочих процесів у РРД при запуску. Розроблено підхід до побудови нелінійної математичної моделі заповнення гідравлічних трактів РРД, який дозволяє в разі необхідності автоматично змінювати схему розбиття гідравлічного тракту на скінченні гідравлічні елементи в процесі його заповнення при розрахунках запуску. Запропоновано схему наближеної заміни рівнянь із запізнюваннями в математичній моделі динаміки газових трактів РРД, яка побудована із урахуванням особливостей розрахунку перехідних процесів при запуску РРД і дозволяє підвищити точність результатів моделювання при мінімальному ускладненні моделі. Працездатність розроблених математичних моделей продемонстровано на прикладі розрахунку запуску маршового РРД із допалюванням окислювального генераторного газу. Результати проведених досліджень можуть бути використані при математичному моделюванні запуску сучасних РРД. This paper presents a modified mathematical model of cavitating pipe dynamics, which keeps its structure and operability over a wide cavitation number range and in mutual transitions between the cavitation and the cavitation-free pump operation, which is required for the numerical study of working processes in an LPRE at its start. An approach to the construction of a nonlinear mathematical model of LPRE hydraulic path filling is presented. The approach allows one, if necessary, to automatically change the scheme of partitioning the hydraulic path into finite hydraulic elements in the process of its filling at engine start. A scheme of approximate substitution of delay equations in the mathematical model of LPRE gas path dynamics is proposed. The scheme is constructed with account for the features of calculation of LPRE start transients, and it allows the simulation accuracy to be improved with the minimum of model complication. The operability of the mathematical models developed is demonstrated by the example of simulating the start of a sustainer LPRE with oxidizing generator gas after-burning. The results of this study may be used in the mathematical simulation of the start of modern LPREs. Исследования выполнены за счет финансирования по бюджетной программе «Поддержка развития приоритетных направлений научных исследований» (КПКВК 6541230). ru Інститут технічної механіки НАН України і НКА України Технічна механіка Математическое моделирование динамических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске ЖРД с дожиганием генераторного газа Математичне моделювання динамічних процесів у гідравлічних і газових трактах при запуску РРД з допалюванням генераторного газу Mathematical simulation of dynamic processes in hydraulic and gas paths at the start of a liquid-propellant rocket engine with generator gas after-burning Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Математическое моделирование динамических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске ЖРД с дожиганием генераторного газа |
| spellingShingle |
Математическое моделирование динамических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске ЖРД с дожиганием генераторного газа Пилипенко, О.В. Хоряк, Н.В. Долгополов, C.И. Николаев, А.Д. |
| title_short |
Математическое моделирование динамических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске ЖРД с дожиганием генераторного газа |
| title_full |
Математическое моделирование динамических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске ЖРД с дожиганием генераторного газа |
| title_fullStr |
Математическое моделирование динамических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске ЖРД с дожиганием генераторного газа |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование динамических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске ЖРД с дожиганием генераторного газа |
| title_sort |
математическое моделирование динамических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске жрд с дожиганием генераторного газа |
| author |
Пилипенко, О.В. Хоряк, Н.В. Долгополов, C.И. Николаев, А.Д. |
| author_facet |
Пилипенко, О.В. Хоряк, Н.В. Долгополов, C.И. Николаев, А.Д. |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Технічна механіка |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| format |
Article |
| title_alt |
Математичне моделювання динамічних процесів у гідравлічних і газових трактах при запуску РРД з допалюванням генераторного газу Mathematical simulation of dynamic processes in hydraulic and gas paths at the start of a liquid-propellant rocket engine with generator gas after-burning |
| description |
К числу наиболее важных и сложных вопросов при моделировании запуска ЖРД относится описание заполнения газожидкостных объемов двигателя, процессов, обусловленных кавитационными явлениями в насосах, и кинетики воспламенения и выгорания топлива в газогенераторе и камере сгорания. Представлена модифицированная математическая модель динамики кавитирующих насосов, которая сохраняет свою структуру и работоспособность в широком диапазоне изменения чисел кавитации и при взаимных переходах с кавитационного режима работы насоса на бескавитационный, что необходимо при численном исследовании рабочих процессов в ЖРД при запуске. Разработан подход к построению нелинейной математической модели заполнения гидравлических трактов ЖРД, позволяющий в случае необходимости автоматически изменять схему разбиения гидравлического тракта на конечные гидравлические элементы в процессе его заполнения при расчетах запуска. Предложена схема приближенной замены уравнений с запаздываниями в математической модели динамики газовых трактов ЖРД, построенная с учетом особенностей расчета переходных процессов при запуске ЖРД и позволяющая повысить точность результатов моделирования при минимальном усложнении модели. Работоспособность разработанных математических моделей продемонстрирована на примере расчета запуска маршевого ЖРД с дожиганием окислительного генераторного газа. Результаты проведенных исследований могут быть использованы при математическом моделировании запуска современных ЖРД.
Стаття присвячена удосконаленню математичних моделей, що описують низькочастотні динамічні процеси в гідравлічних і газових трактах РРД із допалюванням генераторного газу при запуску двигуна. Представлено модифіковану математичну модель динаміки кавітуючих насосів, яка зберігає свою структуру і працездатність в широкому діапазоні зміни чисел кавітації і при взаємних переходах з кавітаційного режиму роботи насоса на безкавітаційний, що необхідно при числовому дослідженні робочих процесів у РРД при запуску. Розроблено підхід до побудови нелінійної математичної моделі заповнення гідравлічних трактів РРД, який дозволяє в разі необхідності автоматично змінювати схему розбиття гідравлічного тракту на скінченні гідравлічні елементи в процесі його заповнення при розрахунках запуску. Запропоновано схему наближеної заміни рівнянь із запізнюваннями в математичній моделі динаміки газових трактів РРД, яка побудована із урахуванням особливостей розрахунку перехідних процесів при запуску РРД і дозволяє підвищити точність результатів моделювання при мінімальному ускладненні моделі. Працездатність розроблених математичних моделей продемонстровано на прикладі розрахунку запуску маршового РРД із допалюванням окислювального генераторного газу. Результати проведених досліджень можуть бути використані при математичному моделюванні запуску сучасних РРД.
This paper presents a modified mathematical model of cavitating pipe dynamics, which keeps its structure and operability over a wide cavitation number range and in mutual transitions between the cavitation and the cavitation-free pump operation, which is required for the numerical study of working processes in an LPRE at its start. An approach to the construction of a nonlinear mathematical model of LPRE hydraulic path filling is presented. The approach allows one, if necessary, to automatically change the scheme of partitioning the hydraulic path into finite hydraulic elements in the process of its filling at engine start. A scheme of approximate substitution of delay equations in the mathematical model of LPRE gas path dynamics is proposed. The scheme is constructed with account for the features of calculation of LPRE start transients, and it allows the simulation accuracy to be improved with the minimum of model complication. The operability of the mathematical models developed is demonstrated by the example of simulating the start of a sustainer LPRE with oxidizing generator gas after-burning. The results of this study may be used in the mathematical simulation of the start of modern LPREs.
|
| issn |
1561-9184 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174079 |
| citation_txt |
Математическое моделирование динамических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске ЖРД с дожиганием генераторного газа / О.В. Пилипенко, Н.В. Хоряк, C.И. Долгополов, А.Д. Николаев // Технічна механіка.— 2019.— № 4.— С. 5-20.— Бібліогр.: 21 назв.— рос. |
| work_keys_str_mv |
AT pilipenkoov matematičeskoemodelirovaniedinamičeskihprocessovvgidravličeskihigazovyhtraktahprizapuskežrdsdožiganiemgeneratornogogaza AT horâknv matematičeskoemodelirovaniedinamičeskihprocessovvgidravličeskihigazovyhtraktahprizapuskežrdsdožiganiemgeneratornogogaza AT dolgopolovci matematičeskoemodelirovaniedinamičeskihprocessovvgidravličeskihigazovyhtraktahprizapuskežrdsdožiganiemgeneratornogogaza AT nikolaevad matematičeskoemodelirovaniedinamičeskihprocessovvgidravličeskihigazovyhtraktahprizapuskežrdsdožiganiemgeneratornogogaza AT pilipenkoov matematičnemodelûvannâdinamíčnihprocesívugídravlíčnihígazovihtraktahprizapuskurrdzdopalûvannâmgeneratornogogazu AT horâknv matematičnemodelûvannâdinamíčnihprocesívugídravlíčnihígazovihtraktahprizapuskurrdzdopalûvannâmgeneratornogogazu AT dolgopolovci matematičnemodelûvannâdinamíčnihprocesívugídravlíčnihígazovihtraktahprizapuskurrdzdopalûvannâmgeneratornogogazu AT nikolaevad matematičnemodelûvannâdinamíčnihprocesívugídravlíčnihígazovihtraktahprizapuskurrdzdopalûvannâmgeneratornogogazu AT pilipenkoov mathematicalsimulationofdynamicprocessesinhydraulicandgaspathsatthestartofaliquidpropellantrocketenginewithgeneratorgasafterburning AT horâknv mathematicalsimulationofdynamicprocessesinhydraulicandgaspathsatthestartofaliquidpropellantrocketenginewithgeneratorgasafterburning AT dolgopolovci mathematicalsimulationofdynamicprocessesinhydraulicandgaspathsatthestartofaliquidpropellantrocketenginewithgeneratorgasafterburning AT nikolaevad mathematicalsimulationofdynamicprocessesinhydraulicandgaspathsatthestartofaliquidpropellantrocketenginewithgeneratorgasafterburning |
| first_indexed |
2025-11-25T04:52:29Z |
| last_indexed |
2025-11-25T04:52:29Z |
| _version_ |
1850507188653522944 |
| fulltext |
5
УДК 621.454.2 https://doi.org/10.15407/itm2019.04.005
О. В. ПИЛИПЕНКО, Н. В. ХОРЯК, C. И. ДОЛГОПОЛОВ, А. Д. НИКОЛАЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В ГИДРАВЛИЧЕСКИХ И ГАЗОВЫХ ТРАКТАХ ПРИ ЗАПУСКЕ ЖРД
С ДОЖИГАНИЕМ ГЕНЕРАТОРНОГО ГАЗА
Институт технической механики
Национальной академии наук Украины и Государственного космического агентства Украины,
ул. Лешко-Попеля, 15, 49005, Днепр, Украина; e-mail: khoryak@i.ua
Однією з основних задач при проектуванні рідинних ракетних двигунів (РРД) є забезпечення без-
відмовного запуску РРД. Експериментальне відпрацювання РРД є вельми витратним, а в разі нештатних
ситуацій можливі тяжкі наслідки (в тому числі, руйнування двигуна і стендового обладнання). Тому од-
ним з головних інструментів, які дозволяють на етапах проектування і відпрацювання РРД прогнозувати
його динамічні характеристики і особливості функціонування при запуску, є математичне моделювання.
Стаття присвячена удосконаленню математичних моделей, що описують низькочастотні динамічні проце-
си в гідравлічних і газових трактах РРД із допалюванням генераторного газу при запуску двигуна. Пред-
ставлено модифіковану математичну модель динаміки кавітуючих насосів, яка зберігає свою структуру і
працездатність в широкому діапазоні зміни чисел кавітації і при взаємних переходах з кавітаційного ре-
жиму роботи насоса на безкавітаційний, що необхідно при числовому дослідженні робочих процесів у
РРД при запуску. Розроблено підхід до побудови нелінійної математичної моделі заповнення гідравлічних
трактів РРД, який дозволяє в разі необхідності автоматично змінювати схему розбиття гідравлічного трак-
ту на скінченні гідравлічні елементи в процесі його заповнення при розрахунках запуску. Запропоновано
схему наближеної заміни рівнянь із запізнюваннями в математичній моделі динаміки газових трактів РРД,
яка побудована із урахуванням особливостей розрахунку перехідних процесів при запуску РРД і дозволяє
підвищити точність результатів моделювання при мінімальному ускладненні моделі. Працездатність роз-
роблених математичних моделей продемонстровано на прикладі розрахунку запуску маршового РРД із
допалюванням окислювального генераторного газу. Результати проведених досліджень можуть бути вико-
ристані при математичному моделюванні запуску сучасних РРД.
Ключові слова: рідинний ракетний двигун, запуск, перехідний процес, кавітація, шнековідцентро-
вий насос, газогенератор, передавальна функція, частотна характеристика, ланка запізнювання.
Одной из основных задач при проектировании жидкостных ракетных двигателей (ЖРД) является
обеспечение безотказного запуска ЖРД. Экспериментальная отработка ЖРД является весьма затратной, а
нештатные ситуации могут иметь тяжелые последствия (в том числе, разрушение двигателя и стендового
оборудования). Поэтому одним из главных инструментов, позволяющих на этапах проектирования и отра-
ботки ЖРД прогнозировать его динамические характеристики и особенности функционирования при
запуске, является математическое моделирование. К числу наиболее важных и сложных вопросов при
моделировании запуска ЖРД относится описание заполнения газожидкостных объемов двигателя, процес-
сов, обусловленных кавитационными явлениями в насосах, и кинетики воспламенения и выгорания топ-
лива в газогенераторе и камере сгорания. Представлена модифицированная математическая модель дина-
мики кавитирующих насосов, которая сохраняет свою структуру и работоспособность в широком диапа-
зоне изменения чисел кавитации и при взаимных переходах с кавитационного режима работы насоса на
бескавитационный, что необходимо при численном исследовании рабочих процессов в ЖРД при запуске.
Разработан подход к построению нелинейной математической модели заполнения гидравлических трактов
ЖРД, позволяющий в случае необходимости автоматически изменять схему разбиения гидравлического
тракта на конечные гидравлические элементы в процессе его заполнения при расчетах запуска. Предложе-
на схема приближенной замены уравнений с запаздываниями в математической модели динамики газовых
трактов ЖРД, построенная с учетом особенностей расчета переходных процессов при запуске ЖРД и позво-
ляющая повысить точность результатов моделирования при минимальном усложнении модели. Работоспо-
собность разработанных математических моделей продемонстрирована на примере расчета запуска мар-
шевого ЖРД с дожиганием окислительного генераторного газа. Результаты проведенных исследований
могут быть использованы при математическом моделировании запуска современных ЖРД.
Ключевые слова: жидкостной ракетный двигатель, запуск, переходный процесс, кавитация,
шнекоцентробежный насос, газогенератор, передаточная функция, частотная характеристика, звено
запаздывания.
One of the key problems in the design of liquid-propellant rocket engines (LPREs) is the assurance of a
trouble-free LPRE start. LPRE bench tryout is highly expensive, and emergency situations may have grave conse-
quences (including engine and bench equipment destruction), Because of this, one of the main tools that allow
one to predict the LPRE dynamic characteristics and start-up operation features at the design and tryout stages is
mathematical simulation. One of the most important and complex problems in LPRE start simulation is the de-
scription of LPRE gas–liquid volume filling, processes caused by pump cavitation, and the kinetics of propellant
ignition and burn-out in the gas generator and the combustion chamber. This paper presents a modified mathe-
О. В. Пилипенко, Н. В. Хоряк, C. И. Долгополов, А. Д. Николаев, 2019
Техн. механіка. – 2019. – № 4.
6
matical model of cavitating pipe dynamics, which keeps its structure and operability over a wide cavitation num-
ber range and in mutual transitions between the cavitation and the cavitation-free pump operation, which is re-
quired for the numerical study of working processes in an LPRE at its start. An approach to the construction of a
nonlinear mathematical model of LPRE hydraulic path filling is presented. The approach allows one, if necessary,
to automatically change the scheme of partitioning the hydraulic path into finite hydraulic elements in the process
of its filling at engine start. A scheme of approximate substitution of delay equations in the mathematical model
of LPRE gas path dynamics is proposed. The scheme is constructed with account for the features of calculation of
LPRE start transients, and it allows the simulation accuracy to be improved with the minimum of model compli-
cation. The operability of the mathematical models developed is demonstrated by the example of simulating the
start of a sustainer LPRE with oxidizing generator gas after-burning. The results of this study may be used in the
mathematical simulation of the start of modern LPREs.
Keywords: liquid-propellant rocket engine, start, transient, cavitation, inducer-equipped centrifugal
pump, gas generator, transfer function, frequency characteristics, lagging element.
Введение. Одним из наиболее сложных динамических режимов работы
жидкостного ракетного двигателя (ЖРД) является запуск [1 – 6]. Как показа-
ла практика создания и эксплуатации ЖРД, более 50 % аварий жидкостных
ракет-носителей связаны с отказами двигателей [2], при этом именно на ре-
жимах запуска отмечается наибольшее количество отказов (по зарубежным
данным – до 86 %) [3]. При запуске ЖРД параметры рабочего процесса за
короткий промежуток времени изменяются от начальных до номинальных
значений. При этом в системах и агрегатах жидкостной ракетной двигатель-
ной установки (ЖРДУ) возникают нестационарные переходные процессы,
характеризующиеся экстремальным увеличением напряжений в конструкции,
давления и расхода компонентов топлива, тепловых нагрузок, скоростей
вращения валов турбонасосных агрегатов (ТНА). «Забросы» и «провалы»
значений отдельных режимных параметров двигателя при запуске могут пре-
высить допустимый уровень, что может привести к нештатным ситуациям и
даже к разрушению двигателя [1, 3, 6]. Поэтому обеспечение надежного за-
пуска является сложным и ответственным этапом проектирования ЖРД.
В настоящее время одним из главных инструментов, позволяющих на
этапах проектирования ЖРД выявить характерные особенности его функци-
онирования, выполнить прогноз устойчивости рабочих процессов, выбрать
оптимальные характеристики его узлов и агрегатов, является математическое
моделирование. Математическое моделирование переходных процессов при
запуске ЖРД представляет собой неотъемлемую часть комплекса задач, ко-
торые необходимо решать при проектировании и отработке двигателя [4 –
10]. Оно позволяет не только найти наиболее рациональное решение про-
блем, возникающих при разработке и эксплуатации ЖРД, но также суще-
ственно сократить материальные и финансовые затраты [3], [4].
Цель настоящей работы – совершенствование математической модели за-
пуска современных ЖРД с дожиганием генераторного газа в части описания
низкочастотной динамики их гидравлических магистралей, газовых трактов и
кавитирующих насосов.
1. Математическое моделирование низкочастотной динамики кавити-
рующих насосов ЖРД на переходных режимах. На номинальных режимах
работы ЖРД насосы двигателя функционируют, как правило, в условиях скры-
той или частичной кавитации. Кавитация приводит к качественному измене-
нию динамических характеристик ЖРД, снижению собственной частоты коле-
баний жидкости в питающих магистралях (по сравнению с акустической), а
также существенно влияет на устойчивость рабочих процессов в ЖРДУ [11],
[12]. Наиболее полными и завершенными математическими моделями кавита-
7
ционных колебаний в гидравлической системе со шнекоцентробежными насо-
сами являются теоретические и экспериментально-расчетные гидродинамиче-
ские модели, разработанные в Институте технической механики Национальной
академии наук Украины и Государственного космического агентства Украины
(ИТМ НАНУ и ГКАУ) [11 – 13]. Среди экспериментально-расчетных гидроди-
намических моделей кавитационных колебаний следует выделить модель [13],
в которой обобщены результаты большого количества экспериментальных ис-
следований насосов в режиме кавитационных автоколебаний. С ее использова-
нием получено удовлетворительное согласование расчетных и эксперимен-
тальных амплитуд продольных виброускорений ракет-носителей “Циклон” и
“Днепр”. В соответствии с моделью [13], динамика кавитирующего насоса
описывается тремя дифференциальными уравнениями: уравнением динамики
кавитационных каверн, уравнением неразрывности и уравнением для опреде-
ления давления на выходе из насоса
dt
dVTBWGVkpp K
KCPKCP
1
2
111 )2/(, , (1)
12 GG
dt
dVK , (2)
dt
dGJVpppp HKНН
2
12
~~ , (3)
где 11, Gp – давление и расход на входе в насос; CPp – давление срыва насоса;
t – время; 1, GVk K
– зависимость числа кавитации от объема кавитацион-
ных каверн KV и расхода на входе в насос 1G ; ( 2/2
1 CPW ) – скоростной напор
шнекового преднасоса; KTB ,1 – упругость и постоянная времени кавитацион-
ных каверн; – удельный вес жидкости; 22 , Gp – давление и расход жидкости
на выходе из насоса; KHH Vpp ~~, – напор и кавитационная функция насоса;
KV~ – относительный объем кавитационных каверн; HJ – коэффициент инер-
ционного сопротивления жидкости в проточной части насоса.
Экспериментально-расчетная модель [13] построена с использованием ре-
зультатов экспериментальных исследований кавитирующих насосов в режиме
кавитационных автоколебаний и достоверна лишь в пределах области суще-
ствования кавитационных автоколебаний. В работе [14] показано, что для до-
стоверного определения параметров кавитационного течения в насосах при
больших числах кавитации математическая модель [13] требует уточнения.
На переходных режимах работы ЖРД, в том числе при запуске, насосы
могут функционировать как в условиях скрытой кавитации и кавитационного
срыва, так и в условиях отсутствия кавитационных каверн [1], [10]. Бескавита-
ционные режимы реализуются при больших числах кавитации – например, в
начале запуска ЖРД, когда частота вращения вала основного ТНА сравнитель-
но мала. Кроме того, в процессе запуска ЖРД возможны переходы от кавита-
ционного режима работы насосов к бескавитационному и обратно. При ис-
пользовании гидродинамической модели кавитационных колебаний [11], [12]
такие переходы сопровождаются изменением вида уравнения динамики кави-
тационных каверн (1). В результате изменяется структура математической мо-
8
дели динамики ЖРД, что усложняет выполнение расчетов и может приводить к
неустойчивости счета. Отметим, что критерием перехода от бескавитационного
режима к кавитационному и обратно является либо критическое число кавита-
ции, либо критический объем кавитационных каверн. Оба этих параметра
определяются из условия устойчивости вычислительного процесса при изме-
нениях структуры математической модели.
Известно, что для высоконапорных насосов ЖРД частота кавитационных
колебаний в гидравлической системе связана с упругостью кавитационных ка-
верн в насосе 1B приближенным соотношением [1]
OTJJ
B
f
1
1
2
1 , (4)
где 1J – коэффициент инерционного сопротивления жидкости в питающем
трубопроводе; OTJ – коэффициент инерционного сопротивления жидкости,
обусловленного обратными течениями на входе в насос.
Из (4) следует, что при исчезновении кавитационных каверн в проточной
части насоса определяемая ими упругость 1B , а следовательно, и f .
Однако, как показано в [14], этому противоречат результаты расчетов, выпол-
ненных по теоретической [11] и расчетно-экспериментальной модели [13].
Чтобы устранить это противоречие, в работе [14] было предложено скорректи-
ровать выражение для определения относительной упругости кавитационных
каверн ,~
1 kB , дополнив его знаменателем:
])/(1[/][,~ 2*2
1 OkkkbkakB , (5)
где a , b – эмпирические коэффициенты [13]: 09802362 ,,a ,
29042509283960 ,,,b ; *
Ok – число кавитации, при котором появ-
ляются кавитационные каверны в шнекоцентробежном насосе; – коэффици-
ент расхода, равный отношению текущего значения параметра режима к зна-
чению, при котором появляются обратные течения на входе в насос [13].
Отметим, что упругость кавитационных каверн 1B и их относительная
упругость 1
~B связаны между собой соотношением
)]2/(/,~ 2
1ш.ср11 CPWVBkB , (6)
где ш.срV – объем проточной части шнека, в котором располагаются каверны
перед кавитационным срывом насоса.
Зависимость частоты кавитационных колебаний от давления на входе в
насос, рассчитанная с использованием формулы (5), согласуется с эксперимен-
тальными данными в области существования кавитационных автоколебаний и
непротиворечива вблизи давлений, при которых исчезают кавитационные ка-
верны в насосе [14].
С использованием уравнений (1) – (3) и скорректированной зависимо-
сти (5), построена нелинейная математическая модель, описывающая низкоча-
стотную динамику кавитирующего насоса в расширенном диапазоне измене-
ния давления на входе в насос:
9
dt
dGR
dt
dGR
C
GG
dt
dp
KK
K
p
2
2
1
1
2111
, (7)
dt
dGJVpppp HKНН
2
12
~~ , (8)
где 21
1
1 GG
p
TB K
p
; KC – податливость кавитационных каверн
1/ BCK ; (9)
1KR , 2KR – коэффициенты, имеющие размерность кавитационного сопротив-
ления 2B : 21
1
1
1
1
21 GG
G
TB
G
pTBBR KCPK
K
,
K
K
TBR 1
2 ;
1
1
112 ,
G
pGpB
;
*
),(~),(~
1
Ok
k
K kB
dkkV .
При увеличении давления на входе в насос податливость KC , рассчитан-
ная с использованием формул (5), (6), (9), уменьшается и начиная с некоторого
значения становится меньше податливости жидкости в линии питания [14]. В
этом случае в уравнении (7) вместо значения KC следует использовать значе-
ние податливости жидкости на входе в насос.
Таким образом, экспериментально-расчетная модель динамики кавитиру-
ющего насоса [13] адаптирована для расчета переходных процессов при запус-
ке ЖРД. При использовании адаптированной математической модели (5) – (9)
переход от кавитационного режима работы насоса к бескавитационному и об-
ратно не приводит к изменению структуры математической модели запуска
ЖРД и скачкообразному изменению значений ее коэффициентов.
Для иллюстрации предложенного подхода были проведены расчеты за-
пуска перспективного маршевого ЖРД [7], [17], выполненного по схеме с
дожиганием окислительного генераторного газа. На рис. 1 показано измене-
ние давления на входе в бустерный насос окислителя при запуске: кривая 1 –
расчет без учета кавитации в
насосах, кривая 2 – с учетом
кавитации по модели [8],
кривая 3– с учетом кавитации
по предложенной модели. Из
рисунка видно, что кавита-
ция в насосах оказывает за-
метное влияние на характе-
ристики переходных процес-
сов при запуске. Использова-
ние новой модели динамики
кавитирующих насосов ЖРД
позволяет уточнить характе-
ристики переходного про-
цесса при запуске, в том числе величины «забросов» и «провалов» давления
при гидравлических ударах, которые обычно имеют место при запуске ЖРД.
Рис. 1
10
2. Математическое моделирование заполнения гидравлических трак-
тов ЖРД при его запуске. В настоящее время для расчета заполнения гид-
равлических трактов ЖРД обычно используется такая же схема разбиения
гидравлического тракта на конечные гидравлические элементы [10], что и
для моделирования его динамики в заполненном состоянии. При этом урав-
нения простейших гидравлических элементов имеют такой же вид, но ис-
пользуемые в них коэффициенты гидравлического сопротивления, массы и
емкости, представляющие собой функции коэффициентов заполнения соот-
ветствующих участков гидравлического тракта, являются переменными. Для
определения коэффициентов заполнения вводятся дополнительные диффе-
ренциальные уравнения, описывающие процессы накопления массы жидко-
сти в участках магистрали.
Данный подход, несомненно, обладает простотой при математическом
описании таких сложных явлений, как заполнение гидравлических трактов
ЖРД жидкостью, и, как правило, дает положительный результат [1, 7, 10].
Однако он предполагает неизменность схемы разбиения гидравлического
тракта на конечные гидравлические элементы в процессе его заполнения.
В настоящей работе разработан подход к построению нелинейной мате-
матической модели заполнения гидравлических трактов ЖРД при запуске
двигателя, позволяющий в случае необходимости автоматически изменять
при расчете схему разбиения гидравлического тракта на конечные гидравли-
ческие элементы в процессе его заполнения. Он состоит в следующем.
На первом этапе определяются частотные характеристики (ЧХ) заполня-
емого трубопровода как системы с распределенными параметрами.
Неустановившееся одномерное изотермическое движение реальной сжи-
маемой жидкости в цилиндрическом трубопроводе описывается системой
уравнений, в которую входят уравнения движения и неразрывности [11]. Эти
уравнения получены в предположении, что течение жидкости является тур-
булентным, а скорость течения много меньше скорости звука.
При определении частотных характеристик заполняемых жидкостью
трубопроводов приняты следующие дополнительные предположения:
– заполняемый трубопровод состоит из трех участков, из которых пер-
вый полностью заполнен жидкостью, второй – частично заполнен, третий –
заполнен газом или сообщается с безвоздушным пространством;
– могут быть определены ЧХ заполненной части трубопровода, посколь-
ку скорость фронта заполнения трубопровода, близкая к скорости течения
жидкости, много меньше скорости звука;
– граничные условия для этой части определяются участком, заполнен-
ным газом или сообщающимся с безвоздушным пространством – это конеч-
ная или бесконечная податливость;
– на частично заполненном жидкостью участке располагаются частицы
жидкости, которые не взаимодействуют со сплошной массой жидкости и не
влияют на граничные условия заполняемого трубопровода.
В силу этих дополнительных предположений ЧХ заполняемого жидко-
стью трубопровода могут быть определены так же, как для обычного запол-
ненного трубопровода – с учетом указанных граничных условий и степени
его заполнения жидкостью.
11
На втором этапе определяются ЧХ этого же трубопровода как системы с
сосредоточенными параметрами. При этом каждый участок трубопровода
представляется в виде четырехполюсника следующего вида:
,
,
112
112
GpCsG
GsJRpp
(10)
где CRJ ,, – коэффициенты инерционного и линеаризованного гидравличе-
ского сопротивления и сосредоточенная податливость участка трубопровода.
Значения R и J определяются геометрией трубопровода, потерями дав-
ления и расходом жидкости. Количество сосредоточенных податливостей C
и их величины выбираются исходя из необходимой точности согласования
частотных характеристик трубопровода как системы с распределенными и
системы с сосредоточенными параметрами в заданном частотном диапазоне.
Место локализации сосредоточенной податливости будем задавать отноше-
нием трLL llk / расстояния Ll от податливости до фронта заполнения к
длине трубопровода трl .
Предложенный подход к построению нелинейной математической моде-
ли заполнения гидравлических трактов ЖРД при запуске двигателя является
развитием подхода к построению математической модели гидравлических
трактов ЖРД [15].
Продемонстрируем изложенный выше подход на конкретном примере
заполнения трубопровода жидкостью. Будем рассматривать заполнение во-
дой стального трубопровода диаметром 4 см, длиной 4 м с расходом 6,3 кгс/с
и гидравлическими потерями давления 0,4 кгс/см2.
На рис. 2 представлен расчетный модуль импеданса заполняемого жид-
костью трубопровода, у которого фронт заполнения жидкости располагается
на расстоянии Zl =0,5 трl от начала трубопровода. Здесь кривые 2 и 3 пред-
ставляют модуль импеданса трубопровода как системы с распределенными и,
соответственно, сосредото-
ченными параметрами, кри-
вая 1 – как системы с сосре-
доточенными параметрами
без учета податливости.
Проведенные расчеты
показали, что в рассмотрен-
ном случае место локализа-
ции сосредоточенной подат-
ливости, при котором полу-
чено наилучшее согласование
ЧХ трубопровода как систе-
мы с распределенными и си-
стемы с сосредоточенными
параметрами, не изменяется при различной степени заполнения трубопрово-
да, при этом 25,0Lk . Величина сосредоточенной податливости жидкости
может быть определена по формуле
Рис. 2
12
C
Z
Z k
a
lFgC 2 , (11)
где g – ускорение свободного падения на поверхности Земли; F – площадь
поперечного сечения трубопровода; Zl – длина заполненного участка трубо-
провода; Za – скорость звука в жидкости; Ck – эмпирический коэффициент,
(в рассматриваемом случае его значение не зависит от степени заполнения
трубопровода и составляет 0,53).
На основе разработанного подхода к математическому моделированию
заполнения гидравлических трактов ЖРД при запуске и результатов анализа
расчетных ЧХ заполняемого трубопровода была построена нелинейная мате-
матическая модель заполнения тестового трубопровода. Эта модель включа-
ет уравнение заполнения трубопровода, описывающее процессы накопления
массы жидкости, уравнение движения жидкости от входа до сосредоточен-
ной податливости жидкости, уравнение неразрывности и уравнение движе-
ния жидкости от податливости жидкости до фронта заполнения
2G
dt
dlF Z , (12)
2
11
1
1 Glaрр
dt
dGlJ ZTБZ , (13)
21 GG
dt
dplC T
Z , (14)
2
22
2
2 Glaрр
dt
dGlJ ZKTZ
,
(15)
где – удельный вес жидкости; Бр , Tp , Kр – давление жидкости на входе
в заполняемый трубопровод, в месте локализации сосредоточенной податли-
вости жидкости и на фронте заполнения трубопровода; 1G , 2G – расход
жидкости на входе в заполняемый трубопровод и на выходе из него; Zla1 ,
ZlJ1 и Zla2 , ZlJ2 – гидравлическое и инерционное сопротивления жид-
кости на участке от входа в трубопровод до сосредоточенной податливости и
от сосредоточенной податливости до фронта заполнения; ZlC – сосредо-
точенная податливость жидкости заполняемого трубопровода.
В соответствии с результатами расчета и анализа ЧХ заполняемого те-
стового трубопровода, получаем:
ZZ lJlJ 25,01 , ZZ lJlJ 75,02 ,
Fg
llJ Z
Z ,
ZZ lala 25,01 , ZZ lala 75,02 , трZZ llala max ,
C
Z
Z
Z k
a
lFglC 2 ,
13
где maxa – максимальное гидравлическое сопротивление жидкости, т. е. со-
противление целиком заполненного трубопровода ( Zl = трl ).
Некоторые результаты расчетов заполнения тестового трубопровода
представлены на рис. 3 (кривая 1 –
расчет при номинальном значении
податливости, кривая 2 – при уве-
личенном значении). Из этого ри-
сунка видно, что податливость
жидкости в заполняемом трубо-
проводе может оказывать влияние
на время заполнения трубопровода
и расходы жидкости на входе и вы-
ходе из заполняемого трубопрово-
да. В рассматриваемом случае при
увеличении податливости жидко-
сти время заполнения увеличилось
с 0,6528 с до 0,6774 с.
3. Математическое моделирование низкочастотной динамики газо-
вых трактов ЖРД при его запуске. Рабочий процесс в камере сгорания и
газогенераторе ЖРД представляет собой последовательность сложных взаи-
мосвязанных физико-химических процессов (впрыск, распыление, образова-
ние капель, испарение, перемешивание, воспламенение, горение), который
трудно описать аналитически. При построении приближенной математиче-
ской модели низкочастотной динамики газовых трактов ЖРД обычно прини-
маются следующие упрощения [10], [16]. Камера сгорания (КС), газогенера-
тор (ГГ) и газовод (ГВ) рассматриваются как элементы с сосредоточенными
параметрами; протекающие в них процессы полагаются адиабатическими.
Для описания процесса преобразования жидких компонентов топлива в про-
дукты сгорания используется приближенная феноменологическая модель,
предложенная М. С. Натанзоном [16], в соответствии с которой реальная кри-
вая выгорания заменяется ступенчатой функцией и аппроксимируется транс-
портным (чистым) запаздыванием: )(1)( ttвыг , где – время преобра-
зования жидкого топлива в продукты сгорания (задержка газообразования).
Транспортным запаздыванием аппроксимируется также кривая переноса
температуры турбулентными потоками газа внутри газового тракта:
)(1)( ttп , где – время пребывания газа на участке газового тракта.
Значения составляют несколько миллисекунд, – несколько сотых се-
кунды. С учетом этих допущений низкочастотная динамика газовых трактов
ЖРД описывается дифференциально-алгебраическими уравнениями с малы-
ми запаздываниями.
Ниже для примера приведены уравнения, описывающие рабочие процес-
сы в газогенераторе при запуске двигателя с дожиганием генераторного газа:
– уравнение для определения давления в ГГ
ТГГГГГО
ГГ
ГГГГГГ GGG
V
RT
dt
dp
** ,
Рис. 3
14
– уравнения для определения газообразования в ГГ с учетом задержки
газообразования ГГ
)(*
ГГГГОГГО tGG , )(*
ГГГГГГГГ tGG ,
– уравнения для определения работоспособности продуктов сгорания
топлива на входе в ГГ и на выходе из него
)( *
1 ГГГГ kRTRT , )(12 ГГГГГГ tRTRT , ***
ГГГГГОГГ GGk ,
– уравнение для определения расхода продуктов сгорания на выходе из
газогенератора
ГГ
ГГ
ГГ
ГГ
ГВ
ГГ
ГВ
ГГ
ГГ
ГГ
ГГ
TTT р
р
р
р
RT
pgFG
12
2
2
1
2 ,
где ГГр , ГВр – давление в ГГ и ГВ; ГГ – показатель адиабаты в ГГ; ГГV –
объем газового тракта ГГ, включающий в себя объемы газовых полостей ГГ
и объем газовой полости от ГГ до соплового аппарата турбины; ГГRT –
средняя величина работоспособности продуктов сгорания топлива по объему
ГГ; ГГОG , ГГГG – весовые секундные расходы жидкого окислителя и горю-
чего на входе в ГГ; *
ГГОG , *
ГГГG – весовые секундные расходы окислителя и
горючего на входе в ГГ с учетом задержки газообразования ГГ ; *
ГГk – ко-
эффициент соотношения компонентов топлива в ГГ; ГГ – время пребыва-
ния газа в ГГ; TG – весовой секундный расход газа через ГГ; 1ГГRT ,
2ГГRT – работоспособности продуктов сгорания на входе в газовый тракт
ГГ и на выходе из него; TF , T – площадь и коэффициент расхода сопловой
решетки основной турбины двигателя.
Системы уравнений, описывающие возникновение и развитие огневых
процессов в КС и ГГ при запуске ЖРД, имеют сходную структуру.
Запаздывания в уравнениях низкочастотной динамики элементов газово-
го тракта и, прежде всего, ГГ существенно влияют на динамические характе-
ристики и устойчивость рабочего процесса в ЖРД с дожиганием генератор-
ного газа (напр., [7], [16] – [19]). Однако в вычислительном аспекте учет за-
паздываний при математическом моделировании запуска ЖРД создает опре-
деленные проблемы, связанные с численным интегрированием гибридной
нелинейной нестационарной системы большого порядка, состоящей из диф-
ференциальных и алгебраических уравнений и уравнений с запаздывающим
аргументом.
В работе [19] анализ устойчивости динамической системы с малыми за-
паздываниями предложено свести к исследованию аппроксимирующей ее
системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и даны мето-
дические рекомендации по учету запаздываний в уравнениях динамики газо-
вых трактов при анализе устойчивости низкочастотных процессов в ЖРД на
установившемся режиме. Для перехода от уравнения звена запаздывания
15
)()( txty (16)
к ОДУ используется подход, основанный на аппроксимации передаточной
функции звена запаздывания )exp()( ppWe в области малого параметра
p дробно-рациональной функцией )(, pF nm :
nn
n
mm
m
n
m
nme papaa
pbpbb
pA
pBpFpW
...
...
)(
)()()(
10
10
, , (17)
где p – комплексная переменная преобразования Лапласа при нулевых
начальных условиях; )( pBm , )( pAn – полиномы m -го и n -го порядка с
действительными коэффициентами ( nm ).
Трансцендентное уравнение xpWy e )( , соответствующее в области
изображений уравнению (16), приближенно заменяется уравнением
x
papaa
pbpbbxpFy nn
n
mm
m
nm
...
...)(
10
10
, . (18)
Уравнению (16) соответствует ОДУ n -го порядка [20]
m
m
m
mn
n
n
n dt
xdb
dt
dxbxb
dt
yda
dt
dyaya ...... 1010 . (19)
Располагая удовлетворительным приближением )()(, pWpF enm , с
помощью описанной схемы легко перейти от уравнений с запаздываниями к
ОДУ. Отметим, что при этом количество уравнений в системе увеличивается.
Такой переход считается корректным, если в частотном диапазоне моде-
ли обеспечивается приемлемая точность вычисления динамических характе-
ристик ЖРДУ, а устойчивому состоянию исходной системы соответствует
устойчивое состояние аппроксимирующей системы [19].
Выбор подходящего аппроксиманта для математической модели низко-
частотной динамики ЖРД при запуске осложняется следующими факторами.
Во-первых, наличие у аппроксимирующей функции (17) полюсов в правой
полуплоскости может привести к ошибке в прогнозе динамических характе-
ристик и устойчивости системы. Во-вторых, проведенное тестирование пока-
зало, что при численном интегрировании системы уравнений, описывающих
низкочастотную динамику ЖРД при запуске с использованием аппроксиман-
тов )(, pF nm , nm , возникала неустойчивость счета. К такому же результа-
ту приводило использование аппроксимантов высокого порядка ( 3n ).
В связи с этим к функциям )(, pF nm , применяющимся при математиче-
ском моделировании запуска ЖРД, предъявляются следующие требования:
– отсутствие полюсов в правой полуплоскости;
– 3n , nm ;
– приемлемая точность аппроксимации ЧХ звена запаздывания в интер-
вале max)(0 , f 2 , соответствующем частотному диапазону мо-
дели max0 ff , Гц5030max f .
– приемлемая точность аппроксимации коэффициента усиления ЖРД в
частотном диапазоне модели.
Из рассмотренных в [19] аппроксимантов первым двум требованиям
удовлетворяют три функции, получаемые при замене звена запаздывания
16
апериодическим звеном, колебательным звеном и цепочкой из двух колеба-
тельных звеньев. Это дробные ряды Тейлора 1-го и 2-го порядка
)1(1)(1,0 ppT , )5,01(1)( 22
2,0 pppT
и, соответственно, функция
2222
2,0)(2 )125,05,01(1)]5,0([)(
02
pppTpR Т . (20)
Схема перехода от передаточной функции (20) к ОДУ описана в [19]. В
результате ее реализации уравнение звена запаздывания (16) заменяется дву-
мя дифференциальными уравнениями 2-го порядка
,)()()(5,0)(125,0 2
2
2 txtz
dt
tdz
dt
tzd
)()()(5,0)(125,0 2
2
2 tzty
dt
tdy
dt
tyd
с начальными условиями )2/()()( 000 txtytz .
Функции )(1,0 pT , )(2,0 pT обеспечивают приемлемую точность в очень
узком диапазоне изменения , а аппроксимант )()(2 02
pR Т имеет относи-
тельно высокий порядок ( 4n ). В настоящей работе предложены более точ-
ные аппроксиманты передаточной функции звена запаздывания, имеющие
невысокий порядок. Для их построения использовалось разложение функции
)exp(z в ряд Тейлора, записанное в аналитическом виде, и метод неопреде-
ленных коэффициентов [21]. Полученные аппроксиманты имеют вид:
22,1 )(46
26)(
pp
ppP
,
(21)
323,1 )()(61824
624)(
ppp
ppP
,
(22)
32
2
3,2 )()(93660
)(32460)(
ppp
pppP
.
(23)
На рис. 4, 5 помещены результаты расчета амплитудно-частотной харак-
теристики (АЧХ) и погрешностей определения фазочастотной характеристики
Рис. 4 Рис. 5Рис. 4 Рис. 5
17
(ФЧХ) звена запаздывания при аппроксимации его передаточной функции
разными дробно-рациональными выражениями: кривые 1, 2, 3 – функциями
)(1,0 pT , )(2,0 pT , )()(2 02
pR Т , кривые 4, 5, 6 – функциями )(2,1 pP , )(3,1 pP ,
)(3,2 pP . Цифрой 7 на рис. 4 обозначена АЧХ непосредственно звена запаз-
дывания: 1)exp()( jjWe .
Из рисунков видно, что предложенные аппроксиманты (21) – (23), имея
меньший порядок, чем аппроксимант (20), превосходят его по точности и мо-
гут применяться в гораздо более широком диапазоне изменения .
На рис. 6 приведены результаты расчетов модуля коэффициента усиле-
ния ЖРД с дожиганием окислительного генераторного газа (здесь БНОp1 и
Kp – отклонения давления на входе в бустерный насос окислителя и в КС от
номинальных значений). Расчеты
проводились с учетом трех за-
паздываний, оказывающих
наибольшее влияние на коэффи-
циент усиления ЖРД – задержки
газообразования в ГГ
( ГГ = 0,003с), времени пребыва-
ния газа в ГГ и ГВ
( ГГ = 0,012 с, ГВ = 0,035 с).
Кривая 1 на рис. 6 представляет
модуль исходного коэффициента
усиления ЖРД, кривые 2, 3, 4 –
аппроксимированного с исполь-
зованием разных наборов дроб-
но-рациональных функций. Во всех трех вариантах 2 – 4 в уравнениях, опи-
сывающих газообразование в газогенераторе (с учетом задержки газообразо-
вания ГГ ), для аппроксимации передаточных функций звеньев запаздыва-
ния использовался дробный ряд Тейлора 1-го порядка, а в уравнениях дина-
мики газовода – функция )()(2 02
pR Т . Для уравнений с наиболее значимым
запаздыванием – временем пребывания газа в газогенераторе – использова-
лись разные дробно-рациональные функции: )(1,0 pT , )()(2 02
pR Т , )(2,1 pP .
Результаты расчета модуля коэффициента усиления ЖРД, полученного при
использовании указанных наборов аппроксимантов, показаны на рис. 6 кри-
выми 2, 3 и 4 соответственно.
Как видно из рис. 4, 5, приемлемую точность определения коэффициента
усиления ЖРД обеспечивают два аппроксиманта – )(2,1 pP и )()(2 02
pR Т ,
однако при этом аппроксимант )(2,1 pP имеет вдвое меньший порядок, а его
точность несколько выше.
Для демонстрации подхода по учету запаздываний в уравнениях дина-
мики газовых трактов ЖРД были проведены расчеты запуска современного
маршевого ЖРД [7], [17] с дожиганием генераторного газа. Результаты этих
расчетов (в качестве примера – для давления в газогенераторе) представлены
на рис. 7 (кривая 1 – расчет без учета запаздываний, кривые 2, 3, 4 – с учетом
задержки газообразования в ГГ и времени пребывания газа в ГГ и ГВ). Учет
этих трех запаздываний осуществлялся по таким же схемам, что и при расче-
Рис. 6
18
те коэффициента усиления ЖРД. Нумерация кривых на рис. 7 соответствует
их нумерации на рис. 6.
Результаты расчетов показали, что запаздывания в уравнениях динамики
ГГ и ГВ заметно увеличивают «забросы» и «провалы» давлений, а использо-
вание аппроксимантов )()(2 02
pR Т и )(2,1 pP для учета этих запаздываний
дает близкие по точности результаты (кривые 3 и 4).
Таким образом, функция
)(2,1 pP является лучшим из
рассмотренных дробно-
рациональных аппроксиман-
тов передаточной функции
звена запаздывания. Она мо-
жет быть рекомендована к
использованию при матема-
тическом моделировании низ-
кочастотных процессов в
ЖРД при запуске для при-
ближенной замены уравнений
с запаздываниями (в частно-
сти, уравнений низкочастотной динамики газогенератора и газовода) обык-
новенными дифференциальными уравнениями.
Выводы. Рассмотрены вопросы математического моделирования дина-
мических процессов в гидравлических и газовых трактах при запуске ЖРД с
дожиганием генераторного газа.
Представлен подход к математическому моделированию низкочастотной
динамики кавитирующих насосов ЖРД на переходных режимах. На основе
этого подхода проведена корректировка зависимостей упругости и объема
кавитационных каверн от режимных параметров для расширенного диапазо-
на изменения чисел кавитации и выполнена адаптация математической моде-
ли динамики насосов к большим числам кавитации. Адаптированная матема-
тическая модель динамики кавитирующих насосов сохраняет свою структуру
и работоспособность в широком диапазоне изменения чисел кавитации и при
взаимных переходах с кавитационного режима работы насоса на бескавита-
ционный, что необходимо для выполнения численных исследований рабочих
процессов в ЖРД при запуске двигателя. Проведена серия расчетов запуска
современного маршевого ЖРД с дожиганием генераторного газа и показано,
что использование предложенной модели позволяет уточнить характеристи-
ки переходного процесса, в частности, величины «забросов» и «провалов»
при гидравлических ударах, которые могут иметь место при запуске ЖРД.
Разработан подход к построению нелинейной математической модели
заполнения гидравлических трактов ЖРД при запуске двигателя, который
позволяет при необходимости изменять схему разбиения топливных маги-
стралей на конечные элементы в процессе их заполнения. В основе этого
подхода лежит математическое моделирование динамики гидравлических
трактов ЖРД как системы с распределенными параметрами и ее аппроксима-
ция системой с сосредоточенными параметрами, построенной из конечных
гидродинамических элементов. Коэффициенты инерционного, гидравличе-
ского и емкостного сопротивления магистралей определяются из условия
Рис. 6Рис. 7
19
согласования частотных характеристик указанных систем при разной степени
заполнения магистралей и используются для построения уточненной нели-
нейной модели низкочастотной динамики гидравлического тракта.
В развитие разработанного ранее подхода к приближенной замене урав-
нений с запаздываниями в математической модели низкочастотной динамики
газовых трактов ЖРД обыкновенными дифференциальными уравнениями, для
аппроксимации передаточных функций звеньев запаздывания предложены
дробно-рациональные функции, построенные с учетом особенностей расчета
переходных процессов при запуске ЖРД. На основе расчета частотных харак-
теристик ЖРД с дожиганием генераторного газа и переходных процессов при
запуске ЖРД проведено тестирование предложенных аппроксимантов. Пока-
зано, что запаздывания в уравнениях динамики газогенератора и газовода ЖРД
с дожиганием генераторного газа оказывают заметное влияние на характери-
стики переходных процессов при запуске ЖРД с дожиганием генераторного
газа, а использование предложенных аппроксимантов для учета этих запаз-
дываний позволяет повысить точность результатов математического модели-
рования при минимальном усложнении математической модели и не создает
проблем при численном интегрировании.
Использование предложенных математических моделей низкочастотной
динамики гидравлических и газовых трактов ЖРД при моделировании запус-
ка ЖРД позволит повысить достоверность результатов математического мо-
делирования.
Исследования выполнены за счет финансирования по бюджетной про-
грамме «Поддержка развития приоритетных направлений научных исследо-
ваний» (КПКВК 6541230).
1. Беляев Е. Н., Черваков В. В. Математическое моделирование ЖРД. М.: МАИ-ПРИНТ. 2009. 280 с.
2. Солнцев В. Л., Радугин И. С., Задеба В. А. Основные требования к маршевым двигателям перспектив-
ных ракет-носителей сверхтяжелого класса с жидкостными ракетными двигателями. Космическая тех-
ника и технологии. 2015. № 2(9). С. 25–38.
3. Галеев А. Г., Иванов В. Н., Катенин А. В., Лисейкин В. А., Пикалов В. П., Поляков А. Д., Сайдов Г. Г.,
Шибанов А. А. Методология экспериментальной отработки ЖРД и ДУ, основы проведения испытаний и
устройства испытательных стендов. Киров: МЦНИП. 2015. 436 с. URL: http://www.nic-
rkp.ru/doc/metodologiya.pdf
4. Каторгин Б. И., Чванов В. К., Беляев Е. Н., Черваков В. В. Математическое моделирование процессов в
современных ЖРД. Двигатель. 2002. № 4(22). С. 13–16.
5. Машиностроение. Энциклопедия. В 40 т. Под общ.ред. К. В. Фролова. Ракетно-космическая техника.
T. IV-22 / А. П. Аджян, Э. Аким, О. М. Алифанов и др.; под ред. В. П. Легостаева. В 2 кн. Кн. 1. М.:
Машиностроение. 2012. 925 с.
6. Liu Wei, Chen Liping, Xie Gang, Ding Ji, Zhang Haiming, Yang Hao Modeling and Simulation of Liquid
Propellant Rocket Engine Transient Performance Using Modelica. Proc. of the 11th Int. Modelica Conf., 2015,
Sept. 21–23, Versailles. France. Р. 485–490. URL: www.ep.liu.se/ecp/118/052/ecp15118485.pdf от
13.07.2017
7. Пилипенко О. В., Прокопчук А. А., Долгополов С. И., Писаренко В. Ю., Коваленко В. Н., Николаев А. Д.,
Хоряк Н. В. Особенности математического моделирования низкочастотной динамики маршевого ЖРД с дожига-
нием генераторного газа при запуске. Космічна наука і технологія. 2017. Т. 23, № 5. С. 3–12.
https://doi.org/10.15407/knit2017.05.003
8. Лебединский Е. В., Калмыков Г. П., Мосолов С. В. И. и др. ; под ред. Коротеева А. С. Рабочие процессы
в жидкостном ракетном двигателе и их моделирование. М.: Машиностроение. 2008. 512 с.
9. Di Matteo, Fr., De Rosa, M., Onofri, M. Start-Up Transient Simulation of a Liquid Rocket Engine. AIAA
2011-6032 47th AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference & Exhibit (31 July - 03 August 2011),
San Diego, California. 15p. URL: www.enu.kz/repository/2011/AIAA-2011-6032.pdf.
https://doi.org/10.2514/6.2011-6032
10. Шевяков А. А., Калнин В. М., Науменкова М. В., Дятлов В. Г. Теория автоматического управления
ракетными двигателями. М.: Машиностроение, 1978. 288 с.
11. Пилипенко В. В., Задонцев В. А., Натанзон М. С. Кавитационные колебания и динамика гидросистем.
М.: Машиностроение. 1977. 352 с.
12. Пилипенко В. В. Кавитационные автоколебания. К: Наук.думка. 1989. 316 с.
20
13. Пилипенко В. В., Долгополов С. И. Экспериментально-расчетное определение коэффициентов уравне-
ния динамики кавитационных каверн в шнекоцентробежных насосах различных типоразмеров. Техни-
ческая механика. 1998. № 8. С. 50–56. https://doi.org/10.1016/S0262-1762(99)80457-X
14. Долгополов С. И. Адаптация гидродинамической модели кавитационных колебаний для моделирова-
ния динамических процессов в насосных системах при больших числах кавитации. Техническая меха-
ника. 2017. № 2. C. 12–19. https://doi.org/10.15407/itm2017.02.012
15. Долгополов С. И., Заволока А. Н., Николаев А. Д., Свириденко Н. Ф., Смоленский Д, Э. Определение
параметров гидродинамических процессов в системе питания космической ступени при остановах и за-
пусках маршевого двигателя. Техническая механика. 2015. № 2. С. 23–36.
16. Гликман Б. Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей. М.: Машинострое-
ние, 1974. 396 с.
17. Пилипенко О. В., Прокопчук А. А., Долгополов С. И., Хоряк Н. В., Николаев А. Д., Писаренко В. Ю.,
Коваленко В. Н. Математическое моделирование и анализ устойчивости низкочастотных процессов в
маршевом ЖРД с дожиганием генераторного газа. Вестник двигателестроения. 2017. № 2. С. 34–42.
18. Гемранова Е. А., Колбасенков А. И., Кошелев И. М., Левочкин П. С., Мартиросов Д. С. Способы по-
давления низкочастотных колебаний в ЖРД на режимах глубокого дросселирования. НПО Энергомаш
им. акад. В.П. Глушко (Химки), 2013. № 30. С. 104–110.
19. Хоряк Н. В., Долгополов C И. Особенности математического моделирования динамики газовых трактов
в задаче об устойчивости низкочастотных процессов в жидкостных ракетных двигателях. Техническая
механика. 2017. № 3. С. 30–44. https://doi.org/10.15407/itm2017.03.030
20. Справочник по теории автоматического управления. Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.
21. Апресян Л. А. Аппроксиманты Паде (обзор). Известия вузов. Радиофизика. 1979. Т. XXII, № 6. С. 653–674.
https://doi.org/10.1007/BF01081220
Получено 06.11.2019,
в окончательном варианте 20.11.2019
|