Определение глубины данных на многомерных выборках
Concepts of depth and depth trimmed regions are considered, their main properties and classification are presented. 5 notions of data depth and results of investigating their correspondence with requirements, imposed on depth and regions, are discussed. One of the latest forms of depth zonoid depth...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17408 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Определение глубины данных на многомерных выборках / Т.И. Ланге, П.Ф. Можаровский // Індуктивне моделювання складних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦ ІТС НАН та МОН України, 2010. — Вип. 2. — С. 101-119. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859795433776218112 |
|---|---|
| author | Ланге, Т.И. Можаровский, П.Ф. |
| author_facet | Ланге, Т.И. Можаровский, П.Ф. |
| citation_txt | Определение глубины данных на многомерных выборках / Т.И. Ланге, П.Ф. Можаровский // Індуктивне моделювання складних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦ ІТС НАН та МОН України, 2010. — Вип. 2. — С. 101-119. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Concepts of depth and depth trimmed regions are considered, their main properties and classification are presented. 5 notions of data depth and results of investigating their correspondence with requirements, imposed on depth and regions, are discussed. One of the latest forms of depth zonoid depth and algorithms for depth computation and constructing regions are outlined. These mathematical tools for nonparametric data analysis can be applied in location and dispersion estimation, cluster analysis and risk estimation.
|
| first_indexed | 2025-12-02T13:00:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
, 2010 101
004.62
. . 1, . . 2
1
, ,
2 « », ,
- ,
. 5
.
,
.
, ,
, .
:
, - , ,
.
Concepts of depth and depth trimmed regions are considered, their main properties and
classification are presented. 5 notions of data depth and results of investigating their correspondence
with requirements, imposed on depth and regions, are discussed. One of the latest forms of depth
zonoid depth and algorithms for depth computation and constructing regions are outlined. These
mathematical tools for nonparametric data analysis can be applied in location and dispersion
estimation, cluster analysis and risk estimation.
Keywords: data depth, depth trimmed regions, zonoid, multivariate sample.
- ,
. 5
.
,
.
,
, , .
:
, - , ,
.
1
.
, ,
.
dx R
;D x P
P , d -
dR , ,
P .
( )
.
. .,
. .
, 2, 2010 102
-
, . 5 ,
,
,
.
2 -
, . 3-
, D. 4
, 3
5 ( ), 6 ( ) 7 (
). 8-
.
( -
) ,
. 9- .
2
,
, , ,
, . [1]
3 :
1)
?
2)
?
3) ,
?
4-
, [2],
« ».
: 1; : d
XD P R R ,
; : 0,1d
XD P R , .
, :
1) . dx R
,
:
; ;A X b XD A x b P D x P
db R
A
d d .
2) .
« » ( , -
, 2010 103
)
:
; sup ;dX Xx R
D P D x P
,
XP .
3) .
,
( ,
;
)
:
arg max ;x XD x P ,
; ;X XD x P D x P
0,1 .
4) .
, x
:
lim ; 0Xx D x P .
1; : d
XD P R R , 4- ,
« ».
- ( )
,
:
: ;d
X XD P x R D x P . (1)
, -
( [3],
[4]).
1) : A X b XD P A D P b
dX R , A
d d
db R .
2) :
, X XD P D P .
3) :
Y X
( ),
d d
X YD P R D P R .
4) :
XD P
.
5) ( ):
XD P
,
, .
6) :
X Y X YD P D P D P ,
-
( ).
. dx R
(C-
) ,
d
x x ,
d
. dx R
(A- ) ,
x
x
. .,
. .
, 2, 2010 104
. dx R
(H- )
,
1
2
P x H
H , .
3
,
1975 [5]. ,
,
, . ,
« , »,
,
.
.
, , n
: 1 2, ,..., nx x x . i nx ,
i - ( . .
1 nx
, 2 nx
n nx ). , 1 2 ...n n n nx x x .
i nx
i
1n i ,
; 1
1
2
n
( .
1).
. 1
11
, .
,i j ,
i
, j
. , 2i i
(
1
2
i - ), 1i - ,
, , ,
1i
. .
2 1
1
2
(
, 2010 105
1), 1
2
2
(
2) 1
3
2
(
3) .
. 2
1
1
2
, 1
2
2
1
3
2
( 1, 2 3)
d - .
dR
, H
, x ,
P H
.
dx R
, x [6]:
; inf : , HD x P P H H x H . (2)
.
1 2, ,..., d
nx x x R
,
,
x :
# : , ,min
d
n i
u R
HD x i x u x u , (3)
#
.
,
, x
( .
3).
. .,
. .
, 2, 2010 106
. 3
, :
,
( ),
, .
1
max ,
2
HD x P
A- [7].
,
- ,
. ,
: -
,
1 :
: , 1HD P H H P H . (4)
,
, ,
.
4
[1] 4
.
A :
1, ; ,..., rD x P E h x x x , (5)
1,..., rx x
P , 1; ,..., rh x x x
, - x
1,..., rx x
E
.
, 2010 107
nP
, nD x P
U-
V- .
B :
1
1
,
1 ; ,..., r
D x P
E h x x x
, (6)
1,..., rx x
P , 1; ,..., rh x x x
, -
x
1,..., rx x . , ,
B :
1
1
,
1 ; ,..., r
D x P E
h x x x
. (7)
C :
1
,
1 ;
D x P
h x P
, (8)
;h x P
dx R
P , .
D :
; , inf
C
D x P b P C x C b , (9)
b
dR , P
dR ,
. b -
dx R
P
dR
, C ,
b
x .
5
[2]
A 1r d
1 1 1; ,..., ,...,r dh x x x I x S x x , 1 1,..., dS x x
, 1 1,..., dx x dR , I
,
, ,
.
, x
,
. ,
x , ,
n
1 2, ,..., nx x x
:
1
1
2
n i j
i j n
SD x I x x x
n
, (10)
. .,
. .
, 2, 2010 108
i jx x
, ix
jx
( .
4,
8
15nSD x ).
1x 2x 3x 4x 5x 6x
8
x
15
. 4
x
6
, x
,
( . .
, ,
x ):
1
1
, ,
3
n i j k
i j k n
SD x I x x x x
n
, (11)
, ,i j kx x x
, ix , jx
kx .
1
3
n
. ,
, ,
, ( .
5).
59
165
68
165
71
165 73
165
69
165
45
165
45
165
45
165
45
165 45
165
45
165
. 5
11
, 2010 109
d -
d - ,
1 1,..., dS x x . dx R
x
dR ,
:
1 1; ,..., dSD x P P x S x x . (12)
1 2, ,..., d
nx x x R
U- ,
, x :
1 1
1 11 ...
1
,...,
1
d
d
n i i
i i n
SD x I x S x x
n
d
, (13)
x
1 1
,...,
di iS x x ,
1d
1 2 1
0, 0,..., 0
di i i :
1 1 2 2 1 1
1 2 1
...
... 1
d d
d
i i i i i i
i i i
x x x x
. (14)
, ,
,
.
H-
, C-
[1].
, ,
, , , .
.
, U- ,
,
,
-
.
, , , ,
,
[8].
. .,
. .
, 2, 2010 110
, ,
.
6
B [9],
( ).
( )
, .
dx R
C-
d - dR , d
x :
1
11 ...
1
, ,...,
d
d
n i i
i i n
D x v x x x
n
d
, (15)
1
, ,...,
di iv x x x
( d - ) ,
1
, ,...,
di ix x x
( .
6).
( ) ,
, ( ) ( )
.
. 6
( )
11
d - :
1,1 2,1 1,1
1,2 2,2 1,21 2 1
1, 2, 1,
1 1 1
1
, ,...,
!
d
dd
d d d d
x x x
x x xv x x x abs
d
x x x
, (15)
, 2010 111
,i jx
j - i - , abs
,
.
[10]. [1]
B C.
7
C
, [1], ,
( ,
).
[11] x
y
M
d d
:
2 1,Md x y x y M x y . (16)
:
2
1
;
1 ,P
MHD x P
d x P
, (17)
P
P ,
1
n
i
i
x , P
P , :
1 1 1 1 1 1 2 2 1 1
2 2 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n n n n n n n
E x x E x x E x x
E x x E x x E x x
E x x E x x E x x
,
jx
j
j -
.
.
7 - ,
,
.
. .,
. .
, 2, 2010 112
. 7
- ,
,
, , , -
.
A- .
[12].
8
-
,
, [13].
( )
[14]:
1
: : 0, 1
d d
d
R R
D P x g x dP x g R g x dP x , (19)
0 :
0
0,1
D P cl D P , (20)
cl
.
(
):
1 1
1
: 1,0 ,
n n
n i i i i i
i i
D x i
n
, (21)
,
1
, , 1,..., 1
k k
k n
n n
, :
1 1 1
1
1
1 : ,...,
j k
k
n i i k
j
k
D conv x x i i N
n n
, (22)
1,...,N n ,
1
0,
n
:
, 2010 113
1,..., : 1d
nD P conv x x h H P h , (23)
dH
dR .
1
;
1
0,
n
.
-
,
.
,
.
,
.
- 1 2, ,..., nx x x
, 1,0,0 x , .
. ,
,
1 ( ). - :
^
1
1
, ,0,0
n
i
iP
n n
x
Z . (24)
, -
,
1
1
1 n
i
i
x
n
.
-
,
:
^1
D P proj PZ . (25)
. 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
, , , , , , , , , ,1
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
11
. .,
. .
, 2, 2010 114
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
, , , , , , , , , ,1
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
.
8. ,
, :
7) .
:
X YD P D P
0,1 , X YP P .
8) . 0.5D P
E P .
9) : P
n
0,1 , : n , 0 .
n
HD P D P , H
.
10) . 0,1
nP
P . HnD P D P .
:
sup : , :x D ,
,
0, .
x D P P
D x P . (26)
:
2) ( )
.
5) x :
,x D x P
x conv P .
6) :
,P D x P
1,..., intnx x conv P .
7) :
, ,X YD x P D x P
YP
XP .
8.1
(21) [15].
.
1,..., nX x x , 1,..., nx x
dR , - 1,..., n , 1,...,11 , 0,..., 00
dy R
:
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-17408 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0044 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T13:00:14Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ланге, Т.И. Можаровский, П.Ф. 2011-02-26T12:59:31Z 2011-02-26T12:59:31Z 2010 Определение глубины данных на многомерных выборках / Т.И. Ланге, П.Ф. Можаровский // Індуктивне моделювання складних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦ ІТС НАН та МОН України, 2010. — Вип. 2. — С. 101-119. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. XXXX-0044 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17408 004.62 Concepts of depth and depth trimmed regions are considered, their main properties and classification are presented. 5 notions of data depth and results of investigating their correspondence with requirements, imposed on depth and regions, are discussed. One of the latest forms of depth zonoid depth and algorithms for depth computation and constructing regions are outlined. These mathematical tools for nonparametric data analysis can be applied in location and dispersion estimation, cluster analysis and risk estimation. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Определение глубины данных на многомерных выборках Article published earlier |
| spellingShingle | Определение глубины данных на многомерных выборках Ланге, Т.И. Можаровский, П.Ф. |
| title | Определение глубины данных на многомерных выборках |
| title_full | Определение глубины данных на многомерных выборках |
| title_fullStr | Определение глубины данных на многомерных выборках |
| title_full_unstemmed | Определение глубины данных на многомерных выборках |
| title_short | Определение глубины данных на многомерных выборках |
| title_sort | определение глубины данных на многомерных выборках |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/17408 |
| work_keys_str_mv | AT langeti opredelenieglubinydannyhnamnogomernyhvyborkah AT možarovskiipf opredelenieglubinydannyhnamnogomernyhvyborkah |