Программное управление свертыванием космической связки с восстановлением исходной вертикальной ориентации
Объект этого исследования – космическая связка двух тел, соединенных упругим безмассовым кабелем. Цель исследования – распространение нового метода построения программного управления режимом развертывания космических связок в плоскости их орбит с выравниванием в конце режима вдоль местной вертикали...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Технічна механіка |
|---|---|
| Datum: | 2019 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2019
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174083 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Программное управление свертыванием космической связки с восстановлением исходной вертикальной ориентации / А.Е. Закржевский // Технічна механіка.— 2019.— № 4.— С. 59-72.— Бібліогр.: 32 назв.— рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174083 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Закржевский, А.Е. 2021-01-01T20:07:18Z 2021-01-01T20:07:18Z 2019 Программное управление свертыванием космической связки с восстановлением исходной вертикальной ориентации / А.Е. Закржевский // Технічна механіка.— 2019.— № 4.— С. 59-72.— Бібліогр.: 32 назв.— рос. 1561-9184 DOI: doi.org/10.15407/itm2019.04.059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174083 531.3 Объект этого исследования – космическая связка двух тел, соединенных упругим безмассовым кабелем. Цель исследования – распространение нового метода построения программного управления режимом развертывания космических связок в плоскости их орбит с выравниванием в конце режима вдоль местной вертикали на процесс свертывания связок со специфическими терминальными условиями. Это позволяет построить программное управление длиной или натяжением связки, которое обеспечивает требуемое изменение кинетического момента связки под действием момента гравитационного поля сил. Новизна результатов исследования заключается также в новом подходе к построению управления малоприводными (underactuated) механическими системами, у которых количество каналов управления меньше числа степеней свободы. Об'єкт цього дослідження – космічні зв'язки двох тіл, з'єднаних пружним безмасовим тросом. Ціль дослідження – поширення нового методу побудови програмного керування режимом розгортання космічних зв'язок у площині їхніх орбіт з вирівнюванням наприкінці режиму уздовж місцевої вертикалі на процес згортання зв'язок зі специфічними термінальними умовами. Це дозволяє побудувати програмне керування довжиною або натягом зв'язки, який забезпечує необхідну зміну кінетичного моменту зв'язки під дією моменту гравітаційного поля сил. Новизна результатів дослідження полягає також в новому підході до побудови керування малоприводними (underactuated) механічними системами, у яких кількість каналів керування менше числа ступенів свободи. This study is concerned with a space tethered system of two bodies connected with an elastic massless tether. The aim of this study is to extend a new program control construction method for the deployment of space tethered systems in the orbit plane with their alignment along the local vertical at the deployment end to tether retrieval with specific terminal conditions. This allows one to programmatically control the tether length or tension in such a way as to provide the required change of the angular momentum of the tethered system under the action of the gravitational moment. The novelty also lies in a new approach to constructing control of underactuated mechanical systems, in which the number of control channels is less than the number of degrees of freedom. ru Інститут технічної механіки НАН України і НКА України Технічна механіка Программное управление свертыванием космической связки с восстановлением исходной вертикальной ориентации Програмне керування згортанням космічної зв'язки з відновленням первинної вертикальної орієнтації Program control of the retrieval of a space tethered system with the recovery of its original vertical orientation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Программное управление свертыванием космической связки с восстановлением исходной вертикальной ориентации |
| spellingShingle |
Программное управление свертыванием космической связки с восстановлением исходной вертикальной ориентации Закржевский, А.Е. |
| title_short |
Программное управление свертыванием космической связки с восстановлением исходной вертикальной ориентации |
| title_full |
Программное управление свертыванием космической связки с восстановлением исходной вертикальной ориентации |
| title_fullStr |
Программное управление свертыванием космической связки с восстановлением исходной вертикальной ориентации |
| title_full_unstemmed |
Программное управление свертыванием космической связки с восстановлением исходной вертикальной ориентации |
| title_sort |
программное управление свертыванием космической связки с восстановлением исходной вертикальной ориентации |
| author |
Закржевский, А.Е. |
| author_facet |
Закржевский, А.Е. |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Технічна механіка |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| format |
Article |
| title_alt |
Програмне керування згортанням космічної зв'язки з відновленням первинної вертикальної орієнтації Program control of the retrieval of a space tethered system with the recovery of its original vertical orientation |
| description |
Объект этого исследования – космическая связка двух тел, соединенных упругим безмассовым кабелем. Цель исследования – распространение нового метода построения программного управления режимом развертывания космических связок в плоскости их орбит с выравниванием в конце режима вдоль местной вертикали на процесс свертывания связок со специфическими терминальными условиями. Это позволяет построить программное управление длиной или натяжением связки, которое обеспечивает требуемое изменение кинетического момента связки под действием момента гравитационного поля сил. Новизна результатов исследования заключается также в новом подходе к построению управления малоприводными (underactuated) механическими системами, у которых количество каналов управления меньше числа степеней свободы.
Об'єкт цього дослідження – космічні зв'язки двох тіл, з'єднаних пружним безмасовим тросом. Ціль дослідження – поширення нового методу побудови програмного керування режимом розгортання космічних зв'язок у площині їхніх орбіт з вирівнюванням наприкінці режиму уздовж місцевої вертикалі на процес згортання зв'язок зі специфічними термінальними умовами. Це дозволяє побудувати програмне керування довжиною або натягом зв'язки, який забезпечує необхідну зміну кінетичного моменту зв'язки під дією моменту гравітаційного поля сил. Новизна результатів дослідження полягає також в новому підході до побудови керування малоприводними (underactuated) механічними системами, у яких кількість каналів керування менше числа ступенів свободи.
This study is concerned with a space tethered system of two bodies connected with an elastic massless tether. The aim of this study is to extend a new program control construction method for the deployment of space tethered systems in the orbit plane with their alignment along the local vertical at the deployment end to tether retrieval with specific terminal conditions. This allows one to programmatically control the tether length or tension in such a way as to provide the required change of the angular momentum of the tethered system under the action of the gravitational moment. The novelty also lies in a new approach to constructing control of underactuated mechanical systems, in which the number of control channels is less than the number of degrees of freedom.
|
| issn |
1561-9184 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174083 |
| citation_txt |
Программное управление свертыванием космической связки с восстановлением исходной вертикальной ориентации / А.Е. Закржевский // Технічна механіка.— 2019.— № 4.— С. 59-72.— Бібліогр.: 32 назв.— рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zakrževskiiae programmnoeupravleniesvertyvaniemkosmičeskoisvâzkisvosstanovleniemishodnoivertikalʹnoiorientacii AT zakrževskiiae programnekeruvannâzgortannâmkosmíčnoízvâzkizvídnovlennâmpervinnoívertikalʹnoíoríêntacíí AT zakrževskiiae programcontroloftheretrievalofaspacetetheredsystemwiththerecoveryofitsoriginalverticalorientation |
| first_indexed |
2025-11-27T07:40:56Z |
| last_indexed |
2025-11-27T07:40:56Z |
| _version_ |
1850803888102309888 |
| fulltext |
59
УДК 531.3 https://doi.org/10.15407/itm2019.04.059
А. Е. ЗАКРЖЕВСКИЙ
ПРОГРАММНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СВЕРТЫВАНИЕМ КОСМИЧЕСКОЙ
СВЯЗКИ С ВОССТАНОВЛЕНИЕМ ИСХОДНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ
ОРИЕНТАЦИИ
Институт космических исследований
Национальной академии наук Украины и Государственного космического агентства Украины
пр. Академика Глушкова 40, корп. 4/1, Киев, Украина; e-mail: alex.e.zakr@gmail.com
Об'єкт цього дослідження – космічні зв'язки двох тіл, з'єднаних пружним безмасовим тросом. Ціль
дослідження – поширення нового методу побудови програмного керування режимом розгортання косміч-
них зв'язок у площині їхніх орбіт з вирівнюванням наприкінці режиму уздовж місцевої вертикалі на про-
цес згортання зв'язок зі специфічними термінальними умовами. Це дозволяє побудувати програмне керу-
вання довжиною або натягом зв'язки, який забезпечує необхідну зміну кінетичного моменту зв'язки під
дією моменту гравітаційного поля сил. Новизна результатів дослідження полягає також в новому підході
до побудови керування малоприводними (underactuated) механічними системами, у яких кількість каналів
керування менше числа ступенів свободи. Тут пропонується накладати обмеження на рух системи по тан-
гажу, яке, зменшуючи число ступенів свободи системи, дозволяє реалізувати заданий режим руху при
керуванні тільки по ступенях свободи, що залишилися. Характер обмеження, що накладається на припус-
тимий закон зміни кута тангажу за часом, визначається вимогами, пропонованими до виконуваного режи-
му. Тут розглядається режим згортання зв'язки, яка вирівняна уздовж місцевої вертикалі, до заданої дов-
жини. При цьому зв'язка повинна бути знову вирівняна уздовж місцевої вертикалі і її поздовжні коливан-
ня повинні бути відсутніми. У результаті урахування всіх вимог, пропонованих до режиму згортання,
вдається побудувати припустимий закон зміни кута тангажу за часом, який описується степеневим рядом
восьмого порядку. Для зв'язки з обраними значеннями параметрів проведено числове дослідження впливу
параметрів режиму, таких як тривалість згортання, форма закону зміни кута тангажу за часом, на довжину
згорнутої зв'язки й характер її поведінки в процесі згортання. Для демонстрації простоти застосування
пропонованого методу на практиці наведено числовий приклад. Числове моделювання режиму прово-
диться в рамках інтегрування задачі Коші для рівнянь Hill–Clohessy–Wiltshire. Аналіз результатів супро-
воджується графіками. На початку статті наведено огляд стану проблеми, що вивчається.
Ключові слова: тросова система, згортання, керування, зміна довжини, вертикальне положення,
деформації, космічна зв'язка.
Объект этого исследования – космическая связка двух тел, соединенных упругим безмассовым кабе-
лем. Цель исследования – распространение нового метода построения программного управления режимом
развертывания космических связок в плоскости их орбит с выравниванием в конце режима вдоль местной
вертикали на процесс свертывания связок со специфическими терминальными условиями. Это позволяет
построить программное управление длиной или натяжением связки, которое обеспечивает требуемое из-
менение кинетического момента связки под действием момента гравитационного поля сил. Новизна ре-
зультатов исследования заключается также в новом подходе к построению управления малоприводными
(underactuated) механическими системами, у которых количество каналов управления меньше числа сте-
пеней свободы. Здесь предлагается накладывать ограничение на движение системы по тангажу, которое,
уменьшая число степеней свободы системы, позволяет реализовать заданный режим движения при управ-
лении только по оставшейся степени свободы. Характер ограничения, накладываемого на допустимый
закон изменения угла тангажа по времени, определяется требованиями, предъявляемыми к выполняемому
режиму. Здесь рассматривается режим свертывания связки, которая вначале выровнена вдоль местной
вертикали, до заданной длины. При этом связка должна быть снова выровнена вдоль местной вертикали и
ее продольные колебания должны отсутствовать. В результате учета всех требований, предъявляемых к
режиму свертывания, удается построить допустимый закон изменения угла тангажа по времени, который
описывается степенным рядом восьмого порядка. Для связки с выбранными значениями параметров про-
ведено численное исследование влияния параметров режима, таких как длительность свертывания, форма
закона изменения угла тангажа по времени, на длину свернутой связки и характер ее поведения в процессе
свертывания. Для демонстрации простоты применения предлагаемого метода на практике приведен чис-
ленный пример. Численное моделирование режима проводится в рамках интегрирования задачи Коши для
уравнений Hill–Clohessy–Wiltshire. Анализ результатов иллюстрируется графиками. В начале статьи при-
веден обзор состояния изучаемого вопроса.
Ключевые слова: тросовая система, свертывание, управление, изменение длины, вертикальное по-
ложение, деформации, космическая связка.
This study is concerned with a space tethered system of two bodies connected with an elastic massless teth-
er. The aim of this study is to extend a new program control construction method for the deployment of space
tethered systems in the orbit plane with their alignment along the local vertical at the deployment end to tether
retrieval with specific terminal conditions. This allows one to programmatically control the tether length or ten-
А. Е. Закржевский, 2019
Техн. механіка. – 2019. – № 4.
60
sion in such a way as to provide the required change of the angular momentum of the tethered system under the
action of the gravitational moment. The novelty also lies in a new approach to constructing control of underactu-
ated mechanical systems, in which the number of control channels is less than the number of degrees of freedom.
Here, it is proposed to impose a pitch constraint on the motion of the system, which will reduce the number of
degrees of freedom, thus allowing one to implement a specified motion regime by controlling the system only in
the remaining degrees of freedom. The character of the constraint imposed on the admissible time variation of the
pitch angle is governed by the requirements placed upon the motion regime to be executed. This paper considers
the retrieval of a tethered system initially aligned along the local vertical to a specified length. The tethered system
must be aligned again along the local vertical, and its longitudinal oscillations must be absent. Accounting for all
the requirements for the retrieval regime, it is possible to constrict an admissible law of time variation of the pitch
angle described by an eighth-order power series. For a tethered system with specified parameter values, a numeri-
cal study was conducted into the effect of the retrieval duration and the law of time variation of the pitch angle on
the length of the retrieved tethered system and its behavior in the course of the retrieval. To demonstrate the prac-
tical simplicity of the proposed approach, a numerical example is given where tether retrieval is simulated numer-
ically by integrating a Cauchy problem for Hill–Clohessy–Wiltshire equations. The analysis of results is illustrat-
ed by graphs. At the beginning of the paper, the state of the art in the problem under consideration is overviewed.
Keywords: tethered system, retrieval, control, length variation, vertical position, deformation, space teth-
ered system.
Введение. Объем публикаций, посвященных исследованию различных
режимов движения космических тросовых систем (КТС), очень большой.
Всесторонний анализ потенциальных применений КТС проводится в моно-
графиях [7, 15]. Среди проблем, связанных с динамикой КТС, особое место
занимает проблема развертывания и свертывания связки двух космических
объектов в заданное состояние. Этой проблеме посвящено большое количе-
ство публикаций. Они отличаются принимаемой физической моделью связ-
ки и характером управления приведением связки в конечное положение.
Вертикальная конфигурация КТС устойчива в орбитальной системе от-
счета в случае постоянной длины троса. Теоретически это справедливо для
абсолютно сферической Земли. В пределах технической точности можно
предположить, что эта гипотеза выполняется [27]. Конфигурация вдоль ло-
кальной вертикали теряет свою устойчивость с изменением длины связки
согласно теореме об изменении кинетического момента [16]. Важное эксплу-
атационное требование, чтобы субспутник остался на локальной вертикали
во время развертывания или свертывания, может быть достигнуто только за
счет расширения возможностей системы управления.
В моделях реальных связок с невесомой связью, движение которых про-
исходит в плоскости круговой орбиты, используется только один канал
управления, связанный с изменением длины связки, а степеней свободы ока-
зывается две. Вторая степень свободы связана с движением связки по углу
тангажа. При такой постановке задачи связку можно рассматривать как ма-
лоприводную (underactuated) механическую систему, в которой количество
степеней свободы больше числа каналов управления. Игнорирование этой
особенности механической модели связки с невесомой связью приводило к
тому, что, например, задача развертывания связки в вертикальное положение
долгое время не имела приемлемого для практики решения.
Рассмотрим известные подходы к развертыванию связки в положение
вдоль местной вертикали. Как правило, такое развертывание предполагают
проводить в течение двух стадий. Многие авторы рассматривают свободное
развертывание на начальной ступени [25]. В этом случае, после начального
удаления субспутника от космического корабля, связка развертывается фак-
тически без сопротивления под действием начального импульса, сообщаемо-
го субспутнику системой развертывания. В результате после торможения
связки в конце развертывания связка входит в режим либрационных (маятни-
61
ковых) колебаний в плоскости орбиты относительно радиального равновес-
ного положения. Наконец, привязь успокаивается из-за внутреннего демпфи-
рования в вязкоупругом тросе в положении вдоль местной вертикали. Этот
процесс длится очень долго, хотя существуют методы его ускорения. В [3]
маятниковые колебания, которые возникают при первичным развертывании
связки с вязкоупругим тросом, демпфируются параметрическим подтягива-
нием троса у точки возврата маятниковых колебаний и развертыванием его
снова около местной вертикали: это процесс, обратный параметрическому
возбуждению маятника.
Управление натяжением троса на первой стадии развертывания рассматри-
вается в [4]. Описание и анализ различных путей развертывания орбитальных
связок с управлением по скорости развертывания приведены в [6, 14, 15, 18].
У всех сценариев развертывания орбитальных связок с управлением по
скорости развертывания есть один общий недостаток. С таким управлением
невозможно выполнить демпфирование продольных колебаний связки, воз-
никающих из-за ее упругости. Значительные продольные колебания могут
привести связку к потере натяжения троса, это в свою очередь приведет к
потере управления ее развертыванием/свертыванием.
Известны методы развертывания орбитальных связок, которые обеспе-
чивают развертывание троса с регулированием его силы натяжения. Основ-
ное преимущество таких сценариев развертывания – возможность прямого
демпфирования продольных колебаний связки во время ее развертывания.
Множество различных стратегий управления для таких сценариев разверты-
вания и устройств для их реализации описано в [21, 22, 26]. Проблема опти-
мального управления по быстродействию решена для простой системы с не-
весомым тросом в [24]. В результате найден закон релейного управления
натяжением троса. Он позволяет перемещать субспутник из положения отно-
сительного равновесия вдоль местной вертикали к той же самой конфигура-
ции на существенном расстоянии от космического корабля, без существенно-
го отклонения субспутника от местной вертикали и с постоянно натянутым
тросом. Погрешность этого метода связана со сложностью реализации регу-
лирования натяжения троса, когда сила натяжения мала. Недостаток метода
состоит также в возможности возбуждения продольных колебаний.
В [4] проведено всестороннее исследование управляемого развертыва-
ния на основе сравнения шести различных сценариев. В [23, 24] развиты оп-
тимальные контроллеры для создания управления развертыванием КТС. В
[28] предложен контроллер для движения КТС в плоскости орбиты, который
демонстрирует высокую вычислительную эффективность. В [30] проведено
сравнение различных функций стоимости для оптимального управления КТС
в плоскости орбиты. Это исследование было расширено позже на управле-
ние либрацией КТС на эллиптических орбитах [29].
Один из наиболее обсуждаемых сценариев развертывания – так называе-
мое "экспоненциальное" развертывание. Такое развертывание рассматрива-
лось многими авторами, начиная с Eades [11, 12]. Как правило, авторы рас-
сматривают экспоненциальное развертывание как дополнительную стадию
для начального развертывания. Такое развертывание обсуждено подробно в
[6, 20] и многими другими авторами. В [6] такое развертывание определено
как развертывание со скоростью, пропорциональной длине развернутой связ-
ки. Для круговой орбиты авторы предлагают закон изменения развернутой
62
длины связки L во времени в форме exp( / sin )orL L t 0 3 4 2 , где L0 –
начальная длина связки, t – время, or – орбитальная угловая скорость, –
угол тангажа связки. В [20] экспоненциальное развертывание определено как
развертывание, для которого развернутая длина – функция, растущая по экс-
поненте со временем и зависящая от величины L0 , которая не может быть
нулем.
Плоское движение гантели с экспоненциальным управлением по длине
при свертывании было исследовано в [19]. Там показано, что связка может
быть свернута без вращения. При использовании экспоненциального закона
скорость развертывания связки достигает максимальной величины в конце
развертывания, что приводит к рывку и увеличению силы натяжения. Это
может вызвать значительные продольные колебания связки.
Альтернативой методам, обсуждаемым здесь, являются методы, разви-
тые в [1, 2, 9].
Следует отметить, что с практической точки зрения нет необходимости
удерживать связку в непосредственной близости от местной вертикали во
время развертывания. Достаточно, чтобы управление привело связку к мест-
ной вертикали в конце процесса.
В последнее время возрос интерес к исследованию малоприводных ме-
ханических систем. В работе [12] связка рассматривается как малоприводная
механическая система. Там предложен новый контроллер для режимов раз-
вертывания и свертывания связки, основанный на использовании формируе-
мого виртуального сигнала. Авторы показали, что углом тангажа, не подда-
ющимся прямому управлению, можно управлять при использовании данных
о длине связки. Также в работе проведен краткий анализ исследований дина-
мики связок в рамках теории малоприводных систем.
Трудностей реализации описанных выше сценариев и сложностей зако-
нов управления режимами развертывания/свертывания связки в устойчивую
вертикальную конфигурацию на круговой орбите можно избежать, если
наложить на систему дополнительную связь, уменьшающую число ее степе-
ней свободы. При этом система перестанет быть малоприводной и задача по-
строения программного управления, приводящего связку к местной вертика-
ли в конце развертывания, существенно упрощается. Структура связи должна
в полной мере соответствовать параметрам исследуемого режима. Ее постро-
ение заключается в определении подходящей зависимости угла тангажа от
времени. Как это сделать основываясь на работах [31, 32] будет показано далее.
Математическая модель системы. Можно различать два основных ти-
па связок. Связки, состоящие из космических тел с существенно отличающи-
мися по величине массами, могут быть отнесены к первому типу. Например,
исследование маленького зонда, развертываемого с большого космического
корабля или с космической станции. Связки двух объектов, имеющих близ-
кие или равные массы, могут быть отнесены ко второму типу.
Без потери общности формулировки проблемы в качестве модели связки
можно выбрать две равных точечных массы, связанные упругим невесомым
тросом. Пренебрежение размерами концевых тел основано на том, что режи-
мы движения, в которых трос может быть намотан на концевых телах, здесь
не рассматриваются. Пренебрежение массой троса по сравнению с массами
концевых тел вполне оправдано для связок с неэлектропроводным тросом,
63
сделанным из современных легких материалов. Кроме того, опыт предыду-
щих исследований, в частности анализ результатов, приведенных в [22], по-
казывает, что управляемое движение континуальных систем с массивным
тросом, описываемым уравнениями в частных производных, фактически не
отличается от движения связок, масса которых сконцентрирована в концевых
телах. Различием в местоположении центра гравитации и центра масс связки
можно также пренебречь, поскольку расстояние между этими точками едва
ли больше 1 м, когда длина связки, расположенной вдоль местной вертикали,
равна 5 км. В результате можно полагать, что центр масс связки движется по
круговой орбите вокруг Земли.
Для удобства дальнейшего описания динамики связки введем следующие
правые системы координат: инерциальная система E A A AO X Y Z [5] (ось
E AO X направлена в точку весеннего равноденствия, ось E AO Z проходит
через Северный полюс), и орбитальный базис or or orCx y z . В этом коорди-
натном базисе ось orCx направлена от центра Земли вдоль радиус-вектора
центра масс связки при ее движении по орбите, ось orCz нормальна к плос-
кости орбиты и ось orCy дополняет ортогональную триаду. Заметим, что оси
orCx и orCy соответствуют движению в плоскости орбиты, а ось orCz со-
ответствует движению вне этой плоскости.
В качестве модели поля сил тяготения выберем центральное ньютоново
поле сил. Вектор положения центра масс связки CR
может быть легко опре-
делен в инерциальной системе отсчета, если параметры орбиты и положение
центра масс связки известны. Соответственно, радиус-векторы r , r1 2
точеч-
ных масс относительно точки C могут быть определены их проекциями в
орбитальной системе координат: r { , , }, r { , , }or or or or or orx y z x y z 1 1 1 1 2 2 2 2
. Вы-
берем эти проекции вместе с их производными по времени в орбитальной
системе отсчета как фазовые переменные задачи.
Сценарий изменения длины связки. Для демонстрации возможностей
предлагаемого подхода к построению программного управления различными
режимами движения связки рассмотрим далее задачу изменения длины уже
развернутой вдоль местной вертикали упругой связки двух тел с невесомой
связью. Потребуем, чтобы после уменьшения длины до заданной величины
связка была снова расположена вдоль местной вертикали. Теперь нужно по-
строить выражение для связи, налагаемой на неуправляемую переменную,
которой является угол тангажа . В качестве управления связкой будем рас-
сматривать ее длину, под которой будем понимать расстояние между цен-
трами концевых тел с учетом упругих деформаций. При уменьшении длины в
соответствии с теоремой об изменении кинетического момента связка начнет
вращаться в сторону положительных значений , поскольку ее кинетиче-
ский момент не будет заметно меняться при малых углах тангажа. Поскольку
в начальный момент по условиям задачи связка неподвижна относительно
местной вертикали, должны выполняться следующие условия:
( ) 0 0 , ( )FT 0 , (1)
( ) 0 0 , ( )FT 0 . (2)
64
Здесь FT – время окончания маневра.
В результате зависимость ( )t в первом приближении можно предста-
вить в виде, показанном на рис. 1.
Рис. 1
Однако такая связь не отражает всех тре-
бований практики, предъявляемых к связке в
рамках рассматриваемого маневра. Следую-
щие условия должны быть удовлетворены
при свертывании связки от полной начальной
длины L0 до конечной длины FL :
( )L L 00 , ( )F FL T L . (3)
Первое из этих условий заранее можно считать выполненным, второе
условие может быть использовано далее для определения заранее неизвест-
ного времени окончания маневра FT . Эта величина позволит выбрать под-
ходящее решение задачи из множества решений, полученных для различных
значений FT .
Два дополнительных условия следуют из требования постоянства длины
связки в начальный и конечный моменты времени:
( )L 0 0 , ( )FL T 0 . (4)
Появление скачков натяжения в тросе недопустимо как в начальный и
конечный моменты маневра, так и на протяжении всего маневра, поскольку
они могут привести к исчезновению натяжения связи, что сделает принятую
механическую модель неадекватной. Отсутствие скачков натяжения в
начальный и конечный моменты времени достигается при выполнении сле-
дующих условий:
( )L 0 0 , ( )FL T 0 .
Эти условия следуют непосредственно из уравнения движения связки
вдоль связи в сферических координатах [17] (случай движения в плоскости
орбиты), которое в принятых здесь обозначениях может быть записано в виде
[( ) ( ) cos ( ) ]or or or TL L
m
2 2 2 23 2 . (5)
Здесь m – масса концевого тела, T – сила натяжения троса.
Действительно, при выполнении условий (1), (2)
( )or TL L
m
23 2 0 . (6)
Теперь необходимо построить такой закон управления длиной связки
( )L t , который позволит решить поставленную задачу и свернуть связку "из
покоя в покой" до заданной длины. Физическая интерпретация такого управ-
ления состоит в следующем: момент количества движения связки в процессе
свертывания изменяется под действием гравитационного момента до такой
векторной величины, которая соответствует моменту количества движения
связки при Ft T .
65
Для того чтобы получить необходимый закон управления, можно ис-
пользовать теорему об изменении момента количества движения связки. Бо-
лее простой путь состоит в том, чтобы использовать уравнение движения
связки переменной длины по углу тангажа. Следуя [17], можно написать
уравнение углового движения связки в плоскости орбиты в следующей форме:
( ) / ( ) sin cosor orL L 22 3 0 . (7)
После элементарных преобразований уравнения (7) можно получить
обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с соответству-
ющим начальным условием
( ) sinor
or
L L
23 2 2
4
, ( )L L 00 . (8)
При известном законе изменения ( )t его решение имеет следующий вид
( ) sin( ( )) ( )( ) exp
( )
FT or
or
L t L d
2
0
0
3 2 2
4
. (9)
Используя условия (8) и уравнение (4) можно получить еще два условия
для угла тангажа:
( ) 0 0 , ( )FT 0 . (10)
Возвращаясь к рис. 1, видим, что для обеспечения формы закона измене-
ния ( )t , соответствующей показанной на рисунке, нужно определить еще
хотя бы одну точку на этой кривой. Заметим, что задача выбора такой точки
не однозначна. Выберем, например, в качестве таковой точку ( / )FT 2 и за-
дадим следующее условие:
( / )F srT F2 . (11)
Здесь Fsr – неизвестная заранее величина, которая может быть выбрана в
процессе численного исследования решения задачи.
Наконец, после дифференцирования по времени уравнения (8) и исполь-
зуя уже найденные ограничения на ( )t , можно получить следующие огра-
ничения из условий (5):
( )T 2 0 , ( )FT 0 . (12)
Таким образом, для построения программного закона изменения ( )t
можно использовать условия (1), (2), (10), (11) и (12) – всего 9 условий.
Задавая различную продолжительность маневра FT можно получить
различные законы ( )L t изменения длины связки. Тогда может быть выбран
один закон из этого множества решений, который соответствует заданной
окончательной длине связки, не приводит к потере натяжения троса во время
развертывания и отвечает другим описанным требованиям.
Необходимый закон ( )t может быть представлен в форме любого ко-
нечного функционального ряда, и его коэффициенты могут быть найдены из
66
выше установленных девяти условий. Например, по аналогии с работой авто-
ра [31] представим закон ( )t в виде степенного ряда восьмого порядка
( )
i
i
Fi
tt c
T
7
0
. (13)
Его коэффициенты, найденные из девяти условий (1), (2), (10), (11) и
(12), имеют следующий вид:
; ; ; ;
/ ; / ;
/ ; / ; / .
F F
F F F
c c c c
c Fsr T c Fsr T
c Fsr T c Fsr T c Fsr T
0 1 2 3
4 5
4 5
6 7 8
6 7 8
0 0 0 0
1024 256
1536 1024 256
Закон ( )L t , полученный в соответствии с выражением (13), зависит от
закона ( )t , который в свою очередь зависит от продолжительности режима
свертывания и радиуса орбиты центра тяжести.
Численные исследования. Рассмотрим далее практическую реализацию
предложенного метода построения программного управления свертыванием
космической связки двух тел, которая в начале и в конце режима ориентиро-
вана вдоль местной вертикали. Выберем следующие значения параметров
связки:
массы конечных тел идентичны и равны 10 кг,
начальная длина связки составляет 6000 м,
длина свернутой связки – 3 км,
продольная жесткость троса – 5000 N.
радиус орбиты центра тяжести связки – 7000 км.
Покажем далее, как найти закон ( )L t , который решает поставленную задачу.
Рис. 2
Зададим значение Fsr равным
0,15 рад и построим кривые ( )t для
различных значений длительности ре-
жима свертывания FT в соответствии с
формулой (13). Результат показан на
рис. 2. Каждая линия на этом рисунке
соответствует отдельному значению
длительности режима. На рисунке вид-
но, что с изменением FT форма кривой
( )t меняется незначительно. Чтобы
оценить приемлемость того или иного
закона программного движения, необходимо построить программный закон
изменения во времени длины связки ( )L t . Этот закон можно получить, ре-
шая задачу Коши (8) для группы значений FT при известных законах ( )t .
Получаем зависимости, показанные на рис. 3.
67
Рис. 3
Основная зависимость, которая прослеживается на этом рисунке, состоит
в том, что по мере увеличения длительности режима свертывания длина, до
которой можно свернуть связку, уменьшается – при FT c1000 с связку уда-
ется свернуть только до 5345 м, тогда как при FT c10000 с связка укорачи-
вается до 2256 м. Очевидно, при дальнейшем увеличении FT свернутая связ-
ка станет еще короче. На рис. 3 видно, что форма управляющей функции
( )L t становится более гладкой с увеличением FT . Пунктирная линия на ри-
сунке проходит через точки выхода каждой кривой ( )L t на стационарное
значение. Штрих-пунктирная кривая показывает зависимость ( )FL T . Конеч-
но, эта картина существенно зависит и от величины параметра Fsr .
На рис. 4 показана зависимость длины связки после завершения процесса
свертывания от длительности свертывания FT и параметра Fsr .
Рис. 4
На графике нанесены изолинии ( , )FL T Fsr 1000, 2000, 3000, 4000,
5000 м. По их формам видно, что до одной и той же длины связку можно
свернуть при разных наборах значений FT и Fsr . Т. е., если нужно свер-
нуть связку за кратчайшее время, рабочую точку следует выбирать в правой
верхней точке соответствующей изолинии, а если отклонения концевых тел
от местной вертикали должны быть минимально возможными, то рабочую
точку следует выбирать в ее левой нижней области. В правой верхней части
68
рисунка аппликаты графика начинают увеличиваться. Для определенных
значений FT , Fsr может оказаться, что после окончания маневра длина
связки не только не уменьшается, но может оказаться больше начальной.
Иначе говоря, по мере роста значения Fsr малые длительности процесса
становятся нереализуемыми. Это объясняется тем фактом, что при таком ха-
рактере изменения величин FT и Fsr скорость изменения угла тангажа
возрастает, т. е. возрастает угловая скорость движения связки по тангажу, в
результате чего ограничение (11) может быть нарушено. Чтобы не превысить
допустимую величину ( )t , приходится увеличивать длину связки. Это хо-
рошо видно на рис. 3 на кривой ( )L t , соответствующей значению
FT c1000 с. Если для такой кривой потребовать FT c1000 с, может ока-
заться, что связка в результате полученного управления удлинится. Области,
подобные показанной в правом верхнем углу рис. 4, непригодны для постро-
ения программного управления режимом свертывания связки.
Поведение траекторий конце-
вого тела связки при FT c10000 с
и при различных значениях пара-
метра Fsr показано на рис. 5. Здесь
изображены траектории концевого
тела симметричной связки в орби-
тальном базисе. На графиках хоро-
шо видно, как по мере возрастания
значения параметра Fsr изменяется
форма траектории концевого тела.
Непременным условием реали-
зуемости рассматриваемого манев-
ра связки является отсутствие про-
висания троса в течение всего вре-
мени ее свертывания. Для известно-
го закона изменения длины связки ( )L t зависимость силы натяжения троса
от времени может быть найдена из уравнения (5). На рис. 6 показана зависи-
мость силы натяжения троса от времени при FT c10000 с и различных зна-
чениях параметра Fsr . При t 0
сила натяжения троса определяется
из условия (6). С началом процесса
свертывания натяжение троса вна-
чале увеличивается в результате
преодоления сил инерции конце-
вых тел. Естественно, интенсив-
ность этого увеличения определяет-
ся значением параметра Fsr – чем
больше этот параметр, тем быстрее
связка наклоняется, а следователь-
но, должна быстрее уменьшаться ее
длина. Аналогичные процессы про-
исходят в тех областях значений
Fsr , где появляются интервалы
Рис. 5
Рис. 6
69
времени, на которых трос удлиняется. При этом натяжение сначала падает,
когда трос выпускается, а затем резко возрастает, когда трос начинает снова
укорачивается. Последняя кривая ( )T Fsr соответствует силе натяжения
троса после завершения процесса свертывания, определяемой из условия
( )T Fsr , соответствующая Ft T , показывает усилия натяжения в связке в
конце режима свертывания, определяемые из (6). Поскольку уменьшение
длины связки в рассматриваемой области значения параметров FT , Fsr ми-
нимально при ,Fsr 0 15 , здесь натяжение Т максимально. Естественно, чем
больше конечная длина связки, тем выше сила натяжения троса. Именно это
и видно на кривых ( )T t , соответствующих меньшим значениям ( )T Fsr .
Рассмотрим далее поведение связки при ее свертывании до длины 3 км.
Для численного моделирования будем использовать уравнения Hill–
Clohessy–Wiltshire (HCW) [8] (14), которые описывают движение концевых
точечных масс относительно центра масс связки
{ ( ) ( ) / ,
( ) / ,
( ) ( ) / },( , ),
or or or or
i i i r i i
or or
i r i i
or or
i r i i
r y x T e m
x T e m
z T e m i
2
2
2 3 1
2 2
3 1 2
(14)
где ( ), ( ), ( )r i r i r ie e e1 2 3( ), ( ), ( )r i r i r ie e e1 2 3( ), ( ), ( )r i r i r ie e e1 2 3 – направляющие косинусы радиус-векторов точеч-
ных масс в орбитальном базисе. Для замыкания системы двенадцати уравне-
ний первого порядка нужно знать выражение величины силы натяжения тро-
са T в каждый момент времени.
Если в качестве фазовых переменных задачи выбрать координаты конце-
вых тел и их первые производные по времени, в качестве управления можно
ввести в модель программную силу натяжения связки T, которая может быть
вычислена на каждом шаге интеграции, используя уравнение (11). Про-
граммные значения ( )L t можно получить на каждом шаге интегрирования
задачи Коши (8). Первые производные ( )L t могут быть определены из (5)
после подстановки в уравнение (7) выражения для ( )t и его производных
по времени. В результате получаем выражение для силы ( )T t натяжения,
которое может использоваться при численном интегрировании задачи Коши
для уравнений HCW с помощью пакета ФОРТРАН, написанного автором.
На рис. 7 можно видеть поведение угла тангажа – видно, как в про-
цессе свертывания отклоняется продольная ось связки. После завершения
программного управления в момент Ft T 7078 c связка оказывается снова
ориентированной вдоль местной вертикали. Расстояние между телами оказы-
вается равным 2999,72 м. Анализ численных значений изменения угла танга-
жа связки свидетельствует о наличии некоторых либрационных колебаний
троса с периодом 3000 с, с амплитудой меньше 1,2 10-2 рад. Поведение угла
тангажа ( )t в течение развертывания практически не отличается от про-
граммного закона, показанного на рис. 2.
70
На рис. 8 показано изменение длины связки L и ско-
рости втягивания троса L во времени. Здесь видно, что
максимальная скорость свертывания троса не превышает
0,9 м/с.
Программное натяжение троса, которое соответствует
движению концевых тел связки по предписанной про-
граммной траектории, изображено на рис. 9. Показанные
здесь особенности силы натяжения троса полностью соот-
ветствуют особенностям, описанным в комментариях к
рис. 6
Для того чтобы принять во внимание упругость троса,
в вычислительную программу по вычислению силы натя-
жения было введено уточнение. Действительно, для гиб-
кого троса расстояние от точки C до концевого тела равно
( ) ( ) ( ).pr t r t r t Здесь, ( )pr t – программный закон
изменения ( )r t . В свою очередь, ( ) /pr t T r EF – удлинение троса в со-
ответствии с законом Гука. Поэтому, учитывая квазистатический характер
режима свертывания, при вычислении Т этот факт был принят во внимание и
была введена корректировка в вычисление программного закона
( ) ( ) ( ).p pr t r t r t В качестве текущего значения ( )r t использовалось
его значение, вычисленное на предыдущем шаге интегрирования, который
составлял 0,1 с.
Заключение. Подводя итоги, можно сказать, что здесь развит, теорети-
чески обоснован и численно проверен новый подход к решению проблемы
свертывания вертикально ориентированной упругой космической связки
двух тел на круговой орбите на заданную длину с ее приведением в конце
свертывания к локальной вертикали. Этот подход основан на программном
управлении длиной связки с использованием момента гравитационных сил
для управления движением связки по углу тангажа. С физической точки зре-
ния предложено целенаправленное изменение кинетического момента связки
за счет ее взаимодействия с гравитационным полем, позволяющее удовле-
творить многие дополнительные требования к качеству динамических про-
цессов в упругой космической системе. С точки зрения теории управления
развит метод формирования программного управления длиной связки, позво-
Рис. 7
Рис. 8 Рис. 9
71
ляющий развернуть связку двух тел с ее выравниванием по локальной верти-
кали без возбуждения продольных колебаний, потому что полученный закон
управления является очень гладким по времени и не содержит особенностей,
которые могут вызвать такие колебания. Отличие предложенного сценария
развертывания от "экспоненциального" развертывания состоит в том, что
длина связки растет здесь не по экспоненте, а согласно закону, описываемо-
му полиномом восьмого порядка. Коэффициенты этого полинома определе-
ны из условий, которые обеспечивают предписанное качество развертывания
связки, в частности отсутствие ее продольных колебаний.
Приведенный пример применения изложенного подхода к случаю свер-
тывания конкретной связки демонстрирует простоту использования метода
на практике.
1. Banerjee A. K., Kane T. R. Tether Deployment Dynamics. Journal of the Astronautical Sciences. 1982. V. 30.
Pp. 347–366.
2. Banerjee A. K., Kane T. R. Tethered Satellite Retrieval with Thruster Augmented Control. Journal of Guid-
ance, Control, and Dynamics. 1984. V. 7. Pp. 45–50. https://doi.org/10.2514/3.8543
3. Barkow B. Controlled Deployment of a Tethered Satellite System. Proceedings in Applied Mathematics and
Mechanics. 2003. V. 2. Pp. 224–225. https://doi.org/10.1002/pamm.200310097
4. Barkow B., Steindl A., Troger H., Wiedermann G. Various Methods of Controlling the Deployment of a
Tethered Satellite. Journal of Vibration and Control. 2003. V. 9. Pp. 187–208.
https://doi.org/10.1177/1077546303009001747
5. Beletsky V. V. Motion of an Artificial Satellite about its Center of Mass. Israel Program for Scientific Transla-
tions, Jerusalem. 1966. 261 р.
6. Beletsky V. V., Levin E. M. Dynamics of space tether systems. Univelt, San Diego. 1993. 509 р.
7. Cantafio L. J., Chobotov V. A., Wolfe M. G. Photovoltaic gravitationaly stabilized, solid-state satellite solar
power station. Journal of Energy. 1977. V. 1. Pp. 352–363. https://doi.org/ 10.2514/3.62346.
8. Clohessy W. H., Wiltshire R. S. Terminal Guidance System for Satellite Rendezvous. Journal of Guidance,
Control, and Dynamics. 1960. V. 27. Pp. 653–658. https://doi.org/10.2514/8.8704
9. Davis W. R., Banerjee A. K. Yo-Yo Rate Control of a Tethered Satellite Using Angle Measurement. Journal of
Guidance, Control, and Dynamics. 1990. V.13. Pp. 370–374. https://doi.org/10.2514/3.20559
10. Djebli A., Pascal M., Elbakkali L. On deployment dynamics of tethered satellite systems Revue de Mécanique
Appliquée et Théorique. 2000. V. 1. Pp. 13–39.
11. Eades J. B .J. Analytical Solution for Extensible Tethers. Journal of Spacecraft and Rockets. 1974. V. 11. Pp.
254–255, https://doi.org/10.2514/3.62053
12. Eades J. B., Jr, Wolf H. Tethered Body Problems and Relative Motion Orbit Detemiination. Analytical Me-
chanics Associates Contract NASA-CR-132780, Final Report. 1972. No.72–35. 317р.
13. Fan Zhanga, Panfeng Huang. A novel underactuated control scheme for deployment/retrieval of space teth-
ered system. Nonlinear Dynamics. 2019. V.95. Pp. 3465–3476. https://doi.org/10.1007/s11071-019-04767-3
14. Levin E. M. On deployment of lengthy tether in orbit. Kosmicheskie issledovanija. 1983. V. 21. Pp. 678–688.
15. Levin E. M. Dynamic Analysis of Space Tether Missions. Univelt, San Diego: 2007. 454 р.
16. Lur'e A. Analytical Mechanics. Springer: 2002. https://doi.org/doi: 10.1007/978-3-540-45677-3
17. Menon C., Kruijff M., Vavouliotis A. Design and testing of a space mechanism for tether deployment. Jour-
nal of Spacecraft and Rockets. 2007. V. 44. Pp. 927–939 https://doi: 10.2514/1.23454
18. Modi V. J., Misra A. K. Deployment dynamics of tethered satellite systems. AIAA Paper. 1978. No. 1398, Pp.
1–10. https://doi.org/10.2514/6.1978-1398
19. Padgett D. A., Mazzoleni A. P. Analysis and design for nospin tethered satellite retrieval. Journal of Guidance,
Control, and Dynamics. 2007. V.30. Pp. 1516–1519. https://doi: 10.2514/1.25390
20. Pelaez J. On The Dynamics Of The Deployment Of A Tether From An Orbiter .2. Exponential Deployment.
Acta astronautica 1995. V. 36. Pp. 313–335. https://doi.org/10.1016/0094-5765(95)00117-4
21. Rupp C. C., Kissel R. R. Tetherline system for orbiting satellites. U. S. Patent No. 4083520, April II, 1978,
Int. Cl. B. 64 G 1/100, US Cl. 244/167; 244/161.
22. Rupp C. C., Laue J. H. Shuttle/Tethered Satellite System. Journal of Astronautical Sciences.1978. V.26. Pp.
1–17.
23. Steindl A., Steiner W., Troger H. Optimal control of retrieval of a tethered subsatellite. Solid Mechanics and
its Applications. 2005. V. 122. Pp. 441–450. https://doi.org/10.1007/1-4020-3268-4_41
24. Steindl A., Troger H. Optimal Control of Deployment of a Tethered Subsatellite. Nonlinear Dynamic. 2003.
V. 31. Pp. 257–274. https://doi.org/10.1023/A:1022956002484
25 Steiner W., Steindl Α., Troger H. Center manifold approach to the control of a tethered satellite system. Ap-
plied Mathematics and Computation. 1995. V. 70. Pp. 315–327. https://doi.org/10.1023/A:1022956002484
26. Swet C. J. Method for deployment and stabilizing orbiting structures. U.S. Patent Office No. 3532298, Oct. 6,
1970, Int. Cl. B 64 G 1/00, U.S. Cl. 244-1.
72
27. Wiedermann G., Schagerl M., Steindl A., Troger H. Computation of Force Controlled Deployment and Re-
trieval of a Tethered Satellite System by the Finite Element Method. In: Proceedings of ECCM'99,
(W.Wunderlich Ed.). Pp. 410–429.
28. Williams P. Application of pseudospectral methods for receding horizon control. Journal of Guidance, Con-
trol, and Dynamics. 2004. V. 27. Pp. 310–314. https://doi.org/10.2514/1.5118
29. Williams P. Libration control of tethered satellites in elliptical orbits. Journal of Spacecraft and Rockets.
2006. V. 43. Pp. 476–479. https://doi.org/10.2514/1.17499
30. Williams P., Trivailo P. On the optimal deployment and retrieval of tethered satellites. Tucson: In: The 41st
AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference and Exhibit. 2005. 10 – 13 July. AIAA Paper 2005-
4291 (2005). https://doi.org/10.2514/6.2005-4291
31. Zakrzhevskii A. E. Method Of Deployment of a Space Tethered System Aligned to the Local Vertical, J. of
Astronaut Sci. 2016. V. 63. Pp. 221–236. https://doi.org/10.1007/s40295-016-0087-z
32. Zakrzhevskii A. E., Tkachenko Ja. V., Alpatov A. P. Method of Deployment of a Space Bodies Tether with
Alignment to the Local Vertical. Patent of Ukraine UA 99303, u 201413972 from 25.05.15, Bul. “Promyslova
vlasnist” 2015. No.10. Pp. 1-4.
Получено 30.10.2019,
в окончательном варианте 22.11.2019
|