О моделировании докритического развития трещины в вязкоупругом теле под действием сосредоточенных сил
В работе предложен алгоритм исследования распространения трещины в вязкоупругом теле. Использованием в схеме нагружения вместе с равномерно распределенными напряжениями на бесконечности сосредоточенных сил вводится неоднородность поля напряжений на линии расположения трещины. Побудовано алгоритм для...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174121 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О моделировании докритического развития трещины в вязкоупругом теле под действием сосредоточенных сил / А.А. Каминский, М.Ф. Селиванов // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 66-73. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859979680238534656 |
|---|---|
| author | Каминский, А.А. Селиванов, М.Ф. |
| author_facet | Каминский, А.А. Селиванов, М.Ф. |
| citation_txt | О моделировании докритического развития трещины в вязкоупругом теле под действием сосредоточенных сил / А.А. Каминский, М.Ф. Селиванов // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 66-73. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | В работе предложен алгоритм исследования распространения трещины в вязкоупругом теле. Использованием в схеме нагружения вместе с равномерно распределенными напряжениями на бесконечности сосредоточенных сил вводится неоднородность поля напряжений на линии расположения трещины.
Побудовано алгоритм для дослідження докритичного зростання тріщини у в’язкопружному тілі при незначних розмірах зони зчеплення. Алгоритм проілюстровано числовими розв’язками декількох задач. У постановку цих задач введено зосереджені сили, що діють вздовж нормалей до тріщини. Ці сили можуть змінювати швидкість поширення тріщини, а також обумовлювати контакт її берегів. В останньому випадку встановлено значний вплив наявності області контакту на кінетичні криві. Також досліджено вплив зміщення лінії прикладання стискаючих сил відносно центральної нормалі до тріщини на кінетичні криві.
An algorithm is built for studying the subcritical growth of crack in the viscoelastic body under small sizes of adhesion zone. This algorithm is illustrated by numerical solutions of several problems. The concentrated and acting along the normals to the crack forces are introduced into statement of these problems. These forces be a cause of change the speed of crack propagation as well as the crack faces contact. If the latter is the case, an essential effect of contact area presence on kinetic curves is established. It is established also an effect of a shift of the line of application of compression forces relative to the central normal to the crack on the kinetic curves.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:25:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, № 5
66 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 5
А .А .К а м и н с к и й , М .Ф .С е л и в а н о в
О МОДЕЛИРОВАНИИ ДОКРИТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ТРЕЩИНЫ
В ВЯЗКОУПРУГОМ ТЕЛЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: fract@inmech.kiev.ua
Abstract. An algorithm is built for studying the subcritical growth of crack in the vis-
coelastic body under small sizes of adhesion zone. This algorithm is illustrated by numerical
solutions of several problems. The concentrated and acting along the normals to the crack
forces are introduced into statement of these problems. These forces be a cause of change
the speed of crack propagation as well as the crack faces contact. If the latter is the case, an
essential effect of contact area presence on kinetic curves is established. It is established also
an effect of a shift of the line of application of compression forces relative to the central
normal to the crack on the kinetic curves.
Key-words: cohesive zone model, viscoelastic solid, slow crack growth, thin structure
concept.
Введение.
Развитие трещин в материалах с наследственными свойствами часто происходит
путем медленного докритического роста. В случае, когда зона ослабленных связей
(зона предразрушения) у фронта движущейся трещины не выходит из области K -
доминирования, в основу теории длительного распространения трещины [1] можно
принять концепцию тонкой структуры, которая использует коэффициент интенсив-
ности напряжений для определения раскрытия и длины зоны предразрушения.
Большинство задач о длительном распространении трещины в материале с изме-
няющимися со временем механическими свойствами решены для внешних нагрузок,
приложенных на достаточном удалении от трещины. Учет силовых факторов, влияю-
щих на напряженное состояние вблизи трещины, является достаточно сложной зада-
чей при использовании теории комплексных потенциалов для решения задач плоской
теории упругости. Однако, чтобы проследить некоторые эффекты, которые вызваны
наличием силовых факторов в окрестности трещины, можно использовать решения
для сосредоточенных сил [3].
Для иллюстрации влияния силовых факторов в окрестности трещины ниже рас-
смотрена классическая задача механики разрушения для прямолинейной трещины
нормального отрыва. Отметим, что основные концепции моделирования распростра-
нения трещин в вязкоупругих материалах приведены в [4, 5]. В данной работе исполь-
зуем модель длительного разрушения [4], полагая, что параметры трещиностойкости
не зависят от времени при докритическом распространении трещины.
Объектом исследования является медленное распространение сквозной трещины
нормального отрыва в бесконечной пластине, материал которой обладает наследствен-
ными свойствами. Исследуем квазистатическое устойчивое распространение трещины,
имеющейся в теле до момента приложения нагрузки. Рост трещины вдоль плоскости ее
расположения происходит в изотермических условиях при постоянном докритическом
уровне внешнего нагружения вследствие ползучести материала пластины.
В основу исследований длительного роста трещины положим модель трещины с
зоной сцепления. В момент = 0t приложения нагрузки трещина находится в докри-
67
тическом состоянии – раскрытие в вершине не превышает граничного уровня:
max[ = 0, (0)] <t ( ( )t – полудлина трещины). Вследствие ползучести раскрытие
[ , (0)]t со временем достигает предельно возможного значения max , завершая
инкубационный период и инициируя начало роста трещины.
Нормальное раскрытие трещины в линейно-вязкоупругом теле определим в виде
интеграла Больцмана – Вольтерра [1]
[ , ( )]
( , ) ( ) ,
t x
t x l t d
(1)
где величины ( , )t x и ( , )x имеют размерность длины, функция ползучести ( )l
безразмерная. Величина ( , )x является значением упругого раскрытия в точке на
продолжении трещины x для трещины полудлины ; тильда над указывает, что
эта величина не является интегральной характеристикой, в выражении для нее содер-
жатся только мгновенные упругие постоянные.
При помощи концепции тонкой структуры [3] раскрытие в зоне сцепления можно
приближенно представить в форме
coh
coh
1 1
( , ) = 2 ; ( ) = 1 ln ,
2 1 1
L x s s
x l F F s s
l s
= 4 /L E ( E – модуль упругости); длина сцепления определяется коэффициентом
интенсивности напряжений IK и прочностью сцепления :
2
I
coh 2
( )
( ) = .
8
K
l
1. Медленный рост трещины.
Соотношение для вязкоупругого раскрытия получим при помощи решения соот-
ветствующей задачи теории упругости путем применения принципа упруго-
вязкоупругой аналогии [6].
Пусть момент приложения нагрузки соответствует = 0t . Заменяя в (1) функцию
[ , ( )]x на ( ) [ , ( )]H x ( H – функция Хевисайда), запишем выражение для рас-
крытия в зоне сцепления для точки x в момент времени t
0
( , ) ( ) [ , (0)] ( ) ' [ , ( )] .
t
t x l t x l t x d (2)
Учитывая то, что во время инкубационного периода, который длится до момента
времени 0=t t , полудлина трещины не изменяется и 0[ , (0)] = [ , ( )]x x t , а вы-
ражение для раскрытия (2) в вершине трещины можно записать в следующем виде:
0
0
[ , ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( ) ' [ ( ), ( )] .
t
t
t t l t t t l t t d (3)
Определим величину в моменты времени =kt k t , = 1, 2,k . Обозначая
= ( )k kt и приравнивая выражение для раскрытия (3) критическому значению, за-
пишем уравнение для определения k :
0 1 max
1
1
1
( ) ( ) ( ) ; ( , ) .
itk
k i i i i k i k i
i ti
l t D D D l t d D
t
(4)
68
Геометрические характеристики D
и проиллюстрированы при помощи
рис. 1.
Таким образом, уравнение (4) позво-
ляет последовательно определять поло-
жение вершины трещины k в моменты
времени kt , = 1, 2,k . Время инкуба-
ционного периода 0t определим из урав-
нения
0 0 max 0 0 0( ) = ; = ( , ).l t D D (5)
Если характеристика ползучести ( )l t
получена в форме
0
( ) 1 exp( ) exp( ); ; 1 ,
t
r
r r r r r r
r r rr
l t d l t l
то при вычислении k будем определять
exp( ( ) ) 1 exp( )
= .r r r
i
r r
k i t t
l
t
Если = 1r , то ( ) = ( 1)exp( )l t l l t . Для этого случая время инкубационного
периода определяется из (5) в виде
1
0
max 0
1
= ln .
/
l
t
l D
Условие существования периода докритического распространения трещины –
1 0
max
< < 1.
D
l
Неравенство 1
0 max/D l обеспечивает невозможность достижения раскрытием
в вершине трещины предельного значения на протяжении сколь угодно большого
промежутка времени; неравенство 0 max/ 1D соответствует началу динамического
роста трещины в момент приложения нагрузки.
2. Числовые примеры.
Рассмотрим схему приложения внешнего нагружения и сил сцепления, представ-
ленную на рис. 2.
Рис. 2
Рис. 1
69
Коэффициент интенсивности напряжений для этой задачи имеет вид
I
=1
2 20
= Im
2 1
Re , = ,
1 ( )
M
m
m m
m m
m m
zP
K
X
y
X z
z X
(6)
0= im mz x y – положение точек приложения сосредоточенных сил. В случае плоско-
го напряженного состояния = (3 ) / (1 ) , – коэффициент Пуассона. Параметр
материала примем независимым от времени при исследовании распространения
трещины.
На рис. 3 приведены кинетические кривые (а) и соответствующие относительные
длины сцепления (б), полученные при 11 МПа. Последняя точка ( , )t каждой
кривой соответствует критическому размеру трещины, после соответствующего мо-
мента времени инициируется динамическое развитие. В рассматриваемом примере
сосредоточенные силы замедляют распространение трещины, которая подходит к ли-
нии действия стягивающих берега трещины сил. Таким образом, трещина может про-
должать медленный рост на протяжении достаточно большого промежутка времени,
достигая размера, в разы превосходящего начальный.
Рис. 3
Рассмотрим пример, соответствующий схеме нагружения рис. 4. Коэффициент
интенсивности напряжений (КИН) для этой задачи нетрудно получить при помощи
(6), полагая = 0 и заменяя знак при втором слагаемом на плюс.
Рис. 4
Кинетические кривые (рис. 3, а) и соответствующая относительная длина сцепле-
ния (б) приведены на рис. 5. При приближении вершины трещины к линии действия
растягивающей берега трещины сил скорость распространения увеличивается.
70
Рис. 5
Решения, представленные на рис. 3 и 5,
получены при 4= 10E МПа, = / 40E E ,
= 0,3 , = 0,01 сек (реологические пара-
метры), = 35 МПа, 3
max = 1,5 10 см
(параметры трещиностойкости), = 4t сек
(параметр дискретизации), значения сило-
вых и геометрических параметров приве-
дены на рисунках.
Рассмотрим аналогичную приведен-
ным выше задачу для случая возможного
контакта берегов трещины (рис. 6). Если в
решении задачи о перемещении берегов
трещины на участке, не содержащем кон-
цы, получено отрицательное раскрытие, то
необходимо ввести контактные напряже-
ния и определить их из условия неотрицательности раскрытия.
Зададим распределение контактных напряжений кусочно-линейной функцией
1 1
1
( ) ( )
( ) = , ( , ),k k k k
k k
k
b x x b
x x b b
b
=kb a k b , = 2 /b l n , = ( ) / 2l b a – полудлина трещины.
Представим раскрытие трещины в форме
( , )
( , )0
ˆ0, min ( ) 0;
ˆ( ) ( )
ˆ( ), min ( ) 0,
x a b
n
k k
x a bk
x
x x
L A x x
(7)
где первое слагаемое соответствует раскрытию без введения контактных напряжений:
0 0 0
0 2 2 2 2
0 0
ˆ2 ( ( ) ) ( )ˆ ˆ( ) ( ) ( , ) ;
( 1)[( ) ]( )
x y
x
x y
y X x x X y X x
x X x P C z x
x x y X X
(8)
0( ) ;x yX z X iX ( ) ( )( ) ;X z z a z b
ˆ ( ) ( )( );X z z a b z
( ) ( )
( , ) ln ; ( )
( ) ( )
X z X z a
C z X z
b zX z X
;
Рис. 6
71
2
1
0
( ) ( ) ( ) ( ); ( ) Re{ ( )};k
k kx sk s kx k
s
A x J x b N F x J x J x
0 1 1( ) ( ); ( ) ( ) ( ); ( ) ( );k k k n nJ z T z J z T z T z J z T z
1( ) [ ( ) ( )] / ; ( ) ( , );k k k k kT z T z T z b C z C z b
21 ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) 2arctg ( )
2k k k k kT z z b C z X b X z b I z I z X z
;
( ) = ( )s sF x F x ; 2
0 1 2
1ˆ ˆ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ;
2
F z I z F z X z F z l I z zX z
00 1 0 1 0; ; ;k k k n nN S N S S N S
10 1 0 1 1 1; ; ;k k k n n nN R I N R R N R I
20 1 2 1 2; ;k k k n nN I N I I N I ;
ˆ/ ( ); ( );k k kX k n k X X n k
21 ˆ ˆ; ; 2
2 4 2 2k k k k k k k k
n n n
S I k X R X k I I X
.
Для определения контактных напряжений k воспользуемся итеративной проце-
дурой:
1) приравняем раскрытие (7) в точках = kx b к нулю:
, ;mk k m
k M
a m M
(9)
0 1 2
ˆ ˆ; ( ); ( );mk mk m k m k m k mk kx m m ma j I N X N S N j J b b
0 1 ( 1) ( 1); ; ; ;m m mk m k mk mn mn mk m k mkj t j t t j t t t t
21 ˆ ˆ ˆ( ) ; ln .
2 2
m k
mk mk m k k m mk
m k
X Xn
t m k c X X k X I c
X X
На первой итерации положим = 1, , 1M n .
2) исключим из системы (9) уравнения и переменные с номерами, соответствующими
отрицательным k полученного на предыдущем шаге решения: = { : 0}kM k .
Заканчиваем процедуру, когда все k будут неотрицательными.
Рассмотрим результаты определения раскрытия трещины при помощи приведенной
процедуры. Раскрытия на рис. 7 соответствуют нескольким значениям интенсивности сил,
стягивающих берега трещины. Решения получены при = 35 МПа, = / 2,5 ,
0 = 0,1x см, 0 = 0,3y см.
72
Определив контактные напряжения, представим выражения для коэффициентов
интенсивности напряжений в левой и правой вершинах трещины в виде
0
3 0( ) (1) 0
I I I
0=1 0
0
0
2 1
= ; = Im Re ;
1
k
k
b z
z aa a a y lP
K K K
z ab b b Xl
X
z b
1
(2) (3)
1 2 0I I
=1
2
= ; =
2
n
k k k k
k
a al n
K N N N K l
b bn
,
где 0 0( )X X z , коэффициенты N определены.
Далее исследуем докритическое развитие трещины. Если раскрытие не симмет-
рично относительно середины трещины, в уравнения (2) и (3) под величиной ( )t
будем понимать не полудлину трещины, а совокупность координат вершин трещины:
= ( , )a b . Таким образом, уравнение (4), при помощи которого последовательно оп-
ределяются положения вершин трещины в точках временной сетки, становится урав-
нением двух переменных.
Рис. 8
На рис. 8 приведены кинетические кривые (а) и соответствующие длины сцепле-
ния (б). Решения получены при 4= 10E МПа, = / 20E E , = 0,3 , = 0,01 сек,
= 35 МПа, 3
max = 1,5 10 см (параметры трещиностойкости), = / 2,5 ,
Рис. 7
73
1
=
2,7
P см, 0 0= = 0,5a b см, 0 = 0,005x см, 0 = 0,3y см (силовые и геометри-
ческие параметры), = 200n , = 5t сек (параметры дискретизации).
Заключение.
В работе предложен алгоритм исследования распространения трещины в вязкоуп-
ругом теле. Использованием в схеме нагружения вместе с равномерно распределен-
ными напряжениями на бесконечности сосредоточенных сил вводится неоднород-
ность поля напряжений на линии расположения трещины. Сосредоточенные силы
могут замедлять или ускорять распространение трещины, приводить к немонотонно-
сти длины зоны предразрушения со временем, а также обусловливать контакт берегов
трещины. Численные решения дают возможность сделать вывод о существенном
влиянии смещения линии приложения сил относительно середины трещины на кине-
тические кривые. Незначительное смещение этой линии на 1% полудлины трещины
привело к значительной разнице между скоростями двух вершин. Увеличение скоро-
сти распространения трещины в полученных числовых решениях обусловлено исчез-
новением зоны контакта при распространении. Результаты работы можно обобщить
на случай ортотропного материала [2].
Р Е ЗЮМ Е . Побудовано алгоритм для дослідження докритичного зростання тріщини у
в’язкопружному тілі при незначних розмірах зони зчеплення. Алгоритм проілюстровано числовими
розв’язками декількох задач. У постановку цих задач введено зосереджені сили, що діють вздовж
нормалей до тріщини. Ці сили можуть змінювати швидкість поширення тріщини, а також обумовлю-
вати контакт її берегів. В останньому випадку встановлено значний вплив наявності області контакту
на кінетичні криві. Також досліджено вплив зміщення лінії прикладання стискаючих сил відносно
центральної нормалі до тріщини на кінетичні криві.
1. Каминский А.А. Разрушение вязкоупругих тел с трещинами. – К.: Наук. думка, 1990. – 310 с.
2. Селиванов М.Ф., Черноиван Ю.А. Определение перемещений контактирующих берегов трещин в
ортотропной пластине // Прикл. механика. – 2017. – 53, № 4. – С. 63 – 75.
3. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 с.
4. Kaminsky A.A. Mechanics of the delayed fracture of viscoelastic bodies with cracks: theory and experi-
ment (review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 5. – P. 485 – 548.
5. Knauss W.G. A review of fracture in viscoelastic materials // Int. J. Fract. – 2015. – 196. – P. 99 – 146.
6. Slepyan L.I. Models and Phenomena in Fracture Mechanics. – Heidelberg: Springer, 2002. – 587 p.
Поступила 08.09.2016 Утверждена в печать 30.05.2017
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174121 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:25:43Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Каминский, А.А. Селиванов, М.Ф. 2021-01-03T18:57:00Z 2021-01-03T18:57:00Z 2017 О моделировании докритического развития трещины в вязкоупругом теле под действием сосредоточенных сил / А.А. Каминский, М.Ф. Селиванов // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 66-73. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174121 В работе предложен алгоритм исследования распространения трещины в вязкоупругом теле. Использованием в схеме нагружения вместе с равномерно распределенными напряжениями на бесконечности сосредоточенных сил вводится неоднородность поля напряжений на линии расположения трещины. Побудовано алгоритм для дослідження докритичного зростання тріщини у в’язкопружному тілі при незначних розмірах зони зчеплення. Алгоритм проілюстровано числовими розв’язками декількох задач. У постановку цих задач введено зосереджені сили, що діють вздовж нормалей до тріщини. Ці сили можуть змінювати швидкість поширення тріщини, а також обумовлювати контакт її берегів. В останньому випадку встановлено значний вплив наявності області контакту на кінетичні криві. Також досліджено вплив зміщення лінії прикладання стискаючих сил відносно центральної нормалі до тріщини на кінетичні криві. An algorithm is built for studying the subcritical growth of crack in the viscoelastic body under small sizes of adhesion zone. This algorithm is illustrated by numerical solutions of several problems. The concentrated and acting along the normals to the crack forces are introduced into statement of these problems. These forces be a cause of change the speed of crack propagation as well as the crack faces contact. If the latter is the case, an essential effect of contact area presence on kinetic curves is established. It is established also an effect of a shift of the line of application of compression forces relative to the central normal to the crack on the kinetic curves. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О моделировании докритического развития трещины в вязкоупругом теле под действием сосредоточенных сил On Modeling Subcritical Crack Growth in Viscoelastic Body under Action of Concentrated Forces Article published earlier |
| spellingShingle | О моделировании докритического развития трещины в вязкоупругом теле под действием сосредоточенных сил Каминский, А.А. Селиванов, М.Ф. |
| title | О моделировании докритического развития трещины в вязкоупругом теле под действием сосредоточенных сил |
| title_alt | On Modeling Subcritical Crack Growth in Viscoelastic Body under Action of Concentrated Forces |
| title_full | О моделировании докритического развития трещины в вязкоупругом теле под действием сосредоточенных сил |
| title_fullStr | О моделировании докритического развития трещины в вязкоупругом теле под действием сосредоточенных сил |
| title_full_unstemmed | О моделировании докритического развития трещины в вязкоупругом теле под действием сосредоточенных сил |
| title_short | О моделировании докритического развития трещины в вязкоупругом теле под действием сосредоточенных сил |
| title_sort | о моделировании докритического развития трещины в вязкоупругом теле под действием сосредоточенных сил |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174121 |
| work_keys_str_mv | AT kaminskiiaa omodelirovaniidokritičeskogorazvitiâtreŝinyvvâzkouprugomtelepoddeistviemsosredotočennyhsil AT selivanovmf omodelirovaniidokritičeskogorazvitiâtreŝinyvvâzkouprugomtelepoddeistviemsosredotočennyhsil AT kaminskiiaa onmodelingsubcriticalcrackgrowthinviscoelasticbodyunderactionofconcentratedforces AT selivanovmf onmodelingsubcriticalcrackgrowthinviscoelasticbodyunderactionofconcentratedforces |