Динамика упругих геометрически нелинейных нетонких анизотропных оболочек переменной толщины
Построена теория динамического упругого геометрически нелинейного деформирования нетонких несимметричных относительно базовой поверхности анизотропных оболочек переменной толщины, основанная на разложениях известных и неизвестных величин в ряды по полиномам Лежандра от нормальной координаты. Уравнен...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Datum: | 2017 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174136 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамика упругих геометрически нелинейных нетонких анизотропных оболочек переменной толщины / М.В. Марчук, Р.И. Тучапский // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 6. — С. 57-70. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859975572698955776 |
|---|---|
| author | Марчук, М.В. Тучапский, Р.И. |
| author_facet | Марчук, М.В. Тучапский, Р.И. |
| citation_txt | Динамика упругих геометрически нелинейных нетонких анизотропных оболочек переменной толщины / М.В. Марчук, Р.И. Тучапский // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 6. — С. 57-70. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Построена теория динамического упругого геометрически нелинейного деформирования нетонких несимметричных относительно базовой поверхности анизотропных оболочек переменной толщины, основанная на разложениях известных и неизвестных величин в ряды по полиномам Лежандра от нормальной координаты. Уравнения движения и соответствующие им граничные условия получены путем использования вариационного принципа Гамильтона – Остроградского. Построенная теория предполагает регулярный процесс уточнения. На базе ее уравнений, содержащих моменты компонент вектора смещений до порядка N = 0,1, 2, 3 включительно и некоторые слагаемые с произведениями моментов неизвестных функций порядка нуль, исследовано воздействие на квадратную металлическую пластину импульса давления, распределенного по ее лицевой поверхности. Дан анализ полученных числовых результатов.
Побудовано теорію динамічного пружного геометрично нелінійного деформування нетонких несиметричних відносно базової поверхні анізотропних оболонок змінної товщини. Використано метод розкладу функцій у ряди за поліномами Лежандра від нормальної координати. Основні співвідношення записано в координатній системі на базовій поверхні в лініях кривизни. Рівняння руху й відповідні їм граничні умови отримано шляхом використання варіаційного принципу Гамільтона – Остроградського. Враховано зміну метрики за товщиною. Побудована теорія передбачає регулярний процес уточнення. З його допомогою можна отримати рівняння, що міститимуть доданки з добутками членів рядів за поліномами Лежандра від нормальної координати для невідомих функцій довільного порядку. На базі побудованої теорії досліджено вплив на квадратну металічну пластину імпульсу тиску, розподіленого по її лицьовій поверхні.
A theory of dynamical elastic geometrically nonlinear deformation is constructed for the non-thin asymmetrical relative to the base surface anisotropic shells with variable thickness. The method of expansion of functions in series on Legendre polynomials by the normal coordinate is used. The basic relations are written in the coordinate system on the base surface in curvature lines. The motion equations and corresponding boundary conditions are obtained by using the Hamilton – Ostrogradsky variational principle. A changing the metric across the thickness is taken into account. The constructed theory admits the regular refinement process that can to get the equations containing the summands with the products of arbitrary order of the terms of series by Legendre polynomials in the normal coordinate for the unknown functions. An effect of the pressure impulse distributed over a facial surface of the square metallic plate on this plate is studied on the basis of developed theory.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:23:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, № 6
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 6 57
М .В .Ма р ч у к , Р .И .Т у ч а п с к и й
ДИНАМИКА УПРУГИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ
НЕТОНКИХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Институт прикладных проблем механики и математики
им. Я. С. Подстригача НАН Украины;
ул. Науковая, 3-б, 79060, Львов, Украина;e-mail: roman.tuch@gmail.com
Abstract. A theory of dynamical elastic geometrically nonlinear deformation is con-
structed for the non-thin asymmetrical relative to the base surface anisotropic shells with
variable thickness. The method of expansion of functions in series on Legendre polynomials
by the normal coordinate is used. The basic relations are written in the coordinate system on
the base surface in curvature lines. The motion equations and corresponding boundary condi-
tions are obtained by using the Hamilton – Ostrogradsky variational principle. A changing the
metric across the thickness is taken into account. The constructed theory admits the regular
refinement process that can to get the equations containing the summands with the products of
arbitrary order of the terms of series by Legendre polynomials in the normal coordinate for the
unknown functions. An effect of the pressure impulse distributed over a facial surface of the
square metallic plate on this plate is studied on the basis of developed theory.
Key words: refined theory of shells, dynamic elastic deformation, non-thin shell, vari-
able thickness, Hamilton – Ostrogradsky variational principle, Legendre polynomial.
Введение.
Внедрение новых элементов конструкций, способных работать в закритической
области при упругих деформациях, повышает интерес к геометрически нелинейной
теории упругости. Важным звеном в этом направлении является адекватное модели-
рование конечных упругих деформаций пластин и оболочек.
Детальный обзор работ, связанных с этой темой, выходит за рамки данного ис-
следования. Отметим лишь работы, в которых построены геометрически или геомет-
рически и физически нелинейные теории пластин и (или) оболочек на основе методов
разложения функций в ряды по полиномам Лежандра от нормальной координаты [3 –
6, 8, 9, 11 – 15]. Эти теории свободны от недостатков, связанных с применением уп-
рощающих гипотез, таких как в классических теориях или в некоторых уточненных
теориях (например, в теориях с учетом гипотез Тимошенко). Это позволяет использо-
вать их для исследования: нетонких оболочек; оболочек с быстро изменяющимися по
пространственным координатам параметрами; волновых процессов, протекающих в
оболочках; явления удара по поверхности оболочки и т. д. Целесообразность исполь-
зования полиномов Лежандра обусловлена тем, что указанные полиномы являются
ортогональными, и как следствие, уравнения теорий, построенных в [3 – 6, 8, 9, 11 –
15], проще, чем, например, уравнения теорий, основанных на построении разложений
функций по возрастающим степеням нормальной координаты и т. д.
В [4] теория оболочек построена методом гипотез. Теория пластин в [6], теории
оболочек в [3, 5, 8, 9, 13 – 15] и теории пластин и оболочек в [11, 12] построены на
основе аналитических методов. Эта группа методов включает процедуры сведения
трехмерных задач к двумерным с некоторым регулярным процессом генерирования
последовательности приближений решения трехмерной задачи. Это проекционные
методы [3, 5, 13, 14], формальные методы с применением вариационных принципов и
(или) трехмерных уравнений теории упругости [8, 9, 11, 12, 15], энергоасимптоти-
ческий метод [6] и др.
58
Большой интерес, в частности в методическом аспекте, представляют работы [8,
9]. В [9] получены геометрически нелинейные уравнения тонких пологих анизотроп-
ных оболочек постоянной толщины. В [8] выведены некоторые соотношения геомет-
рически нелинейной теории нетонких анизотропных оболочек переменной толщины.
В обоих случаях в уравнениях были сохранены слагаемые с произведениями членов
рядов по полиномам Лежандра от нормальной координаты для неизвестных функций
порядка не выше второго.
Ниже изложен достаточно общий формальный метод построения геометрически
нелинейных теорий нетонких упругих анизотропных оболочек переменной толщины,
развивающий идеи работ [5, 8, 9]. Этот метод основан на использовании вариацион-
ного принципа теории упругости и полиномов Лежандра и позволяет применять для
приближенного представления пространственных геометрических параметров поли-
номы от толщинной переменной произвольной степени. В отличии от методов работ
[8, 9], он позволяет получать уравнения, содержащие слагаемые с произведениями
членов рядов по полиномам Лежандра от нормальной координаты для неизвестных
функций произвольных порядков. Это позволяет оценить область применимости тео-
рий, построенных в [8, 9].
§1. Вариационный принцип Гамильтона – Остроградского.
Согласно вариационному принципу Гамильтона – Остроградского [7, 9] в процес-
се движения тела на отрезке времени между моментами 0t и 1t среди кинематически
допустимых смещений, заданных в начальный 0t t и конечный 1t t моменты вре-
мени, истинными будут те смещения, для которых и только для которых интеграл
действия по Гамильтону
1
0
1 2
t
t
I W A A T dt (1.1)
принимает стационарное значение, т.е.
0I . (1.2)
В выражении (1.1) W – потенциальная энергия деформации; 1A – работа массовых
сил; 2A – работа внешних поверхностных нагрузок; T – кинетическая энергия.
Приведенные выше формулы относятся к произвольной сплошной среде. Перей-
дем далее к рассмотрению оболочек.
Предположим, что в момент времени 0t t оболочка недеформированная и имеет
достаточно гладкую поверхность приведения S и граничный срез , образующие
которого направлены по нормали к S .
Условимся, что греческие индексы будут принимать значения 1 , 2 , а латинские
индексы – значения 1 , 2 , 3 , если специально не будет указано или не будет следо-
вать из контекста другое. Условимся также, что если в каком-нибудь соотношении
будет содержаться один или несколько свободных индексов, то это будет означать,
что данное соотношение справедливо для любых допустимых значений этих свобод-
ных индексов.
Отнесем недеформированную оболочку к системе нормальных координат ix , где
x – гауссовы параметры поверхности S , а 3x направлена по нормали к S с еди-
ничным вектором n , который определяется из соотношения 1 2 n e e , где e – ко-
ординатные орты на поверхности S .
Компоненты векторов и тензоров будем определять в базисе e , n .
Симметричность недеформированной оболочки относительно поверхности S не
предполагается. Лицевые поверхности недеформированной оболочки обозначим че-
рез S и S и зададим уравнениями 3x h и 3x h , соответственно. В дальней-
59
шем предполагаем, что h и h представляют гладкие неотрицательные функции
координат x .
Функционалы W , 1A , 2A и T запишем в виде
3
3
, 1
1
2
h
ij ij
i jS h
W e dx dS
;
3
1 3
1
h
i i
iS h
A F u dx dS
;
3 3 3
2
1 1 1
s
i i i i i i
i i iS S
A s u d s u dS s u dS
; (1.3)
23
3
1
1
2
h
i
iS h
u
T dx dS
t
,
где iu – компоненты вектора смещений; ije – компоненты тензора деформации Грина
– Лагранжа [2, 10]; ij – компоненты симметричного тензора напряжений Пиала –
Кирхгофа [10]; iF – компоненты вектора массовых сил, отнесенных к единице неде-
формированного объема; is – внешние поверхностные нагрузки, отнесенные к еди-
нице площади на поверхности и заданные на её части s ; is , is – внешние по-
верхностные нагрузки, отнесенные к единицам площадей на S , S , соответственно;
– плотность материала в недеформированной конфигурации; – детерминант
тензора оболочки
2
3 31 2Hx Kx . (1.4)
Здесь H и K обозначают, соответственно, среднюю и главную (гауссову) кривизны
поверхности S :
1 2
1
2
H k k ; 1 2K k k ,
где k – главные кривизны поверхности S .
В вариационном принципе (1.2) кинематические и физические соотношения и
геометрические граничные условия считаются выполненными заранее. Они будут
рассмотрены ниже. В функционале (1.1) к независимому варьированию допускаются
смещения iu . Представим, что 0iF , 0is , 0is .
§2. Геометрия оболочки.
Приведем некоторые сведения из геометрии оболочки, которые будут использо-
ваны ниже. Пусть на поверхности S координатными линиями x являются линии
кривизны.
Тогда пространственные параметры Ламе имеют вид 31H k x A , 3 1H ,
где A – параметры Ламе поверхности S .
Рассматривая нетонкие в недеформированной конфигурации оболочки, будем
принимать предположения
1k h
; 1
ll m mk k h
, l N , 0 m l ; 1
l
k h
, l N , (2.1)
где N – некоторое фиксированное положительное целое число.
60
Иными словами, слагаемые, содержащие множителями 3
l m m lk k x
, l N , 0 m l ;
3
l
k x , l N , часто будем отбрасывать.
Рассматривая тонкие или пологие в недеформированной конфигурации оболочки,
будем принимать | | 1k h
.
Введем обозначения: 3/ 1/ (1 )A H k x , 3 31/ 1H .
Неравенства (2.1) означают, что можно положить приближенно
3
1
1
N
l
l
k x
;
1
3
1 1
1
N l
l ll l m m
l m
k k k k x
.
Воспользовавшись этими формулами, выведем приближенные формулы
0
1
N l
l
l
;
0
1
N l
l
l
, (2.2)
где
3x h
h
;
0
1
1
mN
m
k h
;
1
!
! !
Nl
l l m m l
m l
m
h k k h
l m l
, 1, 2, , 1l N ;
N N
k h
;
10
1 1
1
N m
m m n n m m
m n
k k k k h
;
1 1
1 1 1
!
! !
l N ml
l l l n n l m m n n m m l
n m l n
m
h k k k k k k k k h
l m l
,
1, 2, , 1l N ;
1
1
NN
N N N n n N
n
h k k k k
.
Здесь 2h h h , 2h h h
. Введем формулы
0
3 33
1
N l
l
l
;
0
3 33
1
N l
l
l
;
0
3 33
1
N l
l
l
;
0
33 333 3
1
N l
l
l
(2.3)
0 0
3 33( 1 ; 3 33 0
l l
, 1, 2, ,l N ; 3 3
l l l
, 0,1, ,l N );
– определяется по точной формуле (1.4) при 2N .
Приняв во внимание неравенства (2.1), при 1N получим приближенное выра-
жение 31 2Hx .
Определим площадь элемента граничной поверхности .
Линию пересечения поверхностей S и обозначим через . Пересечение по-
верхности с эквидистантной поверхностью 3 constx обозначим через
3x . Квад-
рат элемента длины дуги линии
3x имеет вид [9, 13, 14]
61
3
2 2 2
1 3 2 31 2xd a x a x d , (2.4)
где – угол между координатной линией 1x и контуром ,
2 2
1 1 2cos sina k k ; 2 2 2 2
2 1 2cos sina k k ; 2 2 2 2 2
1 1 2 2d A dx A dx .
Приняв во внимание неравенства (2.1), из равенства (2.4) получим приближенное
выражение
3 3
1
1
N
l
x l
l
d k x d
(2.5)
21 11
1 2
1
1 0 0
2
2 1
2 1 2 1
! 2 ! !
l mm l m lm ll
l
l
l n nm
a a
k n n a
l m m l l
, 1, 3,l , l N ;
1 2112
1 22 22
0 01
2
21
2 1 2 2 1
! 2 !
!
2
l
l ml m l m lmll
l
ln nm
a a
k n a n
l l m m l
1
1
0
1
2 1
!
l
l
n
n a
l
, 2, 4,l , l N .
Воспользовавшись формулой (2.5), легко выведем также приближенное выражение
3 3 3 3
1
1
N
l
x l
l
d d dx k x d dx
. (2.6)
Если в недеформированной конфигурации оболочка тонкая или пологая, то сле-
дует положить:
0 0
1i ij ; 0
l l
i ij , 0lk , 1, 2, ,l N ; 1 . (2.7)
Площади элементов поверхностей S равны:
dS dS (2.8)
2
2
1 2
1 2 1 2
1 h h
A A x x
, (2.9)
где
2
2 1
1 ( 1, 2).
h
h k
A x
(2.10)
Если в недеформированной конфигурации оболочка тонкая или пологая, то в
формулах (2.8) – (2.10) следует положить 0k .
§3. Нелинейная деформация оболочки.
Компоненты тензора деформации можно записать в виде
3
1
1
2ij i ij j ji i j in jn
n
e
, (3.1)
где
62
1 1
11 2 1 1 3
1 1 2 2
1 1u A
u k A u
A x A x
, 1 2 ; 2 1
12 1
1 1 2 2
1 1u A
u
A x A x
, 1 2 ;
3
13 1 1 1
1 1
1 u
k A u
A x
, 1 2 ; 3
3
i
i
u
x
.
(3.2)
Выражение 1 2 означает, что формуле, после которой оно следует, соответст-
вуют две формулы: вторую получаем из первой круговой заменой индексов 1 и 2 .
Разложим величины iu , ij и ije относительно скалярной координаты 3x в ряды
по полиномам Лежандра kP , 0,1,k [1, 8, 9]. Коэффициенты этих разложений
будем называть моментами соответствующих величин; номер коэффициента будем
называть порядком соответствующего момента [1, 5]. Обозначим моменты функций
iu , ij и ije порядка k через k
iu , k
ij и k
ije , соответственно.
Пусть N – некоторое фиксированное неотрицательное целое число и
0k
iu при k N . (3.3)
Тогда имеем
0
N
k
i i k
k
u u P
. (3.4)
Подставив в формулы (3.2) эти выражения, получим
0
N
k
ij ij k
k
P
, (3.5)
где принято
1 1
1 111 2 3 1 1
1 1 2 2 1 1
1 1 1 1k
k k k k ku A h h
u k A u u u
A x A x h x h x
, 1 2 ;
2 1
12 1 2 2
1 1 2 2 1 1
1 1 1 1k
k k k ku A h h
u u u
A x A x h x h x
, 1 2 ;
3
1 113 1 3 3
1 1 1 1
1 1 1
k
k k k ku h h
k A u u u
A x h x h x
, 1 2 ; (3.6)
3
1k k
ii u
h
, 0,1, ,k N ;
1 32 1k k k
i i iu k u u
, 0,1, , 1k N ; 0N
iu ;
2 42 1k k k k
i i i iu ku k u u , 0, 1, ,k N
.
Из формул (3.2) и (3.3) следует, что
0k
ij , если k N ;
3 0N
i . (3.7)
63
Подставим выражения (2.2), (2.3) и (3.5) в формулы (3.1) и опустим в полученных
выражениях нелинейные члены, содержащие моменты функции ij порядка, больше-
го за некоторое фиксированное целое число 1 ijN N . Тогда будем иметь
0
ijN
k
ij ij k
k
e e P
, (3.8)
где
max ,ij in jnN N N N N
;
0 0 1 1
1,
1
11 ,1 2, 2
min 1 ,
2 pk k k p p
i j i jij ij ji ij ji
p kp k k
p k N
e a
, ,
2 1 1,1 3, ,
0
N m m
k m p p p
i jij ji
m p k m k m
p N
f
30
,
1
1 0 , 2, , 2
min ,
in
jn
N
p q p q
ij in jn
p q kn p q p k p k
q p k N
a
(3.9)
1
min , , 1
231
1, 2,
1
2 111 0 1 ,1 2, , 2max 0, 1
20
in
jn
p q p q k
N
p q rp q p q
ij r in jn
p q r kn p q k p k p r p q k
q N
a a
1
min , , 1 1
23
,
2 1 0 1 1,1 3, , 0
0
in
jn
p q p q m k
NN m
p q
ij r
m n p q k p m k p m r
q N
a
, , 2k m p q r p q
in jnf , 0,1, , ijk N
.
При выводе соотношений (3.9) использованы формулы [8, 13, 14]
min ,
,
2
0
k l
k l
k l m k l m
m
P P a P
, , 0,1,k l ,
где
, 2 2 1
2 1
k l k m m l m
m
k l m
k l m r r r
a
k l m r
;
2 !
! !2
m m
m
r
m m
, , 0,1,k l , 0,1, , min ,m k l ,
и такие обозначения:
1
1
1
1
1
min 1, , 1 1
2
1, 1, 1 2, ,
1
2 21 2max 0,
2
p p k
p p rk m p
r
p r k
r p k
f a a
, если 2m ;
64
1
1
1
min 1, , 1 1
2
1,, ,
0
p p m k
pk m p
r
r
f a
1 1
1
1 1
1
1
min 1, 1 2 , 1 2 1
2 1, 1 2
0
l l
l
u u
u u u
u
l
l
p l r p m r k
p l r
r
r
a
2 2
2 1
1 1
1 1
1
1
2
11
1
1
min 1, 2 2 , 1 2 1
2 1, 2 2 1, 1 2
1
21 2max 0, 2 2
2
m m
m m
u u
u u u u
u u
m
m
m
u
um u
u
p m r p m r k
p m r p m r
r
p m r k
r p m r k
a a
, если 2m ,
где k , m и p принимают те же значения, что и ji в выражениях вида ji
f , фигури-
рующих в соотношениях (3.9).
Из формул (2.2), (2.3), (3.1), (3.5) и (3.7) следует, что
0k
ije , если ijk N
.
§4. Физические соотношения для оболочки.
Подставив в первую из формул (1.3) выражения (3.8), получим
3
, 1 0
1
2
ijN
k k
ij ij
i j kS
W P e dS
,
где
3
h
k
ij ij k
h
P P dx
, 0,1, , ijk N
. (4.1)
Далее предполагаем, что материал оболочки подчиняется обобщенному закону
Гука для линейно-анизотропного тела [5, 7, 9]
3
, 1
ij ijlm lm
l m
c e
, (4.2)
где ijlmc – компоненты тензора упругой жесткости материала. Предполагаем, что они
могут быть переменными вдоль координаты 3x .
Подставив выражения (4.2) в формулы (4.1), и выполнив интегрирование по тол-
щине оболочки с учетом выражений (3.8), получим следующие физические соотно-
шения:
3
, 1 0
lmN kq
qk
ij lmijlm
l m q
P h Q e
, 0,1, , ijk N
, (4.3)
где
1
1
kq
ijlm k qijlmQ c P P d
, 0,1, , ijk N
, 0,1, , lmq N
.
65
§5. Вариация энергии деформации W .
Варьируя функционал W по независимым функциональным аргументам k
iu ,
0,1, ,k N , с помощью формул (3.9) получим
3 2 3 3 1
3 3
, 1 0 1 1 0 1 0
ijN N N
k kk k k k
ij ij i i i i
i j k i k i kS S
W P e dS s s dS
, (5.1)
где
0 1
1,
1
11 ,1 2, 2
min 1 , ij
kk k s
i iij ij ij
k ss k k
s k N
s P a P
, ,
0 1 1,1 3, ,
2
ijN m
ss m k
i ij
s m s k s k
m N
f P
3 0
,
1
1 0 , 2, , 2
min ,
in
nj
N
k q s q
in in nj
k q sn s q k s k s
q k s N
a P
(5.2)
1
min , , 1
23 1
1, 2,
1
2 111 0 1 ,1 2, , 2max 0, 1
20
in
nj
k q k q s
N
k q rk q s q
inr in nj
k q r sn s q s k s k r k q s
q N
a a P
1
min , , 1 1
23
,
2 1 0 1 1,1 3, , 0
0
in
nj
k q k q m s
N N
k q
r
m n s q s k m s k m r
q N
a
, , 2 ,
m
s m k q r s q
in in njf P
0,1, , ijk N , 1, 2i ; 0,1, , min 1, ijk N N , 3i .
Выражения для k
is , 1, 2, ,i ik N N N
;
3
k
is , 3min 1, 1ik N N ,
3min 1, 2, , 1iN N N , можно получить из формул (5.2), отбросив в них слагае-
мые, содержащие произведения моментов неизвестных функций.
§6. Вариации работ массовых сил 1A и внешних поверхностных нагрузок 2A .
Функционал работы массовых сил в оболочке с учетом формул (3.4) принимает
следующий вид:
3
1
1 0
N
k k
i i
i kS
A F u dS
3, 0, 1, ,
h
k
i i k
h
F F P dx k N
. (6.1)
Примем, что поверхность s обладает следующим свойством. Если хоть одна
точка какой-нибудь образующей поверхности принадлежит поверхности s , то и
все остальные точки этой образующей принадлежат поверхности s .
Тогда, согласно формулам (2.6), (2.8) и (3.4), работу внешних поверхностных на-
грузок можно записать в виде
3 3
*
2
1 0 1 0
1
s
N N
kk k k
i i i i i
i k i kS
A s u d s s u dS
, (6.2)
66
где s – линия пересечения поверхностей S и s ;
3 3
1
1
h N
k l
i i kl
lh
s s k x P dx
, 0,1, ,k N .
Варьируя функционалы (6.1) и (6.2) по независимым функциональным аргумен-
там k
iu , 0,1, ,k N , получим
3
1
1 0
N
k k
i i
i kS
A F u dS
;
3 3
*
2
1 0 1 0
1
s
N N
kk k k
i i i i i
i k i kS
A s u d s s u dS
.
(6.3)
§7. Вариация кинетической энергии T .
Принимаем, что плотность материала оболочки может быть переменной вдоль
координаты 3x .
Подставив в последнюю из формул (1.3) выражения (3.4), получим
3
1 , 0
1
2
m nN mn
i i
i m nS
u u
T h dS
t t
. (7.1)
Здесь введены следующие обозначения для обобщенных плотностей:
1
1
mn
m nP P d
, , 0,1, ,m n N .
В результате интегрирования по частям интеграла по времени от вариации функ-
ционала (7.1) получим
1
1 1
0 0 0
23 3
2
1 , 0 1 , 0
tt t m mN Nmn mn
n ni i
i i
i m n i m nt t S S t
u u
Tdt h u dSdt h u dS
tt
. (7.2)
Так как поставлены условия
0
0i t t
u и
1
0i t t
u в области пространства, за-
нятой оболочкой, то
0
0k
i
t t
u
,
1
0k
i
t t
u
на S , 0,1, ,k N . (7.3)
Поэтому второй интеграл в правой части равенства (7.2) равен нулю.
§8. Уравнения движения, граничные и начальные условия.
Пусть на части граничного среза u заданы смещения iu ; u s , u s
0 . Обозначим через u линию пересечения поверхностей S и u ; u s ,
0u s . Имеем
k k
i iu u на u , 0,1, ,k N , (8.1)
где k
iu – функции на u , представляющие моменты заданных компонент вектора
смещений.
Подставим найденные значения из равенств (5.1), (6.3) и (7.2) в формулу (1.2) и
преобразуем интегралы в ее левой части таким образом, чтобы исключить производ-
ные от вариаций обобщенных смещений. Достигнем этого применением формулы
Гаусса – Остроградского для преобразования интеграла по области в пространстве
гауссовых параметров поверхности S в интеграл по контуру . Приравняв к нулю
67
выражения, стоящие перед вариациями обобщенных смещений в интегралах по об-
ласти в пространстве гауссовых параметров поверхности S , получим 3N дифферен-
циальных уравнений движения:
2 111 21
1 2
1 2 112 22 13 31
1 2 2 1
1
k k
k k k k
A s A s A A
s s A A k s s
x x x x h
1 2 11 2111 21
1 1 1 2 2 2
1 1 1k kk kh h h h
A A s s s s
h A x x A x x
2
1
1 2 1 1 1 21 2
0
1
mN mkkk
m
u
A A F s s A A h
t
, 1 2 ;
2 113 23
1 2 1 211 22 33
1 2
1
k k
k k k
A s A s
A A k s k s s
x x h
(8.2)
1 2 13 2313 23
1 1 1 2 2 2
1 1 1k kk kh h h h
A A s s s s
h A x x A x x
2
3
1 2 3 3 1 23 2
0
1
mN mkkk
m
u
A A F s s A A h
t
, 0,1, ,k N ,
где
0 0ijs ; 1 32 1 2 5k k k
ij ijijs k s k s , 1, 2, ,k N ;
2 42 3 2 7k k kk
ij ij ijij
s ks k s k s , 0,1, ,k N .
В силу условий (8.1) интеграл по кривой u обращается в нуль. Остальные необхо-
димые условия равенства нулю первой вариации I получим, приравняв к нулю выра-
жения в интеграле по кривой s , стоящие перед функциями k
iu , 0,1, ,k N ,
2
1
0k k
i is s
на s , 0,1, ,k N , (8.3)
где – компоненты орта внешней нормали к контуру ; 1 sin , 2 cos .
Возможны и другие сочетания условий из числа условий (8.1) и (8.3), совмести-
мые с вариационным принципом (1.2).
В условиях (7.3) отбросим условия второй группы. Вместо них поставим началь-
ные условия для скоростей моментов смещений, не вытекающие из вариационного
принципа (1.2). Эти условия и условия первой группы (начальные условия для момен-
тов смещений) запишем в виде
0
0
k k
i i
t t
u
,
0
1
k
ki
i
t t
u
t
на S , 0,1, ,k N , (8.4)
68
где
0
k
i ,
1
k
i – моменты функций 0i , 1i , соответственно, представляющих задан-
ные компоненты векторов смещений, скоростей смещений, соответственно, в момент
времени 0t t .
Таким образом, для определения неизвестных функций k
iu , k
i , k
is , 0,1, ,k N ;
3
k
i ,
3
k
is , 0,1, , 1k N ; k
ije , k
ijP , 0,1, , ijk N
, получена система уравнений
(3.6), (3.9), (4.3), (5.2) и (8.2), к которой присоединены граничные условия (8.1) и (8.3)
и начальные условия (8.4).
§9. Числовой пример.
На базе уравнений (3.6), (3.9), (4.3), (5.2) и (8.2) при 33 1iN N
, 3 1,0N
,
0,1, 2, 3N , и соотношений (2.7) решим задачу динамики защемленной по всему
контуру тонкой квадратной пластины при воздействии на нее импульса давления.
Координатные оси x направим вдоль сторон контура. Размеры пластины: сторона
0,8 мa , 0,005 мh h . Материал пластины – алюминий со следующими харак-
теристиками: плотность 3 32,699 10 кг м , коэффициент Пуассона 0,34 , мо-
дуль Юнга 10 27 10 Н мE . В этом случае имеют место формулы
1
1 1 2iiii
E
c
;
1 1 2iijj
E
c
, i j ;
3 3 3 3 33 3 3 1212 2112 1221 2121 2 1
E
c c c c c c c c
.
Не определенные здесь компоненты тензора упругой жесткости приняты нулевыми.
Поверхностные нагрузки is и s
равны нулю. Поверхностная нагрузка 3s изме-
няется по закону 3 10s t t , где t – функция Хевисайда, – время
действия импульса. Примем, что 71,5 10 с .
Численные эксперименты показали, что в рассматриваемом случае функции
3
ku ,
1k , имеют незначительную величину, являются быстро знакочередующимися во
времени и их сохранение в системе уравнений приводит к резкому увеличению вре-
мени ее численного интегрирования. Поэтому в разложении нормальной компоненты
вектора смещений ограничимся одним членом – 0
3u . При этом некоторые из уравне-
ний (8.2) при 1N выпадут. Оставшиеся из уравнений (8.2) обозначим через ( A ).
Примем следующие начальные условия:
0ku ,
0
ku
t
, 0,1, ,k N ; 0
3 0u ,
0
3 0
u
t
при 0t .
Решение получим в два этапа.
На первом этапе перейдем от исходных уравнений в частных производных ( A ) к
уравнениям в обыкновенных производных. Аппроксимируем функции ku ( 0,k
1, , )N , 0
3u в виде рядов
21
1 1,2 ,2 1
, 1
2 12
sin sin
M
k k
m n
m n
n xm x
u u
a a
;
69
1 2
2 2,2 1,2
, 1
2 1 2
sin sin
M
k k
m n
m n
m x n x
u u
a a
, 0,1, ,k N ;
0 0 1 2
3 3,2 1,2 1
, 1
2 1 2 1
sin sin
M
m n
m n
m x n x
u u
a a
,
где m и n – число волн по координатах 1x и 2x , соответственно; M – некоторое
фиксированное неотрицательное целое число;
1,2 ,2 1
k
m nu ,
2,2 1,2
k
m nu , 0,1, ,k N ,
, 1, 2, ,m n M ; 0
3,2 1,2 1m nu , , 1, 2, ,m n M , – параметры, зависящие лишь от t .
Применив далее метод Бубнова – Галеркина к уравнениям ( A ) для некоторого фик-
сированного момента времени t , придем к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений для
1,2 ,2 1
k
m nu ,
2,2 1,2
k
m nu , 0,1, ,k N , , 1, 2, ,m n M ; 0
3,2 1,2 1m nu ,
, 1, 2, ,m n M , содержащих лишь одну независимую переменную – t .
На втором этапе проведем численное интегрирование этой системы уравнений.
Алгоритм решения задачи был реализован в виде программы в системе про-
граммного обеспечения Wolfram Mathematica 8.
На рисунке изображены графики изменения во времени прогиба в центре пласти-
ны при различных N . При вычислениях принято 4M и использована арифметика
с фиксированным количеством значимых десятичных цифр, равным 30 . Линии, по-
лученные по данным линейного приближения (при 1ijN ), совпадают с линиями,
полученными по данным решения нелинейных задач (при 33 1iN N
, 3 0N
),
т. е. результаты решения линейной и нелинейной задач при одном и том же N суще-
ственно не отличаются.
Линии, полученные с учетом моментов тангенциальных компонент вектора сме-
щений до первого порядка (при 1N ), до второго порядка (при 2N ) и до третьего
порядка (при 3N ), совпадают, т. е. результаты решения задач при 1, 2, 3N суще-
ственно не отличаются. Предположение о постоянстве смещений по толщине ( 0N )
весьма существенно изменяет величину прогиба и частоту колебаний.
Из вычислений следует, что функции
1,2 ,2 1
k
m nu ,
2,2 1,2
k
m nu , , 1, 2, ,m n M , обра-
щаются в нуль или имеют незначительную величину, если 0, 2k .
Заключение.
Построена теория динамического упругого геометрически нелинейного деформи-
рования нетонких несимметричных относительно базовой поверхности анизотропных
оболочек переменной толщины, основанная на разложениях известных и неизвестных
величин в ряды по полиномам Лежандра от нормальной координаты. Уравнения дви-
жения и соответствующие им граничные условия получены путем использования ва-
70
риационного принципа Гамильтона – Остроградского. Построенная теория предпола-
гает регулярный процесс уточнения. На базе ее уравнений, содержащих моменты
компонент вектора смещений до порядка 0,1, 2, 3N включительно и некоторые
слагаемые с произведениями моментов неизвестных функций порядка нуль, исследо-
вано воздействие на квадратную металлическую пластину импульса давления, рас-
пределенного по ее лицевой поверхности. Дан анализ полученных числовых резуль-
татов.
Р Е ЗЮМ Е . Побудовано теорію динамічного пружного геометрично нелінійного деформу-
вання нетонких несиметричних відносно базової поверхні анізотропних оболонок змінної товщини.
Використано метод розкладу функцій у ряди за поліномами Лежандра від нормальної координати.
Основні співвідношення записано в координатній системі на базовій поверхні в лініях кривизни.
Рівняння руху й відповідні їм граничні умови отримано шляхом використання варіаційного принци-
пу Гамільтона – Остроградського. Враховано зміну метрики за товщиною. Побудована теорія перед-
бачає регулярний процес уточнення. З його допомогою можна отримати рівняння, що міститимуть
доданки з добутками членів рядів за поліномами Лежандра від нормальної координати для невідомих
функцій довільного порядку. На базі побудованої теорії досліджено вплив на квадратну металічну
пластину імпульсу тиску, розподіленого по її лицьовій поверхні.
1. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. – М.:
Наука, 1982. – 288 с.
2. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. – К.: Наук. думка, 1973. – 271 с.
3. Гуляев В.И., Баженов В.А., Лизунов П.П. Неклассическая теория оболочек и ее приложение к ре-
шению инженерных задач. – Львов: «Вища школа», 1978. – 192 с.
4. Марчук М.В. Нелінійне деформування і коливання податливих трансверсальним деформаціям зсу-
ву та стиснення пластин і оболонок // Машинознавство. – 2005. – № 10. – С. 9 – 14.
5. Марчук М.В., Тучапський Р.І. Система основних рівнянь нелінійної теорії пружності для тонких і
пологих оболонок // Матем. методи та фіз.-мех. поля. – 2007. – 50, № 3. – С. 178 – 186.
6. Плеханов А.В., Прусаков А.П. Об уточнении теории пластин при конечных прогибах // Прикл. ме-
ханика. – 1982. – 18, № 11. – С. 70 – 74.
7. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. – Рига: Зинатне, 1988. – 284 с.
8. Хома И.Ю. Некоторые нелинейные соотношения математической теории нетонких оболочек
// Прикл. механика. – 2000. – 36, № 8. – С. 104 – 112.
9. Хома И.Ю. Обобщенная теория анизотропных оболочек. – К.: Наук. думка, 1986. – 172 с.
10. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. – Л.: Машинострое-
ние, 1986. – 336 с.
11. Meroueh K.A. On a formulation of a nonlinear theory of plates and shells with applications // Computers
and Structures. – 1986. – 24, N 5. – P. 691 – 705.
12. Meroueh K.A. On a nonlinear theory of plates and shells including consistent and inconsistent kinematics
and the finite element method // Computers and Structures. – 1988. – 29, N 1. – P. 117 – 132.
13. Meunargia T. On one method of construction of geometrically and physically nonlinear theory of non-
shallow shells // Proc. of A. Razmadze Math. Inst. – 1999. – 119. – P. 133 – 154.
14. Meunargia T. On extension of the Muskhelishvili and Vekua – Bitsadze methods for geometrically and
physically nonlinear theory of non-shallow shells // Proc. of A. Razmadze Math. Inst. – 2011. – 157. –
P. 95 – 129.
15. Wu Shen-rong Studies of nonlinear theories for thin shells // Appl. Math. and Mech. – 1983. – 4, N 2. –
P. 221 – 231.
Поступила 27.01.2017 Утверждена в печать 30.05.2017
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174136 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:23:21Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Марчук, М.В. Тучапский, Р.И. 2021-01-05T18:48:22Z 2021-01-05T18:48:22Z 2017 Динамика упругих геометрически нелинейных нетонких анизотропных оболочек переменной толщины / М.В. Марчук, Р.И. Тучапский // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 6. — С. 57-70. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174136 Построена теория динамического упругого геометрически нелинейного деформирования нетонких несимметричных относительно базовой поверхности анизотропных оболочек переменной толщины, основанная на разложениях известных и неизвестных величин в ряды по полиномам Лежандра от нормальной координаты. Уравнения движения и соответствующие им граничные условия получены путем использования вариационного принципа Гамильтона – Остроградского. Построенная теория предполагает регулярный процесс уточнения. На базе ее уравнений, содержащих моменты компонент вектора смещений до порядка N = 0,1, 2, 3 включительно и некоторые слагаемые с произведениями моментов неизвестных функций порядка нуль, исследовано воздействие на квадратную металлическую пластину импульса давления, распределенного по ее лицевой поверхности. Дан анализ полученных числовых результатов. Побудовано теорію динамічного пружного геометрично нелінійного деформування нетонких несиметричних відносно базової поверхні анізотропних оболонок змінної товщини. Використано метод розкладу функцій у ряди за поліномами Лежандра від нормальної координати. Основні співвідношення записано в координатній системі на базовій поверхні в лініях кривизни. Рівняння руху й відповідні їм граничні умови отримано шляхом використання варіаційного принципу Гамільтона – Остроградського. Враховано зміну метрики за товщиною. Побудована теорія передбачає регулярний процес уточнення. З його допомогою можна отримати рівняння, що міститимуть доданки з добутками членів рядів за поліномами Лежандра від нормальної координати для невідомих функцій довільного порядку. На базі побудованої теорії досліджено вплив на квадратну металічну пластину імпульсу тиску, розподіленого по її лицьовій поверхні. A theory of dynamical elastic geometrically nonlinear deformation is constructed for the non-thin asymmetrical relative to the base surface anisotropic shells with variable thickness. The method of expansion of functions in series on Legendre polynomials by the normal coordinate is used. The basic relations are written in the coordinate system on the base surface in curvature lines. The motion equations and corresponding boundary conditions are obtained by using the Hamilton – Ostrogradsky variational principle. A changing the metric across the thickness is taken into account. The constructed theory admits the regular refinement process that can to get the equations containing the summands with the products of arbitrary order of the terms of series by Legendre polynomials in the normal coordinate for the unknown functions. An effect of the pressure impulse distributed over a facial surface of the square metallic plate on this plate is studied on the basis of developed theory. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Динамика упругих геометрически нелинейных нетонких анизотропных оболочек переменной толщины Dynamics of Elastic Geometrically Nonlinear Non-thin Anisotropic Shells of Variable Thickness Article published earlier |
| spellingShingle | Динамика упругих геометрически нелинейных нетонких анизотропных оболочек переменной толщины Марчук, М.В. Тучапский, Р.И. |
| title | Динамика упругих геометрически нелинейных нетонких анизотропных оболочек переменной толщины |
| title_alt | Dynamics of Elastic Geometrically Nonlinear Non-thin Anisotropic Shells of Variable Thickness |
| title_full | Динамика упругих геометрически нелинейных нетонких анизотропных оболочек переменной толщины |
| title_fullStr | Динамика упругих геометрически нелинейных нетонких анизотропных оболочек переменной толщины |
| title_full_unstemmed | Динамика упругих геометрически нелинейных нетонких анизотропных оболочек переменной толщины |
| title_short | Динамика упругих геометрически нелинейных нетонких анизотропных оболочек переменной толщины |
| title_sort | динамика упругих геометрически нелинейных нетонких анизотропных оболочек переменной толщины |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174136 |
| work_keys_str_mv | AT marčukmv dinamikauprugihgeometričeskinelineinyhnetonkihanizotropnyhoboločekperemennoitolŝiny AT tučapskiiri dinamikauprugihgeometričeskinelineinyhnetonkihanizotropnyhoboločekperemennoitolŝiny AT marčukmv dynamicsofelasticgeometricallynonlinearnonthinanisotropicshellsofvariablethickness AT tučapskiiri dynamicsofelasticgeometricallynonlinearnonthinanisotropicshellsofvariablethickness |