Решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит
В данной статье метод малого параметра для решения плоской задачи вязкоупругости распространен на изгиб анизотропных плит. При этом, как частный случай, рассматриваются и изотропные плиты. Даны решения задач для анизотропной плиты с эллиптическими и линейными упругими включениями с численными исслед...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Datum: | 2017 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174139 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит / С.А. Калоеров, А.А. Кошкин // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 6. — С. 92-107. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174139 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Калоеров, С.А. Кошкин, А.А. 2021-01-05T18:56:07Z 2021-01-05T18:56:07Z 2017 Решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит / С.А. Калоеров, А.А. Кошкин // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 6. — С. 92-107. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174139 В данной статье метод малого параметра для решения плоской задачи вязкоупругости распространен на изгиб анизотропных плит. При этом, как частный случай, рассматриваются и изотропные плиты. Даны решения задач для анизотропной плиты с эллиптическими и линейными упругими включениями с численными исследованиями изменений значений моментов в зависимости от времени приложения нагрузки, геометрических и упругих характеристик рассматриваемых плит. Запропоновано наближений метод розв'язання задач лінійної в’язкопружності для тонких анізотропних плит, які знаходяться в умовах поперечного згину. Методом малого параметра початкова задача зведена до послідовності крайових задач прикладної теорії вигину плит, що вирішуються з використанням комплексних потенціалів. Отримано загальний вигляд комплексних потенціалів наближень, крайові умови для їх визначення. Як приклад наведено розв’язання задач для плити з еліптичними пружними включеннями. Дано аналіз чисельних досліджень для плити з одним та двома еліптичними (круговими) отворами, а також з лінійними включеннями. An approximate method is proposed for solving the problem of linear viscoelasticity for the thin anisotropic plates under transverse bending. By use of the method of small parameter, the initial problem is reduced to a sequence of boundary problems of the applied theory of bending of plates that are solved using the complex potentials. The general form of complex potentials in approximations and the boundary conditions for determination of them are obtained. As an example, the solutions of problems fot the plate with elliptic elastic inclusions are given. The results of numerical studies for the plate with one, two elliptical (circular) or linear inclusions are analyzed. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит Solving the Problem of Linear Viscoelasticity for Piece-Wise Homogeneous Anisotropic Plates Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит |
| spellingShingle |
Решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит Калоеров, С.А. Кошкин, А.А. |
| title_short |
Решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит |
| title_full |
Решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит |
| title_fullStr |
Решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит |
| title_full_unstemmed |
Решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит |
| title_sort |
решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит |
| author |
Калоеров, С.А. Кошкин, А.А. |
| author_facet |
Калоеров, С.А. Кошкин, А.А. |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Solving the Problem of Linear Viscoelasticity for Piece-Wise Homogeneous Anisotropic Plates |
| description |
В данной статье метод малого параметра для решения плоской задачи вязкоупругости распространен на изгиб анизотропных плит. При этом, как частный случай, рассматриваются и изотропные плиты. Даны решения задач для анизотропной плиты с эллиптическими и линейными упругими включениями с численными исследованиями изменений значений моментов в зависимости от времени приложения нагрузки, геометрических и упругих характеристик рассматриваемых плит.
Запропоновано наближений метод розв'язання задач лінійної в’язкопружності для тонких анізотропних плит, які знаходяться в умовах поперечного згину. Методом малого параметра початкова задача зведена до послідовності крайових задач прикладної теорії вигину плит, що вирішуються з використанням комплексних потенціалів. Отримано загальний вигляд комплексних потенціалів наближень, крайові умови для їх визначення. Як приклад наведено розв’язання задач для плити з еліптичними пружними включеннями. Дано аналіз чисельних досліджень для плити з одним та двома еліптичними (круговими) отворами, а також з лінійними включеннями.
An approximate method is proposed for solving the problem of linear viscoelasticity for the thin anisotropic plates under transverse bending. By use of the method of small parameter, the initial problem is reduced to a sequence of boundary problems of the applied theory of bending of plates that are solved using the complex potentials. The general form of complex potentials in approximations and the boundary conditions for determination of them are obtained. As an example, the solutions of problems fot the plate with elliptic elastic inclusions are given. The results of numerical studies for the plate with one, two elliptical (circular) or linear inclusions are analyzed.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174139 |
| citation_txt |
Решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит / С.А. Калоеров, А.А. Кошкин // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 6. — С. 92-107. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kaloerovsa rešeniezadačilineinoivâzkouprugostidlâkusočnoodnorodnyhanizotropnyhplit AT koškinaa rešeniezadačilineinoivâzkouprugostidlâkusočnoodnorodnyhanizotropnyhplit AT kaloerovsa solvingtheproblemoflinearviscoelasticityforpiecewisehomogeneousanisotropicplates AT koškinaa solvingtheproblemoflinearviscoelasticityforpiecewisehomogeneousanisotropicplates |
| first_indexed |
2025-11-26T20:33:44Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:33:44Z |
| _version_ |
1850773789362618368 |
| fulltext |
2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, №6
92 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 6
С .А .К а л о е р о в , А .А .К ош к и н
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
ДЛЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛИТ
Донецкий национальный университет;
ул. 600-летия, 21, 83055, Винница, Украина;
koshkin.andrey.aleksandrovich@gmail.com
Abstract. An approximate method is proposed for solving the problem of linear viscoe-
lasticity for the thin anisotropic plates under transverse bending. By use of the method of
small parameter, the initial problem is reduced to a sequence of boundary problems of the
applied theory of bending of plates that are solved using the complex potentials. The general
form of complex potentials in approximations and the boundary conditions for determina-
tion of them are obtained. As an example, the solutions of problems fot the plate with ellip-
tic elastic inclusions are given. The results of numerical studies for the plate with one, two
elliptical (circular) or linear inclusions are analyzed.
Key words: viscoelasticity, an anisotropic plate, complex potentials of the theory of
bending plates, the method of small parameter, generalized least squares method, elastic
inclusion, linear inclusion, the moment intensity factors.
Введение.
Несмотря на большую практическую важность решения задач по определению
напряженно-деформированного состояния тонких плит, находящихся в условиях по-
перечного изгиба, до сих пор многие важные задачи инженерной практики остаются
нерешенными. Это связано с наличием значительных математических и вычисли-
тельных трудностей, которые до сегодняшнего дня трудно было преодолеть.
Значительные результаты в разработке методов решения задач теории изгиба ани-
зотропных плит были получены С.Г.Лехницким [8] еще в середине 30-х годов XX
века. Были введены комплексные потенциалы, решены простейшие задачи для одно-
связных областей. Несколько позже были разработаны методы решения задач для
многосвязных сред [7]. Однако неточности, допущенные в общих представлениях
комплексных потенциалов, использование метода рядов при удовлетворении гранич-
ным условиям в таких сложных задачах и ограниченности вычислительной техники
тех времен не позволили решать многие актуальные задачи теории изгиба плит. Раз-
работаны и различные, использующие формализм Стро методы [17] решения задач,
численные методы [20].
Возникающие под различными внешними воздействиями напряжения в вязкоуп-
ругом теле со временем изменяются, что необходимо учитывать при расчете элемен-
тов конструкций на прочность и долговечность, особенно в случаях, когда при экс-
плуатации конструкций в этих элементах наблюдается высокая концентрация напря-
жений. Но, несмотря на важность проблемы, исследований в этом направлении вы-
полнено весьма мало. Теоретические основы вязкоупругости разработаны сравни-
тельно давно [9, 10, 12, 21], до сих пор мало решений прикладных задач. До недавнего
времени такие исследования были известны лишь для односвязных изотропных [10] и
анизотропных [6] пластин, находящихся в условиях обобщенного плоского напря-
93
женного состояния. В работе [5] предложен метод решения плоских задач вязкоупру-
гости для анизотропных пластин с отверстиями и включениями произвольного коли-
чества, сочетания и конфигурации. Он основан на сведении методом малого парамет-
ра исходной задачи к решению последовательности задач теории упругости и разра-
ботке подхода определения значений всех величин с использованием расшифровок
степеней малого параметра операторами Работнова. На этой основе решен ряд плоских
задач теории упругости и термоупругости. Что же касается задач теории изгиба тонких
вязкоупругих анизотропных плит, до сих пор такие исследования не выполнены.
В данной статье метод малого параметра для решения плоской задачи вязкоупру-
гости распространен на изгиб анизотропных плит. При этом, как частный случай, рас-
сматриваются и изотропные плиты. Даны решения задач для анизотропной плиты с
эллиптическими и линейными упругими включениями с численными исследованиями
изменений значений моментов в зависимости от времени приложения нагрузки, гео-
метрических и упругих характеристик рассматриваемых плит.
§§1. Постановка задачи.
Рассмотрим анизотропную плиту-матрицу, занимающую конечную многосвязную
область S , ограниченную внешним контуром 0L и контурами эллиптических отвер-
стий lL 1,l . В частном случае, когда 0L уходит в бесконечность полностью, бу-
дем иметь бесконечную плиту с отверстиями. В некоторые из отверстий без предвари-
тельного натяжения вставлены упругие включения из других материалов с областями
( )lS , которые находятся с плитой в условиях идеального механического контакта. Пли-
та находится под действием распределенных поперечных усилий на неподкрепленных
контурах и моментов на бесконечности, где заданы моменты xM , yM , xyH .
Решение задачи без учета вязкоупругих свойств материала при использовании ком-
плексных потенциалов теории изгиба плит [8] сводится к определению производных
комплексных потенциалов ( )k kW z для плиты-матрицы и ( ) ( )(z )l l
k kW для включений из
соответствующих граничных условий.
Производные комплексных потенциалов ( )k kW z 1, 2k для плиты-матрицы яв-
ляются функциями обобщенных комплексных переменных
k kz x y , (1.1)
где k – корни характеристического уравнения
4 3 2
22 26 12 66 16 114 2 2 4 0D D D D D D ; (1.2)
0ij ijD b D − жесткости материала плиты, в которых
2
11 22 66 26( )b a a a ; 12 16 26 12 66( )b a a a a ; 16 12 26 16 22( )b a a a a ;
2
22 11 66 16( )b a a a ; 26 12 16 26 11( )b a a a a ; 2
66 11 22 12( )b a a a ;
11 12 16
12 22 26
16 26 66
a a a
a a a
a a a
;
(1.3)
ija − коэффициенты деформации материала; 3
0 2 3D h ; h – полутолщина плиты. Эти
функции определены в областях kS , получаемых из заданной области S аффинными
преобразованиями (1.1), и в данном случае имеют вид [2, 8]
94
0
1
ln ( )k k k k kl k kl k kl k k
l
W z z A z B z z W z
, (1.4)
в котором k – постоянные, определяемые из системы уравнений
2
11 21 31
1
2Re k x y xy
k
C M C M C H
;
2
12 22 32
1
2Re k k x y xy
k
C M C M C H
;
2
2
13 23 33
1
2Re k k x y xy
k
C M C M C H
;
2
1
1
2Re 0k
k k
; (1.5)
2
11 22 66 26 12 2C D D D ; 21 16 26 12 66 12 2C D D D D ;
31 12 26 12 22 12 2C D D D D ; 12 12 26 16 22 1C D D D D ;
22 12 16 11 26 1C D D D D ; 2
32 11 22 12 1C D D D ;
13 16 26 12 66 12 2C D D D D ; 2
23 11 66 16 12 2C D D D ;
33 12 16 11 26 12 2C D D D D ;
11 16 12
1 12 26 22
16 66 26
2
2
2
D D D
D D D
D D D
;
klA , klB – постоянные, определяемые из решения систем
2
2
1 11
1
2Re 1, , , 0, 0, 0,
2
l
k k kl
k k
P
iA
D
; (1.6)
2
2
1 22 11
1
2Re 1, , , 0, 0, ,
4 4
ylxl
k k kl
k k
MM
iB
D D
; (1.7)
lP и xlM , ylM – главный вектор и компоненты главного момента относительно начала
координат внешних поперечных сил, приложенных к контурам отверстий lL ; 0 ( )k kW z –
функции, голоморфные в областях kS .
Если функции ( )k kW z (1.4) определены, то изгибающие моменты и поперечные си-
лы в точках плиты вычисляются по формулам [2, 7, 8]
2
1
, , , , 2Re , , , , ( )x y xy x y k k k k k k k k
k
M M H N N p q r s s W z
, (1.8)
в которых
2
11 16 122k k kp D D D ; 2
12 26 222k k kq D D D ;
2
16 66 262k k kr D D D ; 2 3
16 12 66 26 22( 2 ) 3k k k ks D D D D D .
(1.9)
95
Производные комплексных потенциалов ( ) (z )l
k kW 1,l для включений явля-
ются функциями обобщенных комплексных переменных
( ) ( )l l
k kz x y , (1.10)
где ( )l
k – корни характеристических уравнений вида (1.2), в которых коэффициенты
i jD заменены на постоянные ( )l
i jD для включений. Эти функции голоморфны в облас-
тях ( )l
kS , получаемых из областей ( )lS аффинными преобразованиями (1.10), т.е.
( ) ( )
0 ( )l l
k k k kW z W z ,
где ( ) ( )
0
l l
k kW z – функции, голоморфные в конечных односвязных областях ( )l
kS .
Производные комплексных потенциалов должны удовлетворять граничным усло-
виям на внешнем контуре 0L и на контурах отверстий и включений lL . В случае вклю-
чений эти условия имеют вид [2, 8]
2
( ) ( )
1
2Re ( ) ( )l l
kli k k ki k k li
k
g W z g W z f
( 1, 4)i , (1.11)
в котором
1kl k kg p ; ( ) ( ) ( )
1
l l l
k k kg p ; 2kl kg q ; ( ) ( )
2
l l
k kg q ;
3 1klg ; ( )
3 1l
kg ; 4kl kg ; ( ) ( )
4
l l
k kg ;
1 1l l lf c x c ; 2 2l l lf c y c ; 3 4 0l lf f ; (1.12)
( )l
kp , ( )l
kq – постоянные, вычисляемые по формулам вида (1.9) для включений; lc – ве-
щественные, а 1lc , 2lc – комплексные постоянные. В случае отверстия в (1.11) следует
опускать ( ) ( )l
k kW z и принять условия при 1, 2i (для неподкрепленного контура от-
верстия) или при 3, 4i (для подкрепленного контура отверстия).
§2. Решение задачи вязкоупругости.
Если плита обладает вязкоупругими свойствами, то для определения значений
исследуемых величин во времени можно воспользоваться принципом Вольтерра [21],
т. е. заменить упругие постоянные временными операторами и определить действие
этих операторов во времени. Но такое возможно в простейших задачах, когда полу-
ченные выражения этих величин по упругому решению представляются произведе-
ниями рациональных функций упругих постоянных на функции координат. Для мно-
госвязных областей такие решения задач теории упругости получать невозможно.
Поэтому непосредственное применение принципа Вольтера к анализу напряженно-
деформированного состояния многосвязных тел невозможно. В связи с этим возника-
ет необходимость и для многосвязных сред получать такие решения, которые явным
образом содержали бы упругие постоянные. Это возможно, если выделить из упругих
постоянных такую, которая по модулю меньше единицы, и разложить все решение
задачи в ряд по ней, как по малому параметру.
Для ортотропного материала коэффициенты деформаций через технические по-
стоянные выражаются так:
11
1
1
a
E
; 22
2
1
a
E
; 21 12
12
1 2
a
E E
; 66
3
1
a
G
,
где iE , 3G , ji – соответствующие модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициенты
Пуассона. Для многих анизотропных материалов из технических постоянных мень-
96
шими единицы являются только коэффициенты Пуассона ij . Поэтому в качестве ма-
лого параметра, по которому следует разлагать решение задачи, можно принять лю-
бой из коэффициентов, например, 12 . Однако сходимость получаемых решений ус-
корится, если в качестве малого параметра брать не коэффициент 12 , а его изменение
с течением времени, т.е. представить 12 в виде
0
12 12 , (2.1)
в котором 0
12 – мгновенно-упругое значение коэффициента 12 .
Учитывая равенство (2.1), получаем
0
12 12 11a a a , (2.2)
где 0 0
12 12 11a a . Подставив (2.2) в формулу для из (1.3), получим
2
66 11 1 2( )( )a a ,
где
0
12 11 22
1,2
11
a a a
a
. (2.3)
Рассматривая обратную к 1 величину и разложив полученную дробь на про-
стейшие дроби, получим
2
66 11 2 1 1 2
1 1 1 1
( )a a
.
Подставляя эти значения в формулы (1.3), будем иметь
22
11 2
11 1 2( )( )
a
b
a
; 11
22 2
11 1 2( )( )
a
b
a
;
0
11 12
12 2
11 1 2( )( )
a a
b
a
; 66
66
1
b
a
; 16 26 0b b .
(2.4)
Разложив правые части этих выражений на простейшие дроби, находим
22
11 2
11 2 1 1 2
1 1
( )
a
b
a
; 11
22 2
11 2 1 1 2
1 1
( )
a
b
a
;
0
11 12
12 2
11 2 1 1 2
1 1
( )
a a
b
a
.
(2.5)
Для реальных материалов 1/ 1 , 2/ 1 . Тогда приведенные выше дроби,
как суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий, можно представить
рядами. В результате получим выражения
0
11 11 1
0
j
j
j
b b d
; 0
22 22 1
0
j
j
j
b b d
; 0
12 12 2
0
j
j
j
b b d
; 66
66
1
b
a
; 16 26 0b b , (2.6)
в которых
0 22
11 2
11 2 1
a
b
a
; 0
22
11 2 1
1
( )
b
a
; 0 11 22
12 2
11 2 1( )
a a
b
a
;
1 1
1 2 1
j j
jd ; 1 1
2 1 2
j j
jd .
97
При выводе формулы для 0
12b учтено, что
11 22 1 1
12 1 22
011 2 1( )
j j j
j
a a
b
a
.
Учитывая выражения (2.6), формулы (1.9), (1.12) перепишем в виде
0
j
k jk
j
p p
;
0
j
k jk
j
q q
;
0
j
k jk
j
s s
; 0 662k kr D b
0 0 2
0 11 1 12 2jk j k jp D b d b d
; 0 0 2
0 12 2 22 1jk j k jq D b d b d ; (2.7)
0 0 3 0
0 12 2 22 1 662jk k j k j k js D b d b d b ;
2( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )
0 11 1 12 2
l l l l l l
jk j k jp D b d b d ; 2( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )
0 12 2 22 1
l l l l l l
jk j k jq D b d b d
.
В ряды по малому параметру разложим также входящие в выражения для про-
изводных комплексных потенциалов (1.4) постоянные k , klA , klB :
0
j
k jk
j
;
0
j
kl jkl
j
A A
;
0
j
kl jkl
j
B B
. (2.8)
Постоянные jk , jklA , jklB определим на основе равенств (1.5) – (1.7) подстанов-
кой в их правые части выражений (2.8). Выполнив эту подстановку и сравнив в полу-
ченных равенствах коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра ,
получим следующие последовательности систем 4-х уравнений c 4-мя неизвестными:
02
122 11
0
1 0 0
1
2Re 1, , , ,yx
k k k
k k
a Ma M
D D
0
66 2212
0 0 0
, , 0
2
xy yx
a H a Ma M
D D D
;
2
112 11
1
1 0 0
1
2Re 1, , , , 0, , 0y x
k k k
k k
a M a M
D D
; 0 2jk j ;
(2.9)
22
11 1 22
0
1 22 0
1
2Re 1, , , 0, 0, 0,
2
l
k k kl
k k
a P
iA
a D
;
22
11 1 22
1
1 22 0
1
2Re 1, , , 0, 0, 0,
2
l
k k kl
k k
a P
iA
a D
; (2.10)
22
2 11
2
1 22 0
1
2Re 1, , , 0, 0, 0,
2
l
k k kl
k k
a P
iA
a D
; 0jklA 3j ;
22
11 1 2 11 1 22
0
1 0 22 0
1
2Re 1, , , 0, 0, ,
4 4
xl yl
k k kl
k k
a M a M
iB
D a D
; (2.11)
22
11 1 2 11 1 22
1
1 0 22 0
1
2Re 1, , , 0, 0, ,
4 4
xl yl
k k kl
k k
a M a M
iB
D a D
;
98
22
112 11
2
1 0 22 0
1
2Re 1, , , 0, 0, ,
4 4
ylxl
k k kl
k k
a Ma M
iB
D a D
, 0jklB 3j .
Учитывая приведенные разложения, функции (1.4) представим в виде
0
j
k k jk k
j
W z W z
, (2.12)
где
0
1
lnjk k jk k jkl k jkl k kl j k k
l
W z z A z B z z W z
; (2.13)
0j k kW z – функции, голоморфные в многосвязных областях kS , ограниченных кон-
турами klL , соответствующими lL области S при аффинных преобразованиях (1.1).
Аналогичным образом производные потенциалов для включений представим в виде
( ) ( )
0
l j l
k k jk k
j
W z W z
. (2.14)
Здесь ( )l
jk kW z – функции, голоморфные в областях ( )l
kS .
Производные комплексных потенциалов приближений ( )jk kW z , ( )l
jk kW z 1, 2k
должны удовлетворять соответствующим граничным условиям. Подставив (2.12) и
(2.14) в граничные условия (1.11) и приравняв в полученных равенствах коэффициен-
ты при одинаковых степенях параметра , получим следующую рекуррентную по-
следовательность граничных условий для определения этих приближений:
2
( ) ( )
0 0
1
2Re ( ) ( )l l
kli jk k ki jk k jli
k
g W z g W z f t
1, 4i , (2.15)
где
0 1 0kl k kg p ; ( ) ( ) ( )
0 1 0
l l l
k k kg p ; 0 2 0kl kg q ; ( ) ( )
0 2 0
l l
k kg q ;
0 3 1klg ; ( )
0 3 1l
kg ; 0 4kl kg ; ( ) ( )
0 4
l l
k kg ;
( )12
, ,0 0 ( )
1 1 ( )
1 0
1 2Re ( ) ( )
lj
j i k j i k l
jl j l l j ik k ik kl
k i k k
p p
f c x c W z W z
;
12
0 0 ( ) ( )
2 2 , ,
1 0
1 2Re ( ) ( )
j
l l
jl j l l j j i k ik k j i k ik k
k i
f c y c q W z q W z
;
12
0 ( )
3
1 0
1 2Re ( ) ( )
j
l
jl j ik k ik k
k i
f W z W z
;
12
0 ( ) ( )
4
1 0
1 2Re ( ) ( )
j
l l
jl j k ik k k ik k
k i
f W z W z
.
После удовлетворения граничным условиям функции приближений ( )jk kW z ,
( ) ( )l
jk kW z становятся известными и, заменив степени малого параметра j временны-
ми операторами, можно определить производные комплексных потенциалов для пли-
ты в любой момент времени, а по ним на основе (1.8) и моменты
2
1 0 0
2Re
jJ
j
x j i k i k
k j i
M p W
;
2
1 0 0
2Re
jJ
j
y j i k i k
k j i
M q W
;
99
2
1 0
2Re
J
j
xy k j k
k j
H r W
, (2.16)
где J – количество оставляемых приближений. При этом, чтобы для плиты получить
степени малого параметра , следует учитывать, что на основании (2.1) * 0
12 12 ,
т.е.
* 0
12 12 . (2.17)
Заменив в (2.17) *
12 его временным оператором, получим [5]
* * * * *
1 1 1 2 2D Э D Э (2.18)
* 0 *
01 1 2
1 120 * * *
2 1 2 1
1 4
4
E
D
E
;
* 0 * *
2 1 1 2
2 0 * * *
2 1 2 14
E
D
E
; (2.19)
0
iE – мгновенно упругие значения модулей Юнга iE ; *
i , *
i – реологические посто-
янные материала плиты, связанные с изменением iE во времени [9]. Возведя по
формуле (2.18) в степень j , получим [5]
* * * **
1 2 1 1 2
0
j k k
j
j k j k k
j
k
C D D Э Э
* * ** *
2 1 1
1 2 * * *
0 2 1 1
k j k
j
k j k k
j
k
Э Э
C D D
.
(2.20)
Вычислив j по формуле (2.20) и подставив его в выражения (2.12), определим функ-
ции ( )k kW z и их производные, следовательно, и исследуемые величины в любой мо-
мент времени.
Аналогичные соотношения получаем для вычисления моментов в упругих вклю-
чениях.
Рассмотрим решения конкретных задач.
§3. Решение задачи для плиты с эллиптическими включениями.
Рассмотрим бесконечную вязкоупругую
плиту-матрицу с эллиптическими отвер-
стиями lL ( 1, )l с полуосями la , lb
(рис. 1). В отверстия без предварительного
натяжения вставлены упругие включения из
других вязкоупругих материалов.
Используя методы конформных отобра-
жений и разложений функций в ряды Лорана,
для производных комплексных потенциалов
(2.13) получим выражения [4]
0
1 1
jk l n
j k k jk k n
l n kl
a
W z z
, (3.1)
где kl – переменные, определяемые из конформных отображений
kl
k k l kl kl
kl
m
z z R
(3.2)
внешности единичных кругов 1kl на внешности эллипсов klL ;
Рис. 1
100
0 0kl l k lz x y ; cos sin sin cos 2kl l l k l l l k lR a ib ;
cos sin sin cos 2
lkl l k l l l k l klm a ib R ;
(3.3)
0 0,l lx y – координаты начала локальной системы координат l l lO x y с началом в центре
эллипса lL и осью l lO x вдоль полуоси la ; l – угол между направлениями осей ко-
ординат Ox и l lO x основной системы и локальной системы координат, отсчитывае-
мый от Ox против часовой стрелки; k l na – постоянные, определяемые из граничных
условий на контурах плиты.
Для включений производные комплексных потенциалов приближений будут та-
кими [4]:
( ) ( ) ( ) ( )
0
( )l l l l
jk k jkn kn
n
W z a
( ) ( )
( )
( )
nl l
l k kl
kn l
kl
z z
R
. (3.4)
Для определения неизвестных постоянных j k l na , ( )l
jkna функций (3.1) и (3.4) удов-
летворим граничным условиям (2.15). Для многосвязных областей этим условиям
удобнее удовлетворять в дифференциальной форме. Продифференцировав их по дуге
контура, получим
( )2
( )
0 0
1
( ) ( )
2Re
l
jk k jk k jlil
kli ki
k
dW z dW z df t
g g
ds ds ds
1, 4i . (3.5)
Граничным условиям (3.5) будем удовлетворять обобщенным методом наимень-
ших квадратов (ОМНК) [14]. Для этого на контурах контакта плиты с включениями
выберем набор точек ,lm lm lmt x y 1, lm M и, удовлетворив в них условиям (3.5),
получим уравнения
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 ln ln 0
1 1 1
2Re ( ) ( )l l l l l
kli k k klm jk ki k kn km jkn
k l n
g t a g t a
2
0
1
( )
2Rejli lm
kli k jk
k
df t
g
ds
1, 4; 1, ; 1,li m M l , (3.6)
в которых
/k kdz ds ; ( ) ( ) /l l
k kdz ds ; 1 2k l n n
kl k l k l k l
n
R m
;
1( )
( )
( )
nl
k kll
kn nl
k
n z z
R
;
klm lm k lmt x y ; ( ) ( )l l
km lm k lmt x y .
Если включение ( )lS переходит в прямолинейную упругую линию (соответст-
вующее отверстие – в разрез), то можно вычислить и коэффициент интенсивности
моментов (КИМ) 1Mk (для моментов ( )l
yM в локальной системе координат l l lO x y ) и
2Mk (для моментов ( )l
xyH в этой же системе координат), где знаки « » и « » вверху
относятся к левому и правому концам включения. По аналогии с определением коэф-
фициентов интенсивности напряжений (КИН) для концов разрезов в плоской задаче
[3] получим формулы
2
2 2
1
1
2Re sin cos sin 2M k l k l k l k
k
k p q r G
;
101
2
2
1
1
2Re sin 2 cos2
2M k k l k l k
k
k q p r G
, (3.7)
в которых
1
1
2
nl
k k l n
nl
a
G na
R
;
верхние знаки соответствуют правому и левому концам линейного включения.
Заметим, что в случае плиты с одним эллиптическим включением методом рядов
можно получить и точное аналитическое решение задачи в упругой постановке вида
11
1
( ) k
k k k k
k
a
W z Г z
;
(1)
(1)
1 (1)
( ) k
k k k
k
z
W z a
R
;
2
11
2
1 1 1 1
, , 2Re , , k
x y xy k k k k
k k k k
a
M M H p q r Г
R m
; (3.8)
2
1 2 11
11
1
, 2Re ,M M k k k
k
k k q r a
a
,
в котором 11ka , (1)
1ka – постоянные, определяемые из системы линейных алгебраических
уравнений 4-го порядка
2 2
(1) (1) (1)
11 1 1 1 1 1
1 1
k k k k k k k k k
k k
a m a a Г R m Г R
;
2 2
(1) (1) (1) (1) (1)
11 1 1 1 1 1
1 1
k k k k k k k k k k k k k k
k k
a m a a Г R m Г R
;
(1) (1)2 2
(1) (1) (1)
11 1 1 1 1 1(1) (1)
1 1
k k k k k
k k k k k k k k k
k kk k k k k
p p p p p
a m a a Г R m Г R
;
2 2
(1) (1) (1) (1) (1)
11 1 1 1 1 1
1 1
k k k k k k k k k k k k k k
k k
q a q m a q a q Г R m q Г R
.
§4. Результаты численных исследований.
Численные исследования проведены для плиты из алюминия (материал М1) [10] и
эпоксида (М2) [6]. Коэффициенты деформаций и реологические постоянные для этих
материалов приведены в табл. 1. Для изотропной плиты (материал М1), которая также
рассматривалась как анизотропная, коэффициент деформации 22a вместо истинного
40,1408 10 был принят равным 40,1458 10 , т. е. незначительно отличным от истин-
ного. В противном случае из-за равенства 11 22a a при решении задачи возникнет
ситуация деления на ноль, т. к. корни характеристического уравнения (1.2) для изо-
тропного материала будут двухкратными и равными i и i . Как показывают расчеты,
проведенные для изотропных плит в упругой постановке с использованием комплекс-
ных потенциалов Колосова – Мусхелишвили, при указанных заменах результаты сов-
падают с получаемыми для анизотропных плит.
102
Таблица 1
Материал Постоянные
материала М1 М2
4 -1
11 10 ,МПаa 0,1408 0,4347
4 1
22 10 ,МПаa 0,1458 0,6250
4 1
12 10 ,МПаa -0,0352 -0,0478
4 1
66 10 ,МПаa 0,3521 3,2467
* , 0,5с 0,5000 0,8460
* 3
1 10 , 0,5с 0,00050 0,1570
* 3
2 10 , 0,5с 0,00049 0,2745
* 3
1 10 , 0,5с 0,00615 0,0323
* 3
2 10 , 0,5с 0,00614 0,1295
Аналогичные допущения по изотропному материалу сделаны относительно реологи-
ческих постоянных *
1 , *
2 , *
1 и *
2 . Для постоянных материалов включений приня-
то, что ( ) ( )l l
ij ija a , где ( )l – коэффициент относительной жесткости включений ( )lS .
При проведении численных исследований количество членов N в рядах (3.1),
(3.4) и «коллокационных точек» lM на контурах отверстий lL увеличивалось до тех
пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой
степенью точности. В описываемых ниже расчетах для такого удовлетворения гра-
ничным условиям в зависимости от расстояний между отверстиями и их количества в
рядах для каждого из отверстий оставлялось от 5 до 20 членов и на каждом контуре
выбиралось от 100 до 200 «коллокационных точек». Количество приближений J по
степеням малого параметра увеличивалось до тех пор, пока последующее прибли-
жение изменяло значения изгибающих моментов в предыдущем приближении более,
чем на 0,01%. Для удовлетворения этому условию в рассмотренных случаях необхо-
димо было оставлять степени малого параметра от 6 до 10. Ниже описаны некото-
рые из полученных результатов для плиты, когда на бесконечности yM m ,
0x xyM H . Все результаты приведены с точностью до 0/m D как множителя.
В табл. 2 для плиты с одним круговым включением радиуса 1a (рис. 2) в зависи-
мости от его относительной жесткости (1) и времени приложения нагрузки t для
наиболее характерных точек плиты 1;0A a (или 1;0C a ) и 10;B a приведены
значения изгибающих моментов sM , соответствующих напря-
жениям s на площадках, перпендикулярных контуру включе-
ния. Значения для (1) 0 соответствуют плите с абсолютно
жестким включением, а для (1) – плите с абсолютно мяг-
ким включением (отверстием).
Как видно из табл. 2, с течением времени значения момен-
тов в плите изменяются. При этом большие изменения происхо-
дят лишь в первые 50 часов после приложения нагрузки, а через
200 часов они практически не изменяются, т.е. в плите устанав-
ливается стационарное состояние. Такие же закономерности
изменения моментов наблюдаются и в других точках плиты и
Рис. 2
103
включения. В связи с этим в дальнейшем результаты расчетов будем приводить для
двух случаев: когда 0t (в начальный момент времени) и 500t , когда уже устано-
вилось стационарное состояние.
Таблица 2
t , час
Материал Точка (1)
0 50 100 200 300 400 500 600
0 -0,467 -1,243 -1,366 -1,456 -1,490 -1,506 -1,515 -1,520
210 -0,402 -1,121 -1,234 -1,316 -1,346 -1,361 -1,369 -1,373
110 0,013 -0,389 -0,448 -0,490 -0,504 -0,511 -0,514 -0,516
0,5 0,700 0,631 0,619 0,611 0,608 0,607 0,607 0,606
2 1,257 1,294 1,295 1,296 1,296 1,296 1,296 1,296
10 1,623 1,685 1,689 1,692 1,692 1,693 1,693 1,693
210 1,753 1,824 1,829 1,832 1,833 1,833 1,833 1,833
( )C A
∞ 1,769 1,841 1,847 1,850 1,851 1,851 1,851 1,851
0 0,867 1,869 2,007 2,103 2,139 2,156 2,165 2,170
0,5 0,069 0,276 0,297 0,310 0,313 0,315 0,316 0,316
2 0,016 0,029 0,031 0,032 0,033 0,033 0,033 0,033
М1
B
∞ 0,231 0,159 0,153 0,150 0,149 0,149 0,149 0,149
0 -0,114 -0,340 -0,355 -0,371 -0,380 -0,386 -0,390 -0,394
210 -0,079 -0,295 -0,310 -0,325 -0,333 -0,339 -0,344 -0,348
110 0,171 0,022 0,011 0,001 -0,006 -0,010 -0,013 -0,016
0,5 0,707 0,683 0,680 0,677 0,676 0,674 0,673 0,672
2 1,283 1,354 1,357 1,360 1,362 1,363 1,363 1,364
10 1,736 1,856 1,863 1,869 1,872 1,875 1,876 1,878
210 1,911 2,048 2,056 2,063 2,067 2,070 2,072 2,073
( )C A
∞ 1,934 2,073 2,081 2,088 2,092 2,095 2,097 2,099
0 0,325 0,779 0,803 0,826 0,838 0,847 0,854 0,859
0,5 -0,037 0,174 0,185 0,196 0,202 0,206 0,209 0,211
2 0,131 0,244 0,251 0,258 0,262 0,264 0,266 0,268
М2
B
∞ 0,687 0,770 0,776 0,782 0,786 0,788 0,790 0,792
На рис. 3 для двух предельных случаев (1)
( (1) 0 и (1) ) в зависимости от централь-
ного угла , отсчитываемого от положительного
направления оси Ox против часовой стрелки,
изображены графики распределения в плите мо-
ментов s в начальном и стационарном состоя-
ниях. Сплошные и пунктирные линии здесь соот-
ветствуют начальному и стационарному состоя-
ниям. Кривые 1, 3 относятся к плите из материала
М2, а 2, 4 – к плите из материала М1, кривые 1, 2
относятся к плите с абсолютно мягким включе-
нием ( (1) ), кривые 3, 4 – к плите с абсолют-
но жестким включением ( (1) 0 ).
Рис. 3
104
Как следует из данных табл. 2, рис. 3 и других полученных результатов, при пере-
ходе в стационарное состояние значения изгибающих моментов вблизи контура
включения претерпевают значительные изменения, причем наибольшие изменения
претерпевают значения моментов в точках C (или A ) и B , соответствующих углам
0 и 2 . Наиболее высокая концентрация моментов наблюдается в точке C
плиты с абсолютно мягким включением (отверстием) и абсолютно жестким включе-
нием. С увеличением жесткости включения моменты вначале убывают (при (1) 1 ),
а затем растут (при (1) 1 ). Наибольшие изменения моментов во времени наблюда-
ются для абсолютно жесткого включения (более 3 раз при переходе в стационарное
состояние), наименьшие изменения – в случае отверстия (около 3,5%). При
(1) 310 включение можно принять абсолютно мягким, при (1) 310 – абсолютно
жестким. В изотропной плите уровень концентрации моментов больше, чем в рас-
смотренной анизотропной плите.
Как показывают исследования, на значения моментов вблизи включения сущест-
венно влияет отношение полуосей эллиптического включения 1 1b a . С уменьшением
этого отношения значения моментов вблизи концов большой полуоси включения рас-
тут, стремясь к бесконечности, а при 3
1 1 10b a включение можно считать линейным
и для него вычислять КИМ.
На рис. 4 изображены графики изме-
нения КИМ ( 1Mk ) в зависимости от же-
сткости материала включения (параметра
(1) ) в начальном и стационарном со-
стоянии. Видно, что для линейного
включения влияние параметра (1) такое
же, как и для кругового включения:
(1) 310 – линейное включение можно
считать абсолютно жестким, при
(1) 310 – абсолютно мягким (трещи-
ной). При 3 (1) 310 10 значения КИМ
весьма малы и ими можно пренебречь.
Поэтому учитывать КИМ для линейных
упругих включений, когда жесткость их
материалов отличается от жесткости ма-
териала плиты менее, чем в 310 раз, нет
смысла, хотя при использовании других моделей и методов авторы приходят к другим
результатам [1, 11]. Для абсолютно мягких линейных включений (трещин) будут контак-
тировать их берега, что следует учитывать при решении задач. Подходы такого учета
предложены в работах [13, 15, 16, 18, 19]. Заметим, что для плиты с одним включением
использовано и точное решение (3.8). Результаты, получаемые по приближенному реше-
нию ОМНК, оказались совпадающими с результатами по точному решению.
В табл. 3 для плиты с двумя одинаковыми одно-
типными (из одного материала) круговыми включе-
ниями (рис. 5) радиуса 1a в зависимости от пара-
метра относительной жесткости включений (1) и
центрального угла для различных значений
1/c a , где c – расстояние между отверстиями, даны
значения sM в точках плиты около левого включе-
ния для начального ( 0t ) и стационарного
( 500t ) состояний.
Рис. 4
Рис. 5
105
Из табл. 3 и других полученных результатов следует, что для случая двух вклю-
чений сохраняются все описанные ранее для плиты с одним включением
закономерности влияния времени и относительной жесткости материала включений.
На значения моментов существенное влияние оказывает и расстояние между
включениями. При уменьшении расстояния между включениями значения моментов
около включений и в точках перемычки растут уже в упругой постановке, а при
переходе в стационарное состояние они претерпевают еще большие изменения. Так,
если для плиты с одним абсолютно жестким включением (при 1/c a ) в точке C
при переходе в стационарное состояние моменты изменяются в 3 раза, то в плите с
двумя включениями при 1/ 0,1c a моменты изменяются почти в 4 раза. Если
расстояние между включениями больше диаметра ( 1/ 2c a ), то влияние одного
включения на напряженное состояние около другого незначительно и им можно пре-
небречь.
Таблица 3
1c a
Материал (1) Точка t ,час.
2 1 0.5 0.1
0 -0,467 -0,447 -0,449 -0,457 -0,479
A
500 -1,515 -1,478 -1,495 -1,530 -1,613
0 0,867 0,779 0,758 0,751 0,756
B
500 2,165 1,944 1,896 1,883 1,906
0 -0,467 -0,364 -0,318 -0,368 -0,824
0
C
500 -1,515 -1,278 -1,206 -1,432 -3,126
0 1,769 1,846 1,896 1,946 2,024
A
500 1,851 1,932 1,984 2,039 2,127
0 0,231 0,219 0,219 0,223 0,239
B
500 0,149 0,141 0,141 0,144 0,154
0 1,769 2,002 2,340 2,945 5,560
М1
C
500 1,851 2,089 2,436 3,059 5,821
0 -0,114 -0,106 -0,106 -0,107 -0,110
A
500 -0,387 -0,371 -0,373 -0,380 -0,396
0 0,325 0,294 0,286 0,283 0,286
B
500 0,840 0,760 0,739 0,734 0,743
0 -0,114 -0,080 -0,059 -0,065 -0,165
0
C
500 -0,387 -0,304 -0,262 -0,314 -0,723
0 1,934 2,002 2,058 2,121 2,220
A
500 2,093 2,160 2,222 2,293 2,412
0 0,687 0,635 0,637 0,656 0,714
B
500 0,788 0,721 0,724 0,747 0,816
0 1,934 2,083 2,378 3,037 6,014
М2
C
500 2,093 2,216 2,498 3,187 6,443
106
На рис. 6 для плиты с двумя абсолютно мягкими линейными включениями (трещи-
нами), расположенными вдоль одной прямой, в зависимости от 1/c a для левого вклю-
чения приведены значения КИМ 1Mk (для левого конца) и 1Mk (для правого конца).
Эти коэффициенты не зависят от анизотропии материала и незначительно изме-
няются во времени, поэтому они приведены для начального состояния. На рис. 7 для
плиты с двумя абсолютно жесткими линейными включениями в зависимости от 1/c a
для левого включения изображены графики изменения 1Mk и 1Mk в начальном
(сплошные линии) и стационарном (пунктирные линии) состояниях. Кривые 1 и 2
соответствуют значениям 1Mk и 1Mk для материала М2, кривые 3 и 4 – значениям 1Mk
и 1Mk для материала М1. Из рис. 6 и рис. 7 видно, что с уменьшением расстояния ме-
жду включениями значения КИМ для их вершин в перемычке (внутренних) по моду-
лю резко растут как в начальном, так и в стационарном состояниях. Для внешних
вершин КИМ также растут, стремясь к 12 Mk , где 1Mk – значение КИМ для плиты с
одним включением, т. е. к КИМ для случая включения двойной длины, вычисляемой
по формуле (3.7), где вместо la следует принять 2 la .
Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано наближений метод розв'язання задач лінійної в’язкопружності для
тонких анізотропних плит, які знаходяться в умовах поперечного згину. Методом малого параметра
початкова задача зведена до послідовності крайових задач прикладної теорії вигину плит, що вирі-
шуються з використанням комплексних потенціалів. Отримано загальний вигляд комплексних поте-
нціалів наближень, крайові умови для їх визначення. Як приклад наведено розв’язання задач для
плити з еліптичними пружними включеннями. Дано аналіз чисельних досліджень для плити з одним
та двома еліптичними (круговими) отворами, а також з лінійними включеннями.
1. Бережницкий Л.Т., Денисюк И.Т. Оценка локального напряжено-деформированного состояния
вблизи остроконечных упругих включений в анизотропной пластинке // Докл. АН УССР.
– 1983.– Сер. А, вып. 3. – С. 28 – 32.
Рис. 6
Рис. 7
107
2. Калоеров С.А. Комплексные потенциалы теории изгиба многосвязных анизотропных плит // Тео-
рет. и прикл. механика. – 2012. – № 4 (50). – С. 115 – 136.
3. Калоеров С.А. Определение коэффициентов интенсивности напряжений, индукции и напряженно-
сти для многосвязных электроупругих анизотропных сред // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 6.
– С. 56 – 62.
4. Калоеров С.А, Горянская Е.С. Двумерное напряженно-деформированное состояние многосвязного
анизотропного тела // Концентрация напряжений. – К.: А. С. К., 1998. – С. 10 – 26. (Механика
композитов: В 12 т., т. 7).
5. Калоеров С.А., Паршикова О.А. Решение задачи термовязкоупругости для анизотропной пластинки
// Теорет. и прикл. механика. – 2011. – № 2 (48). – С. 51 – 70.
6. Каминский А.А. Механика разрушения вязкоупругих тел. – К.: Наук. думка, 1980. – 159 с.
7. Космодамианский А.С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями.
– К., Донецк: Вища школа, 1976. – 200 с.
8. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. – М.: Гостехиздат, 1957. – 463 с.
9. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 1966. – 752 с.
10. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. – К.: Наук. думка, 1968. – 888 с.
11. Стащук Н.Г. Задачи механики упругих тел с трещиноподобными дефектами. – К.: Наук. думка,
1993. – 358 с.
12. Christensen R.M. Theory of viscoelasticity. An introduction. – New York: Academic Press, 1971. – 245 p.
13. Dempsey J.P., Shektman I.I., Slepyan L.L. Closure of a through crack in a plate under bending // Int. J.
Solids and Struct. – 1998. – 35. – P. 4077 – 4089.
14. Forsythe G.E., Malcolm M.A., Moler C.B. Computer Methods for Mathematical Computations. – New
York: Prentice Hall, 1977. – 270 p.
15. Joseph P.F., Erdogan F. Bending of thin Reissner plate with a through crack // J. Appl. Mech. – 1991.
– 58. – P. 842 – 846.
16. Heming F.S. Jr. Sixth order analysis of crack closure in bending of an elastic plate // Int J. Fracture.
– 1980. – 16, N 4. – P. 289 – 304.
17. Hsieh M.C., Hwu C. Anisotropic elastic plates with holes/cracks/inclusions subjected to out-of-plane
bending moments // Int. J. Solids and Struct. – 2002. – 39, N 19. – P. 4905 – 4925.
18. Kwon Y.W. Finite element analysis of crack closure in plate bending // Comput. Struct. – 1989. – 32, N 6.
– P. 1439 – 1445.
19. Murthy M., Raju K., Viswanath S. On the bending stress distribution at the tip of a stationary crack from
Reissner's theory // Int J. Fracture. –1981. – 17. – P. 537 – 552.
20. Szilard R. Theories and applications of plate analysis: classical, numerical and engineering methods.
– New Jersey: John Wiley and Sons., 2004. – 1056 p.
21. Volterra V. Lecons sur the les fonctions de lignes. – Paris: Qauthier Villaed, 1913. – 230 p.
Поступила 21.07.2016 Утверждена в печать 30.05.2017
|