Оценка прочности слоистых цилиндрических оболочек при ползучести
Следует отметить, что в литературе отсутствуют работы, посвященные обоснованию применимости теории оболочек для исследования ползучести и прочности слоистых цилиндров. В связи с этим целью данной работы является: а) сопоставление результатов решения задачи ползучести и прочности слоистых цилиндров,...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174157 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценка прочности слоистых цилиндрических оболочек при ползучести / А.З. Галишин, С.Н. Склепус // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 78-89. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174157 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Галишин, А.З. Склепус, С.Н. 2021-01-06T18:25:38Z 2021-01-06T18:25:38Z 2018 Оценка прочности слоистых цилиндрических оболочек при ползучести / А.З. Галишин, С.Н. Склепус // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 78-89. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174157 Следует отметить, что в литературе отсутствуют работы, посвященные обоснованию применимости теории оболочек для исследования ползучести и прочности слоистых цилиндров. В связи с этим целью данной работы является: а) сопоставление результатов решения задачи ползучести и прочности слоистых цилиндров, полученных в рамках пространственной и оболочечной постановок; б) исследование влияния соотношения толщин слоев на отличие оболочечного решения от пространственного; в) разработка способа прогнозирования времени разрушения слоистых цилиндров в условиях ползучести. Отримано розв’язок задачі про напружено-деформований стан та міцність порожнистих шаруватих циліндрів і шаруватих циліндричних оболонок, що перебувають в умовах повзучості. Розв’язок задачі для двошарових оболонок з різним співвідношенням товщини шарів, що базується на гіпотезі прямолінійного елемента, співставлено з просторовими розв’язками для осесиметрично навантажених порожнистих циліндрів. Метод розв’язання просторової початково-крайової задачі повзучості базується на спільному застосуванні методів Рітца, R-функцій та Рунге– Кутта – Мерсона для інтегрування за часом з автоматичним вибором часового кроку. В оболонковій постановці вихідна початково-крайова задача також розв’язана за допомогою методу Рунге – Кутта – Мерсона в комбінації з методом Рунге – Кутта і методом Годунова дискретної ортогоналізації для розв’язання крайової задачі на кожному часовому кроці. A solution of the problem on the stress-strain state and strength of the hollow layered cylinders and layered cylindrical shells under creep conditions is obtained. The solution for the two-layered shells of varying ratios of layer thicknesses, based on the hypothesis of rectilinear element, is collated with the spatial solutions for axi-symmetrically loaded hollow cylinders. The technique of solving the spatial initial boundary value problem is based on the joint application of Ritz, R-functions methods and the Runge – Kutta – Merson method for time integration with automatic time step control is used. Within the shell statement, the initial boundary value problem is also solved using the Runge – Kutta – Merson method with the combination of the Runge – Kutta method and Godunov method of discrete orthogonalization for solving the boundary problem at each time step. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Оценка прочности слоистых цилиндрических оболочек при ползучести Estimate of Strength of Layered Cylindrical Shells under Creep Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оценка прочности слоистых цилиндрических оболочек при ползучести |
| spellingShingle |
Оценка прочности слоистых цилиндрических оболочек при ползучести Галишин, А.З. Склепус, С.Н. |
| title_short |
Оценка прочности слоистых цилиндрических оболочек при ползучести |
| title_full |
Оценка прочности слоистых цилиндрических оболочек при ползучести |
| title_fullStr |
Оценка прочности слоистых цилиндрических оболочек при ползучести |
| title_full_unstemmed |
Оценка прочности слоистых цилиндрических оболочек при ползучести |
| title_sort |
оценка прочности слоистых цилиндрических оболочек при ползучести |
| author |
Галишин, А.З. Склепус, С.Н. |
| author_facet |
Галишин, А.З. Склепус, С.Н. |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Estimate of Strength of Layered Cylindrical Shells under Creep |
| description |
Следует отметить, что в литературе отсутствуют работы, посвященные обоснованию применимости теории оболочек для исследования ползучести и прочности слоистых цилиндров. В связи с этим целью данной работы является: а) сопоставление результатов решения задачи ползучести и прочности слоистых цилиндров, полученных в рамках пространственной и оболочечной постановок; б) исследование влияния соотношения толщин слоев на отличие оболочечного решения от пространственного; в) разработка способа прогнозирования времени разрушения слоистых цилиндров в условиях ползучести.
Отримано розв’язок задачі про напружено-деформований стан та міцність порожнистих шаруватих циліндрів і шаруватих циліндричних оболонок, що перебувають в умовах повзучості. Розв’язок задачі для двошарових оболонок з різним співвідношенням товщини шарів, що базується на гіпотезі прямолінійного елемента, співставлено з просторовими розв’язками для осесиметрично навантажених порожнистих циліндрів. Метод розв’язання просторової початково-крайової задачі повзучості базується на спільному застосуванні методів Рітца, R-функцій та Рунге– Кутта – Мерсона для інтегрування за часом з автоматичним вибором часового кроку. В оболонковій постановці вихідна початково-крайова задача також розв’язана за допомогою методу Рунге – Кутта – Мерсона в комбінації з методом Рунге – Кутта і методом Годунова дискретної ортогоналізації для розв’язання крайової задачі на кожному часовому кроці.
A solution of the problem on the stress-strain state and strength of the hollow layered cylinders and layered cylindrical shells under creep conditions is obtained. The solution for the two-layered shells of varying ratios of layer thicknesses, based on the hypothesis of rectilinear element, is collated with the spatial solutions for axi-symmetrically loaded hollow cylinders. The technique of solving the spatial initial boundary value problem is based on the joint application of Ritz, R-functions methods and the Runge – Kutta – Merson method for time integration with automatic time step control is used. Within the shell statement, the initial boundary value problem is also solved using the Runge – Kutta – Merson method with the combination of the Runge – Kutta method and Godunov method of discrete orthogonalization for solving the boundary problem at each time step.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174157 |
| citation_txt |
Оценка прочности слоистых цилиндрических оболочек при ползучести / А.З. Галишин, С.Н. Склепус // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 78-89. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gališinaz ocenkapročnostisloistyhcilindričeskihoboločekpripolzučesti AT sklepussn ocenkapročnostisloistyhcilindričeskihoboločekpripolzučesti AT gališinaz estimateofstrengthoflayeredcylindricalshellsundercreep AT sklepussn estimateofstrengthoflayeredcylindricalshellsundercreep |
| first_indexed |
2025-11-25T14:48:03Z |
| last_indexed |
2025-11-25T14:48:03Z |
| _version_ |
1850515264057114624 |
| fulltext |
2018 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 54, № 1
78 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, №1
А . З . Г а л иш и н 1 , С . Н .С к л е п у с 2
ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ СЛОИСТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ
1Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: plast@inmech.kiev.ua;
2Институт проблем машиностроения им. А.Н.Подгорного НАН Украины,
ул. Дм. Пожарского, 2/10, 61046, Харьков, Украина; e-mail: snsklepus@ukr.net
Abstract. A solution of the problem on the stress-strain state and strength of the hollow
layered cylinders and layered cylindrical shells under creep conditions is obtained. The solu-
tion for the two-layered shells of varying ratios of layer thicknesses, based on the hypothesis
of rectilinear element, is collated with the spatial solutions for axi-symmetrically loaded
hollow cylinders. The technique of solving the spatial initial boundary value problem is
based on the joint application of Ritz, R-functions methods and the Runge – Kutta – Merson
method for time integration with automatic time step control is used. Within the shell state-
ment, the initial boundary value problem is also solved using the Runge – Kutta – Merson
method with the combination of the Runge – Kutta method and Godunov method of discrete
orthogonalization for solving the boundary problem at each time step.
Key words: layered cylindrical shell, hollow layered cylinder, creep, strength criterion,
time to failure.
Введение.
В современной технике широко применяются элементы конструкций, работаю-
щие в условиях ползучести. Определению нелинейного напряженно-деформирован-
ного состояния (НДС) таких конструкций посвящены работы [2, 4, 6 – 8, 10 – 12,
16 – 18, 21, 25, 26 и др.]. Задачи ползучести слоистых цилиндров и цилиндрических
оболочек рассмотрены в [20, 22 – 24 и др.]. Эти задачи относятся к классу нелиней-
ных пространственных начально-краевых задач, для которых невозможно получить
точное аналитическое решение, удовлетворяющее всем граничным условиям. Поэто-
му, в инженерных расчетах с учетом ползучести таких объектов применяют прибли-
женные методы решения. Во многих случаях для преодоления возникающих вычис-
лительных трудностей используют теории оболочек, которые позволяют упростить
постановку задачи и понизить размерность исходной краевой задачи. При этом реше-
ние конкретных задач основано на привлечении, как классической теории, так и раз-
личных уточненных теорий, учитывающих, например, деформации поперечного
сдвига. Анализ применимости классической и уточненных теорий в задачах упругого
деформирования оболочек, в том числе слоистых, дан в работе [5].
Одним из возможных вариантов исследования погрешностей теорий оболочек в
задачах ползучести цилиндров является сопоставление полученных на их основе ре-
шений с результатами решения пространственных задач. Оценке погрешности оболо-
чечных моделей в задачах ползучести, повреждаемости и длительной прочности од-
нослойных цилиндрических оболочек посвящены лишь отдельные работы. Так, в ста-
тье [4] на примере цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением,
проведено исследование применимости различных оболочечных моделей к определе-
79
нию НДС, ползучести и повреждаемости однослойных цилиндрических оболочек.
Решения для оболочек различной толщины, основанные на гипотезах прямолинейно-
го элемента либо гипотезах Кирхгофа – Лява, сопоставлены с решением пространст-
венной задачи для осесимметрично нагруженного цилиндра.
Следует отметить, что в литературе отсутствуют работы, посвященные обоснова-
нию применимости теории оболочек для исследования ползучести и прочности слоис-
тых цилиндров. В связи с этим целью данной работы является:
а) сопоставление результатов решения задачи ползучести и прочности слоистых
цилиндров, полученных в рамках пространственной и оболочечной постановок;
б) исследование влияния соотношения толщин слоев на отличие оболочечного
решения от пространственного;
в) разработка способа прогнозирования времени разрушения слоистых цилиндров
в условиях ползучести.
1. Постановка и метод решения начально-краевой задачи ползучести цилин-
дра на основе пространственной модели.
Рассмотрим круговой осесимметрично нагруженный полый слоистый цилиндр в
цилиндрической системе координат r z . Ось z совпадает с осью вращения. Ци-
линдр состоит из M изотропных слоев постоянной толщины, которые жестко соеди-
нены между собой и деформируются без проскальзывания и отрыва. Полагаем, что
деформирование в процессе ползучести происходит изотермически, деформации ци-
линдра остаются малыми, а температурными деформациями можно пренебречь.
Задачу решаем в геометрически линейной, квазистатической постановке и в пред-
положении, что в процессе деформирования пластические деформации не возникают.
Принимаем, что компоненты скоростей упругих деформаций e
ije и скоростей необра-
тимых деформаций ползучести ijp аддитивны:
e
ij ij ije p , 1,3i j .
В принятой системе координат имеем:
, , , , , ,rr rr rrr z t e r z t p r z t ; , , , , , ,zz zz zzr z t e r z t p r z t ;
, , , , , ,r z t e r z t p r z t ; , , , , , ,rz rz rzr z t e r z t p r z t .
Здесь и далее точка над символами означает полную производную по времени.
Согласно теории структурных параметров Ю.Н.Работнова [12] физические урав-
нения ползучести для материала k -го слоя, в общем случае представляются в виде
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1, , ,...,k k k k k
ij ij ij e np f q q , (1)
где ( )k
ijf – некоторая тензор-функция указанных аргументов; ij – компоненты тензо-
ра напряжений Коши; ( ) ( )
1 ,...,k k
nq q – структурные параметры, которые описывают уп-
рочнение материала, повреждаемость и т.д. Изменение структурных параметров опи-
сывается кинетическими уравнениями вида
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1, ,...,k k k k k
l l el nq g q q . (2)
В уравнениях (1), (2) ( ) ( ),k k
e el 1,l n – эквивалентные напряжения, которые со-
держат те или иные базовые инварианты тензора напряжений.
Краевая задача ползучести в момент времени 0t может быть сведена к вариа-
ционной задаче для функционала в форме Лагранжа, определенного в пространстве
векторов скоростей перемещений [24]
80
2
2 2
( )
2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2)
1 1 M 1 , , , ,2
1
, ,..., 0,5
k
kM
k k k k kr
r r z z r z z r
k
u
u u G u u
r
U U U
( ) ( ) ( )
, ,( ) ( ) ( )
, .2
k k k
r r r z zk k k
r r z z
u u u
u u rdrdz
r
(3)
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,
1
k
c kM
rk c k k c c k k k
r r rr z z zz rz r z z r
k
u N
u N u N N u u rdrdz
r
( )
( ) ( )
s
p
s s
n nP u P u d
.
Здесь ( ) ( )
( (, , ) , , , , , ) , ( 1, )k k
k r zU r z t u r z t u r z t k M – вектор кинематически возможных
скоростей перемещений; ( ) ( , , )k
ru r z t , ( ) ( , , )k
zu r z t – перемещения в k-м слое вдоль осей Оr
и Оz , соответственно;
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( )
, 2
(1 2 )(1 )
k k
k k k k
k k
E
G
,
( )
( )
( )2(1 )
k
k
k
E
G
,
( ) ( ),k kE – модуль Юнга и коэффициент Пуассона k-го слоя; 1 2 ... M –
меридиональное сечение цилиндра; p – часть контура , где приложены внеш-
ние силы, ,nP P – скорости нормальной и касательной составляющих внешних сил;
n , – внешняя нормаль и касательная к контуру ; s – номер слоя, к которому
приложены внешние силы; ( ) ( ) ( )s s s
n r r z zu u n u n , ( ) ( )s s
z r r zu u n u n ; ,r zn n – направ-
ляющие косинусы нормали n . Скорости «фиктивных» сил, обусловленных деформа-
циями ползучести, вычисляются по формулам:
( ) ( ) ( ) ( )
1
c k k k k
rr rr zzN p p p
; ( ) ( ) ( ) ( )
1
c k k k k
zz zz rrN p p p
;
( ) ( ) ( ) ( )
1
c k k k k
rr zzN p p p
; ( ) ( )2c k k
rz rzN Gp .
Скорости деформаций ползучести в функционале (3) предполагаются известными и
не варьируются.
Совокупность функций скоростей перемещений ( ) , , )k
ru r z t , ( ) , ,k
zu r z t может
быть выбрана в качестве класса допустимых функций, если они удовлетворяют сле-
дующим условиям:
a) они непрерывны вместе со своими частными производными в соответствую-
щих слоях 1,k k M ;
б) совпадают на границах соседних слоев, т.е.
( ) ( ), , , ,a b
r ru r z t u r z t , ( ) ( ), , , ,a b
z zu r z t u r z t на ab ;
в) удовлетворяют кинематическим граничным условиям, если соответствующий
слой l примыкает к границе тела, т.е.
( ) ( )
0, ,l l
r ru r z t u , ( ) ( )
0, ,l l
z zu r z t u на ul .
Здесь ( )
0
l
ru , ( )
0
l
zu – заданные функции.
Основные неизвестные задачи ползучести, в произвольной точке цилиндра, мож-
но получить из решения задачи Коши по времени для системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, которая для k -го слоя имеет вид
81
( )
( )
k
kr
r
du
u
dt
;
( )
( )
k
kz
z
du
u
dt
;
( )
( )
,
k
krr
r r
d
u
dt
;
{ )
( )
,
k
kzz
z z
d
u
dt
;
( ) ( )k k
r
d u
dt r
;
( ) ( )
( ) ( )
, ,2
k k
k krz rz
r z z r
d d
u u
dt dt
;
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
k
k k k k k k k krr
rr rr zz zz
d
p p p
dt
;
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
k
k k k k k k k kzz
zz zz rr rr
d
p p p
dt
;
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
k
k k k k k k k k
rr zz rr zz
d
p p p
dt
;
( )
( ) ( ) ( )2
k
k k krz
rz rz
d
G p
dt
; (4)
( )
( )
k
krr
rr
dp
p
dt
;
( )
( )
k
kzz
zz
dp
p
dt
;
( )
( )
k
k
dp
p
dt
;
( )
( )
k
krz
rz
dp
p
dt
;
k
kl
l
dq
q
dt
1,l n .
В начальный момент времени деформации ползучести и структурные параметры
равны нулю. Начальные условия для остальных неизвестных функций следуют из
решения задачи упругого деформирования цилиндра, удовлетворяющего заданным на
его поверхностях граничным условиям.
Решение начальной задачи для системы уравнений (4) проводим методом Рунґе –
Кутта – Мерсона (РКМ) [9] с автоматическим выбором шага по времени. Правые час-
ти уравнений в моменты времени, соответствующие схеме РКМ, определяем из реше-
ния вариационной задачи для функционала (3). Вариационные задачи решаем мето-
дом Ритца в сочетании с методом R-функций [14]. При этом приближенное решение
краевой задачи представляется в виде формулы – структуры решения, которая точно
удовлетворяет всем (общая структура решения) или части (частичная структура ре-
шения) граничным условиям и является инвариантной относительно геометрической
формы области.
Отметим, что для решения упругой задачи, при определении начальных условий
для уравнений (4), может быть использован приведенный выше функционал. При
этом в формуле (3) необходимо заменить производные функций по времени самими
функциями, а при вычислении «фиктивных» сил принять ( ) ( ) ( ) ( ) 0k k k k
rr zz rzp p p p .
2. Постановка и метод решения задачи на основе оболочечной теории.
Рассмотрим полый слоистый цилиндр в рамках уточненной теории оболочек, предпо-
лагая, что выполняются гипотезы прямолинейного элемента для всего пакета слоев [5]. В
соответствии с данными гипотезами связь между осевым zu и нормальным u перемеще-
ниями произвольной точки оболочки с соответствующими перемещениями точки коорди-
натной поверхности ,u w имеет вид
z zu u ; u w ; z zw , (5)
где – координата, которая отсчитывается по нормали к координатной поверхности;
,z z – соответственно, полный угол прямолинейного элемента и угол, обусловленный
поперечным сдвигом, соответственно (штрих означает производную по координате z ). В
качестве координатной поверхности может быть принята срединная поверхность оболочки
или одна из поверхностей раздела слоев.
Используя (5) и соотношения Коши, связь между компонентами тензора деформа-
ций в произвольной точке оболочки , ,zz z , компонентами деформации коорди-
82
натной поверхности ,z , параметром изменения ее кривизны z и углом сдвига z
представим в виде
zz z z ; / a ; 2 z z ;
z u ; /w R ; z z ; 1 /a R ,
(6)
где R – радиус координатной поверхности оболочки.
Компоненты напряжений в k -ом слое зависят от жесткостных коэффициентов
этого слоя ( )( ) ( )2
11 / (1 )kk kB E ; ( ) ( )2 ( )
12 11
k k kB B ; ( ) ( )
33 2k kB G и определяются равенства-
ми (индекс « k » для простоты опущен)
11 12
a
zz zz zzB B ; 12 11
a
zzB B ; 33
a
z z zB . (7)
Величины с индексом « a » означают дополнительные напряжения
11
a
zz zzB p p ; 11
a
zzB p p ; 33
a
z zB p ,
где , ,zz zp p p – компоненты деформаций ползучести, которые зависят от напряжений,
констант ползучести и параметра повреждаемости материала.
Переходя в (7) к усилиям и моментам, получим следующие физические уравнения, свя-
зывающие осевое zN , радиальное rN , окружное N усилия, соответствующие изгибаю-
щие моменты zM , M с компонентами деформации координатной поверхности:
00 01 10
a
z z z zN C C C N ; 01 02 11
a
z zN C C C N ;
10 11 20
a
z z z zM C C C M ; 11 12 21
a
z zM C C C M ; 33
a
r z rN C N ,
(8)
где
p
pq qC F b , 0,1, 2p q ; 33 33C F B a ; 0 11b B a ; 1 12b B ; 2 22 /b B a ;
z zzN F a ; z zM F a ; a a
z zzN F a ; a a
z zzM F a z ; (9)
1za ; r rzN F a ; a a
r zN F a ;
1
1
... (...)
i
i
M
i
F d
.
Уравнения равновесия в усилиях и моментах имеют вид
0z zN q ; / 0rN N R q ; 0z rM N , (10)
где ,zq q – приведенные к координатной поверхности распределенные поверхност-
ные нагрузки [5].
Совокупность геометрических (6), физических (8) и статических (10) уравнений
позволяет свести задачу ползучести для слоистой цилиндрической оболочки к числен-
ному интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида
( )P z Y Y f , , , , , ,r z z r z zN N M u u Y , (11)
где rN – осевое усилие; P z – матрица системы, зависящая от упругих констант
материала; f – вектор свободных членов, который зависит еще и от деформаций
ползучести и параметра повреждаемости. Решение системы уравнений (11) должно
удовлетворять граничным условиям на торцах цилиндра. Ненулевые элементы мат-
рицы P z и вектора f определяются равенствами
83
12 54 1 /p p R ; 13 64 2 /p p R ; 2
14 02 1 01 2 11( ) /p C C C R ;
31 46 1p p ; 41 331/p C ; 52 20 /p C ; 53 62 10 /p p C ; 63 00 /p C ;
1 1 2( ) /a a a
z zf N N M R q ; 2 zf q ; 4 33/a
zf Q C ; (12)
5 20 10( ) /a a
z zf C N C M ; 6 10 00( ) /a a
z zf C N C M
1 10 11 01 20( ) /C C C C ; 2 00 11 01 10( ) /C C C C ; 2
00 20 10C C C .
Входящие в (9) интегралы вычисляем численно на основании процедуры, сочетаю-
щей методы Симпсона и Ньютона. Как и в случае пространственной задачи решение
начальной задачи для системы уравнений (11) осуществляем методом РКМ с автомати-
ческим выбором шага по времени. На каждом временном шаге краевая задача (11) ре-
шается методом Рунге – Кутта с дискретной ортогонализацией по С.К.Годунову.
При анализе прочности слоистых оболочек возникает вопрос о достоверном опре-
делении касательных напряжений z . Особенно актуален этот вопрос в том случае,
когда слои сопрягаются посредством клеевых соединений, которые в расчетах, как
правило, не учитываются. Из (6) следует, что касательные напряжения, полученные
согласно (7), в общем случае не удовлетворяют граничным условиям на поверхностях
оболочки и условиям контакта смежных слоев. Существующие способы устранения
этих противоречий, в основном, базируются на задании нелинейного закона измене-
ния касательных напряжений по толщине оболочки. Эти способы хорошо апробиро-
ваны на задачах упругого деформирования слоистых оболочек [3, 5, 13]. В отличие от
этого в настоящей работе для определения касательных напряжений воспользуемся
методикой [19], основанной на численном интегрировании пространственных уравне-
ний равновесия в напряжениях. Полученные на ее основе касательные напряжения не
зависят от используемых уравнений состояния.
3. Пример расчета.
Проведем сопоставление результатов решений задачи ползучести для двухслой-
ного цилиндра, полученных как на основе пространственной постановки, так и в рам-
ках оболочечной теории. Геометрические размеры: длина 0,1мl , внутренний ради-
ус цилиндра 0,095мinnr , внешний – 0,105 мoutr . Толщины слоев будем варьиро-
вать. Внутренний слой цилиндра толщиной 1h выполнен из жаропрочного сплава на
основе никеля ЭИ437 (ХН77ТЮР), а наружный, толщиной 2h – из диоксида циркония,
стабилизированного иттрием (8YSZ). Данный керамический материал часто применяет-
ся для термобарьерных покрытий (thermal barrier coating – TBC). Температура цилиндра
постоянна: 800 CT . Модуль Юнга и коэффициент Пуассона сплава ЭИ437:
5
1 1,5285 10 МПаE ; 1 0,28 [15]; предел текучести – т 340 МПа . Упругие ха-
рактеристики материала 8YSZ равны: 5
2 21,539 10 МПа; 0, 27E [26]. Предел проч-
ности – 565 МПав [1]. На наружной поверхности outr r цилиндр нагружен давле-
нием P , изменяющимся вдоль оси цилиндра по закону 00,5 1 cos 2 /P P z l , где
0 37МПаP .
Закон одноосной ползучести сплава ЭИ437 имеет вид [12]
np At 19 1( 5,15 10 МПа чnA , 5, 23)n . (13)
Закон (13) описывает установившуюся ползучесть материала при отсутствии уп-
рочнения. Данный закон справедлив для многих сплавов при достаточно высоком
84
уровне температур и напряжений [12] и позволяет исследовать ползучесть в наиболее
«чистой» форме, исключив такие явления, как упрочнение материала и повреждае-
мость вследствие ползучести.
Определяющие уравнения ползучести примем в виде [12] 13 / 2( )n
kl i klp A s , где
i – интенсивность напряжений; kl kl kl kks – компоненты девиатора напря-
жений.
Предположим, что керамический материал наружного слоя деформируется при
отсутствии деформаций ползучести.
Граничные условия на торцах цилиндра 2z l примем в виде
( ) ( )0; 0 1, 2i i
r zzu i . (14)
На внутренней поверхности innr r цилиндра (1) 0rr , (1) 0rz ; на внешней по-
верхности outr r – цилиндра (2) 0rr P , (2) 0rz .
На границе контакта слоев cr r принимаем условия жесткого соединения:
(1) (2)
r ru u ; (1) (2)
z zu u . (15)
Можно показать, что структура решения, удовлетворяющая кинематическим гра-
ничным условиям для скоростей перемещений (14) и условиям (15) имеет такой вид:
2
1 1ri u uci iu ; 2
2 2zi uci iu z 1,2i . (16)
Здесь 1 2, ,i i i – неопределенные компоненты структуры решения [14];
u
2 21/ ( / 4) 0l l z – уравнение части границы, где заданы скорости перемеще-
ний. Уравнения подобластей 1 2, , из которых состоит меридиональное сечение
цилиндра 1 2 , имеют вид
2 2
0 0uci u ci u ci u ci 1,2i , (17)
где 0 – символ R-конъюнкции [14].
В формуле (17) функции uci удовлетворяют условиям: 0, / 1uci uci n на
i ( n – внешняя нормаль к i ) и 0uci внутри i , а 0ci 1, 2i – уравне-
ния контакта слоев ( 0, / 1ci ci n – на линии контакта и 0ci – внутри
i ), т.е. 1c cr r , 2c cr r .
Уравнение границы области ( 0 , , 1n на , 0 – внутри ) име-
ет вид 2 2
0 0r u r u r u , где [( )( )] / ( )r inn out out innr r r r r r .
При численной реализации неопределенные компоненты структуры решения
представлены в виде конечных рядов вида , , ,n n
n
r z t C t f r z , где nC t –
неопределенные коэффициенты, которые на каждом временном шаге определяем ме-
тодом Ритца; t – некоторый фиксированный момент временной дискретизации схемы
РКМ или дискретизации по времени для выдачи результатов расчета; { }nf – система
линейно независимых функций. Здесь в качестве { }nf использованы бикубические
сплайны Шенберга. Системы сплайнов строились на регулярной сетке r zK K , где
rK , zK – количество отрезков дискретизации вдоль осей Or и Oz , соответственно. В
данном случае 1 2, были заданы во всей области , а 1 2, 1, 2i i i – только
в соответствующих подобластях i . Решение задачи ползучести для цилиндра,
85
сформулированной в рамках пространственной постановки, получено при следующих
параметрах пространственно-временной дискретизации: 20rK , 10K z для
1 2, и 10rK , 10K z для 1 2,i i ; начальный шаг по времени 3
0 10 чt ;
заданная погрешность вычислений в методе РКМ – 610 .
При решении задачи в рамках теории оболочек рассмотрена правая симметричная
половина оболочки при 0 / 2z l . На меридианное сечение оболочки была нанесена
сетка, состоящая из 201 точки по z и 11 точек по толщине каждого слоя. Другие
параметры дискретизации принимали значения: 5
0 10 чt , 810 . Приведенных
выше параметров оказалось достаточно для получения сходящихся результатов, как в
пространственной, так и в оболочечной постановках.
Граничные условия в рамках теории оболочек формулируем в виде:
при 0z : 0r z zN u ; при / 2z l : 0z z rN M u .
Критерием определения времени разрушения t и окончания процесса решения
было выполнение в какой-либо точке пространственной дискретизации критерия наи-
больших нормальных напряжений [8]:
1 2 3max , , , (18)
где – предельное напряжение. В качестве могут быть выбраны: предел про-
порциональности пр , предел текучести т или предел прочности в .
Отношение толщины наружного слоя цилиндра к общей толщине 2h h варьи-
ровали в пределах от 1 20 до 1 3 (табл. 1).
Таблица 1
1 / 20 1 /10 1 / 6 1 / 5 1 / 4 1 / 3
3Dt , ч 433 502 609 680 820 1236
SHt , ч 373 435 545 617 762 1190
, % 13,9 13,3 10,5 9,2 7,07 3,7
В результате расчетов установлено, что в процессе деформирования во внутрен-
нем слое развиваются деформации ползучести и, как следствие, происходит релакса-
ция максимальных напряжений. Это приводит к увеличению абсолютных значений
напряжений в наружном слое и, в конечном итоге – к выполнению критерия (18) на
наружной поверхности в центре цилиндра:
1 2 3max , , в .
Т.е. в данном случае, в качестве предельного напряжения принят предел прочности ма-
териала 8YSZ – в . Это происходит во всех рассмотренных вариантах расчета.
В табл. 1 приведены значения критического времени t , полученные по про-
странственной модели 3Dt и на основе оболочечной модели SHt , а также зна-
чения отклонений 3 3
* * *( ) / 100%D SH Dt t t оболочечного решения от пространст-
венного. Из таблицы видно, что с ростом параметра указанное отклонение умень-
шается.
86
Некоторые результаты расчетов для 1 4 показаны на рис. 1 – 10. Кривые, со-
ответствующие пространственному решению помечены маркерами. На тех рисунках,
где оболочечное решение совпадает с пространственным, приведено лишь простран-
ственное решение.
На рис. 1 показаны графики изменения вдоль оси цилиндра прогиба w в началь-
ный момент времени 0t и в моменты разрушения *t t . На рис. 2 приведены гра-
фики изменения вдоль оси цилиндра на внутренней поверхности окружных деформа-
ций ползучести p в моменты *t t .
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0 1 2 3 4 5z .102, м
p
103
Рис. 2
-4
-3
-2
-1
0
0 1 2 3 4 5z .102, м
w .104, м
t=0
t=t*
Рис. 1
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
0 1 2 3 4 5z .102, м
МПа
t=0
t=t*
Рис. 3
-600
-500
-400
-300
-200
-100
9,50 9,75 10,00 10,25 10,50r.102, м
, MPa
t=t*
t=t*
t=0
Рис. 5
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
0 1 2 3 4 5z .102, м
МПа
t=t*
t=0
Рис. 4
0
5
10
15
20
9,50 9,75 10,00 10,25 10,50r.102, м
rz, MPa
t=t*
t=0
Рис. 6
87
На рис. 3 представлены аналогичные результаты для напряжений на внут-
ренней поверхности цилиндра, а на рис. 4 – на наружной поверхности. Рис. 5 иллюст-
рирует изменение по толщине напряжений в центре цилиндра, а рис. 6 – измене-
ние касательных напряжений zr в сечении z 0,025м. Изменение во времени вели-
чин, представленных на рис. 1 – 4, в центре цилиндра показано: прогиба w – на
рис. 7; деформаций ползучести p – на рис. 8; напряжений на внутренней по-
верхности – на рис. 9; напряжений на внешней поверхности – на рис. 10. Пред-
ставленные результаты свидетельствуют о высокой точности оболочечного решения
для 1 4 . С уменьшением параметра погрешность оболочечного решения уве-
личивается.
4. Способ прогнозирования времени разрушения при ползучести.
Анализ результатов (табл.1), показал, что зависимость времени разрушения *t от
параметра 2 1/ / (1 )h h хорошо аппроксимируется квадратичной функцией
вида
2
* 2 1 0t a a a . (19)
Для проверки этого утверждения из табл. 1 выберем три базовые значения времен
разрушения, например, при 1 /10;1/ 5;1/ 4 и определим коэффициенты представ-
ления (19) в пространственном (3D) и оболочечном (SH) случае. Эти коэффициенты по-
мещены в табл. 2. По полученным коэффициентам вычислим прогнозируемые значе-
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
0 200 400 600 800 1000 t , ч
w .104, м
Рис. 7
-300
-250
-200
-150
-100
0 200 400 600 800 1000 t , ч
, МПа
Рис. 9
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0 200 400 600 800 1000 t , ч
p*103
Рис. 8
-600
-550
-500
-450
-400
-350
-300
0 200 400 600 800 1000 t , ч
, МПа
Рис. 10
88
ния времени разрушения 3D
prt , SH
prt и соответствующие отклонения 3D , SH прогно-
зируемых значений от значений, вычисленных по прикладным программам, для
1 / 20;1/ 6;1/ 3 (табл. 3).
Таблица 2
0a 1a 2a
3D 409,4 634,2 1792,8
SH 343,1 612,3 1933,2
Таблица 3
1/20 1/6 1/3
3Dt , ч 433 609 1236
SHt , ч 373 545 1190
3D
prt , ч 448 608 1175
SH
prt , ч 381 543 1133
3 , %D -3,4 0,2 5,0
, %SH -2,1 0,4 4,8
Данные таблицы свидетельствуют о высокой точности предложенного способа
прогнозирования времени разрушения при ползучести: максимальная погрешность в
определении прогнозируемого времени разрушения составляет 5%.
Выводы.
1. Решена задача ползучести и прочности двухслойного цилиндра в рамках про-
странственной и оболочечной моделей при условии, что внутренний cлой работает в
условиях ползучести, а наружный деформируется упруго.
2. Получено хорошее согласование результатов пространственного и оболочечного
решений, как для параметров НДС, так и для времени разрушения. Показано, что при
уменьшении толщины наружного слоя погрешность оболочечного решения возрастает.
3. Разработан способ прогнозирования времени разрушения на основе аппрок-
симации зависимости времени разрушения от отношения толщин слоев квадратичной
функцией.
Р Е ЗЮМ Е . Отримано розв’язок задачі про напружено-деформований стан та міцність порож-
нистих шаруватих циліндрів і шаруватих циліндричних оболонок, що перебувають в умовах повзу-
чості. Розв’язок задачі для двошарових оболонок з різним співвідношенням товщини шарів, що базу-
ється на гіпотезі прямолінійного елемента, співставлено з просторовими розв’язками для осесимет-
рично навантажених порожнистих циліндрів. Метод розв’язання просторової початково-крайової
задачі повзучості базується на спільному застосуванні методів Рітца, R-функцій та Рунге– Кутта –
Мерсона для інтегрування за часом з автоматичним вибором часового кроку. В оболонковій постано-
вці вихідна початково-крайова задача також розв’язана за допомогою методу Рунге – Кутта – Мерсо-
на в комбінації з методом Рунге – Кутта і методом Годунова дискретної ортогоналізації для
розв’язання крайової задачі на кожному часовому кроці.
1. Брусенцов В.П. и др. Исследование прочности твердооксидных топливных элементов пластинчатой
формы // Твердооксидные топливные элементы: Сб. научн. статей. – Снежинск: РФ ЯЦ-
ВНИИТФ, 2003. – С. 233 – 240.
2. Бурлаков A.B., Львов Г.И., Морачковский О.К. Длительная прочность оболочек. – Харьков: Вища
шк., 1981. – 104 с.
3. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – М.: Наука, 1974. – 308с.
4. Галишин А.З., Склепус С.Н. Применение оболочечных моделей к расчету ползучести и повреждае-
мости полых цилиндров // Збірник наук. праць Дніпродзержинського держ. техніч. ун-ту.
– 2015. – Вип. 1(26). – C. 60 – 70.
89
5. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости. – К.: Наук. думка, 1981.
– 544 с. – (Методы расчета оболочек: в 5 т.; Т.4).
6. Гудрамович В. С. Теория ползучести и ее приложения к расчету элементов тонкостенных конст-
рукций. – К.: Наук. думка, 2005. – 221 с.
7. Золочевский А.А., Склепус А.Н., Склепус С.Н. Нелинейная механика деформируемого твердого
тела. – Харьков: «Бізнес Інвестор Групп», 2011. – 720 с.
8. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. – М.: Наука, 1974. – 312 с.
9. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы.– М.: Наука, 1977.– 399 с.
10. Локощенко А.М. Ползучесть и длительная прочность металлов. – М.: Физматлит, 2015. – 495 с.
11. Локощенко А.М., Печенина Н.Е., Шестериков С.А. Долговечность цилиндрических оболочек при
чистом изгибе в условиях ползучести // Прикл. математика и механика. – 1989. – 25, № 12.
– С. 73 – 78.
12. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.– М.: Наука, 1966. – 752 с.
13. Рассказов А.О., Соколовская И.И., Шульга Н.А. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и
оболочек. – К.: Вища шк., 1986. – 191с.
14. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. – К.: Наук. думка, 1982. – 552 с.
15. Шевченко Ю.Н., Бабешко М.Е., Терехов Р.Г. Термовязкоупруго-пластические процессы сложного
деформирования элементов конструкций. – К.: Наук. думка, 1992. – 329 с.
16. Altenbach H., Naumenko K. Shear correction factors in creep-damage analysis of beams, plates and
shells // JSME Int. J. Series A. – 2002. – 45, N 1. – P. 77 – 83.
17. Altenbach H., Morachkovsky K., Naumenko К., Sychov А. Zum Kriechen dunner Rotationsschalen unter
Einbeziehung geometrisher Nichtlinearitat sowie der Asymmetrie der Werkstoffeigenschaften // For-
schung im Ingenieurwesen. – 1996. – 62, N 3 – S. 47 – 57.
18. Galishin A., Zolochevsky А., Kühhorn A., Springmann M. Transversal shear effect in moderately thick
shells from materials with characteristics dependent on the kind of stress state under creep-damage
conditions: Numerical modeling // Techn. Mech. – 2009. – 29, N 1. – P. 48 – 59.
19. Galishin A.Z. Determination of Tangential Stresses in Axisymmetrically Loaded Layered Shells of
Revolution in Inelastic Nonisothermal Deformation Processes // Int. Appl. Mech. – 1993. – 29, N 8.
– P. 637 – 644.
20. Galishin A. Z. Axisymmetric Thermoviscoelastoplastic State of Thin Laminated Shells Made of a Dam-
ageable Material // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 4. – P. 431 – 441.
21. Naumenko K. On the use of the first order shear deformation models of beams, plates and shells in creep
lifetime estimations // Tech. Mech. – 2000. – 20, N 3. – P. 215 – 226.
22. Shevchenko Yu. N., Galishin A. Z. Determination of the axially symmetric geometrically nonlinear ther-
moviscoelastoplastic state of thin layered shells with regard for the damageability of the material // J. of
Mathematical Sciences.. – 2009. – 162, N 2. – P. 216 – 230.
23. Shevchenko Yu.N., Galishin A.Z., Babeshko M.E. Thermoviscoelastoplastic Deformation of Compound
Shells of Revolution Made of a Damageable Material // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 6. – P. 607 – 613.
24. Sklepus S. M. Solution of the Axisymmetric Problem of Creep and Damage for a Piecewise Homogene-
ous Body with an Arbitrary Shape of a Meridional Section // J. of Mathematical Sciences. – 2015. –
205, N 5. – P. 644 – 658.
25. Zolochevsky A., Sklepus S., Galishin A., Kühhorn A., Kober M. A comparison between the 3D and the
Kirchhoff – Love solutions for cylinders under creep-damage conditions // Techn. Mech. – 2014. – 34,
N 2. – P. 104 – 113.
26. Zolochevsky A., Galishin A., Sklepus S., Parkhomenko L., Gnitko V., Kühhorn A., Kober M., Leyens C.
Benchmark creep tests for thermal barrier coating // Вісник НТУ «ХПІ». – 2013. – N 23. – P.159 – 179.
Поступила 22.09.2016 Утверждена в печать 10.10.2017
|