Численное определение частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки
Данная статья посвящена численному определению динамических характеристик толстостенной цилиндрической оболочки и сравнению полученных результатов с данными, полученными ранее экспериментально. Проведен расчет частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки методом конечных э...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174158 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Численное определение частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки / А.Я. Григоренко, М.Ю. Борисенко, Е.В. Бойчук, А.П. Пригода // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 90-100. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174158 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1741582025-02-09T20:31:26Z Численное определение частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки Numerical Determination of Frequencies and Modes of Natural Oscillations of Thick-Walled Cylindrical Shell Григоренко, А.Я. Борисенко, М.Ю. Бойчук, Е.В. Пригода, А.П. Данная статья посвящена численному определению динамических характеристик толстостенной цилиндрической оболочки и сравнению полученных результатов с данными, полученными ранее экспериментально. Проведен расчет частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки методом конечных элементов, реализованным с помощью программного комплекса FEMAP. Чисельно визначено динамічні характеристики товстостінної циліндричної оболонки на основі методу скінченних елементів, який реалізовано за допомогою ліцензованого програмного комплексу FEMAP. Проведено порівняльний аналіз отриманих частот і форм вільних коливань з частотами і формами, які отримано раніше експериментальним методом стробоголографічної інтерферометрії. Отримано частотні коефіцієнти, які показують залежність власної частоти від фізико-механічних параметрів матеріалу. The dynamic characteristics of thick-walled isotropic cylindrical shell are determined numerically basing on the finite element method that is realized with the help of a licensed software package FEMAP. A comparative analysis of the obtained frequencies and modes of natural oscillations with frequencies and forms obtained previously experimentally by the stroboholographic interferometry method is carried out. The frequency coefficients are obtained that indicate the relationship between the natural frequency and the physico-mechanical parameters of the material. 2018 Article Численное определение частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки / А.Я. Григоренко, М.Ю. Борисенко, Е.В. Бойчук, А.П. Пригода // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 90-100. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174158 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Данная статья посвящена численному определению динамических характеристик толстостенной цилиндрической оболочки и сравнению полученных результатов с данными, полученными ранее экспериментально. Проведен расчет частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки методом конечных элементов, реализованным с помощью программного комплекса FEMAP. |
| format |
Article |
| author |
Григоренко, А.Я. Борисенко, М.Ю. Бойчук, Е.В. Пригода, А.П. |
| spellingShingle |
Григоренко, А.Я. Борисенко, М.Ю. Бойчук, Е.В. Пригода, А.П. Численное определение частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки Прикладная механика |
| author_facet |
Григоренко, А.Я. Борисенко, М.Ю. Бойчук, Е.В. Пригода, А.П. |
| author_sort |
Григоренко, А.Я. |
| title |
Численное определение частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки |
| title_short |
Численное определение частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки |
| title_full |
Численное определение частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки |
| title_fullStr |
Численное определение частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки |
| title_full_unstemmed |
Численное определение частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки |
| title_sort |
численное определение частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174158 |
| citation_txt |
Численное определение частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки / А.Я. Григоренко, М.Ю. Борисенко, Е.В. Бойчук, А.П. Пригода // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 90-100. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT grigorenkoaâ čislennoeopredeleniečastotiformsvobodnyhkolebaniitolstostennoicilindričeskoioboločki AT borisenkomû čislennoeopredeleniečastotiformsvobodnyhkolebaniitolstostennoicilindričeskoioboločki AT boičukev čislennoeopredeleniečastotiformsvobodnyhkolebaniitolstostennoicilindričeskoioboločki AT prigodaap čislennoeopredeleniečastotiformsvobodnyhkolebaniitolstostennoicilindričeskoioboločki AT grigorenkoaâ numericaldeterminationoffrequenciesandmodesofnaturaloscillationsofthickwalledcylindricalshell AT borisenkomû numericaldeterminationoffrequenciesandmodesofnaturaloscillationsofthickwalledcylindricalshell AT boičukev numericaldeterminationoffrequenciesandmodesofnaturaloscillationsofthickwalledcylindricalshell AT prigodaap numericaldeterminationoffrequenciesandmodesofnaturaloscillationsofthickwalledcylindricalshell |
| first_indexed |
2025-11-30T13:07:48Z |
| last_indexed |
2025-11-30T13:07:48Z |
| _version_ |
1850220813212450816 |
| fulltext |
2018 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 54, № 1
90 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 1
А .Я . Г р и г о р е н к о 1 , М .Ю . Б о р и с е н к о 2 ,
Е .В . Б о й ч у к 2 , А .П .Пр и г о д а 2
ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СВОБОДНЫХ
КОЛЕБАНИЙ ТОЛСТОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
1Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: ayagrigorenko@yandex.ua;
2Николаевский национальный университет им. В.А. Сухомлинского,
ул. Никольская, 24, 54000, Николаев, Украина; e-mail: maxborisenko530@mail.ru
Abstract. The dynamic characteristics of thick-walled isotropic cylindrical
shell are determined numerically basing on the finite element method that is realized with
the help of a licensed software package FEMAP. A comparative analysis of the obtained
frequencies and modes of natural oscillations with frequencies and forms obtained
previously experimentally by the stroboholographic interferometry method is carried out.
The frequency coefficients are obtained that indicate the relationship between the natural
frequency and the physico-mechanical parameters of the material.
Key words: natural frequencies, mode shapes, thick-walled cylindrical shell, finite ele-
ment method, stroboholographic interferometry method.
Введение.
Толстостенные цилиндрические оболочки широко применяются как в инженер-
ных конструкциях, так и в различных архитектурных сооружениях. Такие сооружения
часто поддаются динамическим нагрузкам разной природы, что может привести, в
результате резонанса, к разрушениям. Во избежание таких разрушений необходимо
владеть информацией о распределении их динамических характеристик, в частности,
о распределении частот и форм свободных колебаний. Решение данной задачи в тео-
рии тонких оболочек возможно с помощью различных теорий [3, 5 – 7, 10, 11, 13 –
18], однако в случае толстостенных цилиндрических оболочек становится не-
возможным применение большинства теорий, поскольку для проведения вычислений
в этом случае необходимо использовать пространственную теорию, что связано с
большими объемами вычислительного характера. Одним из вариантов решения этой
проблемы является использование системы автоматизированного конструирования
(computer-aided engineering – САЕ), которая дает возможность проводить расчет кон-
струкции любой формы на основе использования метода конечных элементов [1, 2, 8].
Также эту проблему можно решить, используя бесконтактный экспериментальный
метод стробоголографической интерферометрии, который дает возможность наблю-
дать интерференционные картины колебаний поверхности оболочки в реальном вре-
мени [4, 9, 12].
Данная статья посвящена численному определению динамических характеристик
толстостенной цилиндрической оболочки и сравнению полученных результатов с
данными, полученными ранее экспериментально [12].
Согласно [12], регистрация полученных колебательных форм осуществлялась
стробоголографическим методом. Оптическая схема установки представляет собой
обычную схему голографирования в сходящихся пучках. Объект экспериментального
91
исследования – консольная закреплённая толстостенная цилиндрическая оболочка
высотой 120 мм с внутренним диаметром 70 мм и наружным диаметром 90 мм. Обо-
лочка выточена из стали нацело с основанием, что обеспечило по нижнему краю вы-
полнение условий жёсткого защемления. По полученным экспериментальным дан-
ным построены зависимости резонансной частоты f от количества узлов n по окруж-
ной координате при фиксированном значении m числа узлов по образующей для из-
гибных форм и резонансной частоты от числа узлов m по образующей для «дышащих
форм». Также для сравнения приведены графики зависимости собственных частот коле-
бания оболочки в порядке возрастания частоты от их порядкового номера N, полученные
экспериментально и рассчитанные с помощью метода конечных элементов (МКЭ).
Отметим, что подобное сравнение результатов, полученных при помощи указанных
выше методов, было проведено в [4] для тонкостенной цилиндрической оболочки некруго-
вого поперечного сечения постоянной толщины, которое показало хорошую сходимость
полученных собственных частот.
Задача данного исследования состоит в расчете частот свободных колебаний тол-
стостенной цилиндрической оболочки МКЭ, который реализован с помощью лицен-
зированного программного комплекса FEMAP, а также в доказательстве возможности
применения предложенных двух методик к решению не только двумерной, но и трех-
мерной задачи динамики.
§1. Основные соотношения метода конечных элементов.
Динамические уравнения для МКЭ получим, если рассмотрим уравнения движе-
ния механической системы с конечным числом степеней свободы, которая описыва-
ется системой уравнений Лагранжа ІІ рода
, 1, 2, ... , .i
ii
d T T
Q i n
dt
(1.1)
Используя дискретную форму функционала кинетической энергии 0,5{ } { } ,T
i i iT M
уравнения Лагранжа (1.1) для оболочки при ее конечно-элементной аппроксимации с
учетом отсутствия внешних сил 0Q и демпфирования можно записать в виде
0M K , (1.2)
где M – матрица масс конструкции; K – матрица жесткости; – вектор узло-
вых смещений.
Решение уравнения (1.2) представим в виде
cosА t , (1.3)
где A – вектор амплитудных значений узловых перемещений, которые определяют
форму собственных колебаний; – цикличная частота; – фаза колебаний. После
подстановки (1.3) в (1.1) и сокращения на cos t , получим систему алгебраичес-
ких уравнений:
2 0M K A . (1.4)
В этой системе ненулевые значения компонентов А возможны только при условии
2det 0K M . (1.5)
Если квадратные матрицы M и K – положительно определены, то характе-
ристические уравнения (1.5) имеют N положительных решений – собственных час-
92
тот k , при этом возможны парные значения ( N – количество неизвестных в системе
алгебраических уравнений (1.4)). N значений собственных частот k позволяет реше-
ние системы (1.4) представить в виде линейной комбинации из N выражений (1.3), т.е.
1
cos
N
k k k
k
А t
. (1.6)
Как правило, определяют не все корни уравнения (1.5), а несколько наименьших
значений, поскольку только при нижних собственных частотах их амплитуды колеба-
ний имеют относительно большие значения.
Каждому значению k соответствует определенное соотношение между ампли-
тудами kiА , т.е. все амплитуды вектора могут быть выражены через одну из них. Со-
отношения между амплитудами kiА определяют k -тую собственную форму колеба-
ний. Все степени свободы в процессе колебаний с собственной частотой k соверша-
ют синхронное движение. Таким образом, конфигурация конструкции не меняет сво-
ей базисной формы, а меняются только амплитуды.
Изменение формы линейной упругой конструкции со временем, когда она сво-
бодно колеблется или совершает вынужденные колебания, является комбинацией
всех ее собственных форм.
Поскольку величина компонентов собственных векторов kА может быть опре-
делена неоднозначно, а с точностью до постоянного множителя, то необходимо их
нормировать согласно правилу:
1
T
k kA M A . (1.7)
Для решения характеристического уравнения рационально использовать, как ос-
новной, метод Ланцоша (Lanczos), что позволит затратить меньше ресурсов в сравне-
нии с остальными методами.
§2. Построение расчетной модели.
С помощью FEMAP была построена геометрия оболочки в виде цилиндрической
поверхности кругового сечения. Параметры моделирования выбраны в соответствии с
формой и размерами оболочки, которую исследовали на частоты и формы свободных
колебаний методом стробоголографической интерферометрии [12]. Для реализации
жёсткого закрепления по контуру при экспериментальных исследованиях оболочка 1
выточена вместе с массивным телом 2 (рис. 1). Поскольку метод стробоголографиче-
ской интерферометрии показал нулевые перемещения на стыке оболочки и массивно-
Рис. 1
Рис. 2
93
го тела, то при расчете с помощью FEMAP можно моделировать оболочку консольно
защемленной по одному из контуров: 0x y zu v w . Так как оболочка
является толстостенной с отношением толщины оболочки к радиусу ее серединной поверх-
ности / 1 / 4d R , то разбивку рационально проводить кубическими solid-элементами раз-
мером 2 мм (рис. 2).
Для созданной конечноэлементной модели производился анализ частот и форм
свободных колебаний с помощью решателя Nastran.
§3. Результаты численных расчетов.
Частоты свободных колебаний для толстостенной цилиндрической оболочки кру-
гового поперечного сечения из стали (модуль Юнга 212ГПаE , коэффициент Пуас-
сона 0,3 , плотность 37800кг м ), рассчитанные числено с помощью програм-
мы FEMAP, а также полученные экспериментально [12], приведены в табл. 1 и в виде
гистограммы собственных частот (рис. 3).
Форма колебаний 1m , 12n , полученная экспериментально (слева) [12] и численно
(справа), представлена на рис. 4.
f = 40150 Гц f = 41647 Гц
Рис. 4
Форма колебаний 2m , 8n , полученная экспериментально (слева) [12] и численно
(справа), представлена на рис. 5.
Таблица 1
m n fексп., Гц, [9] fчис. Гц ε, %
1 12 40150 41647 3,7
2 8 21440 22577 5,3
3 12 45450 47294 4,1
4 12 50620 52712 4,1
5 12 57430 59615 3,8
2 0 21080 22779 8,1
4 0 25550 25986 1,7
5 0 32000 34519 7,9
7 0 51490 54773 6,4
Рис. 3
94
f = 21440 Гц f = 22577 Гц
Рис. 5
Форма колебаний 3m , 12n , полученная экспериментально (слева) [12] и численно
(справа), представлена на рис. 6.
f = 45450 Гц f = 47294 Гц
Рис. 6
Форма колебаний 4m , 12n , полученная экспериментально (слева) [12] и численно
(справа), представлена на рис. 7.
f = 50620 Гц f = 52712 Гц
Рис. 7
95
Форма колебаний 5m , 12n , полученная экспериментально (слева) [12] и численно
(справа), представлена на рис. 8.
f = 57430 Гц f = 59615Гц
Рис. 8
Форма колебаний 2m , 0n , полученная экспериментально (слева) [12] и численно
(справа), представлена на рис. 9.
f = 21080 Гц f = 22779 Гц
Рис. 9
Форма колебаний 4m , 0n , полученная экспериментально (слева) [12] и численно
(справа), представлена на рис. 10.
f = 25550 Гц f = 25986 Гц
Рис. 10
Форма колебаний 5m , 0n , полученная экспериментально (слева) [12] и численно
(справа), представлена на рис. 11.
96
f = 32000 Гц f = 34519 Гц
Рис. 11
Форма колебаний 7m , 0n , полученная экспериментально (слева) [12] и численно
(справа), представлена на рис. 12.
f = 51490 Гц f = 54773 Гц
Рис. 12
Также проведен расчет на собственные частоты толстостенной оболочки выбранной
геометрии при других физико-механических параметрах. В качестве материалов, кроме
стали, выбраны: алюминий ( 71ГПаE , 0,34 , 32710кг м ), медь ( 110ГПаE ,
0,35 , 38920кг м ), полиэтилен ( 2,56ГПаE , 0,32 , 3936кг м ) и ре-
зина ( 0,003ГПаE , 0, 49 , 31200кг м ). Полученные частоты приведены в
сравнительной табл. 2 и в виде частотных кривых (рис. 13).
Таблица 2
M n ,стальf Гц . ,алюмf Гц . ,медьf Гц . ,полиэтf Гц ,резинаf Гц
1 4 4616,49 4549,79 3130,55 1468,07 37,48
1 6 11275,46 11122,38 7656,98 3587,07 91,76
1 8 20136,58 19851,28 13659,98 6404,88 162,84
1 10 30403,43 29942,67 20589,18 9664,13 243,80
1 12 41662,57 40985,84 28160,46 13233,36 331,17
1 14 53516,70 52590,58 36106,09 16986,53 421,94
2 4 9282,95 9120,95 6262,83 2946,05 73,90
2 6 14224,49 14017,19 9644,91 4522,99 115,88
2 8 22577,12 22253,18 15313,98 7180,02 184,10
2 10 32565,76 32081,85 22069,49 10353,10 264,38
2 12 43609,10 42927,69 29514,34 13856,81 351,90
2 14 55322,21 54380,57 37367,02 17558,67 443,35
97
Рис. 13
Для представления зависимости собственной частоты от физико-механических
свойств материала введем частотный коэффициент [1], который будет показывать
отношение частоты оболочки эталонного материала (стали) к частоте оболочки любо-
го другого изотропного материала . . . . ./и м ст и мf f . Частотные коэффициенты для че-
тырёх рассмотренных изотропных материалов приведены в табл. 3.
Таблица 3
m n .алюм .медь .полиэт резина
1 4 1,01 1,47 3,14 123,17
1 6 1,01 1,47 3,14 122,88
1 8 1,01 1,47 3,14 123,66
1 10 1,02 1,48 3,15 124,71
1 12 1,02 1,48 3,15 125,80
1 14 1,02 1,48 3,15 126,83
2 4 1,02 1,48 3,15 125,62
2 6 1,01 1,47 3,14 122,75
2 8 1,01 1,47 3,14 122,64
2 10 1,02 1,48 3,15 123,18
2 12 1,02 1,48 3,15 123,92
2 14 1,02 1,48 3,15 124,78
98
Первые шесть форм свободных колебаний при 1m толстостенной стальной
оболочки представлены на рис. 14; для визуализации перемещения точек оболочки
показаны в пятикратном увеличении.
1; 4m n 1; 6m n 1; 8m n
1; 10m n 1; 12m n 1; 14m n
Рис. 14
Первые шесть форм свободных колебаний при 2m толстостенной стальной
оболочки представлены на рис. 15; для визуализации перемещения точек оболочки
показаны в пятикратном увеличении.
2; 4m n 2; 6m n 2; 8m n
2; 10m n 2; 12m n 2; 14m n
Рис. 15
99
Заключение.
Проведен расчет частот и форм свободных колебаний толстостенной цилиндриче-
ской оболочки методом конечных элементов, реализованным с помощью программ-
ного комплекса FEMAP.
Полученные численно частоты и формы свободных колебаний рассмотренной
толстостенной оболочки в сравнении с результатами проведенных ранее эксперимен-
тальных исследований [12] дают возможность сделать ряд выводов:
наблюдается малое отклонение между экспериментально определенными часто-
тами и частотами, рассчитанными численно, которое не превышает 8,5%, что свиде-
тельствует о справедливости применения обоих методов;
реализованный численный расчет показал лучшую сходимость результатов с экспе-
риментальными результатами по сравнению с предложенным численным расчетом в
[12], что свидетельствует о большей эффективности выбранного численного подхода;
порядок появления форм колебаний при численных расчетах и эксперименталь-
ном исследовании – одинаковый.
Введены частотные коэффициенты, которые показывают зависимость собствен-
ной частоты от физико-механических параметров материала. Отметим, что аналогич-
ные коэффициенты были получены в [4] для тонкостенной цилиндрической оболочки
некругового поперечного сечения постоянной толщины из алюминия и меди, что
также является подтверждением правильности численных расчетов.
Обобщая результаты данного исследования можно сделать вывод о справедливо-
сти применения рассмотренных двух методик к решению не только двумерной, но и
трехмерной задачи динамики.
Р Е ЗЮМ Е . Чисельно визначено динамічні характеристики товстостінної циліндричної обо-
лонки на основі методу скінченних елементів, який реалізовано за допомогою ліцензованого програ-
много комплексу FEMAP. Проведено порівняльний аналіз отриманих частот і форм вільних коливань
з частотами і формами, які отримано раніше експериментальним методом стробоголографічної ін-
терферометрії. Отримано частотні коефіцієнти, які показують залежність власної частоти від фізико-
механічних параметрів матеріалу.
1. Будак В.Д., Григоренко О.Я., Борисенко М.Ю., Бойчук О.В. Вільні коливання еліптичної оболонки
змінної товщини // Вісник Київськ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка, серія: «Математика. Ме-
ханіка». – 2014. – 32, № 2. – С. 32 – 37.
2. Будак В.Д., Григоренко О.Я., Борисенко М..Ю., Бойчук О.В. Вплив ексцентриситету еліптичної оболонки
на розподіл її динамічних характеристик // Вісник Київськ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка, серія:
«Фізико-математичні науки». – 2015. – 2. – С. 23 – 28.
3. Будак В.Д., Григоренко О.Я., Борисенко М.Ю., Бойчук О.В. Про вільні коливання циліндричних
оболонок кругового та некругового поперечного перерізу при різних граничних умовах // Вісник
Запорізького нац. ун-ту, серія: «Фізико-математичні науки». – 2015. – № 2. – С. 20 – 28.
4. Будак В.Д., Григоренко О.Я., Борисенко М.Ю., Пригода О.П., Бойчук О.В. Визначення власних
частот тонкостінної оболонки некругового поперечного перерізу методом стробоголографічної
інтерферометрії // Проблемы вычислительной механики и прочности конструкций. – 2015. –
№ 24. – С. 18 – 25.
5. Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л. Применение метода сплайн-аппроксимации для решения задач об
осесимметричных свободных колебаниях толстостенных ортотропных цилиндров // Прикл. ме-
ханика. – 2008. – 44, № 10. – С. 74 – 85.
6. Arnold R.N., Warburton. G.B. The flexural vibration of thin cylinders // Proc. Inst.Mech.Engrs. – 1953. –
167 A, N 1. – P. 62 – 80.
7. Baron M.L., Bleich H.H. Tables for frequencies and modes of free vibration of infinitely long thin cylin-
drical shells // J. Appl. Mech. – 1954. – 21, N 2. – P. 178 – 188.
8. Budak V.D., Grigorenko A.Ya., Borisenko M.Yu., Boychuk E.V. Determination of eigenfrequencies of an
elliptic shell with constant thickness by the finite-element method // J. of Mathematical Sci. – 2016. –
212, N 2. – P. 182 – 192.
100
9. Budak V.D., Grigorenko A.Ya., Khorishko V.V., Borisenko M.Yu. Holographic Interferometry Study of the
Free Vibrations of Cylindrical Shells of Constant and Variable Thickness // Int. Appl. Mech. – 2014. –
50, N 1. – P. 68 –74.
10. Greenspon J.F. Vibration of thick cylindrical shells // J. Acoust. Soc. Amer. – 1959. – 31, N 12. –
P. 1682 – 1683.
11. Grigorenko Ya.M., Rozhok L.S. Solving the Stress Problem for Hollow Cylinders with Corrugated Ellip-
tical Cross Section // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 2. – P. 169 – 175.
12. Grigorenko A., Zolotoi Yu., Prigoda A., Zhuk I., Khorishko V., Ovcharenko A. Experimental investiga-
tion of natural vibrations of a thick-walled cylindrical shell by the method of holographic interferome-
try // J. of Mathematical Sci. – 2013. – 194, N 3. – P. 239 – 244.
13. Leissa A.W. Vibration of Shells // NASA SP-288: US Government Printing Office, Washington DC,
1973. – 438 p.
14. Markus S. The mechanics of vibrations of cylindrical shells. – Amsterdam: Elsevier, 1988. – 159 p.
15. Mazch T. [et al.] Natural modes and frequencies of a thin clamped–free steel cylindrical storage tank
partially filled with water: FEM and measurement // J. Sound Vib. – 1996. – 193, N 3. – P. 669 – 690.
16. Pellicano F. Linear and Nonlinear vibration of shells // Proc. 2nd Int. Conference on Nonlinear Normal
Modes and Localization in Vibration Systems, Samos, June 19 – 23, 2006. – P. 1 – 12.
17. Stricklin J.A. [et al.] Honlinear Dynamic Analysis of Shells of Revolution by Matrix Displacement
Method // AIAA J. – 1971. – 9, N 4. – P. 629 – 636.
18. Yu Y.Y. Free vibration of thin cylindrical shells having finite length with freely supported and clamped
edges // J. Appl. Mech. – 1955. – 22, N 4. – P. 547 – 552.
Поступила 27.07.2016 Утверждена в печать 10.10.2017
|