Динамика трехслойной цилиндрической оболочки эллиптического сечения с поперечным дискретным ребристым заполнителем
В работе дана постановка задачи о вынужденных колебаниях трехслойных цилиндрических оболочек эллиптического сечения с поперечным дискретным наполнителем при действии нестационарной нагрузки. Развит численный алгоритм решения данного класса задач. Приведены результаты расчетов и проведен количественн...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174168 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамика трехслойной цилиндрической оболочки эллиптического сечения с поперечным дискретным ребристым заполнителем / В.Ф. Mейш, Ю.А. Mейш, А.В. Павлюк // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 61-69. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174168 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1741682025-02-09T10:16:22Z Динамика трехслойной цилиндрической оболочки эллиптического сечения с поперечным дискретным ребристым заполнителем Dynamics of Three-Layered Cylindrical Shell of Elliptic Cross-Section with Transverse Discrete Filler Mейш, В.Ф. Mейш, Ю.А. Павлюк, А.В. В работе дана постановка задачи о вынужденных колебаниях трехслойных цилиндрических оболочек эллиптического сечения с поперечным дискретным наполнителем при действии нестационарной нагрузки. Развит численный алгоритм решения данного класса задач. Приведены результаты расчетов и проведен количественный и качественный анализ полученных данных. Отримано рівняння коливань тришарових циліндричних оболонок еліптичного перерізу з дискретним наповнювачем при нестаціонарному навантаженні. При розгляді елементів пружної структури використано моделі теорії оболонок і стержнів згідно з теорією оболонок Тимошенка. Чисельний метод розв’язування динамічних рівнянь базується на застосуванні інтегроінтерполяційного методу побудови скінчено-різницевих схем для рівнянь з розривними коефіцієнтами. Дано розв’язок задачі про динамічну поведінку тришарової циліндричної оболонки еліптичного перерізу з врахуванням дискретності поперечного ребристого заповнювача. Числові результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз. The equations of non-axisymmetric vibrations of three-layered cylindrical shells with an elliptical cross section with transverse discrete filler under non-stationary loading are given. When the elements of elastic structure being analyzing, the refined Timoshenko’s type model of shells and rods is used. The numerical method of solving the dynamic equations is based on the integro-interpolation method of constructing the finitedifference schemes for equations with discontinuous coefficients. A solution is given for the problem on dynamic behavior of the three-layered cylindrical shell with elliptic cross section with taking into account of discreteness of transverse ribbed filler for the case of the distributed non-stationary loading. The numerical results are proposed in the form of plots that are later analysed. 2018 Article Динамика трехслойной цилиндрической оболочки эллиптического сечения с поперечным дискретным ребристым заполнителем / В.Ф. Mейш, Ю.А. Mейш, А.В. Павлюк // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 61-69. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174168 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе дана постановка задачи о вынужденных колебаниях трехслойных цилиндрических оболочек эллиптического сечения с поперечным дискретным наполнителем при действии нестационарной нагрузки. Развит численный алгоритм решения данного класса задач. Приведены результаты расчетов и проведен количественный и качественный анализ полученных данных. |
| format |
Article |
| author |
Mейш, В.Ф. Mейш, Ю.А. Павлюк, А.В. |
| spellingShingle |
Mейш, В.Ф. Mейш, Ю.А. Павлюк, А.В. Динамика трехслойной цилиндрической оболочки эллиптического сечения с поперечным дискретным ребристым заполнителем Прикладная механика |
| author_facet |
Mейш, В.Ф. Mейш, Ю.А. Павлюк, А.В. |
| author_sort |
Mейш, В.Ф. |
| title |
Динамика трехслойной цилиндрической оболочки эллиптического сечения с поперечным дискретным ребристым заполнителем |
| title_short |
Динамика трехслойной цилиндрической оболочки эллиптического сечения с поперечным дискретным ребристым заполнителем |
| title_full |
Динамика трехслойной цилиндрической оболочки эллиптического сечения с поперечным дискретным ребристым заполнителем |
| title_fullStr |
Динамика трехслойной цилиндрической оболочки эллиптического сечения с поперечным дискретным ребристым заполнителем |
| title_full_unstemmed |
Динамика трехслойной цилиндрической оболочки эллиптического сечения с поперечным дискретным ребристым заполнителем |
| title_sort |
динамика трехслойной цилиндрической оболочки эллиптического сечения с поперечным дискретным ребристым заполнителем |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174168 |
| citation_txt |
Динамика трехслойной цилиндрической оболочки эллиптического сечения с поперечным дискретным ребристым заполнителем / В.Ф. Mейш, Ю.А. Mейш, А.В. Павлюк // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 61-69. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT mejšvf dinamikatrehslojnojcilindričeskojoboločkiélliptičeskogosečeniâspoperečnymdiskretnymrebristymzapolnitelem AT mejšûa dinamikatrehslojnojcilindričeskojoboločkiélliptičeskogosečeniâspoperečnymdiskretnymrebristymzapolnitelem AT pavlûkav dinamikatrehslojnojcilindričeskojoboločkiélliptičeskogosečeniâspoperečnymdiskretnymrebristymzapolnitelem AT mejšvf dynamicsofthreelayeredcylindricalshellofellipticcrosssectionwithtransversediscretefiller AT mejšûa dynamicsofthreelayeredcylindricalshellofellipticcrosssectionwithtransversediscretefiller AT pavlûkav dynamicsofthreelayeredcylindricalshellofellipticcrosssectionwithtransversediscretefiller |
| first_indexed |
2025-11-25T19:27:48Z |
| last_indexed |
2025-11-25T19:27:48Z |
| _version_ |
1849791768081465344 |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 2
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 2 61
В . Ф . М е й ш , Ю . А . М е й ш , А . В . П а в л ю к
ДИНАМИКА ТРЕХСЛОЙНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ С ПОПЕРЕЧНЫМ ДИСКРЕТНЫМ
РЕБРИСТЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ;
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e – mail: desc@inmech.kiev.ua
Abstract. The equations of non-axisymmetric vibrations of three-layered cylindrical
shells with an elliptical cross section with transverse discrete filler under non-stationary
loading are given. When the elements of elastic structure being analyzing, the refined Timo-
shenko’s type model of shells and rods is used. The numerical method of solving the dy-
namic equations is based on the integro-interpolation method of constructing the finite-
difference schemes for equations with discontinuous coefficients. A solution is given for the
problem on dynamic behavior of the three-layered cylindrical shell with elliptic cross sec-
tion with taking into account of discreteness of transverse ribbed filler for the case of the
distributed non-stationary loading. The numerical results are proposed in the form of plots
that are later analysed.
Key words: three-layered cylindrical shell, elliptic cross section, the theory of Timo-
shenko type, forced vibrations, numerical solution.
Введение.
Решение задач динамики трехслойных цилиндрических оболочек с дискретным
ребристым наполнителем является достаточно сложным теоретическим и вычисли-
тельным процессом. Он включает: развитие исходных теоретических моделей, поста-
новку задач, выбор определенного численного алгоритма и т.д. Реализация этих мо-
делей вызывает необходимость совершенствования и разработки эффективных чис-
ленных методов расчета указанных конструкций. Сложность построения механиче-
ских моделей многослойных оболочек и применение принципиально разных кинема-
тических и статических гипотез приводит к значительному разнообразию расчетных
схем и уравнений [1, 3 – 5, 6 – 23]. Известно, что при построении вариантов много-
слойных оболочек существует два основных подхода построения математических
моделей, которые основаны на использовании единых гипотез ко всему пакету [3, 5],
и гипотез, которые учитывают кинематические и статические особенности каждого
слоя [1, 6, 12]. Согласно терминологии, предложенной в [3, 6], модели и теории вто-
рого подхода получили название «дискретно-структурных». При рассмотрении трех-
слойных оболочек с ребристым наполнителем также справедливы указанные подходы
– конструктивно-ортотропная модель трехслойных оболочек и модель с учетом дис-
кретного расположения элементов заполнителя. В рамках последнего подхода рас-
смотрены осесимметричные и неосесимметричные колебания трехслойных оболочек
с ребристым наполнителем при нестационарных нагрузках [11, 13]. Неосесимметрич-
ные колебания трехслойных цилиндрических оболочек эллиптического сечения с уче-
том продольного дискретного ребристого наполнителя при распределенных нестаци-
онарных нагрузках исследованы в работе [12].
В данной работе рассмотрены трехслойные цилиндрические оболочки эллиптиче-
ского поперечного сечения с учетом поперечного дискретного ребристого наполните-
62
ля. Очевидно, что оболочки с учетом дискретности наполнителя можно отнести ко
второму подходу построения моделей многослойных оболочек. В рамках предполо-
жений, соответствующих гипотезам Тимошенко для оболочек и стержней, согласно
геометрически линейной теории ниже приведены уравнения колебаний. Для решения
поставленной задачи использована явная конечно-разностная схема интегрирования
уравнений. Представлен числовой пример решения задачи о вынужденных неосесим-
метричных колебаниях указанной неоднородной оболочечной структуры при дей-
ствии распределенной нестационарной нагрузки.
§1. Постановка задачи. Основные уравнения.
Рассмотрим трехслойную цилиндриче-
скую оболочку эллиптического сечения с
дискретным поперечным заполнителем при
действии внутреннего распределенного не-
стационарного нагружения. Неоднородная
трехслойная упругая структура имеет вид
двух цилиндрических оболочек (внутренняя
и внешняя обшивки), которые жестко со-
единены между собой системой поперечных
дискретных ребер. Схематическое пред-
ставление исходной конструкции показано
на рис. 1.
Коэффициенты первой квадратичной формы и кривизны координатной поверхно-
сти исходных оболочек принимаем в таком виде:
1 1A ; 1 0k ; 2 2 2 2 1/2
2 2 2( cos sin )k kA a b ;
(1.1)
2 2 2 2 3/2
2 2 2( cos sin ) ( 1, 2),k k k kk a b a b k
где ka и kb – полуоси эллипса, который характеризует поперечное сечение соответ-
ствующей цилиндрической оболочки.
Принято, что деформированное состояние внутренней и внешней обшивок (соот-
ветственно, индексы 1 и 2) может быть определено обобщенными векторами переме-
щений соответствующих срединных поверхностей 1 1 1 1 1
1 1 2 3 1 2( , , , , ) TU u u u и 2U
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2( , , , , ) Tu u u . При рассмотрении элементов дискретного наполнителя пред-
полагаем что деформированное состояние поперечного j-го ребра может быть опреде-
лено обобщенным вектором перемещений 1 2 3 1 2( , , , , ) T
j j j j j jU u u u .
Для вывода уравнений колебаний трехслойной упругой структуры с дискретным
наполнителем используем вариационный принцип стационарности Гамильтона –
Остроградского, согласно которому
2
1
( ) 0,
t
t
K A dt (1.2)
где K и – полная кинетическая и потенциальная энергии упругой системы; A –
работа внешних сил.
В уравнениях (1.2) принято:
2
1 1
I
k
j
k j
;
2
1 1
I
k
j
k j
, (1.3)
где k , j – потенциальная энергия k-й обшивки и соответствующего j-го ребра;
k , j – соответствующие кинетические энергии.
Рис. 1
63
После стандартных преобразований в вариационном уравнении (1.2) с учетом вы-
ражений для потенциальной и кинетической энергий для обшивок и ребер согласно
[2] получены две группы уравнений. Уравнения колебаний трехслойной цилиндриче-
ской оболочки эллиптического сечения с учетом дискретности поперечного заполни-
теля принимают вид:
для внутренней и внешней обшивок –
2
11 1
2
1 2
;
k k k
k k
T S u
h
s s t
2
22 2
2 23 2
1 2
;
k k k
k
k k
S T u
k T h
s s t
2
13 23 3
2 22 3 1 2 2
1 2
( , , ) ;
k k k
k k
k k
T T u
k T P s s t h
s s t
(1.4)
3 2
11 1
13 2
1 2
;
12
k kk
k k
k
hM H
T
s s t
3 2
22 2
23 2
1 2
; 1, 2;
12
k kk
k k
k
hMH
T k
s s t
для j-го поперечного ребра –
2
21 1
11 2
2
j j
j jj
T u
T F
s t
;
2
22 2
2 23 2
2
j j
j j j jj
T u
k T S F
s t
;
2
23 3
2 22 13 2
2
j j
j j j jj
T u
k T T F
s t
; (1.5)
2
21 1
11 2
2
j j
j crjj
M
M I
s t
;
2
22 2
23 2
2
j j
j j jj
M
T H F
s t
.
В соотношениях (1.5) величины типа 22 23[ ] , [ ] , [ ] ,j j jS T T 22[ ] , [ ]j jH M соответ-
ствуют суммарным значениям усилий – моментов для внешней и внутренней обши-
вок, которые действуют на j-й дискретный элемент заполнителя.
Системы уравнений (1.4) – (1.5) связаны между собой кинематическими условия-
ми контакта обобщенных векторов перемещений срединной поверхности обшивок и
центров тяжести поперечного сечения j-го дискретного элемента согласно формулам:
1 2 2 1 2 2 1 2( ) ( , ) ( , );k k k
j j j ju s u s s H s s
2 2 1 1 2 1 1 2( ) ( , ) ( , );k k k
j j j ju s u s s H s s
3 2 3 1 2( ) ( , );k
j ju s u s s 1 2 2 1 2( ) ( , );k
j js s s (1.6)
2 2 1 1 2( ) ( , );k
j js s s 0,5( )k
j k jH h h ; 1, 2k .
В соотношениях (1.4) – (1.6) величины ( 1, 2)k k , ( 1, )j j I отвечают плот-
ностям материала обшивок и соответствующих дискретных элементов заполнителя;
( 1, 2)kh k , ( 1, )jh j I – толщины и высоты соответствующих обшивок и дискрет-
ных элементов.
Величины усилий – моментов обшивок определены через величины деформаций
согласно формулам
11 11 11 21 22 22 22 22 12 11( ); ( );k k k k k k k k k kT B T B
64
13 13 13 12 12; ;k k k k kT B S B 12 12 ;k kH D (1.7)
11 11 11 21 22 22 22 22 12 11( ); ( )k k k k k k k k k kM D M D ,
а величины деформаций определяются через компоненты обобщенных векторов пе-
ремещений срединных поверхностей обшивок согласно равенствам
1 2
11 22 2 3
1 2
; ;
k k
k k ku u
k u
s s
2 1
12
1 2
;
k k
k u u
s s
13 1 1 23 2 2; ;k k k k k k
(1.8)
3 3
1 2 2 2
1 2
; ;
k k
k k ku u
k u
s s
1 2 2 1
11 22 12
1 2 1 2
; ;
k k k k
k k k
s s s s
.
Для усилий – моментов поперечных дискретных элементов заполнителя, связь с
соответствующими деформациями, выражается формулами
22 22 21 21; ;j j j j j j j jT E F T G F 23 23 ;j j j jT G F
(1.9)
22 2 22 21 21; ,j j j j j j krj jM E I M G I
где приняты обозначения
2
22 ;j
j
u
y
1
21 23 2 2; ;j
j j j j
u
y
(1.10)
1 3 2
1 2; ;j j j
j j
j
u u u
y y R
2 1
22 21;j j
j jy y
;
,j jE G – физико-механические параметры материала j-го элемента дискретного за-
полнителя; 1, ,j j krjF I I – геометрические параметры j-го дискретного элемента.
Уравнения колебаний (1.4) – (1.10) дополняются соответствующими начальными
и граничными условиями.
§2. Численный алгоритм.
Построение численного алгоритма основано на совместном использовании инте-
гро-интерполяционного метода построения разностных схем по пространственным
координатам 1 2,s s и явной конечно-разностной схемы интегрирования по временной
координате t [2]. Одной из особенностей задач колебаний неоднородных оболочек с
учетом дискретного расположения ребер является наличие разрывных коэффициентов
в исходных уравнениях. Учитывая вышеизложенное, решения задач теории трехслой-
ных цилиндрических оболочек эллиптического сечения с учетом продольного ребри-
стого наполнителя сводится к рассмотрению следующих этапов: 1) поиск решения в
гладкой области; 2) поиск решения на j-той линии разрыва вдоль оси ОУ [2].
Рассмотрим построение разностного алгоритма для уравнений (1.4) в гладкой области
1 1 1/2 1 1 1/2 2 1/ 2 2 2 1/ 2,l l m ms s s s s s при 1/2 1/ 2n nt t t ;
1 1
2
11 1
1 12
1 2
;
k kk
k k
t t
T uS
d dt h d dt
s s t
(2.1)
1 1
2
22 2
2 23 1 12
1 2
;
k k k
k
k k
t t
S T u
k T d dt h d dt
s s t
…………… .
65
После стандартных преобразований в (2.1) получим разностные соотношения, ко-
торые аппроксимируют исходные уравнения (1.4) в гладкой области
11 1 2, 11 1 2, , 1 2 , 1 2
1
1 2
( ) ;
kn kn kn kn
l m l m l m l m kn
lm tt
T T S S
h U
s s
1 2, 1 2, 22 , 1 2 22 , 1 2
1 2
2 , 23 , 1 2 23 , 1 2 2
1
( ) ( ) ;
2
kn kn kn kn
l m l m l m l m
kn kn kn
l m l m l m lm tt
S S T T
s s
k T T h U
(2.2)
……………… .
В результате такого подхода величины компонент обобщенных векторов 1U , 2U
соотнесены к целым точкам разностной схемы (l, m). Величины усилий – моментов,
которые используются при дифференцировании по координате 1s , соотнесены к по-
луцелым точкам ( 1/ 2,l m ), а величины которые используются при дифференциро-
вании по координате 2s – к ( , 1/ 2l m ).
Для согласования величин усилий – моментов в (2.2) уравнения (1.7) интегрируем
в областях
2 1 1 1 1 2 1/2 2 2 1/ 2,l l m ms s s s s s ;
3 1 1/ 2 1 1 1/2 2 1 2 2,l l m ms s s s s s при 1/2 1/ 2n nt t t .
В частности, в области 2 имеем следующие соотношения:
2 2
11 2 11 11 21 22 2[ ] [ ( ] ;k k k k k
t t
T d dt B d dt
2 2
2 12 12 2[ ] [ ] ;k k
t t
S d dt B d dt
(2.3)
…………… .
Применяя формулы численного интегрирования, получаем следующие разност-
ные соотношения, которые связывают величины усилий – моментов с соответствую-
щими величинами деформаций:
11 1 2, 11 11 1 2, 21 22 1 2,( )kn k kn k kn
l m l m l mT B ;
1 2, 12 12 1 2,
kn k kn
l m l mS B ; (2.4)
………………. .
Аналогичные соотношения записываем в области 3 .
Для получения разностных соотношений для величин деформаций в соотношени-
ях (2.4) интегрируем соотношение (1.8), соответственно, по областям 2 и 3 при
1/2 1/2n nt t t
2 2
1
11 2 2
1
[ ] ;
k
k
t t
u
d dt d dt
s
2 2
2
22 2 2 3 2
2
[ ] [ ] ;
k
k k
t t
u
d dt k u d dt
s
(2.5)
…………….. .
66
После операции численного интегрирования в (2.5) получим следующие разност-
ные соотношения, которые связывают соответствующие деформации с компонентами
обобщенного вектора перемещений:
1 1, 1 ,
11 1 2,
1
kn kn
l m l mkn
l m
u u
s
;
2 1 2, 1 2 2 1 2, 1 2 3 1, 3 ,
22 1 2, 2 1 2,
1 2
kn kn kn kn
l m l m l m l mkn
l m l m
u u u u
k
s
; (2.6)
…………… .
Для построения численного решения для j-го поперечного ребра рассматриваем
следующие подобласти:
1 2 1/2 2 2 1/ 2j m ms s s ; 2 2 1 2 2{ }j m ms s s ; 3 2 2 2 1j m ms s s
при 1/2 1/ 2n nt t t . Уравнения колебаний j -го поперечного ребра (1.5) интегрируют-
ся в области 1 j :
1 1
2
21 1
11 1 12
[ ] ;
j j
j j
j j j j j
t t
T u
T d dt F d dt
y t
1 1
2
22 23 2
1 12
[ ] ;
j j
j j j
j j j j j
jt t
T T u
S d dt F d dt
y R t
(2.7)
1 1
2
23 22 3
13 1 12
[ ] ;
j j
j j j
j j j j j
jt t
T T u
T d dt F d dt
y R t
1 1
2
21 1
11 1 12
[ ] ;
j j
j j
j j j krj j
t t
M
M d dt I d dt
y t
1
22
23 1[ ]
j
j
j j j
t
M
T H d dt
y
1
2
2
2 12
.
j
j
j j j
t
I d dt
t
После стандартных преобразований в (2.7), получены следующие разностные со-
отношения для уравнений (1.5):
21 1/2 21 1/2
11 1[ ] ;
n n
jm jm n n
jm j j jm t t
T T
T F u
y
22 1/2 22 1/ 2 23 1/ 2 23 1/2
2
n n n n
jm jm jm jm
j
T T T T
y R
2[ ] ;n n
jm j j jm t t
S F u (2.8)
23 1/2 23 1/2 22 1/2 22 1/2
2
n n n n
jm jm jm jm
j
T T T T
y R
13 3[ ] ;n n
jm j j jm t t
T F u
67
21 1/2 21 1/2
11 1[ ] ;
n n
jm jm n n
jm j krj jm t t
M M
M I
y
22 1/2 22 1/ 2 23 1/ 2 23 1/2
2
n n n n
jm jm jm jmM M T T
y
2 2 ,[ ] .n n
jm j j k l t t
H I
Получение согласованных величин усилий – моментов для j-го поперечного ребра
для уравнения (1.10) производится аналогично формулам (2.5), (2.6) для оболочки.
Вышеизложенный подход построения конечно-разностных соотношений для об-
шивок и ребер позволяет выполнить закон сохранения полной механической энергии
на разностном уровне.
§3. Числовой пример.
Как частный случай уравнений (1.4) – (1.10), рассмотрим задачу о вынужденных
колебаниях трехслойной цилиндрической оболочки кругового сечения с дискретным
поперечным ребристым заполнителем при внутренней распределенной импульсной
нагрузке. При этом, в соотношениях (1.1) полагаем: 1 1 2 21; 0; ; 1/k kA k A R k R .
Принимаем, что края оболочки и элементов поперечного заполнителя жестко закреп-
лены. Граничные условия в этом случае при 1 10,s s L имеют следующий вид:
1 2 3 1 2 0; 1, 2k k k k ku u u k .
Начальные условия для системы (1.1) – (1.6) при 0t имеют вид:
для обшивок –
1 2 3 1 2 0 ( 1, 2);k k k k ku u u k 31 2 1 2 0;
kk k k kuu u
t t t t t
для поперечных дискретных элементов заполнителя –
1 2 3 1 2 0;j j j j ju u u 1 2 3 1 2 0 ( 1, ).j j j j ju u u
j J
t t t t t
Задачу рассмотрим при следующих геометрических и физико-механических па-
раметрах: 1 2 10
1 1 2 1 1 1 1 1 1/ 40; ; / 10; / 2; ; 7 10 Па;j j j jL h h h R h H h F H h E E E
1 2 3
1 1 1 20,3; 2,7 10j кг/м3.
Нормальная импульсная нагрузка задана в таком виде:
3 sin ( ) ( )
t
P A t t T
T
,
где A – амплитуда нагрузки; T – продолжительность нагрузки. В расчетах полага-
лось: 610A Па; 650 10T с. Подкрепляющие элементы расположены в точках
1 111 ( 1) 15j js k s , 1,...,5k , 1 / 80js .
Полученные численные результаты позволяют характеризовать напряженно-
деформированное состояние трехслойной упругой структуры цилиндрического типа в
любой момент времени на исследуемом временном интервале, согласно вышеуказан-
ных постановок. Расчеты проводились в интервале времени 0 50t T . В частности,
на рис. 2 и рис. 3 приведены зависимости величин прогиба 3u от пространственной
координаты 1s в моменты времени 6t T и 7t T (в эти моменты величина 3u до-
стигает максимального значения в интервале расчета по времени t ). Кривая с индек-
сом 1 соответствует теории с дискретным размещением ребер (внутренний слой), с
индексом 2 – (внешний слой), с индексом 3 – конструктивно-ортотропной теории
трехслойных оболочек с наполнителем. Согласно приведенных численных данных
наблюдается качественное и количественное отличие в полученных результатах. Учет
дискретности размещения ребер (на рисунках это точки соединения кривых с индек-
68
сом 1 и 2) приводит к более густому волнообразованию величины 3u по длине кон-
струкции. Расчеты по конструктивно-ортотропной модели дают некоторые инте-
гральные кривые, которые находятся в пределах изменения величины 3u внутреннего
и внешнего слоев согласно теории с учетом дискретности ребер (рис. 2). Как предель-
ный случай, в момент времени 7t T величина 3u (кривая с индексом 3) огибает со-
ответствующие кривые с индексом 1 и 2 (рис. 3). Анализируя количественный характер
приведенных результатов видно, что различия по максимальным величинам 3u соглас-
но приведенных теорий (теория трехслойных оболочек учетом дискретного наполните-
ля и конструктивно-ортотропная теория трехслойных оболочек) достигает 40%.
Заключение.
В работе дана постановка задачи о вынужденных колебаниях трехслойных ци-
линдрических оболочек эллиптического сечения с поперечным дискретным наполни-
телем при действии нестационарной нагрузки. Развит численный алгоритм решения
данного класса задач. Приведены результаты расчетов и проведен количественный и
качественный анализ полученных данных.
Рис. 2
Рис. 3
69
Р Е З Ю М Е . Отримано рівняння коливань тришарових циліндричних оболонок еліптичного
перерізу з дискретним наповнювачем при нестаціонарному навантаженні. При розгляді елементів
пружної структури використано моделі теорії оболонок і стержнів згідно з теорією оболонок Тимо-
шенка. Чисельний метод розв’язування динамічних рівнянь базується на застосуванні інтегро-
інтерполяційного методу побудови скінчено-різницевих схем для рівнянь з розривними коефіцієнта-
ми. Дано розв’язок задачі про динамічну поведінку тришарової циліндричної оболонки еліптичного
перерізу з врахуванням дискретності поперечного ребристого заповнювача. Числові результати наве-
дено у вигляді графіків та дано їх аналіз.
1. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. – М.: Машиностроение,
1980. – 376 с.
2. Головко К.Г., Луговой П.З., Мейш В.Ф. Динамика неоднородных оболочек при нестационарных
нагрузках / под ред. акад. НАН Украины А.Н. Гузя. – К.: Изд. – полиграф. центр «Киевский ун-
т», 2012. – 541 с.
3. Григолюк Э.И., Куликов Г.Н. Развитие общего направления в теории многослойных оболочек
// Механика композитных материалов . – 1988. – № 2. – С. 287 – 298.
4. Гузь А.Н., Кубенко В.Д. Методы расчета оболочек. Т.5. Теория нестационарной аэрогидроупруго-
сти оболочек. – К.: Наук. думка, 1982. – 400 с.
5. Дудченко А.А., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки. –
М.: ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Сер. Механика твердого деформируемого тела. – 1983. –
15. – С. 3 – 68.
6. Пискунов В.Г., Рассказов А.О. Развитие теории слоистых пластин и оболочек // Успехи механики: в
6-ти томах / Под ред. А.Н. Гузя. Т. 3. – К.: «А.С.К.», 2007. – С. 141 – 175.
7. Altenbach H. An alternative determination of transverse shear stiffnesses for sandwich and laminated
plates // Int. J. of Solids Struct. – 2000. – 37. – P. 3503 – 3520.
8. Altenbach H. Theories for laminated and sandwich plates: A review // Mechanics of Сomposite Materials.
– 1998. – 34., N 3. – P. 243 – 252.
9. Carrera E. Developments, ideas, and evaluations based upon Reissner’s Mixed Variational Theorem in
the modeling of multilayered plates and shells // Appl. Mech. Rev. – 2001. – 54 – P. 301 – 329.
10. Leonenko D. V., Starovoitov E. I. Vibrations of Cylindrical Sandwich Shells with Elastic Core under
Local Loads // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 4. – P. 359 – 367.
11. Lugovoi P. Z., Meish V. F., Shtantsel S. E. Forced Nonstationary Vibrations of a Sandwich Cylindrical
Shell with Cross-Ribbed Core // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 2. – P. 161 – 167.
12. MeishV.F., Pavlyuk A.V. Nonstationary Vibrations of Elliptic Cylindrical Sandwich Shells Reinforced
with Discrete Stringers // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 1. – P. 67 – 75.
13. Meish V. F., Shtantsel S. E. Dynamic Problems in the Theory of Sandwich Shells of Revolution with a
Discrete Core under Nonstationary Loads // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 12. – P. 1501 – 1507.
14. Meish Yu. A. Nonstationary Vibrations of Transversely Reinforced Elliptic Cylindrical Shells on an Elas-
tic Foundation // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 6. – P. 359 – 647.
15. Noor A.K., Burton W. S. Assessment of Computational Models for Multilayered Composite Shells
// Appl. Mech. Rev. – 1990. – 43, N 4. – P. 67 – 97.
16. Noor A.K., Burton W.S. and Bert C.W. Computational Models for Sandwich Panels and Shells // Appl.
Mech. Rev. – 1996. – 49, N 3. – P. 155 – 200.
17. Noor A.K., Burton W.S. and Peters J.M. Assessment of Computation Models for Multilayered Compo-
site Cylinders // Int. J. of Solids Struct. – 1991. – 27, N 10. – P. 1269 – 1286.
18. Pagano N. J., Free edge stress fields in composite laminates // Int. J. of Solids Struct. – 1978. – 14. – P.
401 – 406.
19. Pagano N.J. Exact Solutions for Rectangular Bidirectional Composites and Sandwich Plates // J. Com-
posite Materials. – 1970. – 4. – P. 20 – 34.
20. Qatu M. S., Recent Research Advances in the Dynamic Behavior of Shells: 1989-2000, Part 1: Laminat-
ed Composite Shells. – Appl. Mech. Rev. – 2002. – 55, N. 4. – P. 325 – 350.
21. Qatu M. S., Sullivan R. W., Wang W. Recent Research Advances in the Dynamic Behavior of Composite
Shells: 2000 – 2009 // Composite Structures. – 2010. – 93, N 1. – P. 14 – 31.
22. Reddy J. N., On refined computational models of composite laminates // Int. J. for Numerical Methods in
Engineering. – 1989. – 27. – P. 361 – 382.
23. Soldatos K. P. Mechanics of Cylindrical Shells with Non – Circular Cross Section // Appl. Mech. Rev. –
1999. – 49, N 8. – P. 237 – 274.
Поступила 06.04.2016 Утверждена в печать 10.10.2017
|