К теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии

К теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии

В работе построена и экспериментально апробирована модель роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном симметричном и асимметричном растяжении – сжатии. Модель позволяет рассчитывать длительность инкубационной стадии и зависимость. Побудов...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Прикладная механика
Datum:2018
Hauptverfasser: Голуб, В.П., Плащинская, А.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2018
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174170
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:К теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии / В.П. Голуб, А.В. Плащинская // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 79-99. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174170
record_format dspace
spelling Голуб, В.П.
Плащинская, А.В.
2021-01-07T12:57:22Z
2021-01-07T12:57:22Z
2018
К теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии / В.П. Голуб, А.В. Плащинская // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 79-99. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.
0032-8243
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174170
В работе построена и экспериментально апробирована модель роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном симметричном и асимметричном растяжении – сжатии. Модель позволяет рассчитывать длительность инкубационной стадии и зависимость.
Побудовано двохстадійну модель розповсюдження тріщин втоми нормального відриву в тонких ізотропних пластинах кінцевих розмірів при одновісному симетричному й асиметричному розтягу – стиску. Модель побудовано на основі підходу, що поєднує силову концепцію механіки тріщин і концепцію механіки континуальної пошкодженності. Модель апробовано експериментально на задачах розрахунку кінетики росту центральної тріщини втоми при одновісному симетричному та асиметричному знакозмінному і знакопостійному циклічних навантаженнях.
A problem of constructing the two-stage model of the mode I fatigue crack propagation in the thin isotropic finite plates under uniaxial symmetrical and asymmetrical loading is solved. This model is constructed on the basis of an approach that combines the power concept of fracture mechanics and the continuum damage mechanics concept. The model is approved experimentally on the problems of the calculation of central fatigue crack kinetics under uniaxial symmetrical, asymmetrical with alternating signs and asymmetrical with constant signs cyclic loadings.
ru
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
Прикладная механика
К теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии
To the Theory of Growth of Mode I Fatigue Cracks in Thin Isotropic Plates of Finite Sizes under Unilateral Tension-Compression
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title К теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии
spellingShingle К теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии
Голуб, В.П.
Плащинская, А.В.
title_short К теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии
title_full К теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии
title_fullStr К теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии
title_full_unstemmed К теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии
title_sort к теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии
author Голуб, В.П.
Плащинская, А.В.
author_facet Голуб, В.П.
Плащинская, А.В.
publishDate 2018
language Russian
container_title Прикладная механика
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
format Article
title_alt To the Theory of Growth of Mode I Fatigue Cracks in Thin Isotropic Plates of Finite Sizes under Unilateral Tension-Compression
description В работе построена и экспериментально апробирована модель роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном симметричном и асимметричном растяжении – сжатии. Модель позволяет рассчитывать длительность инкубационной стадии и зависимость. Побудовано двохстадійну модель розповсюдження тріщин втоми нормального відриву в тонких ізотропних пластинах кінцевих розмірів при одновісному симетричному й асиметричному розтягу – стиску. Модель побудовано на основі підходу, що поєднує силову концепцію механіки тріщин і концепцію механіки континуальної пошкодженності. Модель апробовано експериментально на задачах розрахунку кінетики росту центральної тріщини втоми при одновісному симетричному та асиметричному знакозмінному і знакопостійному циклічних навантаженнях. A problem of constructing the two-stage model of the mode I fatigue crack propagation in the thin isotropic finite plates under uniaxial symmetrical and asymmetrical loading is solved. This model is constructed on the basis of an approach that combines the power concept of fracture mechanics and the continuum damage mechanics concept. The model is approved experimentally on the problems of the calculation of central fatigue crack kinetics under uniaxial symmetrical, asymmetrical with alternating signs and asymmetrical with constant signs cyclic loadings.
issn 0032-8243
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174170
citation_txt К теории роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном растяжении – сжатии / В.П. Голуб, А.В. Плащинская // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 79-99. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT golubvp kteoriirostaustalostnyhtreŝinnormalʹnogootryvavtonkihizotropnyhplastinahkonečnyhrazmerovpriodnoosnomrastâženiisžatii
AT plaŝinskaâav kteoriirostaustalostnyhtreŝinnormalʹnogootryvavtonkihizotropnyhplastinahkonečnyhrazmerovpriodnoosnomrastâženiisžatii
AT golubvp tothetheoryofgrowthofmodeifatiguecracksinthinisotropicplatesoffinitesizesunderunilateraltensioncompression
AT plaŝinskaâav tothetheoryofgrowthofmodeifatiguecracksinthinisotropicplatesoffinitesizesunderunilateraltensioncompression
first_indexed 2025-11-25T22:45:14Z
last_indexed 2025-11-25T22:45:14Z
_version_ 1850570904170397696
fulltext 2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 2 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 2 79 В . П . Г о л у б , А . В . П л а щ и н с к а я К ТЕОРИИ РОСТА УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА В ТОНКИХ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНАХ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ПРИ ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ – СЖАТИИ Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: сreep@inmech.kiev.ua Abstract. A problem of constructing the two-stage model of the mode I fatigue crack propagation in the thin isotropic finite plates under uniaxial symmetrical and asymmetrical loading is solved. This model is constructed on the basis of an approach that combines the power concept of fracture mechanics and the continuum damage mechanics concept. The model is approved experimentally on the problems of the calculation of central fatigue crack kinetics under uniaxial symmetrical, asymmetrical with alternating signs and asymmetrical with constant signs cyclic loadings. Key words: thin isotropic finite plates, central crack of mode I, uniaxial tension- compression, symmetrical stress alternation, asymmetrical stress alternation, fatigue cracks growth kinetics. Введение. Одной из наиболее актуальных проблем механики хрупкого разрушения считает- ся проблема построения моделей и решение задач распространения усталостных тре- щин в твердых телах при длительном упруго-циклическом или так называемом мно- гоцикловом нагружении [1, 3, 12]. Усталостное разрушение в этом случае происходит при напряжениях меньших предела текучести материала и не сопровождается накоп- лением макроскопических пластических деформаций. В этой области механики разрушения выполнен огромный объем эксперимен- тальных исследований и сформулирован ряд эмпирических и полуэмпирических со- отношений, устанавливающих зависимость скорости роста усталостных трещин от параметров циклического нагружения. Предметный анализ методов построения и структур такого класса соотношений представлен в [1, 3 – 5, 20]. В частности, показа- но, что на стадии докритического роста усталостных трещин наиболее обоснованной является концепция Пэриса, в соответствии с которой скорость роста усталостной трещины рассматривается как некоторая характеристическая функция от размаха ко- эффициента интенсивности напряжений. Результаты большинства дальнейших иссле- дований в этом направлении сведены к уточнению характеристической функции пу- тем введения дополнительных параметров, позволяющих учесть особенности цикли- ческого нагружения, например, влияние асимметрии цикла напряжений и максималь- ного напряжения в цикле. Задача построения теоретической модели роста усталостных трещин впервые, по- видимому, была поставлена и решена в работах [10, 13]. Аналитическая зависимость для скорости роста усталостных трещин построена, исходя из анализа размерностей и энергетической концепции Ирвина-Орована, апробирована экспериментально на об- разцах из алюминиевых сплавов и использована для оценки влияния частоты нагру- жения и воздействия внешней среды. Теория размерностей использована также и в ра- ботах [1, 2] для построения математической модели зарождения и распространения усталостных трещин в трехмерных упруго-пластических телах. В качестве инвариан- 80 тной характеристики усталостного разрушения в модели используется величина дефор- мации растяжения в зоне предразрушения. Эти модели содержат, однако, неизвестные функции и константы, методика определения которых или не конкретизирована, или связана с проведением уникальных экспериментов на образцах с трещинами. Более перспективным к построению теоретических моделей роста усталостных трещин в упругих телах представляется подход, объединяющий энергетическую кон- цепцию механики трещин и концепцию механики непрерывной поврежденности [3, 4, 11]. Идея выбора процесса накопления повреждений на фронте трещины в качестве основной движущей силы для растущей усталостной трещины, сформулированная в [3, 4, 12], получила дальнейшее развитие в работах [6, 16 – 19]. В этих работах по- строена двухстадийная модель роста усталостных трещин в тонких изотропных бес- конечных пластинах при одноосном растяжении – сжатии. Концепция механики не- прерывной поврежденности объединяется в этом случае с силовым подходом механи- ки трещин. Модель апробирована экспериментально на задачах расчета кинетики ро- ста усталостных трещин в тонких бесконечных пластинах из алюминиевых сплавов при одноосном симметричном растяжении – сжатии. В данной работе подход, объединяющий силовую концепцию механики трещин и концепцию механики поврежденности, используем для построения двухстадийной модели распространения усталостных трещин в тонких изотропных пластинах конеч- ных размеров при одноосном симметричном и асимметричном растяжении – сжатии. §1. Постановка задачи. Исходные состояния. Рассмотрим процесс роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких прямоугольных пластинах конечных размеров из изотропных линейно-упругих мате- риалов. Высота пластин h , ширина пластин w . Пластины подвергаются воздействию одноосных циклических напряжений  , изменяющихся по асимметричному циклу, так что maxsin(2 ) ( ( ) ),m a m a Yn            (1.1) где m – начальное значение среднего напряжения цикла; a – начальное значение амплитуды циклического напряжения; Y – предел текучести материала; n – число циклов нагружения или дискретное время ( n ft ); t – физическое время; f – часто- та нагружения. Циклические напряжения  распределены равномерно по краям пла- стин перпендикулярно по отношению к берегам трещин. Берега трещин свободны от нагрузок. В (1.1) также принято, что величина a не зависит от дискретного времени n (стационарный режим) и прикладывается с частотой 10 Гц,f  а максимальное напряжение в цикле max не превышает предела текучести материала Y (многоцик- ловая усталость). В этом случае основной массив пластин деформируется линейно- упруго, а усталостное разрушение является квазихрупким. Принимаем далее, что асимметричное циклическое нагружение (1.1) можно све- сти к эквивалентному ему по числу циклов до разрушения Rn симметричному циклу. Эквивалентное циклическое напряжение eqv и амплитуду эквивалентного цикличе- ского напряжения ( )a eqv зададим в виде ( ) ( ) sin(2 ) и ( ) ( ) ,eqv a eqv a eqv m an n        (1.2) где ( )  – функция, учитывающая влияние среднего напряжения асимметричного цикла m на число циклов до разрушения Rn . Усталостную трещину представим как узкую остроконечную щель (рис. 1), рас- положенную вдоль оси x . Ось y направлена перпендикулярно по отношению к кон- туру трещины, а плоскость xy совпадает со срединной плоскостью трещины. На- 81 чальную полудлину усталостной трещины обозначим 0 , а текущую полудлину тре- щины, зависящую от числа циклов нагружения ( )n n  . В окрестности вершины усталостной трещины формируется тонкая циклическая пластическая зона, напряжения в которой ограничены пределом текучести материала Y [25, 26, 27, 30]. Начальная 0( )  и текущая  ( )n  длины циклической пласти- ческой зоны определяются размахом напряжений в цикле max min     , а напря- жение по её длине изменяется от Y до Y . В качестве основного механизма, контролирующего процесс распространения усталостных трещин в пластинах, рассматриваем процесс накопления усталостных повреждений по фронту растущей трещины. Полагаем, что в каждой произвольной точке фронта разрушения ( ,0)ix x в момент времени n накапливаются усталостные повреждения, кинетика накопления которых задается соответствующим эволюцион- ным уравнением. Система разрешающих уравнений теории упругости для пластины конечных раз- меров с усталостной трещиной с учетом поврежденности материала и в предположе- нии малости массовых и инерционных сил принимает вид (1.3) и включает уравнения равновесия (а), уравнения совместности в напряжениях (b), граничные условия для прямоугольной пластины с центральной трещиной нормального отрыва (с), эволюци- онное уравнение для функции поврежденности (d) с начальными и граничными усло- виями, а также условия локального разрушения на фронте трещины (е). Здесь ( )xx eqv , ( )yy eqv , ( )yx eqv – компоненты тензора эквивалентных цикличе- ских напряжений в окрестности вершины усталостной трещины;  – коэффициент Пуассона; ( , )x n – скалярный параметр поврежденности, зависящий от координаты по фронту распространяющейся трещины x и числа циклов нагружения n ; n – дли- тельность инкубационной стадии; 0 , ( )n – начальная и текущая длина усталостной трещины; 0( )  ,  ( )n  – начальная и текущая длина циклической пластической зоны; ( )yy eqv  – размах эквивалентных циклических напряжений; ,D q – коэффици- енты, характеризующие интенсивность накопления усталостных повреждений. Рис. 1 82 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0; ( ) ( ) ( ) 0; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2(1 ) ; ( ) ( ) cos( , ) 0; ; 2 2 2 ( ) xx eqv yx eqv xy eqv yy eqv xx eqv yy eqv xx eqv yy eqv yx eqv xx eqv x y a y x b x yy x x y w h h n v x x y c                                                            0 0 ; ( ) ( ) cos( , ) ( ); ; ; 2 2 2 0; ; 0 ; ( ) ( ) cos( , ) 0; 0; ( ) ( ); ; ( )( , ) ; 1 ( , ) ( ) 0 при 0; ( , ) 1 при ; m ( ) yy eqv eqv yy eqv q yy eqv h w w n v y n y x y x n n n v y y n x n n n x n D dn x n d n x n n n e                                                           0 0ax ( ) 1; 0 ; max ( ) ( ) 1; . n n n n n n                       (1.3) Амплитуды эквивалентных нормальных ( )a eqv и касательных ( )a eqv цикличе- ских напряжений задаем соотношениями [5, 6] 2 4 2 4 1 1 ( ) cos 1 ; 2 2 2 24 2 1 1 ( ) cos 1 , 2 2 2 24 2 m m m a eqv a a B B B m m m a eqv a a B B B                                                                                   (1.4) где B , B – пределы прочности материала пластин при растяжении и кручении;  ,  – коэффициенты чувствительности материала пластин к асимметрии цикла напря- жений при одноосном растяжении – сжатии и чистом кручении. Длину циклической пластической зоны в вершине усталостной трещины нормаль- ного отрыва с учетом конечности размеров пластины задаем соотношениями [25 – 27]   2 0 0 0 0 2 ( )1 ( ) ; ; 8 2 ( )1 ( ) ( ) ; ( ), 8 2 a eqv Y a eqv Y h f w w h n n f n w w                          (1.5) где ( )f  – корректирующие функции, учитывающие влияние граничных условий. Соотношения (1.5) являются некоторым обобщением модели тонкой пластиче- ской зоны D.S.Dugdale [15] и J.R.Rice [30] на циклическое нагружение, что позволило учесть циклическую пластическую зону в полуциклах разгрузки. 83 Принимаем далее, что геометрия усталостной трещины определяется только од- ним параметром – её длиной  , так что, текущая интенсивность роста трещины опре- деляется приращением длины трещины за цикл или при сглаживании – скоростью роста трещины d dn . Задача в итоге сведена к конкретизации функциональной зависимости вида  , , ( ), , , ,m a i d F n h w c dn     (1.6) куда входят компоненты асимметричного цикла напряжений m и a , длина уста- лостной трещины ( )n , высота h и ширина w пластины, а также набор ( , )ic i f k материальных констант и коэффициентов, задающих механические свойства материа- лов пластин. §2. Двухстадийная модель роста усталостных трещин. Модель роста усталостных трещин построим на основе совместного решения за- дачи определения локального поля напряжений в окрестности вершины растущей трещины и задачи формулировки критерия роста усталостных трещин исходя из кон- цепций механики непрерывной поврежденности. 2.1. Распределение напряжений на фронте растущей усталостной трещины. Выражения для компонент напряжений в окрестности фронта усталостной трещины определяем с использованием модифицированной функции напряжений Эри ( , )x y , удовлетворяющей уравнениям равновесия (1.3, а) и совместности (1.3, b), а также граничным условиям (1.3, с). Решение задачи сводим к интегрированию бигармонического уравнения   4 4 4 2 2 4 2 2 4 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) 0, x y x y x y x y x x y y                  (2.1) функция ( , )x y в котором удовлетворяет условию совместности (1.3,b), так что компоненты напряжений ( )xx eqv , ( )yy eqv , ( )yx eqv связаны с функцией ( , )x y соот- ношениями 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ; ( ) ; ( )xx eqv yy eqv xy eqv x y x y x y y x x y                    (2.2) при соблюдении граничных условий (1.3,с) на контурах пластины i ( i = 0, 1) с тре- щиной в виде 1 2 ( , ) ( , ) ( ) ; ( ) . i i v eqv v eqv x y x y X ds c Y ds c y x            (2.3) Здесь ( )v eqvX , ( )v eqvY – компоненты вектора эквивалентных циклических напряжений по координатным осям x и y на внешнем контуре 0 пластины; s – длина произ- вольной дуги на внешнем контуре пластины; 1 2,c c – постоянные интегрирования. Контур внутренней трещины 1 свободен от нагрузок. Переходя далее к комплексным переменным z x iy  и ,z x iy  уравнение совместности (2.1) принимает вид [25] 4 2 2 ( , ) 16 0 z z z z      . (2.4) Решение (2.4) может быть представлено в виде модифицированной функции напряжений 84 1 ( , ) Re ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 i i x y z dz z dz z z z                   (2.5) откуда для компонент напряжений с учетом (2.2) получены соотношения [25]   ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ; ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) , xx eqv yy eqv yy eqv xx eqv xy eqv z z i z z z z z                             (2.6) удовлетворяющие граничным условиям на контуре пластины      ( ) ( ) i z z z z z i X iY ds          . (2.7) В (2.5) – (2.7) приняты следующие обозначения: Re – действительная часть; ( )z и ( )z – комплексные потенциалы, причем ( ) ( )z z  и ( ) ( )z z  . Штрихами обозначено дифференцирование, а рисками – комплексные сопряжения. Вид комплексных потенциалов выбирается таким образом, чтобы граничным услови- ям на берегах трещины они удовлетворяли точно, а на внешней границе – в точках коллокаций. Комплексные потенциалы ( )z и ( )z в (2.6) задаем в окрестности вершины трещины соотношениями 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ) ; ( ) , m m m m k k k k k k k k k k k k z z z A z B z z A z B z z z                   (2.8) где kA и kB – коэффициенты рядов, определяемые численно из решения замкнутой системы линейных алгебраических уравнений при удовлетворении граничным усло- виям в точках коллокаций на внешнем контуре пластины и условиям однозначности смещений при обходе трещины. Представление решения с использованием (2.8) обес- печивает отсутствие напряжений на берегах трещины. Коэффициенты kA и kB в (2.8) определяем из замкнутой системы алгебраических уравнений при удовлетворении граничным условиям (1.3, с) и дополнительным усло- виям однозначности смещений при обходе контура трещины в виде     1 1 0,k z dz z dz        (2.9) где (3 ) (1 )k     – для плоского напряженного состояния,  – коэффициент Пуассона. Для эквивалентных циклических напряжений нормального отрыва ( )yy eqv по фронту ( 0; )y z x  движения контура усталостной трещины длиной  из (2.6) по- лучаем уравнение   2 2 2 1 ( ) ( , ) 1 ; ( 1, ) m eqv k yy eqv k ki x x n A x i q x               (2.10) или, используя асимптотически эквивалентную функцию, уравнение 2 1 ( ) ( ) ( , ) 1 , 2 m eqv ki yy eqv k ki x n A x x              (2.11) где, как отмечено выше, принято, что по фронту ( 0)y  распространения усталост- ной трещины ( ) ( ) 0.xx eqv xy eqv    85 Для усталостной трещины произвольной длины ( )n , зависящей от числа циклов нагружения n , для ( ) ( , )yy eqv x n , исходя из (2.11), получаем ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) , , ( )2 eqv yy eqv n n h n x n f x n w w             (2.12) где ( )f  – корректирующая функция, учитывающая влияние граничных условий и представляющая аппроксимацию множества k численных решений [9, 31] для тре- щин дискретной длины 0 i    . Распределение напряжений вдоль фронта распространения усталостной трещины по оси 0x  0, y z x  в течение инкубационного периода ( 0 n n  ) принимает вид     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; | | ; ( ) , , ; | | ( ); ( ) , ; | | ( ), 2 yy eqv Y Y eqv x x n x n h f x x w w                                  (2.13) а на стадии распространения трещины, соответственно, вид               0; | | ( ); , , ; | | ( ) ( ) ; ( ) ( ) , ; | | ( ) ( ) . 2 yy Y Yeqv eqv x n x n x n n n n h n f x n n x n w w                                  (2.14) В соотношениях (2.10) – (2.14) в качестве ( )eqv n рассматриваем амплитудное значение эквивалентного циклического напряжения, которое сводит, согласно (1.2) и (1.4), компоненты асимметричного цикла напряжений (1.1), приложенных к внешне- му контуру пластины, к симметричному циклу. 2.2. Основные разрешающие уравнения модели. Принимаем, что в тонкой изотроп- ной пластине усталостная трещина нормального отрыва под действием одноосных циклических напряжений, приложенных в направлении оси y , распространяется вдоль оси x (рис. 2). Процесс усталостного разрушения пластины с растущей трещи- ной состоит из 2-х стадий и включает инкубационную стадию, когда усталостная трещина раскрывается, но не растет, и собственно стадию роста трещины. а б Рис. 2 86 В качестве «движущей силы» для растущей усталостной трещины рассматриваем процесс накопления усталостных макроповреждений. Модель накопления поврежде- ний основана на введении единой для обеих стадий скалярной меры поврежденности ( , )x n , являющейся функцией координаты x и числа циклов нагружения n . Кине- тику накопления усталостных повреждений в направлении оси x задаем дифферен- циальным уравнением (1.3, d), которое, исходя из предположения, что процесс накоп- ления усталостных повреждений определяем размахом напряжений отрыва ( )yy eqv  max min( ) ( )eqv eqv   и происходит только в полуциклах растяжения min(( ) 0)eqv  , так что ,( ) ( )yy eqv yy a eqv   можно также представить в виде ,( )( , ) 1 ( , ) q yy a eqvd x n D dn x n         (2.15) с начальным и граничными условиями     0; ; 0; ( , ) 1; (0) (0) ; ; 1; ( ) ( ) ; ,R x n x n x n n x n n n n                      (2.16) причем первое условие в (2.16) является начальным условием, второе условие опре- деляет длительность инкубационной стадии, а третье задает условие локального раз- рушения на фронте трещины. Принимаем далее, что приращение длины усталостной трещины  за один цикл нагружения является весьма малым, а число циклов нагружения n – весьма большим. Технически значимое приращение длины усталостной трещины на 1 мм, например, требует 103 и более циклов нагружения, а число циклов до разрушения составляет 105 циклов и более. В этом случае число циклов нагружения n трактуется как непрерыв- ный аргумент, аналогичный физическому времени t , а длина усталостной трещины  – как непрерывно дифференцируемая функция непрерывного аргумента n . Интегрируя уравнение (2.15) с учетом начального условия в (2.16), получаем уравнение  1 , 0 1 1 ( , ) (1 ) ( ) ( , ) n q q yy a eqvx n q D x d           , (2.17) которое задает уровень поврежденности ( , )x n в точке с координатой x в произ- вольный момент времени n . Кинетика накопления повреждений по фронту движения трещины, задаваемая уравнением (2.17), показана на рис. 2, а штриховой линией. Обозначив координату фронта разрушения через x (рис. 2, б), страгивание тре- щины зададим условием 1  в точке с координатой  (0) (0)x     в момент времени n n . Последующее распространение усталостной трещины происходит при условии 1  в точке с координатой ( ) ( ( ))x n n    . В этом случае, учитывая двухстадийность процесса усталостного разрушения, из (2.17) получаем уравнение движения фронта разрушения в точке с координатой x в момент времени n в виде   1 , , 0 0 1 ( , ) (1 ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) , n nq qq yy a eqv yy a eqv n x n d q D x d x d                                (2.18) объединяющем длительность инкубационной стадии и стадии роста усталостной тре- щины. 87 Подставляя далее (2.13) и (2.14) в (2.18), получаем уравнение движения фронта усталостного разрушения в форме нелинейного интегрального уравнения Вольтерра І рода             2 0 0 0 00 2 ( ) 1 (1 ) , ( )2 ( ) ( ) (1 ) , , ( )2 q q n a eqv q q q n a eqv q n h q D f d n n w w h q D f d n n w w                                                            (2.19) где функции ( )f  зависят от текущего момента времени n . Для решения интегрального уравнения (2.19) выполним ряд преобразований и, прежде всего, задавая линейный закон изменения циклической пластической зоны, представим уравнение (2.19) в виде         2 0 0 0 00 2 ( ) 1 (1 ) , 1 ( )2 ( ) ( ) (1 ) , , 1 ( )2 q q n a eqv q q q n a eqv q n h q D f d n w w h q D f d n w w                                                          (2.20) где принято ( ( )) ( )n n   . Упростим структуру уравнения (2.20), сделав переход от размерных величин к безразмерным. Используя замены , 1 0 1 0 1 ( ) ; ; ; ; ; ; ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) , ; ( ) , ; , (1 ) ( ) yy a eqv R R R a eqv q q R a eqv nn q n n n h h J J f J f n w w w w q D                                         представим уравнение (2.20) в виде   * * 1 1 1 1 10 ( )1 1 2 2 . (1 ) ( ) 1 ( )(1 ) ( ) J d J d                                       (2.21) Здесь Rn – число циклов до разрушения гладкого цилиндрического образца. Обозначая в (2.21) ( ) z   , 1( )   , 1 ( ) ,d d    1 1( ) ( )J d d      , по- лучаем в результате линейное интегральное уравнение Вольтерра І рода   1 1 2 (1 ) 1 2 ( ) (1 ) z J z d z                           (2.22) с разностным ядром относительно функции ( )   . Заметим также, что при 1z  левая часть уравнения (2.22) равняется нулю, так что (2 )J     . Уравнение (2.22) решается с использованием преобразования Лапласа [8] 0 ( ) ( ) pzp f z e dz     и переходом, соответственно, от уравнения в оригиналах к уравнению в изображениях. Левую и правую части уравнения (2.22) рассмотрим от- дельно. 88 Левая часть уравнения (2.22) в изображениях принимает вид   1 1 0 1 1 1 1 1 2 (1 ) 1 2 . 1 p v pz v x p J z e dz J e x e dx p p                                     (2.23) Далее, используя неполную Гамма-функцию  1 , t q q t e dt       , сводим (2.23) к выражению 1 11 1 1 2 1 , 1 1 p v p J e p p                           . (2.24) Для правой части уравнения (2.22) изменим пределы интегрирования таким обра- зом, чтобы нижний предел интегрирования был равен нулю. Используя замену пере- менных интегрирования, правую часть уравнения (2.22) сводим последовательно к выражению 1 1 0 1 2 ( ) 2 ( 1) . (1 ) 1 (1 ) ( 1) z z d d z z                                   (2.25) В изображениях (2.25) принимает вид 1 0 0 1 2 ( 1) , (1 ) ( 1) z pzd e dz z                            (2.26) изменяя в (2.26) с помощью формулы Дирихле ( , ) ( , ) b x b b a a a y dx f x y dy dy f x y dx    поря- док интегрирования, для правой части уравнения (2.22) получаем выражение   ( 1) ( 1) 1 0 ( 1) 1( 1) ( 1) 1 0 1 2 ( 1) ( 1) 1 1 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1 , . 1 1 p x p p p e x e dx d p e e d p                                                                              (2.27) Подставляя в (2.22) выражение (2.24) для левой части и выражение (2.27) для пра- вой части, уравнение (2.22) в изображениях записываем в виде 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 0 1 1 1 2 1 , 1 1 1 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1 , , 1 1 p p p p J e p p p e e d p                                                                       (2.28) где все обозначения совпадают с принятыми выше. Решение уравнения (2.28) строится следующим образом. Аппроксимацию неполных Гамма-функций ( )  в (2.28) осуществим с использо- ванием неравенств [24], так что 11 , ; 1 1 p p p p e                            (2.29) 89 ( 1) 1(1 ) ( 1) ( 1) 1 , . 1 1 p p p p e                                (2.30) Для левой части уравнения (2.28), используя (2.29), после ряда преобразований получаем выражение 1 1 11 1 1 1 2 2 , 1 p p p p J e e J p p p                                        (2.31) а для правой части уравнения (2.28), используя (2.30), – выражение 1 ( 1) 1 0 1 1 ( 1) 1 1 0 1 1 (1 ) 2 ( 1) ( 1) (1 ) 1 1 2 [ ] ( 1) ( 1) 2 [ ] ( ), p p p e p d p e d p                                                                        (2.32) где ( )p – изображение неизвестной функции (1 ) ( 1)    . Подставляя (2.31) и (2.32) в (2.28) и выполняя несложные преобразования, полу- чаем уравнение 1 1 1 12 2 [ ] ( ),p J p               (2.33) приближенное решение которого для изображения неизвестной функции (1 ) ( 1)    принимает вид 1 1( ) 2 [ ] p p     . (2.34) Возвращаясь к оригиналам, решение уравнения (2.34) представим в виде 1 1 1( ) 2 [ ] ( ) 2 [ ] ,z z z z             (2.35) сделаем далее обратный переход от ( )z   используя замены  ( ) ( ) ( ) , ( ) d z J d            и получим из (2.35) уравнение   11 1 1( ) ( ) 2 [ ] ( ) ( )2 [ ] ( ) ( ) d d J J d d                         . (2.36) Переходя от безразмерных величин к размерным из (2.36) получаем уравнение 1 12 [ ] , ,q R d h f dn n w w               (2.37) а учитывая, что 1 ( ) ; ; , 2 (1 ) ( ) ( )R q a eqv q n v n q D n        из (2.37) получаем дифференциальное уравнение для скорости роста усталостной трещины  1 2 1 1 ( ) 2 ( ) , , qq q a eqv d h D f dn q w w                    (2.38) а, полагая n n из (2.19), получаем уравнение для расчета длительности инкубаци- онной стадии 90 1 2 0 0 0 0 (1 ) ( ) , . 2 ( ) q q q a eqv h n q D f w w                           (2.39) Объединяя далее уравнения (2.38) и (2.39), двухстадийная модель роста усталост- ных трещин в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном асимметричном растяжении – сжатии может быть представлена системой уравнений   1 2 2 0 0 0 0 1 1 ( ) 1 ( ) , ; 2 ( ) 2 ( )1 1 , , (1 ) ( ) q a eqvq q q q a eqv d h n D f dn q w w n h n f q D w w                                                      (2.40) подставляя в (2.40) выражение для эквивалентных нормальных напряжений из (1.4) и выражения для длин циклической пластической зоны (1.5) и выражение для функции ( )f  в форме полинома четвертой степени, получаем систему уравнений 2 2 42 2 3 4 0 1 2 3 4 41 1 1 1 1 , ; 2 2 24 2 1 ; 4 (1 ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) , , q m mY a B B q Y d h D f dn q w w n q D h n n n n n f A A A A A w w w w w w                                                                                                       (2.41) где первые уравнения задают кинетику роста усталостных трещин, а вторые – дли- тельность инкубационной стадии. Таким образом, функциональная зависимость (1.6) конкретизирована в виде (2.41). 2.3. Методика определения функций и констант модели. Двухстадийная модель распространения усталостных трещин в тонких изотропных пластинах конечных раз- меров, изложенная в разделе 2.2, содержит две группы материальных констант, под- лежащих определению из эксперимента, а также корректирующую функцию ( )f  , учитывающую влияние конечности размеров пластины. Первая группа материальных констант включает значения предела текучести Y и предела кратковременной прочности B . Значения пределов Y и B определяем по диаграмме растяжения «  », которая строится по результатам стандартных ис- пытаний гладких цилиндрических образцов материала на кратковременную прочность. Вторая группа материальных констант включает значения коэффициентов D и q и значения показателя степени  . Коэффициенты D и q характеризуют сопротив- ление материала усталостному разрушению и их определяем по результатам стандарт- ных испытаний гладких цилиндрических образцов материала на усталость при сим- метричном цикле нагружения. Данные экспериментов аппроксимируем уравнением 1 , (1 ) ( )R q a n q D    (2.42) полученным интегрированием эволюционного уравнения поврежденности (1.3,d) при условии, что ( )yy eqv a   , а Rn n  . Задача определения коэффициентов D и q в (2.42) сведена в итоге к минимизации функционала 91   2 1 1 ( , ) ( ) (1 ) ( ) min s q Rj aj aj j D q n q D           , (2.43) где aj , Rjn – набор дискретных значений амплитуд циклических напряжений и соот- ветствующих им чисел циклов до разрушения. Показатель степени  характеризует чувствительность материала к уровню асимметрии цикла напряжений и его определяем по результатам обработки данных стандартных испытаний гладких цилиндрических образцов на усталость при различ- ных значениях среднего напряжения m . Задача определения величины  сведена к минимизации функционала [5, 16] 2 1 , min k m mi ai iB B n                                      , (2.44) который соответствует условию наилучшего согласования экспериментальных дан- ных с линеаризованной предельной диаграммой. Здесь функцию ( )  выбираем в форме, приведенной в (1.4). Для определения показателя степени  может быть использован также единич- ный базовый эксперимент на усталость гладких цилиндрических образцов при отну- левом цикле ( m a  ). В этом случае величину  определяем из соотношения [5, 7] 0 0 0 lg lg , lg cos 2 a n m B             (2.45) где 0 a , 0 m – амплитуда циклического напряжения и, соответственно, среднее напряжение отнулевого асимметричного цикла; 0 n – ограниченный предел усталости при симметричном цикле, соответствующий долговечности 0 Rn под действием напря- жений 0 m и 0 a . Корректирующие функции 0 ( )f  и ( )f  , учитывающие влияние конечности раз- меров пластины на кинетику распространения усталостных трещин, задаем полино- мами четвертой степени. В этом случае корректирующую функцию для инкубацион- ной стадии записываем в виде 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4; , h f A A A A A w w w w w w                                 (2.46) а для стадии распространения усталостной трещины – в виде 2 3 4 0 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; h n n n n n f A A A A A w w w w w w                                 . (2.47) Здесь 0 1 2 3 4, , , ,A A A A A – коэффициенты полиномов, зависящие от соотношения между высотой h и шириной w пластины, а также от соотношения между длиной трещины  и шириной пластины w . Значения коэффициентов полиномов в (2.46) и (2.47) определяем по результатам аппроксимации полиномами численных решений задачи о напряженном состоянии пластины конечных размеров с трещиной нормального отрыва при одноосном растя- жении. Численные решения построены методом граничных коллокаций [9, 31]. 92 §3. Кинетика роста усталостных трещин в пластинах конечных размеров при одноосном растяжении-сжатии. Получим решение задачи расчета кинетики роста усталостных трещин в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном циклическом растяжении – сжатии. Кинетику роста усталостных трещин задаем в форме зависимости длины усталостной трещины от числа циклов нагружения. Рассмотрены симметричный цикл, асимметричный знакопеременный цикл, асимметричный отнулевой цикл и асимметричный знакопостоянный цикл. 3.1 Объект исследования. Материальные константы. В качестве объекта иссле- дования рассматриваем тонкие изотропные пластины конечных размеров, содержа- щие центральную остроконечную трещину. На рис. 3 представлены геометрия и усло- вия нагружения пластины с трещиной (а), дискретные значения множества численных а б в Рис. 3 решений задачи о распределении напряжений отрыва в вершине растущей усталост- ной трещины (б) и аппроксимация численных решений (в). Численные решения заим- ствованы из [9]. Аппроксимация численных решений осуществлена полиномами чет- вертой степени (2.46) и (2.47). В этом случае корректирующую функцию ( )f  запи- шем в виде 2 3 4 2 2 2 2 , 1,0106 0,1996 1,829 3,068 3,2197 , h f w w w w w w                                       (3.1) где под  понимается как начальная 0 , так и текущая ( )n полудлина усталостной трещины. В качестве материала пластин выбраны алюминиевые сплавы 2024-Т3 и 7075-Т6, используемые в авиационной и космической технике. Материальные константы опре- деляем по экспериментальным диаграммам растяжения и экспериментальным кривым усталости, которые построены по результатам стандартных испытаний гладких ци- линдрических образцов. а б Рис. 4 93 Экспериментальные диаграммы растяжения для образцов алюминиевого сплава 2024-Т3 приведены на рис. 4, а, а для образцов алюминиевого сплава 7075-Т6 – на рис. 4, б. Точками отмечены уровни напряжений, соответствующие пределам текуче- сти Y и пределам кратковременной прочности B . Экспериментальные данные за- имствованы из [14, 23]. Экспериментальные кривые усталости, полученные при одноосном симметрич- ном растяжении-сжатии, приведены для образцов алюминиевого сплава 2024-Т3 на рис. 5,а, а для образцов алюминиевого сплава и 7075-Т6 – на рис. 5,б. Исходные экс- периментальные данные нанесены точками, а линиями нанесена аппроксимация экс- периментальных данных уравнением (2.42). Экспериментальные данные заимствова- ны из [21]. По результатам аппроксимации путем минимизации функционала (2.43) определяются значения коэффициентов D и q . а б Рис. 5 На рис. 6 представлены диаграммы предельных напряжений образцов алюминие- вых сплавов 2024-Т3 (а) и 7075-Т6 (б) в обобщенной системе координат. Диаграммы построены по данным испытаний на усталость гладких цилиндрических образцов при варьировании величины среднего напряжения m асимметричного цикла нагружения одноосным растяжением – сжатием. Точками показаны нормированные эксперимен- тальные данные, а линиями – аппроксимация нормированных экспериментальных дан- ных уравнением (1.4) при условии, что  a neqv   . По результатам аппроксимации путем минимизации функционала (2.44) определяем значения показателя степени  . а б Рис. 6 94 В таблице для рассматриваемых алюминиевых сплавов приведены значения пре- делов текучести Y и кратковременной прочности B , значения коэффициентов D и q и значения показателя степени  . Значения всех материальных констант опреде- лены по результатам обработки экспериментальных данных, приведенных на рис. 4 – 6, по методике, изложенной в пункте 2.3. Сплав Y , MПa B , MПa D , (MПaq·цикл)-1 q  2024-T3 353 489 7,45·10-26 8,28 2,37 7075-T6 523 571 3,33·10-29 9,23 3,57 3.2 Симметричный цикл. Решим задачу расчета зависимости длины усталостной трещины  от числа циклов нагружения n в тонких пластинах конечных размеров из алюминиевых сплавов при одноосном симметричном растяжении – сжатии. Условие нагружения (1.1) конкретизируется в этом случае в виде min min max max sin(2 ); 0; 0; 0; 1,a m a an R                    (3.2) где min , max – минимальное и максимальное напряжение в цикле ( min m a    ; max m a    ); R – коэффициент асимметрии. Для зависимости длины усталостной трещины  от числа циклов нагружения n из (2.41) с учетом (3.1) и (3.2) получаем систему разрешающих уравнений   0 2 2 2 2 3 4 1 1 ; 4 1 ( )1 ( ) , ( ) 1 ; 4 (1 ) 2 2 2 2 , 1,0106 0,1996 1,829 3,068 3,2197 , nq q a q n n d h nD f n q w w n q D h f w w w w w w                                                                                         (3.3) интеграл в которой вычисляем численно по методу Симпсона. а б Рис. 7 Результаты расчетов зависимости длины усталостной трещины  от числа циклов нагружения n при варьировании величины амплитуды a , выполненных по уравнени- ям (3.3), сопоставлены на рис. 7 с экспериментальными данными для пластин из алю- миниевых сплавов 2024-Т3 (а) и 7075-Т6 (б). Для пластин из алюминиевого сплава 2024-Т3 зависимости  от n построены при a = 52 МПа (линия 1, ◊); a = 69 МПа 95 (линия 2, ●); a = 103 МПа (линия 3, Δ); a = 138 МПа (линия 4, ○). Для пластин из алюминиевого сплава 7075-Т6 аналогичные зависимости получены при напряжениях a =34 МПа (линия 1, ◊); a =69 МПа (линия 2, ●); a =103 МПа (линия 3, Δ); a =138 МПа (линия 4, ○); a = 207 МПа (линия 5, □). Экспериментальные данные заимствованы из [22]. Здесь и далее экспериментальные данные нанесены точками, а результаты расчетов – линиями. Расчеты выполнены с использованием значений ма- териальных констант, приведенных в таблице. 3.3 Асимметричный знакопеременный цикл. Решим задачу расчета зависимости длины усталостной трещины  от числа циклов нагружения n в тонких пластинах конечных размеров из алюминиевых сплавов при одноосном знакопеременном ком- бинированном статическом и циклическом нагружении. Условие нагружения (1.1) конкретизируется в этом случае в виде min maxsin(2 ); 0; 0; 0; 1 0,m a mn R              (3.4) где все обозначения совпадают с принятыми в (1.1) и (3.2). Для зависимости длины усталостной трещины  от числа циклов нагружения n из (2.41) с учетом (3.1) и (3.4) получаем систему разрешающих уравнений   0 22 4 2 2 2 2 1 1 1 2 2 24 2 1 ; 4 1 ( )1 ( ) , ( ) 1 ; 4 (1 ) 2 2 , 1,0106 0,1996 1,829 3, m m nq B B q a q n n d h nD f n q w w n q D h f w w w w                                                                                       3 4 2 2 068 3,2197 , w w                             (3.5) где, как и в (3.3), интеграл вычисляем численно по методу Симпсона. Результаты расчетов зависимости длины усталостной трещины  от числа циклов нагружения n при фиксированном значении среднего напряжения m и варьировании величины амплитуды a , выполненных по уравнениям (3.5), сопоставлены на рис. 8 с экспериментальными данными для пластин из алюминиевых сплавов 2024-Т3 (а) и 7075-Т6 (б). Для пластин из алюминиевого сплава 2024-Т3 зависимости  от n постро- а б Рис. 8 96 ены при m = 17 МПа и a = 34 МПа (линия 1, ●); a = 69 МПа (линия 2, ■); a = 86 МПа (линия 3, Δ); a = 121 МПа (линия 3, ○), а для пластин из алюминиевого сплава 7075-Т6 – при m = 34 МПа и a = 69 МПа (линия 1, ●); a = 138 МПа (линия 2, Δ); a = 172 МПа (линия 3). 3.4 Асимметричный знакопостоянный цикл. Решим задачу расчета зависимости длины усталостной трещины  от числа циклов нагружения n в тонких пластинах ко- нечных размеров из алюминиевых сплавов при одноосном знакопостоянном комбини- рованном статическом и циклическом нагружении. Рассмотрены два вида асиммет- ричных знакопостоянных циклов. В качестве таких циклов выбраны асимметричный отнулевой цикл, для которого минимальное напряжение в цикле равно нулю, и асим- метричный знакопеременный цикл, для которого минимальное напряжение в цикле больше нуля. Зависимость  от n задается системой разрешающих уравнений (3.5). Асимметричный отнулевой цикл. Условие нагружения (1.1) конкретизируется в этом случае в виде min maxsin(2 ); 0; 0; 0; 0,m a m an R              (3.6) где, как и выше, min m a    , а max m a    . Результаты расчетов зависимости длины усталостной трещины  от числа циклов нагружения n при фиксированном значении коэффициента асимметрии 0R  и ва- рьировании величин среднего напряжения m и амплитуды циклических напряже- ний a согласно (3.6), выполненных по уравнению (3.5), сопоставлены на рис. 9 с экс- а б Рис. 9 периментальными данными для пластин из алюминиевых сплавов 2024-Т3 (а) при m = a = 26 МПа (линия 1, ◊); m = a = 34 МПа (линия 2, ●), m = a = 52 МПа (ли- ния 3, Δ); m = a = 69 МПа (линия 4, ○); для пластин из алюминиевого сплава 7075-Т6 (б) при m = a = 34 МПа (линия 1, ●); m = a = 69 МПа (линия 2, ◊); m = a = 103 МПа (линия 3, ○). Асимметричный знакопостоянный цикл. Условие нагружения (1.1) конкретизиру- ется в этом случае в виде min maxsin(2 ); 0; 0; 0; 0,m a m an R              (3.7) где все обозначения совпадают с принятыми в (3.6). Результаты расчетов зависимости длины усталостной трещины  от числа циклов нагружения n при варьировании величин среднего напряжения m и амплитуды циклических напряжений a согласно (3.7), выполненных по уравнению (3.5), сопо- ставлены на рис 10 с экспериментальными данными для пластин из алюминиевых спла- 97 а б Рис. 10 вов 2024-Т3 (а) и 7075-Т6 (б) при фиксированном значении среднего напряжения m и варьировании амплитуды циклических напряжений a . Для пластин из сплава 2024-Т3 зависимости  от n построены при m = 69 МПа и значениях a = 12 МПа, (линия 1, ●); a = 34 МПа, (линия 2, Δ); a = 69 МПа (линия 3, ○), а для пластин из сплава 7075-Т6 при m = 69 МПа и a = 12 МПа, (линия 1, ●); a = 21 МПа, (ли- ния 2, Δ); a = 69 МПа (линия 3, ○). §4. Обсуждение результатов. В работе построена двухстадийная модель усталостного разрушения тонких изо- тропных пластин конечных размеров с трещинами при одноосном асимметричном растяжении-сжатии. Модель учитывает длительность инкубационной стадии и опи- сывает стадию роста усталостной трещины. Влияние асимметрии цикла напряжений учитывается с использованием концепции эквивалентных напряжений, позволяющей асимметричный цикл свести к эквивалентному по числу циклов до разрушения сим- метричному циклу. К симметричному циклу, который является знакопеременным, сводятся как знакопеременные, так и знакопостоянные асимметричные циклы. Модель апробирована экспериментально на задачах расчета кинетики роста уста- лостных трещин нормального отрыва в пластинах из алюминиевых сплавов при сим- метричном, знакопеременном и знакопостоянном асимметричном нагружениях. Для апробации использованы заимствованные из литературы экспериментальные данные. Результаты сопоставления расчетных и экспериментальных данных представлены на рис. 7 – 10. В целом, как следует из приведенных на рисунках 7 – 10 данных, результаты рас- четов, учитывая, что для процесса усталостного разрушения характерно существенное (на 1 – 2 порядка) рассеивание усталостных свойств, вполне удовлетворительно со- гласуются с результатами экспериментов. Максимальная погрешность не превышает 30 – 40% и практически не зависит от характера асимметричного цикла и степени асимметрии цикла. В эксперименте, как правило, усталостная трещина растет более интенсивно, чем это следует из результатов расчета, так что одна и та же длина тре- щины достигается за меньшее число циклов нагружения. Это объясняется тем обстоя- тельством, что при расчете кинетики роста усталостных трещин использовано при- ближенное аналитическое решение. В этом случае в процедуре расчета дискретных значений длины трещины не учитывалась предыстория накопления усталостных по- вреждений. Принято, что в каждый момент времени расчета длины усталостной тре- щины функция поврежденности изменяется от 0 до 1. Учет предыстории накопления усталостных повреждений и, возможно, улучшение согласования расчетных и экспе- риментальных данных может быть достигнуто, когда задачу расчета кинетики роста усталостных трещин будем решать численно. Длительность инкубационной стадии n , как это следует из структуры уравнений (3.3) и (3.5), определена только механическими свойствами материала и не зависит ни от уровня приложенных напряжений, ни от начальной длины усталостной трещины. 98 Не оказывает также влияния на величину n конечность размеров пластины и харак- тер концентратора напряжений. Эта особенность уравнений (3.3) и (3.5) связана с вы- бранной моделью пластической зоны в вершине усталостной трещины, позволяющей получать решение в аналитическом виде. Кинетические диаграммы роста усталостных трещин в относительной системе координат (рис. 11) для пластин из алюминиевых а б Рис. 11 сплавов 2024-Т3 (а) и 7075-Т6 (б) сводятся в этом случае к единым диаграммам, не зависящим от уровня приложенных напряжений и, возможно, от геометрии пластины с концентратором напряжений и материала пластины. Подтвердить или опровергнуть экспериментально эту особенность построенной модели усталостного разрушения не представляется возможным в связи с отсутствием соответствующих экспериментальных данных. Можно, однако, предположить, что все указанные выше факторы в той или иной мере будут оказывать влияние на дли- тельность инкубационной стадии. Заключение. В работе построена и экспериментально апробирована модель роста усталостных трещин нормального отрыва в тонких изотропных пластинах конечных размеров при одноосном симметричном и асимметричном растяжении – сжатии. Модель позволяет рассчитывать длительность инкубационной стадии и зависимость длины усталостной трещины от числа циклов нагружения на стадии роста трещины. Влияние асимметрии цикла напряжений в модели учтено с помощью эквивалентных напряжений, позволя- ющих асимметричный цикл свести к симметричному. Влияние конечности размеров пластины на напряженное состояние в вершине усталостной трещины учитывается с помощью корректирующих функций. Корректирующие функции заданы полиномами четвертой степени, коэффициенты которых определяем по результатам аппроксимации известных численных решений задач о напряженном состоянии пластин конечных размеров с трещинами. Материальные константы модели определены по результатам обработки данных стандартных испытаний гладких цилиндрических образцов на ста- тическое растяжение и на усталость при симметричном и отнулевом циклах. Модель апробирована экспериментально на решении задач расчета кинетики роста усталост- ных трещин в прямоугольных пластинах из алюминиевых сплавов в широком диапа- зоне изменения коэффициентов асимметрии цикла напряжений. РЕЗЮМЕ. Побудовано двохстадійну модель розповсюдження тріщин втоми нормального від- риву в тонких ізотропних пластинах кінцевих розмірів при одновісному симетричному й асиметрич- ному розтягу – стиску. Модель побудовано на основі підходу, що поєднує силову концепцію механі- ки тріщин і концепцію механіки континуальної пошкодженності. Модель апробовано експерименталь- но на задачах розрахунку кінетики росту центральної тріщини втоми при одновісному симетричному та асиметричному знакозмінному і знакопостійному циклічних навантаженнях. 99 1. Андрейкив А.Е. Пространственные задачи теории трещин. – К.: Наук. думка, 1982. – 348 с. 2. Андрейкив А.Е. Расчетная модель для определения периода зарождения усталостной макротрещи- ны // Физ.-хим. механика материалов. – 1976. – № 6. – С. 27 – 30. 3. Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций. – М.: Машиностроение, 1990. – 448 с. 4. Болотин В.В. Уравнения роста усталостных трещин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1983. – №7. – С. 153 – 160. 5. Голуб В.П., Пелых В.Н., Погребняк А.Д. К задаче расчета усталостной долговечности призматиче- ских стержней при асимметричном изгибе и кручении // Авиационно-космическая техника и технология. – 2012. – №8/95. – С. 129 – 133. 6. Голуб В.П., Плащинская А.В., Кочеткова Е.С. Усталостное разрушение тонких алюминиевых пла- стин с трещинами при одноосном асимметричном нагружении // Надежность и долговечность машин и сооружений. Сб. статей. – Вып. 31. – К.: Изд-во ИПП НАНУ. – 2008. – С. 73 – 81. 7. Коцаньда С. Усталостное разрушение металлов / Пер. с польского под ред. В.С.Ивановой. – М.: Металлургия, 1976. – 456 с. 8. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1965. – 716 с. 9. Саврук М.П. Механика и прочность материалов. В 5 т. Т. 2. Коэффициенты интенсивности напря- жений в телах с трещинами. – К.: Наук. думка, 1988. – 618 с. 10. Черепанов Г.П. О росте трещин при циклическом нагружении // Журнал прикл. механики и техн. физики. – 1968. – № 6. – С. 64 – 75. 11. Bolotin V.V. A unified approach to damage accumulation and fatigue crack growth // Engineering Frac- ture Mechanics. – 1985. – 22, N 3. – P. 387 – 398. 12. Broek D. Elementary engineering fracture mechanics. – Leyden: Noordhoff Intern. Publ., 1974. – 268 р. 13. Cherepanov G.P., Halmanov H. On the theory of fatigue crack growth // Eng. Fract. Mech. – 1971. – 4, N 1. – P. 143 – 145. 14. Dolan, T.J. Effect of range of stress and of special notches on fatigue properties of aluminium alloys suitable for airplane propellers // NASA TN-852. – 1942. – 35 p. 15. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. – 1960. – 8, N2. – P. 100 – 104. 16. Golub V.P. Modelling of fatigue cracks growth in thin plates with stress concentrators // Numerical Methods in Engineering’96. Proc. of the Second ECCOMAS Conference on Numerical Methods in En- gineering, 9-13 September 1996. – Paris - New-York: John Wiley & Sons. – 1996. – P. 129 – 135. 17. Golub V.P. Subcritical fatigue crack growth in thin plates under high-cyclic loading. // Fracture Mechan- ics of Materials and Strength of Structures. Issue 2. Analytical Methods in Fracture Mechanics, Lviv: Kamianjar. – 1999. – 2, N 2. – P. 83 – 88. 18. Golub V.P. The theory of long-term fatigue fracture providing for crack initiation and propagation // Advances in Fracture Research. (ICF9). – 1997. – 3. – P. 1361 – 1370. 19. Golub V.P., Panteleyev E.A. Fatigue damage and cyclic life-time of cracked isotropic plates considering two- stage fracture // Fatigue 93. Proc. of the Intern. Cong. on Fatigue: EMAS. – 1993. – 1. – P. 275 – 281. 20. Golub V.P., Plashchiskaya A.V. Fatigue Fracture Model for thin Isotropic Plates with Cracks in Axial Loading // Int. Appl. Mech. – 1994, 30, N 7. – P. 520 – 529. 21. Grover H.J., Hyler W.S., Kuhn P. Landers C.B. Hawell F.N. Axial-load fatigue properties of 24S-T and 75S-T aluminum alloys as determined in several laboratories // NASA TN 2928. – 1953. – 64 p. 22. Hudson C.M. Effect of stress ratio on fatigue-crack growth in 7075-T6 and 2024-T3 aluminium alloy specimens // NASA TN D-5390. – 1969. – 34 р. 23. Johnston W.N. Fracture tests on thin sheet 2024-T3 aluminum alloy for specimens with and without anti- buckling Guids // NASA / CR-2001-210832. – 2001. – 35 p. 24. Luke Y.L. The special functions and their approximations. – New York: Academic Press, 1969. – 484 p. 25. Newman J.C. An improved method of collocation for the stress analysis of cracked plate with various shaped boundaries. – NASA TN D-6376, 1971. – 45 p. 26. Newman J.C., Jr. FASTRAN-II – A fatigue crack growth structural analysis program. – NASA-TM- 104159, 1992. – 103 p. 27. Newman J.C.,Jr., Wu X.R., Venneri S.L., Li C.G. Small-crack effects in high-strength aluminum alloys // NASA RP 1309, 1994. – 118 p. 28. Paris P.C., Erdogan F. A critical analysis of crack propagation laws // J. of Basic Engineering. Ser. D. Trans. ASME. – 1963. – 85, N4. – P. 528 – 534. 29. Paris P.C., Gomez M.P., Anderson W.E. A rational analytic theory of fatigue // The Trend in Engineer- ing. – 1961. – 13, N 1. – P. 9 – 14. 30. Rice J.R. Mechanics of crack tip deformation and extension by fatigue // ASTM STP 415, Fatigue Crack Propagation. – 1967. – P. 247 – 309. 31. Tada H. A note on the finite width correction to the stress intensity factor // Eng. Fract. Mech. – 1971. – 3, N 3. – P. 345 – 347. Поступила 07.09.2016 Утверждена в печать 10.10.2017

Ähnliche Einträge