Числовой анализ эволюции одиночной цилиндрической радиальной волны с начальным профилем в виде функции Макдональда
Получен новый вариант нелинейного волнового уравнения для цилиндрической радиальной волны смещения ur(r, t), к которому дальше применен приближенный метод решения, апробированный ранее на задаче о плоской продольной волне. Проведен числовой анализ для волны с начальным профилем в виде функции Макдон...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174178 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Числовой анализ эволюции одиночной цилиндрической радиальной волны с начальным профилем в виде функции Макдональда / В.Н. Юрчук, Я.Я. Рущицкий // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 18-26. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859952279341236224 |
|---|---|
| author | Юрчук, В.Н. Рущицкий, Я.Я. |
| author_facet | Юрчук, В.Н. Рущицкий, Я.Я. |
| citation_txt | Числовой анализ эволюции одиночной цилиндрической радиальной волны с начальным профилем в виде функции Макдональда / В.Н. Юрчук, Я.Я. Рущицкий // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 18-26. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Получен новый вариант нелинейного волнового уравнения для цилиндрической радиальной волны смещения ur(r, t), к которому дальше применен приближенный метод решения, апробированный ранее на задаче о плоской продольной волне. Проведен числовой анализ для волны с начальным профилем в виде функции Макдональда K₀(r) .
Отримано новий варіант нелінійного хвильового рівняння для циліндричної радіальної хвилі зміщення, до якого далі застосовано наближений метод розв’язування, що апробований раніше на задачі про плоску поздовжню хвилю. Проведено числовий аналіз для хвилі з початковим профілем у вигляді функції Макдональда.
A new variant of nonlinear wave equation is obtained for the solitary nonlinear cylindrical radial wave of displacement (a wave in direction of radial coordinate in cylindrical coordinates), to which in following the approximate method of solving is applied that is approbated in the problem on plane longitudinal wave. The numerical analysis is carried out for the wave initial profile in the form of Macdonald function.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:17:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 3
18 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 3
В . Н . Ю р ч у к , Я . Я . Р у щ и ц к и й
ЧИСЛОВОЙ АНАЛИЗ ЭВОЛЮЦИИ ОДИНОЧНОЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ РАДИАЛЬНОЙ ВОЛНЫ С НАЧАЛЬНЫМ
ПРОФИЛЕМ В ВИДЕ ФУНКЦИИ МАКДОНАЛЬДА
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: rushch@inmech.kiev.ua
Abstract. A new variant of nonlinear wave equation is obtained for the solitary nonlin-
ear cylindrical radial wave of displacement (a wave in direction of radial coordinate in cy-
lindrical coordinates), to which in following the approximate method of solving is applied
that is approbated in the problem on plane longitudinal wave. The numerical analysis is car-
ried out for the wave initial profile in the form of Macdonald function. About 30 variants of
initial parameters are studied numerically – three variants of materials (aluminium, copper,
steel), three variants of the wave bottom, three variants of initial maximal amplitude. For
this initial profile, the set of nine two-dimensional plots «wave shape (displacement) –
passed by the wave distance» is built that shows the level of distorsion. This profile appears
unusual from point of view of profile shape. The profile shapes that were considered before
(sinusoidal, bell-shaped, in the form of Whittaker and Hankel functions) were changed es-
sentially. They formed at tops the plateau and then cave demonstrating in this way the
strong distortion. In the case in hand, the shape of Macdonald function is practically not
changed, the profile bottom is increases slightly and the profile maximal value only in-
creased significantly changing the steepness of the profile left part.
Key words: solitary elastic wave, plane longitudinal wave, cylindrical radial wave, ap-
proximate method, distrotion of wave initial profile, Macdonald function.
1. Аналитические формулы, на которых основан числовой анализ эволюции
одиночной цилиндрической радиальной волны смещения с начальным профи-
лем в виде гладкой функции.
Одиночные волны исследованы в меньшей степени, чем гармонические и до сих
пор являются предметом исследований [2, 4 – 7, 12, 14, 17]. Цилиндрической ради-
альной волной смещения называют в линейной теории упругости волну, которая рас-
пространяется в бесконечном пространстве с цилиндрической круговой полостью, к
граничной поверхности которой приложен импульс, возбуждающий движение в ради-
альном направлении. В простейшем случае импульс равномерный в пространстве и
гармонический во времени.
Цилиндрическая система координат Or z выбирается таким образом, что ось Oz
совпадает с осью полости и задача о движении волны становится осесимметричной и
зависимой лишь от радиуса r и времени t . Ненулевыми являются радиальное смеще-
ние ru и три компонента тензора напряжений , ,rr zz . Уравнение движения имеет
вид [10, 12]
, , ,2 ,
,
1 1
0.r
r rr r r r r ttr
r
u
u u ru u
r r r
(1)
Если ввести потенциал ( , )r t
19
,r ru , (2)
то уравнение (1) преобразуется в более простое
2
, , ,
1
0tt L rr rc
r
. (3)
Основанное на модели Мэрнагана нелинейное уравнение, соответствующее ли-
нейному уравнению (1), имеет вид [1, 2, 9, 12]
2 ,
, , , ,2
( , , );r r r
L r tt r rr r r r r rr
u u
c u u S u u u
r r
(4)
2 2
, , 1 , , 2 , 3 , 4 , 52 3
1 1 1 1
( , , ) ( ) ( ) ;r r r r rr r rr r r r rr r r r r r r rS u u u N u u N u u N u u N u N u
r r r r
(5)
1 2 3
2 3 2 2
3 ; ; ;
2 2 2
A B C B C
N N N
4 5
2 3 2 2 2 3 2
; .
2 2
A B C A B C
N N
Задача о гармонической во времени волне смещения, распространяющейся от ци-
линдрической полости радиуса or вследствие приложенных гармонической во времени
нагрузки ( , )rr i t
o or t p e или гармонического во времени смещения ( , ) i t
or ror t eu u
описана в [12, 13, 15] для уравнения (5) в рамках метода последовательных прибли-
жений с удержанием лишь первых двух аппроксимаций.
Первая (линейная) аппроксимация описывается аналитически через функцию Хан-
келя первого рода и первого порядка
(1) (1)
1( , ) ( ) ,o i t
r r Lu r t u H k r e (6)
где o
ru – заданный в условии на поверхности полости амплитудный множитель
1) 1)
0 1
,
2
( 2 ) ( ) ( )
o L
ro
L L o L o
o
p k
u
k H k r H k r
r
, 2L L Lk v v – волновое число и фазовая скорость линейной плос-
кой продольной волны.
Примечание 1. Решение (6) свидетельствует, что волна гармонична во времени, а по про-
странственной координате гармонична лишь асимптотично. Интенсивность линейной радиаль-
ной цилиндрической волны уменьшается со временем распространения вследствие свойств
функции Ханкеля (1)
1H .
Нелинейная волна в рамках первых двух аппроксимаций аналитически представля-
ется в виде [12, 15]
(1) (2)( , ) ( , ) ( , ).r r ru r t u r t u r t (7)
Второе приближение определялось двумя способами. Первый способ основан на
предположении, что четыре нелинейные составляющие в (5) с множителями 1 2 3, ,r r r
мало влияют на окончательный результат при увеличении расстояния от полости.
Иными словами, уравнение (4) анализировалось при условии
20
, , 1 , ,( , , ) .r r r r rr r rr r rS u u u N u u (8)
Далее использовалось приближенное представление функций Ханкеля [3, 8, 13]
1 2 2 2
2 2(1)
2
2 4 1 (4 1)(4 9)
( ) 1 .
8 2!(8 )
i z p
p
p p p
H z e i
z z z
(9)
В итоге, нелинейное решение получено в виде
(1) (2) 4
2
2 1 1 9
( , ) ( , ) ( , ) 1
8 128( )
Li k r t
o
r r r r
L LL
i
u r t u r t u r t u e
k r k rk r
(10)
2 2
2 2
1 2 3
( ) 2 1 5 151 1
( ) .
3 18 ( ) 288 ( )
L
o i k r t
r
L
L L L L
r u i
k N e
k k r k r k r
Второй способ учитывает все нелинейные составляющие в уравнении (4) и исполь-
зует рекуррентные формулы для производных функций Ханкеля и факт, что произве-
дения (1) 2 (1) 2
0 1( ( )) , ( ( )) ,L LH k r H k r (1) (1) (1)
0 1 1( ) ( )L LH k r H H k r не являются решениями линей-
ного аналога уравнения (4). Соответствующее второму способу решение имеет вид
(1) (2)( , ) ( , ) ( , )r r ru r t u r t u r t
2 2(1) (1) (1) (1) (1) 2
1 00 0 11 1 01 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .i t i t
ro L L L L Lu H k r e B H k r B H k r B H k r H k r e (11)
Проведенное числовое моделирование для металлических конструкционных ма-
териалов показало [12], что начиная с довольно близкого к полости расстояния реше-
ния (10) и (11) практически идентичны. Это дает основания для следующего измене-
ния начального нелинейного уравнения (4): проигнорируем лишь две из пяти нелиней-
ных составляющих и сохраним справа в (4) выражение
2
1 , , 3 , 4 ,2
1 1
( ) ;r rr r r r r r r rN u u N u u N u
r r
(12)
представим уравнение (4) в виде
2
, 1 , , 1 , 1 , ,2
1
(1 ) (1 ) (1 ) ( ) 0;r
r rr r r r r r r r r L r tt
u
u N u u N u N u c u
r r
;
примем приближенно, что 1 3 4N N N (в действительности, 1 4 3N N N ), и полу-
чим выражение для нелинейного волнового уравнения
2
1 , , , ,2
1
( ) (1 ) 0.r
L r r r rr r r r tt
u
c N u u u u
r r
(13)
Уравнение для цилиндрической радиальной волны (13) имеет такую же структуру,
как уравнение для плоской продольной волны 2
1, 1 1,1 1,11( ) ( ) 0,tt Lu c N u u ис-
пользованное в работах [10 – 15, 17, 18]. Это позволяет использовать в анализе урав-
нения (13) подход из работ [10 – 15, 17, 18].
2. Одиночная цилиндрическая радиальная волна смещения. Приближенный
метод анализа. Случай, когда начальный профиль описывается аналитически
функцией Макдональда.
Предположим, что начальный профиль волны описывается функцией ( , 0)ru r t
( )F r и одиночная волна распространяется в виде
( , ) ( ( )),ru r t F a r vt (14)
21
где скорость волны определяется выражением
1 ,1 r r Lv N u c . (15)
Примечание 2. Параметр a введен в представление (14) с целью выбора длины подошвы
одиночной волны – в зависимости от значения этого параметра подошва волны может или
сужаться или расширяться. В гармонической волне такой параметр называют длиной волны
(2 )k .
Примем ограничение в представлении (15)
1 , 1r rN u (16)
и представим приближенно решение уравнения (13) в виде
1 ,( , ) ( ) (1 2) .r L L r ru r t F a r c t N ac u t
(17)
Точность приближения (17) зависит от точности выполнения условия (16), которое
включает ограничения на два параметра: параметр 1N и градиент перемещения 1,1u .
Ограничим анализ классом конструкционных материалов, для которых модель
Мэрнагана достаточно приемлема. Для такой ситуации в работах [10 – 15, 17, 18] по-
казано, что при точности 0,1% ограничения (12) и (14) можно уточнить: 1,1 0,001u ,
4
1,1 0,0005 5 10 .u
Обозначим фазу волны с постоянной фазовой скоростью через ( )La r c t и до-
полнительный малый параметр через 1 ,(1 2) ,L r rN ac u t представим решение (17)
(одиночную волну) в виде ряда Тейлора и ограничим рассмотрение первыми двумя
членами ряда из-за малости . Тогда ввиду равенства
/ / / /
, 1 ,( , ) (1 2) ( ) (1 (1 2) )r r r L r rru r t F F N ac u t F ,
решению (17) можно придать вид
2/ /
1 , 1( , ) ( ) ( ) (1 2) ( ) (1 2) ( ) .r L r r Lu r t F F N ac u t F N ac t F
(18)
Приближенное представление решения (18) для одиночной цилиндрической ра-
диальной волны имеет общий характер и для разных конкретно выбранных функций
F будет описывать возникновение (помимо «первой гармоники») «второй гармони-
ки» или подобных ей новых составляющих и увеличение амплитуды «второй гармо-
ники» со временем распространения волны.
Однако в данном случае функция ( )F r должна быть решением линейного аналога
нелинейного волнового уравнения (13). Поскольку движение одиночной волны не
предполагается гармоничным во времени, то цилиндрическая функция действительного
аргумента – функция Ханкеля ( )H r [3, 8] – уже не является решением уравнения
2
, , ,2
1
0r
L r rr r r r tt
u
c u u u
r r
. (19)
Рис. 1
22
Решением уравнения (19), имеющим вид (14), является цилиндрическая функция
мнимого аргумента – функция Макдональда ( )K r [3, 8]. На рис. 1 показаны графики
функции Макдональда ( )K r с пятью значениями индекса 0,1, 2, 3, 4. Из рисунка
видно, что графики функций напоминают график гиперболы (они пологие и вогнуты
вниз) при изменении индекса графики функций отличаются пологостью и сдвигом
профиля.
Выберем форму начального профиля волны в виде функции 0 ( )K r и подставим
полученное конкретное выражение в формулу (18)
2/
0 1 0( , ) ( ) (1 2) ( ) .r Lu r t K N ac t K
(20)
Использовав известную [3, 8] формулу /
0 1( ) ( )K K , решение (20) можно пре-
образовать к виду
2
0 1 1( , ) ( ) (1 2) ( ) .r L L Lu r t K a r c t N ac t K a r c t (21)
Решение (21) подтверждает основное предположение о постепенном изменении про-
филя волны при ее распространении и также позволяет сделать более конкретное за-
ключение о механизме изменения – для каждого конкретного значения времени и фа-
зы (конкретной точки на профиле волны) соотношение линейной и нелинейной доба-
вок будет своим.
3. Параметры материала и волны в последующем числовом моделировании.
Выберем три металлических конструкционных материала с такими параметрами в
рамках модели Мэрнагана (система СИ) [1, 9, 12, 15, 18]:
алюминий – 32,7 10 , 10 105,2 10 , 2,7 10 ,
10 11 110,65 10 , 2,05 10 , 3,7 10A B C ; 36,27 10Lc ; 16,81 ;
медь – 38,93 10 , 10 1010,7 10 , 4,8 10 ,
11 11 112,8 10 , 1,72 10 , 2,4 10A B C ; 34,77 10Lc ; 7,207 ;
сталь – 37,8 10 , 10 109,4 10 , 7,9 10 ,
11 11 113,25 10 , 3,1 10 , 8,0 10 ;A B C 35,68 10Lc ; 13,31 .
Из рис. 1 следует, что функция 0 ( )K r имеет подошву 10L . Поэтому при пред-
ставлении профиля в виде 0( ) ( )ru ar K ra параметр a определяет длину подошвы по
формуле (1 / )a . Для всех трех материалов начальная подошва выбрана одинако-
вой 0,1L ( 10)a и вариантов выбора три: {0,1; 0,20; 0,25}L ( {10; 50; 40})a .
Начальная амплитуда выбиралась одинаковой для каждого материала и для каждой
начальной подошвы волны: 41,5 10oa .
Далее рассмотрено 9 вариантов начального профиля волны (3 варианта материа-
ла, 3 варианта длины (подошвы) волны, 3 графика сравнений шагов и 1 вариант, на
котором построены две раздельных гармоники на одном графике).
4. Числовой анализ волны с профилем в виде функции Макдональда.
Рассмотрим формулу (21) в следующем виде
22
0 1 1( , ) ( ( )) (1 2) ( ) ( ( )) .o o
r L L Lu r t a K a r c t N ac t a K a r c t (22)
Подставляя в (22) приближенные значения функций 0K и 1K , получим решение:
23
2
2
1 3
2
( , )
( )
1 1 2
(1 2) ( ) .
( )2 ( )
L
L
a r c to
r
L
a r c to
L
LL
u r t a e
a r c t
N ac t a e
a r c tar c t
(23)
Решение (23) состоит из линейной и нелинейной составляющих и описывает из-
менение начального профиля одиночной волны вследствие присутствия нелинейной
экспоненциальной составляющей и прямой зависимости множителя при этой состав-
ляющей от радиуса и времени.
На основании формулы (23) построены двумерные графики с координатами «фор-
ма волны ru – пройденное волной расстояние r ». При построении графиков волны
смещения, которая распространяется от цилиндрической полости радиуса ,or учтен
факт, что должно выполняться условие or r .
Всего исследовано около 30 наборов (3 материала, 3 варианта длины волны, 1 ва-
риант двух гармоник, 3 варианта сравнения шагов). Каждый набор включает 9 графи-
ков с формой профиля волны для различных расстояний – 5 графиков эволюции про-
филя волны от начального положения волны до положения на расстоянии в 10 повто-
рений длины подошвы, где влияние нелинейности уже проявляется и искажение про-
филя вполне наблюдаемо визуально, и дополнительно график первой и второй (нели-
нейной) составляющей, показывающий уровень влияния нелинейности, а также 3
графика сравнения предыдущего и последующего шагов.
На рис. 2 приведены графики одного набора, соответствующего таким значениям
параметров: материал алюминий, 0 0,01;r 41,5 10 .oa
Из графиков следует, что эволюция несимметричного начального профиля волны
происходит следующим образом: максимальное значение амплитуды растет и левая часть
профиля становится более крутой. Первоначальный график как бы cжимается.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
r .m
0.001
0.002
0.003
0.004
U.m
а
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
r .m
0.001
0.002
0.003
0.004
U.m
б
24
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
r .m
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
U.m
в
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
r .m
0.001
0.002
0.003
0.004
U.m
г
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
r .m
0.001
0.002
0.003
0.004
U.m
д
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5
r .m
0.001
0.002
0.003
0.004
U.m
е
25
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5
r .m
0.001
0.002
0.003
0.004
U.m
ж
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5
r .m
0.001
0.002
0.003
0.004
U.m
з
Рис. 2
После каждых двух шагов показаны графики, на которых сравниваются предыду-
щий и последующий шаги.
На восьмом графике сравнены первый и последний шаги.
На девятом графике показана разница между линейным решением («первой гар-
моникой») и нелинейной добавкой («второй гармоникой»), где штрих-пунктирная ли-
ния – это линейное решение, а сплошная линия – это нелинейная добавка.
Таким образом, учет нелинейности в анализе распространения одиночной волны с
начальным профилем в виде функции Макдональда позволяет описать такое волновое
явление как дисторсия профиля.
Заключение.
Получен новый вариант нелинейного волнового уравнения для цилиндрической
радиальной волны смещения ( , )ru r t , к которому дальше применен приближенный
метод решения, апробированный ранее на задаче о плоской продольной волне.
Проведен числовой анализ для волны с начальным профилем в виде функции
Макдональда 0 ( )K r .
Этот профиль оказался необычным с точки зрения самой формы профиля. Рас-
смотренные ранее формы профиля (синусоидальный, колоколообразный, в виде функ-
ций Уиттекера и Ханкеля) изменялись существенно, образуя на вершинах сначала
плато, далее впадину и демонстрируя сильное искажение. В данном случае, форма
функции Макдональда практически не искажается, подошва профиля слабо увеличи-
вается и лишь максимальное значение профиля увеличивается существенно, изменяя
крутизну левой части профиля.
РЕЗЮМЕ. Отримано новий варіант нелінійного хвильового рівняння для циліндричної радіа-
льної хвилі зміщення, до якого далі застосовано наближений метод розв’язування, що апробований
раніше на задачі про плоску поздовжню хвилю. Проведено числовий аналіз для хвилі з початковим
профілем у вигляді функції Макдональда. Чисельно вивчено біля 30 комбінацій набору початкових
параметрів – три варіанти матеріалу (алюміній, мідь, сталь), три варіанти підошви хвилі, один варі
26
ант графіку що поєднує обидві гармоніки та три варіанта порівняння кроків. Для кожного варіанту
побудовано набір з дев’яти двовимірних графіків «форма хвилі (зміщення) – пройдена хвилею від
стань», які показують рівень спотворення хвилі. Цей профіль виявився незвичайним з точки зору
форми профіля. Форми профіля, які розглядалися раніше (синусоїдальний, дзвоноподібний, у вигляді
функцій Уіттекера та Ханкеля), змінювалися суттєво, утворюючи на вершинах спочатку плато, далі
впадину і демонструючи сильне спотворення. У даному випадку, форма функції Макдональда прак-
тично не спотворюється, підошва профіля незначно збільшується і лише максимальне значення про-
філя збільшується суттєво, змінюючи крутизну лівої частини профіля.
1. Рущицький Я.Я., Цурпал С.І. Хвилі в матеріалах з мікроструктурою. – К.: Інститут механіки ім.
С.П.Тимошенка, 1998. – 377 c.
2. Cattani C., Rushchitsky J. Wavelet and Wave Analysis as applied to Materials with Micro and Nanostruc-
ture. – Singapore – London: World Scientific, 2007. – 466 p.
3. Gradstein I.S., Ryzhik I.M. Table of Integrals, Series, and Products. 7th revised edition. Eds. Jeffrey A.,
Zwillinger D. – New York: Academic Press Inc., 2007. – 1200 p.
4. Guz І.A., Rushchitsky J.J. Theoretical Description of a Delamination Mechanism in Fibrous Micro- and
Nanocomposites // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 10. – P. 1129 – 1136.
5. Hussein M.I., Khayehtourian R. Nonlinear elastic waves in solids: Deriving simplicity from complexity // Bulletin
of the American Physical Society. – 2015. – 60, N 1. (http://meetings.aps.org/link/BAPS.2015,MAR_Q8.10).
6. Janno J., Seletski A. Reconstruction of coefficients of higher order nonlinear wave equation by measuring
solitary waves // Wave Motion. – 2015. – 52. – P. 15 – 25.
7. Narahara K. Asymmetric solitary waves in coupled nonlinear transmissions lines // Wave Motion. –
2015. – 58. – P.13 – 21.
8. Olde Daalhuis A.B. Confluent Hypergeometric Functions. Chapter 13. – P. 383 – 402. Whittaker Func-
tions. 13.14-13.26. In: Olver F.W.J., Lozier D.W., Bousvert R.F., Clark C.W. (eds) NIST (National In-
stitute of Standards and Technology) Handbook of Mathematical Functions. – Cambridge: Cambridge
University Press, 2010. – 968 p.
9. Rushchitsky J.J. On Constraints for Displacement Gradients in Elastic Materials // Int. Appl. Mech. –
2016. – 52, N 2. – P. 119 – 133.
10. Rushchitsky J.J. Quadratically Nonlinear Cylindrical Hyperelastic Waves: Derivation of Wave Equations
for Plane-Strain State // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 5. – P. 496 – 505.
11. Rushchitsky J.J. Certain Class of Nonlinear Hyperelastic Waves: Classical and Novel Models, Wave
Equations, Wave Effects // Int. J. Appl. Math. and Mech. – 2013. – 9, N 12. – P. 600 – 643.
12. Rushchitsky J.J. Nonlinear Elastic Waves in Materials. – Heidelberg: Springer, 2014. – 455 p.
13. Rushchitsky J.J., Cattani C. Cubically Nonlinear Elastic Waves Versus Quadratically Ones // Int. Appl.
Mech., 2003. – 39, N 12. – P. 1361 – 1399.
14. Rushchitsky J.J., Cattani C., Terletskaya E.V. Wavelet Analysis of the Evolution of a Solitary Wave in a
Composite Material // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 3. – P. 311 – 318.
15. Rushchitsky J.J., Yurchuk V.N. An Approximate Method for Analysis of Solitary Waves in Nonlinear
Elastic Materials // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 3. – P.282 – 290.
16. Structural and Residual Stress Analysis. Ed. V.Hauk. – Amsterdam: Elsevier Science B.V., 1997 (e-
variant 2006). – 640 p.
17. Yurchuk V.N., Rushchitsky J.J. Numerical Analysis of the Evolution of Plane Longitudinal Nonlinear
Elastic Waves with Different Initial Profiles // Int. Appl. Mech. – 2016. – 53, N 1. – P.104 – 121.
18. Yurchuk V.N., Rushchitsky J.J. Evolution of SV-Wave with Gaussian Profile // Int. Appl. Mech. – 2016.
– 53, N 3. – P.300 – 305.
Поступила 16.12.2016 Утверждена в печать 30.01.2018
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174178 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:17:23Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Юрчук, В.Н. Рущицкий, Я.Я. 2021-01-07T15:34:08Z 2021-01-07T15:34:08Z 2018 Числовой анализ эволюции одиночной цилиндрической радиальной волны с начальным профилем в виде функции Макдональда / В.Н. Юрчук, Я.Я. Рущицкий // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 18-26. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174178 Получен новый вариант нелинейного волнового уравнения для цилиндрической радиальной волны смещения ur(r, t), к которому дальше применен приближенный метод решения, апробированный ранее на задаче о плоской продольной волне. Проведен числовой анализ для волны с начальным профилем в виде функции Макдональда K₀(r) . Отримано новий варіант нелінійного хвильового рівняння для циліндричної радіальної хвилі зміщення, до якого далі застосовано наближений метод розв’язування, що апробований раніше на задачі про плоску поздовжню хвилю. Проведено числовий аналіз для хвилі з початковим профілем у вигляді функції Макдональда. A new variant of nonlinear wave equation is obtained for the solitary nonlinear cylindrical radial wave of displacement (a wave in direction of radial coordinate in cylindrical coordinates), to which in following the approximate method of solving is applied that is approbated in the problem on plane longitudinal wave. The numerical analysis is carried out for the wave initial profile in the form of Macdonald function. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Числовой анализ эволюции одиночной цилиндрической радиальной волны с начальным профилем в виде функции Макдональда Numerical Analysis of Evolution of Solitay Cylindrical Radial Wave with an Initial Profile in the Form of Macdonald Function Article published earlier |
| spellingShingle | Числовой анализ эволюции одиночной цилиндрической радиальной волны с начальным профилем в виде функции Макдональда Юрчук, В.Н. Рущицкий, Я.Я. |
| title | Числовой анализ эволюции одиночной цилиндрической радиальной волны с начальным профилем в виде функции Макдональда |
| title_alt | Numerical Analysis of Evolution of Solitay Cylindrical Radial Wave with an Initial Profile in the Form of Macdonald Function |
| title_full | Числовой анализ эволюции одиночной цилиндрической радиальной волны с начальным профилем в виде функции Макдональда |
| title_fullStr | Числовой анализ эволюции одиночной цилиндрической радиальной волны с начальным профилем в виде функции Макдональда |
| title_full_unstemmed | Числовой анализ эволюции одиночной цилиндрической радиальной волны с начальным профилем в виде функции Макдональда |
| title_short | Числовой анализ эволюции одиночной цилиндрической радиальной волны с начальным профилем в виде функции Макдональда |
| title_sort | числовой анализ эволюции одиночной цилиндрической радиальной волны с начальным профилем в виде функции макдональда |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174178 |
| work_keys_str_mv | AT ûrčukvn čislovoianalizévolûciiodinočnoicilindričeskoiradialʹnoivolnysnačalʹnymprofilemvvidefunkciimakdonalʹda AT ruŝickiiââ čislovoianalizévolûciiodinočnoicilindričeskoiradialʹnoivolnysnačalʹnymprofilemvvidefunkciimakdonalʹda AT ûrčukvn numericalanalysisofevolutionofsolitaycylindricalradialwavewithaninitialprofileintheformofmacdonaldfunction AT ruŝickiiââ numericalanalysisofevolutionofsolitaycylindricalradialwavewithaninitialprofileintheformofmacdonaldfunction |